能带理论(3)(紧束缚近似)

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在紧束缚态近似下，
E(k) i J0
J (Rs )eik.Rs
Rs 近邻
分裂的原子能级过渡成能带
• N个相同孤立 原子的分裂能 级，N重简并
• 原子靠近形成 晶体，简并能 级相互作用， 分裂形成能带
• 能带图上，不 同的N个k的 能级形成能带
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• 带宽取决于J，J积分取决于波函数交叠的多少 • 波函数交叠？波函数分布形状？ • 内层电子分布区域大还是小？组成晶体后，能带宽
能带计算方法物理思想
• 各种能带计算方法基本上可分为
* 对晶体势场V(r)的不同近似 * 对组成晶体电子波函数的基函数的不同选取
• 根据不同的研究对象、根据计算条件作取舍 • 能带计算方法从构成晶体波函数的基函数上可
分成两大类：
* 紧束缚近似 * 近自由电子近似
• 两类近似的物理思想不同
近自由电子近似
把孤立原子的势场看成零级近似，而原子间相互作用看成微扰， 这种微扰是N重简并微扰，微扰后的状态是N个简并态的线性 组合。
(r) ami (r Rm )
m
代入晶体运动方程，得
am i U (r) V (r Rm )i (r Rm )
m
E ami (r Rm )
m
可以近似认为
i*(r Rm )i (r Rn )dr nm
2 2m
2
V
(r
Rm
)i
(r
Rm
)
ii
(r
Rm
)
（1）
V(r-Rm)为Rm格点的原子势场，i 为原子能级。
晶体中电子运动的波动方程为
2 2m
2
U
(r)
(r)
E
(r)
U(r)为周期势场，它是各格点原子势场之和。
在紧束缚态近似中，方程（1）看成0级近似，把
看成微扰。
U (r) V (r Rm )
i*(r Rm) 左乘，积分得到
ian i*(r Rm )U (r) V (r Rm )i (r Rm )dr
Ean
am i*(r Rm )U (r) V (r Rm )i (r Rm )dr m
引入变量
r Rm
(E i )an
考虑到U(r)为周期函数，即 上面方程中的积分式变为
• 因J > 0，能带的最小值在 k 0,0,0
• 能带底的值为 • 能带的最大值在，
Emin s J 0 6J1
k 1, 1, 1
a
• 能带顶的值为
Emax s J0 6J1
• 能带宽度为 E Emax Emin 12J1
谢谢观看！ 2020
近自由电子近似认为晶体电子仅受晶体势场 很弱的作用，只是微扰。因此其晶体电子行 为与空晶格模型(自由电子)相差不大，可以用 自由电子波函数(平面波)的线形组合来构成晶 体电子波函数。
紧束缚近似
紧束缚近似认为晶体电子好象孤立原子的电 子一样紧紧束缚在该原子周围，与其周围的 束缚在其他原子上的电子仅有很小的相互作 用，因此，可以用孤立原子的电子波函数构 成晶体波函数，并且只考虑与紧邻原子的相 互作用
最近邻 eikRs eikxa eikxa eik ya eik ya eikza eikza Rs 2 cos kxa cos k ya cos kza
E(k ) s J0 2J1 cos kxa cos k ya cos kza
E(k ) s J0 2J1 cos kxa cos k ya cos kza
U (r) U (r Rm )
i* (Rn Rm )U ( ) V ( )i ( )d J (Rn Rm )
am J (Rn Rm ) (E i )an
m
令
am Ceik .Rm
代入上面方程
E i
J (Rn
R )eik .(Rm Rn ) m
J (Rs )eik.Rs
还是窄？相同原子层的相互作用大还是小？ • 这种近似成立的条件是微扰的作用远小于能级差，
能带宽度可以大致反映原子态之间相互作用的强弱
例：简单立方s电子的紧束缚能带
• 对处于原点的原子，有六个最 近邻：
R (a, 0, 0), (a, 0, 0), (0, a, 0), (0, a, 0), (0, 0, a), (0, 0, a)
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• 晶体电子共有化与紧束缚思想矛盾？共有化在 紧束缚态近似方法中如何体现？
• 紧束缚态近似用局域波函数和周期性的相因子 来构成满足Bloch函数的基函数
• 近自由电子用平面波基函数是自然的，因为平 面波本身就是非局域的，本身就是调幅为常数 的Bloch函数！
紧束缚态近似——原子轨道线性组合法
电子在一个原子附近运动时，将主要受到该原子场的作用，把 其他原子场的作用看成微扰，这就是紧束缚态近似。
如果完全不考虑原子之间来自百度文库相互作用，设某格点
Rm m1a1 m2a2 m3a3
在该格点附近运动的电子以原子束缚态 i (r Rm )
的形式环绕Rm运动。i 表示孤立原子的波动方程的本征态，