第一学期常微分方程期中试卷
常微分方程试题及解答
常微分期终考试试卷(1)一、填空题( 30%)1、方程M (x, y)dx N( x, y)dy 0有只含x 的积分因子的充要条件是( )。
有只含y 的积分因子的充要条件是 ____________________ 。
２、_____________ 称为黎卡提方程，它有积分因子_________________ 。
３、__________________ 称为伯努利方程，它有积分因子______________________ 。
４、若X1(t),X2(t), ,X n(t)为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是______________________________ 。
５、形如__________________ 的方程称为欧拉方程。
６、若(t)和(t)都是x' A(t) x的基解矩阵，则(t)和(t )具有的关系是__________________________________ 。
７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_______ 时，零解是稳定的，对应的奇点称为__________ 。
二、解答题(６０％)1、ydx ( x y3)dy 0２、 x x sin t cos2t21 14 试求方程组 x Ax 的解 (t), (0)21并求dyx y 2经过( 0，0)的第三次近似解 dx４、(d dy x )3 dx4xy d d y x 8 y 2 0３、若 A expAt５、求方程6.求d d x t x y 1,d d y t x y 5的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题（１０％）、n 阶齐线性方程一定存在n个线性无关解。
试卷答案填空题MNy x(x)N MNyxM(y)２、dy p(x y) 2 Q x(y )R x dx()ddyxp(x)y Q x( y)n u(x, y) n e (n 1)p(x)dx４、 w[x 1(t),x 2(t), ,x n (t)] 0６、 (t) (t)C ７、零 稳定中心 二计算题MN1, 1１、解：因为 y x ，所以此方程不是恰当方程，方程有积x y2 x yc 即 2x y(y 2 c) 另外 y=0 也是解 y2２、线性方程 x x 0的特征方程 2 1 0 故特征根if 1(t) sinti 是特征单根， 原方程有特解 x t(Acost Bsint)1代入原方程 A=- 1 B=0f 2(t) cos2t 2i 不是特征221根，原方程有特解 x Acos2t B sin 2t 代入原方程 A 1 B=0311 所以原方程的解为 x c 1cost c 2 sint tcost cos2tdx na n 1d d y x a n y 02dy 2分因子 (y) e y e ln y2x y 3dy 0所以解为1y dx yd n ya1两边同乘y 2x y 3y 2k=1n 1 2*)两边对 y 求导： 2y(p 3 4y 2)dp p(8y 2 p 3) 4y 2pdy即(p 3 4y 2)(2y dp p) 0由2y dp p 0得 p cy 21即y (p )2将 ydy dy c３、解：p( )26 9 0解 得1,23 此 时1 (t) e 3ti0t i i!(A 3E)i 1e 3t 1 t( 1 2)2 t( 1 2)n 1t i由公式 expAt= e t t (A E)i 得i 0 i!3t 3t 1 01expAt e 3t E t(A 3E) e 3tt0 1111 e 3t 1 t t t1t４、解：方程可化为 xdy dx4y dydx8y2dy 令dy p则有xdx32 p 3 8y 2(*)4yp代入（*）c 2x 422p即方程的 含参数形式的通解为：c 2xc 2 2px 2 4 c 2 4c p p 2 y ( )2c为参数 又由 p 34y 2140得 p （4y 2）3代入（ *）得： y 4 x 3也是方程的解x y 1 0６、解：由解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2 则xy50dx x y d d t y dy dt 因为 1 1=1+1 0 故有唯一零解( 0，0)111 12 2由2 2 1 1 2 2 2 0得 1 i 故( 3，-2)11为稳定焦点三、证明题由解的存在唯一性定理知：n 阶齐线性方程一定存在满足如下条件的n 解：x1(t0) 1,x2(t0) 0, ,x n(t0) 0x1'(t0) 0,x2'(t0) 1, ,x n(t0) 0x1n 1(t0) 0,x2n 1(t0) 0, ,x n n 1(t0) 1考虑w[x1(t0),x2(t0), ,x n(t0)]0 01 0100 11５、解：2x x1y0xdx1 0022 x x y0(x )dx x20 04 24 10x x x043 y0 (x5 x207 2 5x x x)dx400 20 2 20 4400 160x11 x8xy从而x i(t)(i 1,2, n) 是线性无关的。
(完整版)常微分方程练习试卷及答案
常微分方程练习试卷一、填空题。
1. 方程23210d xx dt+=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程()x dyf xy y dx=经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程3230d yy x dx--=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个.4. 设常系数方程x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x xy x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= .5. 朗斯基行列式()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t L 在a x b ≤≤上线性相关的 条件.6. 方程22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 .7. 已知()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = .8. 方程组20'05⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程.10 .是满足方程251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解.11.方程的待定特解可取 的形式:12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是二、计算题1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.2．求解方程13dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程222()0d x dx x dt dt+= 。
4．用比较系数法解方程..5．求方程 sin y y x '=+的通解.6．验证微分方程22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.7．设 3124A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11η ，试求方程组X A dt dX =的一个基解基解矩阵)(t Φ，求X A dt dX=满足初始条件η=)0(x 的解. 8. 求方程2213dyx y dx=-- 通过点(1,0) 的第二次近似解.9.求 的通解试求方程组x Ax '=的解(),t ϕ 12(0),ηϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt 10.若三、证明题1. 若(),()t t Φψ是()X A t X '=的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵C ，使得()()t t C ψ=Φ.2. 设),()(0βαϕ≤≤x x x 是积分方程],[,,])([)(0200βαξξξξ∈++=⎰x x d y y x y xx的皮卡逐步逼近函数序列)}({x n ϕ在],[βα上一致收敛所得的解，而)(x ψ是这积分方程在],[βα上的连续解，试用逐步逼近法证明：在],[βα上)()(x x ϕψ≡.3. 设 都是区间 上的连续函数, 且 是二阶线性方程的一个基本解组. 试证明:(i) 和 都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零); (ii) 和 没有共同的零点; (iii) 和没有共同的零点.4.试证：如果)(t ϕ是AX dtdX=满足初始条件ηϕ=)(0t 的解，那么ηϕ)(ex p )(0t t A t -= .2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦32()480dy dy xy y dx dx -+=答案一.填空题。
《常微分方程》期中试卷-解答
)()()(2cos 31cos 31sin 21)(**t x t x t x tt t t t x c +=∴-+=通解 五. 证明题（5分）证明:性无关解，下面只要证明其线是对应齐次方程的两个、是非齐方程的解，、、)()()()()()()(3231321t x t x t x t x t x t x t x --∴ 是齐次方程的基解线性无关，、，，线性无关，、、即：令∴--∴=+==⇒=+-+=-+-)()()()(000)()()(0)()()()(0)]()([)]()([323121213213212211322311t x t x t x t x k k k k t x t x t x t x k k t x k t x k t x t x k t x t x k)()]()([)]()([)(1322311t x t x t x c t x t x c t x +-+-=非齐次方程的通解：六. 应用题（任选1题, 10分）1．设运动员从跳落到开伞前为自由落体运动, 开伞后在空气中下落时受到的空气阻力与速度平方成正比（比例系数为k ）。
一运动员从高空跳下T 秒后才打开降落伞。
试建立微分方程, 求开伞后, 该运动员在下降过程中速度与时间关系, 并求出极限速度。
解:kmgt v aeae k mg v a gT kmggT kmgc gT v c t m kg v kmgvkmgv gTv m k g dt dvt t v t t mkg t m kg =⇒+-=⇒∆-+=⇒=+=-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=+∞→)(lim 11ln ln)0(2ln)0()(22112由第二定律得：秒时的速度，根据牛顿表示运动员开伞用第 4 页2. 在一个电阻R 、电感L 、电容C 和电源E 串联而成的闭合回路中, 已知E=100sin60t(V)R=2欧姆, L=0.1（H ）, C=1/260（F ）。
复旦大学常微分期中试卷
˙ = A(t)x, 其中 A(t) 为 R 上以 T (T > 0) 为周期的 考虑线性方程 n 维线性常微分方程: x 连续矩阵值函数. (1) 设 上 述 方 程 的 一 个 基 本 解 方 阵 为 ϕ(t), 证 明 存 在 一 个 ϕ(t + T ) = ϕ(t) · B . (2) 如 果 已 知 存 在 n 阶 矩 阵 C 使 得 eC T = B , 我 们 对 原 方 程 进 行 坐 标 变 换 y (t) = eC t ϕ−1 (t)x(t). 证明在此坐标变化下, 存在常数 C1 , C2 > 0 使得 C2 ∥x(t)∥ ≤ ∥y (t)∥ ≤ C1 ∥x(t)∥, 对于 t ∈ R 成立，并求出 y (t) 满足的微分方程. (3) 若 (2) 中得到的矩阵 C 的一切特征值实部都小于 0, 设 H (t) 为 R 上的 n 阶 连 常 值 矩 阵 B， 使 得
, ∥A∥2 2 =
得分 . .
已知 h(t) 为 (α, β ) 上的实值连续函数，x0 ∈ R, t0 ∈ (α, β ). 用逐次逼近法证明以下初值问 dx = h(t)(x + t2 sin x + t), dt 题 的解在 (α, β ) 上存在且惟一. x(t ) = x
(1) 若 A(t) ≡ A, 试用常数变易公式写出上述方程满足初值条件 x(t0 ) = x0 (t0 ∈ R, x0 ∈ Rn ) 的解. (2) 在 (1) 的条件下，若 A 的一切特征值实部大于 0，证明该方程存在唯一在 R 上有界 的解. 1 2 t2 + 1 , f (t) ≡ 0. 证明存在 x0 ∈ R , 使得该方程满 cos 2t
6
, 分 6 分, 5 分 6 分, 6 分 12
《常微分方程》试题-5页精选文档
常微分方程试卷1一、填空题（每题3分，共15分）1．一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线．2．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是3．方程02=+'-''y y y 的基本解组是 ．4．一个不可延展解的存在在区间一定是 区间． 5．方程21d d y xy-=的常数解是 ． 二、单项选择题（每题3分，共15分）6．方程y x xy+=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ ）．（A ）上半平面 （B ）xoy 平面 （C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面 7. 方程1d d +=y xy （ ）奇解．（A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个8．)(y f 连续可微是保证方程)(d d y f xy=解存在且唯一的（ ）条件． （A ）必要 （B ）充分 （C ）充分必要 （D ）必要非充分9．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）．（A ）构成一个2维线性空间 （B ）构成一个3维线性空间 （C ）不能构成一个线性空间 （D ）构成一个无限维线性空间10．方程323d d y xy=过点(0, 0)有（ ）．(A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解三、计算题（每题６分，共30分） 求下列方程的通解或通积分：11.y y x yln d d = 12. x yx y x y +-=2)(1d d13. 5d d xy y xy+=14．0)d (d 222=-+y y x x xy 15．32y y x y '+'=四、计算题（每题10分，共20分） 16．求方程255x y y -='-''的通解． 17．求下列方程组的通解．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=x ty ty t x d d sin 1d d五、证明题（每题10分，共20分）18．设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞→x f x ，求证：方程)(d d x f y xy=+ 的一切解)(x y ，均有0)(lim =+∞→x y x ．19．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，求证：若)(x p 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式)(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数．常微分方程试卷1答案及评分标准一、填空题（每题3分，共15分） 1．22．线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）3．x x x e ,e 4．开5．1±=y二、单项选择题（每题3分，共15分） 6．D 7．C 8．B 9．C 10．A 三、计算题（每题６分，共30分）11．解 当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得 C x y y y+=⎰⎰d ln d （3分）通积分为x C y e ln = （6分）12．解 令xu y =，则xu x u x y d d d d +=，代入原方程，得 21d d u xux-= （3分）分离变量，取不定积分，得 C xxu u ln d 1d 2+=-⎰⎰（0≠C ）通积分为： Cx xyln arcsin= （6分）13．解 方程两端同乘以5-y ，得x y xyy +=--45d d 令 z y =-4，则xzx y y d d d d 45=--，代入上式，得 x z xz=--d d 41（3分） 通解为41e 4+-=-x C z x 原方程通解为41e 44+-=--x C y x （6分）14．解 因为xNx y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程． （2分）取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为C y y x xy yx=-⎰⎰020d d 2（4分）即C y y x =-3231 （6分）15．解 原方程是克莱洛方程，通解为32C Cx y += （6分）四、计算题（每题10分，共20分）16．解 对应齐次方程的特征方程为052=-λλ，特征根为01=λ，52=λ，齐次方程的通解为x C C y 521e += （4分）因为0=α是特征根。
《常微分方程》测试题 1
《常微分方程》测试题 1一、填空题 30%1、 形如 的方程，称为变量分离方程，这里.分别为x.y 的连续函数。
2、 形如 -的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n3、 如果存在常数 -对于所有函数称为在R 上关于满足利普希兹条件。
4、 形如 -的方程，称为欧拉方程，这里5、 设的某一解，则它的任一解- 。
二、计算题40%1、 求方程2、 求方程的通解。
)().(y x f ϕx x Q x P 为)().(，可化为线性方程。
是常数。
引入变量变换-------≠1.0使得不等式,0 L 称为利普希兹常数。
都成立，（L R y x y x ∈),(),,21),(y x f y 是常数。
,,21a a 是的基解矩阵，是)()(t Ax x t ϕφ=')()(t f x t A x +='可表为)(t γ的通解。
26xy x ydx dy -=xye x ydx dy =+3、 求方程的隐式解。
4、 求方程三、证明题30%1.试验证=是方程组x =x,x=，在任何不包含原点的区间a 上的基解矩阵。
2.设为方程x =Ax （A 为n n 常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E ），证明: (t )=(t- t )其中t 为某一值.<%建设目标%>te x x x 25'6''=++）的第三次近似解。
、通过点（002y x dx dy+=()t Φ⎥⎦⎤⎢⎣⎡122t t t '⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-t t 22102⎥⎦⎤⎢⎣⎡21x x b t ≤≤()t Φ'⨯Φ()t Φ1-Φ0Φ00《常微分方程》测试题 1 答案一、填空题（每空5分）1 2、 z=34、5、 二、计算题（每题10分）1、这是n=2时的伯努利不等式，令z=,算得 代入原方程得到，这是线性方程，求得它的通解为z= 带回原来的变量y ，得到=或者，这就是原方程的解。
(整理)《常微分方程》试题.
常微分方程试卷1一、填空题（每题3分，共15分）1．一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线．2．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是 ．3．方程02=+'-''y y y 的基本解组是 ． 4．一个不可延展解的存在在区间一定是 区间． 5．方程21d d y xy-=的常数解是 ．二、单项选择题（每题3分，共15分）6．方程y x xy+=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ ）． （A ）上半平面 （B ）xoy 平面 （C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面 7. 方程1d d +=y xy （ ）奇解．（A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个 8．)(y f 连续可微是保证方程)(d d y f xy=解存在且唯一的（ ）条件． （A ）必要 （B ）充分 （C ）充分必要 （D ）必要非充分 9．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）．（A ）构成一个2维线性空间 （B ）构成一个3维线性空间 （C ）不能构成一个线性空间 （D ）构成一个无限维线性空间10．方程323d d y xy=过点(0, 0)有（ ）． (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解三、计算题（每题６分，共30分）求下列方程的通解或通积分：11. y y x yln d d = 12. x y x y x y +-=2)(1d d 13. 5d d xy y xy+= 14．0)d (d 222=-+y y x x xy15．32y y x y '+'=四、计算题（每题10分，共20分）16．求方程255x y y -='-''的通解．17．求下列方程组的通解．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=x ty ty t x d d sin 1d d五、证明题（每题10分，共20分）18．设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞→x f x ，求证：方程)(d d x f y xy=+ 的一切解)(x y ，均有0)(lim =+∞→x y x ．19．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，求证：若)(x p 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式)(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数．常微分方程试卷1答案及评分标准一、填空题（每题3分，共15分）1．22．线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零） 3．xxx e ,e 4．开5．1±=y二、单项选择题（每题3分，共15分）6．D 7．C 8．B 9．C 10．A三、计算题（每题６分，共30分）11．解 当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得 C x y y y+=⎰⎰d ln d （3分） 通积分为xC y e ln = （6分）12．解 令xu y =，则xuxu x y d d d d +=，代入原方程，得 21d d u x ux-= （3分） 分离变量，取不定积分，得C xxu u ln d 1d 2+=-⎰⎰（0≠C ） 通积分为： Cx xyln arcsin= （6分）13．解 方程两端同乘以5-y ，得x y xyy+=--45d d 令 z y =-4，则xz x y y d d d d 45=--，代入上式，得 x z xz=--d d 41 （3分）通解为41e 4+-=-x C z x原方程通解为 41e 44+-=--x C yx （6分）14．解 因为xNx y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程． （2分） 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为C y y x xy yx =-⎰⎰020d d 2 （4分）即 C y y x =-3231 （6分）15．解 原方程是克莱洛方程，通解为32C Cx y += （6分）四、计算题（每题10分，共20分）16．解 对应齐次方程的特征方程为052=-λλ，特征根为01=λ，52=λ，齐次方程的通解为 xC C y 521e += （4分） 因为0=α是特征根。
常微分方程期中考试题
优秀学习资料 欢迎下载常微分方程期中测试试卷(1)一、填空(dy)ndy y 2 x 21 微分方程 dx dx的阶数是 ____________2若M ( x, y)和N ( x, y)在矩形区域 R 内是 (x, y)的连续函数 , 且有连续的一阶偏导数 , 则方 程 M ( x, y) dx N ( x, y)dy0 有 只 与 y有 关 的 积 分 因 子 的 充 要 条 件 是 _________________________ 3 _________________________________________ 称为齐次方程 .dyf ( x, y)4 如果f ( x, y)___________________________________________ , 则 dx存在唯一的解 y(x) , 定义于区间 x x 0h 上 , 连续且满足初始条件 y 0( x 0 ) , 其中h_______________________ .5 对 于 任 意 的( x, y 1 ) ,( x, y 2)R (R 为某一矩形区域), 若存在常数N(N0) 使______________________ , 则称f (x, y)在 R 上关于 y满足利普希兹条件 .dy x 2 y 22 x2, 2 y2上 , 则经过点(0,0) 的解6 方程 dx定义在矩形区域 R :的存在区间是 ___________________7 若 x i (t )(i 1,2,.....n) 是齐次线性方程的n 个解 , w(t )为其伏朗斯基行列式 , 则w(t )满足一阶线性方程 ___________________________________8若 x i (t)(i1,2,.....n)为齐次线性方程的一个基本解组,x(t)为非齐次线性方程的一个特解 , 则非齐次线性方程的所有解可表为_________________________9 若( x)为毕卡逼近序列 n (x)的极限，则有 (x) n ( x)__________________10 _________________________________________称为黎卡提方程， 若它有一个特解y(x) ，则经过变换___________________，可化为伯努利方程．二求下列方程的解dyy１dx x y 3dy xy 2２求方程dx经过( 0,0)的第三次近似解dyy21的解的存在区间３讨论方程 dx， y(1)(dy)2y 21 04 求方程 dx的奇解(cos x1)dx (1x)dy5y yy 26y ' y 2 2 y sin x cosx sin 2 x 7( 2xy 23y 3 )dx (7 3xy 2 ) dy 0三 证明题1 试证 : 若已知黎卡提方程的一个特解, 则可用初等积分法求它的通解2 试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明: 一阶线性方程 P( x) , Q( x) 在 ,上连续时 , 其解存在唯一参考答案一 填空题 1 1dyQ( x)P(x) ydx, 当234 56M N1()()( y)yx Mdy g ( y)形如dxx 的方程在 R 上连续且关于y满足利普希兹条件f ( x, y 1 ) f (x, y 2 ) N y 1y 21 1 x44h min( a, b)m7w ' a 1 (t )w 0n8xc i x ixi 1nMLh n 19(n 1)!dyp( x) y 2 q( x) y r ( x)y z y10 形如 dx的方程二 求下列方程的解dxxy 3x 211 dyy3y x eydyxcy1解：dyyy( y 2 eydy c)，则所以2另外 y 0也是方程的解2解：0 ( x)x2( x) dx1x 2 1 ( x)x2x12( x) dx 1 x 2 1 x 5 2 ( x)x220x22( x) dx1x 21x 51 x 111x 83 (x)x2204400160dydx3解： y21x c两边积分y1y所以方程的通解为x c过 y(1) 1 的解为y12故x通过点(1,1)的解向左可以延拓到，但向右只能延拓到 ２，所以解的存在区间为(,2)4 解 : 利用 p判别曲线得p 2y 2 1 02 p 0消去 p 得 y21 即 y1所以方程的通解为ysin( x c) , 所以 y1是方程的奇解My 2N y2MN5 解 :y = ,x =,y =x, 所以方程是恰当方程 .u cos x1x yv 1 x得usin xx( y)y y y2yu xy2'( y)( y)ln yy所以sin xx ln y cy故原方程的解为6解 :y ' y 2 2 ysin x cosx sin 2 x 故方程为黎卡提方程 . 它的一个特解为ysin x , 令 yzsin x ,dz z 2z1 则方程可化为 dx,x cy sin x1ysin x1x c ,xc即故7解 : 两边同除以 y 2得2xdx 3ydx7 dy 3xdy 0y 2dx2d3xyd7y优秀学习资料欢迎下载x 23xy7c y 0也是方程的解所以y, 另外三证明题1证明 : 设黎卡提方程的一个特解为y y令yz y ,dy dz d y dy p( x) y2q( x) y r ( x)dx dx dx又dxdz p( x)( z y) 2q( x)( z y)r ( x) d y dx dxd y2q( x) y r ( x)dzp( x) z2 2 p( x) yp( x) y得 dx由假设dx此方程是一个 n2的伯努利方程,可用初等积分法求解2证明 :令 R :x,,y RP( x) ,Q( x) 在,上连续, 则f ( x, y)P(x) y Q( x)显然在 R 上连续,因为 P( x)为,上的连续函数 ,故 P(x) 在,上也连续且存在最大植,记为L即 P( x)L ,x,y1, y2R f ( x, y1 ) f ( x, y2 )P(x) y1P( x) y2=P(x) y1因此一阶线性方程当P( x) ,Q ( x) 在,上连续时 , 其解存在唯一q( x) zy2L y1y2常微分方程期中测试卷(2)1．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)dydy4322x 2x sin yd y2 d yd y 0y x（1） dx（ 2） dx（3） dx 4dx 3 dx 2dr3d 2r（4） x xx x t（ 5） ( ds)1 ds 2（ 6） x2dy y 2dx 02、填空题 (8%)dyx tan y（1）．方程dx的所有常数解是 ___________.（ 2）．若 y=y 1( x ) ， y=y 2( x ) 是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为 ________________.（ 3 ） . 若 方 程 M ( x, y )d x + N ( x, y )d y = 0 是 全 微 分 方 程 ， 同 它 的 通 积 分 是________________. （4） . 设 M ( x 0, y 0) 是可微曲线 的截距分别是 _________________.3、单选题 (14%)y = y ( x ) 上的任意一点，过该点的切线在 x轴和 y 轴上（1）．方程y ln ydx( x ln y)dy是（） .(A) 可分离变量方程 （ B ）线性方程 (C) 全微分方程（ D ）贝努利方程dyy (0y)（ 2）．方程 dx，过点（ 0， 0）有（） .(A) 一个解（ B ）两个解(C) 无数个解 22 （ D ）三个解（ 3）．方程 (1)d( 1)d=0 的所有常数解是（ ） .y － yxx+y x －(A) y =± 1, x =±1,(B) y =± 1(C) x =± 1(D)y =1, x =1（ 4）．若函数 y ( x ) 满足方程xyy y 2 ln x，且在 x =1 时， y =1, 则在 x = e 时y =().11(A)e(B)2(C)2(D) e（ 5）． n 阶线性齐次方程的所有解构成一个（ ）线性空间．（ A ） n 维（ B ）n1维（ C ）n1维（ D ）n2 维dyxy 2（ 6） . 方程 dx（）奇解．（ A ）有三个（ B ）无（ C ）有一个（ D ） 有两个dy23y3（ 7）．方程 dx 过点 (0, 0) （）．（ A ）有无数个解（B ）只有三个解（C ）只有解y（ D ）只有两个解4. 计算题 (40%)求下列方程的通解或通积分：dy xy（ 1） . dx 1 x 2dy 3ye 2 x（2）. dx（3） .(x 3xy 2 )dx (x 2 y y 3 )dy 0dy y ( y ) 2（4）.dxxx（5） . y (x ln y ) 15. 计算题 (10%)求方程y5 y sin 5x 的通解．6．证明题（ 16%）设f ( x, y) 在整个xoy平面上连续可微，且f ( x, y 0 ) 0 ．求证：方程dy f (x, y)dx的非常数解yy( x) ，当 xx0 时，有y(x)y0 ，那么x0 必为或．参考答案： 1．辨别题（ 1）一阶，非线性 （ 2）一阶，非线性 （3）四阶，线性 （ 4）三阶，非线性 （ 5）二阶，非线性 （6）一阶，非线性2．填空题（ 1）．yk , k 0, 1, 2,（2）．C 1[ y 1( x)y 2 ( x)] y 1 (x) xM (x, y) dxy N ( x 0 , y) dyx 0y0 ,y 0 x 0 y（ 3）． x 0 y 0（ 4）．y3．单选题（ 1）．B （2）．C（3）．A （4）．B （5）. A （6）.B 7.A4. 计算题（ 1）．解 当y 0时，分离变量得dy xdxy1 x2 等式两端积分得ln y1ln(1 x 2 ) ln C2即通解为y C 1 x 2（ 2）．解 齐次方程的通解为y Ce 3x令非齐次方程的特解为y C (x)e 3 xC (x)1e 5 x C代入原方程，确定出5原方程的通解为yCe 3x 1e 2 x+ 5M 2xyN（3）．解yx，所以原方程是全微分方程．由于取 ( x 0 , y 0 )( 0, 0)，原方程的通积分为x xy 2)dxyC 10 (x3y 3dy即x 4 2 x 2 y 2 y 4 C令yxuy ux du（4）. ，则dx ，代入原方程，得ux duu u 2x duu 2dx，dx当u时，分离变量，再积分，得du dxCu2x1 ln x Cu1uln xC，yxln xC即：5. 计算题令yp，则原方程的参数形式为x 1 ln ppypdy y由基本关系式dx，有dy y dxp (1 1)dp1 p2p (1p )dp积分得y p ln p C得原方程参数形式通解为x1 ln ppy p ln pC5．计算题解方程的特征根为 1， 25齐次方程的通解为 yC 1 C 2e 5 x因为i5i不是特征根。
常微分方程期中考试题
y sin x 1
, 另外
又
y 0
xc
dz z 2 z 1
也是方程的解
dy p(x) y 2 q(x) y r(x) dx
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，通力根1保过据护管生高线产中敷工资设艺料技高试术中卷0资不配料仅置试可技卷以术要解是求决指，吊机对顶组电层在气配进设置行备不继进规电行范保空高护载中高与资中带料资负试料荷卷试下问卷高题总中2体2资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况1卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可1都关能可于地以管缩正路小常高故工中障作资高；料中对试资于卷料继连试电接卷保管破护口坏进处范行理围整高，核中或对资者定料对值试某，卷些审弯异核扁常与度高校固中对定资图盒料纸位试，置卷编.工保写况护复进层杂行防设自腐备动跨与处接装理地置，线高尤弯中其曲资要半料避径试免标卷错高调误等试高，方中要案资求，料技编试术写5、卷交重电保底要气护。设设装管备备置线4高、调动敷中电试作设资气高，技料课中并3术试、件资且中卷管中料拒包试路调试绝含验敷试卷动线方设技作槽案技术，、以术来管及避架系免等统不多启必项动要方高式案中，；资为对料解整试决套卷高启突中动然语过停文程机电中。气高因课中此件资，中料电管试力壁卷高薄电中、气资接设料口备试不进卷严行保等调护问试装题工置，作调合并试理且技利进术用行，管过要线关求敷运电设行力技高保术中护。资装线料置缆试做敷卷到设技准原术确则指灵：导活在。。分对对线于于盒调差处试动，过保当程护不中装同高置电中高压资中回料资路试料交卷试叉技卷时术调，问试应题技采，术用作是金为指属调发隔试电板人机进员一行，变隔需压开要器处在组理事在；前发同掌生一握内线图部槽 纸故内资障，料时强、，电设需回备要路制进须造行同厂外时家部切出电断具源习高高题中中电资资源料料，试试线卷卷缆试切敷验除设报从完告而毕与采，相用要关高进技中行术资检资料查料试和，卷检并主测且要处了保理解护。现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
常微分方程试题库试卷库2
常微分方程期终考试试卷(1)一、 填空题（3０％）1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是( )。
有只含y 的积分因子的充要条件是_＿_____＿______。
２、______＿______称为黎卡提方程，它有积分因子＿_＿__＿_＿____＿_。
３、____＿＿＿_＿_______＿_称为伯努利方程,它有积分因子____＿＿___。
４、若12(),(),,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是____＿______＿＿＿__＿____＿____。
5、形如＿＿___＿_____＿＿__＿_＿_的方程称为欧拉方程。
6、若()t φ和()t ψ都是'()x A t x =的基解矩阵,则()t φ和()t ψ具有的关系是____＿__＿_____＿＿__＿__＿____＿__＿。
７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为___＿__＿＿＿时,零解是稳定的,对应的奇点称为_＿＿____＿___。
二、计算题（6０%）1、3()0ydx x y dy -+=２、sin cos2x x t t ''+=-３、若2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t ηϕϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求exp Ａt４、32()480dy dyxy y dx dx-+=5、求方程2dyx y dx =+经过（０，０)的第三次近似解6.求1,5dx dyx y x y dt dt =--+=--的奇点，并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题（1０%）1、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。
常微分方程期终试卷(２)一、填空题 30％1、 形如_＿____＿__＿_＿的方程,称为变量分离方程，这里．)().(y x f ϕ分别为x ．y的连续函数。
2、 形如＿_＿___＿__＿___的方程，称为伯努利方程,这里x x Q x P 为)().(的连续函数.n ，可化为线性方程。
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常微分方程期终考试试卷(1)一、 填空题（30%）1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是（ ）。
有只含y 的积分因子的充要条件是______________。
２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。
３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。
４、若12(),(),,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。
５、形如___________________的方程称为欧拉方程。
６、若()t φ和()t ψ都是'()x A t x =的基解矩阵，则()t φ和()t ψ具有的关系是_____________________________。
７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。
二、计算题（６０％）1、3()0ydx x y dy -+= ２、sin cos2x x t t ''+=-３、若2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t ηϕϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt４、32()480dy dyxy y dx dx -+=５、求方程2dyx y dx =+经过（0，0）的第三次近似解6.求1,5dx dyx y x y dt dt =--+=--的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题（１０％）１、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。
试卷答案一填空题１、()M N y x x N ϕ∂∂-∂∂= ()M Ny xy M ϕ∂∂-∂∂=- ２、 2()()()dyp x y Q x y R x dx =++y y z =+３、 ()()n dyp x y Q x y dx =+ (1)()(,)n p x dxn u x y y e --⎰=４、12[(),(),,()]0n w x t x t x t ≠５、11110n n nn n nn d y d dyx a a a y dx dx dx ---++++=６、()()t t C ψφ= ７、零 稳定中心 二计算题１、解：因为1,1M Ny x∂∂==-∂∂，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子22ln 21()dyyy y ee yμ--⎰===，两边同乘21y 得320dx x y dy y y +-=所以解为 321x x y y dx dy c y y y⎡⎤∂⎢⎥-++-=⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰22x y c y +=即22()x y y c =+另外y=0也是解 ２、线性方程0x x ''+=的特征方程210λ+=故特征根i λ=±1()sin f t t = i λ=是特征单根，原方程有特解(cos sin )x t A t B t =+代入原方程A=-12B=02()cos 2f t t=-2iλ=不是特征根，原方程有特解cos2sin 2x A t B t =+代入原方程13A =B=0所以原方程的解为1211cos sin cos cos223x c t c t t t t=+-+３、解：221()69014p λλλλλ--==-+=-解得1,23λ=此时 k=112n =12v ηηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦111123322120()()(3)()!it i t i t t t e A E e t i ηηηηϕηηηη=⎡⎤+-+⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑ 由公式expAt= 10()!in tii t e A E i λλ-=-∑得[]33310111exp (3)01111ttt t t At e E t A E e t e t t ⎧-⎫-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-=+=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭４、解：方程可化为3284dyydxxdyydx⎛⎫+⎪⎝⎭=令dypdx=则有3284p yxyp+=（*）（*）两边对y求导：32232 2(4)(8)4dpy p y p y p y pdy-+-=即32(4)(2)0dpp y y pdy--=由20dpy pdy-=得12p cy=即2()pyc=将y代入（*）2224c pxc=+即方程的含参数形式的通解为：22224()c pxcpyc⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩p为参数又由3240p y-=得123(4)p y=代入（*）得：3427y x=也是方程的解５、解：002100225200410725118 3002()4220()4400202204400160 xxxyxy xdxx x xy x dxx x x x x x x y x dxϕϕϕϕ===+==++=+=++++=+++⎰⎰⎰６、解：由1050x yx y--+=⎧⎨--=⎩解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2则dxx ydtdyx ydt⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩因为1111---=1+1 ≠0故有唯一零解（0，0）由221121122011λλλλλλ+=+++=++=-+得1iλ=-±故（3，-2）为稳定焦点。
常微分方程期中试卷(2)
常微分方程期中试卷(2) 班级 姓名 学号 得分一、计算题（每小题10分，本题共50分）求下列方程的通解或通积分：1. 0d d )2(=-+y x x y x2.1d d +=xy x y 3. 0d )ln (d 3=++y x y x x y 4．2)(y y x y '+'=5．03)(22=+'+''x y y y二、计算题（每小题10分，本题共20分）6．求方程x y y 5e 3='-''的通解．7．求下列方程组的通解．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x ty y x t x 34d d 2d d三、证明题（每小题15分，本题共30分）8．设)(x ϕ在区间),(∞+-∞上连续．试证明方程y x xy sin )(d d ϕ= 的所有解的存在区间必为),(∞+-∞．9．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，已知)(),(x q x p 在),(b a 上连续．试证明：若存在),(0b a x ∈使方程的两个解)(1x y ，)(2x y 同在0x 处取极值，则)(1x y ，)(2x y 不能是方程的基本解组．试卷答案一、计算题（每小题６分，本题共30分）1．解 方程化为xy x y 21d d += 令xu y =，则xu x u x y d d d d +=，代入上式，得 u x u x +=1d d 分量变量，积分，通解为1-=Cx u原方程通解为x Cx y -=22．解 齐次方程的通解为Cx y = 令非齐次方程的特解为x x C y )(=代入原方程，确定出 C x x C +=ln )(原方程的通解为Cx y =+x x ln3．解 因为xN x y M ∂∂==∂∂1，所以原方程是全微分方程． 取)0,1(),(00=y x ，原方程的通积分为C y y x x y y x=+⎰⎰031d d 即 C y x y =+441ln 4．解 原方程是克来洛方程，通解为2C Cx y +=5．解 原方程是恰当导数方程，可写成0)(3='+'x y y即 13C x y y =+'分离变量解此方程，通积分为二、计算题（每小题10分，本题共20分）6．解 对应的齐次方程的特征方程为 032=-λλ，特征根为 01=λ，32=λ故齐次方程的通解为 x C C y 321e += 因为5=α不是特征根。
常微分方程练习试卷及答案
常微分方程练习试卷及答案常微分方程练试卷一、填空题。
1.方程d2x/dt2+1=是二阶非线性微分方程。
2.方程xdy/ydx=f(xy)经变换ln|x|=g(xy)可以化为变量分离方程。
3.微分方程d3y/dx3-y2-x=0满足条件y(0)=1,y'(0)=2的解有一个。
4.设常系数方程y''+αy'+βy=γex的一个特解y(x)=e-x+e2x，则此方程的系数α=-1，β=2，γ=1.5.朗斯基行列式W(t)≠0是函数组x1(t),x2(t)。
xn(t)在[a,b]上线性无关的条件。
6.方程xydx+(2x2+3y2-20)dy=0的只与y有关的积分因子为1/y3.7.已知X'=A(t)X的基解矩阵为Φ(t)，则A(t)=Φ(t)-1dΦ(t)/dt。
8.方程组x'=[2,5;1,0]x的基解矩阵为[2e^(5t),-5e^(5t);e^(5t),1]。
9.可用变换将伯努利方程y'+p(x)y=q(x)化为线性方程。
10.方程y''-y'+2y=2e^x的通解为y(x)=C1e^x+C2e^2x+e^x。
11.方程y'''+2y''+5y'+y=1和初始条件y(0)=y'(0)=y''(0)=0的唯一解为y(x)=e^-x/2[sin(5^(1/2)x/2)-cos(5^(1/2)x/2)]。
12.三阶常系数齐线性方程y'''-2y''+y=0的特征根是1，1，-1.二、计算题1.设曲线方程为y(x)=kx/(1-k^2)，则曲线上任一点处的斜率为y'(x)=k/(1-k^2)，切点为(0,0)，切线方程为y=kx，点(1,0)的连线斜率为-1/k，因此k=-1，曲线方程为y=-x/(1+x)。
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2013-2014学年第一学期《常微分方程》期中考试试卷
考试方式：闭卷 任课教师：曹鸿钧 学院 专业 班级
学号 姓名
请注意：本卷共四大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！
一、 填空题（每小题1分，共10分）
1、下列微分方程中
（1）
;46
y x dx dy -=（2）;12)(222xy dx dy dx
y d -= （3）;03)(3
2=-+y dx dy x dx dy （4）;0sin 362
2=-+-x xy dx dy dx y d x （5）;02cos =++x y dx dy
（6）.0)sin(22=-+x e dx
y d y 每个方程的阶数分别是 ，其中，线性方程有（写出方程
的标号） ，而是非线性方程的有（写出方程的标号） .
2、一曲线经过原点，且曲线上任意一点()y x ,处 的切线斜率为x 6，则曲线方程为 .
3、对于贝努利方程n y x q y x p dx
dy
)()(=+，则可通过变量变换 将其化为一阶线性方程，从而可以求解.
4、一阶微分方程0),(),(=+dy y x N y x M 为恰当微分方程的充要条件为 .
5、方程31
23
y dx dy =在区域________________________中满足解的存在唯一性定理.
6、方程21
2-=y dx dy 通过点)0,0(的饱和区间为 . 7、方程
22y x dx
dy
+=定义在矩形域11,11:≤≤-≤≤-y x R 上，则经过点（0，0）的解的存在区间是 ．
8、方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 具有形为)(y x +μ的积分因子的充要条件是 .
二、选择题：（每小题1分，共6分） 1、方程
y x dx
dy
-=24为 A 、一阶齐次线性方程 B 、一阶非齐次非线性方程 C 、一阶齐次非线性方程 D 、一阶非齐次线性方程
2、方程y x x
y
+=-3
1d d 满足初值问题解的存在唯一定理条件的区域是 ．
（A ）上半平面 （B ）xoy 平面 （C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面
3、方程32
3y dx
dy
=过点(0, 0)有 . A 、无数个解 B 、只有一个解 C 、只有两个解 D 、只有三个解 4、方程0)(2=-+dy x y x ydx 的一个积分因子为 .
A 、x 1
B 、21
x
C 、x ln
D 、x x ln
5．设函数)(),(21x y x y 是微分方程0)(=+'y x p y 的两个不同特解，则该方程的通解为 ．
(A)2211y C y C y += (B) 21Cy y y += (C) )(211y y C y y ++= (D) )(12y y C y -=
6、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解唯一的 条件． A 、充分 B 、必要 C 、充分必要 D 、不确定
三、计算题（本大题包含8个小题，共75分） 1、求解方程xy dx
dy
2=的通解，并求满足初值条件1,0==y x 的特解.（9分）
2、求方程2
52
6)(22xy xy x y dx dy +-=的通解.（9分）
3．求方程0)d (d 222=-+y y x x xy 的通解.（9分）
4、求方程2y x dx
dy
-=通过点（1,0）的第二次近似解.（10分）
5、求方程x y dx
dy
sin +=的通解.（9分）
6、设函数)(t ϕ于),
(+∞-∞上连续，)0('ϕ存在且满足关系式)()()(s t s t ϕϕϕ=+，试求此函数)(t ϕ.（10分）
7、求方程2''2)2()1(y y y -=-的解.（9分）
8、已知里卡蒂微分方程x
x x
e ye
y
e
y 22
'12-=-+-的一个特解为x e y =_
，
求此方程的特解（提示：取变换-
+=y z y ）（10分）.
四、证明：（9分）
（1）、一阶非齐次线性微分方程
)()(x Q y x P dx
dy
+=的任两解之差必为对应的齐次线性微分方程
y x P dx
dy
)(=的解（3分）； （2）、若)(x y y =是齐次线性微分方程y x P dx
dy
)(=的非零解，而)(x y y -
=是非齐次线性微分方程
)()(x Q y x P dx
dy
+=的解，则非齐次线性微分方程
)()(x Q y x P dx
dy
+=的通解可表为)()(x y x cy y -
+=，
其中，c 为任意常数（3分）.。