量子力学课件(6)

这样，在无穷远的地方，波函数应由两部分组成：一部
分是描写入射粒子的平面波 1 Aeikx ；另一部分是描
写散射粒子的球面散射波：
2
f ( , ) eikx
r
,
这个波是由散射中心向外传播的。
r 1
2
Aeikz
f
( , ) eikr
r
,
（8）
这里考虑的是弹性散射，所以散射波的能量没有改变，即
波矢 k的数值不变，上式中的 f (仅, 是) 的函和数，而与 无关，可以r 证明，（8）式在 时满足方r 程（7）。
时解具有r （8） 的形式而得出。后面几节将具体讨论如何
求方程（7）的解。
§6.2 中心力场中的弹性散射（分波法）
下面将给出在中心力场作用下，粒子的散射截面的一个 普遍的计算方法——分波法。
1、散射粒子所满足的薛定谔方程
在中心力场的情况下，势能只与粒子到散射中心的距离有 关，与的方向无关，所以方程（7）可写为：
k2
2mE
2
p2
2
(4)
p k
(5)
mm
V (r ) 2mU (r [k 2 V (r )] 0 (7)
通常我们观察被散射的粒子都是在离开散射中心很远的地方，
所以只需讨论 时r 的行为就够了，假设时， r，即
在粒U子(远r )离散0射中心时，两者之间的相互作用趋于零。
(r, ,) Rl (r)Pl (cos )
l
（14）
这个展开式中的每一项称为一个分波，Rl (r)Pl (c是os第 )个 l
分波，每一个分波都是方程（13）的解，通常称l 0,1的, 2分,3
波分别为 s, p,分d,波f 。
其中勒让德多项式 Pl (cos ) 为已知，所以我们只需讨论 Rl (r)
q( ,) 1 ( dn )
N d 显然，q( ,具)有面积的量纲，称为微分散射截面。微分散
射截面 q(表 ,示)单位时间内散射到单位立体角 （面d积/距
离平方）的粒子数占总粒子数比率，即
dn q(, )Nd
将 q( ,)d 对所有方向积分，得
2
Q q( ,)d 0 0 q( ,)sin d d
二、研究散射的意义：
碰撞的具体情况与粒子本身的结构及它们之间的 相互作用性质密切相关，通过对散射结果的分析，可 以探知粒子的结构，推动基础理论的发展。人们之所 以能从原子到夸克这样一个层次一个层次地深入认识 物质的结构，在很大程度上，是依赖于对散射的研究。
三、散射的分类
弹性散射：一粒子与另一粒子碰撞的过程中，只有动 能的交换，粒子内部状态并无改变。 非弹性散射：两粒子碰撞中粒子的内部状态有所改变 （例如原子被激发或电离）。
在（8）式中取 A ，1则 ，1 2 这 1表明每单位体积只有
一个入射粒子，入射波的几率流密度是
Jz
i 2m
[
1
1
z
1
1 ]
z
i 2m
[ik
1
1
ik11]
(9)
其实，这就是入射粒子流强度,散射波的几率流密度是：
Jr
i 2m
[
2
2
r
2
2
r
]
i 2m
f
( ,)
2 [
ik r2
ik r2
]
d
(1
4 0
)
2
(
Ze2
M 2
)2
d
sin4
2
然而，在散射实验中，人们并不对每个粒子的轨道感兴趣，
而是研究入射粒子束经过散射后沿不同方向出射的分布。
设一束粒子流以稳定的入射流强度沿Z轴方向射向靶粒子A，
由于靶粒子的作用，设在单位时间内有 dn个粒子沿 (方,向)
的立体角 中d射出，显然， dn Nd, 令d，n 即q( ,)Nd
Q 称为总散射截面。
五、散射的量子力学描述
上面关于微分散射截面和总散射截面的定义，在 量子力学中同样适用。
下面我们来讨论量子力学中如何通过解薛定谔方 程来定散射截面。
取散射中心为坐标原点，用U (r )表示入射粒子与散射中 心之间的相互作用势能，则体系的薛定谔方程可写为：
2
2 U E
2m
式中m是入射粒子的质量，E是它的能量，为简单起见，令
cot
2
4 0
M 2
2Ze2
b
（偏转角 与瞄准距离之间的关系）
那些瞄准距离在 b和b db 之间的 粒子，散射后，必定向
着和 d 之间的角度射出，如下图所示：
凡通过图中所示环形面积 d 的 粒子，必定散射到角度
在 和 d 之间的一个空心圆锥体之中。环形面积 d称
为有效散射截面，又称微分截面。且
满足的径向方程
1 r2
d r 2 dr
dRl (r dr
)
k
2
V
(r
)
l
(l r2
1)
Rl
(r
)
0
令
Rl
(r)
ul
(r) r
得 ul (满r) 足的方程
（16）
d
2ul (r) dr 2
k
2
V
(r)
l
(l r2
1)
ul
(r)
2 [k 2 V (r)] 0
（13）
取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴，这个轴
是我们讨论问题中的旋转对称轴，波函数 和散射振幅都f
与 角无关。
由3.3节的讨论我们知道方程（13）的一般解可写为
(r, ,) Rl (r)Ylm ( ,)
lm
现在 既与 无关，所以 m 0 ，因而（13）的一般解为：
r2
f ( ,) 2
(10)
它表示单位时间内穿过球面上单位面积的粒子数，故单位
时间穿过面积 dS 的粒子数是
dn JrdS r2
f ( ,) 2 dS
f ( ,) 2 d
(11)
因为 ，N比较（11）与（1）两式，可知微分散射截面是
q(, ) f (, ) 2
(12)
所以知道了f (,，)就可求得 q，( , ) 称f为(散,射) 振幅。 的具体f形(式,通) 过求薛定谔方程（7）的解并要求在
在这里我们只讨论弹性散射，即假设碰撞过程中 粒子的内部状态未变，并假设散射中心质量很大、碰 撞对其运动没有影响。
四、散射的经典力学描述
从经典力学来看，在散射过程中，每个入射粒子都以一
个确定的碰撞参数（瞄准距离）b 和方位角0 射向靶子，
由于靶子的作用，入射粒子的轨道将发生偏转，沿某方
向 (出,射) 。例如在 粒子的散射实验中，有
第六章 散 射
§6.1 碰撞过程 散射截面 §6.2 中心力场中的弹性散射（分波法） §6.3 方形势阱与势垒所产生的散射 §6.4 玻恩近似
§6.1 碰撞过程 散射截面
一、什么是散射？
简单地说，散射就是指粒子与粒子之间或粒子与力 场之间的碰撞（相互作用）过程，是一种具有重要实 际意义的现象，所以散射现象也称碰撞现象。