中考数学试题2008年广东湛江市

湛江市2008年初中毕业生水平考试
数 学 试 题
说明：1．本试卷满分150分，考试时间90分钟．
2．本试卷共4页，共5大题．
3．答题前，请认真阅读答题卡上的“注意事项”，然后按要求将答案写在答题卡相
应的位置上．
4．请考生保持答题卡的整洁，考试结束，将试卷和答题卡一并交回． 注意：在答题卡上作图必须用黑色字迹的钢笔或签字笔．
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．
1． 在2-、0、1、3这四个数中比0小的数是（ ）
Ａ．2-
Ｂ．0
Ｃ．1 D ．3
2． 人的大脑每天能记录大约8600万条信息，数据8600用科学计数法表示为（ ）
A ． 40.8610⨯
B ． 28.610⨯
C ． 38.610⨯
D ． 28610⨯
3． 不等式组1
3
x x >-⎧⎨
<⎩的解集为（ ）
Ａ．1x >-
Ｂ．3x <
Ｃ．13x -<< D ．无解
4． ⊙O 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ）
A ． 相交
B ． 相切
C ． 相离
D ． 无法确定 5． 下面的图形中，是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6． 下列计算中，正确的是（ ）
A ． 22-=-
B ．=
C ． 325a a a ⋅=
D ． 2
2x x x -=
7． 从n 个苹果和3个雪梨中，任选1个，若选中苹果的概率是
1
2
，则n 的值是（ ） A ． 6 B ． 3 C ． 2 D ． 1 8． 函数1
2
y x =
-的自变量x 的取值范围是（ ） A ． 2x = B ． 2x ≠ C ． 2x ≠- D ． 2x >
9．数据2，7，3，7，5，3，7的众数是（）
Ａ．2Ｂ．3Ｃ．5Ｄ．7
10．将如图1所示的Rt△ABC绕直角边BC旋转一周，所得几何体的左视图是（）
11
．已知三角形的面积一定，则它底边a上的高
h与底边a之间的函数关系的图象大致是（）
B．
C． D ．
12．如图2所示，已知等边三角形ABC的边长为1，按图中所示的规律，用2008个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是（）
Ａ．2008Ｂ．2009Ｃ．2010Ｄ．2011
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
13．湛江市某天的最高气温是27℃，最低气温是17℃，那么当天的温差是℃．14．分解因式：2
22
a ab
-=．
15．圆柱的底面周长为2π，高为3，则圆柱侧面展开图的面积是．
16．如图3所示，请写出能判定CE∥AB的一个条件．
17．图4
若宇宙中有一块陨石落在地球上，则它落在海洋中的概率是．
18．将正整数按如图5所示的规律排列下去，若有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，2）表示实数9，则表示实数17的有序实数对是．
A B
E
图2
C
A
B
┅┅
三、解答题：本大题共5小题，每小题7分，共35分． 19． 计算：(1-)2008－(
π－3)0＋4．
20． 某足球比赛的计分规则为胜一场得3分，平一场得
1分，负一场得0分．一个队踢14场
球负5场共得19分，问这个队胜了几场？
21． 有五张除字不同其余都相同的卡片分别放在甲、乙两盒子中，已知甲盒子有三张，分
别写有“北”、“京”、“奥”字样，乙盒子有两张，分别写有“运”、“会”字样，若依次从甲乙两盒子中各取一张卡片，求能拼成“奥运”两字的概率．
22． 如图6所示，课外活动中，小明在离旗杆AB 10米的C 处，用测角仪测得旗杆顶部A
的仰角为40︒，已知测角仪器的高CD =1.5米，求旗杆AB 的高． (精确到0.1米) （供选用的数据：sin 400.64≈，cos 400.77≈，tan 40≈
23． 如图7所示，已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ，AC 与BD 相交于点O ．请
在图中找出一对全等的三角形，并加以证明．
四、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分．
24． 为了了解某校2000名学生参加环保知识竞赛的成绩，从中抽取了部分学生的竞赛成绩（均为整数），整理后绘制成如下的频数分布直方图(如图8)，请结合图形解答下列问题．
(1) 指出这个问题中的总体．
(2) 求竞赛成绩在79.5～89.5这一小组的频率．
(3) 如果竞赛成绩在90分以上（含90分）的同学可获得奖励，请估计全校约有多少人获得奖励．
25． 如图9所示，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ．连接AC 、OC 、
BC ． （1）求证：∠ACO =∠BCD ．
（2）若E B =8cm ，CD =24cm ，求⊙O 的直径．
26． 某农户种植一种经济作物，总用水量y （米3
）与种植时间x （天）之间的函数关系
式如图10所示．
（1）第20天的总用水量为多少米3
？
（2）当x ≥20时，求y 与x 之间的函数关系式．
（3）种植时间为多少天时，总用水量达到7000米3
？
图8
图10
天)
五、解答题：本大题共2小题，其中第27题12分，28题13分，共25分． 27． 先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．
11
1122=-⨯ 111
2323=-⨯ 111
3434
=-⨯ ┅┅ (1) 计算
111111223344556
++++=⨯⨯⨯⨯⨯ ． （2）探究
1111......122334(1)
n n ++++=⨯⨯⨯+ ．（用含有n 的式子表示） （3）若 1111......133557(21)(21)n n ++++⨯⨯⨯-+的值为17
35
，求n 的值．
28． 如图11所示，已知抛物线2
1y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ． （1）求A 、B 、C 三点的坐标．
（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP
（3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴
于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与∆PCA 相似． 若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．
湛江市2008年初中毕业水平考试
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．
1． A 2． C 3． C 4． A 5． D 6． C 7． B 8． B 9． D 10． A 11 D 12． C
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
13． 10 14．2()a a b - 15． 6π 16．∠DCE =∠A 或∠ECB =∠B 或∠A +∠ACE =180︒ 17． 0.71 18．（6，5）
三、解答题：本大题共5小题，每小题7分，共35分． 19． 解：原式=112-+ ·········································································· （4分）
= 2 ················································································ （7分）
20． 解：设这个队胜了x 场，依题意得:
3(145)19x x +--= ·
································································ （4分） 解得：5x = ············································································· （6分）
答：这个队胜了5场． ·································································· （7分）
21．
························ （4分）
从表中可以看出，依次从甲乙两盒子中各取一张卡片，可能出现的结果．
有6个，它们出现的可能性相等，其中能拼成“奥运”两字的结果有1个． ···· （5分）
所以能拼成“奥运”两字的概率为
1
6． ··············································· （7分） 22． 解：在Rt △ADE 中，tan ∠ADE =DE AE
············· （2分） ∵DE =10，∠ADE =40︒
∴AE =DE tan ∠ADE =10tan 40︒≈100.84⨯=8.4 （4分） ∴AB =AE +EB =AE +DC =8.4 1.59.9+= ················· （6分） 答：旗杆AB 的高为9.9米． ····························· （7分）
23． 解：∆ABC ≌∆DCB ··································· （2分） 证明：∵在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ∴∠ABC
=∠DCB ························
· （4分） 在∆ABC 与∆DCB 中
AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴∆ABC ≌∆DCB ··················································· （7分）（注：答案不唯一） 四、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分．
24． 解： (1) 总体是某校2000名学生参加环保知识竞赛的成绩． ··················· （2分）
（2）
1515
0.256912151860
==++++ ·
··············································· （5分） 答：竞赛成绩在79.5～89.5这一小组的频率为0.25． ························ （6分）
（3）9
200030069121518
⨯=++++ ·
·············································· （9分） 答：估计全校约有300人获得奖励． ············································· （10分）
25． 证明：(1)∵AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于E ，
∴CE =ED ， CB DB = ·························· （2分） ∴∠BCD =∠BAC ································· （3分） ∵O A =O C ∴∠O AC =∠O CA
∴∠AC O=∠BCD ·································· （5分） (2)设⊙O 的半径为Rcm ，则O E =O B -EB =R -8
CE =
21CD =2
1
⨯24=12 ······························ (6分） 在Rt ∆CE O 中，由勾股定理可得
O C 2
=O E 2
+CE 2
即R 2
= (R -8)2
+122
···································· （8分） 解得 R=13 ∴2R=2⨯13=26 答：⊙O 的直径为26cm ． ························································· （10分）
59.5
49.5
79.5 89.5 69.5 人数
99.5
成绩
∴y 与x 之间的函数关系式为：y=300x -5000 ···································· （7分）
（3）当y =7000时
有7000=300x -5000 解得x =40
答 ：种植时间为40天时，总用水量达到7000米3 ································ （10分） 五、解答题：本大题共2小题，其中第27题12分，28题13分，共25分． 27． 解：（1）
5
6 ··················································································· （3分） （2）1
+n n
··················································································· （6分）
（3）
1111......133557(21)(21)
n n ++++⨯⨯⨯-+ =
)7151(21)5131(21)311(21-+-+-+ ┄ +)121121(21+--n n =)1211(21+-n =12+n n ···························································· （9分） 由12+n n =35
17 解得17=n ············································· （11分） 经检验17=n 是方程的根，∴17=n ············································ （12分）
28．解：（1）令0y =，得210x -= 解得1x =±
令0x =，得1y =-
∴ A (1,0)- B (1,0) C (0,1)- ···（2分）
（2）∵O A =O B =O C =1 ∴∠BAC =∠AC O=∠BC O=45
∵A P ∥CB ， ∴∠P AB =45
过点P 作P E ⊥x 轴于E ，则∆A P E 为等腰直角三角形
令O E =a ，则P E =1a + ∴P (,1)a a +
∵点P 在抛物线2
1y x =-上 ∴211a a +=- 解得12a =，21a =-（不合题意，舍去）
∴P E =3 ···························································································· 4分）
∴四边形ACB P 的面积S =
12AB •O C +1
2AB •P E =11
2123422
⨯⨯+⨯⨯= ······································ 6分） (3)． 假设存在
∵∠P AB =∠BAC =45 ∴P A ⊥AC
∵MG ⊥x 轴于点G ， ∴∠MG A =∠P AC =90 在Rt △A O C 中，O A =O C =1 ∴AC
在Rt △P AE 中，AE =P E =3 ∴A
P= ················································ 7分） 设M 点的横坐标为m ，则M 2
(,1)m m - ①点M 在y 轴左侧时，则1m <- (ⅰ) 当∆A MG ∽∆P CA 时，有
AG PA =MG
CA
∵A G=1m --，MG=21m -
2= 解得11m =-（舍去） 22
3
m =
（舍去） (ⅱ) 当∆M A G ∽∆P CA 时有AG CA =MG
PA
即
2= 解得：1m =-（舍去） 22m =-
∴M (2,3)- ·········································································· （10分）
② 点M 在y 轴右侧时，则1m > (ⅰ) 当∆A MG ∽∆P CA 时有
AG PA =MG
CA
∵A G=1m +，MG=21m -
∴
2= 解得11m =-（舍去） 243
m =
∴M 47
(,)39
(ⅱ) 当∆M A G ∽∆P CA 时有AG CA =MG
PA
即
2= 解得：11m =-（舍去） 24m = ∴M (4,15)
∴存在点M ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与∆P CA 相似
M 点的坐标为(2,3)-，47(,)39
，(4,15) ·································· （13分）
说明：以上各题如有其他解（证）法，请酌情给分。