离散数学模型
离散数学第五章
作业：P178 (2)；P185 (1), (2)
5.3 半群和独异点
一、半群
1、定义
①具有运算封闭性的代数系统A=〈s，*〉 称为 广群，满足运算封闭、结合律的代数 系统 A=＜s，*＞，称为半群，这里*是二 元运算。 ②存在么元的半群称为独异点，也称含么 半群， 单位半群，单元半群。
5.3 半群和独异点
二、么元（单位元）和零元
例：代数A=〈{a，b，c}， ○ 〉用下表定义： ○ a b c 特殊元: b是左么元，无右么元; a是右零元，b是右零元， 无左零元; 运算:既不满足结合律，也不满足交换律。 a a a a b b b b c b c a
二、么元（单位元）和零元
例: a）〈I，x〉， I为整数集
5.2 运算及其性质
5.吸收律：设<A，*，△>，若x，y，z∈A有: x*(x △z)=x 称运算*满足吸收律; x △(x * y) =x； 运算 △满足吸收律
例:N为自然数集,x,y∈N，x*y=max{x，y},
x△y=min{x，y}
试证：*，△满足吸收律 证明：x，y∈N， x*（x△y）=max{x，min{x，y}}=x ∴*满足吸收律 x x≥y x<y x≥y =x =x
则么元为1，零元为0
b）〈（s）,∪,∩〉 对运算∪，是么元， s是零元，
对运算∩，s是么元 ，是零元。 c）〈N，+〉 有么元0，无零元。
二、么元（单位元）和零元
2、性质
性质1: 设*是s上的二元运算，满足结合律，具 有左么元el，右么元er，则el=er=e 证明： er = el* er = e
闭否，<A，+>，<A，/>呢？ 解：2r，2s∈A， 2r x 2s=2r+s∈A （r+s∈Ｎ）
第五章 离散模型
⑶
p11 0.8, p12 0.2, p21 0.7, p22 0.3,
再由于投保人处于健康状态，即 0 1 1, 0 2 0. 由此得到
n
0
1
2
3
4
n 1 1 0.8 0.78 0.778 0.7778 7 / 9. n 2 0 0.2 0.22 0.222 0.2222 2 / 9
x, y x y 1, 2.
y
2 1
o
1
2
3
x
在上图中, 实点即表示为容许状态的集合. 乘船的方案称为决策，仍然用向量
x, y 来表示，
即 x名商人和 y 名随从同坐一条船. 在这些决策中, 有
是符合条件的，称为容许决策。容许决策的全体组成集 合构成容许决策的集合，记为 D. 在这个问题中，容许决策的集合为
若投保人在开始时处于疾病状态，即0 1 0, 0 2 1. 则有
n
0
1
2
3
4
n 1 0 0.7 0.77 0.777 0.7777 7 / 9. n 2 1 0.3 0.23 0.223 0.2223 2 / 9
从两张表中可以看到，无论投保人在初始时处于什么 状态，当时间趋于无穷大时，该时刻的状态趋于稳定， 且与初始值无关。即
9
10 11 12
2, 2 0, 2 0,3 0,1 0, 2 0,0
2,0 0,1 0, 2 0,1 0, 2
分析
从上表中可以看到，该方案是可行的。
二、马氏链及其应用
1.一个简单的例子 我们知道，人寿保险公司最为关心的是投保人的健康
金融市场收益率离散数学模型及其定性分析
ｍｏｄｅｌｓ ｆｄｉｓｃｒｅｔｅ ＲＲＡＣＦ ｍｏｄｅｌｌ
ａｒｅ
ｂｕｉｌｔ ｕｐ ｕｎｄｅｒ ｖａｒｉｏｕｓ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｆｉｎａｎｃｉａｌ ｂａｃｋ—
ｇｒｏｕｎｄｓ．Ｍｏｒｅ ｓｐｅｃｉｆｉｃａｌｌｙ，ｃｏｎｃｅｒｎｉｎｇ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｖｅｌｙ ｃｌｏｓｅｄ
ｂｕｉｌｄ ｕｐ
ａ
ｆｉｎａｎｃｉａｌ
ｎｅｔｗｏｒｋ，ｗｅ
ｂａｓｉｃ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ＲＲＡＣＦ ｍｏｄｅｌ ｒｅｆｌｅｃｔｉｎｇ ｔｈｅ ｌａｗ ｏｆ ｉｎｓｔａｎｔ ｒａｔｅｓ ｏｆ ｒｅｔｕｒｎ
ｏｆ ｅａｃｈ ｎｏｄｅ ｉｎ ｔｈｅ ｆｉｎａｎｃｉａｌ ｎｅｔｗｏｒｋ．Ｓｉｎｃｅ ｅｖｅｒｙ ｆｉｎａｎｃｉａｌ ｎｅｔｗｏｒｋ ｉｓ ｏｐｅｎ，ｗｅ
ｒｅｔｕｒｎ—ａｍｏｕｎｔ ｏｆ ｃｉｒｃｕｌａｔｉｎｇ ｆｕｎｄ ｍｏｄｅｌ ｉｎ
ａｎ
ｏｐｅｎ ｆｉｎａｎｃｉａｌ ｎｅｔｗｏｒｋ．Ａ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ
ＵＳ—
ａｎｄ ｓｎｆｆｉｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｂｙ
ｗｅ ｂｕｉｌｄ ｕｐ ａｎｏｔｈｅｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｃｏｎｃｅｒｎｉｎｇ ｔｈｅ ｒａｔｅ ｏｆ ｒｅｔｕｒｎｓ
ｃｉｒｃｕｌａｔｉｎｇ ｆｕｎｄ ｗｉｔｈ ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ ｔｅｒｍｓ． Ｃｈａｐｔｅｒ ３一Ｃｈａｐｔｅｒ ６ ｍａｉｎｌｙ ｄｅａｌｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｅｄ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ
ｏｆ ｔｈｅ ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｔｏ ｔｈｅ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｄｅｌａｙ ＲＲＡＣＦ ｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｔｈｅ ｌａｓｔ ｃｈａｐｔｅｒ ｍａｉｎｌｙ ｄｅａｌｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ＲＲＡＣＦ ｍｏｄｅｌ ｗｉｔｈ ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ ｔｅｒｍｓ．Ｉｔ ｉｓ ｓｈｏｗｎ ｔｈａｔ ｔｈｅ ａｖｅｒａｇｅ ｒａｔｅ ｏｆ ｒｅｔｕｒｎ ｏｆ ｔｈｅ ｎｅｔｗｏｒｋ
2010-7-22离散数学模型分析覆盖问题 清晰版
离散数学模型分析——覆盖问题ylyang@youlongy@Email 2010年7月22日时间杨有龙教授报告人2008年国家一等奖西安电子科技大学理学院数学系杨有龙2009年国家二等奖西安电子科技大学理学院数学系杨有龙2009年国家二等奖西安电子科技大学理学院数学系杨有龙2008年陕西省一等奖西安电子科技大学理学院数学系杨有龙2008年陕西省一等奖西安电子科技大学理学院数学系杨有龙2009年陕西省一等奖西安电子科技大学理学院数学系杨有龙2009年陕西省一等奖西安电子科技大学理学院数学系杨有龙2009年国际数模ICM 一等奖西安电子科技大学理学院数学系杨有龙2009年国际数模ICM 二等奖西安电子科技大学理学院数学系杨有龙西安电子科技大学理学院数学系杨有龙近年赛事成绩33(1)2010年321717(2)5(2)13(1)42009年220812(2)33(1)532008年国家三等奖国家二等奖国家一等奖陕西省二等奖陕西省一等奖国家二等奖国家一等奖国际二等奖国际一等奖奖项全国研究生数学建模竞赛全国大学生数学建模竞赛国际大学生数学建模竞赛赛事内容提要背景问题覆盖问题覆盖问题的求解西安电子科技大学理学院数学系杨有龙内容提要背景问题覆盖问题覆盖问题的求解西安电子科技大学理学院数学系杨有龙问题1某城市的城建部门计划在每条街的拐角处或另一个尽头装一个消防水龙头，需要水龙头的个数是多少？请建立模型并给出解决的方案。
西安电子科技大学理学院数学系杨有龙问题2根据菜单和对应的营养表，怎么点菜使得营养全、费用少？西安电子科技大学理学院数学系杨有龙问题2A西班牙煎蛋B炒鸡丁C色拉D牛排E土豆F 洋葱炒肝菜单101516261224欢迎用餐西安电子科技大学理学院数学系杨有龙西安电子科技大学理学院数学系杨有龙1001F 0110E 0001D 1100C 0011B 1101A 矿物质维生素碳水化合物蛋白质营养成分列表内容提要背景问题覆盖问题覆盖问题的求解西安电子科技大学理学院数学系杨有龙2 /30西安电子科技大学理学院数学系杨有龙背景知识——图的表示一个图是由“顶点”集合和“边”集合所构成，边被看成图的不同顶点的无序对.v 5v 1v 4v 2v 3e 2e 7e 3e 4e 6e 5e 1(,)G V E =(,)v w E ∈V E西安电子科技大学理学院数学系杨有龙12345{,,,,}V v v v v v =五个顶点1234567{,,,,,,}E e e e e e e e =七条边西安电子科技大学理学院数学系杨有龙V 1 V 2V 3V 4 V 501001*0110**011***01****0⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠V 1V 2V 3V 4V 5图的表示矩阵用一个上三角形矩阵表示图的顶点之间是否有边相连，若有边则矩阵元素为1，否则为0，此矩阵称为图的表示矩阵。
离散数学--第十五章 欧拉图和哈密顿图
实例
在上图中， (1),(2) 是哈密顿图; (3)是半哈密顿图; (4)既不是哈密顿图，也不是半哈密顿图，为什么？
14
无向哈密顿图的一个必要条件
定理15.6 设无向图G=<V,E>是哈密顿图，对于任意V1V且 V1，均有 p(GV1) |V1|
证 设C为G中一条哈密顿回路。
当V1顶点在C上均不相邻时， p(CV1)达到最大值|V1|，
求图中1所示带权图k29主要内容欧拉通路欧拉回路欧拉图半欧拉图及其判别法哈密顿通路哈密顿回路哈密顿图半哈密顿图带权图货郎担问题基本要求深刻理解欧拉图半欧拉图的定义及判别定理深刻理解哈密顿图半哈密顿图的定义
第十五章 欧拉图与哈密顿图
主要内容
➢ 欧拉图 ➢ 哈密顿图 ➢ 带权图与货郎担问题
1
15.1 欧拉图
大时，计算量惊人地大
27
例6 求图中(1) 所示带权图K4中最短哈密顿回路.
(1)
(2)
解 C1= a b c d a,
W(C1)=10
C2= a b d c a,
W(C2)=11
C3= a c b d a,
W(C3)=9
可见C3
(见图中(2))
是最短的，其权为9. 28
第十五章 习题课
主要内容 欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图及其判别法 哈密顿通路、哈密顿回路、哈密顿图、半哈密顿图 带权图、货郎担问题
点.
由vi 的任意性，结论为真. 充分性 对边数m做归纳法（第二数学归纳法）. (1) m=1时，G为一个环，则G为欧拉图. (2) 设mk（k1）时结论为真，m=k+1时如下证明：
5
从以上证明不难看出：欧拉图是若干个边不重的圈之 并，见示意图3.
离散数学模型的应用研究
离散数学模型的应用研究
离散数学是研究离散结构的数学分支，它的主要研究对象包括集合、函数、关系、图论、逻辑等。
离散数学模型是离散数学在各个领域中的应用研究，通过构建合适的离散数学模型，可以进行问题的分析、模拟和优化等。
离散数学模型在实际应用中广泛运用，以下就几个典型的领域进行介绍。
1. 计算机科学中的离散数学模型：离散数学在计算机科学中有广泛的应用。
例如在编译器设计中，通过离散数学模型可以实现代码的优化和自动化生成；在图形学中，离散数学模型可以用于图像的处理和渲染；在密码学中，离散数学模型可以用于设计和分析密码算法等。
2. 运筹学中的离散数学模型：运筹学是研究如何通过数学模型和优化方法来解决决策问题的学科。
离散数学模型在运筹学中有着重要的地位。
例如在物流管理中，可以利用离散数学模型来优化货物的配送路径和资源的利用；在排产问题中，可以使用离散数学模型来优化工厂的生产计划和资源调度等。
3. 社交网络分析中的离散数学模型：社交网络分析是研究社交网络结构和社交行为的学科，离散数学模型在这个领域中有着重要的应用。
例如在社交网络中，可以使用离散数学模型来分析网络的拓扑结构、社群结构和信息传播等；在推荐系统中，离散数学模型可以用于计算用户之间的相似度和预测用户的兴趣等。
离散数学模型在各个领域中都有重要的应用，它能够通过建立合适的模型来分析和解决实际问题，为各个领域的发展和进步做出贡献。
随着科技的进步和应用需求的提升，离散数学模型的研究和应用将会越来越受到重视和关注。
离散数学模型的应用研究
离散数学模型的应用研究作者：周鋆徐文豪葛玉凤来源：《科技资讯》2019年第07期摘; 要：离散数学是数学的一个重要分支，它已经从单纯的知识积累中发生了革命性的变化。
其内容包括数理逻辑、集合论、代数系统、图论以及组合理论等。
随着区块链的初步发展以及计算机的广泛应用，越来越多的离散数学知识被运用到区块链等领域中，该课题主要是就是研究利用离散数学的方法计算机等领域的实际应用。
关键词：离散数学; 计算机; 区块链; 数据结构中图分类号：G71; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;文献标识码：A; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 文章编号：1672-3791（2019）03（a）-0234-02自20世纪50年代以来，数学知识一直出现新的观点，它已经从单纯的知识积累中发生了革命性的变化。
离散数学是数学的一个重要分支，内容包括数理逻辑、集合论、代数系统、图论以及组合理论等，主要应用在计算机等学科。
离散数学可以由基本数集的计算来支持，与连续数学模型相比，计算机工作基本上是分散的，计算更方便。
从实际情况看，它是从图像数学中脱颖而出的，而不是先建立连接条件，然后将其离散化，离散数学应包括数学逻辑预备、集合论、代数结构和布尔代数等5个主要部分。
离散数学的理论及方法大量地使用在数字电路、编译原理、数据结构、操作系统、数据库系统、算法的剖析与规划、人工智能、计算机网络建设中，它所研讨的对象是离散数量联系和离散结构数学结构模型。
计算机是一个离散结构，其只能处理离散的或者离散化了的数量关系，不管计算机科学自身，还是与计算机科学密切相关的科学领域，都面临着如何对离散结构树立相应的数学模型、如何将已用接连数量联系树立起来的数学模型离散化，然后能够由计算机来处理。
1; 离散数学在数据结构中的应用为了解决一个特定问题的数据处理，我们经常对该问题进行推理，选择合适的数学模型，设计计算方法，最后通过计算机编程来解决问题。
离散数学——图论
2021/10/10
11
哥尼斯堡七桥问题
❖ 把四块陆地用点来表示，桥用点与点连线表 示。
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12
❖ 欧拉将问题转化为：任何一点出发，是否存在通过 每条边一次且仅一次又回到出发点的路？欧拉的结 论是不存在这样的路。显然，问题的结果并不重要， 最为重要的是欧拉解决这个问题的中间步骤，即抽 象为图的形式来分析这个问题 。
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2
图论的发展
❖ 图论的产生和发展经历了二百多年的历史， 从1736年到19世纪中叶是图论发展的第一阶 段。
❖ 第二阶段大体是从19世纪中叶到1936年，主 要研究一些游戏问题：迷宫问题、博弈问题、 棋盘上马的行走线路问题。
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3
❖ 一些图论中的著名问题如四色问题(1852年)和哈密 尔顿环游世界问题(1856年)也大量出现。同时出现 了以图为工具去解决其它领域中一些问题的成果。
❖ P（G）表示连通分支的个数。连通图的连通 分支只有一个。
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40
练习题---图的连通性问题
❖ 1.若图G是不连通的，则补图是连通的。 ❖ 提示：直接证法。
根据图的不连通，假设至少有两个连通分 支；任取G中两点，证明这两点是可达的。
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❖ 2.设G是有n个结点的简单图，且 |E|>(n-1)(n-2)/2，则G是连通图。
❖ 例子
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多重图与带权图
❖ 定义多重图：包含多重边的图。 ❖ 定义简单图：不包含多重边的图。 ❖ 定义有权图：具有有权边的图。 ❖ 定义无权图：无有权边的图。
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7-4离散系统的数学模型
n
c(k ) 5c(k 1) 6c(k 2) r (k )； r (k ) 1(k )； c(0) 0, c(1) 1。
试用递推法计算输出序列c(k)，k = 0,1,2,…,10。
解 采用递推关系 c(k+2) = 1+5c(k+1) - 6c(k)； 得 c(0) 0；c(1) 1；
7-4 离散系统的数学模型
1. 离散系统的数学定义
2. 线性常系数差分方程及其解法
3. 脉冲传递函数 4. 组合环节的等效脉冲传递函数 5. 闭环系统的脉冲传递函数计算
6. Z变换的局限性及修正Z变换
离散系统的数学模型 与连续系统类似，单输入单输出线性时不变 离散系统数学模型有三大类：差分方程 ( 时域 ) 、 脉冲传递函数 ( 复数域 ) 和状态空间模型。本节重 点讨论差分方程及其解法、脉冲传递函数的基本 概念、开环和闭环脉冲传递函数的建立方法。 1. 离散系统的数学定义
k 1
2
z c(kT ) ( z 2)( z 3)
z k 1 ( z 1)( z 2) z 3
z 1
z ( z 1)( z 3)
k 1
z 2
0.5 2
k 1
0.5 3 ，k 0；
k 1
c(2) 6； c(3) 25； c(10) 86526；
┇
k
c(0) 1； c(1) 1 0.5 1.5；
lim c(k ) 1.0；
这两个示例表明，用递推法求解差分方程， 计算过于烦琐，不易得到c(k)的通项表达式。
(2) Z变换法(例7-17 )
离散数学图的概念与表
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16.1 图的根本概念
什么是图?可用一句话概括，即：图是用点 和线来刻划离散事物集合中的每对事物间以某 种方式相联系的数学模型。
(1) 如果V2 V1和E2 E1，那么称G2为G1的子 图，记为G2 G1。
(2) 如果V2 V1，E2 E1且E2≠E1，那么称G2 为G1的真子图，记为G2 G1。
(3) 如果V2=V1，E2 E1，那么称G2为G1的生
成子图，记为G2
G1。
v2 v1
定义16.1.9 设图G2=<V2，E2>是图G1=<V1， E1> 的 子 图 。 假 设 对 任 意 结 点 u 和 v ， 如 果 〔u ， v〕 ∈E1，有〔u，v〕∈E2，那么G2由V2唯一地确定， 并 称 G2 是结 点 集 合 V2 的 诱导子 图 ， 记作 <V2>或 G 〔V2〕；如果G2无孤立结点，且由E2所唯一确定，那 么称G2是边集E2的诱导子图，记为<E2>或G〔E2〕。
如果把图G中的弧或边总看作联结两个结点，那么 图G可简记为G=<V，E>，其中V是非空结点集，E是 联结结点的边集或弧集。
定义16.1.2 在图G=<V，E>中，如果每条边都 是弧，该图称为有向图；假设每条边都是无向边，该图 G称为无向图；如果有些边是有向边，另一些边是无向 边，图G称为混合图。
定义16.1.3 在图G=<V，E>中，如果任何两结 点间不多于一条边(对于有向图中，任何两结点间不多 于一条同向弧)，并且任何结点无环，那么图G称为简单 图；假设两结点间多于一条边(对于有向图中，两结点 间多于一条同向弧)图G称为多重图，并把联结两结点之 间的多条边或弧，称为平行边或弧，平行边或弧的条数 称为重数。
离散数学模型的应用研究
离散数学模型的应用研究离散数学是一门研究离散对象及其结构、性质和算法的数学学科。
离散数学模型是将离散数学的概念和方法运用到实际问题中，建立数学模型来描述和分析问题。
离散数学模型的应用范围非常广泛，涵盖了各个领域，包括计算机科学、信息技术、通信网络、运筹学、生物学等。
在计算机科学和信息技术领域，离散数学模型被广泛应用于算法设计和分析。
图论是离散数学的一个重要分支，它研究了图中的节点和边以及它们之间的关系。
图论在网络设计、图像处理、路线规划等领域中有着广泛的应用。
离散数学的概念和方法还可以用来设计和分析数据结构，从而提高算法的效率和性能。
在通信网络领域，离散数学模型被用来描述和分析网络拓扑结构、通信协议和路由算法。
图论可以用来描述网络拓扑结构，从而帮助设计高效的通信网络。
离散数学的概念和方法还可以用来分析通信协议和路由算法的性能和可靠性。
在运筹学领域，离散数学模型被用来解决各种优化问题。
线性规划是离散数学的一个分支，它用来解决线性优化问题。
线性规划在生产计划、资源分配、物流管理等领域中有着广泛的应用。
离散数学的概念和方法还可以用来解决组合优化问题，如旅行商问题、背包问题等。
在生物学领域，离散数学模型被用来分析和模拟生物系统。
基因组学是离散数学在生物学中的应用之一，它研究基因及其在细胞中的功能和相互作用。
系统生物学也是离散数学在生物学中的应用之一，它研究生物系统的结构和行为，并通过建立数学模型来理解和预测生物系统的行为。
离散数学模型的应用研究涵盖了各个领域，它不仅可以帮助解决实际问题，还可以推动学科的发展和创新。
随着科技的不断进步和应用需求的不断增长，离散数学模型的研究将会变得更加重要和广泛。
离散数学模型的应用研究
离散数学模型的应用研究离散数学模型是指使用离散数学方法和理论建立的数学模型，主要用于分析和描述离散化的问题和系统。
离散数学模型的应用研究包括很多领域，以下将介绍其中几个重要的应用领域。
一、计算机科学和信息技术领域离散数学模型在计算机科学和信息技术领域中有广泛的应用。
它被用来描述和分析算法的复杂性及正确性，如用数学方法表示和证明一个算法的时间复杂度、空间复杂度以及正确性等。
离散数学模型也被用来研究计算机网络、信息系统和数据库等的设计和优化问题。
用图论模型来描述和分析互联网的结构和性能，用关系代数模型来设计和查询数据库，用图论和数论模型来研究密码学等。
二、运筹学领域离散数学模型在运筹学领域的应用非常重要。
运筹学是一门研究在资源有限的情况下，如何做出最优决策的学科。
离散数学模型被用来构建和求解各种最优化问题，如线性规划、整数规划、网络流问题等。
运筹学在交通运输、生产调度、供应链管理等领域中有广泛的应用。
三、图论和网络分析领域图论是离散数学中的一个重要分支，研究图和图的性质以及在实际问题中的应用。
图论被广泛应用于网络分析领域，用来描述和分析物理网络、社交网络、电力网络、通信网络等。
图论模型被用来研究网络的连通性、最短路径、最大流、最小割等问题，从而优化网络的性能和可靠性。
四、组合优化领域组合优化是研究如何在离散集合上作最优选择的学科。
离散数学模型在组合优化中有广泛的应用，如旅行商问题、背包问题、分配问题等。
组合优化研究如何通过对离散数学模型的建模和算法的设计，对复杂的组合优化问题进行求解。
五、人工智能和机器学习领域离散数学模型在人工智能和机器学习领域中也有重要的应用。
图论模型可以用来表示和学习复杂的关系网络，关系代数和逻辑模型可以用于知识表示和推理，决策树和贝叶斯网络等模型可以用来进行分类和预测等。
离散数学模型的应用研究涉及的领域很广泛，包括计算机科学、运筹学、图论和网络分析、组合优化、人工智能和机器学习等。
离散数学模型的应用研究
离散数学模型的应用研究离散数学模型是数学中一门重要的学科，它以离散的数学结构作为研究对象，主要包括集合论、图论、布尔代数、组合数学等内容。
离散数学模型的研究不仅在数学理论中有重要意义，还在实际应用中发挥着重要的作用。
离散数学模型在计算机科学和信息技术领域有广泛的应用。
图论是研究离散图结构和图的性质的学科，它在计算机科学中有着重要地位。
图论的应用包括：网络路由算法、社交网络分析、计算机网络优化、排列组合算法等。
网络路由算法就是通过图论的相关算法来确定数据在网络中的传输路径，以实现网络中数据的高效传输。
布尔代数是一种基于逻辑运算的数学结构，它在计算机科学中的应用非常广泛。
布尔代数的运算规则被应用于逻辑电路设计、计算机编程、数据库查询优化等领域。
在逻辑电路设计中，布尔代数可以用来描述逻辑门的运算规则，从而实现电路的功能。
在计算机编程中，布尔代数可以用来表达程序中的逻辑判断条件，以实现程序的控制逻辑。
组合数学是研究离散结构中的组合关系的一门学科，它在实际应用中具有重要的意义。
组合数学的应用包括：密码学、图像处理、组合优化等。
在密码学中，组合数学的知识被用于设计和分析密码算法，以确保密码的安全性。
在图像处理中，组合数学的方法可以用于图像的压缩和编码等处理。
在组合优化中，组合数学被应用于求解最优化问题，例如旅行商问题、背包问题等。
离散数学模型还广泛应用于通信工程、运筹学、金融工程等领域。
在通信工程中，离散数学模型被应用于设计和优化通信系统的结构和性能。
在运筹学中，离散数学模型被用来建立和求解优化问题，例如资源分配、路径规划等。
在金融工程中，离散数学模型被用于描述和分析金融市场中的离散变化和波动。
离散数学模型的应用研究在实际领域中具有广泛的应用价值。
通过离散数学模型的研究，可以为各个领域提供有效的分析和解决问题的方法，促进相关领域的发展和进步。
multinomial logit model离散数学
multinomial logit model离散数学摘要：I.引言- 离散数学与multinomial logit model的关系II.multinomial logit model的定义- 定义与背景- 与其他模型的区别III.multinomial logit model的应用- 实例介绍- 实际应用场景IV.multinomial logit model的局限性与扩展- 局限性- 扩展方向V.结论- 对离散数学的影响- 对multinomial logit model的展望正文：I.引言Multinomial logit model，中文翻译为多项式逻辑回归模型，是一种用于解决分类问题的统计模型。
它在离散数学领域有着广泛的应用，可以用于预测离散事件的概率。
II.multinomial logit model的定义Multinomial logit model是一种基于logit函数的模型，它用于分析二项式或多项式响应变量的概率。
它的基本假设是各个类别之间的条件概率独立，这是它与其他模型的最大区别。
III.multinomial logit model的应用Multinomial logit model在实际应用中有着广泛的应用，例如在市场调研中用于预测消费者对不同产品的选择概率，或者在自然语言处理中用于预测词汇的分布。
IV.multinomial logit model的局限性与扩展尽管multinomial logit model在处理分类问题上有强大的能力，但它也有一些局限性，比如它假设各分类之间是条件概率独立的，这在实际应用中可能并不总是成立。
为了解决这个问题，研究者们提出了许多扩展模型，如多项式逻辑回归模型的扩展，条件随机场等。
V.结论总的来说，multinomial logit model是离散数学中一个重要的工具，它在解决分类问题，预测离散事件概率上有着重要的作用。
离散数学定义(必须背)
命题逻辑▪(论域)定义：论域是一个数学系统，记为D。
它由三部分组成：•(1)一个非空对象集合S，每个对象也称为个体；•(2) 一个关于D的函数集合F；•(3)一个关于D的关系集合R。
▪（逻辑连接词）定义•设n>0,称为{0,1}n到{0,1}的函数为n元函数，真值函数也称为联结词。
•若n =0，则称为0元函数。
▪（命题合式公式）定义：•(1).常元0和1是合式公式；•(2).命题变元是合式公式；•(3).若Q,R是合式公式，则(⌝Q)、(Q∧R) 、(Q∨R) 、(Q→R) 、(Q↔R) 、(Q⊕R)是合式公式；•(4).只有有限次应用(1)—(3)构成的公式是合式公式。
▪（生成公式）定义1.5 设S是联结词的集合。
由S生成的公式定义如下：•⑴若c是S中的0元联结词，则c是由S生成的公式。
•⑵原子公式是由S生成的公式。
•⑶若n≥1，F是S中的n元联结词，A1,…,A n是由S生成的公式，则FA1…A n 是由S生成的公式。
▪（复杂度）公式A的复杂度表示为FC(A)•常元复杂度为0。
•命题变元复杂度为0，如果P是命题变元，则FC (P)=0。
•如果公式A=⌝B，则FC (A)=FC(B)+1。
•如果公式A=B1∧ B2，或A=B1∨ B2，或A=B1→B2，或A=B1↔ B2，或A=B1⊕ B2，或则FC (A)=max{FC(B1), FC(B2)}+1。
▪命题合式公式语义•论域：研究对象的集合。
•解释：用论域的对象对应变元。
•结构：论域和解释称为结构。
•语义：符号指称的对象。
公式所指称对象。
合式公式的语义是其对应的逻辑真值。
▪（合式公式语义）设S是联结词的集合是{⌝，∧，∨，⊕，→，↔}。
由S生成的合式公式Q在真值赋值v下的真值指派v(Q)定义如下：•⑴v(0)=0, v(1)=1。
•⑵若Q是命题变元p，则v(A)= pv。
•⑶若Q1,Q2是合式公式▪若Q= ⌝Q1，则v(Q)= ⌝v(Q1)▪若Q=Q1 ∧ Q2，则v(Q)=v(Q1)∧ v(Q2)▪若Q=Q1∨Q2，则v(Q)=v(Q1)∨v(Q2)▪若Q=Q1→ Q2，则v(Q)=v(Q1)→ v(Q2)▪若Q=Q1 ↔ Q2，则v(Q)=v(Q1)↔ v(Q2)▪若Q=Q1⊕ Q2，则v(Q)=v(Q1)⊕ v(Q2)▪（真值赋值）由S生成的公式Q在真值赋值v下的真值v(Q)定义如下：•⑴若Q是S中的0元联结词c，则v(Q)=c。
离散数学模型的应用研究
离散数学模型的应用研究1. 引言1.1 离散数学模型的应用研究离散数学模型的应用研究旨在利用离散数学的理论和方法解决实际问题，是离散数学领域的重要研究方向之一。
离散数学是数学中的一个重要分支，它研究的对象是离散的结构和对象，如整数、图论、逻辑等。
离散数学模型是对现实问题进行抽象和形式化的表示，通过建立数学模型对问题进行分析和求解，从而得出有效的解决方案。
离散数学模型的应用研究涉及多个领域，包括网络安全、计算机科学、通信系统设计、人工智能算法优化和金融风险管理等。
在网络安全领域，离散数学模型被用来分析和防范网络攻击，提高网络安全性；在计算机科学领域，离散数学模型可以优化算法和数据结构，提高计算效率；在通信系统设计中，离散数学模型可以帮助设计高效的通信协议和路由算法；在人工智能算法优化中，离散数学模型可以提高算法的搜索和优化效率；在金融风险管理中，离散数学模型可以帮助分析和预测风险，制定有效的风险管理策略。
通过研究离散数学模型的应用，可以提高问题的解决效率和准确性，推动各个领域的发展。
未来，随着科技的不断发展，离散数学模型的应用研究将会越来越重要，为解决复杂实际问题提供更多有效的解决方案。
离散数学模型在现实生活中的潜在应用价值将会得到更多的认可和发展。
离散数学模型的应用研究的重要性将会愈发凸显，为各个领域的发展提供重要支撑和推动力。
2. 正文2.1 离散数学在网络安全领域的应用研究离散数学在网络安全领域的应用研究主要涵盖了密码学、网络拓扑结构、数据加密与解密算法等方面。
在当今信息化社会，网络安全问题变得尤为重要，因此离散数学在这一领域的应用也显得尤为重要。
密码学是离散数学在网络安全领域中的重要应用之一。
密码学通过离散数学中的数论、代数和逻辑等知识，设计加密算法来保护网络中传输的信息安全。
常见的加密算法有DES、AES、RSA等，它们都离不开离散数学的基础知识。
离散数学还被广泛运用于网络拓扑结构的分析和设计。
离散数学-代数系统
1
抽象代数在计算机中有着广泛的应用，例如自动机理论、编码 理论、形式语义学、代数规范、密码学等等都要用到抽象代数 的知识。 构成一个抽象代数系统有三方面的要素：
4
为了研究抽象的代数系统，需要先定义一元和二元代数运算以 及二元运算的性质，并通过选择不同的运算性质来规定各种抽 象代数系统的定义。在此基础上再深入研究这些抽象代数系统 的内在特性和应用。
主要内容：
第四章 代数系统 第五章 群 *第六章 环和域 第七章 格和布尔代数
5
第四章 代数系统
本章在集合、关系和函数等概念基础上，研究更为复杂的对 象——代数系统，研究代数系统的性质和特殊的元素，代数系 统与代数系统之间的关系（如代数系统的同态、满同态和同构， 这些概念较为复杂也较为抽象，是本章的难点）。它们将集合、 集合上的运算以及集合间的函数关系结合在一起进行研究。 前三章内容是本章的基础，熟练地掌握集合、关系、函数等概 念和性质是理解本章内容的关键。
= (r1 + r2 – r1r2) + r3 – (r1 + r2 – r1r2)r3
= r1 + r2 + r3 – r1r2 – r1r3 – r2r3 + r1r2r3,
r1 (r2 r3) = r1 (r2 + r3 – r2r3)
= r1 + (r2 + r3 – r2r3) – r1(r2 + r3 – r2r3)
定理4-1 设 ◦ 是定义在集合 A 上的一个 n 元运算，且在 A 的两 个子集 S1 和 S2 上均封闭，则 ◦ 在 S1 S2 上也是封闭的。
离散数学模型的应用研究
离散数学模型的应用研究1. 引言1.1 离散数学模型概述离散数学模型是数学中的一个重要分支，它主要研究离散结构及其相互关系。
离散数学模型通常涉及离散对象、关系、函数和算法等内容，与连续数学相比，离散数学更加注重离散性问题的研究。
离散数学模型在计算机科学、信息技术、工程学等领域有着广泛的应用，可以有效解决复杂系统的建模和分析问题。
离散数学模型的研究对象包括但不限于图论、集合论、布尔代数、概率论等，这些离散数学工具在不同领域的应用也得到了广泛的关注。
通过离散数学模型，可以对于各种复杂系统进行建模与分析，为问题的求解提供了有效的数学工具。
离散数学模型是一种重要的数学工具，它与现代科学技术密切相关，对于推动科学技术的发展具有重要意义。
在本文接下来的内容中，将会具体探讨离散数学模型在不同领域的应用及其研究意义。
1.2 研究背景离散数学作为数学的一个分支，主要研究离散性的结构和关系。
其研究对象包括集合、图、逻辑、代数等等。
离散数学模型在现代科学技术领域有着广泛的应用，特别是在计算机科学、通信、密码学、人工智能等领域。
随着信息技术的快速发展和应用，离散数学模型的重要性日益凸显。
以图论为例，在社交网络分析中，研究人员可以利用图论的基本概念和算法来分析社交网络中的关系、密度、传播路径等信息，从而揭示社会群体的结构特征和信息传播规律。
布尔代数在逻辑电路设计中也有着重要的应用。
逻辑电路作为计算机硬件的基本组成部分，布尔代数可以帮助工程师设计出高效、可靠的逻辑电路，提高计算机的工作效率和性能。
离散数学模型的研究背景可以追溯到数学的发展史，并且随着现代科技的不断进步，其在各个领域的应用也越来越广泛。
深入研究离散数学模型的应用具有重要的理论和实践意义。
1.3 研究意义离散数学模型作为数学领域的一个重要分支，具有广泛的应用价值。
研究离散数学模型的意义在于其对实际问题的建模与解决提供了有效的方法和工具。
通过离散数学模型，我们能够对现实生活中的复杂问题进行抽象和形式化，从而进行系统性的分析和研究。
初中数学中如何利用离散数学解决实际问题
初中数学中如何利用离散数学解决实际问题在初中数学的学习中，离散数学这一概念或许对于许多同学来说还比较陌生。
然而，离散数学中的一些知识和方法却能在解决实际问题时发挥出意想不到的作用。
首先，让我们来了解一下什么是离散数学。
离散数学是研究离散对象及其相互关系的一门数学学科。
与连续数学不同，离散数学所处理的对象是离散的、不连续的，例如整数、集合、图等。
在初中数学中，集合的概念就是离散数学的一个重要组成部分。
集合是指具有某种特定性质的事物的总体。
比如，在统计班级同学喜欢的运动项目时，我们可以把喜欢篮球的同学看作一个集合，喜欢足球的同学看作另一个集合。
通过对这些集合的运算，如并集、交集、补集等，我们能够更清晰地了解同学们的兴趣分布情况。
例如，班级里有 20 个同学喜欢篮球，15 个同学喜欢足球，其中 8 个同学既喜欢篮球又喜欢足球。
那么喜欢篮球或者足球的同学总数就是喜欢篮球的同学集合与喜欢足球的同学集合的并集，即 20 ＋ 15 8 ＝ 27 个同学。
图论也是离散数学中的一个重要内容。
在解决实际问题时，图可以用来表示各种关系。
比如，在规划城市的公交线路时，可以把各个站点看作图的顶点，线路看作图的边。
通过对图的分析，可以找到最优的线路规划方案，使得乘客能够以最短的时间和最少的换乘次数到达目的地。
再比如，在安排生产任务时，我们可以把不同的生产工序看作图的顶点，工序之间的先后关系看作图的有向边。
通过分析图的结构，可以确定合理的生产流程，提高生产效率。
逻辑推理在离散数学中同样占有重要地位。
在初中数学中，我们经常会遇到一些逻辑推理的问题，比如证明某个数学定理或者解决一些推理谜题。
离散数学中的逻辑运算和推理规则可以帮助我们更加严谨和系统地进行思考。
例如，在判断一个命题的真假时，我们可以运用逻辑连接词“且”“或”“非”来进行分析。
如果命题“x ＞ 5 且 x ＜10”为真，那么 x 的取值范围就是 5 ＜ x ＜ 10。
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交 通 拥 挤 C5
居 民 搬 迁 C6
汽 车 排 放 物 C7
对 水 的 污 染 C8
对 生 态 的 破 坏 C9
桥梁 D1
隧道 D2
渡船 D2
（2）过河代价层次结构
例4 科技成果 的综合评价
效益C1
科技成果评价
水平C2
规模C3
直接 经济
间接 经济 效益 C12
社会 效益
学识
学术 创新
技术 水平
方案层对C2(费用) 的成对比较阵
1 1/ 3 1/ 8 B2 3 1 1 / 3 8 3 1
同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量 方案层对C1(景色) 的成对比较阵
1 B1 1 / 2 1 / 5 2 1 1/ 2 5 2 1
0
收 岸 入 间 C2 商 业 C3
自 豪 感 C8
美 化 C11
桥梁 D1
隧道 D2
渡船 D3
（1）过河效益层次结构
例3 横渡 江河、海峡 方案的抉择
投 入 资 金 C1
过河的代价 A 经济代价 B1 社会代价 B2 环境代价 B3
操 作 维 护 C2
冲 击 渡 船 业 C3
冲 击 生 活 方 式 C4
Ci : C j aij
选 择 旅 游 地
1 2 A 1/ 4 1/ 3 1/ 3
1 A (aij ) nn , aij 0, a ji aij
4 7 1 2 3 3
1/ 2 1 1/ 7 1/ 5 1/ 5
3 5 5 A~成对比较阵 1 / 2 1 / 3 A是正互反阵 1 1 1 1
1. 正互反阵的最大特征根和特征向量的性质 正矩阵A 的最大特征根是正单根，对应 Ak e 正特征向量w，且 lim T k w, e (1,1,,1)T k e A e 定理1 正互反阵的最大特征根是正数， 特征向量是正向量。 定理2 n阶正互反阵A的最大特征根 n ,
第八章
离散模型
8.1 层次分析模型 8.2 循环比赛的名次
8.3 社会经济系统的冲量过程
8.4 效益的合理分配
y
离散模型
• 离散模型：差分方程（第7章）、
整数规划（第4章）、图论、对策 论、网络流、… … • 分析社会经济系统的有力工具
• 只用到代数、集合及图论（少许）
的知识
8.1 层次分析模型 背 景
3 0
0.633 0.193 0.175
3.009 0.005
0.166 0.166 0.668
3 0
k
CI k
w(2) 0.263 0.475 0.055 0.090 0.110
RI=0.58 (n=3), CIk 均可通过一致性检验
方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+ …=0.300
Aw w
比较尺度aij Saaty等人提出1~9尺度——aij 取值 1,2,… , 9及其互反数1,1/2, … , 1/9 • 便于定性到定量的转化：
尺度
a ij
1 相同
2
3 稍强
4
5 强
6
7
8
9 绝对强
Ci : C j的重要性
明显强
aij = 1,1/2, ,…1/9 ~ Ci : C j 的重要性与上面相反
• Saaty于1970年代提出层次分析法 AHP (Analytic Hierarchy Process) • AHP——一种定性与定量相结合的、 系统化、层次化的分析方法
一. 层次分析法的基本步骤
1）建立层次分析结构模型
深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标— 准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内 各因素基本上相对独立。
n CI 越大，不一致越严重
n 1
为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI——随机模 拟得到aij , 形成A，计算CI 即得RI。 Saaty的结果如下
n RI 1 2 10 11 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 3 4 5 6 7 8 9
根据定理1,2，我们可以由λ max是否等于n来检验判断 矩阵A是否为一致矩阵。由于特征根连续地依赖于aij， 故λ max比n大得越多，A的非一致性程度也就越为严重， λ max对应的标准化特征向量也就越不能真实地反映出 X={x1,„,xn}在对因素Z的影响中所占的比重。因此， 对决策者提供的判断矩阵有必要作一次一致性检验， 以决定是否能接受它。 对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A，建议 用对应于最大特征根的特征向量作为权向量w ，即
定理2
若A为一致矩阵，则
（1）A必为正互反矩阵。 （2）A的转置矩阵AT也是一致矩阵。 （3）A的任意两行成比例，比例因子（即wi /wj）大 于零，从而rank（A）=1（同样，A的任意两列也成 比例）。 （4）A的最大特征根λ max=n，其中n为矩阵A的阶。A 的其余特征根均为零。 （5）若A的最大特征根λ max对应的特征向量为W=（w1,„, wn）I，则a=wi /wj， i,j = 1,2,„,n。 ij
• 心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个 • 用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p (p=2,3,4,5), d+0.1~d+0.9 (d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较 阵，算出权向量，与实际对比发现， 1~9尺度较优。
3 一致性检验
对A确定不一致的允许范围
已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为n 可证：n 阶正互反阵最大特征根 n, 且 =n时为一致阵 定义一致性指标: CI
例1 国家 实力分析
国家综合实力
国民 收入
军事 力量
科技 水平
社会 稳定
对外 贸易
美、俄、中、日、德等大国
例2 工作选择
贡 献 收 入
工作选择
发 展
声 誉
关 系
位 置
供选择的岗位
例3 横渡 江河、海峡 方案的抉择
节 省 时 间 C1
过河的效益 A
经济效益 B1 当 地 商 业 C4 建 筑 就 业 C5 社会效益 B2 安 全 可 靠 C6 交 往 沟 通 C7 环境效益 B3 舒 适 C9 进 出 方 便 C1
允许不一致，但要确定不一致的允许范围
设想把一块单位重量的大石头 0 砸成 n 块小石头
C1, C2 ,, Cn ，它们的重量为 w1 , w2 ,, wn ，作成对比较
aij wi / w j ，得到成对比较阵
w1 w 1 w2 A w 1 w n w1
要由A确定C1,… , Cn对O的权向量
成对比较的不一致情况
1 A 2
1/ 2 1
4 7
a12 1 / 2 (C1 : C2 )
a13 4 (C1 : C3 )
正互反阵A称一致阵
一致比较
不一致
a23 8 (C2 : C3 )
aij a jk aik , i, j , k 1,2,, n
1个或几个层次。
•与其他决策问题一样，研究分析者不一定是决策者， 不应自作主张地作出决策。
例. 选择旅游地
如何在3个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择.
目标层
O(选择旅游地)
准则层
C1 景色
C2 费用
居住
C4 饮食
C5 旅途
方案层
P1 桂林
P2 黄山
P3 北戴河
―选择旅游地”思维过程的归 纳 • 将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C， 方案层P；每层有若干元素， 各层元素间的关系 用相连的直线表示。
技术 创新
效益
C11
水平
C21
C13
C22
C23
C24
待评价的科技成果
三. 层次分析法的若干问题
• 正互反阵的最大特征根是否为正数？特征向量 是否为正向量？一致性指标能否反映正互反阵接 近一致阵的程度？
• 怎样简化计算正互反阵的最大特征根和特征向量？
• 为什么用特征向量作为权向量？ • 当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用 层次分析法？
方案层对目标的组合权向量为 (0.300, 0.246, 0.456)T
组合 权向量
第2层对第1层的权向量
第1层O
第2层C1,…Cn 第3层P1, …Pm
w ( w1 ,, wn )
( 2) ( 2) ( 2)
T
第3层对第2层各元素的权向量
( 3) ( 3) ( 3) T
wk ( wk 1 ,, wkm ) , k 1,2,, n
w1 w2 w2 w2 wn w2
T
w1 wn w2 wn wn wn
w ( w1 , w2 , wn ) ~ 权向量
定理1 正互反矩阵A的最大特征根λ max必为正实数，其对应特 征向量的所有分量均为正实数。A的其余特征根的模均严格小于 λ max。（证明从略）
2）构造成对比较阵
用成对比较法和1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的 成对比较阵。
3）计算权向量并作一致性检验
对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性 检验，若通过，则特征向量为权向量。
4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）
组合权向量可作为决策的定量依据。
1 建立层次结构模型
•在用层次分析法研究问题时，首先要根据问题的因 果关系并将这些关系分解成若干个层次。 •同一层次的诸因素从属于上一层的因素或对上层因 素有影响,同时又支配下一层的因素或受下层因素的 作用。 •较简单的问题通常可分解为目标层（最高层）、准 则层（中间层）和方案措施层（最低层）。中间可有