导数在经济学中的应用 PPT课件

或 L L( p) R( p) C ( p)
当L(Q* ) 0时，称Q*为盈亏临界点
目录
上页
下页
返回
结束
一、边际分析
1 边际函数 设函数 y f ( x ) 可导， 称导函数 f ( x ) 为边际函数．
称
f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim x 0 x
于是取得最大利润的充分条件是： 边际收益的变化率小于边际成本的变化率．
目录 上页 下页 返回 结束
例3 设某产品的价格与销售量的关系为 P 10
Q
5
,
成本与销售量的关系为 C 50 2Q ． (1)求销售量为10时的总收益、平均收益与边际收益； (2)求产量为多少时总利润L最大？
解 (1)因为总收益、平均收益与边际收益函数分别为：
R(Q ) 平均收益函数为 R P (Q )． Q
dR P (Q ) QP (Q )． 边际收益函数为 R dQ
其经济意义是：在已销售Q个单位商品的基 础上，再销售一个单位商品所增加的总收入。
目录 上页 பைடு நூலகம்页 返回 结束
二、最大利润原则 设总利润为L，则
L L(Q ) R(Q ) C(Q )，
L L(Q ) R(Q ) C(Q )，
L(Q ) 取得最大值的必要条件为：
L(Q ) 0,即R(Q ) C (Q )，
于是取得最大利润的必要条件是： 边际收益等于边际成本．
L(Q ) 取得最大值的充分条件是：
L(Q ) 0,即R(Q ) C (Q )，
10 10
(2) 由于平均成本为 C (Q )
C (Q )
Q

Q
10
2
160
Q
1 160 C (Q ) 2 10 Q
令C (Q ) 0，得唯一驻点Q 40.
160 C (Q ) 2 160(Q 2 ) 320 Q 3 Q 320 1 C (40) 3 0 40 200
收入函数 收益函数：生产者出售一定数量的产品所得 到的全部收入。
它是销量与价格的乘积 R=p*Q ,
其中 p---产品的价格，Q ---销售量
注
R QP f ( P ) P 1 R QP f (Q )Q
目录
上页
下页
返回
结束
利润函数 由经济理论知：利润=收益-成本
当市场均衡时，销售量 与产量相等，均用 Q表示， 则利润函数为: L L(Q ) R(Q ) C (Q )
求 (1)Q =10时的总成本 、平均成本和边际成本； (2) 最低平均成本及相应的产量．
102 2 10 160 190 解 (1)Q =10时的总成本 C (10) 10
平均成本 C (10) C (10) 190 19
1 因边际成本函数 C (Q ) Q 2， 5 1 故Q =10时的边际成本 C (10) 10 2 4. 5
(2) 因为成本函数为 C (Q ) 50 2Q，
第六节
第四章
导数与微分在经济学中的简单应用
一 、边际分析 二、 弹性
目录
上页
下页
返回
结束
复习
成本函数 、收入函数、利润函数
在生产过程中，产品的 总成本C与产量x所 构成的函数关系称为总 成本函数.记为 C C ( x) 生产某一种产品的总成 本包括固定成本和变动
成本两部分: 不随产品的产量增减而 变化的部 分称为固定成本 , 记为C 0 ; 随产品的产量增减而 变化的部分称为变动成 本，记为C1 ( x ). 于是总成本C ( x )可表示为：
设C为总成本，C1为固定成本， C2为可变成本，
Q
Q
Q
d C (Q ) 边际成本函数 C C (Q ) ． dQ
其经济意义是： 当产量为Q 个单位时，若再生产一个单为产品， 总成本就增加 C (Q ) 个单位。
目录 上页 下页 返回 结束
例2 设某产品的总成本函数为
1 2 C C (Q ) Q 2Q 160， 10
R(Q ) Q P (Q ) 10Q
Q2
5
,
2Q R(Q ) P (Q ) 10 , R(Q ) 10 , 5 5 所以当 Q 10 时，总收益、平均收益与边际收益分别为：
Q
R(10) 80, R(10) 8, R(10) 6．
目录 上页 下页 返回 结束
为函数 y f ( x) 在点 x0 处的瞬时变化率， 也称函数 y f ( x) 在点 x0 处的边际函数值.
目录
上页
下页
返回
结束
2 例1 设函数 y f ( x) x 求y在 x 10 时的边际函数值．
解 因为 f ( x ) 2 x ,
所以 x 10 时的边际函数值
f (10) 20,
这表明当 x 10 时， x 改变一个单位，y 近似改变20个单位．
目录
上页
下页
返回
结束
2 边际成本
Q为产量，则有 C为平均成本，C 为边际成本，
总成本函数 C C (Q ) C1 C2 (Q )． 平均成本函数 C C (Q )
C (Q ) C1 C 2 (Q ) ．
40 160 10． 最低平均成本为 C (Q ) 2 10 40
1 2 C C (Q ) Q 2Q 160， 10
3 边际收益（边际收入） 设某种产品的价格为P，销售量为Q，则该产品的销售
总收益为R =QP， 如果已知销售量Q与价格P之间的函 数关系（即需求函数）为 P P (Q ), 则 总收益函数为 R R(Q) QP QP (Q )．
C ( x) C0 C1 ( x)
目录 上页 下页 返回 结束
成本函数
当产量x 0时的总成本就是固定成 本，有 C (0) C 0
均摊在单位产量上的成 本称为平均单位成本， 简称平均成本 . 记为：
注意
C ( x) C ( x) x
平均成本函数一般不是单调函数.
目录 上页 下页 返回 结束