第一学期常微分方程期中试卷

北 京 交 通 大 学

2013-2014学年第一学期《常微分方程》期中考试试卷

考试方式：闭卷 任课教师：曹鸿钧 学院 专业 班级

学号 姓名

请注意：本卷共四大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！

一、 填空题（每小题1分，共10分）

1、下列微分方程中

（1）

;46

y x dx dy -=（2）;12)(222xy dx dy dx

y d -= （3）;03)(3

2=-+y dx dy x dx dy （4）;0sin 362

2=-+-x xy dx dy dx y d x （5）;02cos =++x y dx dy

（6）.0)sin(22=-+x e dx

y d y 每个方程的阶数分别是 ，其中，线性方程有（写出方程

的标号） ，而是非线性方程的有（写出方程的标号） .

2、一曲线经过原点，且曲线上任意一点()y x ,处 的切线斜率为x 6，则曲线方程为 .

3、对于贝努利方程n y x q y x p dx

dy

)()(=+，则可通过变量变换 将其化为一阶线性方程，从而可以求解.

4、一阶微分方程0),(),(=+dy y x N y x M 为恰当微分方程的充要条件为 .

5、方程31

23

y dx dy =在区域________________________中满足解的存在唯一性定理.

6、方程21

2-=y dx dy 通过点)0,0(的饱和区间为 . 7、方程

22y x dx

dy

+=定义在矩形域11,11:≤≤-≤≤-y x R 上，则经过点（0，0）的解的存在区间是 ．

8、方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 具有形为)(y x +μ的积分因子的充要条件是 .

二、选择题：（每小题1分，共6分） 1、方程

y x dx

dy

-=24为 A 、一阶齐次线性方程 B 、一阶非齐次非线性方程 C 、一阶齐次非线性方程 D 、一阶非齐次线性方程

2、方程y x x

y

+=-3

1d d 满足初值问题解的存在唯一定理条件的区域是 ．

（A ）上半平面 （B ）xoy 平面 （C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面

3、方程32

3y dx

dy

=过点(0, 0)有 . A 、无数个解 B 、只有一个解 C 、只有两个解 D 、只有三个解 4、方程0)(2=-+dy x y x ydx 的一个积分因子为 .

A 、x 1

B 、21

x

C 、x ln

D 、x x ln

5．设函数)(),(21x y x y 是微分方程0)(=+'y x p y 的两个不同特解，则该方程的通解为 ．

(A)2211y C y C y += (B) 21Cy y y += (C) )(211y y C y y ++= (D) )(12y y C y -=

6、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解唯一的 条件． A 、充分 B 、必要 C 、充分必要 D 、不确定

三、计算题（本大题包含8个小题，共75分） 1、求解方程xy dx

dy

2=的通解，并求满足初值条件1,0==y x 的特解.（9分）

2、求方程2

52

6)(22xy xy x y dx dy +-=的通解.（9分）

3．求方程0)d (d 222=-+y y x x xy 的通解.（9分）

4、求方程2y x dx

dy

-=通过点（1,0）的第二次近似解.（10分）

5、求方程x y dx

dy

sin +=的通解.（9分）

6、设函数)(t ϕ于),

(+∞-∞上连续，)0('ϕ存在且满足关系式)()()(s t s t ϕϕϕ=+，试求此函数)(t ϕ.（10分）

7、求方程2''2)2()1(y y y -=-的解.（9分）

8、已知里卡蒂微分方程x

x x

e ye

y

e

y 22

'12-=-+-的一个特解为x e y =_

，

求此方程的特解（提示：取变换-

+=y z y ）（10分）.

四、证明：（9分）

（1）、一阶非齐次线性微分方程

)()(x Q y x P dx

dy

+=的任两解之差必为对应的齐次线性微分方程

y x P dx

dy

)(=的解（3分）； （2）、若)(x y y =是齐次线性微分方程y x P dx

dy

)(=的非零解，而)(x y y -

=是非齐次线性微分方程

)()(x Q y x P dx

dy

+=的解，则非齐次线性微分方程

)()(x Q y x P dx

dy

+=的通解可表为)()(x y x cy y -

+=，

其中，c 为任意常数（3分）.