人教版七年级上余角和补角
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人教版数学七年级上册_4.余角和补角课件
课时小结
同角（等余角角）性的质余角相等 同角（补等角角性）质的补角相等 用代数（一方个程思）想思想解决几何问题
作业
《学习之友》P80 课后作业T1、2
３、若∠Ａ＝∠Ｂ，且∠Ａ＋∠１＝１８０°，
∠Ｂ＋∠２＝１８０°，则___∠__1_=___∠_2__。 ４、∵∠１＋∠２＝１８０°，∠１ ＋∠３＝ １８０°
∴___∠__2_=___∠_3__。
勇攀高峰
.
∠１，∠２都是∠３的补角，根据__同__角__的_补__角__相__等___
得∠１＝∠２。
拓展：
已 学
2、余角的定义：
再现余两角个，角简的称和互等余于，9即0°其（中直一角个）角，是就另说一这个两角个的角余互角为。
A
1
2
O
D
几何语言表示 为∵ ∠2互余，∴ ∠1+∠2=90°.或∠1=90°-∠2.
已
学
再 角的互补（或互余）关系，是角的什么关系
课前寄语
如果要挖井， 就要挖到水出为
止。
已 学
1、补角的定义：
再
两个角的和等于180°（平角），就说这两
现 个角互为补角，简称互补，即其中一个角是另一
个的补角。
2 1
几何语言表示 为∵ ：∠1+∠2=180°，∴ ∠1与∠2互补。
定义性 质∵ ：∠1与∠2互补，∴ ∠1+∠2=180°.或∠1=180°-∠2.
21
4
3
补角结性质：论同：角等同（角等的角补）角的相补角等相等
仿照以上余角结论的证明，大家尝试着完成这个结论的证明
牛刀小试
１、若∠１＋∠２＝ 90 °，∠１＋∠３＝90°，
则___∠_2_=___∠_3____。 ２、若∠１＋∠２＝９０°，∠３＋∠４＝９０°
人教版七年级上册数学余角和补角
一、概述二、余角和补角的概念和性质1. 余角的定义2. 余角的性质3. 补角的定义4. 补角的性质三、余角和补角在解题中的应用1. 实例分析四、余角和补角的相关习题与解析五、总结概述数学作为一门基础学科，具有广泛的应用价值和重要的理论基础。
在初中数学的学习过程中，余角和补角作为常见的概念，对于学生来说可能有一定的难度。
本文将就人教版七年级上册数学中的余角和补角进行深入的解析，帮助学生更好地掌握这一知识点。
余角和补角的概念和性质1. 余角的定义在平面直角坐标系中，两个角的和为90°，则称这两个角为余角。
余角可以用符号表示，假设角A和角B为余角，则可以表示为A+B=90°。
2. 余角的性质余角的性质包括以下几点：① 两个互余角的和为90°；② 余角的关系是对称的，即如果角A是角B的余角，那么角B也是角A的余角；③ 一个角与其余角之差为90°。
3. 补角的定义在平面直角坐标系中，两个角的和为180°，则称这两个角为补角。
补角也可以用符号表示，假设角A和角C为补角，则可以表示为A+C=180°。
4. 补角的性质补角的性质包括以下几点：① 两个互补角的和为180°；② 补角的关系是对称的，即如果角A是角C的补角，那么角C也是角A的补角；③ 一个角与其补角之差为90°。
余角和补角在解题中的应用在数学解题中，余角和补角的概念经常被用到。
在解方程和证明等过程中，都可能涉及到余角和补角的相关知识。
下面通过实例分析来展示余角和补角在解题中的应用。
实例分析例1：已知角A的余角是30°，求角A的度数。
解：根据余角的定义和性质，可以得出A+30=90，解方程得到A=60。
角A的度数为60°。
例2：已知角B的补角是120°，求角B的度数。
解：根据补角的定义和性质，可以得出B+120=180，解方程得到B=60。
角B的度数为60°。
人教版数学七年级上册4.余角和补角课件
16 ． (8 分 ) 如 图 ， 已 知 直 线 AB 和 CD 相 交 于 点 O ， OM 平 分 ∠ BOD ， ON⊥OM，∠AOC＝50°. (1)求∠AON的度数； (2)写出∠DON的余角．
解：(1)65° (2)∠DOM，∠MOB
17．(10分)如图，AB是一条直线，OC是一条射线，∠AOC＝2∠AOF， ∠BOC＝2∠BOE. (1)∠1与∠2互余吗？
解：如图：
19．(12分)如图甲所示，∠AOB，∠COD都是直角． (1)试猜想∠AOD与∠COB在数量上是相等、互余、还是互补的关 系，你能用推理的方法说明你的猜想是否成立吗？ (2)当∠COD绕点O旋转到图乙的位置时，你本来的猜想还成立吗？
方位的表示方法
在表示方向时，要先在观测点画出方位图，然后测量出角度并在图 上表示出来，注意表示时要先写北还是南，再写偏东或偏西，偏多
少度，如图4－3－28，OA是表示北偏东30°的 一条射线，OB是表示南偏西50°的一条射线； 特别地，射线OC表示北偏西45°可写成西北 方向，OD表示东南方向.
例题
小结
1. 余角和补角的定义：
如果两个角的和等于
，就说这两个角互为余角；如果两个
角的和为
，就说这两个角互为补角.
2. 余角和补角的性质： 同角(等角)的补角________，同角(等角)的余角_________．
3. 如图，O是直线AB上的点，OC是∠AOB的平分线． (1)∠AOD的补角是__∠__B_O__D___，余角是__∠__C_O__D__； (2)∠DOB的补角是__∠__A__O_D_____． 4. 已 知 ∠ α ＝ 20° ， 则 ∠ α 的 余 角 为 _______70，° ∠ α 的 补 角 为 ______1_6_0．° 5. ∠A的补角为130°，则∠A的余角为________4．0°
人教版七年级数学上册4.余角和补角课件
∠的补角是（180 °—∠ ）
5、如图，O是直线AB上一点，OC是∠AOB的平分线 ①∠AOD的补角是_____∠__B_O_D___ ②∠AOD的余角是____∠__C__O_D___ ③∠DOB的补角是_____∠__A_O__D__
2
13
3
3
3
4
∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1=∠3，那么∠2 与∠4相等吗？为什么？
x
∠α的余角
85°
58° 45° 13°
27°37′ 90° x
∠α的补角
175°
148°
135°
103°
117°37′ 180° x
从上面这张表格中,你还能得到什么信息?
若一个角的补角等于它的余角的3倍，求这 个角的度数。
1.
对应图形 数量关系 性质
互为余角
互为补角
1 2
21
∠1+ ∠2 = 90 ° ∠1+ ∠2 = 180 °
14
4
4
4
2
3
∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果∠1=∠3，那么∠2与 ∠4相等吗？为什么？
分析:由∠1与∠2互余,可得∠2=90°-_____ ∠1
由∠3与∠4互余,可得∠4=90°-_____ ∠3
答:因为∠1=∠3, 这就是∠2=∠4
所以90°-∠1= 90°-∠3,
等角的余角相等
分析:由∠1与∠2互补,可得∠2=180°-_____∠1
北
B
D
北
40°
东
西O 60°
A
东
西O 60°
A
南 C南
一艘渔船从O 点沿北偏东30°的方向以8千米/时的速度 行驶3小时到达A 处后，接到风浪警报，欲立即调头以16 千米/时的速度向正西方向行驶，争取1.5小时到达小岛B 处.A、B两处的距离是多少？B处在O点北偏西多少度？ O、B两点的距离是多少？
5、如图，O是直线AB上一点，OC是∠AOB的平分线 ①∠AOD的补角是_____∠__B_O_D___ ②∠AOD的余角是____∠__C__O_D___ ③∠DOB的补角是_____∠__A_O__D__
2
13
3
3
3
4
∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1=∠3，那么∠2 与∠4相等吗？为什么？
x
∠α的余角
85°
58° 45° 13°
27°37′ 90° x
∠α的补角
175°
148°
135°
103°
117°37′ 180° x
从上面这张表格中,你还能得到什么信息?
若一个角的补角等于它的余角的3倍，求这 个角的度数。
1.
对应图形 数量关系 性质
互为余角
互为补角
1 2
21
∠1+ ∠2 = 90 ° ∠1+ ∠2 = 180 °
14
4
4
4
2
3
∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果∠1=∠3，那么∠2与 ∠4相等吗？为什么？
分析:由∠1与∠2互余,可得∠2=90°-_____ ∠1
由∠3与∠4互余,可得∠4=90°-_____ ∠3
答:因为∠1=∠3, 这就是∠2=∠4
所以90°-∠1= 90°-∠3,
等角的余角相等
分析:由∠1与∠2互补,可得∠2=180°-_____∠1
北
B
D
北
40°
东
西O 60°
A
东
西O 60°
A
南 C南
一艘渔船从O 点沿北偏东30°的方向以8千米/时的速度 行驶3小时到达A 处后，接到风浪警报，欲立即调头以16 千米/时的速度向正西方向行驶，争取1.5小时到达小岛B 处.A、B两处的距离是多少？B处在O点北偏西多少度？ O、B两点的距离是多少？
6.3.3 余角和补角 课件 人教版数学七年级上册
∴∠BOC+∠AOE=90°.
∵∠BOC∶∠AOE=3∶1,
∴∠BOC= ×90°=67.5°.
又∵∠BOD=90°,
∴∠COD=90°-67.5°=22.5°.
(2)图中有哪几对角互为余角?
(2)∠COB与∠COD,∠COB与∠AOE,
∠DOE与∠COD,∠DOE与∠AOE.
(3)图中有哪几对角互为补角?
3.若一个角的余角是它的补角的 ,则这个角的补角是
( D )
A.30° B.60° C.120° D.150°
4.(1)已知∠α=24°30',则它的余角等于
65°30' ;
(2)一个角的余角比这个角的补角的 还小10°,求这个
Байду номын сангаас
角的余角及这个角的补角.
解:设这个角为x°,则这个角的余角为(90-x)°,这
∴∠BOE=∠COE+∠BOC=54°+72°=126°.
因为∠1+∠2=90°,
∠3+∠2=90°,
所以∠1=∠3.
等角的补角相等:
因为∠1+∠2=180°,
∠3+∠4=180°,
∠1=∠3,
所以∠2=∠4.
注意:①互余、互补指的是两个角的数量关系,互余、
互补的两个角只与它们的和有关,而与它们的位置无
关.
②一般地,锐角α的余角可以表示为(90°-α),一个
(3)∠AOC与∠BOC,∠AOC与∠DOE,
∠AOE与∠BOE,∠DOC与∠BOE,
∠AOD与∠BOD,∠AOD与∠EOC,
∠BOD与∠EOC.
∵∠BOC∶∠AOE=3∶1,
∴∠BOC= ×90°=67.5°.
又∵∠BOD=90°,
∴∠COD=90°-67.5°=22.5°.
(2)图中有哪几对角互为余角?
(2)∠COB与∠COD,∠COB与∠AOE,
∠DOE与∠COD,∠DOE与∠AOE.
(3)图中有哪几对角互为补角?
3.若一个角的余角是它的补角的 ,则这个角的补角是
( D )
A.30° B.60° C.120° D.150°
4.(1)已知∠α=24°30',则它的余角等于
65°30' ;
(2)一个角的余角比这个角的补角的 还小10°,求这个
Байду номын сангаас
角的余角及这个角的补角.
解:设这个角为x°,则这个角的余角为(90-x)°,这
∴∠BOE=∠COE+∠BOC=54°+72°=126°.
因为∠1+∠2=90°,
∠3+∠2=90°,
所以∠1=∠3.
等角的补角相等:
因为∠1+∠2=180°,
∠3+∠4=180°,
∠1=∠3,
所以∠2=∠4.
注意:①互余、互补指的是两个角的数量关系,互余、
互补的两个角只与它们的和有关,而与它们的位置无
关.
②一般地,锐角α的余角可以表示为(90°-α),一个
(3)∠AOC与∠BOC,∠AOC与∠DOE,
∠AOE与∠BOE,∠DOC与∠BOE,
∠AOD与∠BOD,∠AOD与∠EOC,
∠BOD与∠EOC.
人教版初中数学七年级上册第四章4.3.3余角和补角
O
60°
上发现了客轮B.仿照表示灯塔方位的方法，
A
画出表示客轮B方向的射线.并说出你是怎样画出的.
②同时在它南偏西10°、西北（北偏西45°）方向上又分 别发现了货轮C和海岛D.请再画出表示货轮C和海岛D方向的射 线.
如图，A地和B地都是海上观测站，从A地发现它的北偏东 60°方向有一艘船，同时，从B地发现这艘船 在它的北偏东30°方向，你能从图中确定这艘船的位置吗？
练习 ： 看谁答得快:
∠α
∠α 的余角
∠α 的补角
30° 54° 90°
62°23′
ⅹ
60 °
150 °
36 °
126 °
00
另 比余外角：大同，（等并9）且0 °角大的90补°角
27 ° 37 ′
117 ° 37 ′
90 x
同一个角的余角和补角什么关系？
1、动手画一画:
1）已知∠α(如图)，请利用三角板画的∠α的余角
样的角称为方位角.
方位角的表示习惯上以正北、正南方向为基准来描述物体 的方向． 即用“北偏东多少度”“北偏西多少度” 或者“南偏东多少度”“南偏西多少度”来表示方向．
北 西北
西 O
西南 南
东北 东 东南
北
30°
西
东
O 60°
南
北例4：如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A
在它南偏东60°方向上. ①在它北偏东40°方向
性质3：等角的补角相等
如图,∠1与∠2互余， ∠3与∠4互余，并且∠1= ∠3，
2
1
3
4
请问：∠ 2与∠4相等吗?为什么？你还能得出什么结论？
答：相等。
∵∠1与∠2互余，可得∠2=90°- ∠1 ； 又∠3与∠4互余，可得∠4=90°- ∠3； 且∠1= ∠3，所以90°- ∠1=90°- ∠3 ； ∴∠2= ∠4
数学人教版七年级上册余角补角概念和性质
P139： 习题4.3 第7、13题。
1
互余、互补是两角之间的数量关系，只 与他们的度数和有关，与位置无关。 互余、互补概念中的角是成对出现的。
角 的余角是 90 ，补角是 180 , 同一个锐角的补角比余角大 90o。 只有锐角才有余角。 一个角的余角（补角）有多个。 9 0 。 同角（等角）的补角相等； 同角（等角）的余角相等。
如图∠AOC=∠BOC=∠DOE=90°，则 ∠2 ,∠4 （1） 图中与∠3互余的角是_________, （2） 图中与∠4互余的角是∠ _________, 3 ,∠1 ∠BOD （3） 图中有与∠3互补的角吗?_________.
D C E 1 A 2 3 4 O
B
若一个角的补角等于它的 余角的4倍，求这个角的余角 是多少度？
2
3
4 5
6
思考题： 如图，A，O，B在同一直线上,
射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，
图中哪些角互余？ D
C
E
A o B
小结:
本节课你有什么收获？ 还有什么疑问？
互余
互补
两角间 1 2 9 0 1 2 1 8 0 的数量 1 1 8 0 2 ) ( 1 9 0 2 )( 关系
对应 图形 性质 同角或等角的 余角相等 同角或等角的 补角相等
作业：
1
3
2
4
余角性质：
同角或等角的余角相等
三、练一练
如图两堵墙围一个角 AOB ，但人 不能进入围墙，我们如何去测量这个角的 大小呢？
A
α
动动脑 C
O B
认真观察下面的图形，回答下列问题： C （1）图中有哪几对互余的角？ ∠A与∠B互余 2 1 ∠A与∠2互余 ∠1与∠B互余 B D ∠1与∠2互余 A （2）图中哪几对角是相等的角(直角除外)？ 说明它们相等的原因。 ∠B=∠2（同角的余角相等） ∠A=∠1（同角的余角相等）
1
互余、互补是两角之间的数量关系，只 与他们的度数和有关，与位置无关。 互余、互补概念中的角是成对出现的。
角 的余角是 90 ，补角是 180 , 同一个锐角的补角比余角大 90o。 只有锐角才有余角。 一个角的余角（补角）有多个。 9 0 。 同角（等角）的补角相等； 同角（等角）的余角相等。
如图∠AOC=∠BOC=∠DOE=90°，则 ∠2 ,∠4 （1） 图中与∠3互余的角是_________, （2） 图中与∠4互余的角是∠ _________, 3 ,∠1 ∠BOD （3） 图中有与∠3互补的角吗?_________.
D C E 1 A 2 3 4 O
B
若一个角的补角等于它的 余角的4倍，求这个角的余角 是多少度？
2
3
4 5
6
思考题： 如图，A，O，B在同一直线上,
射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，
图中哪些角互余？ D
C
E
A o B
小结:
本节课你有什么收获？ 还有什么疑问？
互余
互补
两角间 1 2 9 0 1 2 1 8 0 的数量 1 1 8 0 2 ) ( 1 9 0 2 )( 关系
对应 图形 性质 同角或等角的 余角相等 同角或等角的 补角相等
作业：
1
3
2
4
余角性质：
同角或等角的余角相等
三、练一练
如图两堵墙围一个角 AOB ，但人 不能进入围墙，我们如何去测量这个角的 大小呢？
A
α
动动脑 C
O B
认真观察下面的图形，回答下列问题： C （1）图中有哪几对互余的角？ ∠A与∠B互余 2 1 ∠A与∠2互余 ∠1与∠B互余 B D ∠1与∠2互余 A （2）图中哪几对角是相等的角(直角除外)？ 说明它们相等的原因。 ∠B=∠2（同角的余角相等） ∠A=∠1（同角的余角相等）
人教版七年级上册4.3.3.1余角和补角(教案)
举例：已知一个角的余角比它的补角小30°，求这个角的度数。
-难点四：在多步骤问题中灵活运用余角和补角的知识。培养学生解决多步骤几何问题的能力，将余角和补角的知识与其他几何知识相结合。
举例：已知一个多边形内角和，求解其中一个内角的余角或补角。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《余角和补角》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算直角三角形中未知角度的情况？”（如剪刀开合的角度等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索余角和补角的奥秘。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“余角和补角在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
4.在合作交流中，培养学生的团队协作能力和语言表达能力，提升他们的数学交流素养。
5.激发学生对几何学习的兴趣，培养他们积极主动探索、创新思考的学习态度。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-重点一：余角和补角的概念。使学生深刻理解并掌握余角和补角的定义，明确两个角互为余角和补角的判断条件。
举例：判断下列各组角是否互为余角或补角？（1）30°和60°；（2）45°和135°；（3）80°和100°。
五、教学反思
在今天的课堂中，我们学习了余角和补角的概念及其应用。回顾整个教学过程，我觉得有几个方面值得反思。
-难点四：在多步骤问题中灵活运用余角和补角的知识。培养学生解决多步骤几何问题的能力，将余角和补角的知识与其他几何知识相结合。
举例：已知一个多边形内角和，求解其中一个内角的余角或补角。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《余角和补角》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算直角三角形中未知角度的情况？”（如剪刀开合的角度等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索余角和补角的奥秘。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“余角和补角在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
4.在合作交流中，培养学生的团队协作能力和语言表达能力，提升他们的数学交流素养。
5.激发学生对几何学习的兴趣，培养他们积极主动探索、创新思考的学习态度。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-重点一：余角和补角的概念。使学生深刻理解并掌握余角和补角的定义，明确两个角互为余角和补角的判断条件。
举例：判断下列各组角是否互为余角或补角？（1）30°和60°；（2）45°和135°；（3）80°和100°。
五、教学反思
在今天的课堂中，我们学习了余角和补角的概念及其应用。回顾整个教学过程，我觉得有几个方面值得反思。
人教版七年级数学上册第四章 4. 余角和补角
4.3.3 余角和补角
-2-
目标导引
1.理解余角与补角的概念和性质,会利用性质进行有关的推理和计 算. 2.了解方位角的知识.
思维导图
余角和补角的
旧 角的比较与度量
新
☞
→ 概念与性质 ☜
知 直角、平角、方向角
知
方位角
-3-
知识梳理 预习自测
1.如果两个角的和等于 90°(直角) ,就说这两个角互为余角;如 果两个角的和等于 180°(平角) ,就说这两个角互为补角.
解:画图为:
1.若∠α的补角是120°,则∠α的余角是( ) A.60° B.120° C.30° D.45°
-4-
12345
关闭
因为∠α的补角是120°,所以∠α=180°-120°=60°,∠α的余角是90°-
60°=30°.
关闭
C
解析 答案
-5-
知识梳理 预习自测
12345
2.如图,已知∠AOB=∠COD=90°,则∠1与∠2的关系是( )
2.同角(等角)的余角 相等 ;同角(等角)的补角 相等 . 3.用角度表示方向,一般以正北、正南为基准,用向东或向西旋转 的角度表示方向,如图所示,OA表示的方向 是 东北方向或北偏东45°,OC表示的方向是 北偏西60° ,OB表 示的方向是 南偏西30° ,西南方向表示 南偏西45° .
知识梳理 预习自测
为
.
70°
关闭
答案
知识梳理 预习自测
5.若一个角是86°39',则它的余角是
-8-
12345
,补角是
.
3°21' 93°21'关闭答案12
1.余角和补角的计算 【例1】 一个角的补角是这个角的余角的4倍,求这个角的大小. 分析:先设这个角为x°,再用x表示出它的补角和余角,并列出方 程求解即可. 解:设这个角为x°,则它的补角是(180°-x°), 它的余角是(90°-x°). 根据题意,得180°-x°=4(90°-x°),解得x°=60°. 答:这个角是60°.
-2-
目标导引
1.理解余角与补角的概念和性质,会利用性质进行有关的推理和计 算. 2.了解方位角的知识.
思维导图
余角和补角的
旧 角的比较与度量
新
☞
→ 概念与性质 ☜
知 直角、平角、方向角
知
方位角
-3-
知识梳理 预习自测
1.如果两个角的和等于 90°(直角) ,就说这两个角互为余角;如 果两个角的和等于 180°(平角) ,就说这两个角互为补角.
解:画图为:
1.若∠α的补角是120°,则∠α的余角是( ) A.60° B.120° C.30° D.45°
-4-
12345
关闭
因为∠α的补角是120°,所以∠α=180°-120°=60°,∠α的余角是90°-
60°=30°.
关闭
C
解析 答案
-5-
知识梳理 预习自测
12345
2.如图,已知∠AOB=∠COD=90°,则∠1与∠2的关系是( )
2.同角(等角)的余角 相等 ;同角(等角)的补角 相等 . 3.用角度表示方向,一般以正北、正南为基准,用向东或向西旋转 的角度表示方向,如图所示,OA表示的方向 是 东北方向或北偏东45°,OC表示的方向是 北偏西60° ,OB表 示的方向是 南偏西30° ,西南方向表示 南偏西45° .
知识梳理 预习自测
为
.
70°
关闭
答案
知识梳理 预习自测
5.若一个角是86°39',则它的余角是
-8-
12345
,补角是
.
3°21' 93°21'关闭答案12
1.余角和补角的计算 【例1】 一个角的补角是这个角的余角的4倍,求这个角的大小. 分析:先设这个角为x°,再用x表示出它的补角和余角,并列出方 程求解即可. 解:设这个角为x°,则它的补角是(180°-x°), 它的余角是(90°-x°). 根据题意,得180°-x°=4(90°-x°),解得x°=60°. 答:这个角是60°.
人教版数学七年级上册 4.余角与补角课件(24张)
解得： x =60 答：这个角的度数是60 °。
已知一个角的补角是它的3倍,这个角是多度?
解:设这个角为x°, 则这个角的补角是(180－x)° 由题意得180－x=3x 解得 x = 45 则这个角的度数为45°
变式训练: 已知一个角的补角是这个角的余角的4倍,求这个 角的度数
探究:余角和补角的性质 如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４互余 ， 如果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相等吗？为 什么？
人教版数学七年级上册 4 . 3 . 3余角与补角课件( 共2 4 张P PT)
注意点
1 互余、互补是两角之间的数量关系，只与他们的 度数和有关，与位置无关。
2 互余、互补概念中的角是成对出现的。
3 角 的余角是 90 ，补角是 180 ,
同一个锐角的补角比90余。角大 90 。
4 只有锐角才有余角。 5 同角的余角（补角）相等；
•
2.对于这种能力，人们普遍存在一种 疑问， 即为什 么只有 一部分 人会发 生联觉 现象。 一些人 用基因 来解释 这个问 题。有 研究者 已经注 意到， 如果一 个家族 中有一 人具有 联觉能 力，那 么很可 能会出 现更多 这样的 人。
•
3.科学研究指出，联觉现象大多出现 在数学 较差的 人身上 ，此外 ，左撇 子、方 向感较 差以及 有过预 知经历 的人也 通常会 出现联 觉现象 。也有 人认为 ，联觉 能力与 一个人 的创造 力有关 ，许多 著名的 科学家 和艺术 家都具 备联觉 能力。
DC
E
1
23 4
A
O
B
人教版数学七年级上册 4 . 3 . 3余角与补角课件( 共2 4 张P PT)
小结
互余
互补
两角间 1 2 90 1 2 180
已知一个角的补角是它的3倍,这个角是多度?
解:设这个角为x°, 则这个角的补角是(180－x)° 由题意得180－x=3x 解得 x = 45 则这个角的度数为45°
变式训练: 已知一个角的补角是这个角的余角的4倍,求这个 角的度数
探究:余角和补角的性质 如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４互余 ， 如果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相等吗？为 什么？
人教版数学七年级上册 4 . 3 . 3余角与补角课件( 共2 4 张P PT)
注意点
1 互余、互补是两角之间的数量关系，只与他们的 度数和有关，与位置无关。
2 互余、互补概念中的角是成对出现的。
3 角 的余角是 90 ，补角是 180 ,
同一个锐角的补角比90余。角大 90 。
4 只有锐角才有余角。 5 同角的余角（补角）相等；
•
2.对于这种能力，人们普遍存在一种 疑问， 即为什 么只有 一部分 人会发 生联觉 现象。 一些人 用基因 来解释 这个问 题。有 研究者 已经注 意到， 如果一 个家族 中有一 人具有 联觉能 力，那 么很可 能会出 现更多 这样的 人。
•
3.科学研究指出，联觉现象大多出现 在数学 较差的 人身上 ，此外 ，左撇 子、方 向感较 差以及 有过预 知经历 的人也 通常会 出现联 觉现象 。也有 人认为 ，联觉 能力与 一个人 的创造 力有关 ，许多 著名的 科学家 和艺术 家都具 备联觉 能力。
DC
E
1
23 4
A
O
B
人教版数学七年级上册 4 . 3 . 3余角与补角课件( 共2 4 张P PT)
小结
互余
互补
两角间 1 2 90 1 2 180
人教版七年级数学上册《余角和补角》课件(共21张PPT)
=27°28′
∠ 的补角=180o -∠ ∠ 的补角=180o - 62°32′
=117°28′ 答：这个角的余角为27°28′，补角117°28′。
2、余角和补角的性质。
（1）余角的基本性质：
∠ 的余角=90°- ∠
∠ 的余角=90°- ∠
若∠ = ∠
则90°- ∠ =90°- ∠
AC
解:∠BOC=∠AOB -∠AOC =90°- ∠AOC
D
∠AOD= ∠AOB -∠BOD
B
=90°- ∠AOC
O
例4、如图∠AOC= ∠BOC=∠DOE=90°，则 图中与∠3互余的角是__∠__2_, _∠__4_, 图中与∠4互余的角是_∠__3_, __∠__1_, 图中有与∠3互补的角吗?_∠__B_O__D___.
答：这个角是60°.
练习2、（1）如果∠的余角是∠的2
倍，求 ∠的度数。
（2）如果∠1的补角是∠1的3 倍，求∠1的度数。
练习2、（1）如果∠的余角是∠的2 倍， 求 ∠的度数。
解：设∠的度数为x度，则 ∠的余
角为（90-x）度。 由题意，得： 90-x=2 x -3x=-90
x=30（度）
答：∠ 的度数为30度。
即∠ 的余角= ∠ 的余角
同角或等角的余角相等。
图形一
（2）补角的基本性质：
∠ 的补角= 180o -∠
∠ 的补角= 180o -∠
若∠=∠
则 180o -∠=180o -∠
即∠ 的补角= ∠的补角
同角或等角的补角相等。
图形2
例1、如图，∠AOC=∠BOD=Rt∠， 问有哪两个锐角相等？
•8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/72021/11/72021/11/72021/11/7
∠ 的补角=180o -∠ ∠ 的补角=180o - 62°32′
=117°28′ 答：这个角的余角为27°28′，补角117°28′。
2、余角和补角的性质。
（1）余角的基本性质：
∠ 的余角=90°- ∠
∠ 的余角=90°- ∠
若∠ = ∠
则90°- ∠ =90°- ∠
AC
解:∠BOC=∠AOB -∠AOC =90°- ∠AOC
D
∠AOD= ∠AOB -∠BOD
B
=90°- ∠AOC
O
例4、如图∠AOC= ∠BOC=∠DOE=90°，则 图中与∠3互余的角是__∠__2_, _∠__4_, 图中与∠4互余的角是_∠__3_, __∠__1_, 图中有与∠3互补的角吗?_∠__B_O__D___.
答：这个角是60°.
练习2、（1）如果∠的余角是∠的2
倍，求 ∠的度数。
（2）如果∠1的补角是∠1的3 倍，求∠1的度数。
练习2、（1）如果∠的余角是∠的2 倍， 求 ∠的度数。
解：设∠的度数为x度，则 ∠的余
角为（90-x）度。 由题意，得： 90-x=2 x -3x=-90
x=30（度）
答：∠ 的度数为30度。
即∠ 的余角= ∠ 的余角
同角或等角的余角相等。
图形一
（2）补角的基本性质：
∠ 的补角= 180o -∠
∠ 的补角= 180o -∠
若∠=∠
则 180o -∠=180o -∠
即∠ 的补角= ∠的补角
同角或等角的补角相等。
图形2
例1、如图，∠AOC=∠BOD=Rt∠， 问有哪两个锐角相等？
•8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/72021/11/72021/11/72021/11/7
人教版七年级上册4.余角和补角课件
2.上题的根据是（ ） A.同角的余角相等 B.同角的补角相等 C.等角的余角相等 D.等角的补角相等
余角补角小结
概念
∠1、∠2互为补角 ∠1、∠2互为余角
∠1+∠2=180° ∠1+∠2=90°
两个角！ 数量关系！
性质
同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。
余角和补角性质的运用
如图，要测量两堵围墙所形成的∠AOB的度 数，但人不能进围墙，如何测量？
知识讲授
2、如图，∠3和∠AOB互为补角，∠4和∠AOB也互为补角，请问 ∠3 和∠4有什么数量关系？为什么？请尝试用简单的几何语言来 说理。
同角的补角相等
理由：
3 4
知识讲授
3、如图，如果∠1与∠2互为余角，
∠3与∠4互为余角，且∠1=∠4，那么∠2与 ∠3相等吗？为什么？请尝试用几何语言来 说理
A
O A
C 12 O
B B
知识讲授
如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补 角，简称互补，即其中一个角是另一个角的补角.
2 11
几何语言表示为： 如果∠1+∠2=180°，那么∠1与∠2互为补角.
∠1+∠2=180°
知识讲授
A
1 0
2 D
1 2
如图∠AOD = 90°
∠1+∠2 = 90°
同角或等角的补角相等。
课堂练习
如图，A、O、B在同一条直线上，∠AOD=∠COE=90°。 （1）图中与∠2互为余角的角有 ∠1和∠3 ；
与∠1互为余角的角有∠2和∠4 。
（2）请写出图中相等的锐角，并说明理由；
（3）∠1的补角是哪个角？∠2有补角吗？
人教版七年级数学上册：6.3.3 余角和补角
即∠AOB=50°，∠AOC=130°.
巩固练习
如图，AB是一条直线，OC是一条射线， ∠AOC＝2∠AOF，∠BOC＝2∠BOE. (1)∠1与∠2互余吗？
巩固练习
解：互余. 因为 ∠AOC＝2∠AOF，∠BOC＝2∠BOE, 所以 ∠AOF= ∠ FOC=12 ∠AOC, ∠BOE= ∠ COE =12 ∠BOC. 所以∠1+ ∠2 =12 (∠AOC+ ∠BOC） =12 ×180°=90°. 所以∠1与 ∠2 互余.
A．30° B．45° C．60° 2.下列说法正确的是（ D ）
D．75°
A．一个角的补角一定大于它本身 B．一个角的余角一定小于它本身 C．一个钝角减去一个锐角的差一定是一个锐角
D．一个角的余角一定小于其补角
当堂训练
3.如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式 中∠α与∠β互余的是 （ A ）
3
1
2
∠2=180°–∠1 = ∠3=180°–∠1
探究新知
结论：同角 (等角) 的补角相等. 类似地，可以得到：同角 (等角) 的余角相等.
探究新知
素养考点 余角和补角的识别
例 如图，点A，O，B在同一直线上，射线
D
OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，
图中哪些角互为余角？
AO
C E
例1 若一个角的补角等于它的余角的 4 倍， 求这个角的度数.
探究新知
解：设这个角为 x°，则它的补角是 ( 180 –x )°， 余角是 ( 90 –x )° . 根据题意，得180 –x = 4 ( 90 –x ) . 解得 x = 60.
答：这个角的度数是 60 °.
巩固练习
6.3.3 余角和补角 课件 人教版(2024)数学七年级上册
A.两个互余的角都是锐角
B.锐角的补角大于这个角本身
C.互为补角的两个角不可能都是锐角
D.锐角大于它的余角
3．如右图，∠1和∠2都是∠α的余角，则下列关系不一定
正确的是( ) D
A．∠1＋∠α＝90°
B．∠2＋∠α＝90°
C．∠1＝∠2
D．∠1＋∠2＝90°
4．如右图，O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD
（2）因为∠1+∠COF=180°,∠2+∠AOE=180°,∠1=∠2， 所以∠COF=∠AOE.
03
当堂达标
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叁
当堂达标
1.若∠A=23°,则∠A的余角的大小是( ) B
A.57° B.67° C.77° D.157°
2.下列说法错误的是( D)
答：这个角的度数是30°.
2.如图所示，点A，O，B在同一直线上， D 射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互为余角？
解：因为点A，O，B在同一直线
AO
C E
B
上，所以 ∠AOC 和 ∠BOC 互为补角.
又因为射线 OD和射线 OE分别平分∠AOC和∠BOC，
所以∠COD+∠COE12=
10o
30o
60o
80o
100o
120o
150o
170o
探究二 余角和补角的性质
思考 如图所示，∠1 与∠2，∠3都互为补角， ∠2 与∠3 的大小有什么关系？请说明理由.
1
2
3
∠2=180°－∠1
= ∠3=180°－∠1
解：∠2=∠3，理由如下： 因为∠1与∠2,∠3都互为补角， 所以∠1+∠2=180°,∠1+∠3=180°, 所以∠2=180°-∠1，∠3=180°-∠1， 所以∠2=∠3.
6.3.3余角和补角 课件-人教版数学七年级上册
感悟新知
解题秘方：从图中找互余或互补的角，可从两个方 面进行：一个方面是从角的度数入手，和为9 0 °的 两个角互余，和为180 °的两个角互补；另一个方面 是从整体入手，将直角分成两个角，则这两个角互 余，将平角分成两个角，则这两个角互补.
感悟新知
知1－练
(1)图中互余的角有几对？分别是哪些？
所以∠AOC＝180°－∠BOC＝180°－72°＝108°.
因为 OE 平分∠AOC，所以∠COE＝12∠AOC＝12×108°＝54°. 所以∠BOE＝∠COE＋∠BOC＝54°＋72°＝126°.
感悟新知
知1－练
例 2 如图6.3－23，O 为直线AB 上一点， ∠AOC= ∠DOE=90°.
感悟新知
知识点 2 余角、补角的性质
知2－讲
内容
几何语言
余角的
同角的余角相等
因为∠1＋ ∠2=90°，∠1＋ ∠3=90°， 所以∠2= ∠3
性质
等角的余角相等
因为∠1＋ ∠2=90°，∠3＋ ∠4=90°， 且∠1= ∠3，所以∠2= ∠4
补角的
同角的补角相等
因为∠1＋ ∠2=180°，∠1＋ ∠3=180°，所以∠2= ∠3
感悟新知
(3)写出∠COD 的补角. 解：∠COD的补角为∠AOE.
知2－练
感悟新知
知2－练
例 4 如图6.3－25，已知O 是直线AB 上的一点，OC是一 条射线，OD平分∠AOC，∠DOE=90 °，OE 平分 ∠BOC 吗？为什么？
解题秘方：先紧扣角平分线的定 义，利用余角的性质说明两个角 相等.
感悟新知
(1)求∠BOC 的度数； 解：因为∠BOC 与∠BOD 互为余角， 所以∠BOC＋∠BOD＝90°. 因为∠BOC＝4∠BOD， 所以∠BOC＝45×90°＝72°.
【课件】余角和补角++课件人教版七年级数学上册
所以∠DOE= ∠BOD=75°.
所以∠COE=∠COD+∠DOE=90°+75°=165°.
②如图②所示,因为∠AOB=90°,∠COD=90°,
∠AOC=30°,
所以∠BOD=30°.
因为OE平分∠BOD,
所以∠DOE=15°.
所以∠COE=∠COD+∠DOE=90°+15°=105°.
故答案为165°或105°.
6.3.3 余角和补角
数学 七年级上册人教版
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.
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素 养 题
预习导学
1.如果两个角的和等于90°(直角),就说这两个角互为 余角 ,简称两个
角
互余
;如果两个角的和等于180°(平角),就说这两个角互为
补角
简称两个角
互补
.
2.同角(等角)的余角
相等;同角(等角)的补角 相等 .
解:(1)因为∠BOC=40°,所以∠AOC=140°.
因为 OE 是∠AOC 的平分线,
所以∠AOE= ∠AOC=70°.
(2)题图中与∠COE互余的角有∠COD,∠BOD.
(3)∠COE有补角吗?若有,请把它找出来,并说明理由.
解:(3)∠COE有补角.理由如下:
因为∠AOE=∠COE,∠AOE+∠BOE=180°,
补 角;如果∠3,∠4
知识点2 余角、补角的性质
例2
如图所示,直线AB,CD交于点O,因为∠1+∠3=180°,∠2+∠3=
180°,所以∠1=∠2的依据是(
)C
A.同角的余角相等
B.等角的余角相等
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§ 4.3.3角的比较和运算
——余角和补角
教学目标
1.了解余角和补角的定义和性质，并能熟练应用
2.掌握图形语言和文字语言的转化,
3.通过联系实际，让学生在数学活动中发展合作交流的意识，培养数形结合的思想
教学重点：互余、互补等概念和性质
教学难点：理解互余、互补等概念并熟练应用
教学过程：
一、展示目标
出示目标：（生齐读，师生共同认定目标）
1、理解余角和补角的概念，会求已知角的余角和补角。
2、掌握余角和补角的性质，并能解决一些实际问题。
二、自学指导：
1、阅读教材137页思考前的一段文字，思考下面问题（2-3分钟）：（1）什么是余角、补角？你怎样理解“互为”？
（2）怎么样求一个角的余角和补角？
（3）判断两个角互余、互补时需要考虑它们的位置关系么？
2、学习展示
（1）找出下列那些互为余角？那些互为补交？判断下列说法对么？（见课件）
（2）比比谁做得快（求补交和余角，见课件）
（3）互为补角和互为余角的角主要反映角的数量关系,而不是角的位置关系.
三、研讨交流：
完成学案上的探究内容：
探究一；探究二
（学生先独立思考后结合推理动手操作，再小组合作）
结论：
①同角（等角）的余角相等。
②同角（等角）的补角相等。
四、应用创新：
1、如图，已知∠AOB 是平角，OC 是∠AOB 的平分线,∠DOE 是直角，图中哪些角互余？
C D
E 1 2
A O B
(生独立练习后，可以小组或个别交流，生口答，师生讲评)
2、如图两堵墙围一个角 AOB,但人不能进入围墙，我们如何去测量这个角的大小？
五、 训练达标：（见学案，课件）
小结：你收获了什么？你想跟大家说说以后做题应注意什么？ 4 3
O
A
B。