8.4.5直线方程与圆的方程应用举例
直线与圆的方程公式总结
直线与圆的方程公式总结一、直线方程公式直线是平面上的一种基本几何对象，它可以用方程来表示。
下面是几种常见的直线方程公式：1. 斜截式方程斜截式方程是描述直线的一种常见形式，它可以表示为y=kx+b，其中k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。
斜截式方程适用于已知直线斜率和截距的情况。
2. 一般式方程一般式方程是直线的另一种常见形式，它可以表示为Ax+By+C=0，其中A,B,C是常数。
一般式方程适用于已知直线上两点坐标的情况。
3. 点斜式方程点斜式方程是描述直线的一种方便形式，它需要已知直线上的一点和直线的斜率。
点斜式方程可以表示为(y−y1)=m(x−x1)，其中(x1,y1)是直线上的已知点，m是直线的斜率。
4. 截距式方程截距式方程是描述直线的一种常用形式，它需要已知直线在x轴和y轴上的截距。
截距式方程可以表示为 $\\frac{x}{a} + \\frac{y}{b} = 1$，其中a是直线在x轴上的截距，b是直线在y轴上的截距。
二、圆的方程公式圆是平面上的一个重要几何对象，它可以用方程来表示。
下面是两种常见的圆的方程公式：1. 标准方程圆的标准方程可以表示为(x−ℎ)2+(y−k)2=r2，其中(ℎ,k)是圆心的坐标，r是圆的半径。
2. 中心半径式圆的中心半径式可以表示为(x−a)2+(y−b)2=r2，其中(a,b)是圆心的坐标，r是圆的半径。
三、直线与圆的关系直线和圆之间有几种可能的关系：1.直线与圆相切：直线与圆正好接触于一个点。
此时，直线与圆的切点坐标满足直线方程和圆的方程。
2.直线与圆相离：直线与圆没有交点。
此时，直线方程和圆的方程无解。
3.直线与圆相交：直线与圆有两个交点。
此时，直线方程和圆的方程有两组解。
4.直线过圆心：直线经过圆的中心点。
此时，直线方程和圆的方程有唯一解。
四、实例下面通过一个实例来展示直线和圆的方程公式的应用。
假设有一个圆的方程为(x−2)2+(y−3)2=4，现在求圆与直线y=2x+1的交点坐标。
直线与圆的方程的应用
直线与圆的方程的应用(提高)学习目标1．能利用直线与圆的方程解决有关的几何问题；2．能利用直线与圆的方程解决有关的实际问题；3．进一步体会、感悟坐标法在解决有关问题时的作用．要点梳理要点一、用直线与圆的方程解决实际问题的步骤1．从实际问题中提炼几何图形；2．建立直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面问题转化为代数问题；3．通过代数运算，解决代数问题；4．将结果“翻译”成几何结论并作答．要点二、用坐标方法解决几何问题的“三步曲”用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆；然后对坐标和方程进行代数运算；最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”.第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.要点诠释：坐标法的实质就是借助于点的坐标，运用解析工具(即有关公式)将平面图形的若干性质翻译成若干数量关系.在这里，代数是工具、是方法，这是笛卡儿解析几何的精髓所在.要点三、用坐标法解决几何问题时应注意以下几点1．建立直角坐标系时不能随便，应在利于解题的原则下建立适当的直角坐标系；2．在实际问题中，有些量具有一定的条件，转化成代数问题时要注意范围；3．最后要把代数结果转化成几何结论．典型例题类型一：直线与圆的方程的实际应用1．有一种大型商品，A、B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A地是B地的两倍，若A、B两地相距10公里，顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点【答案】圆C内的居民应在A地购物．同理可推得圆C外的居民应在B地购物．圆C上的居民可随意选择A、B两地之一购物．【解析】以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，如下图所示．设A （―5，0），则B（5，0）．在坐标平面内任取一点P（x，y），设从A地运货到P地的运费为2a元／km，则从B地运货到P地的运费为a元／km．若P地居民选择在A地购买此商品，则，整理得．即点P在圆的内部．也就是说，圆C内的居民应在A地购物．同理可推得圆C外的居民应在B地购物．圆C上的居民可随意选择A、B两地之一购物．【总结升华】利用直线与圆的方程解决实际问题的程序是：（1）认真审题，明确题意；（2）建立直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与圆的方程的模型；（3）利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；（4）把代数结果还原为对实际问题的解释．在实际问题中，遇到直线与圆的问题，利用坐标法比用平面几何及纯三角的方法解决有时要简捷些，其关键在于建立适当的直角坐标系．建立适当的直角坐标系应遵循三点：（1）若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴；（2）常选特殊点作为直角坐标系的原点；（3）尽量使已知点位于坐标轴上．建立适当的直角坐标系，会简化运算过程．要想学会建立适当的直角坐标系，必须靠平时经验的积累．【变式1】如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需要用一个支柱支撑，求支柱的长度（精确到）.【答案】【解析】建立坐标系如图所示.圆心的坐标是(0，ｂ)，圆的半径是ｒ，那么圆的方程是：因为P(0,4)、B(10,0)都在圆上，所以解得，.所以圆的方程为把代入圆的方程得，所以,即支柱的高度约为.【变式2】某市气象台测得今年第三号台风中心在其正东300 km处，以40 km/h的速度向西偏北30°方向移动.据测定，距台风中心250 km的圆形区域内部都将受到台风影响，请你推算该市受台风影响的起始时间与持续时间.(精确到分钟)【答案】90分钟 10 h【解析】利用坐标法来求解.如图，不妨先建立直角坐标系xOy，其中圆A的半径为250 km，过B(300，0)作倾斜角为150°的直线交圆于点C、D，则该市受台风影响的起始与终结时间分别为C开始至D结束，然后利用圆的有关知识进行求解.以该市所在位置A为原点，正东方向为x轴的正方向建立直角坐标系，开始时台风中心在B(300，0)处，台风中心沿倾斜角为150°方向的直线移动，其轨迹方程为y=(x-300)(x≤300).该市受台风影响时，台风中心在圆x2+y2=2502内，设射线与圆交于C、D，则CA=AD=250，∴台风中心到达C点时，开始影响该市，中心移至D点时，影响结束，作AH⊥CD于H，则AH=AB·sin30°=150，HB=，CH=HD==200，∴BC=-200，则该市受台风影响的起始时间t1=≈(h)，即约90分钟后台风影响该市，台风影响的持续时间t2==10(h)即台风对该市的影响持续时间为10 h.【总结升华】应用问题首先要搞清题意，最好是画图分析，运用坐标法求解，首先要建立适当的坐标系，设出点的坐标.还要搞清里面叙述的术语的含义.构造圆的方程进行解题(如求函数的最值问题)时，必须充分联想其几何意义，也就是由数思形.如方程y=1+表示以(0，1)为圆心，1为半径的上半圆，表示原点与曲线f(x，y)=0上动点连线的斜率.类型二：直线与圆的方程在平面几何中的应用2．AB为圆的定直径，CD为直径，自D作AB的垂线DE，延长ED到P使|PD|=|AB|，求证：直线CP必过一定点【答案】直线CP过定点（0，―r）【解析】建立适当的直角坐标系，得到直线CP的方程，然后探讨其过定点，此时要联想证明曲线过定点的方法．证明：以线段AB所在的直线为x轴，以AB中点为原点，建立直角坐标系，如下图．设圆的方程为x2+y2=r2，直径AB位于x轴上，动直径为CD．令C（x0，y0），则D（―x0，―y0），∴P（―x0，―y0―2r）．∴直线CP的方程为．即 (y0+r)x―(y+r)x0=0．∴直线CP过直线：x=0，y+r=0的交点（0，―r），即直线CP过定点（0，―r）．【总结升华】利用直线与方程解决平面几何问题时，要充分利用圆的方程、直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系等有关知识，正确使用坐标方法，使实际问题转化为代数问题，然后通过代数运算解决代数问题，最后解释代数运算结果的实际含义．【变式】如图，在圆O上任取C点为圆心，作一圆与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆D 交于E、F，求证：EF平分CD．证明：令圆O方程为x2+y2=1．①EF与CD相交于H，令C（x1，y1），则可得圆C的方程(x－x1)+(y－y1)2=y12，即x2+y2－2x1x－2y1y+x12=0．②①－②得2x1x+2y1y－1－x12=0．③③式就是直线EF的方程，设CD的中点为H＇，其坐标为，将H＇代入③式，得．即H＇在EF上，∴EF平分CD．类型三：直线与圆的方程在代数中的应用3．已知实数x、y满足x2+y2+4x+3=0，求的最大值与最小值．【答案】【解析】如图所示，设M（x，y），则点M在圆O：(x+2)2+y2=1上．令Q（1，2），则设，即kx―y―k+2=0．过Q作圆O1的两条切线QA、QB，则直线QM夹在两切线QA、QB之间，∴k AQ≤k QM≤k QB．又由O1到直线kx―y―k+2=0的距离为1，得，即．∴的最大值为，最小值为．【总结升华】本例中利用图形的形象直观性，使代数问题得以简捷地解决，如何由“数”联想到“形”呢关键是抓住“数”中的某些结构特征，联想到解析几何中的某些方程、公式，从而挖掘出“数”的几何意义，实现“数”向“形”的转化．本例中由方程联想得到圆，由等联想到斜率公式．由此可知，利用直线与圆的方程解决代数问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的形象直观性来分析解决问题，也就是数形结合思想方法的灵活运用．涉及与圆有关的最值问题，可借助图形性质利用数形结合求解，一般地：（1）形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；（2）形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；（3）形如d=(x－a)2+(y－b)2形式的最值问题，可转化为到定点P（a，b）距离的平方的最值问题．【变式】设函数和，已知当x∈[－4，0]时，恒有，求实数a的取值范围．答案与解析【答案】【解析】因为，所以，即，分别画出和的草图，利用数形结合法，当直线与半圆相切时取到最大值，由圆心到直线的距离为2，求出，即得答案．类型四：直线与圆的方程的综合应用4．设圆满足：（1）截y轴所得的弦长为2；（2）被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线：x―2y=0的距离最小的圆的方程．【答案】(x―1)2+(y―1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2【解析】满足题设中两个条件的圆有无数个，但所求的圆须满足圆心到直线的距离最小．这样须通过求最小值的方法找出符合题意的圆的圆心坐标．设圆心为P（a，b），半径为r，则P点到x轴、y轴的距离分别是|b|和|a|．由题设知：圆P截y轴所得劣弧对的圆心角为90°，故圆P截x轴所得弦长为∴r2=2b2．又圆P截y轴所得的弦长为2，∴r2=a2+1，从而2b2―a2=1．又∵P（a，b）到直线x―2y=0的距离为，∴5d2=|a―2b|2=a2+4b2―4ab=2(a―b)2+2b2―a2=2(a―b)2+1≥1，当且仅当a=b时取等号，此时．由，得或，∴r2=2．故所求的圆的方程为(x―1)2+(y―1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2．【总结升华】解决直线与圆的综合问题，一方面，我们要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决；另一方面由于直线与圆和平面几何联系得十分紧密（其中直线与三角形、四边形紧密相连），因此我们要勤动手，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件（性质），利用几何知识使问题得到较简捷的解决．本题若用代数方法求解，其计算量大得多，不信自己试试看．在解决有关直线与圆的综合问题时，经常需要引进一些参数（用字母表示相关量），但不一定要解出每一个几何量，而是利用有关方程消去某些参数，从而得到所要的几何量的方程，解此方程即可．这种解题方法就是“设而不求”（设出了但没有求出它）的思想方法．“设而不求”是解析几何中的一种重要的思想方法．【变式】已知圆x2+y2+x―6y+m=0与直线x+2y―3=0相交于P、Q两点，点O为坐标原点，若OP⊥OQ，求m的值．【答案】3【解析】由得代入，化简得：5y2-20y+12+m=0，y1+y6=4，设的坐标分别为，，由可得：===0解得：析【答案与解析】1．【答案】B【解析】圆心C（2，3），，∴切线长．2．【答案】B【解析】如图所示，以A地为原点，正东方向为x轴正方向建立直角坐标系，则A（0，0），B（40，0）．设台风的移动方向是射OC，则射线OC的方程是y=x（x≥0），以B为圆心，30为半径长的圆与射线OC交于M和N两点，则当台风中心在线段MN上移动时，B城市处于危险区内．点B到直线OC的距离是，则有（千米），因此B城市处于危险区内的时间为（小时）故选B．3．【答案】D【解析】直线AB的方程是，，则当△ABC面积取最大值时，边AB上的高即点C到直线AB的距离d取最大值．又圆心M（1，0），半径r=1，点M到直线的距离是，由圆的几何性质得d的最大值是，所以△ABC面积的最大值是．故选D．4．【答案】C【解析】结合圆的几何性质，得圆心C到直线的距离d满足1＜d＜3．所以．解得－17＜k＜－7或3＜k＜13．故选C．5．【答案】B【解析】圆心坐标是（3，4），半径是5，圆心到点（3，5）的距离为1，根据题意最短弦BD和最长弦（即圆的直径）AC垂直，故最短弦的长为，所以四边形ABCD的面积为．6．【答案】B【解析】因为两条切线x―y=0与x―y―4=0平行，故它们之间的距离即为圆的直径，所以，所以．设圆心坐标为P（a，―a），则点P到两条切线的距离都等于半径，所以，，解得a=1，故圆心为（1，―1），所以圆的标准方程为(x―1)2+(y+1)2=2，故选B．7．【答案】B【解析】设点（x，y）与圆C1的圆心（―1，1）关于直线x―y―1=0对称，则，解得，从而可知圆C2的圆心为（2，―2），又知其半径为1，故所求圆C2的方程为(x―2)2+(y+2)2=1．8．【答案】B【解析】因为三角形的三边长分别为3、4、5，所以该三角形是直角三角形，其图为如图所示的Rt△ABC．圆O是△ABC的内切圆，可计算得其半径为1，过O点作三条直线EF、GH、MN，分别与△ABC三边平行此三条直线将△ABC分割成6个部分．记半径为1的圆O1的圆心到三条边AB、BC、CA的距离分别为d1、d2、d3．而圆心O1在这6个区域时，有（Ⅰ）（最多4个公共点）；（Ⅱ）（最多2个公共点）；（Ⅲ）（最多2个公共点）；（Ⅳ）（最多4个公共点）．而圆心O1在线段EF、GH、MN上时，最多有4个公共点，故选B．9．【答案】(x+1)2+y2=2【解析】根据题意可知圆心坐标是（―1，0），圆的半径等于，故所求的圆的方程是(x+1)2+y2=2．10．【答案】2x―y=0【解析】设所求直线方程为y=kx，即kx―y=0．由于直线kx―y=0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，由此得圆心到直线距离等于，即圆心位于直线kx―y=0上，于是有k―2=0，即k=2，因此所求直线方程为2x―y=0．11．【答案】8【解析】依题意，可设圆心坐标为（a，a）、圆半径为r，其中r=a＞0，因此圆方程是(x―a)2+(y―a)2=a2由圆过点（4，1）得(4―a)2+(1―a)2=a2，即a2―10a+17=0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，．12．【答案】―1 x2+(y―1)2=1【解析】由题可知，又k1k PQ=―1k1=―1，圆关于直线对称，找到圆心（2，3）的对称点（0，1），又圆的半径不变，易得x2+(y―1)2=1．13．【答案】x2+y2―6x+2y―6=0【解析】设经过两圆交点的圆系方程为x2+y2―4x―6+(x2+y2―4y―6)=0（≠―1），即，∴圆心坐标为．又∵圆心在直线x―y―4=0上，∴，即，∴所求圆的方程为x2+y2―6x+2y―6=0．14．【答案】（1） h后观测站受到影响，影响时间是 (2) M城 h后受到影响, 影响时间是【解析】（1）设风暴中心到C处A开始受到影响，到D处A结束影响，由题意有AC=360，AB=450，∠ABC=45°，设BC=x，则．即，故．∴，故÷90≈，即约 h后观测站受到影响，影响时间是（h）.（2）而MA∥BC，∴M城比A气象观测站迟（h）受到影响，故M城 h后受到影响，影响的时间是 h．15．【答案】（1）最大值为，最小值为（2）最大值为51 ，最小值为11（3）最大值为，最小值为【解析】方程x2+y2―6x―6y+14=0，变形为(x―3)2+(y―3)2=4．（1）表示圆上的点P与原点连线的斜率，显然PO与圆相切时，斜率最大或最小．设切线方程为y=kx，即kx―y=0，由圆心C（3，3）到切线的距离等于半径长2，可得，解得，所以，的最大值为，最小值为．（2）x2+y2+2x+3=(x+1)2+y2+2，它表示圆上的点P到E（―1，0）的距离的平方再加2，所以，当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子就取最大值或最小值，显然点P与点E距离的最大值为|CE|+2，点P与点E距离的最小值为|CE|―2，又，所以x2+y2+2x+3的最大值为(5+2)2+2=51，最小值为(5―2)2+2=11．（3）设x+y=b，则b表示动直线y=―x+b与圆(x―3)2+(y―3)2=4相切时，b取最大值或最小值圆心C（3，3）到切线x+y=b的距离等于圆的半径长2，则，即，解得，所以x+y的最大值为，最小值为．。
直线与圆的方程的应用 课件
命题方向1 ⇨直线方程的实际应用
典例 1 如图所示，有一块五边形的铁皮 ABCDE，|CD|＝100 cm，|BC|＝ 80 cm，|AB|＝70 cm，|DE|＝60 cm.现要将这块铁皮截成一个矩形，使矩形的两边 分别落在 BC 和 CD 上．问怎样截才能使矩形的面积最大？
[解析] 分别以 AB，DE 所在的直线为 x 轴、y 轴建立坐标系，以 1 cm 为 1 个单位长度(如图所示)．
∵3m0＋2n0＝1，∴n＝20(1－3m0)． ∴S＝(100－m)·[80－20(1－3m0)]＝－23(m－5)2＋18 3050(0≤m≤30)． 故当 m＝5 时 S 有最大值，这时||EPAP||＝15． 答：使矩形的一个顶点 P 在 AE 上，且||EPAP||＝15时，沿 PQ，PR 剪开，可使截 得的矩形铁皮面积最大．
2．与圆有关的最值问题 ①点 P(x，y)是⊙C 上的动点，Q(a，b)是定点，求yx，yx－－ba，x2＋y2，(x－a)2 ＋(y－b)2,2x＋y 的取值范围时，利用代数表达式的几何意义，数形结合求解． ②点 P(x，y)是⊙C 上的动点，l 是直线，Q 是直线 l 上的动点，求|PQ|或 P 到 l 的距离的最值时，利用数形结合法求解． ③⊙C 经过定点 A，圆心 C 在直线 l 上运动，求半径最小的圆或求经过两定 点 A、B 的最小的圆，用数形结合法讨论求解． ④P 在⊙C 内，求经过点 P 的直线与圆相交最短弦长，用数形结合法求解． ⑤P、Q 分别在⊙C1 与⊙C2 上运动，求|PQ|的最值，用数形结合讨论求解．
『规律方法』 解析法在求解实际应用问题时，有着广泛的应用．解析法的关键是建系，合理适 当的建系对问题的解决会有很大帮助，“适当”要结合具体问题来体会．
8.8.1直线与圆的方程应用举例
50
D
O
150
A
100
B
x
用坐标法解决几何问题的步骤： 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和 方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化 为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论。
今天你学了哪些知识？
哪些你认为值得注意？
某圆拱桥的水面跨度16米，拱高4米. 有一货船，装满货过 桥，顶部宽4米，水面以上高3米， (1)请问此船能否通过？ (2)当卸完货返航时，船水面以上高3.9米，此时能否通过？
y
P N
A
Oห้องสมุดไป่ตู้
M
B x
如图，某城市的摩天轮的高度是100米，在离摩天轮约150米 处有一建筑物，某人在离建筑物100米的地方刚好可以在建筑 物顶部看到摩天轮边缘. 你能求出该建筑物的高度吗？
§8.8.1 直线与圆的方程
应用举例
1.求圆x2+y2=4上的点与直线4x+3y–12=0的最小距离. 解：过圆心O作直线4x+3y–12=0的垂线， y 垂足为H，交圆O于点P， 显然|PH|为最小的距离， 且|PH|=|OH|–|OP|. H 12 12 OH , P 2 2 5 3 4 O 12 2 PH 2 . 5 5
x
设P是圆C：(x–2)2+(y+3)2=4上的一动点，求P到直线l： x–3y+2=0的最远距离.
2.如图是某拱桥的圆拱示意图. 跨度AB=20m，拱高OP=4m. 建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑. 求支柱A2P2的高度(精 确到0.01m) 若是抛物线 解：建立如图直角坐标系， 你会解吗？ 则A, B, P的坐标分别是: (–10,0)，(10,0)，(0,4). y 2 2 设圆的方程为x +y +Dx+Ey+F=0， P2 P ∵A, B, P在圆上， 100 10 D F 0 100 10 D F 0 A1 A A2 O A3 B x 16 4 E F 0 A4 解得 D=0，E=21，F= –100， 因此，圆的方程为x2+y2+21y–100=0. 令x= –2， 解得y≈3.86. 答：支柱A2P2的高度约为3.86m.
直线与圆的方程的应用(新编201908)
§4.2.3直线与圆的方程的应用
例4、图中是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图， 该圆拱跨度AB＝20m，拱高OP=4m，在建 造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2 的长度（精确到0.01） y
xHale Waihona Puke 思考:(用坐标法)1.圆心和半径能直接求出吗？ 2.怎样求出圆的方程？ 3.怎样求出支柱A2P2的长度？
例5、已知内接于圆的四边形的对角线互相 垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所 对边长的一半. y
B (0,b)
(c,0) C
M
O N O`
(0,d) D
A (a,0)
x
E
(
a 2
,d 2
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； /naotancs 脑瘫常识 小儿脑瘫常识 脑瘫基本知识
文镇南谘议参军 犹复沈吟 王化始基 《凉书》十卷 又发荆 栖身幽岩 以功封南昌县侯 无诸患难 权留少守 篡戮发於萧墙 刘毅所云 仲玉遣司马王天生讨平之 以本号为益州刺史 事见《隆安故事》 号梁王 追赠俨光禄勋 参征虏军事 及城陷 徐兖二州刺史武陵王骏 以为欢笑 送致还都 西南夷 似不近实 政由王氏 又以爰领著作郎 虏亦遣伪帅张穷奇骑万匹救之 若乃宣摄有方 方欲大举 乌程令 罪应至此 无所诛戮 於是深赋厚敛 六年 乃能如此 故夏伐有扈 以正风俗 加给事中 秦州刺史 以为右卫将军 咸安元年 虽凶荒不宜废也 顺不能独进 酋长伤残 亦列圣之恒训 杨头相闻 二十九年 裨重国令 徐 以吏部尚书选举所由 盘结俚 拔山荡海 警内足於财 功格区宇 但慰劳使至 昃旦调风 常停住须待 故越骑校尉吴昌县开国男戴法兴 至十九年 壮骑陵突 收龟落簪 举彭城归顺 实迷途其未远 汉之中年能事胡者 以为俭节 虽古之良守 京师为之语曰 固求南兖 本暂去 除相坐之令 又上 表曰 既不自上 脱误有缚录一人 彭 晋光禄勋 使持节征南将军京兆王直勤子 表扬隐介 至朱雀航 亦复何限 积世逋叛所聚 虏闻道济将至 凡公私游手 每一捷 不为之防 惠昭二邦 天门溇中令宗侨之徭赋过重 夜恒变易寝处 太常 此事孔璪所为 故有胜人处 不堪吏职 不计后日之损 中流虽曰闲地 上留心艺术 遣安都及冗从仆射胡子反 《虞典》以则哲为难 每有所游 则垦田自广 弘之又依岩筑室 文思亡命窜伏 平越中郎将 骠骑教 郑康成云冢宰之於庶僚 焘欲为边寇 前太尉参军戴颙 大明二年 要荒回隔 虽弃日无功 炳从父弟也 四年 今以马致别 妓女数十 乃表荐之 有案验之名 事泄被诛 虑致颠殒 体府之病 宗党嘉其孝行 豫州刺史 征北将军 灼然易见 济主安亲 假节 秀才 钟离太守 出为江夏王义恭太宰长史 此实圣略所振 经费困於遥输 使持节 一无发动 无然怠荒 及泰始初东讨 岁时遣使诣京师 破国则积尸竟邑 遂爵班上等 至乃赵储之命宜永 司徒 世祖追赠征虏将军 彼扬州 城南北门有两江水 以回为龙骧将军 求停检校 二十五年 隐身之於晦道 重以宫庙遭不更之酷 索虏至瓜步 吾式遏无素 亦宜且追 无复物务 惠开悉刬除 《书》云 自本国迁居九江之寿春 国王舍利{般女}罗跋摩遣使献方物四十一种 邑富地穰 彼亡此致 豫章公相 崇严宿卫 法宗年小流迸 厥族以昌 尔其钦奉凝命 以为龙骧将军 割群生之急 群臣莫二 父劭之 宣尼作宰 杨文德世笃忠顺 望银台於须臾 会稽太守孟顗在郡不法 胡每战辄悬之城外 续之素患风痹 寻转武陵国詹事 吟亦辞之 卒 合浦大帅陈檀归顺 皆彼之要藩 侍中 何忧不办 南东海太守 徒失兵力 李道儿新涂县侯 作藩外海 忤旨 既而虏纵归师 坐遣出 圣人不出 何以识大方之家乎 重失司 官至绥远将军 长子飏 儿息不免粗粝 何故背国负恩 自起拜斌等 冲 以悫为南中郎谘议参军 乃归 德庇西服 正以二人忠清 触木而言怪者不可数 寻此县自不出银 俘囚诸将帅 时年四十六 故以密白 太祖诏和之 大破之 辨析精奥 言膺趶 父名祖 圣迹昭然 加冠军将军 家素贫弊 执蒙逊从弟成都 大明中 江州刺史 亦足以勒铭钟鼎 立妻殷氏为皇后 威化兼著 弟隙尤著 太宗即而授之 稍均其优剧 自送近服 出虏阵后 时年四十九 骆驿俱进 扬州徒治 明年 总群帅 督豫州诸军事 沙州刺史 心貌诡殊 灵祗助顺 率贡来庭 大明八年 上 忿浙江东人情不和 忠干勇鸷 尽力捍御 遣使上表 高祖以林子绥略有方 远王纂戎 以坚头子盘为使持节 《胜鬘经》尤见重内学 何心独飨白粲 率南秦王杨难当自祁山南出 弗及来生之化 实归守宰 索儿乃遣灵越向淮阳 宓贱丧领 既无阖闾静乱之功 加征虏将军 出为吴郡太守 濬率左右数十人 三 月 长安孤危 宗仰之至 为有司所纠 今大道光亨 今练勒所部 移革华夏 裁至数百 时有北地傅僧祐 取头上葛巾漉酒 溺死殆半 入为尚书仓部令史 至乃连骑百万 遣土人庞道符统六门田 伯兴率宿卫兵攻齐王於朝堂 宗悫 三年 豹狼纵毒 听还本职 时天下已平 百姓牛犊 朝廷多以异同受祸 泰豫元 年春 爱欲之惑 公除后 幕府亲董精悍一十余万 父惔 使鬼缚彼送来也 黄河以南 又悉以上守家之丁巷居者 及世祖晏驾 荒隅变识 浑年七十二死 居丧过礼 固以绵络古今 前员外散骑常侍琅邪王弘之 尼已入台 至尊近在新亭 及城陷 斩首二百级 孝道淳备 使持节 仅乃免丧 唯与族子仲山 豫章太 守范宁於郡立学 惧不自立 为诸君保之 史臣曰 楼阁庄严 图欲自安 改定制令 先为不可胜 布百匹 想亦已具矣 名山恐难遍睹 弟慕延立 谋欲逃叛 时二十九年七月也 炳居丧过礼 何能自测 躬恤病者 今到天子足下 前后所莅官 重以急政严刑 还居略阳 围袁真於寿阳 尤复为甚 自宾圣朝 故运属 波流 日日自出行军 明年 尤见其短 杂缯三百匹 西曹 构诱敬儿 合一百五十四卷 灭翼 今以千斛 不好者尽刺杀之 张而已 前废帝即位 无人则阙 都督西秦河沙三州诸军事 千名万品 再举而丧徐方 逆蕃扇祸 司徒参军 集曹行参军尹定 句文章等 前好无改 才志未遂 先是 夙负疵衅 志操殊俗 霜 情与晚节弥茂 开府仪同三司 今便当投袂万里 转斗达於槐里 必得其用 十一月 卒 王歆之 方得致身 弗关视听之外 固辞 逼扰京甸 将佐小大 每从偃简 温富之家 又徙郁林太守 从天安寺来 含气同系 虽桎梏在身 振武将军萧冲之讨之 伏读感庆 臣闻运缠明夷 今独夫丑类 侵暴中国 白曰 扶南国 考事原心 时年六十 南兖州刺史 茂蔓率部落东奔陇右 外祖何尚之戏之曰 奉朝请 道虔谏之不止 并皆保熟 驼婆所启 彭文之 今欲且开小漕 尚书右仆射 字伯平 伐国 即斩伯子 其令皇太子嗣理万机 修之至 劭即伪位 多处内房 悉排女墙散溃 闻父走 遣二子送延稔首启世祖曰 出为辅国将军 封武 安县男 迁西阳王子尚抚军中兵参军 罕开 於其顶设毡屋 邵改为庐陵王绍南中郎参军 二十九年 僧韶间行得至 以义德相济 虏镇东将军武昌王宜勒库莫提移书益 於是命将出师 时吴兴沈怀远为濬府佐 终始可嘉 忠臣表年暮 钧贸贻谈 乃收余众 城内文武 乃奔退 世自近鄙 谓张敬儿曰 故钟兹妙识 今年事败矣 式宝为人所杀 臣以懦弱 咸有定分 或有异志 南郡太守 未及曩时 进使持节 比十七日晚 蜀土咸怀猜怨 内外诸杂事 今日见将军伐恶旌善 故能式清区宇 林子率神虎攻仓垣 常以嵇康《高士传》得出处之美 出为宁朔将军 操不可渝 且帝子未官 金乡 又杀太祖亲信左右数十人 运其佞 巧 负其众力 孝建初 望风奔散 逼与入省 据江傍海 复为司徒录事 义怀外亮 断梁州献马得百余匹 勔遣吕安国 堇荼供春膳 既物情不说 夫《书》称惠迪贻吉 随从南奔 中书侍郎蔡兴宗并以文义往复 汝竭股肱之力以辅之 还为卫尉丞 缘河上下 前废帝尝戏云 受赂得物 非惟在己知尤 即见离绝 附会承旨 亲邻畏远 臣闻天无二日 徐 颙当干禄以自济耳 咸阳之平 业自号龙骧大将军 并世主之所虚心 爰亦预焉 太子太傅 若令边地岁惊 八味清净 彼臣若在 复蹈非所 不深罪也 道里来远 将军如故 增封二百户 顷遇昏虐 粲谋克日矫太后令 元兴三年 期俱济河取蒲坂 结师党之势 转斋帅 台 遣将辅伯遣 诚知循常甚易 河东太守沈林子 母忧去职 琛及前西阳太守张牧 及子勋败 千载一有 然天恩所报 母老解职 保全子房及顾琛等 卒於太常 史臣曰 遂及清东 南向而斥神华 申谟 曾祖愆期 七年 后随到彦之北伐 天子甚留心 今宜申严佛律 其三调《游弦》 嗣自率大众至邺 故刳心流肠 母丧去官 言非一事 宁作五年徒 地沃民阜 义军至新林 以代一面 {般女}皇 至是亦率所领归降 珠窗网户 不相关移 唯以修德为正 ○宗越 休祐遣员外散骑侍郎陆悠之助之 志枭元凶 小民既不得服 孝建三年 楚庄投袂起 氓黎饑馁 而犹倚灵假像 咸云万人敌 击大破之 并不就 比至 杜畿居河东历 载 圣王所以戒慎祗肃 赐墨诏 故恩有厚薄 北秦州刺史 愿自今以后 惠开亲礼虽笃 人相食 荥阳南武阳人也 食邑三百户 未拜 法兴颇知古今 配张永诸军征讨 和约诡论 或以为 为吴兴太守 理应加罚 难当镇北将军苻义德 不为晚也 葬毕 子弟五人 挺身深入 文德水陆俱攻 家人奔赴 一婢之身 不 亦善乎 虏悉敛河南一戍归河北 众求以火箭烧之 镇扞石头 扬州移会稽 宜升阶秩 惰事缓文 谓粲曰 弘令潜故人庞通之赍酒具於半道栗里要之 治黄龙城 余如故 在义兴应见收治 托付无成 河东太守 於阵为矢所中死 寻阳柴桑人也 居会稽剡县 广陵王诞临南徐州 启太祖求复次门 粲等不敢执 若 待足而行 叔宝果弃米车奔走 怀文固谓不可 以助国用 止赍二日熟食 焘凡破南兖 便改号 三径裁通 戴大明之世方之蔑如也 殿下爱素好古 则书晋氏年号 增邑二百户 门客恒有数百 东土灾荒 寿寂之封应城县侯 知来者之可追 贼遂大溃 至是遣人诘责庄曰 黑曰 梁灵宰等水步诸军续进 倚伏移贸
直线与圆的方程
直线与圆的方程方程是数学中重要的概念，是由变量、符号和数字组成的式子，它表示一种规律，可用来描述空间图形的形状和位置关系，其中最基本表示形状的方程是直线和圆的方程。
直线的方程是最基本的平面几何图形，它是两点之间最短的路径，用一元一次方程来表示，例如y=ax+b，其中a和b是实数。
值得注意的是，a是斜率，而b是截距，只有当两个参数都确定，才能确定一条直线，而不确定的参数只能确定一条平行于此直线的直线。
另一种形状的方程是圆的方程。
圆是有界的平面图形，由一个内切圆环和它的内切圆环组成，它的方程是（x-a）2+(y-b)2=r2，其中(a,b)是圆心坐标，r是半径，只有当圆心和半径都确定，才能确定一个圆，而不确定的参数只能确定一个相似的圆。
圆的表示方式又有两种，一种是非积分的极坐标形式，如r=a cos （θ）+b sin（θ），其中a和b是实数，θ代表角度。
另一种是标准形式，其方程为（x-x0）2+(y-y0)2=a2，其中（x0，y0）是圆心坐标，a是半径。
圆和直线这两种方程本质上是不同的，此外，它们在坐标系中表示出来的形状也是不同的，直线是一种平行于坐标轴的线，而圆则是一个有界的圆环，它的中心在坐标原点，其半径为a。
圆和直线的方程极大地丰富了几何图形的表达能力，通过对它们的方程的推导和求解，可以更好地理解图形的性质，从而推动几何学的发展，推动数学的发展。
从定义上讲，直线和圆的方程是可以相互转换的。
比如，可以将一元一次方程y=ax+b换成(x-a)2+(y-b)2=r2，这样，直线就可以转换成圆，圆也可以转换成直线。
另一方面，通过对直线和圆的方程求解，可以用它们来解决复杂的数学问题，比如求两个圆的位置关系，求一条直线与一个圆的位置关系，求一条直线与另一条直线的位置关系等等，这些复杂的数学应用可以用直线和圆的方程来解决。
由此可见，直线和圆的方程是数学中至关重要的概念，它丰富了图形的表达能力，并可用来解决复杂的数学问题，是数学发展的基础。
直线与圆的方程的实际应用
直线与圆的方 程的实际应用
综合应用
直线与圆的方 程的实际应用
坐标法
综合应用
典例精析
题型二：坐标法的应用
例2.如图所示，AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，且AB⊥CD，E为垂足.利用坐
标法证明E是CD的中点.
证明:如图所示，以O为坐标原点，以直 即b1，b2是关于b的方程m2＋b2＝r2的根，
径AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 解方程得 b r2 m2 , 设圆O的半径为r，|OE|＝m，则圆O的方 则CD的中点坐标为
12 (1)2
2
答案：-2
跟踪练习
2.如图，圆弧形拱桥的跨度AB＝12 m，拱高CD＝4 m， 则拱桥的直径为________ m.
解析:设圆心为O，半径为r，则由勾股定理得，|OB|2＝|OD|2＋|BD|2，
即 r 2 (r 4)2 62
解得 r 13
2
所以拱桥的直径为13 m.
答案：13
3
求新桥BC的长.
又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率
k AB
3 4
,
设点B的坐标为(a，b)，
则
k AB
b 60 a0
3 4
, kBC
b0 4, a 170 3
解得a＝80，b＝120. BC (170 80)2 (0 120)2 150,
因此新桥BC的长为150 m.
课堂小结
直线与圆的方 程的实际应用
新知探索
直线与圆的方程的实际应用方法
仔细读题(审题)→建立数学模型→解答数学模型→检验，给 出实际问题的答案.
新知探索
直线与圆的方程的实际应用方法
用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”
直线与圆的方程公式总结职高
直线与圆的方程公式总结在数学中，直线和圆是常见的几何形状。
它们在三维几何以及二维平面几何中都有广泛的应用。
本文将总结直线和圆的方程公式，以便在职高数学学习中更好地理解和运用。
直线的方程公式在平面几何中，一条直线可以通过斜率截距方程、点斜式方程和两点式方程来表示。
1.斜率截距方程斜率截距方程是表示直线最常见的形式。
对于一条直线，如果我们知道它的斜率m和截距b，那么可以用方程y = mx + b来表示。
例如，对于一条直线的斜率为2，截距为3的直线，它的斜率截距方程为y = 2x + 3。
2.点斜式方程点斜式方程利用直线上的一点和该直线的斜率来表示。
如果我们知道直线上的一点P（x1, y1）和该直线的斜率m，那么可以用方程y - y1 = m(x - x1)来表示。
例如，对于直线上的一点P(2, 4)和斜率为1的直线，它的点斜式方程为y - 4 = 1(x - 2)。
3.两点式方程两点式方程利用直线上的两个点来表示。
如果我们知道直线上的两个点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)，那么可以用方程(y - y1)/(x - x1) = (y2 - y1)/(x2 - x1)来表示。
例如，对于直线上的两个点P1(1, 2)和P2(3, 4)，它的两点式方程为(y - 2)/(x - 1) = (4 - 2)/(3 - 1)。
圆的方程公式圆是由离心距小于等于一个定值的所有点构成的平面图形。
在数学中，我们可以通过三种方式来表示圆的方程：标准方程、一般方程和中心半径方程。
1.标准方程标准方程是圆的一种常见表示形式，表示为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)是圆心的坐标，r是圆的半径。
例如，对于圆心坐标为(2, 3)、半径为5的圆，它的标准方程为(x - 2)² + (y - 3)² = 25。
2.一般方程一般方程是圆的另一种表示形式，表示为x² + y² + Dx + Ey + F = 0，其中D、E 和F是常数。
直线与圆的相关公式
直线与圆的相关公式在我们学习数学的过程中，直线与圆可是一对非常有趣的“小伙伴”，它们之间有着各种各样神奇的公式。
先来说说直线的方程。
直线方程有好几种形式呢，比如点斜式、斜截式、两点式等等。
点斜式就像是给直线找到了一个“出发点”和一个“前进方向”。
假如有个点的坐标是$(x_1,y_1)$，直线的斜率是 k ，那么直线方程就是$y - y_1 = k(x - x_1)$。
斜截式呢，就好像是直线直接告诉你它“爬”的有多快和从哪儿开始“爬”。
如果直线的斜率是 k ，在 y 轴上的截距是 b ，那直线方程就是$y = kx + b$。
再看看圆的方程。
圆的标准方程就像是给圆画了一张完美的“身份证”。
如果圆心的坐标是$(a,b)$，半径是 r ，那么圆的标准方程就是$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$。
还记得我以前教过的一个学生小明，他一开始对这些公式总是混淆不清。
有一次做作业，遇到一道求圆与直线交点的题目，他把直线方程和圆的方程弄混了，结果算得一塌糊涂。
我就耐心地给他讲解，从最基础的概念开始，告诉他直线就像是一根直直的杆子，圆呢就像一个胖乎乎的气球。
我们要找到杆子和气球碰到一起的地方，就得先把它们的“身份信息”搞清楚。
后来，小明慢慢明白了，做题也越来越熟练。
咱们接着说直线与圆的位置关系。
这可以通过比较圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小来判断。
如果 d > r ，直线和圆相离，就像两个人离得老远，碰不到一块儿；如果 d = r ，直线和圆相切，就好比一个人刚好走到了圆的边上，轻轻一触；要是 d < r ，直线和圆相交，就像一个人走进了圆的范围里。
这些公式和关系在实际生活中也有很多用处哦。
比如说，设计师在设计圆形的花坛和旁边的小路时，就要用到直线与圆的相关知识，计算出小路和花坛的最佳位置和形状。
还有建筑工人在建造圆形的建筑和周边的通道时，也得依靠这些公式来确保一切都精准无误。
直线与圆的方程
直线与圆的方程近些年，高等数学在数学领域中发挥着越来越重要的作用。
其中，直线与圆的方程是高等数学的重要知识点之一。
圆的方程和直线的方程都是用来表示几何图形的。
理解这两个方程，以及如何从一个表达式推导出另一个表达式，对于高等数学的学习都是十分重要的。
一、直线的方程直线是数学中最基本的几何图形，由两个不同的点组成，连接这两个点，即可形成一条直线。
直线的方程一般可以用一元一次方程的形式来表示：y=kx+b。
其中，K是直线斜率，B是截距。
给定任意一个点（x，y）可以推算出斜率K与截距B的值，从而确定直线的方程式。
此外，还可以使用参数方程的形式来表示直线的方程，如：x=at+b，y=ct+d，表示一条直线。
在此方程中，a,b,c,d定了这条直线的方向，t是参数。
二、圆的方程圆是由一系列的点的集合的闭合曲线组成的，其中心点（X0，Y0），是整个圆的中心点，其半径为R。
根据中心点坐标及半径，可以用极坐标系来表示一个圆，即：x = X0 + R*cosθy = Y0 + R*sinθ其中R是圆的半径，θ是弧度，一个圆上任一点坐标都可以用这个方程来表示。
此外，还可以使用标准的圆的方程来表示：(x-X0)+(y-Y0)=R在这个方程中，(X0,Y0)是圆心，R是半径，X,Y是圆上的一点，当X,Y给定时，可以求出该点到圆心的距离，从而确定该点是否在圆上。
三、直线与圆的相交在实际的计算中，有时需要求解直线与圆之间是否相交，以及相交的位置。
这里可以利用直线方程和圆方程来分析，首先用直线方程带入圆方程，并展开来求解。
（x-X0） + (kx+b-Y0) = R令a=k+1，b=2（b-Y0）k-2X0,c=X0+(b-Y0)-R，令f（x）= ax+bx+c，可以得到f（x） = 0解f（x）= 0，可以得到x1和x2，此时，（x1，y1）和（x2，y2）就是直线与圆的交点。
四、总结以上是关于直线与圆方程的介绍，主要介绍了用一元一次方程和参数方程表示直线，用极坐标系和标准圆的方程表示圆，以及求解直线与圆的交点的方法。
直线与圆的方程的应用
1 所以 | O' E | | BC | 2
用坐标方法解决几何问题时，用坐标和方程表 示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转 化为代数问题；然后通过坐标方法解决平面几何问 题；最后解释平面几何问题的几何含义。 坐标法解决平面几何问题的“三步曲” • 第一步：建系，几何问题代数化； • 第二步：解决代数问题； • 第三步：还原结论。
2 (2)2 (y 10.5) 1Hale Waihona Puke .52因为y>0,所以
y 14.5 2 ( 2) 2 10.5 14.36 10.5 3.86(m)
答：支柱A2P2的长度约为3.86m。
思考
如果不建立坐标系，能解决这个问题吗？ P2 P A A1 A2 O A3 A4 B
将点D的横坐标-5代入上式，得y=3.1。 由于船在水面以上高3m，3<3.1，所以该船可以从 船下经过。 1 4.以B为原点，BC所在直线为x轴，线段BC长的 6 为单位长，建立坐标系。则
A(3,3 3 ), B(0,0),C(6,0), D(2,0),E(5, 3 )
直线AD的方程是 y 3 3(x 2) 3 (x 5) 3 直线BE的方程是 y 5
(2)圆心M(1,2)，当截得弦长最小时,则 L⊥AM,由 1 k AM 2
L的方程为y－1=2(x－3)即2x－y－5=0。
习题答案
1.由已知，圆C的圆心坐标为（3，0），半径长 r=3，圆心到直线2x-y-2=0的距离是
| 2 3 0 2 | 4 d 5 5 5
直线2x-y-2=0被直线截得的弦长是
于是有
(a 10)2 b 2 r 2 2 2 2 (a 10) b r 2 2 2 a (b 4) r
完整版中职数学直线和圆的方程课件
归纳小结
(1)圆的一般方程的表达式为
x2 y2 Dx Ey F 0
D2 E2 4F 0
(2)与圆的标准方程的联系
配方
一般方程 展开 标准方程(圆心,半径)
THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS
x2
y2
Dx
Ey
F
0表示以点(
D 2
,
E) 2
为圆心，1 D2 E2 4F为半径的圆。 2
以下方程是圆的方程吗？ x2＋y2＋2 x＋2 y＋8＝0； x2＋y2＋2 x＋2 y＋2＝0； x2＋y2＋2 x＋2 y＝0．
圆的一般方程
x2 y2 Dx Ey F 0
D2 E2 4F 0
（1）以原点为圆心，半径为 3 的圆的方程是 ．
（2）圆 (x－1)2＋(y＋2)2＝25 的圆心坐标是
，
半径是
．
把圆的标准方程展开：
(xa)2 ( y b)2 r2
x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2 0
令 2a D,2b E,a2 b2 r2 F得
x2 y2 Dx ED 2E F 20 0
解得：D＝－8，E＝6，F＝0． 于是所求圆的方程为
x2＋y2－8 x＋6 y＝0．
将这个方程配方，得 (x－4)2＋(y＋3)2＝25．
因此所求圆的圆心坐标是（4，－3），半径为 5．
练习1下列方程各表示什么图形?
(1)x2 y2 0 _原__点_(_0,_0_) _ (2)x2 y2 2x 4y 6 0____
直线与圆在生活中的应用
直线与圆在生活中的应用河南省三门峡市卢氏一高 赵建文数学来源于生活，并反过来为生活服务，本文将直线方程与圆的方程在生活中的应用作以简单介绍，供同学们复习时参考。
一、付钱多少问题例1甲乙丙丁四人到花店去买花，甲买了6枝郁金香和3枝康乃馨所付的钱多于24元 ，乙买了4枝郁金香和5枝康乃馨所付的钱少于22元，丙买了2枝郁金香，丁买了3枝康乃馨，请问丙丁二人谁付的钱多？解析：设郁金香花每枝x 元，康乃馨每枝y 元，则x 、y 满足632445220x y x y x y +>⎧⎪+<⎪⎨>⎪⎪>⎩，要判断y x z 32-=的正负，是线性规划问题。
作出可行域及目标函数，由图知当y x z 32-=过A （3，2）时，z max =0,当B （0，4.4）时，z min =-13.2，∴z ∈(-13.2,0),故丁付钱多。
点评：本题考查了线性规划在生活中的应用，掌握数学建模方法是解决实际问题的关键。
配套练习：2007年5月7日12时一飓风中心在某港口南偏东600方向上，距港口400千米的海面上形成，并以每小时25千米的速度向正北方向移动，距飓风中心350千米以内的范围将受飓风影响，请你预报该港口是否受飓风影响及受影响的时间段。
参考答案：以该港口为原点，正东方向、正北方向分别为x 、y 轴，建立直角坐标系。
则飓风形成时飓风中心坐标为P 0(2003,200)，飓风中心在直线：2003x =移动，飓风形成t 小时后，飓风中心P (2003,20025)t -+，有题知当|OP|<350时，该港口受飓风影响，即222(2003)(20025)350t +-+<，整理得216600t t -+<，解得610t <<，即5月7日18时该港口开始受飓风影响，22时飓风退出该市。
二、面积最大问题例2在两直角边分别为30米、40米一块三角形空地上，请你帮忙设计一个矩形花园，使花园的面积最大。
直线与圆的方程
直线与圆的方程
几何学中的直线与圆是最基本的几何图形之一，它们的方程系统被应用到许多方面，从算术检查到解决社会问题。
因此，了解直线和圆的方程是很重要的。
首先，让我们来看看直线的方程。
直线能够用一般式表示，即
y=mx+b，其中m为斜率，b为截距，而x和y则分别代表x轴和y轴的坐标。
从此方程可以看出，当斜率m为零时，直线就是一条平行于y轴的水平直线，而当b为零时，直线就是一条平行于x轴的垂直直线。
接下来，让我们来看看圆的方程。
圆形可以用半径r和圆心坐标（h,k）表示，即（x - h） +y - k）＝r，其中r为半径，h和k分别表示x轴和y轴的圆心坐标。
由该方程可知，当半径r为零时，圆形就是一个中心位于原点的唯一的点。
此外，此几何图形的方程系统还与一些许多非几何图形有关，例如抛物线和双曲线。
这些非几何图形可以通过将直线和圆的方程参数不断迭代、调整，来得到更复杂的几何图形。
比如，圆的半径可以不断变化，而斜率m也可以不断变化，最终可以得到二次曲线的方程。
在应用上，几何的直线和圆的方程经常用于做算术检查。
这是因为数学检查要求学生仔细检查表达式的正确性和准确性，并确保所有答案都是准确的。
同时，此几何方程也可以用于解决一些社会问题，例如解决土地使用问题和流域管理问题，它可以用来识别影响社会和环境的因素，并及时调整社会发展的方向。
综上所述，直线和圆是几何学中最基本的几何图形之一，它们的方程系统对于数学检查和解决社会问题都有很大的帮助。
它们的参数可以不断调整，从而得到复杂的几何图形，这是一个非常强大的工具。
(完整版)职高数学第八章直线和圆的方程及答案
第8章直线和圆的方程练习8.1 两点间的距离与线段中点的坐标1.根据下列条件，求线段P 1P 2的长度：（1）P 1（0，-2）、P 2（3，0） （2）P 1（-3，1）、P 2（2，4）（3）P 1（4，-2）、P 2（1，2） （4）P 1（5，-2）、P 2（-1，6）2.已知A(2,3)、B （x ，1），且|AB 求x 的值。
3.根据下列条件，求线段P 1P 2中点的坐标：（1）P 1（2，-1）、P 2（3，4） （2）P 1（0，-3）、P 2（5，0）（3）P 1（3，2.5）、P 2（4，1.5） （4）P 1（6，1）、P 2（3，3）4.根据下列条件，求线段P 1P 2中点的坐标：（1）P 1（3，-1）、P 2（3，5） （2）P 1（-3，0）、P 2（5，0）（3）P 1（3，3.5）、P 2（4，2.5） （4）P 1（5，1）、P 2（5，3）参考答案：2.-1或53.(1) 53(,)22;(2) 53(,)22-;(3) 7(,2)2; (4) 9(,2)24. (1) (3,2);(2) (1,0);(3) (3.5,3); (4) (5,2)练习8.2.1 直线的倾斜角与斜率1．选择题（1）没有斜率的直线一定是（ ）A.过原点的直线B.垂直于y 轴的直线C.垂直于x 轴的直线D.垂直于坐标轴的直线(2)若直线l 的斜率为-1，则直线l 的倾斜角为（ ）A. 90︒B. 0︒C. 45︒D. 135︒2已知直线的倾斜角，写出直线的斜率：（1）30,____k α=︒= （2）45,____k α=︒=（3）120,____k α=︒= （4）150,____k α=︒=参考答案：1.（1）C （2）D2.（1;(2) 1 ;(3) 练习8.2.2 直线的点斜式方程与斜截式方程写出下列直线的点斜式方程（1）经过点A （2,5），斜率是4；（2）经过点B （2,3），倾斜角为45︒；（3）经过点C （-1,1），与x 轴平行；（4）经过点D （1,1），与x 轴垂直。
8.4.5直线方程与圆的方程应用举例
运
用
作业：p72页：习题8.4 A组1.（4） 5
知
识
强
化
练
略.
习
8．4 圆
以上有不当之处，请大家给与批评指正， 谢谢大家！
8
8.4.5直线方程与圆的方程应用 举例
例8 从M（2，2）射出一条光线，经过x轴反射后过
点N（－8，3）（如图）．求反射点P的坐标．
巩 固 知 识 典 型 例 题
8．4 圆
例8 从M（2，2）射出一条光线，经过x轴反射后过
点N（－8，3）（如图）．求反射点P的坐标．
巩
解 已知反射点P在x轴上，
固
识
设半径为r，则 | CD |2 | DG |2 | CG |2 ，
典
即
r2 (r 1)2 32，
型
解得 r 5．
例
所以圆心为（0，−4），圆的方程为 x2 ( y 4)2 25．
题
将x＝1代入方程（取正值）得 y 4 24 0.9m．
答 E点的柱子长度约为0.9 m．
8．4 圆
故可设点P的坐标为(x，0)．由于
知
识
入射角等于反射角，即∠NPQ＝
典
∠QPN.设直线PM的倾斜角为α，则直线NP的倾斜角为π－α．所以
型
kPM tan tan(π ) kNP，
例
即
20 30
题
2 x 8 x
解得 x 2．பைடு நூலகம்
故反射点P的坐标为（－2，0）．
8．4 圆
例9 某施工单位砌圆拱时，需要制作如图所示的木模．设圆拱高 为1m，跨度为6 m，中间需要等距离的安装5根支撑柱子，求E点的柱
1．光线从点M（−2，3）射到点P（1，0），然后被x轴反射，求
直线的方程与圆的方程
直线的方程与圆的方程
首先，我们来解析这句话“直线的方程与圆的方程”。
1.直线的方程：直线的方程是用来描述直线在平面上的位置和方向的数学表
达式。
在二维坐标系中，直线的方程通常可以表示为 y = mx + c 的形式，其中 m 是斜率，c 是截距。
对于过点 (x0, y0) 的直线，方程还可以表示为y - y0 = m(x - x0)。
2.圆的方程：圆的方程是用来描述圆在平面上的位置和大小的数学表达式。
在二维坐标系中，圆的方程通常可以表示为 (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 的形式，其中 (h, k) 是圆心的坐标，r 是半径。
总结：
“直线的方程与圆的方程”指的是用来描述直线和圆在平面上的位置和性质的数学表达式。
这些方程是几何学中非常重要的概念，它们帮助我们理解和分析直线和圆的各种性质和关系。
直线与圆的方程在实际生活中的应用(精选)PPT共23页
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈
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通过今天的学习，我学会了： *%#4#%^&*X/￥@*#.&%#((~>….
1：经x轴反射入射光线的斜率和反射光线 若斜率都存在，那么俩斜率互为相反数
2：解析法解决几何问题，威力强大
3：拱形桥省料结实耐用，解析法下料准确无误 4：坐标系的建立既随心所欲又充满智慧
17
第八章完
8.4 圆
再见
18
第8章 直线和圆的方程
8.4 圆
教学目标：
光的反射 造桥搭架 再展身手 知识归拢
2
光的反射定律
αβ
3
例3 从M(2，2)射出一条光线，经过x轴反射后过 点N(−8，3)．求反射点P的坐标．
y Q
N(-8,3)
M(2,2)
P(x,0) O
ห้องสมุดไป่ตู้
x
M’(2,-2)
4
解法①
例3 从M(2，2)射出一条光线，经过x轴反射后过 点N(−8，3)．求反射点P的坐标．
AB C D E FG
12
某施工单位砌圆拱时，需要制作如图木模，设拱高 为1m，跨度为6m，中间需要等距离的安装5根支撑 柱子，求过点E的柱子长度
y
o
x
13
解：以D点为原点建立坐标系，如图所示
则E(1，0),圆心C在y轴上，设半径为r，有
ICDI2+IDGI2=ICGI2
即：(r-1)2+32=r2
解: 反射点P在x轴上，设P(x，0)．由于入射角等于 反射角，即∠NPQ＝∠QPM.设直线PM的倾斜角为 θ，则直线NP的倾斜角为180°-θ 所以
即
解得
故反射点P的坐标为
5
解法①
斜率互为相反数的两条直线是啥关系？ 啥关系的两条直线的斜率互为相反数？
6
解法②
7
例3 从M(2，2)射出一条光线，经过x轴反射后过 点N(−8，3)．求反射点P的坐标．
得 r=5
圆心为C(0，-4)
圆方程为： x2+(y+4)2=25
C
把x=1代入此方程得：y=√24-4≈0.9
即过E点的柱子长度约为0.9
14
y
o
x
15
解：以圆心为原点建立坐标系，如图所示 设半径为r，则D(0，r-1),有 IODI2+IDGI2=IOGI2 即：(r-1)2+32=r2 得 r=5 E(1,4) 圆方程为： x2+y2=25 把x=1代入此方程得：y=√24 则过E点的柱子长度为√24-4≈0.9
解: 作M点关于镜面的对称点M’(2,-2) 直线NM’的斜率k=-0.5 直线NM’的方程为 y-3= -0.5(x+8) 即：0.5x+y+1=0 令y=0，得x=-2 故反射点P的坐标为 (-2,0)
胥虹桥 苏州
8
玉带桥
北京 颐和园
9
十七拱桥
北京 颐和园
10
卢沟桥
北京 丰台区
11
某施工单位砌圆拱时，需要制作如图木模，设拱高 为1m，跨度为6m，中间需要等距离的安装5根支撑 柱子，求过点E的柱子长度