第三章 光学成像系统的传递函数

2 2
U ( x, y )
j q
1
U 1 ( x ' , y ' ) exp[ jk
0
2f
] exp[ jk
2q
]dx ' dy '
§ 2. 透镜的傅里叶变换 b.透镜的傅里叶变换特性
U 1 ( x' , y' ) A0 jλd 0

0
t ( x 0 , y 0 ) exp[ jk
2
2q
]dx ' dy '
( f d 0 )( x y ) f ( x0 x y0 y ) ~ U ( x , y ) C ' exp{ jk } t ( x 0 , y 0 ) exp[ jk ] dx 0 dy 0 0 2 [ q ( f d 0 ) fd 0 ] q ( f d 0 ) fd 0
~ U ( x , y ) C '
0
此时物体的复振幅透过率与衍射光场的复振幅分 布存在准确的傅里叶变换关系
§ 2. 透镜的傅里叶变换
b.透镜的傅里叶变换特性
( f d 0 )( x y ) f ( x0 x y0 y ) ~ U ( x , y ) C ' exp{ jk } t ( x 0 , y 0 ) exp[ jk ] dx 0 dy 0 0 2 [ q ( f d 0 ) fd 0 ] q ( f d 0 ) fd 0
o o o o o o o
dU 1 ( x o , y o ; x , y )
1 jλd o
exp[ jk
( x xo ) ( y yo )
2
2
2d o
]
§3.相干照明衍射受限系统的点扩散函数 由于透镜具有一定大小，引入孔径函数p(x,y) 考虑透镜的相位变换特性,则后平面的复振幅：
2 2
t ( x , y ) exp[ j
k 2f
( x y )]
2 2
1 p

1 q

1 f
§2. 透镜的傅里叶变换 b.透镜的傅里叶变换特性 在旁轴近似条件下： 光源s到达物面的光场
A0 exp[ jk x0 y0
2 2
2( p d 0 )
]
透过物面的光场
A0 t ( x 0 , y 0 ) exp[ jk
dU 1 ' ( x o , y o ; x , y ) p ( x , y ) exp( jk

x y
2
2
透镜后的观察面呈菲涅耳衍射，所以：
h ( xo , y o ; xi , y i )
1 exp[ jk
2f
) dU 1 ( x o , y o ; x , y )
( xi x ) ( y i y )
U 1 ( x' , y' ) A0 jλd 0
x0 y0
2
2
2( p d 0 )
]
2
则：
2

t ( x 0 , y 0 ) exp[ jk
0
x0 y0
2( p d )
exp[ jk
( x' x 0 ) ( y' y 0 )
2
2
2d 0
] dx 0 dy 0
§2. 透镜的傅里叶变换

M δ ( x i ~ 0 , y i ~o ) x y
即为理想光学系统的点物成点像定理
§3.相干照明衍射受限系统的点扩散函数 c.衍射受限系统的点扩散函数 当不考虑系统的几何像差，仅仅考虑系统的 衍射限制时的情况。 无论系统多么复杂，均可从系统分析角度， 简化为： 阿贝认为系统 衍射限制主要 由入瞳引起。 瑞利认为系统 衍射限制主要 由出瞳引起。
j 2π λd i
[( x i ~ 0 ) x ( y i ~o ) y ]} dxxy x y

作变换：
~ x
x λd i

;~ y
y λd i
h ( x i ~ o , y i ~o ) M x y

p ( λ d i ~ , λ d i ~ ) exp{ j 2 π [( x i ~ 0 ) ~ ( y i ~o ) ~ ]} d ~ d~ x y x x y y x y

一般可定性 地理解： 点扩散函数 是出瞳函数 的傅氏变换
§4.相干照明衍射受限系统的成像规律 a.物平面光场的函数表述：

U ( xo , yo )
U ( α , β )δ ( x

o
α , y o β )d α d β
b.理想光学成像光场与实际光学成像光场的关系 1.实际光学成像系统
xi di
xo do
)x (
yi di
yo do
) y ]} dxdy
§3.相干照明衍射受限系统的点扩散函数 考虑到观察光强,并利用放大率
h( x o , y o ; x i , y i ) 1 λ d od i
2
M
di do
公式,简化:

p ( x , y ) exp{
j 2π λd i



p ( x , y ) exp[ j

2
2 di
2

)( x y )] exp{ jk [(

)x (
yi di

yo do

) y ]} dxdy
1
dodi
2
exp[ jk
xo y o 2d o
] exp[ jk
xi y i 2di
2
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]


p ( x , y ) exp{ jk [(
§2.透镜的傅里叶变换 a.透镜的相位变换作用 系统分析： 引入透镜的复振幅透过率函数
t( x , y ) U1( x , y ) U1( x , y )
k
'
几何光学 波动光学
在旁轴近似条件下：
2p k 2 2 U '1 ( x , y ) A exp( jkq ) exp[ j ( x y )] 2q k 2 1 1 2 则：t ( x , y ) exp[ jk ( q p ) exp[ j 2 ( x y )( p q )] U 1 ( x , y ) A exp( jkp ) exp[ j ( x y )]
U i ( x i , y i ) L { U o ( x o , y o )}

L{

U
o
o
( α , β ) δ ( x o α , y o β )d α d β }

U

( α , β ) L { δ ( x o α , y o β )}d α d β ( α , β ) h ( x i M α , y i M β )d α d β

即为点扩散函数
§3.相干照明衍射受限系统的点扩散函数 当透镜孔径远远大于 此时：

λ d i 时，可作近似：
p ( λd i ~ , λd i ~ ) 1 x y
h ( x i ~ o , y i ~o ) M x y

exp{ j 2 π [( x i ~ 0 ) ~ ( y i ~o ) ~ ]} d ~ x~ x x y y x y
2 2
2.当d0=0时
x x y0 y x y ~ U ( x , y ) C ' exp{ jk } t ( x 0 , y 0 ) exp( jk 0 dx 0 dy 0 0 2q q
2 2
如果令
ξ
x λq
;η
2
y λq
2
上式可写成：
x y ~ U ( x , y ) C ' exp{ jk } t ( x 0 , y 0 ) exp[ j 2 π ( x 0 ξ y 0 η )] dx 0 dy 0 0 2q


U

o

1 M
2
U

o
(
~ xo M
,
~ yo M
) h ( x i ~ o , y i ~ o )d ~ o d~ o x y x y
§4.相干照明衍射受限系统的成像规律 2.理想光学成像系统
U g ( xi , yi ) Kλ d i M
2 2 2
Uo(
xi M
物体放在透镜的后方时，可得到同样结果
§ 2. 透镜的傅里叶变换 b.透镜的傅里叶变换特性
( f d 0 )( x y ) f ( x0 x y0 y ) ~ U ( x , y ) C ' exp{ jk } t ( x 0 , y 0 ) exp[ jk ] dx 0 dy 0 0 2 [ q ( f d 0 ) fd 0 ] q ( f d 0 ) fd 0
,
yi M
)
3.二者之间的关系 ~ x y 设： h ( x ~ , y ~
i o i
o
)
1 Kλ d i
此时物体的复振幅透过率与衍射光场的复振幅分 布存在傅里叶变换关系，但多了一个二次位相因 子 exp( jk x 2q y ) ，表明具有缩放功能。
2 2
§3.相干照明衍射受限系统的点扩散函数 a.点扩散函数的定义 当物面元的光振动为单位脉冲即函数时，像 面光场分布函数就称为系统的点扩散函数， 也叫脉冲响应，常用 h(xo,yo；xi,yi)来表示。 b.透镜的点扩散函数 我们研究在相干照明下．一个消像差的正 薄透镜对透明物成实像的情况． 当 U ( x ' , y' ) δ ( x x' , y y' )时 透镜前平面(x,y)处的光场复振幅
0
x0 y0
2
2
2( p d )
exp[ jk
( x' x 0 ) ( y' y 0 )
2
2
2d 0
] dx 0 dy 0
2
U ( x, y )
j q
1
U 1 ( x ' , y ' ) exp[ jk
2 2
x' y'
2
2
2f
] exp[ jk
( x x' ) ( y y' )
[( x i Mx 0 ) x ( y i My o ) y ]} dxdy

~ Mx ; ~ My x yo 设： o 考虑近似线性平移不变性则： o o
h ( x i ~ o , y i ~o ) x y 1 λ d od i
2

p ( x , y ) exp{
2 2
1.当d0=f 时 如果令 ξ
~ U ( x , y ) C '
0
t ( x 0 , y 0 ) exp[ jk
( x0 x y0 y ) f
] dx 0 dy 0
x λf
;η
y λf
上式可写成：
t ( x 0 , y 0 ) exp[ j 2 π ( x 0 ξ y 0 η )] dx 0 dy 0
2 2
exp( jkd i ) j d i
2 2
dU '

1
( x o , y o ; x , y ) exp[ jk
2
2d i
]dxdy
xo y o 2d o k ( 1
dodi
2
] exp[ jk 1 do 1 f
2
xi y i
2
2d i
2 2
] xi di xo do
b.透镜的傅里叶变换特性 考虑光瞳大小的影响：
1 p( x , y ) 0
光瞳内 光瞳外
考虑透镜的相位 变换因子：
U 1 ( x' , y' ) U 1 ( x' , y' ) exp[ jk
'
x' y'
2
2
2f
x' y'
2 2
]
光源s 的共轭面s’上：
( x x' ) ( y y' )
§3.相干照明衍射受限系统的点扩散函数 c.衍射受限系统的点扩散函数 将光学系统的出瞳函数替代薄透镜的光瞳函 数，并用出瞳到像面之间的距离替代薄透镜 的像距，则衍射受限系统的点扩散函数为：

h ( x i ~ o , y i ~o ) M x y

p ( λ d i ~ , λ d i ~ ) exp{ j 2 π [( x i ~ 0 ) ~ ( y i ~o ) ~ ]} d ~ d~ x y x x y y x y
第三章
Transfer Function of Optical Imaging System
光学成像系统的传递函数
§ 1. 评定光学成像系统的主要方法 a.星点法 用点光源经过光学成像系统所产生的像斑特 征来评定。 定性评定、主观因素很大 b.分辨率法 用系统能分辨出景物最小尺寸的能力来评定 从定性到定量、信息量较小、 不能全面评价、主观因素较大 c.光学传递函数法 从空域到频域，通过研究光学系统的频域特 性来评价光学系统像质 定量、信息量大、全面评价、客观评价、 计算复杂 计算机技术解决了这一问题