导数在经济学中的应用 PPT课件
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高数课件3-6导数在经济上的应用举例
边际收益：增 加一单位产量 所增加的收益
边际利润：边 际收益减去边
际成本
边际分析在经 济决策中的应 用：通过比较 边际成本和边 际收益，确定 最优产量和价
格
弹性分析
需求弹性：衡量消费者对价格变化的敏感程度 供给弹性：衡量生产者对价格变化的敏感程度 交叉弹性：衡量两种商品之间的替代关系 收入弹性：衡量消费者收入变化对消费需求的影响
公司
导数在经济上的应 用举例
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01
导数在经济分析中的应用
02
导数在金融领域的应用
03
导数在市场分析中的应用
04
导数在生产决策中的应用
05
导数在资源分配中的应用
06
01
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01
导数在经济分析中的应用
边际分析
边际成本：增 加一单位产量 所增加的成本
导数在风险评估中的局限性：导数只能预测短期趋势，不能预测长期趋势，因此需要结合其他方 法进行风险评估。
风险评估的实际应用：在金融领域，风险评估被广泛应用于股票、债券、期货等投资产品的风险 评估。
投资组合优化
导数在投资组合优化中的应 用：通过计算导数，找到最 优的投资组合
投资组合：将资金分散到不 同的资产中，以降低风险
资源利用和环境保护的平衡
导数在经济学中的应用：通过导数分析资源分配的优化问题
资源利用和环境保护的关系：资源利用过度会导致环境破坏，而保护环境 需要限制资源利用 导数在资源分配中的应用：通过导数分析，找到资源利用和环境保护的平 衡点
案例分析：某地区如何通过导数分析，实现资源利用和环境保护的平衡
资源分配的效率和公平性
导数在经济学中的简单应用ppt课件
而边际成本 C(Q) [C0 C1(Q)] C1(Q), 可见，边际成本与固定成本无关。
(4) 在经营决策分析中，通过分析边际成本，可 以制定现有成本基础上的最佳产量。
8
例3、假设某企业生产某种产品的总成本 C（万元） 与产量 Q（万件）之间的函数关系式为
C Q 0.02Q3 0.4Q2 6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 100 万元
1 Q 60
Q1000 10
40
Q1000
其经济意义为：当产量达到1000单位时，如果再多生产1个 单位产品,则成本将相应增加 40个单位。
7
(3)边际成本仅与可变成本有关，与固定成本无关。
一般情况下，总成本 C(Q)由固定成本 C0和可变成本 C1(Q)
组成，即 C(Q) C0 C1(Q),
3.5 导数在经济学中的简单应用
随着我国市场经济的不断发展，应用数学知识定量分析经济 及管理领域中的问题，已成为经济学理论中一个重要组成部 分．把经济活动中一些现象归纳到数学领域中，用我们所学的数 学知识进行解答，对很多经营决策起到了非常重要的作用．
导数是微积分中一个重要概念，它是函数关于自变量的变化 率．在经济学中，也存在变化率问题，如：边际问题和弹性问 题．导数在经济领域中的应用非常广泛，其中“边际”和“弹性” 是导数在经济分析应用中的两个重要概念．本节主要介绍导数概 念在经济学中的两个应用——边际分析与弹性分析．
解 y 6x
y 6x 12
x2
x2
函数 y 3x2在 x 2处的边际函数值为12
2020/5/5
5
4、边际成本
1定义 设总成本函数 C C(Q), Q为产量, 称它的导数 C(Q)
为边际成本函数,简称边际成本．C(Q0 )称为当产量为 Q0时的 边际成本．边际成本在经济学中被定义为产量增加一个单位 时所增加的成本．
(4) 在经营决策分析中，通过分析边际成本，可 以制定现有成本基础上的最佳产量。
8
例3、假设某企业生产某种产品的总成本 C（万元） 与产量 Q（万件）之间的函数关系式为
C Q 0.02Q3 0.4Q2 6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 100 万元
1 Q 60
Q1000 10
40
Q1000
其经济意义为：当产量达到1000单位时，如果再多生产1个 单位产品,则成本将相应增加 40个单位。
7
(3)边际成本仅与可变成本有关，与固定成本无关。
一般情况下，总成本 C(Q)由固定成本 C0和可变成本 C1(Q)
组成，即 C(Q) C0 C1(Q),
3.5 导数在经济学中的简单应用
随着我国市场经济的不断发展，应用数学知识定量分析经济 及管理领域中的问题，已成为经济学理论中一个重要组成部 分．把经济活动中一些现象归纳到数学领域中，用我们所学的数 学知识进行解答，对很多经营决策起到了非常重要的作用．
导数是微积分中一个重要概念，它是函数关于自变量的变化 率．在经济学中，也存在变化率问题，如：边际问题和弹性问 题．导数在经济领域中的应用非常广泛，其中“边际”和“弹性” 是导数在经济分析应用中的两个重要概念．本节主要介绍导数概 念在经济学中的两个应用——边际分析与弹性分析．
解 y 6x
y 6x 12
x2
x2
函数 y 3x2在 x 2处的边际函数值为12
2020/5/5
5
4、边际成本
1定义 设总成本函数 C C(Q), Q为产量, 称它的导数 C(Q)
为边际成本函数,简称边际成本．C(Q0 )称为当产量为 Q0时的 边际成本．边际成本在经济学中被定义为产量增加一个单位 时所增加的成本．
导数在经济学中的应用教学课件ppt
导数在生产函数研究中的应用
生产函数
描述生产过程中投入要素与产 出之间的关系。
弹性分析
研究产出对于各投入要素的弹 性变化。
总结词
生产函数、边际分析、弹性分 析、最优生产要素组合
边际分析
分析投入要素的边际产量与最 优要素组合。
最优生产要素组合
确定使生产成本最低或利润最 大的要素组合。
导数在时间序列分析中的应用
导数在经济学中的意义
导数可以描述函数的变化率和极限状态，可以帮助经济 学研究者更好地了解经济变量的变化规律和趋势，为政 策制定提供重要的参考依据。
导数在经济学中的未来研究方向
研究主题1
如何将导数与其他经济学理论相结合，进一步完善经济学理论框 架，更好地解释现实经济现象。
研究主题2
如何运用导数研究具有复杂特征的经济问题，例如金融市场波动 、能源供需变化等。
导数在弹性分析中的应用
01
02
03
弹性分析是经济学中用于研究函数因 变量对自变量敏感度的概念。
导数可以用于计算弹性和弹性系数， 研究经济变量的变化对经济整体的影 响。
例如，在国际贸易中，出口商品的弹 性系数可以帮助国家制定贸易政策。
导数在优化问题中的应用
优化问题是经济学中需要找到函数极值点的问 题。
导数在政策分析中的应用
01
政策分析是经济学中用于评估 政策效果和制定政策建议的工 具。
02
导数可以用于建立政策分析模 型，分析政策变动对经济的影 响。
03
例如，可以利用导数分析税收 政策变动对经济增长的影响。
03
导数的数学基础
导数的定义与运算规则
导数的定义
导数是由函数在某一点的斜率来定义的。对于给定的 函数f(x)，f'(x)表示函数在x点的斜率。
导数与微分在经济学中的简单应用教学课件
03
微分在经济学中的应用
利用微分分析经济函示因变量y对于自变 量x的变动反应程度，即y对于x的变 化率。
弹性的计算
根据微分的定义，可以将弹性的计算 公式表示为d(y)/d(x)。
弹性的经济学意义
弹性反映了x变化时y的相应程度，对 于经济分析具有重要意义。
利用微分分析经济的价格弹性
微分的定义
函数在某一点的微分
函数在这一点变化率的近似值，表示函数在这一点的变化快慢。
微分的计算公式
根据定义，函数在某一点的微分等于函数值在该点的变化率与自变量在该点的变化率的比值的近似值 。
微分的几何意义
曲线在某一点的曲率
对于一条曲线，在任意一点处的微分就是该点处曲线在该点 的曲率，表示曲线在该点的弯曲程度。
导数与微分在经济学中的简单应用 教学课件
xx年xx月xx日
目 录
• 导数与微分的预备知识 • 导数在经济学中的应用 • 微分在经济学中的应用 • 导数与微分在经济学中的模型应用 • 导数与微分在经济学中的实证分析 • 导数与微分在经济学中的综合应用案例
01
导数与微分的预备知识
导数的定义
函数在某一点的导数
利用导数与微分进行经济周期的预测分析
总结词
经济周期是指经济运行中出现的繁荣、衰退、萧条和复苏等循环现象，对经济的 稳定和持续发展具有重要影响。
详细描述
利用导数与微分进行经济周期的预测分析，需要运用时间序列分析和谱分析等方 法，建立经济周期的数学模型，运用导数和微分的方法分析模型的动态性质，预 测未来经济周期的变化趋势，并制定相应的政策建议。
函数在这一点变化率的极限，表示函数在这一点的变化快慢 。
导数的计算公式
根据定义，函数在某一点的导数等于函数值在该点的变化率 与自变量在该点的变化率的比值。
导数在经济学中的应用公开课一等奖课件省赛课获奖课件
例1：设某商品的需求函数Qd=f (P)＝a-bP ； 供应函数Qs=f (P) =-c+dP. 供需平衡时有：Qd ＝a-bP ＝Qs=-c+dP.
则均衡价格为： P a c bd
（3）总成本函数 设Q表达产品的产量，C表达总成本，则称
C= C(Q)为总成本函数，Q＝0时，称C(0)为固定
成本，称 C= C为(Q平)均成本函数。总成本函 数是单调增加的Q，但平均成本函数普通不单调。
故边际利润函数为
L(x) 0.02x 20 0.02(1000 x).
显然，当月产量为1000单位时，边际利润为零。
例2设某产品需求量 x 1000 10 p ，其中 p 为价格，
求边际收益函数以及 x 100,200,500,600 时的边际收益。
解由总收益函数为 R(x) px ，又根据需求函数知
x 养猪数 的函数 R(x) 1 x2 400x. ．问一年养多少头猪 2 总利润最大，最大值是多少？
解 由 C(x) 20000 100x,
得 L(x) R(x) C(x) 1 x2 300x 20000, x [0,400]. 2
由
L(x) x 300 0
得
x 300
从而 R [1 ( p) ]dp [1 ( p) ] p ,
R
p
p
当 ( p) 1.3 时
Q (1.3)( 10 ) 13%,
Q
100
R (1.3)( 10 ) 3%.
R
100
当 ( p) 2.1时，
Q (2.1)( 10 ) 21%,
Q
100
R (1 2.1)( 10 ) 11%.
（3）
y ax+b , Ey Ex
导数在经济学中的简单应用教学课件ppt
04 详细描述
导数可以用于计算经济函数的极值 、最优化问题、弹性、曲线的单调 性和拐点等问题，这些应用有助于 我们更好地分析和解释经济现象。
导数的局限性
总结词
导数使用范围的局限性
详细描述
虽然导数在经济学中有很多 应用，但它也有其局限性。 例如，导数要求函数可导， 而一些非线性函数可能不可 导或难以求导
边际成本
导数可以用来分析产品的边际收益，帮助企 业制定最优定价策略。
导数可以用来分析生产过程中的边际成本， 帮助企业优化生产计划。
导数在经济模型中的应用
消费模型
导数可以用来分析消费模型，例如 线性消费函数、指数消费函数等， 预测消费者的消费行为。
投资模型
导数可以用来分析投资模型，例如 现值投资函数、未来价值投资函数 等，预测投资者的投资行为。
生产者行为决策
生产者在进行生产决策时，需要考虑市场供求关系、自身生产能力、要素价格变动等多种 因素的影响，利用导数可以对这些因素进行分析和优化。
05
导数的经济学意义与局限性
导数的经济学意义
01 总结词
了解导数在经济学中的重要性
02 详细描述
03 总结词
掌握导数的经济学应用
导数在经济学中具有广泛的应用， 它可以帮助我们更好地理解经济变 量的变化率和边际效应等经济学概 念
消费者最优选择
在一定预算约束下，消费者如何选择商品以获得最大化的效 用满足程度，可以通过构造效用函数，利用导数求极值的方 法来求解。
生产者行为分析
边际产量递减规律
在生产过程中，可变要素的投入量增加时，边际产量会逐渐减小，可以用导数来描述边际 产量的变化率。
生产者最优选择
在一定的成本约束下，生产者如何选择要素组合以获得最大化的利润，可以通过构造成本 函数和收益函数，利用导数求极值的方法来求解。
导数与微分在经济学中的简单应用教学课件
05
导数与微分在经济学中的实践练习
练习一：利用导数分析函数单调性
总结词
通过导数的符号判断函数的单调性
详细描述
首先，需要了解导数的基本概念及其与函数单调性的关 系。其次，通过实例，展示如何利用导数判断函数的单 调性。
练习二：利用微分求解函数极值
要点一
总结词
要点二
详细描述
通过微分求解函数的极值点
首先，需要了解微分的基本概念及其与函数极值的关系 。其次，通过实例，展示如何利用微分求解函数的极值 点。
2023
导数与微分在经济学中的 简单应用教学课件
contents
目录
• 导数与微分的概念 • 导数在经济学中的应用 • 微分在经济学中的应用 • 导数与微分在经济学中的案例分析 • 导数与微分在经济学中的实践练习
01
导数与微分的概念
导数的定义
1 2
函数在某一点的导数
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该 点的斜率。
案例一：商品价格与需求量的关系
01
总结词：价格弹性பைடு நூலகம்
02
详细描述：在经济学中，商品 价格与需求量之间的关系可以 用导数来描述。如果需求函数 是线性的，那么它的导数就是 价格弹性，表示价格变动对需 求量变动的影响程度。
03
公式展示：如果需求函数是 Q=a-bP，其中Q是需求量， P是价格，a和b是常数，那么 价格弹性就是-b/a。
导数可以用来寻找最大收入的解，即如何确定销售量以达到最大 收入。
03
微分在经济学中的应用
微分在函数极值中的应用
总结词
找寻经济函数的最大值和最小值
详细描述
通过微分，我们可以求出函数的一阶导数，并找到导数为零的点，这些点就是函数的极值点。在经济学中，我 们常常需要找出一个经济函数的最优解，即经济函数的最大值或最小值。例如，在成本最小化问题中，我们可 以通过微分来找到总成本的最小值点。
导数在经济中的应用
解 (1)当该商品旳销售量为x时, 商品销售总收入为
R px 7 x 0.2x2
设政府征旳总税额为T, 则有T = t x, 且利润函数为
L R T C 0.2x2 (4 t )x 1
18
令
L( x) 0.4 x 4 t 0,
得驻点 x 5 (4 t)
2
而 L( x) 0.4 0, 且驻点 x 5 (4 t) 唯一.
5
解 (1)总利润函数为L(x) = R(x) – C(x) = 5x 100 0.01x2 边际利润函数为 L( x) 5 0.02x
(2)当日产量分别是200公斤、250公斤和300公斤时旳边 际利润分别是 L(200) L( x) x200 1(元)
L(250) 0(元), L(300) 1(元).
降价(Δp<0)将使收益增长; 提价(Δp > 0)将使收益降低;
(2)若 p 1 (称为低弹性)时, 则 ΔR 与 Δp 同号.此时,
降价(Δp<0)将使收益降低; 提价(Δp > 0)将使收益增长; (3)若 p 1 (称为单位弹性)时, 则 R 0 . 此时, 不论 是降价还是提价均对收益没有明显旳影响.
成本时, 可取得最大利润.
17
例39 .某商家销售某种商品旳价格满足关系p = 7–0.2x (万元/吨), 且x为销售量(单位:吨)、商品旳成本函数为
C(x) = 3x + 1(万元) (1)若每销售一吨商品, 政府要征税t (万元), 求该商家 获最大利润时旳销售量;
(2) t 为何值时, 政府税收总额最大.
Q
dQ
dQ dp
p
p Q
dQ dp
p p
Q
导数在经济学中的应用 PPT课件
10 10
(2) 由于平均成本为 C (Q )
C (Q )
Q
Q
10
2
160
Q
1 160 C (Q ) 2 10 Q
令C (Q ) 0，得唯一驻点Q 40.
160 C (Q ) 2 160(Q 2 ) 320 Q 3 Q 320 1 C (40) 3 0 40 200
在应用问题中解释弹性具体意义时，常常略去“近似”
二字．
例4 解
Ey Ey 求 y 4 3 x 的弹性函数 及 Ex Ex
Ey x 3x y , y 3, Ex y 4 3x
．
x2
Ey Ex
x2
3 2 0.6． 4 3 2
2、需求弹性 格P的函数：
R(Q ) 平均收益函数为 R P (Q )． Q
dR P (Q ) QP (Q )． 边际收益函数为 R dQ
其经济意义是：在已销售Q个单位商品的基 础上，再销售一个单位商品所增加的总收入。
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二、最大利润原则 设总利润为L，则
L L(Q ) R(Q ) C(Q )，
R(Q ) Q P (Q ) 10Q
Q2
5
,
2Q R(Q ) P (Q ) 10 , R(Q ) 10 , 5 5 所以当 Q 10 时，总收益、平均收益与边际收益分别为：
Q
R(10) 80, R(10) 8, R(10) 6．
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Ey x 我们称它为y f ( x)的弹性函数， y 仍为x的函数， Ex y
Ey 当x x0 时， Ex Ef ( x0 ) x0 f ( x0 ) ． Ex f ( x0 )
(2) 由于平均成本为 C (Q )
C (Q )
Q
Q
10
2
160
Q
1 160 C (Q ) 2 10 Q
令C (Q ) 0，得唯一驻点Q 40.
160 C (Q ) 2 160(Q 2 ) 320 Q 3 Q 320 1 C (40) 3 0 40 200
在应用问题中解释弹性具体意义时，常常略去“近似”
二字．
例4 解
Ey Ey 求 y 4 3 x 的弹性函数 及 Ex Ex
Ey x 3x y , y 3, Ex y 4 3x
．
x2
Ey Ex
x2
3 2 0.6． 4 3 2
2、需求弹性 格P的函数：
R(Q ) 平均收益函数为 R P (Q )． Q
dR P (Q ) QP (Q )． 边际收益函数为 R dQ
其经济意义是：在已销售Q个单位商品的基 础上，再销售一个单位商品所增加的总收入。
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二、最大利润原则 设总利润为L，则
L L(Q ) R(Q ) C(Q )，
R(Q ) Q P (Q ) 10Q
Q2
5
,
2Q R(Q ) P (Q ) 10 , R(Q ) 10 , 5 5 所以当 Q 10 时，总收益、平均收益与边际收益分别为：
Q
R(10) 80, R(10) 8, R(10) 6．
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Ey x 我们称它为y f ( x)的弹性函数， y 仍为x的函数， Ex y
Ey 当x x0 时， Ex Ef ( x0 ) x0 f ( x0 ) ． Ex f ( x0 )
微积分3-5. 导数在经济学中的应用ppt课件
解 因为 y 300e3x ，于是
Ey Ex
300e3
x
x 100e3x
3x
f (x) 0
所以
Ey Ex
x2 6
弹性的实际意义是在x 2 处当自变量改变1％时，
的函数值改变6％
18
弹性在经济学中常应用于研究需求量与价格之间的变化关系. 需求是指在一定价格条件下，消费者愿意购买并且有支付能力 购买的商品量. 商品的需求量一般与价格有关，描述需求量与价格关系的函数 称为需求函数.
加（减少） R x0 个单位。
9
例.某商品销售量 x与价格 P之间的函数关为 P 10 0.01x 。
求当销售量分别为400，500，600时的总收益和边际收益，并说明 边际收益的经济意义
解 因为总收益函数为 R(x) x P(x) 10x 0.01x2 所以，当销售量 x 400,500, 600 时的总收益分别为
弹性
因变量变动的比率 自变量变动的比率
1144
利用函数与自变量的相对改变量之比研究经济变量对另一 个经济变量变化的反应程度的方法称为弹性分析.
定义 设 y f (x) 在点 x0 量的相对增量(变化率)，y
y0
处可导，且 x0 0,
f x0 x f x0 f x0
x 为自变 x0 为函数的相
x x0
x0
x
L x表0 示产量为 时x0的边际利润，其经济意义是当产量为 x时0， 每增加（减少）一个产量，利润将增加（减少） L x0个单位.
11
由L x R x C x ，显然边际利润可由边际收益与边际成本决定. 即当 R x C x 时，L(x) 0；当 R x C x时，L(x) 0； 当 R x C x 时 ，L(x) 0
第四章 导数的应用 《经济数学》PPT课件
4.3.1
函数的极值
2) 极值的必要条件 ➢ 定理4-4 设函数f(x)在点x0处具有导数,且在点x0处取得极值,则f'(x0)=0.
• 通常称使函数f(x)的导数值为零的点为驻点.即若f'(x0)=0,则x0为驻点.因此, 可导函数的极值点必定是它的驻点,但是函数的驻点却不一定是它的极值 点.例如,对函数f(x)=x3而言,点x0=0是它的驻点.但是在定义域(-∞,+∞)内 函数是单调增加的,即在点x0=0的某个邻域内既有大于f(0)=0的值,又有小 于f(0)=0的值,所以点x0=0不是它的极值点,可见函数的驻点只是可能的极 值点.此外,函数在它的导数不存在的点处也可能取得极值.例如,我们知道函 数f(x)=|x|在点x=0处的导数是不存在的,但是在该点取得极小值.由此可知, 对于连续函数,可能成为函数极值点的,一定是函数的驻点与导数不存在的 点,我们把它叫做极值可疑点.
4. 1.Leabharlann 2 ∞/∞型未定式【例4-5】求极限lim(x→+∞) lnx/x^n (n>0). ➢ 解: lim(x→+∞) lnx/x^n =lim(x→+∞) (lnx)'/(x^n)'=lim(x→+∞) (1/x)/(nx^(n-1) )=lim(x→+∞) 1/(nx^n )=0. 【例4-6】求极限lim(x→∞) x/e^x . ➢ 解: lim(x→+∞) x/e^x =lim(x→+∞) (x)'/(e^x )'=lim(x→+∞) 1/e^x =0. 【例4-7】求极限lim(x→∞) (x^2-3x+2)/(2x^2+2x+1). ➢ 解: lim(x→∞) (x^2-3x+2)/(2x^2+2x+1)=lim(x→∞) (2x3)/(4x+2)=lim(x→∞) 2/4=1/2 .
导数在经济学中的简单应用.ppt
求销售量为30个单位时的总收益、平均收益与边际收益。
总收益： R(Q)
PQ
Q30
Q30
10
Q 5
Q
120
Q30
平均收益 R(Q)
R(Q)
120 4ຫໍສະໝຸດ Q30Q Q30 30
边际收益 R(Q)
10 2Q
2
Q30
5 Q30
11/14/2019
显然，边际利润为
L(Q) R(Q) C(Q).
11/14/2019
9
二.弹性分析
边际函数描述了函数的变化率, 为定义变化率引入了 变量的改变量概念. 在经济问题中有时仅仅考虑变量的改 变量还不够,
例如, 某商品价格上涨了 1 元, 价格的改变量为 1, 若 商品原来的价格为 10 元, 则表明商品价格上涨了 10%, 若 商品原价为 100 元, 则商品价格上涨了 1%,
12
例4 求函数 y 3e2x在 x 1处的弹性。
解
Ex
x f (x)
f
(
x)
=
x 3e 2
x
6e2x 2x
Ex x1 2
经济问题中通常要考虑的是需求与供给对价格的弹性.
11/14/2019
13
(1) 需求弹性.
设需求函数为 Q f (P),为单调减函数，故P与Q异号，
一般来说，销售 Q单位产品的总收益为销售量 Q与价格 P之
积，即
R(Q) QP QP(Q),
式中，P P(Q)是需求函数 Q Q(P)的反函数，也称需求函
数，于是有，R(Q) [QP(Q)] P(Q) QP(Q).
总收益： R(Q)
PQ
Q30
Q30
10
Q 5
Q
120
Q30
平均收益 R(Q)
R(Q)
120 4ຫໍສະໝຸດ Q30Q Q30 30
边际收益 R(Q)
10 2Q
2
Q30
5 Q30
11/14/2019
显然，边际利润为
L(Q) R(Q) C(Q).
11/14/2019
9
二.弹性分析
边际函数描述了函数的变化率, 为定义变化率引入了 变量的改变量概念. 在经济问题中有时仅仅考虑变量的改 变量还不够,
例如, 某商品价格上涨了 1 元, 价格的改变量为 1, 若 商品原来的价格为 10 元, 则表明商品价格上涨了 10%, 若 商品原价为 100 元, 则商品价格上涨了 1%,
12
例4 求函数 y 3e2x在 x 1处的弹性。
解
Ex
x f (x)
f
(
x)
=
x 3e 2
x
6e2x 2x
Ex x1 2
经济问题中通常要考虑的是需求与供给对价格的弹性.
11/14/2019
13
(1) 需求弹性.
设需求函数为 Q f (P),为单调减函数，故P与Q异号，
一般来说，销售 Q单位产品的总收益为销售量 Q与价格 P之
积，即
R(Q) QP QP(Q),
式中，P P(Q)是需求函数 Q Q(P)的反函数，也称需求函
数，于是有，R(Q) [QP(Q)] P(Q) QP(Q).
34节导数在经济中的应用
经济意义：当价格 P上升1%,需求量Q将下降0.33%.
此时降价使总收益减少，提价使总收益增加.
(2)当P 2 时， P 1,为单位弹性 .
经济意义：当价格 P上升1%,需求量Q将下降1%.
此时降价或提价对总收益没有明显影响.
(2)当P 3 时， P 3,为高弹性.
经济意义：当价格 P上升1%,需求量Q将下降3%.
试问当产量是多少时，快速食品店才获得最大利润？
解： 总收益R(x) P(x) x 60000 x x 3x x2 ,
20000 故总利润函数 L(x) R(x) C(x) 3x
x2
20000 5000 0.56 x
2.44 x x 2 5000 ,
于是L(x)
200000 2.44
经济意义：当销售量为x个单位时，多卖出一个单位的 产品，总利润要改变 L(x)个单位.
例1.设某厂每月生产产品的固定成本为100（0 元），生产x
单位产品的可变成本为0.01x2 10x（元）.如果每单位产品 的售价为30(元). 试求 :
(1)边际成本，边际收入，边际利润， 边际利润为零时的产量．
量相当于批量的一半.设每年每台库存费为c元,问批量为多少
时, 库存费与生产准备费之和最小?
解：设批量为x台，库存费与生产准备费之和为C,
则批数为 a ，生产准备费为b a , 库存费为c x ,故
C
C(x)
x
ab
cx
,
x2
x x (0, a],
则C ( x)
c 2
2
ab x2
,
得驻点x0
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
导数在经济学中应用
06:33
例 4 某产品在市场销售中，为了提高销量，降价
了 15%，结果销量增长了 18%，试问该商品的需
求弹性为多少？
Q
解
因为 p
p Q
dQ dp
，
所以 p
p Q
Q p
Q p
p
而由题设条件得 p 15% Q 18%
p
Q
所以
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
p
18% 15%
1.2
故该商品的需求弹性约为-1.2。
格），则当价格 p 有微小改变量 p 时，有
R
dR
d (Qp)
Qdp
pdQ
(1
pdQ Qdp
)Qdp
即
R (1 p )Qdp
06:33
由 p 0 知， p =– p ，于是有
R (1 p )Qdp
由此可知，当 p 1（高弹性）时，降价 (dp 0) 可使总收益增加(R 0) ，薄利多销多 受益；提价(dp 0) 将使总收益减少(R 0) ．
求弹性大小时，采用弹性的绝对值 p 。当我们说 商品的需求价格弹性大时，是指其绝对值大．
当 p 1（即 p 1）时,称为单位弹性，此时 商品需求量变动的百分比与价格变动的百分比相 等；
2.需求弹性
06:33
当 p 1（即 p 1）时，称为高弹性， 此时商品需求量变动的百分比高于价格变 动的百分比，价格的变动对需求量的影响较 大；
当 p 1（低弹性）时，降价可使总收益减
少(R 0)，提价使总收益增加．
当 p 1（单位弹性）时，总收益近似为
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R(Q ) 平均收益函数为 R P (Q )． Q
dR P (Q ) QP (Q )． 边际收益函数为 R dQ
其经济意义是：在已销售Q个单位商品的基 础上，再销售一个单位商品所增加的总收入。
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二、最大利润原则 设总利润为L，则
L L(Q ) R(Q ) C(Q )，
f (10) 20,
这表明当 x 10 时， x 改变一个单位，y 近似改变20个单位．
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2 边际成本
Q为产量，则有 C为平均成本，C 为边际成本，
总成本函数 C C (Q ) C1 C2 (Q )． 平均成本函数 C C (Q )
C (Q ) C1 C 2 (Q ) ．
第六节
第四章
导数与微分在经济学中的简单应用
一 、边际分析 二、 弹性
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复习
成本函数 、收入函数、利润函数
在生产过程中，产品的 总成本C与产量x所 构成的函数关系称为总 成本函数.记为 C C ( x) 生产某一种产品的总成 本包括固定成本和变动
成本两部分: 不随产品的产量增减而 变化的部 分称为固定成本 , 记为C 0 ; 随产品的产量增减而 变化的部分称为变动成 本，记为C1 ( x ). 于是总成本C ( x )可表示为：
L L(Q ) R(Q ) C(Q )，
L(Q ) 取得最大值的必要条件为：
L(Q ) 0,即R(Q ) C (Q )，
于是取得最大利润的必要条件是： 边际收益等于边际成本．
L(Q ) 取得最大值的充分条件是：
L(Q ) 0,即R(Q ) C (Q )，
10 10
(2) 由于平均成本为 C (Q )
C (Q )
Q
Q
10
2
160
Q
1 160 C (Q ) 2 10 Q
令C (Q ) 0，得唯一驻点Q 40.
160 C (Q ) 2 160(Q 2 ) 320 Q 3 Q 320 1 C (40) 3 0 40 200
设C为总成本，C1为固定成本， C2为可变成本，
Q
Q
Q
d C (Q ) 边际成本函数 C C (Q ) ． dQ
其经济意义是： 当产量为Q 个单位时，若再生产一个单为产品， 总成本就增加 C (Q ) 个单位。
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例2 设某产品的总成本函数为
1 2 C C (Q ) Q 2Q 160， 10
于是取得最大利润的充分条件是： 边际收益的变化率小于边际成本的变化率．
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例3 设某产品的价格与销售量的关系为 P 10
Q
5
,
成本与销售量的关系为 C 50 2Q ． (1)求销售量为10时的总收益、平均收益与边际收益； (2)求产量为多少时总利润L最大？
解 (1)因为总收益、平均收益与边际收益函数分别为：
(2) 因为成本函数为 C (Q ) 50 2Q，
或 L L( p) R( p) C ( p)
当L(Q* ) 0时，称Q*为盈亏临界点
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一、边际分析
1 边际函数 设函数 y f ( x ) 可导， 称导函数 f ( x ) 为边际函数．
称
f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim x 0 x
收入函数 收益函数：生产者出售一定数量的产品所得 到的全部收入。
它是销量与价格的乘积 R=p*Q ,
其中 p---产品的价格，Q ---销售量
注
R QP f ( P ) P 1 R QP f (Q )Q
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利润函数 由经济理论知：利润=收益-成本
当市场均衡时，销售量 与产量相等，均用 Q表示， 则利润函数为: L L(Q ) R(Q ) C (Q )
R(Q ) Q P (Q ) 10Q
Q2
5
,
2Q R(Q ) P (Q ) 10 , R(Q ) 10 , 5 5 所以当 Q 10 时，总收益、平均收益与边际收益分别为：
Q
R(10) 80, R(10) 8, R(10) 6．
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C ( x) C0 C1 ( x)
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成本函数
当产量x 0时的总成本就是固定成 本，有 C (0) C 0
均摊在单位产量上的成 本称为平均单位成本， 简称平均成本 . 记为：
注意
C ( x) C ( x) x
平均成本函数一般不是单调函数.
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求 (1)Q =10时的总成本 、平均成本和边际成本； (2) 最低平均成本及相应的产量．
102 2 10 160 190 解 (1)Q =10时的总成本 C (10) 10
平均成本 C (10) C (10) 190 19
1 因边际成本函数 C (Q ) Q 2， 5 1 故Q =10时的边际成本 C (10) 10 2 4. 5
40 160 10． 最低平均成本为 C (Q ) 2 10 40
1 2 C (Q ) Q 2Q 160， 10
3 边际收益（边际收入） 设某种产品的价格为P，销售量为Q，则该产品的销售
总收益为R =QP， 如果已知销售量Q与价格P之间的函 数关系（即需求函数）为 P P (Q ), 则 总收益函数为 R R(Q) QP QP (Q )．
为函数 y f ( x) 在点 x0 处的瞬时变化率， 也称函数 y f ( x) 在点 x0 处的边际函数值.
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2 例1 设函数 y f ( x) x 求y在 x 10 时的边际函数值．
解 因为 f ( x ) 2 x ,
所以 x 10 时的边际函数值
dR P (Q ) QP (Q )． 边际收益函数为 R dQ
其经济意义是：在已销售Q个单位商品的基 础上，再销售一个单位商品所增加的总收入。
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二、最大利润原则 设总利润为L，则
L L(Q ) R(Q ) C(Q )，
f (10) 20,
这表明当 x 10 时， x 改变一个单位，y 近似改变20个单位．
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2 边际成本
Q为产量，则有 C为平均成本，C 为边际成本，
总成本函数 C C (Q ) C1 C2 (Q )． 平均成本函数 C C (Q )
C (Q ) C1 C 2 (Q ) ．
第六节
第四章
导数与微分在经济学中的简单应用
一 、边际分析 二、 弹性
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复习
成本函数 、收入函数、利润函数
在生产过程中，产品的 总成本C与产量x所 构成的函数关系称为总 成本函数.记为 C C ( x) 生产某一种产品的总成 本包括固定成本和变动
成本两部分: 不随产品的产量增减而 变化的部 分称为固定成本 , 记为C 0 ; 随产品的产量增减而 变化的部分称为变动成 本，记为C1 ( x ). 于是总成本C ( x )可表示为：
L L(Q ) R(Q ) C(Q )，
L(Q ) 取得最大值的必要条件为：
L(Q ) 0,即R(Q ) C (Q )，
于是取得最大利润的必要条件是： 边际收益等于边际成本．
L(Q ) 取得最大值的充分条件是：
L(Q ) 0,即R(Q ) C (Q )，
10 10
(2) 由于平均成本为 C (Q )
C (Q )
Q
Q
10
2
160
Q
1 160 C (Q ) 2 10 Q
令C (Q ) 0，得唯一驻点Q 40.
160 C (Q ) 2 160(Q 2 ) 320 Q 3 Q 320 1 C (40) 3 0 40 200
设C为总成本，C1为固定成本， C2为可变成本，
Q
Q
Q
d C (Q ) 边际成本函数 C C (Q ) ． dQ
其经济意义是： 当产量为Q 个单位时，若再生产一个单为产品， 总成本就增加 C (Q ) 个单位。
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例2 设某产品的总成本函数为
1 2 C C (Q ) Q 2Q 160， 10
于是取得最大利润的充分条件是： 边际收益的变化率小于边际成本的变化率．
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例3 设某产品的价格与销售量的关系为 P 10
Q
5
,
成本与销售量的关系为 C 50 2Q ． (1)求销售量为10时的总收益、平均收益与边际收益； (2)求产量为多少时总利润L最大？
解 (1)因为总收益、平均收益与边际收益函数分别为：
(2) 因为成本函数为 C (Q ) 50 2Q，
或 L L( p) R( p) C ( p)
当L(Q* ) 0时，称Q*为盈亏临界点
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一、边际分析
1 边际函数 设函数 y f ( x ) 可导， 称导函数 f ( x ) 为边际函数．
称
f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim x 0 x
收入函数 收益函数：生产者出售一定数量的产品所得 到的全部收入。
它是销量与价格的乘积 R=p*Q ,
其中 p---产品的价格，Q ---销售量
注
R QP f ( P ) P 1 R QP f (Q )Q
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利润函数 由经济理论知：利润=收益-成本
当市场均衡时，销售量 与产量相等，均用 Q表示， 则利润函数为: L L(Q ) R(Q ) C (Q )
R(Q ) Q P (Q ) 10Q
Q2
5
,
2Q R(Q ) P (Q ) 10 , R(Q ) 10 , 5 5 所以当 Q 10 时，总收益、平均收益与边际收益分别为：
Q
R(10) 80, R(10) 8, R(10) 6．
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C ( x) C0 C1 ( x)
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成本函数
当产量x 0时的总成本就是固定成 本，有 C (0) C 0
均摊在单位产量上的成 本称为平均单位成本， 简称平均成本 . 记为：
注意
C ( x) C ( x) x
平均成本函数一般不是单调函数.
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求 (1)Q =10时的总成本 、平均成本和边际成本； (2) 最低平均成本及相应的产量．
102 2 10 160 190 解 (1)Q =10时的总成本 C (10) 10
平均成本 C (10) C (10) 190 19
1 因边际成本函数 C (Q ) Q 2， 5 1 故Q =10时的边际成本 C (10) 10 2 4. 5
40 160 10． 最低平均成本为 C (Q ) 2 10 40
1 2 C (Q ) Q 2Q 160， 10
3 边际收益（边际收入） 设某种产品的价格为P，销售量为Q，则该产品的销售
总收益为R =QP， 如果已知销售量Q与价格P之间的函 数关系（即需求函数）为 P P (Q ), 则 总收益函数为 R R(Q) QP QP (Q )．
为函数 y f ( x) 在点 x0 处的瞬时变化率， 也称函数 y f ( x) 在点 x0 处的边际函数值.
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2 例1 设函数 y f ( x) x 求y在 x 10 时的边际函数值．
解 因为 f ( x ) 2 x ,
所以 x 10 时的边际函数值