第七章-点的合成运动解析PPT精品课件
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点的合成运动(讲义).
先分析 k ' 对时间的导数: drA vA e rA dt rA rO k ' drO dk ' e (rO k ') dt dt drO e rO 因为 vO dt dk ' ' 得 同理可得 i , e k '， j '， 即 dt
＝(α r ＋ω ve ) ω vr
＝ae ω v r
利用矢量的相对导数与绝对导数之间的关系
dA dA ＝( ) r ω A dt dt
d va d ve d v r dt dt dt
中
d vr d vr ＝( ) r ＋ω v r ＝ar ＋ω vr dt dt
牵连运动方程
xo' xo' t yo' yo' t t
绝对运动方程
x x t y y t
x x t y y t
xo' xo' t yo' yo' t t
小结:
应用速度合成定理求解点的速度
1、选取动点、动系
动点、动系不能选在同一物体上 相对运动轨迹简单、直观 2、分析三种运动与三种速度（建议采用表格） 3、作速度图（绝对速度必为对角线） 4、求解（几何法；解析法）
§7-３
点的加速度合成定理
va v r ve
d va d v r d ve dt dt dt aa a r ae
说明：运动主体、运动形式
第七章-点的合成运动解析PPT教学课件
牵连速度ve：ve= v0，方向水平 向右。
相对速度vr：大小未知，方向 沿凸轮圆周的切 线。
15
例题
点的合成运动
例题1
应用速度合成定理
vr
va
φA
R φ
ve
v0
n
2020/10/16
va vevr
v a v eco v 0 tc6 o 0 t 0 .5v 0 77
此瞬时杆AB的速度方向向上。
动点相对于动系运动的轨迹、速度和加速度称为相对轨 迹、相对速度（vr）和相对加速度（ar ）
动参考系上与动点重合的点的速度和加速度称为动点的 牵连速度（ve）和牵连加速度（ae ）
2020/10/16
❖ 动参考系上与动点 重合的点称为牵连点
❖ 由于相对运动，不 同瞬时牵连点的位置是 不同的
5
动画
牵连点
参见动画：牵连点(2)
2020/10/16
参见动画：牵连点(3)
6
动画
牵连点
参见动画：牵连点(4)
2020/10/16
参见动画：牵连点(5)
7
五．绝对、相对和牵连运动之间的关系
设Oxy是定系，O´x´y´是动系，M是动点。
M的绝对运动方程为 x=x(t)，y=y(t)
M的相对运动方程为
x´=x´ (t)，y´=y´ (t)
18
例题
点的合成运动
例题2
参见动画：点的复合运动(曲柄－摇杆机构1)
运动演示
2020/10/16
19
例题
点的合成运动
例题2
参见动画：点的复合运动(曲柄－摇杆机构2)
相对运动轨迹
2020/10/16
20
相对速度vr：大小未知，方向 沿凸轮圆周的切 线。
15
例题
点的合成运动
例题1
应用速度合成定理
vr
va
φA
R φ
ve
v0
n
2020/10/16
va vevr
v a v eco v 0 tc6 o 0 t 0 .5v 0 77
此瞬时杆AB的速度方向向上。
动点相对于动系运动的轨迹、速度和加速度称为相对轨 迹、相对速度（vr）和相对加速度（ar ）
动参考系上与动点重合的点的速度和加速度称为动点的 牵连速度（ve）和牵连加速度（ae ）
2020/10/16
❖ 动参考系上与动点 重合的点称为牵连点
❖ 由于相对运动，不 同瞬时牵连点的位置是 不同的
5
动画
牵连点
参见动画：牵连点(2)
2020/10/16
参见动画：牵连点(3)
6
动画
牵连点
参见动画：牵连点(4)
2020/10/16
参见动画：牵连点(5)
7
五．绝对、相对和牵连运动之间的关系
设Oxy是定系，O´x´y´是动系，M是动点。
M的绝对运动方程为 x=x(t)，y=y(t)
M的相对运动方程为
x´=x´ (t)，y´=y´ (t)
18
例题
点的合成运动
例题2
参见动画：点的复合运动(曲柄－摇杆机构1)
运动演示
2020/10/16
19
例题
点的合成运动
例题2
参见动画：点的复合运动(曲柄－摇杆机构2)
相对运动轨迹
2020/10/16
20
《点的合成运动》课件
合成结果决定了动物的整体运动轨迹和速度。
04
机械臂的运动也是点的合成运动的实例，机械臂的每 个关节的运动都是相对独立的，但它们的合成结果决 定了机械臂的整体位置和姿态。
03
点的合成运动计算方法
坐标系转换法
总结词
坐标系转换法是一种通过坐标变换来计算点的合成运动的方法。
详细描述
坐标系转换法的基本思想是将点的合成运动分解为一系列坐标系的旋转和平移变换，通过逐一应用这 些变换来计算合成运动的结果。这种方法需要明确各个坐标系之间的关系，并掌握坐标变换的规则。
《点的合成运动》ppt课件
目 录
• 点的合成运动概述 • 点的合成运动原理 • 点的合成运动计算方法 • 点的合成运动在工程中的应用 • 点的合成运动的发展趋势与展望
01
点的合成运动概述
定义与概念
定义
点的合成运动是指一个点在两个或多个运动的作用下的相对 运动。
概念
点的合成运动是分析机构运动的基础，是研究机构运动特性 的重要方法。
合成运动的分类
平面合成运动
一个点在平面内的两个或多个运动作 用下的合成运动。
空间合成运动
一个点在三维空间中的两个或多个运 动作用下的合成运动。
合成运动的应用场景
机械制造
01
在机械制造中，点的合成运动被广泛应用于机构分析和设计，
如连杆机构、齿轮机构等。
机器人学
02
在机器人学中，点的合成运动是实现机器人精确控制和轨迹规
03
，广泛应用于工程、物理和生物等领域。
点的合成运动特性
01
点的合成运动特性包括相对性、 独立性和叠加性。
02
相对性是指点的合成运动是相对 于观察者的，观察者的位置和速
04
机械臂的运动也是点的合成运动的实例，机械臂的每 个关节的运动都是相对独立的，但它们的合成结果决 定了机械臂的整体位置和姿态。
03
点的合成运动计算方法
坐标系转换法
总结词
坐标系转换法是一种通过坐标变换来计算点的合成运动的方法。
详细描述
坐标系转换法的基本思想是将点的合成运动分解为一系列坐标系的旋转和平移变换，通过逐一应用这 些变换来计算合成运动的结果。这种方法需要明确各个坐标系之间的关系，并掌握坐标变换的规则。
《点的合成运动》ppt课件
目 录
• 点的合成运动概述 • 点的合成运动原理 • 点的合成运动计算方法 • 点的合成运动在工程中的应用 • 点的合成运动的发展趋势与展望
01
点的合成运动概述
定义与概念
定义
点的合成运动是指一个点在两个或多个运动的作用下的相对 运动。
概念
点的合成运动是分析机构运动的基础，是研究机构运动特性 的重要方法。
合成运动的分类
平面合成运动
一个点在平面内的两个或多个运动作 用下的合成运动。
空间合成运动
一个点在三维空间中的两个或多个运 动作用下的合成运动。
合成运动的应用场景
机械制造
01
在机械制造中，点的合成运动被广泛应用于机构分析和设计，
如连杆机构、齿轮机构等。
机器人学
02
在机器人学中，点的合成运动是实现机器人精确控制和轨迹规
03
，广泛应用于工程、物理和生物等领域。
点的合成运动特性
01
点的合成运动特性包括相对性、 独立性和叠加性。
02
相对性是指点的合成运动是相对 于观察者的，观察者的位置和速
理论力学第七章
12
例题
点的复合运动
例 题 7-1
3. 速度分析。
绝对速度va：va＝OA · ＝r ω ，方 ω 向垂直于OA，沿铅垂
方向向上。
牵连速度ve：ve为所要求的未知量， 方向垂直于O1B 。 相对速度vr：大小未知，方向沿摇杆 O1B 。 应用速度合成定理
va ve vr
13
例题
点的复合运动
2. 运动分析。 绝对运动－以O为圆心的圆周运动。 相对运动－沿杆BC直线运动。 牵连运动－平动。
24
ω0
O
30
C
例题
点的复合运动
例 题 8-10
3. 速度分析。
α
ω
60
绝对速度va：va = ω0 r，垂直于OA向下。
D A E 牵连速度ve： ve= vB，垂直于BD向右下。
B
vr vB v a
a
a
n ae sin 30 cos 30
2 3o l r 3l
所以杆BD的角加速度
t ae l
2 3 o r (l r )
3l 2
27
例题
点的复合运动
习题课
28
第七章
一、基本概念
点的合成运动习题课
1.一个动点，两个坐标系，三种 运动 2.速度合成定理
v2 B
v1
30
vr 与 va 的夹角 ve
60
M
β
ve sin 60 46 12 arcsin vr
va
vr
18
§7-３点的加速度合成定理
先分析 k’ 对时间的导数。
' drA rA rO k vA e rA dt ' ' drO dk e (rO k ) dt dt 因为 v drO r O e O dt
例题
点的复合运动
例 题 7-1
3. 速度分析。
绝对速度va：va＝OA · ＝r ω ，方 ω 向垂直于OA，沿铅垂
方向向上。
牵连速度ve：ve为所要求的未知量， 方向垂直于O1B 。 相对速度vr：大小未知，方向沿摇杆 O1B 。 应用速度合成定理
va ve vr
13
例题
点的复合运动
2. 运动分析。 绝对运动－以O为圆心的圆周运动。 相对运动－沿杆BC直线运动。 牵连运动－平动。
24
ω0
O
30
C
例题
点的复合运动
例 题 8-10
3. 速度分析。
α
ω
60
绝对速度va：va = ω0 r，垂直于OA向下。
D A E 牵连速度ve： ve= vB，垂直于BD向右下。
B
vr vB v a
a
a
n ae sin 30 cos 30
2 3o l r 3l
所以杆BD的角加速度
t ae l
2 3 o r (l r )
3l 2
27
例题
点的复合运动
习题课
28
第七章
一、基本概念
点的合成运动习题课
1.一个动点，两个坐标系，三种 运动 2.速度合成定理
v2 B
v1
30
vr 与 va 的夹角 ve
60
M
β
ve sin 60 46 12 arcsin vr
va
vr
18
§7-３点的加速度合成定理
先分析 k’ 对时间的导数。
' drA rA rO k vA e rA dt ' ' drO dk e (rO k ) dt dt 因为 v drO r O e O dt
理论力学课件—点的合成运动-2
ω
O
ae φ aa
A
ar B
E flash
C
绝对运动：圆周运动（O点） 相对运动：直线运动（DE） 牵连运动：平移（BC）
2.加速度
aBC
aa ae ar 2 aa cos r cost
例7-9 如图所示平面机构中，曲柄OA=r，以匀角 速度ωO 转动。套筒A沿BC杆滑动。已知：BC=DE， 且BD=CE=l。
相对速度 v r ——动点相对于动系运动的速度
（牵连点）相对于定系运动的速度
解题步骤：
（1）选动点、动系， 注意动点和动系不能选在同一物体上；
（2）分析三种运动，要有四个已知要素；
（3）写公式，画图（画在动点上） 速度平行四边形，注意va是对角线； （4）求解。
点作圆周运动时
t a
（1）切线方向加速度， 与半径垂直，与 同向
r ' xi ' yj ' z k '
~ ~ dr ' dr ' dr ' ( x'i ' y'j ' z'k ' ) r' dt dt dt
~ dr ' dr ' r' dt dt
牵连加速度 a e
牵连点：在动参考系上与动点相重合的点 牵连点的速度和加速度称为动点的牵连速度 和牵连加速度。
牵连速度 v e
点的速度合成定理：
va ve vr
速度平行四边形
vr
va ve
绝对速度 va ——动点相对于定系运动的速度
牵连速度 v e ——动系上与动点相重合的那一点
O
ae φ aa
A
ar B
E flash
C
绝对运动：圆周运动（O点） 相对运动：直线运动（DE） 牵连运动：平移（BC）
2.加速度
aBC
aa ae ar 2 aa cos r cost
例7-9 如图所示平面机构中，曲柄OA=r，以匀角 速度ωO 转动。套筒A沿BC杆滑动。已知：BC=DE， 且BD=CE=l。
相对速度 v r ——动点相对于动系运动的速度
（牵连点）相对于定系运动的速度
解题步骤：
（1）选动点、动系， 注意动点和动系不能选在同一物体上；
（2）分析三种运动，要有四个已知要素；
（3）写公式，画图（画在动点上） 速度平行四边形，注意va是对角线； （4）求解。
点作圆周运动时
t a
（1）切线方向加速度， 与半径垂直，与 同向
r ' xi ' yj ' z k '
~ ~ dr ' dr ' dr ' ( x'i ' y'j ' z'k ' ) r' dt dt dt
~ dr ' dr ' r' dt dt
牵连加速度 a e
牵连点：在动参考系上与动点相重合的点 牵连点的速度和加速度称为动点的牵连速度 和牵连加速度。
牵连速度 v e
点的速度合成定理：
va ve vr
速度平行四边形
vr
va ve
绝对速度 va ——动点相对于定系运动的速度
牵连速度 v e ——动系上与动点相重合的那一点
第7章点合成运动
O x
绝对运动：动点相对于定系的运动
➢三种运动 相对运动：动点相对于动系的运动
牵连运动：动系相对于定系的运动
绝对运动
绝对轨迹
绝对速度 va 绝对加速度 aa
相对运动
相对轨迹
相对速度 vr 相对加速度 ar
牵连轨迹
牵连运动 牵连速度 ve 牵连加速度 ae
牵连点——在动参考系上与动点相重合的那一点。 牵连点的速度和加速度——动点的牵连速度和牵连加速度。
rM rO r
r xi yj zk
rM rM
M 为牵连点
vr
dr dt
xi
yj
zk
ve
drM dt
rO xi yj zk
va
drM dt
rO xi yj zk xi yj zk
则 va ve vr
点的速度合成定理——动点在某瞬时的绝对速度等于它在 该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。
vA
drA dt
e
rA
rA rO k
drO dt
dk dt
e
(rO
k )
因为
vO
drO dt
e rO
得
dk dt
e k ， 同理可得i、j，
即
i e i , j e j, k e k
绝对速度：
va
drM dt
牵连速度： ve ω r
相对速度：
vr
dr dt
xi
科氏加速度 aC 2ωe vr
大小 aC 2e vr sin q
方向垂直与 ωe 和 vr ，
指向按右手法则确定。
当牵连运动为平移时： ωe 0
则 aC 0，
绝对运动：动点相对于定系的运动
➢三种运动 相对运动：动点相对于动系的运动
牵连运动：动系相对于定系的运动
绝对运动
绝对轨迹
绝对速度 va 绝对加速度 aa
相对运动
相对轨迹
相对速度 vr 相对加速度 ar
牵连轨迹
牵连运动 牵连速度 ve 牵连加速度 ae
牵连点——在动参考系上与动点相重合的那一点。 牵连点的速度和加速度——动点的牵连速度和牵连加速度。
rM rO r
r xi yj zk
rM rM
M 为牵连点
vr
dr dt
xi
yj
zk
ve
drM dt
rO xi yj zk
va
drM dt
rO xi yj zk xi yj zk
则 va ve vr
点的速度合成定理——动点在某瞬时的绝对速度等于它在 该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。
vA
drA dt
e
rA
rA rO k
drO dt
dk dt
e
(rO
k )
因为
vO
drO dt
e rO
得
dk dt
e k ， 同理可得i、j，
即
i e i , j e j, k e k
绝对速度：
va
drM dt
牵连速度： ve ω r
相对速度：
vr
dr dt
xi
科氏加速度 aC 2ωe vr
大小 aC 2e vr sin q
方向垂直与 ωe 和 vr ，
指向按右手法则确定。
当牵连运动为平移时： ωe 0
则 aC 0，
理论力学第7章(点的合成运动)
（已知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）
点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向
六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。 二、应用举例
[例] 桥式吊车 已知：小
车水平运行，速度为v平， 物块A相对小车垂直上升 的速度为v。求物块A的 运行速度。
解：选取动点: 物块A 动系: 小车 静系: 地面 相对运动: 直线; 相对速度vr =v 方向 牵连运动: 平动; 牵连速度ve=v平 方向 绝对运动: 曲线; 绝对速度va 的大小, 方向待求。
由速度合成定理 va= vr+ ve ， 作出速度平行四边形 如图示。
v a v e tg 30 0 2 3 e 3 v AB 2 3 e ( ) 3
动点：AB杆上的A点 动系：偏心轮
绝对运动：直线 相对运动：圆周（曲线） 牵连运动：定轴转动
铰接四边形O1A=O2B=100mm， O1O2=AB，杆 O1A以等角速度 ω =2rad/s绕轴O1转动。 AB杆上有一套筒C，此套筒与杆CD相铰接 ，机构的各部件都在同一铅垂平面内。
）
[例3] 圆盘凸轮机构 已知：OC＝e , R 3e , （匀角速度） 图示瞬时, OCCA 且 O、A、B三点共线。 求：从动杆AB的速度。
解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘， 静系固结于基座。 绝对速度 va = ? 待求，方向//AB 相对速度 vr = ? 未知，方向CA 牵连速度 ve =OA=2e , 方向 OA
y
O C
x
x
合成运动：相对某一参考体的运动可由相对于其它参考 体的几个运动组合而成，称这种运动为合成运动
动点：要研究的点
两个参考系： 一般把固定在地球上的坐标系称为静参考系； 用 Oxyz表示； 固定在相对地球运动的参考体上的坐标系称为动参考系； 用 Oxyz 表示。
点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向
六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。 二、应用举例
[例] 桥式吊车 已知：小
车水平运行，速度为v平， 物块A相对小车垂直上升 的速度为v。求物块A的 运行速度。
解：选取动点: 物块A 动系: 小车 静系: 地面 相对运动: 直线; 相对速度vr =v 方向 牵连运动: 平动; 牵连速度ve=v平 方向 绝对运动: 曲线; 绝对速度va 的大小, 方向待求。
由速度合成定理 va= vr+ ve ， 作出速度平行四边形 如图示。
v a v e tg 30 0 2 3 e 3 v AB 2 3 e ( ) 3
动点：AB杆上的A点 动系：偏心轮
绝对运动：直线 相对运动：圆周（曲线） 牵连运动：定轴转动
铰接四边形O1A=O2B=100mm， O1O2=AB，杆 O1A以等角速度 ω =2rad/s绕轴O1转动。 AB杆上有一套筒C，此套筒与杆CD相铰接 ，机构的各部件都在同一铅垂平面内。
）
[例3] 圆盘凸轮机构 已知：OC＝e , R 3e , （匀角速度） 图示瞬时, OCCA 且 O、A、B三点共线。 求：从动杆AB的速度。
解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘， 静系固结于基座。 绝对速度 va = ? 待求，方向//AB 相对速度 vr = ? 未知，方向CA 牵连速度 ve =OA=2e , 方向 OA
y
O C
x
x
合成运动：相对某一参考体的运动可由相对于其它参考 体的几个运动组合而成，称这种运动为合成运动
动点：要研究的点
两个参考系： 一般把固定在地球上的坐标系称为静参考系； 用 Oxyz表示； 固定在相对地球运动的参考体上的坐标系称为动参考系； 用 Oxyz 表示。
第七章 点的合成运动ppt课件
a d v a d 2 r d 2 x i d 2 y j d 2 zk a dtd 2 td 2 t d 2 t d 2 t
7.1
运相 动对
运 动
牵 连 运 动
绝 对
五、相对运动 的速度与加速度
动点在动系的运动中的轨
迹、速度和加速度称为相对轨
z z M
迹、相对速度和相对加速度。
用 vr和 ar 分别表示相对速度和 x
定 注意：（1）速度关系式是平面矢量方程；
理
（2）绝对速度是对角线； （3）牵连速度为任何形式的运动时，
速度关系式都成立。
7.2
在应用速度合成定理来解决具体问题时，应
点
的 注意：（1）动点及动坐标系的选取；（2）对于
速 三种运动及三种速度的分析；（3）根据速度合
度 成定理并结合个速度的已知条件先作出速度矢量 合
lim lim lim lim 理
t0
MM t
va
t0
MM
M tM 2 vr
7.2 于是可得：
B
M2
M B
点 的
vavevr
vr
va ve
M
A
M1
A
速
t t t
即：动点在某一瞬时的绝对速度等于它在该
度
瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。这就 合
成 是点的速度合成定理。
在某一瞬时，动坐标系上和动点相重合的点（
运相 动对
运
瞬时牵连点）相对静坐标系的速度和加速度称为该
瞬时的牵连速度和牵连加速度。用
ve和
ae分别表示
动 牵连速度和牵连加速度。
牵 连 运
A
t
t t u
第七章 点的合成运动
点的速度合成定理
已知:
, OA r , OO1 l , OA水平。求 : 1 ?。
OA杆：定轴转动（绕O） O1B杆：定轴转动（绕O1）
解: 1．判断各刚体运动
2. 运动分析
动点：滑块A 动系：摇杆AB 绝对运动：圆周运动（绕O点） 相对运动：直线运动（沿O1B） 牵连运动：定轴转动（绕O1轴）
由坐标变换关系有
x xO x cos y sin y yO x sin y cos
相对运动 牵连运动 绝对运动
例7-1 点M相对于动系 Oxy 沿半径为r的圆周 以速度v作匀速圆周运动(圆心为O1 ） ，动系 Oxy 相 对于定系 Oxy 以匀角速度ω绕点O作定轴转动，如 图所示。初始时 Oxy与 Oxy 重合，点M与O重合。
3、作图时，绝对速度要成为平行四边形的对角线。
点的速度合成定理
例7-3 刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的 一端A与滑块用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度ω 绕固定轴O转动时，滑块在摇杆O1B上滑动，并带 动杆O1B绕定轴O1摆动。设曲柄长为OA=r，两轴间 距离OO1=l。 求：曲柄在水平 位置时摇杆的角 速度 1 。
第七章
点的合成运动
第七章
点的合成运动
运动是绝对的，运动的描述是相对的。
物体相对于不同的参考系的运动是不相 同的。 点的合成运动就是研究物体相对于不同 参考系运动之间的关系。
§7-1 相对运动 牵连运动 绝对运动
点的合成运动实例一
相对运动 牵连运动 绝对运动
相对某一参考体的运动可由相对于其他参考体的 几个运动的组合而成－合成运动。
相对运动 牵连运动 绝对运动
两个坐标系
《点的合成运动》PPT课件
重合 牵连点
绝对运动
va ,aa
ve ,ae
牵连点： 动系上与动点重合的点。
动系
牵连运动
定系
三种运动 几何性质
运动方程 速度 加速度
绝对运动
Absolute Motion
点的运动
相对运动
Relative Motion
点的运动Biblioteka 牵连运动Convected Motion
刚体的运动
绝对速度va
v 相对速度 r
直线运 动
动
车厢 平行移动 地面
工件 定轴转动 地面
一点： 动点
动点
相对运动
绝对运动
vr ,ar
动系
牵连运动
va ,aa
定系
绝对运动
两系： 定系 动系
三运动： 相对运动 牵连运动
注意：分析三种运动时，必须明确站在什么地方看哪个物体的运动。
一 基本概“念一点、两系、三运动”
动点
相对运动
vr ,ar
属于
——————
a a 绝对加速度 a 相对加速度 r -——————
牵连点的运动
点的运动
牵连速度ve 牵连加速度ae
一 基本概念
动点：水滴M 动系：喷管
ve w OM
vr ar
ae
O
w2OM
M
A
相对运动：直线运动 牵连运动：定轴转动 绝对运动：螺旋线运动
注意：
水滴M
相vr 对,a运r 动属于喷重管合上M‘ve绝,a对ev运a ,动aa
注意：
ve
drM dt
rO
xi
yj zk
1）牵连点相对动系静止。 2）不同时刻动系牵连点不
7点的合成运动
解题步骤
1、选取动点、动系和定系。
所选的参考系应能将动点的运动分解成相对运动和牵连运动。 动点、动系须指明，动系可不画出，定系可不用指明也不必画出。 2、分析三种运动和三种速度。 明确动点的绝对运动和相对运动、动系的牵连运动。 3、运用速度合成定理，作出速度平行四边形。 确保绝对运动速度为平行四边形的对角线。 4、运用速度平行四边形中的几何关系求解未知数。
⑴ 选取动点、动系和定系 注意:①动点和动坐标系不能在同一刚体上。 ②动点对动系的相对轨迹要简单、清晰。 ③通常选择固定接触点为动点； ⑵分析三种运动、三种速度和三种加速度 分析相对运动时.设想观察者站在动坐标系上,所观察到 的运动即为点的相对运动 分析牵连运动时:把动点固结在动坐标系上,分析此瞬 时该点的速度. ⑶根据点的速度、加速度合成定律求解未知量.
ห้องสมุดไป่ตู้
可得：
ar aa
an r cos
vr2 an r R
§ 7.3 点的加速度合成定理
二、牵连运动为定轴转动时点的加速度合成定理
由于动坐标系为转动，牵连运动和相对运动的相互影响 而产生了一个附加的加速度，称为科里奥利加速度，简称科 氏加速度，用 ac表示。于是动点的加速度为：
aa ae ar ac
牵连运动为转动时的加速度合成定理： 当牵连运动为转动时， 动点的绝对加速度等于其牵连加速度、相对加速度与科氏加 速度的矢量和。
其中
ac 2e vr
大小：ac
2evr sin
方向：由右手法则确定。
加速度合成定理的应用举例
例1 刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的一端A与滑块用
Ve Va
根据：
Va Ve Vr
理论力学第7章分析解析
解： 1.运动分析：
动点：滑块A ；
动系:固连于杆BC上；
绝对运动：以O为圆心的圆周运动； 相对运动：滑块A在杆BC上的直线运动；
牵连运动：BC的平移。
2.速度分析
va ve vr
？ √ √
大小：rωO ？ 方向：√
vr ve va rO
BD
ve rO BD l
ωt
绝对运动方程： vt vt x x cos y sin r 1 cos cos ωt r sin sin ωt r r
vt vt y x sin y cos r 1 cos sin ωt r sin cos ωt r r
§ 7-2 点的速度合成定理
例：小球在金属丝上的运动
绝对运动
M'
相对运动
M2
va ve
M1
牵连点的运动
z
vr
M y
x
O
点的速度合成定理
动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时 的牵连速度与相对速度的矢量和
va ve vr
例7-3 已知：刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的一端A与滑块 用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转动时， 滑块在摇杆O1B上滑动，并带动杆O1B绕定轴O1摆动。设曲 柄长为OA=r，两轴间距离OO1=l。 求：曲柄在水平位置时摇杆的 角速度 1 。
（3）机构传动，传动特点是在一个刚体上存在 一个不变的接触点，相对于另一个刚体运动。 例如： 导杆滑块机构 —— 滑块为动点， 动系固结于导杆； 凸轮挺杆机构 —— 杆上与凸轮接触点为动点， 动系固结于凸轮； 摇杆滑道机构 —— 滑道中的点为动点， 摇杆为动系。 （4）特殊问题，特点是相接触两个物体的接触 点位置都随时间变化，此时，这两个物体的接触 点都不宜选为动点，应选择满足前述的选择原则 的非接触点为动点。
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l2r2
O 1A l2r2
所以可得
1
r2
l2 r2
逆时针
23
例题
点的合成运动
例 题3
O φ
x
A
v1
x'
2021/3/1
y
B y'
v2
船A和船B分别沿 夹角是φ的两条直线行 驶，已知船A的速度是 v1，船B始终在船A的左 舷正对方向，试求船B 的 速 度 v2 和 它 对 船 A 的 相对速度。
24
例题
O φ
点的合成运动
例 题3
y 解：
1. 选择动点，动系与定系。
A
v1
B y'
v2
x x'
2021/3/1
动系－Ox'y'，固连于凸轮。
定系－固连于水平轨道。
v0
2. 运动分析。
绝对运动－直线运动。 x'
相对运动－沿凸轮轮廓曲线运动。
牵连运动－水平平动。
14
例题
点的合成运动
例题1
B
3. 速度分析。 vavevr
vr
va
φA
R φ
ve
v0
n
2021/3/1
绝对速度va：大小未知，方 向沿杆AB向上。
牵连运动方程为
x O´=x O´ (t)，y O´=y O´ (t)，
= (t)
动系O´x´y´与定系Oxy之间的坐标变换关系
为
2021/3/1
xy==yxOO´´++xx´´scinos+-
y´sin y´cos
8
六． 三种运动的关系图
动点
相对运动
绝对运动
动系
பைடு நூலகம்
牵连运动
定系
2021/3/1
9
第二节 点的速度合成定理
16
例题
2021/3/1
点的合成运动
平例动实题例1
参见动画：点的复合运动(凸轮4)
讨论：
若取凸轮 圆心O′点为动 点，动系固连 顶杆AB，则相 对运动轨迹是 什么曲线？
17
例题
2021/3/1
点的合成运动
例题2
刨床的急回机构如图所示，曲 柄OA的一端A与滑块用铰链连接， 当曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O 转 动 时 ， 滑 块 在 摇 杆 O1B 上 滑 动 ， 并带动摇杆O1B绕固定轴O1摆动， 设曲柄长OA=r，两间距离OO1= l， 求当曲柄在水平位置时摇杆的角速 度ω1。
2021/3/1
1
第 五 章 点的合成运动
第一节 相对运动·牵连运动·绝对运动 第二节 点的速度合成定理 第三节 牵连运动是平移时点的加速度合成 定理 第四节 牵连运动是定轴转动时点的加速度 合成定理
2021/3/1
2
第一节 相对运动·牵连运动·绝对运动
一. 动点 定系 动系
参见动画：飞机螺旋桨上点的运动分析
18
例题
点的合成运动
例题2
参见动画：点的复合运动(曲柄－摇杆机构1)
运动演示
2021/3/1
19
例题
点的合成运动
例题2
参见动画：点的复合运动(曲柄－摇杆机构2)
相对运动轨迹
2021/3/1
20
例题
2021/3/1
点的合成运动
例题2
解：
1. 选择动点，动系与定系。
动点－滑块 A 。
y'
参见动画：牵连点(2)
2021/3/1
参见动画：牵连点(3)
6
动画
牵连点
参见动画：牵连点(4)
2021/3/1
参见动画：牵连点(5)
7
五．绝对、相对和牵连运动之间的关系
设Oxy是定系，O´x´y´是动系，M是动点。
M的绝对运动方程为 x=x(t)，y=y(t)
M的相对运动方程为
x´=x´ (t)，y´=y´ (t)
动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的相对速度与牵 连速度的矢量和。
va = vr + ve
速度平行四边形
vr ve
2021/3/1
va
10
例题
点的合成运动
例题1
B
A
v0
R φ
n
2021/3/1
仿形机床中半径为R 的半圆形靠模凸轮以等 速度v0沿水平轨道向右运 动，带动顶杆AB沿铅垂 方向运动，如图所示， 试求φ=60º时，顶杆AB的 速度。
动系－O1x'y'，固连于摇杆 O1B。
定系－固连于机座。
2. 运动分析。 绝对运动－以O为圆心的圆周运动。
x'
相对运动－沿O1B的直线运动。
牵连运动－摇杆绕O1轴的摆动。
21
例题
2021/3/1
点的合成运动
例题2
va vr
3. 速度分析。 应用速度合成定理
va vevr
绝对速度va：va＝OA ·ω ＝r ω ，方 向垂直于OA，沿铅垂 方向向上。
牵连速度ve：ve为所要求的未知量， 方向垂直于O1B 。
相对速度vr：大小未知，方向沿摇杆 O1B 。
22
例题
点的合成运动
例题2
2021/3/1
其中
vavevr
va vr
因为
vevasi n
va r，sin
r, l2r2
所以
ve
r2
l2 r2
设摇杆在此瞬时的角速度为ω1，则
veO 1A1
r2
动点相对于动系运动的轨迹、速度和加速度称为相对轨 迹、相对速度（vr）和相对加速度（ar ）
动参考系上与动点重合的点的速度和加速度称为动点的 牵连速度（ve）和牵连加速度（ae ）
2021/3/1
❖ 动参考系上与动点 重合的点称为牵连点
❖ 由于相对运动，不 同瞬时牵连点的位置是 不同的
5
动画
牵连点
11
例题
点的合成运动
例题1
参见动画：点的复合运动(凸轮1)
2021/3/1
运动演示
12
例题
点的合成运动
平例动实题例1
参见动画：点的复合运动(凸轮2)
2021/3/1
相对运动轨迹
13
例题
B
y' A
R φ
O n
2021/3/1
点的合成运动
例题1
解： 1. 选择动点，动系与定系。
动点－ AB的端点A 。
牵连速度ve：ve= v0，方向水平 向右。
相对速度vr：大小未知，方向 沿凸轮圆周的切 线。
15
例题
点的合成运动
例题1
B
应用速度合成定理
vr
va
φA
R φ
ve
v0
n
2021/3/1
va vevr
v a v eco v 0 tc6 o 0 t 0 .5v 0 77
此瞬时杆AB的速度方向向上。
参见动画：被起重机吊起的重物上点的运动分析
动点：我们所研究的点（或者是刚体上的一点）
定系：一般情况下取与地球固连的参考系（或者将参考 系固定在与地球没有相对运动的物体上）
动系：相对与定参考系运动的参考系，一般指相对地面
2021/3/1
运动着的参考系
3
二. 三种运动
绝对运动： 动点相对于定参考系的运动
相对运动： 动点相对于动参考系的运动
牵连运动： 动系相对于定参考系的运动
三. 运动的合成和分解
相对运动 + 牵连运动
合成 分解
2021/3/1
点的运动 点的运动 刚体的运动 绝对运动
4
四. 三种运动速度、加速度
动点相对于定系运动的轨迹、速度和加速度称为绝对轨 迹、绝对速度（ va ）和绝对加速度（aa ）
O 1A l2r2
所以可得
1
r2
l2 r2
逆时针
23
例题
点的合成运动
例 题3
O φ
x
A
v1
x'
2021/3/1
y
B y'
v2
船A和船B分别沿 夹角是φ的两条直线行 驶，已知船A的速度是 v1，船B始终在船A的左 舷正对方向，试求船B 的 速 度 v2 和 它 对 船 A 的 相对速度。
24
例题
O φ
点的合成运动
例 题3
y 解：
1. 选择动点，动系与定系。
A
v1
B y'
v2
x x'
2021/3/1
动系－Ox'y'，固连于凸轮。
定系－固连于水平轨道。
v0
2. 运动分析。
绝对运动－直线运动。 x'
相对运动－沿凸轮轮廓曲线运动。
牵连运动－水平平动。
14
例题
点的合成运动
例题1
B
3. 速度分析。 vavevr
vr
va
φA
R φ
ve
v0
n
2021/3/1
绝对速度va：大小未知，方 向沿杆AB向上。
牵连运动方程为
x O´=x O´ (t)，y O´=y O´ (t)，
= (t)
动系O´x´y´与定系Oxy之间的坐标变换关系
为
2021/3/1
xy==yxOO´´++xx´´scinos+-
y´sin y´cos
8
六． 三种运动的关系图
动点
相对运动
绝对运动
动系
பைடு நூலகம்
牵连运动
定系
2021/3/1
9
第二节 点的速度合成定理
16
例题
2021/3/1
点的合成运动
平例动实题例1
参见动画：点的复合运动(凸轮4)
讨论：
若取凸轮 圆心O′点为动 点，动系固连 顶杆AB，则相 对运动轨迹是 什么曲线？
17
例题
2021/3/1
点的合成运动
例题2
刨床的急回机构如图所示，曲 柄OA的一端A与滑块用铰链连接， 当曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O 转 动 时 ， 滑 块 在 摇 杆 O1B 上 滑 动 ， 并带动摇杆O1B绕固定轴O1摆动， 设曲柄长OA=r，两间距离OO1= l， 求当曲柄在水平位置时摇杆的角速 度ω1。
2021/3/1
1
第 五 章 点的合成运动
第一节 相对运动·牵连运动·绝对运动 第二节 点的速度合成定理 第三节 牵连运动是平移时点的加速度合成 定理 第四节 牵连运动是定轴转动时点的加速度 合成定理
2021/3/1
2
第一节 相对运动·牵连运动·绝对运动
一. 动点 定系 动系
参见动画：飞机螺旋桨上点的运动分析
18
例题
点的合成运动
例题2
参见动画：点的复合运动(曲柄－摇杆机构1)
运动演示
2021/3/1
19
例题
点的合成运动
例题2
参见动画：点的复合运动(曲柄－摇杆机构2)
相对运动轨迹
2021/3/1
20
例题
2021/3/1
点的合成运动
例题2
解：
1. 选择动点，动系与定系。
动点－滑块 A 。
y'
参见动画：牵连点(2)
2021/3/1
参见动画：牵连点(3)
6
动画
牵连点
参见动画：牵连点(4)
2021/3/1
参见动画：牵连点(5)
7
五．绝对、相对和牵连运动之间的关系
设Oxy是定系，O´x´y´是动系，M是动点。
M的绝对运动方程为 x=x(t)，y=y(t)
M的相对运动方程为
x´=x´ (t)，y´=y´ (t)
动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的相对速度与牵 连速度的矢量和。
va = vr + ve
速度平行四边形
vr ve
2021/3/1
va
10
例题
点的合成运动
例题1
B
A
v0
R φ
n
2021/3/1
仿形机床中半径为R 的半圆形靠模凸轮以等 速度v0沿水平轨道向右运 动，带动顶杆AB沿铅垂 方向运动，如图所示， 试求φ=60º时，顶杆AB的 速度。
动系－O1x'y'，固连于摇杆 O1B。
定系－固连于机座。
2. 运动分析。 绝对运动－以O为圆心的圆周运动。
x'
相对运动－沿O1B的直线运动。
牵连运动－摇杆绕O1轴的摆动。
21
例题
2021/3/1
点的合成运动
例题2
va vr
3. 速度分析。 应用速度合成定理
va vevr
绝对速度va：va＝OA ·ω ＝r ω ，方 向垂直于OA，沿铅垂 方向向上。
牵连速度ve：ve为所要求的未知量， 方向垂直于O1B 。
相对速度vr：大小未知，方向沿摇杆 O1B 。
22
例题
点的合成运动
例题2
2021/3/1
其中
vavevr
va vr
因为
vevasi n
va r，sin
r, l2r2
所以
ve
r2
l2 r2
设摇杆在此瞬时的角速度为ω1，则
veO 1A1
r2
动点相对于动系运动的轨迹、速度和加速度称为相对轨 迹、相对速度（vr）和相对加速度（ar ）
动参考系上与动点重合的点的速度和加速度称为动点的 牵连速度（ve）和牵连加速度（ae ）
2021/3/1
❖ 动参考系上与动点 重合的点称为牵连点
❖ 由于相对运动，不 同瞬时牵连点的位置是 不同的
5
动画
牵连点
11
例题
点的合成运动
例题1
参见动画：点的复合运动(凸轮1)
2021/3/1
运动演示
12
例题
点的合成运动
平例动实题例1
参见动画：点的复合运动(凸轮2)
2021/3/1
相对运动轨迹
13
例题
B
y' A
R φ
O n
2021/3/1
点的合成运动
例题1
解： 1. 选择动点，动系与定系。
动点－ AB的端点A 。
牵连速度ve：ve= v0，方向水平 向右。
相对速度vr：大小未知，方向 沿凸轮圆周的切 线。
15
例题
点的合成运动
例题1
B
应用速度合成定理
vr
va
φA
R φ
ve
v0
n
2021/3/1
va vevr
v a v eco v 0 tc6 o 0 t 0 .5v 0 77
此瞬时杆AB的速度方向向上。
参见动画：被起重机吊起的重物上点的运动分析
动点：我们所研究的点（或者是刚体上的一点）
定系：一般情况下取与地球固连的参考系（或者将参考 系固定在与地球没有相对运动的物体上）
动系：相对与定参考系运动的参考系，一般指相对地面
2021/3/1
运动着的参考系
3
二. 三种运动
绝对运动： 动点相对于定参考系的运动
相对运动： 动点相对于动参考系的运动
牵连运动： 动系相对于定参考系的运动
三. 运动的合成和分解
相对运动 + 牵连运动
合成 分解
2021/3/1
点的运动 点的运动 刚体的运动 绝对运动
4
四. 三种运动速度、加速度
动点相对于定系运动的轨迹、速度和加速度称为绝对轨 迹、绝对速度（ va ）和绝对加速度（aa ）