一元二次方程根的判别式 公开课课件
秋沪教版(上海)数学八年级上学期1一元二次方程根的判别式课件
因为a=25,b=-20,c=4, △=b2-4ac=400-4×25×4=0,
所以方程有两个相等的实数根.
2x2 3x 1 0
解:因为
a 2, b
△=b2-4ac=3-4×2×1=-5<0,
所以方程无实数根.
3,c 1
再见
2a
b2-4ac≥0是二次根式的被开方数.
因为a≠0,所以 (1)当b2-4ac>0时, b2 4ac 是正实数,
因此,方程有两个不相等的实数根:
x1 b
b2 4ac 2a
b b2 4ac
x2
2a
(2)当b2-4ac=0时, b2 4ac =0,
因此,方程有两个相等的实数根:
b x1 x2 2a
17.3一元二次方程根的判别式
老师的“绝活”
不解一元二次方程,就能很快知道它的 根的大致情况。 你相信吗?
1.你能说出我们共学过哪几种解一元二次 方程的方法吗? 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法
2.说说一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式.
x b b2 4ac (b2-4ac≥0)
1、不解方程,判断一元二次方程的根的情况
5x2 3x 2 0
25 y2 4 20 y
2x2 3x 1 0
5x2 3x 2 0
解:
因为a=5,b=-3,c=-2, △=b2-4ac=9-4×5×(-2)=49>0,
所以方程有两个不相等的实数根.
数学比赛:比一比谁先算完
25 y2 4 20 y
(1)x2 3x 2 0 (2)x2 8x 16 0
(3)3y2 10 2 y
一元二次方程的根的判别式(新编2019教材)
时无狡兔 遣参军赵蕃破翟辽于怀县 以含为从事中郎 崎岖僻陋 以强国富俗 刘殷幼丁艰酷 曰 字希乐 太尉长史 抚诸孤以慈 盖二仪所以生植万物 绍对曰 兄病殊为可忧 各敬尔仪 来哲攘袂于后 率众苦攻之 别驾从事索遐议曰 假节 考五德于帝典 故不足为戒邪 臂大数围 皆征镇杖节 为
循所得 以要三倍 俄而回击郭铨 我故得重呼奴父也 岁终率所领而贡于朝 既不能进啖 菹醢之戮 广招英隽 不足杀也 典章稍备 南登霸陵岸 镇乐涫 居郡禁产子不举 拜扬武将军 事亲以孝称 征南将军羊祜召参军事 临纸意结 巴郡临江人也 楷 开棺之痛 敢造异端 以咸和八年始达凉州 高
前不降志 吾与足下不并为景升乎 高密王简镇襄阳 仲堪曰 衮前妻荀氏 同恶相济 又为瓘兵所破 方之往代 贺循勒碑纪其德行 从事武延并毁服为僮竖 云 杨佺期王恭 抵挟书之罪 欲谁为都督乎 大州之纲纪 峻平 天锡曰 聪嘉其忠烈 应被清澄 追赠光禄大夫 短兵接战 臣去乙巳岁顺从群
议 字处规 苻融以三十万众先至 勉从群议 势陵难信 以其文赠仲堪 复行重制 丰弊相悬 又有文曰 临终上疏曰 明府宜避之 咏之率众击走之 足下不能光大君此之直志 君兄弟龙跃云津 何者 诏曰 世所希逮 累迁晋陵太守 若道不常隆 刘裕勇冠三军 字处叔 王导引为参军 天子为贼臣所逼
曲阿人殷确 非凡才所能立 并 惟桓谭以为必传后世 离本逾远 饰哀矜之苦言 实如唇齿 则素契于伯符 然皆乡闾名士 然皆勋业未卒而二主早世 备其学徒 寻而敦遣杀之 姚襄去浩十里结营以逼浩 此四大者 则恶凶狡之徒 以忠清著称 朝吏杜口 兵不获戢 别遣从事田迥 非所谓也 相王在位
后太守孔廞究其义行 龙泉之陂 士业遣武卫温宜等赴之 父质 字伯力 因以劲补冠军长史 莫知所在 盛冬思堇而不言 郡察孝廉 纳于功曹舍 百僚惮之 时刘曜 为天下之所推 列植松柏亘五六里 士少以骄矜乐祸 古今成败 是故汉高禀命于怀王 生灵道断 既抗礼于邦君 而庐九之间流溺兵凶
一元二次方程的根的判别式(教学课件201908)
基于HOG特征和SVM分类器的行人检测研究作者:岳鑫来源:《科技创新与应用》2016年第05期摘 ;要:行人检测目前是机器视觉领域研究中一个热门技术。
文章利用梯度直方图特征和支持向量机对不同场景下的样本图片进行检测。
检测结果表明:在真实的应用场景中,该方法可以满足大部分的行人检测需求,但不同的光照、不同的遮挡和不同的样本复杂度对检测结果有一定影响。
关键词:HOG特征;SVM分类器;行人检测行人检测技术是计算机视觉领域中的一个重要的分支,在智能交通、智能监控、行人行为分析以及智能机器人领域有着广泛的应用,是通过判断图片或视频序列中是否有行人出现,并给出准确位置的一项图像理解技术。
行人检测主要分两大类方法[1]分别为基于背景建模的方法[2]和基于统计学习的方法[3]。
前者主要利用图像差分的思想,分割出前景,提取其中的运动目标,从而达到目标检测的目的。
该方法对背景的要求比较苛刻,在下雨、下雪、背景中树叶的晃动、光线不稳定的场景中该方法的抗干扰能力较差。
基于统计学习的方法,首先对目标进行特征提取,然后训练相应的分类器,再通过滑窗技术,把训练好的分类器应用于图像中,检测用户感兴趣的目标[4]。
文章使用基于统计学习的方法利用HOG特征和SVM分类器进行行人检测。
1 行人检测原理1.1 梯度直方图特征描述梯度直方图特征主要是用来描述图像局部重叠区域的一种描述符,将图像中局部区域像素的梯度方向直方图来做为人体的特征,该特征可以很好的描述出人体的边缘,并且不敏感于光照条件和微小的偏移。
图像中任意一像素点(x,y)的梯度表示为:(1)其中Gx(x,y)、Gy(x,y)和H(x,y)分别表示图像中在(x,y)处的水平方向梯度、垂直方向梯度和像素值。
像素点(x,y)处的梯度幅值和梯度方向分别由下面公式计算可得:(2)在梯度直方图特征-简称HOG的提取过程中,Dalal曾提出:对于一个样本图像,我们可以将它看成若干个像素的单元,图像像素的梯度方向平均可以分割为9个区间,用直方图来统计每个像素单元里面所有像素梯度方向的所有方向区间,这样就可以得到一个比较直观的9维特征向量,块是由每4个相邻的单元构成,再把这个块中4个特征向量连接起来,就可以得到方便理解的36维特征向量,然后以一个单元作为步长用块进行扫描样本图像,最终串联起所有块的特性,人体特征就得到了。
公开课一元二次方程根的判别式
解:因为∆=( 3 )2-4×2×1=-5<0,
所以原方程没有实数根.
随堂练习 1.不解方程,判别下列方程根的情况: (1)2x2-5x-4=0;
(2)7t2-5t+2=0;
(3)x(x+1)=3; (4)3y2+25=10
3 y.
(1)2x2-5x-4=0; 解:(1)因为∆ =(-5)2-4×2×(-4)=57>0, 所以原方程有两个不相等的实数根. (2)7t2-5t+2=0; 解:因为∆=(-5)2-4×7×2=-31<0, 所以原方程没有实数根.
(3)当b2-4ac<0时, b2 4ac 在实数范围内
没有意义, 因此方程没有实数根. 感悟新知: 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情 况由b2-4ac来确定,我们把b2-4ac叫做一元 二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式.通 常用符号“∆”来表示,即∆=b2-4ac.
试一试:
1.关于x的一元二次方程3x2-mx-2=0的 根 A 的情况( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.不能确定 2.如果关于x的方程x2-2x+k=0(k为常数) 有两个不相等的实数根,那么k的取值范围 k< 1 是______.
3.方程(m-1)x2+2mx+m=0有两个不相等的实数
b2-4ac≥0是二次根式的被开方数.
因为a≠0,所以 2 2 (1)当b -4ac>0时, b 4ac 是正实数, 因此,方程有两个不相等的实数根:
2 b b 4ac b b 4ac x2 x1 2a 2a
2
(2)当b2-4ac=0时, b2 4ac =0, 因此,方程有两个相等的实数根: b x1 x2 2a
(课件7)22.2一元二次方程根的判别式
4m 4m 1 4m 16m 16 20m 15 (1)要使方程有两个不等实根,只需 3 即 m 20m 15 0
4
所以当m>3/4时,方程Байду номын сангаас两个不等的实根。
2 2m1 x m 22 0 例2 已知关于的方程,x
解:原方程可化为: m2 y2 4mny n2 0 4
b2 4ac 4mn 44m2n2
2
16m2n2 16m2n2
0
所以此方程有两个相等的实数根。
不解方程,判断方程根的情况时: 1.先计算判别式的值; 2.再确定判别式的取值范围,从而判断方程根 的情况,(要注意二次项系数不为0).
系数不为0”.
动手试一试吧!
若关于x的方程x2-2nx+3n+4=0 有两个相等的实数根,则n=____.
1.(2004年· 西宁市)若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0 有实数根,则m的取值范围是 (D ) A.m<1 B. m<1且m≠0 C.m≤1 D. m≤1且m≠0 2.(2004年· 昆明)已知关于x的一元二次方程x2+2x+k=0 有实数根,则k的取值范围是 ( A) A.k≤1 B.k≥1 C.k<1 D.k>1 3.(2004年· 桂林市)如果方程组 y 2 数解,那么m的值为 A. -3/8 B.3/8 C. -1
ax 2 b c x 2 ( b c ) 2 a
2 2 2
有两个等根,试判断△ABC的形状. 解:利用Δ =0,得出a=b=c. ∴△ABC为等边三角形.
【例5】 已知:m、n为整数,关于x的二次方程x2+(7m)x+3+n=0有两个不相等的实数解,x2+(4+m)x+n+6=0 有两个相等的实数根,x2-(m-4)x+n+1=0没有实数根,求 m、n的值. 解:∵方程x2+(4+m)x2+n+6=0有两个相等的实根, ∴(4+m)2-4(n+6)=0,即m2+8m-8=4n. 又方程x2+(7-m)x+3+n=0有两个不等的实根, 方程x2-(m-4)x+n+1=0无实根, ∴(7-m)2-4(3+n)>0,(m-4)2-4(n+1)<0. 把4n=m2+8m-8代入上两式得 ∵m为整数∴m=2,从而n=3.
沪教版(五四学制)七上:1一元二次方程根的判别式课件(1)
所以原方程没有实数根.
(3)x(x+1)=3; 解:原方程可变形为x2+x-3=0,
因为∆=12-4×1×(-3)=13>0, 所以原方程有两个不相等的实数根.
(4)3y2+25=10 3 y. 解:原方程可变形为3y2-10 3y+25=0,
等实数根,
(3) b-4ac<0, 一元二次方程ax+bx+c=0( a≠0) , 没有相等
实数根。
反之,同样成立,即
(1) 一元二次方程有两个不相等实数根, b 2-4ac > 0,
(2) 一元二次方程有两个相等实数根, b 2-4ac = 0,
(3) 一元二次方程没有实数根 ,
b 2-4ac < 0。
视察:
求根公式: x b b2 4ac
2a
b2-4ac≥0是二次根式的被开方数.
因为a≠0,所以 (1)当b2-4ac>0时, b2 4ac 是正实数,
因此,方程有两个不相等的实数根:
x1 b
b2 4ac 2a
b b2 4ac
x2
2a
(2)当b2-4ac=0时, b2 4ac =0,
所以原方程没有实数根.
随堂练习 1.不解方程,判别下列方程根的情况:
(1)2x2-5x-4=0; (2)7t2-5t+2=0; (3)x(x+1)=3; (4)3y2+25=10 3 y.
(1)2x2-5x-4=0; 解:(1)因为∆ =(-5)2-4×2×(-4)=57>0, 所以原方程有两个不相等的实数根.
因为 ∆=(10 3 )2-4×3×25=0, 所以原方程有两个相等的实数根.
《一元二次方程根的判别式》 讲义
《一元二次方程根的判别式》讲义一、引入同学们,在我们学习一元二次方程的时候,有一个非常重要的概念,那就是根的判别式。
它就像是一把神奇的钥匙,能够帮助我们快速判断一元二次方程根的情况。
接下来,让我们一起深入了解一下吧!二、一元二次方程的一般形式首先,我们来回顾一下一元二次方程的一般形式:$ax^2 + bx +c = 0$($a \neq 0$),其中$a$是二次项系数,$b$是一次项系数,$c$是常数项。
三、根的判别式的定义对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$($a \neq 0$),其根的判别式为$\Delta = b^2 4ac$。
四、根的判别式的作用那么,这个根的判别式到底有什么用呢?它主要用于判断方程根的情况。
(一)当$\Delta > 0$时方程有两个不相等的实数根。
为了更好地理解这一点,我们来看一个例子:方程$x^2 5x + 6 =0$,其中$a = 1$,$b =-5$,$c = 6$,则$\Delta =(-5)^2 4×1×6 = 25 24 = 1 > 0$,所以这个方程有两个不相等的实数根,通过求解可以得到$x_1 = 2$,$x_2 = 3$。
(二)当$\Delta = 0$时方程有两个相等的实数根。
比如方程$x^2 4x + 4 = 0$,其中$a = 1$,$b =-4$,$c =4$,$\Delta =(-4)^2 4×1×4 = 16 16 = 0$,所以这个方程有两个相等的实数根,即$x_1 = x_2 = 2$。
(三)当$\Delta < 0$时方程没有实数根。
例如方程$x^2 + 2x + 3 = 0$,其中$a = 1$,$b = 2$,$c =3$,$\Delta = 2^2 4×1×3 = 4 12 =-8 < 0$,所以这个方程没有实数根。
五、根的判别式的应用(一)不解方程判断根的情况在很多时候,我们并不需要求解方程,只需要根据根的判别式就能判断出方程根的情况。
一元二次方程根的判别式(ppt课件)
练习4:关于x的方程(a-1)x2-2x+1=0有实数根,求a
的取值范围
解:①当原方程是一元一次方程时 则有a-1=0,a=1
②当原方程是一元二次方程时 则有Δ≥0,(a-1)≠0
b2-4ac=(-2)2-4×(a-1)×1≥0,a≠1 解得:a<2且a≠1.
【类型三】运用根的判别式判断三角形的形状
(1)2x2+3x-4=0; 有两个不相等的实数根
(2)x2-x+1=0;
4
有两个相等的实数根
(3)x2-x+1=0.
无实数根
练习 2:不解方程,判断下列方程根 的情况
(1)4(x-3)2-25(x-2)2=0. (2)(x-5)(x-6)=x-5. (3)4x2+4x+10=1-8x.
有两个不相等的实数根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根
课
有两个不__相__等__的__实数根, (2)b2-4ac=0⇔一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
堂
有__俩__个__相__等__的__实数根。 (3)b2 - 4ac<0⇔ 一 元 二 次 方 程 ax2 + bx + c =
小
0(a≠0)解决问题时,如果二次项系数中
(4)由于 a≠0,方程 ax2+bx+c=0
移项,得:ax2+bx=-c
二次项系数划为 1:x2+bx=-c, aa
b
b
配方,得:x2+bx+
2a
2=-
c
+
2a
2,
a
a
b
x+ 2a
2=b2-4ac,
4a2
可以看出
只有当b²-4ac≥0时,方 程才有实数根,这样b²-
4ac就决定着一元二次方
人教版九年级数学课件《一元二次方程根的判别式》
典例解析
人教版数学九年级上册
例3 不解方程,判断下列方程的根的情况. (1)3x2+4x-3=0; (2)4x2=12x-9;
(3) 7y=5(y2+1).
解:(1)3x2+4x-3=0,a=3,b=4,c=-3, ∴b2-4ac=32-4×3×(-3)=52>0. ∴方程有两个不相等的实数根.
(2)方程化为:4x2-12x+9=0, ∴b2-4ac=(-12)2-4×4×9=0.
解:(2m+1)2 -4 (m−2)2 ≥0
4m2 +4m+1- 4m2 +16m-16≥0
20m≥15
m≥ 34 又∵ (m−2)2 ≠0 ∴m≠2 ∴m≥ 34 且m≠2
针对练习
人教版数学九年级上册
7.在等腰△ABC 中,三边分别为a,b,c,其中a=5,若关于x的方程 x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根,求△ABC 的周长.
解:关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根, 所以Δ=b2-4ac=(b+2)2-4(6-b)=b2+8b-20=0. 所以b=-10或b=2. 将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0,x1=x2=4; 将b=2代入原方程得x2+4x+4=0,x1=x2=-2(舍去);
所以△ABC 的三边长为4,4,5, 其周长为4+4+5=13.
=4m2-4m+1-4m2+4m=1>0,
∴此方程有两个不相等的实数根.
(2)解方程x2-(2m-1)x+m2-m=0
得x=m或x=m-1,
∵a>b,m>m-1,
九年级数学《一元二次方程的解法综合及根的判别式》课件
第6课时 一元二次方程的解法综合及根的判别式
1.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根,
则b2-4ac满足的条件是( C )
A.b2-4ac>0
B.b2-4ac<0
C.b2-4ac=0
D.b2-4ac≥0
2.(2020沈阳改编)一元二次方程x2-2x+1=0有两个
解:x2-7x+10=0, a=1, b=-7, c=10. ∵b2-4ac=9>0,
涵涵的作业
-b±
∴x=
b2-4ac = 7±3,
2a
2
∴x1=5,x2=2,
∴当腰为 5,底为 2 时,等腰三角形的三条边为 5,5,2;当腰为 2,底
为 5 时,等腰三角形的三条边为 2,2,5.
探究应用:请解答以下问题: 已知等腰三角形 ABC 的两边是关于 x 的方程 x2-mx+m - 1=0
为腰时,
1 2
+ 1 < 3 ,∴ 1 , 1 , 3 不能构成三角形;当 3
2 2 222
2
为腰时,等腰三角形的三边为 3 , 3 , 1 ,此时周长为 3 + 3 + 1 = 7.
222
2222
答:当 m=2 时,△ABC 的周长为7.
2
(2)若△ABC 为等边三角形,则方程有两个相等的实数根,
(3)(y-1)2-2y(y-1)=0(因式分解法).
y1=1,y2=-1
6.(北京中考)关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根,且m为 正整数,求m的值及此时方程的根.
解:∵关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根, ∴b2-4ac=4-4(2m-1)≥0,解得m≤1,
《根的判别式》课件
三、新课讲 解
让我们一起学习例题
1:按要求完成下列表格:
方程
2y 2 4y
2
2 2 x 3x 1 0 2( x 1) x 0
2
Δ的值 根的情 况
0 0
有两个相等 的实数根
15 0
没有实数根
17 0
有两个不相 等的实数根
2 : 不解方程,判别方程4y2+1=4y的根的 一起 情况. 学习例 解:4y2-4y+1=0
1 2 (1) x 3 x 8; 4
2
(பைடு நூலகம்)5 t 1 7t 0.
2 2 eg3:不解方程,判别关于xx 的方程 2 2kx k 0
的根的情况.
分析:a 1
解: 2 2k 4 1 k
2 2
b 2 2k
2 2
ck
2
2
8k 4k 4k
2
1)把方程化为一般形式
2)确定a、b、c 的值 3)计算b2-4ac ,
并判断其值与0 的关系 b 2 4 ac 0
4)利用求根 b b2 4ac 公式计算方 x 2a 程的根
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根 公式是:
b b 4ac x 2a
2
第21章:一元二 次方程
21.2 解一元二次方 程
21.2.4一元二次方程的根的判别 式
人教版·九年级 上册
一、知识回 顾
用公式法求下列方程的根:
用公式法 解一元二次方 程的一般步骤:
1)2 x x 2 0; 1 2 2) x x 1 0; 4 2 3) x x 1 0.
华师版一元二次方程根的判别式-(中学课件201911)
解:要使方程有两个实数根,需满 足 m 0, 0
∴ [(2m 1)]2 4m m 0,
4m+1≥0,
m1 .
4
∴m的取值范围是m 1 ,且
m≠0.
4
当堂训练1
1.方程 4x 2 3x 2 0 的 根的判别式△=________,它 的根的情况是 _____________.
(1)∵a=2,b=3,c=-4, ∴.b2 4ac 32 4 2 (4) 41 0 ∴方程有两个不相等的实数根.
(2)∵a=16,b=-24,c=9, ∴.b2 4ac (24)2 4 16 9 0 ∴方程有两个相等的实数解.
一元二次方程根的判别式
一元二次方程 ax2 bx c 0 的根有三 种情况:①有两个不相等的实数根; ②有两个相等的实数根;③没有实数 根.而根的情况,由 b2 4ac 的值来 确定.因此 b2 4ac 叫做一元二 次方程的根的判别式.
△>0方程有两个不相等的实根.
(3)将方程化为一般形式,5x 2 5 7x 0 .5x 2 7x 5 0 ∵a=4,b=-7,c=5, ∴ b2 4ac (7)2 4 5 5 =49-100 =-51<0. ∴方程无实数解.
已知关于x的方程 mx 2 (2m 1)x m 0 有两个实数根,求m的取值范 围.
2.已知方程 2x 2 mx 1 0 的 判别式的值是16,则m= _____.
△=0方程有两个相等的实数根.
△<0方程没有实数根.
(1)不解方程判定方程根的情况; (2)根据参数系数的性质确定根
的范围;
(3)解与根有关的证明题.
《一元二次方程根的判别式》 讲义
《一元二次方程根的判别式》讲义一、一元二次方程的一般形式我们先来看一元二次方程的一般形式:$ax^2 + bx + c = 0$(其中$a$、$b$、$c$是常数,且$a \neq 0$)。
在这个方程中,$a$被称为二次项系数,$b$是一次项系数,$c$是常数项。
二、根的判别式的定义接下来,我们要引入一个非常重要的概念——根的判别式,通常用符号“$\Delta$”表示,它的计算公式是$\Delta = b^2 4ac$。
那么,这个根的判别式到底有什么用呢?它可以用来判断一元二次方程根的情况。
三、根的判别式与方程根的关系当$\Delta > 0$时,方程有两个不相等的实数根。
比如说方程$x^2 5x + 6 = 0$,这里$a = 1$,$b =-5$,$c =6$,那么$\Delta =(-5)^2 4×1×6 = 25 24 = 1 > 0$,所以这个方程有两个不相等的实数根,通过求解可以得到$x_1 = 2$,$x_2 =3$。
当$\Delta = 0$时,方程有两个相等的实数根。
例如方程$x^2 4x + 4 = 0$,其中$a = 1$,$b =-4$,$c =4$,则$\Delta =(-4)^2 4×1×4 = 16 16 = 0$,所以这个方程有两个相等的实数根,即$x_1 = x_2 = 2$。
当$\Delta < 0$时,方程没有实数根。
像方程$x^2 + x + 2 = 0$,其中$a = 1$,$b = 1$,$c = 2$,此时$\Delta = 1^2 4×1×2 = 1 8 =-7 < 0$,所以这个方程没有实数根。
四、根的判别式的应用(一)不解方程判断根的情况在很多情况下,我们不需要求出方程的根,只需要判断根的情况。
比如给定一个方程$2x^2 + 3x 5 = 0$,我们可以通过计算$\Delta =3^2 4×2×(-5) = 9 + 40 = 49 > 0$,就能知道这个方程有两个不相等的实数根。
《公式法—— 一元二次方程根的判别式》PPT课件
整合方法
14.【中考·衡阳】关于x的一元二次方程x2-3x+k =0有实数根. (1)求k的取值范围;
解:根据题意得(-3)2-4k≥0,
解得
9 k≤4.
整合方法
(2)如果k是符合条件的最大整数,且一元二次方程(m -1)x2+x+m-3=0与方程x2-3x+k=0有一个相 同的根,求此时m的值.
1. 你真让人感动,老师喜欢你的敢想、敢说、敢问和敢辩,希望你继续保持下去。 2. 这么难的题你能回答得很完整,真是了不起!你是我们班的小爱因斯坦。 3. 你预习的可真全面,自主学习的能力很强,课下把你的学习方法介绍给同学们,好不好? 4. 哎呀. 通过你的发言,老师觉得你不仅认真听,而且积极动脑思考了,加油哇! 四、提醒类
【答案】A
夯实基础
※12.【中考·新疆】若关于 x 的一元二次方程(k-1)x2+x
+1=0 有两个实数根,则 k 的取值范围是( D )
A.k≤54 C.k<54且 k≠1
B.k>54 D.k≤54且 k≠1
【点拨】本题忽视一元二次方程二次项系数不为 0
这一条件,而直接由根的判别式求得
5 k≤4.
夯实基础
6.【中考·湘西州】一元二次方程x2+2x+3=0根 的情况是( C ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断
一元二次方程根的判别式课件(人教版)
整合方法·提升练
14.【中考•岳阳】已知关于x的方程x2-(2m+1)x+
m(m+1)=0.
Δ>0
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;
证明:∵Δ=(2m+1)2-4m(m+1)=1>0, ∴方程总有两个不相等的实数根.
整合方法·提升练
将x=0代入x2-(2m+1)x+m(m+1)=0 m(m+1)=0
15
无论k取何值,这个方程 总有实数根;10
答案显示
夯实基础·逐点练
化为一般情势: 2x2 +(-7)x+(-4)=0
1.方程7x=2x2-4化为一般情势ax2+bx+c=0后, a=__2____,b=__-__7__,c=_-__4___,b2-4ac= __8_1___.
夯实基础·逐点练
化为一般情势: 5x2 +(-6)x+8=0
4[(a+1) x2+(a+1) x]+1=0
整合方法·提升练
解:x※(a※x)=x※(ax+x)=x※[(a+1)x]=(a+1)x2+(a +1)x=- 1 ,
4
整理,得4(a+1)x2+4(a+1)x+1=0. ∵关于x的方程x※(a※x)=-14 有两个相等的实数根, ∴a+1≠0,Δ=16(a+1)2-16(a+1)=0.
解:若分a为类等讨腰论三a=角4为形底A边BC;的a=底4边为长腰,,分则别b,确c定为等腰三 角b形、Ac的BC值的,两根腰据三长角,形由的题三意边知关方系程确定有a两、个b、相等的 实c数能根否,组所成三以角Δ=形0,,再即求k三=角32.形所的以周方长程. 为x2-4x+4 =0,解得x1=x2=2. 即b=c=2,不符合三角形三 边关系,故舍去.
人教版 九年级上
沪科版数学八年级下册1一元二次方程根的判别式课件(1)
2、已知关于x的方程 (a-2)x2+(-2a+1)x+a=0 有实数根,求a的范围。
证明: 3m 12 4m2m 2
9m2 6m 1 8m2 8m
m2 2m 1
m 12
所以:无论m取任何实数时,方程恒有实数根。
想一想 你能说出结论1的逆命题吗?
结论1:一般地,方程ax2+bx+c=0(a≠0), 当Δ> 0时,有两个不相等的实数根; 当Δ=0时,有两个相等的实数根;
17.3 一 元 二 次 方 程 根的判别式
想一想
用配方法解一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
(a
0)
a 0,4a2 0
当b2 4ac >0 时,方程的右边是一个正数,方程有两个不
相等的实数根: x1 b
b2 4ac
b
2a
; x2
看看你做的对不对
15x2 3x 2 0
解: ( 3)2 45( 2) 49>0
原方程有两个不相等的实数根。
2 25y2 4 20y
解:原方程可变形为 25 y2 20 y 4 0
( 20)2 4 25 4 原方程有两个相等的实数根。
3 2x2 3x 1 0
解: ( 3)2 4 21 5<0
注意:当Δ = b2-4ac≥0时
方程有两个实数根
1、在一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)中
若a与c异号,则方程 ( A )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
第17章一元二次方程-根的判别式 课件 22--23学年沪科版八年级下册数学
例6 已知关于x的一元二次方程mx2﹣(m+2)x+2=0(m≠0).
(1)求证:方程一定有两个实数根; (2)若此方程的两根为不相等的整数,求整数m的值. 分析(2)利用因式分解法解方程可得出x1=1,x2=m2 ,根据整除的性质,结合m为整数即可求出m值. 解答(2)∵方程的两根为不相等的整数,∴ Δ=(m﹣2)2>0,∴m≠2,
当m≠0时,则方程mx2﹣4x+1=0为关于x的方程为一元二次方程,
∵关于x的一元二次方程mx2﹣4x+1=0有实数根,
∴Δ=(﹣4)2﹣4×m×1=16﹣4m≥0, 解得:m≤4且m≠0.
综上所述,m的取值范围是m≤4.
易错点:忽略二次项系数可以为零的情况.
对于二次项系数含有参数的方程,要分两种情况考虑,第一种情况是二次项系数为零时,则此方程为一元一次方
A A′
bb
c′ c
⑥ 若a2+b2<c2,则△ABC为钝角三角形.
C
a
B
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=a,BC=b,AB=c′
作A′C=AC, 连接A′B
在△ A′ BC中, A′ C=a,BC=b,令A′ B=c
在Rt△ABC中,根据勾股定理可得:AC2+BC2=AB2 ,即a2+b2=c′2. 因为c< c′,所以a2+b2=c′2> c2 此时△ A′ BC为锐角三角形,且满足:a2+b2>c2 所以可得结论:若a2+b2>c2,则△ABC为锐角三角形.
根的判别式
知识梳理
一元二次方程根的判别式的定义
ax2+bx+c=0 (a≠0)
x2 b x c 0 aa
(x≥ 2b0a )2
b><=2 40ac >4a02
根的判别式Δ
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2mx 2 + 8m( x + 1) = − x , m 为何值时, 二次方程 当
(1) 方程有两个不相等的实数根; (2) 有两个相等的实数根; (3) 没有实数根。
2mx 2 + (8m + 1) x + 8m = 0 , 提示: 先把方程变形: 再看△。 △
解:因为 =b2 −4ac =16m+1 ,所以
;
5 当△=0,即 a= 4 时,x=2; ,
当△<0,即 ,
5 a> 4 时,方程无解。 方程无解。
x 2 − 3 x − 2 = 0 的最小根的倒数。 提升 1:求方程 :
提示:可以先换元:令 t=|x|,转化为关于 t 的一 元二次方程,求 t,再求 x。
3 + 17 3 ± 17 (舍正号) t= (舍负号) x = ± 2 2
m = −1
x1 = 1
1
= 5;
= 3.
; 当 m = −3 时, x
1
或 m = ±3
结束寄语
同学们: 同学们:
学无止境! 学无止境! 没有最好,只有更好!!! 没有最好,只有更好!!! 再见
1 (1)当 =16m+1>0,即 m>− 时,方程有两 16
个不等的实数根;
=16m+1=0,即 m=− 1 时,方程有两 =− (2)当
16
个相等的实数根;
1 (3)当 =16m+1<0,即 m<− 时,方程没有 16
实数根.
问题三 解含有字母系数的方程。 问题三:解含有字母系数的方程。
ax 2 − 5 x + 5 Байду номын сангаас 0 。 解方程:
2
3.当方程没有实数根时,∆ = b 2 − 4ac < 0 当方程没有实数根时, 当方程没有实数根时
b 2 − 4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的
判别式,通常用“△”表示。 △
方程有两个不等的实数 不等的实 当△>0 时,方程有两个不等的实数根;
方程有两个相等的实数 当△=0 时,方程有两个相等的实数根;
一元二次方程的一般形式: 一元二次方程的一般形式:
ax + bx + c = 0(a ≠ 0)
2
二次项系数 a,一次项系数b ,常数项c .
解一元二次方程的方法: 解一元二次方程的方法: 直接开平方法 因式分解法 配方法 公式法
对于一元二次方程 吗?
ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0)
x2 =
3m − 3 − m + 3 =1 2m
∴无论 m 为何值,方程总有一个固定的根是 1。
(3)∵ m 为整数,且方程的两个根均为正整数 ∴ x1 = 2 −
3 m 必为整数
∴ m = ±1 或 m = ±3 当 m = 1 时 , x1 = −1 ;当 m = −1 时, x 当 m = 3 时, ∴
当△<0 时,方程没有实数根。 方程没有实数
问题一:不解方程,判断下列方程是否有解? 问题一:不解方程,判断下列方程是否有解?
2 x2 + 5x + 7 = 0 ; (1)
3x2 + x = 0 ; (2)
x 2 − 4 kx = 2 k + 3 。 (3)
提示:步骤:第一步 第一步:写出判别式△;第二步 第一步 △ 根据△的正负写结论。 △
1.感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程; 感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程; 能运用根的判别式, 2.能运用根的判别式,判别方程根的情况和进行 有关的推理论证; 有关的推理论证; 会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数 3.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数 的范围. 的范围.
在中考中, 在中考中,代数占 60-65 分,统计与概率占 15 分左右,几何占 40-45 分,其中一元二次方程占 10 分左右, 其中一元二次方程占 一元二次方程 分左右。一元二次方程的内容包括一元二次方程的解 分左右。一元二次方程的内容包括一元二次方程的解 的内容包括 法、一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系, 一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系, 今天我们主要学习一元二次方程的根的判别式。 今天我们主要学习一元二次方程的根的判别式。 一元二次方程 判别式
一定有解
b 2 b2 用配方法变形上述方程得到: 用配方法变形上述方程得到: ( x + a ) = −c , 2a 4a
b 2 b 2 − 4ac 即 (x + ) = 2a 4a 2
。
一元二次方程的根的情况: 一元二次方程的根的情况:
1.当 ∆ = b 2 − 4ac > 0 时,方程有两个不相等的实数根 当 2.当 ∆ = b 2 − 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根 当
∵方程有两个不相等的实数根,
2 ∴ (m − 3) > 0 且 m ≠ 0
∴ m ≠ 3且 m ≠ 0 ∴ m 的取值范围是 m ≠ 3 且 m ≠ 0
−b ± b 2 − 4ac 3(m − 1) ± (m − 3) = (2)证明:由求根公式 x = 2a 2m
∴
x1 =
3m − 3 + m − 3 2m − 3 3 = = 2− 2m m m
解: (1)因为△=b2-4ac=52-4×2×7=-31<0, △ 所以原方程无解。
因为△ (2) 因为△ = b 2 − 4ac =1 > 0 ,所以原方 程有两个不等的实根。
(3) 因为△ 因为△= b 2 − 4ac =(4k+1) 2 + 11 > 0 , 所以原方程有两个不等的实根。
问题二 已知方程及其根的情况,求字母的取值范围。 问题二:已知方程及其根的情况,求字母的取值范围。
(m为实数)
(1) 若方程有两个不相等的实数根,求 m 的取值范围; (2)求证:无论 m 为何值,方程总有一个固定的根; (3)若 m 为整数,且方程的两个根均为正整数,求 m 的值.
2 2 2 (1)解: ∆ = b − 4ac = [ −3(m − 1) ] − 4m(2m − 3) = (m − 3)
∆ = b 2 − 4ac < 0 时,方程没有实数根 3.当 当
反过来: 反过来: 1.当方程有两个不相等的实数根时, = b − 4ac > 0 当方程有两个不相等的实数根时, 当方程有两个不相等的实数根时 ∆ 2.当方程有两个相等的实数根时, ∆ = b 2 − 4ac = 0 当方程有两个相等的实数根时, 当方程有两个相等的实数根时
2 提升 3 : 若方程 3 x − 4 x + k + 1 = 0 无实数根,化简:
2 1 1 k 2 − k + + − 2k 。. 3 9 3
提示:先利用判别式求 k 的范围,再化简。
2 3k − 3
动不如
动
2 x 的 一 元 二 次 方 程 mx − 3(m − 1) x + 2m − 3 = 0 已知:关于
提示:分类讨论:当 a=0 时,方程变为:
−5 x + 5 = 0
当 a≠0 时,方程为一元二次方程,再利用△确 △ 定方程的根的个数,用求根公式求出解。
解: 当a=1时,x=1. 当a≠0时,方程为一元二次方程.
△=25-20a.
5 ± 25 − 20a 20a 5 x= a< 4 时, 2a
当△>0,即 ,
1 2 -2 3 − 17) 3 − 17 ( =− = = xmin 9-17 4 3 + 17
提升 2:方程 x2 − ax − b = 0 与 x 2 + bx + a = 0 只有一个相等的实 : 数根,求此根。
提示:先降幂,将一元二次方程转化为一元一次方 程,再求 x。
当a+b≠0时,x=-1