柯西不等式教学设计
人教版高中选修4-5第三讲柯西不等式与排序不等式教学设计
人教版高中选修4-5第三讲柯西不等式与排序不等式教学设计一、教学目标1.理解柯西不等式和排序不等式的概念和基本性质。
2.能够应用柯西不等式和排序不等式解决实际问题。
3.培养学生的数学思维能力、解决问题的能力和团队协作精神。
二、教学内容1.柯西不等式的定义和证明。
2.柯西不等式及其应用。
3.排序不等式的定义和证明。
4.排序不等式及其应用。
三、教学重点和难点1.理解柯西不等式和排序不等式的定义和基本性质。
2.掌握柯西不等式的证明方法，理解其应用。
3.熟练掌握排序不等式的证明方法，能够应用排序不等式解决实际问题。
四、教学方法和手段1.教师引导学生自主发现和探究柯西不等式和排序不等式。
2.采用运用举例的方法，引导学生理解和记忆柯西不等式和排序不等式，提高学生举一反三的能力。
3.推崇探究式学习方法，鼓励学生主动探究，组织学生研究、合作探讨，提升学生的团队合作能力。
五、教学流程1.柯西不等式的引入通过真实生活中的例子，引出两个变量之间的关系，小组探究两正数之积的最大值、两负数之积的最大值、正数与负数之积的最小值。
教授柯西不等式的定义和证明。
2.柯西不等式的应用通过计算题目，引出使用柯西不等式求出积分值最大值的方法，题目的复杂程度逐渐加深，教授柯西不等式在解题中的应用。
3.排序不等式引入介绍排序不等式的定义和证明过程，并从生活中的例子引出排序不等式的应用场景。
4.排序不等式的应用通过计算题目，引导学生掌握人教版高中选修4-5第三讲柯西不等式与排序不等式的解题方法，解决实际问题。
六、教学评价1.通过出题考核，检测学生掌握柯西不等式和排序不等式的基础知识和应用能力。
2.通过实际应用问题，检验学生对柯西不等式和排序不等式的理解和应用能力。
七、小组探究设计在小组合作过程中，让学生组织实验、调查等自主探究柯西不等式和排序不等式。
小组探究产生的报告可作为课后作业，让学生进行总结和讨论。
最后，本课程旨在为学生提供基本数学知识和运用能力，建立实际生活场景与知识的联系。
二维形式的柯西不等式-教案
【二维形式的柯西不等式】一、教材分析：柯西不等式是人教A 版选修 4-5不等式选讲中的内容，是学生继均值不等式后学习的又一个经典不等式，它在教材中起着承前启后的作用。
一方面可以巩固不等式的基本证明方法，和函数最值的求法，另一方面为后面学习三角不等式与排序不等式奠定基础，本节课的核心内容是柯西不等式二维形式的推导及其简单应用。
二、教学目标：1、知识与技能：通过对二维形式的柯西不等式的探究和证明过程的分析的学习，认识二维形式的柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；2、过程与方法：过对柯西不等式几种不同形式的探究过程的学习，会用语言叙述柯西不等式的几种形式，能总结本节课涉及到的数形结合思想，比较法，综合法，配方法，类比法，构造法等数学方法，总结应用柯西不等式解答问题的一般方法与步骤； 3、情感、态度与价值观：通过对二维形式柯西不等式的学习，学生会感受到柯西不等式的对称与和谐美，感受探究交流与合作的学习方式，同时提高学习数学的兴趣,提高数学素养. 三、教学重点：二维形式柯西不等式的证明思路，二维形式柯西不等式的应用. 四、教学难点：二维形式柯西不等式的应用. 五、教学准备1、课时安排：1课时2、学情分析： 学生不仅已经掌握了不等式证明的基本方法，还具备了一定的观察、分析、逻辑推理的能力。
通过对两种方法的证明，让学生体会对柯西不等式的向量形式和代数法证明的不同之处.3、教具选择：多媒体六、教学方法：启发引导、合作探究 七、教学过程一． 1、自主导学：引入：同学们，中学课本有很多定理定义都以科学家姓名命名，你知道有哪些？ 牛顿，高斯，安培，焦耳，裴波拉契，欧姆，伽利略，韦达定理，笛卡尔, 祖暅原理，秦九韶算法，海伦公式，引出课题： 1.复习： 二元基本不等式 ：(0,0)2a ba b +≥>>，当且仅当b a =时等号成立.变形：ab b a 222≥+，R b a ∈,,当且仅当b a =时等号成立.2. 尝试练习，引入新课：（1），122=+b a ，422=+d c 求bd ac +的最大值；学生独立思考，再小组讨论分析：由，122=+b a 422=+d c 得 ++22b a 2)2()2(22=+d c ,因为ac ca ≥+22)2(，bd db ≥+22)2(所以++22)2(c a bd ac db +≥+22)2(即2≤+bd ac ，当且仅当2c a =，2db =时等号成立.（2）222M b a =+,222N d c =+，N M ,为正常数，求2）（bd ac +的最大值并指出等号成立的条件.分析：由222M b a =+,222N d c =+得++22)()(M b M a 2)()(22=+NdN c 因为MN ac N c M a 2)()(22≥+，MNbd N d M b 2)()(22≥+++=22)()(2N c M a MNac N d M b 2)()(22≥++MN bd 2 故bd ac MN +≥，当且仅当N c M a =，Nd M b =时即bc ad =等号成立. bd ac d c b a +≥+⋅+2222从而22222)())((bd ac d c b a +≥++，当且仅当bc ad =等号成立. 2、合作探究（1）分组探究： 二．新课：1.定理1：（柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，则 22222)())((bd ac d c b a +≥++，当且仅当bc ad =时等号成立. 证明：因为))((2222d c b a ++=22222222d a c b d b c a +++222222)(d b acbd c a bd ac ++=+所以22222)())((bd ac d c b a +-++ 0)222222≥-=+-=bc ad c b abcd d a （ 当且仅当bc ad =时等号成立.注意考虑等号成立的条件！ 探究：结合bd ac bd ac d c b a +≥+≥+⋅+||2222，能否利用所学知识从形的角度认识？小组讨论，学生展示结果：2. 几何意义：设βα→→，为平面上以原点O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为）b a A ,(，),(d c B ），因为 |cos |||||||θβαβα→→→→=•又因为1|cos |≤θ所以||||||βαβα→→→→•≥⋅， 同时：根据坐标表示得22||b a +=→α，22||d c +=→β，它们的数量积为bd ac +=•→→βα， 所以||2222bd ac d c b a +≥+⋅+，即柯西不等式的代数形式是向量形式的坐标表示！所以柯西不等式的几何意义就是：||||||βαβα→→→→•≥⋅， 当且仅当β→是零向量，或存在实数k ,使βα→→=k 时等号成立.）b a ,3.定理2：（柯西不等式的向量形式）设βα→→，为平面上的两个向量，则||||||βαβα→→→→•≥⋅，当且仅当β→是零向量，或存在实数k ,使βα→→=k 时等号成立.（2）教师点拨：我们需要熟悉的是两个向量数量积与坐标间的联系，柯西不等式的代数形式是向量形式的坐标表示，所以柯西不等式的几何意义就是：||||||βαβα→→→→•≥⋅， 当且仅当β→是零向量，或存在实数k ,使βα→→=k 时等号成立.3、巩固训练：已知623=+y x ，求22y x +的最小值.分析：因为 22222)23((23y x y x ⨯+⨯≥++））（ 即36(1322≥+）y x ，所以133622≥+y x ，所以22y x +的最小值为1336又如，求函数x x y -+-=6453的最大值.例题教学：设b a ,是正实数，1=+b a ，求证411≥+ba分析：法1：)11)((11ba b a b a ++=+展开，用均值不等式解：4222)11)((11=+≥++=++=+abb a b a b a b a (当且仅当b a a b =即21==b a 时，等号成立.)（学生一起快速齐答）法2：注意到)11)((11b a b a b a ++=+，有了)11)((ba b a ++就可以用柯西不等式了.解：411)11)((,0,02=⋅+⋅≥++∴>>）（bb a a b a b a b a , (当且仅当ab b a 11⋅=⋅即21==b a 时，等号成立.) 411≥+∴b a变式训练：已知369422=+y x ，求y x 3+最大值.分析：因为22222)13212(]1)21][()3()2[(⨯+⨯≥++y x y x即：22222)3(]1)21)[(94(y x y x +≥++2)3(454536y x +≥=⨯ 所以 53353≤+≤-y x当且仅当232yx =即554553==y x ，时y x 3+取最大值53.554-553-==y x ，时y x 3+取最小值53-.4、拓展延伸：不等式结构分析：左边是实数平方和的乘积，右边是实数积的和的平方（1）bd ac bd ac d c b a +≥+≥+⋅+||2222(当且仅当bc ad =时等号成立.)(2)),,,.()())((2+∈+≥++R d c b a bd ac d b c a (当且仅当bc ad =时等号成立.) (3)||||2222bd ac d c b a +≥+⋅+（当且仅当||||bc ad =时，等号成立）使用柯西不等式的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式．美题欣赏：22222)())(11(b a b a +≥++ 即2)(222b a b a +≥+22222)21((21y x y x ⨯+⨯≥++））（ 即222)2((5y x y x +≥+）22222)cos sin ()cos )(sin (θθθθb a b a +≥++ 即222)cos sin (θθb a b a +≥+|cos sin |cos sin 2222θθθθb a b a +≥+⨯+ 即|cos sin |22θθb a b a +≥+5、师生合作总结：学生总结本节课所学内容：定理1：（柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，则22222)())((bd ac d c b a +≥++，当且仅当bc ad =时等号成立. 定理2：（柯西不等式的向量形式）设βα→→，为平面上的两个向量，则||||||βαβα→→→→•≥⋅，当且仅当β→是零向量，或存在实数k ,使βα→→=k 时等号成立.方法：作差，构造，数形结合 八、课外作业： P37页，4，5， 7，8，9思考题：根据二维形式的柯西不等式类比得到三维形式的柯西不等式十、教学反思：（注：教学实施后写） 过上完本节课我的体会和反思是：这是一节定理新授课，也是实践、总结和体验的研究课。
柯西不等式教案
柯西不等式教案教案标题：柯西不等式教案教案目标：1. 理解柯西不等式的概念和原理。
2. 掌握柯西不等式的应用方法。
3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
教学准备：1. 教材：包含柯西不等式相关知识点的数学教材。
2. 教具：黑板、白板、彩色笔、计算器等。
3. 学生资源：学生课本、笔记本、作业本等。
教学过程：步骤一：导入1. 利用黑板或白板，写下柯西不等式的定义和公式。
2. 向学生提问：“你们对柯西不等式有什么了解？它在数学中的应用是什么？”步骤二：概念讲解1. 通过讲解，向学生介绍柯西不等式的概念和原理。
2. 强调柯西不等式的重要性和应用领域，如线性代数、概率论等。
3. 通过示例，帮助学生理解柯西不等式的具体应用。
步骤三：应用演练1. 提供一些简单的柯西不等式应用题，让学生尝试解答。
2. 引导学生分析解题思路和方法，帮助他们逐步掌握解题技巧。
3. 鼓励学生在解题过程中提出问题、讨论和交流，促进他们的思维发展。
步骤四：拓展练习1. 提供一些较难的柯西不等式应用题，挑战学生的解题能力。
2. 引导学生运用柯西不等式解决实际问题，培养他们的问题解决能力。
3. 鼓励学生展示自己的解题思路和方法，促进合作学习和互相学习。
步骤五：总结和归纳1. 通过讨论和总结，概括柯西不等式的关键概念和应用方法。
2. 强调柯西不等式的重要性，鼓励学生在数学学习中灵活应用该不等式。
步骤六：作业布置1. 布置与柯西不等式相关的作业题目，巩固学生的学习成果。
2. 鼓励学生自主学习和探索，提高他们的问题解决能力。
教学反思：根据学生的实际情况和学习进度，教师可以适当调整教学步骤和难度。
在教学过程中，要注重启发学生的思维，激发他们的兴趣，培养他们的数学思维和解决问题的能力。
同时，教师还应根据学生的学习情况进行及时的巩固和复习，以确保他们对柯西不等式的理解和应用能力的提高。
一般形式的柯西不等式精品教案
一般形式的柯西不等式【教学目标】认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式。
【教学重点】会证明二维柯西不等式及三角不等式。
【教学难点】理解几何意义。
【教学过程】一、复习准备：1．提问： 二元均值不等式有哪几种形式？答案：及几种变式。
(0,0)2a b a b +≥>>2．练习：已知A ．B ．C ．d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 证法：（比较法）=…=22222()()()a b c d ac bd ++-+2()0ad bc -≥二、讲授新课：1． 柯西不等式：① 提出定理1：若A ．B ．C ．d 为实数，则。
22222()()()a b c d ac bd ++≥+ → 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ 。
（要点：展开→配方）222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+证法三：（向量法）设向量，，则，(,)m a b =u r (,)n c d =r ||m =u r ||n =r ∵ ，且，则。
∴ …。
m n ac bd ∙=+u r r ||||cos ,m n m n m n ⋅=<>u r r u r r u r r ||||||m n m n ⋅≤u r r u r r 证法四：（函数法）设，则22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++≥0恒成立。
22()()()f x ax c bx d =-+-∴ ≤0，即…。
22222[2()]4()()ac bd a b c d ∆=-+-++③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？或||ac bd ≥+||||ac bd ≥+ 。
人教版高中选修4-5第三讲柯西不等式与排序不等式课程设计
人教版高中选修4-5第三讲柯西不等式与排序不等式课程设计
一、课程目标
1.1 掌握柯西不等式的概念及其意义；
1.2 学会在实际问题中应用柯西不等式；
1.3 掌握排序不等式的概念及应用；
1.4 学会在实际问题中应用排序不等式。
二、教学内容
2.1 柯西不等式的概念与应用；
2.2 排序不等式的概念与应用；
2.3 利用柯西不等式、排序不等式解决实际问题。
三、教学重点与难点
3.1 教学重点：柯西不等式、排序不等式的概念及应用。
3.2 教学难点：如何在实际问题中应用柯西不等式、排序不等式。
四、教学过程设计
教学环节教学内容教学目标与要
求
教师活动与学生活动
1。
高中数学柯西不等式教学
高中数学柯西不等式教学一、教学任务及对象1、教学任务本教学设计的核心任务是使学生深入理解和掌握高中数学中的重要不等式——柯西不等式。
通过该不等式的学习，学生将掌握其数学表达形式、证明过程、应用场景，并培养他们的逻辑思维能力、问题解决能力和数学素养。
此外，通过柯西不等式的学习，学生将认识到数学知识的内在联系，激发他们对数学美的追求。
2、教学对象本教学设计的对象为高中二年级的学生。
他们已经具备了一定的数学基础，掌握了基本的代数、几何知识，具备了一定的逻辑推理能力和解题技巧。
在此基础上，学生对柯西不等式的学习将更具挑战性和深度，有助于他们在数学领域取得更好的成绩。
同时，考虑到学生个体差异，教学过程中将注重因材施教，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解柯西不等式的概念，掌握其数学表达形式和证明方法；（2）掌握柯西不等式在不同数学问题中的应用，如求解最值问题、不等式证明等；（3）能够运用柯西不等式解决实际问题，提高数学建模和问题解决能力；（4）通过柯西不等式的学习，提高代数运算能力和逻辑思维能力。
2、过程与方法（1）采用探究式教学，引导学生通过自主探究、合作学习等方式发现柯西不等式的证明过程；（2）通过典型案例分析，培养学生运用柯西不等式解决问题的方法；（3）设计多样化的练习题，帮助学生巩固柯西不等式的知识，提高解题技巧；（4）组织课堂讨论，让学生在交流中碰撞思维火花，互相启发，共同提高。
3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学知识的兴趣，培养他们勇于探索、追求真理的精神；（2）通过柯西不等式的学习，让学生体会到数学美的内涵，提高他们的审美素养；（3）培养学生严谨、务实的学术态度，使他们认识到数学知识的重要性；（4）引导学生树立正确的价值观，认识到学习数学不仅是为了应付考试，更是为了提高自己的综合素质，为未来的发展奠定基础。
在教学过程中，注重知识与技能、过程与方法、情感，态度与价值观的有机统一，使学生在掌握柯西不等式知识的同时，提升自身的综合素质，为未来的学习和发展奠定坚实基础。
高中数学 第12课时 几个闻名的不等式 柯西不等式教案
第12课时 几个闻名的不等式之一：柯西不等式目的要求： 重点难点： 教学进程： 一、引入：除前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等闻名不等式。
这些不等式不仅形式优美、应用普遍，而且也是进一步学习数学的重要工具。
一、什么是柯西不等式：定理1：（柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，那么22222)())((bd ac d c b a +≥++，其中等号当且仅当bc ad =时成立。
证明：几何意义：设α，β为平面上以原点O 为起点的两个非零向量，它们的终点别离为A （b a ,），B （d c ,），那么它们的数量积为bd ac +=•βα， 而22||b a +=α，22||d c +=β，因此柯西不等式的几何意义确实是：||||||βαβα•≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
二、定理2：（柯西不等式的向量形式）设α，β为平面上的两个向量，那么||||||βαβα•≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
3、定理3：（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，那么： 分析：试探：三角形不等式中等号成立的条件是什么？4、定理4：（柯西不等式的推行形式）：设n 为大于1的自然数，i i b a ,（=i 1，2，…，n ）为任意实数，那么：211212)(∑∑∑===≥ni i i n i i ni ib a b a ，其中等号当且仅当nn a b a b a b === 2211时成立（当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ）。
证明：构造二次函数：2222211)()()()(n n b x a b x a b x a x f -++-+-=即构造了一个二次函数：∑∑∑===+-=ni i n i i i ni ib x b a x ax f 121212)(2)()(由于对任意实数x ，0)(≥x f 恒成立，那么其0≤∆，即：0))((4)(4121221≤-=∆∑∑∑===ni i ni i ni i i b a b a ，即：))(()(121221∑∑∑===≤ni i n i i ni i i b a b a ，等号当且仅当02211=-==-=-n n b x a b x a b x a ，即等号当且仅当nn a b a b a b === 2211时成立（当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ）。
教案：二维形式的柯西不等式
教案：二维形式的柯西不等式一．教学目标：1.探究二维形式的柯西不等式，能利用二维形式的柯西不等式解决求一类最值问题。
二． 教学重点：二维形式柯西不等式的推倒及应用。
难点：灵活应用二维形式的柯西不等式求最值。
三．教学过程 （一）引入世界著名数学家简介（幻灯片播放）师：好，同学们，刚刚我们从幻灯片上看到的是部份著名的数学家，他们为人类社会的发展作出了巨大的贡献。
今天让我们走进其中的一位，他的名字叫柯西。
（切换下一张幻灯片，并介绍幻灯片内容）他给后代留下了很多宝贵的财富，今天我们来学习其中非常重要的一个——柯西不等式。
（切换下一张幻灯片，并板书二维形式的柯西不等式，并同时解释二维的含义）（二）.新课1．初识柯西不等式（柯西不等式的推倒）：为αβ与αβ（其中α，β非零向量）的大小≥则标122若α=（a ,b）,β=(a ,b ),不等式αβαβ如何用坐表示？师：那么柯西不等式到底是怎样的一个不等式，它是如何被发现的，它的重要价值又体现在哪里呢？我们先来看一个简单的向量问题。
（切换到问题一，问题二幻灯片）。
问1：这两者的大小关系是怎样的？（学生回答，并板书两者大小关系）问2：为什么？（叫学生回答）问3：当什么时候两者相等呢？（学生回答）。
我们把向量坐标化看呢？（打出问题2）问4：这个向量不等式用坐标如何表示呢？（学生口答，老师板书）问5：当什么时候等号成立呢？（学生回答，并板书等号成立条件）。
我们看，当给这个普通的向量关系坐标化后，我们得到了一个非常漂亮的不等式。
我们把这个不等式叫做柯西不等式，这个向量关系就叫做柯西不等式的向量形式。
（板书）同学们，柯西的伟大，就在于他善于观察与发现，能从普通中发现隐藏的美丽。
我们学习数学，要向柯西学习，也要善于去观察和发现，说不定你也能发现一个以你的名字命名的不等式。
2．再识柯西不等式（填空）：≥≥≥2222222221.(x +y )(___+___)(2x +y)2.(___+___)(4a +b )(2a +b)3.(a +b )(2+1)(____+____)，师：通过刚刚的填空，同学们再观察哪些数之间有关系，有没有记忆的规律呢？（归纳记忆规律：前两个数相乘后开根号就是第三个数）。
5.4.柯西不等式-苏教版选修4-5不等式选讲教案
5.4.柯西不等式-苏教版选修4-5 不等式选讲教案1. 教学目标本节课主要讲解柯西不等式的概念和应用，让学生能够掌握该不等式的证明方法和具体应用技巧，提高学生的不等式解题能力，同时增强学生的数学思维能力和创造力。
2. 教学重点和难点教学重点：•熟悉柯西不等式的定义和基本性质；•掌握柯西不等式的多种证明方法；•能够熟练运用柯西不等式解决实际问题。
教学难点：•理解柯西不等式的概念和证明；•掌握柯西不等式在实际问题中的应用。
3. 教学准备•讲义；•黑板、彩色粉笔；•计算器。
4. 教学步骤第一步：引入柯西不等式•讲师可以通过分发讲义或黑板绘图等形式将柯西不等式的概念引入，让学生理解柯西不等式的定义和意义；•通过实例引导学生思考和探究柯西不等式的应用。
第二部：讲解柯西不等式•讲师介绍柯西不等式的多种证明方法，如几何证明、代数证明、向量证明等；•讲解柯西不等式的基本性质，如在等号成立时的特殊情况等。
第三步：练习柯西不等式•讲师根据实际情况，设计一些例题，供学生同步练习；•学生在课堂上结合柯西不等式的性质和应用技巧，尝试独立解决问题。
第四步：总结和归纳•讲师对学生在练习中遇到的难点进行总结和讲解；•讲师对课上所学知识进行总结和归纳，帮助学生深入理解和记忆柯西不等式及其应用。
5. 作业布置•在课下，学生需要根据课上所学知识，独立完成一些关于柯西不等式的例题；•对于学生中存在成绩较好的同学，可以布置更为复杂的题目，培养其解决问题的能力。
6. 教学反思•教师应该在授课前认真准备，熟悉柯西不等式的概念和具体应用技巧，注重课堂互动；•在教学过程中，要充分调动学生学习的积极性，引导学生自主思考和解决问题；•在课后，要及时总结和回顾课上所学知识，帮助学生深刻理解柯西不等式，提高他们的数学思维能力。
Cauchy不等式教学设计及导学案
柯西不等式导学案【学习目标】1．理解柯西不等式的二维、三维形式，了解柯西不等式的n 维形式与向量形式；2. 能利用柯西不等式求一些特殊函数的最值，以及证明一些简单的不等式.【复习指导】不等式的证明是中学数学学习的难点，柯西不等式只要掌握一些简单的应用即可.【基础先学】1、 二维形式的柯西不等式：,,,,______________________a b c d R ∈设则，当且仅当____________时，等号成立.2、 三维形式的柯西不等式：,,1,2,3___________________________________i i a b R i ∈=设则，当且 仅当0(1,2,3),i i i b i k a kb ===，或存在一个实数使得时，等号成立.3、 n 维形式的柯西不等式：,,1,2,3,,___________________________________i i a b R i n ∈=设…,则，当且仅当0(1,2,i b i ==…,n) 或存在一个数k ，使得(1,2,n)i i a kb i ==…，时，等号成立.【基础巩固】1. 若,R a b ∈，且2210a b +=，则+b a 的取值范围为（ ）A. [-B. [-C. [D. [2. 已知+y=1x ，那么222x +3y 的最小值是（ ）A. 56B. 65C. 2536D. 36253. 已知+,a b R ∈且1,a b += 则2P=(ax+by)与22Q=ax +by 的关系是（ ）A. P Q ≤B. P Q <C. P Q ≥D. P Q >4. 已知+,a b R ∈且+y 1x z +=，则222+z x y +的最小值是（ ）A. 1B.13 C.23 D. 32【2014高考考向导析】题型一:求函数的最值例1. 【展示反馈】求函数.【练习评价】1：求函数的最大值.例2. 【点拨思辨】,R x y ∈，2210x y +=，求3x y +的最大值与最小值.【练习评价】2：,R x y ∈，22510x y +=，求x y +的最大值与最小值.例3．【点拨思辨】设23529x y z ++=，求函数y =.【练习评价】3：1、 ,,R x y z +∈，若2224x y z ++=则22x y z -+的最小值为_______. 2、,,R a b c +∈，且9a b c ++=，则4916a b c++的最小值为_______.题型二：利用柯西不等式证明不等式例3．【点拨思辨】 已知+,a b R ∈ +b=1a ，12,x x R +∈，求证：122112(a +b )(a +b )x x x x x x ≥.【练习评价】4: (1) 设0xy >，求证: 222241()()9x y y x ++≥; (2) 已知221a b +=，求证: |cos sin |1a b θθ+≤.（3） 若a b c >>，求证:114+a b b c a c≥---【练习评价:高考链接】1.（2012.郑州）已知实数,,,a b c d 满足221a b +=，221c d +=，则ac bd +的最小值为_________.2.（2012.湖北）设222,,,1,23________.x y z R x y z x y z x y z ∈++=++=++=且满足则3.（2013.湖北）设222222,,,,,10,40,().a b c a b x y z R a b c x y z x y z +++∈++=++==++且满足则A.14B. 13C. 12D. 343（2012. 福建）已知函数()|2|,f x m x m R =--∈，且(2)0f x +≥的解集为[]1,1-；（1）求m 的值； （2）若+,,a b c R ∈,且11123m a b c++=，求证：2+39a b c +≥【课堂小结】【作业】《高考调研》课时作业（九十四）。
二维形式的柯西不等式
二维形式的柯西不等式一、教学内容本节课的教学内容选自人教版小学数学教材五年级下册第五单元《不等式》的第三节，主要讲述二维形式的柯西不等式。
柯西不等式是数学中的一个重要不等式，它揭示了实数向量内积的几何意义，并广泛应用于数学分析、线性代数、概率论等领域。
本节课的具体内容包括：柯西不等式的表述、二维形式的柯西不等式证明、柯西不等式的应用等。
二、教学目标1. 理解柯西不等式的表述，掌握二维形式的柯西不等式证明；2. 能够运用柯西不等式解决实际问题，提高解决问题的能力；3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生对数学学科的兴趣。
三、教学难点与重点1. 教学难点：二维形式的柯西不等式的证明及应用；2. 教学重点：柯西不等式的表述和二维形式的柯西不等式证明。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备；2. 学具：笔记本、彩笔、剪刀、胶水。
五、教学过程1. 实践情景引入：以一个实际问题为例，引导学生思考如何运用数学知识解决问题；2. 讲解柯西不等式的表述，让学生理解柯西不等式的基本含义；3. 分组讨论二维形式的柯西不等式证明，引导学生思考并发现证明过程中的关键步骤；5. 随堂练习：让学生运用柯西不等式解决实际问题，巩固所学知识；6. 作业布置：布置相关的练习题目，巩固课堂所学知识。
六、板书设计1. 柯西不等式的表述；2. 二维形式的柯西不等式证明过程；3. 柯西不等式的应用实例。
七、作业设计1. 题目：已知向量a=(2,3)，向量b=(x,y)，且a与b的内积为4，求x+y的值。
答案：x+y=10。
八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课学生对柯西不等式的理解和应用还存在一定的困难，需要在今后的教学中加强引导和练习；2. 拓展延伸：柯西不等式在数学其他领域的应用，如概率论、线性代数等，可以作为课后研究课题，激发学生的学习兴趣。
重点和难点解析一、教学难点与重点重点和难点主要集中在二维形式的柯西不等式的证明及应用。
柯西不等式的教学设计
柯西不等式的教学设计
柯西不等式是数学中的重要概念之一，是高中数学中的必修内容。
在教学柯西不等式时，可以采取以下教学设计：
一、引入
在教学柯西不等式之前，可以先引入一些相关的概念，如向量、点积、模长等，以帮助学生更好地理解柯西不等式的概念和意义。
二、概念讲解
接着，可以对柯西不等式的概念进行讲解，包括定义、不等式的证明方法等内容。
并结合一些具体的例子，让学生更加深入地理解柯西不等式。
三、练习题
在讲解完概念之后，可以给学生一些练习题，让他们通过练习来掌握柯西不等式的应用方法。
这些练习题应该包括不同难度的题目，从简单到复杂，慢慢提升难度，同时也要注意引导学生理解不等式的本质。
四、拓展应用
在学生掌握了柯西不等式的基本应用方法之后，可以通过一些拓展应用来引导学生更加深入地理解柯西不等式。
例如，可以将柯西不等式应用到数列、积分等领域，让学生了解到柯西不等式的广泛应用和重要性。
五、总结复习
最后，可以对本节课的内容进行总结复习，梳理各个知识点之间
的联系和差异，让学生更加深入地理解柯西不等式，并且掌握如何应用柯西不等式解决实际问题。
教学设计： 一般形式的柯西不等式
一般形式的柯西不等式教学要求：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并应用其解决一些不等式的问题.教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用. 教学难点：理解证明中的函数思想. 教学过程： 一、复习准备： 1. 练习：2. 提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？ 答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+；2222222()()()a b c d e f ad be cf ++++≥++ 二、讲授新课：1. 教学一般形式的柯西不等式：① 提问：由平面向量的柯西不等式||||||αβαβ≤，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？② 猜想：n 维向量的坐标？n 维向量的柯西不等式及代数形式？ 结论：设1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈，则 222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++≥+++讨论：什么时候取等号？（当且仅当1212nna a ab b b ===时取等号，假设） 联想：设1122n n B a b a b a b =+++，22212n A a a a =++，22212n C b b b =+++，则有20B AC -≥，可联想到一些什么？③ 讨论：如何构造二次函数证明n 维形式的柯西不等式？ （注意分类）要点：令2222121122)2()n n n f x a a a x a b a b a b x =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+（）（22212()n b b b +++⋅⋅⋅+ ，则2221122()()())0n n f x a x b a x b a x b =++++⋅⋅⋅+≥+（.又222120n a a a ++⋅⋅⋅+>，从而结合二次函数的图像可知，[]22221122122()4()n n n a b a b a b a a a ∆=+++-++22212()n b b b +++≤0即有要证明的结论成立. （注意：分析什么时候等号成立.）④ 变式：222212121()n n a a a a a a n++≥++⋅⋅⋅+. （讨论如何证明）2. 教学柯西不等式的应用：① 出示例1：已知321x y z ++=，求222x y z ++的最小值. 分析：如何变形后构造柯西不等式？ → 板演 → 变式： ② 练习：若,,x y z R +∈，且1111xy z ++=，求23y zx ++的最小值. ③ 出示例2：若>>，求证：ca cb b a -≥-+-411. 要点：21111()()[()()]()(11)4a c a b b c a b b c a b b c-+=-+-+≥+=---- 3. 小结：柯西不等式的一般形式及应用；等号成立的条件；根据结构特点构造证明.三、巩固练习：1. 练习：教材P 41 4题2. 作业：教材P 41 5、6题。
柯西不等式的教学设计
柯西不等式的教学设计
柯西不等式是高中数学中非常重要的一个概念，它涉及到向量的内积和模长，是许多高中数学竞赛的必考内容。
因此，如何生动有趣地教授柯西不等式，让学生理解和掌握这个概念，是每位数学老师都需要思考的问题。
针对柯西不等式的教学，可以通过以下步骤进行设计：
1. 知识导入
在教学开始前，可以先通过引入向量的概念，以及向量的加法和数乘，让学生对向量有一个初步的认识。
然后，引入向量的内积和模长的概念，让学生了解它们的定义和性质。
2. 理论讲解
在学生了解了向量内积和模长的基本概念后，可以开始讲解柯西不等式的定义和公式。
通过具体的例子，让学生理解柯西不等式的意义和作用，帮助学生掌握柯西不等式的应用方法。
3. 练习巩固
在理论讲解后，可以通过一些实例来让学生自己尝试应用柯西不等式，巩固和加深他们的理解。
同时，可以设计一些有趣的练习题，让学生动手解决问题，提高他们的应用能力和解题能力。
4. 拓展应用
在学生掌握了柯西不等式的基本应用方法后，可以通过一些实际问题，如几何问题、物理问题等，来让学生进一步应用柯西不等式，拓展他们的应用能力和解题思维。
总之，教授柯西不等式需要结合学生的实际情况和教学目标来进行设计，将理论知识和实际应用结合起来，让学生在理解和掌握柯西不等式的同时，提高他们的数学思维和解题能力。
〖2021年整理〗《柯西不等式》优秀教案
●活动②一般形式的柯西不等式
对比二维形式和三维形式的柯西不等式，容易猜出一般形式的柯西不等式：
定理设 时实数，则
，当且仅当 或存在一个数 ，使得 时，等号成立
证明：设 ，则要证的不等式就是 ，这正好与二次函数 的判别式 密切相关
当 ，不等式显然成立；
【思路点拨】利用不等式解决极值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件这个函数的解析式是两部分的和，若能化为 的形式，就能利用柯西不等式求其最大值
【答案】见解析
同类训练求函数 的最大值
【解题过程】函数的定义域为 , ，即 ，即 ，
即 ，当 时函数最大为
【思路点拨】利用柯西不等式求其最大值时，设法在不等式一边得到一个常数
【答案】见解析
例2设 求证
【知识点】柯西不等式
【解题过程】由于 ，由柯西不等式，得
【思路点拨】问题中由 这个条件，由于常数1的特殊性，用 去乘任何数或式子，都不会改变他们的值，根据证明的需要可以应用这个条件在本例中，注意到 ，有了上式就可以使用柯西不等式了
【答案】见解析
同类训练已知 ,且 ，求证：
【知识点】柯西不等式
（4）定理3（二维形式的三角不等式）设 ，那么
证明：
所以
【设计意图】熟练掌握柯西不等式的变形及使用
探究二一般形式的柯西不等式
●活动①三维形式的柯西不等式
类比二维形式的柯西不等式，我们猜想三维形式的柯西不等式如下：
，当且仅当 ，或存在一个数 ，使得 时，等号成立
证明：我们知道，平面上向量的坐标 是二维形式，空间向量的坐标 是三维形式，从平面向量的几何背景能得到 将平面向量的坐标代入，化简后可得二维形式的柯西不等式类似的，从空间向量的几何背景也能得到 ，将空间向量的坐标代入，即可得到三维的柯西不等式
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修4-5 5.4.1 柯西不等式》
柯西不等式【教学目标】（一）知识技能：1、掌握柯西不等式的基本形式和特点，了解相关背景知识；2、会用参数配方法和基本不等式法证明柯西不等式，体会证明的思想方法；3、能用柯西不等式解决一些较简单的问题，提高学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。
（二）思想方法： 配凑思想 构造思想【重点难点】：重点：柯西不等式的几种形式难点：柯西不等式的应用【课前预习】1、柯西不等式的向量形式是： 。
2、柯西不等式的代数形式是： 。
3、柯西不等式的一般形式是： 。
【题组引入】题组： （1）已知222212121,1,a a b b +=+=求证：11221a b a b +≤； （2）已知22222212121,1,n n a a a b b b +++=+++=求证：11221n n a b a b a b +++≤； （3）已知()222222221212,,0n n a a a M b b b N M N +++=+++=>>，根据上面的证法，你可以得到什么结论呢？请大胆证明。
【教学过程】一、柯西不等式一般形式（定理4）：注：（1） 柯西不等式的二维形式（定理1）：（2） 柯西不等式的二维形式向量证明（定理2）；回忆已经证明的一个结论：课时训练P74训练3：已知,,,,a b c d R ∈在其中令12122323,,,a x x b y y c x x d y y =-=-=-=-，你能得到什么结论：________________________________________________________________________________________________________;并指出其几何意义（定理3，三角不等式）。
二、柯西不等式的应用：例一：1、已知,,,a b x y 是正数，且1a b +=，求证：()()ax by bx ay xy ++≥2、若,,a b c 为正数，且1a b c ++=变式训练1、设*n N ∈...变式训练2、已知12,,...,n a a a 为实数，求证：222212121...(...)n n a a a a a a n+++≥+++挑战自我1、已知()12121111,,,0n n a a a a a a +++=>，求12323n a a a na ++++的最小值。
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3.1 二维形式的柯西不等式（一）教学设计
一、设计思想：
本节乃至本讲的编写意图不是仅仅介绍经典不等式及其证明方法，而是更希
望能通过分析和解决问题，讨论经典不等式的简单应用，提高学生运用重要数学
结论进行推理论证的能力，即在理解重要数学结论的基础上，能够发现面临的具
体问题与重要数学结论之间的内在联系，并善于利用这样的联系，应用重要数学
结论及其所反映的数学思想方法解决具体问题。
二、教材分析：
二维形式的柯西不等式是人教A 版教材选修4-5第三讲第一节的内容，是学生
继学习均值不等式之后学习的又一个经典不等式，它在教材中起着承前启后的作
用，一方面巩固了前面证明不等式及求最值的基本方法，另一方面与后面学习的
三维形式的柯西不等式及一般形式的柯西不等式有着相通的研究方法，是从特殊
到一般的研究过程。
本节教学的核心是二维形式的柯西不等式、几何意义以及它
的简单应用。
三、学情分析：
学生不仅掌握了不等式的基本证明方法，还具备了一定的观察、分析、逻辑推
理能力，学生对柯西不等式的向量形式也有了一定的认识，这是学生知识的“最
近发展区”。
另外授课班级是高二年级（4）班，学生基础较好，学习积极性较高。
四、教学目标
1、知识与技能目标
（1）认识二维柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义。
（2）能用二维柯西不等式解决简单的证明问题及求最值问题。
2、过程与方法目标
通过创设情境提出问题，然后探索解决问题的方法，培养学生
独立思考能力和逻辑推理能力及数形结合能力。
3、情感态度与价值观
简单介绍法国数学家柯西，渗透数学史和数学文化。
五、教学重难点
（1）教学重点 二维形式的柯西不等式 ； 二维形式的柯西不等式的向量形式
（2）教学难点 数形结合的认识两种形式的等价关系；应用柯西不等式求最值
六、教学过程
（一）定理探究
设α，β为平面上以原点O 为起点的两个非零向量，它们的坐标α=（b a ,） β=（d c ,）那么它们的数量积为ac bd αβ→→•=+而2||a α→=，
2||c β=+||||cos αβαβθ•=⋅•，
cos 1θ≤||||||αβαβ∴•≤⋅，其中等号当
且仅当两个向量共线时成立。
定理：（二维柯西不等式的向量形式）设α，β为平面上的两个向量，则
||||||αβαβ•≤⋅，当且仅当β是零向量或存在实数k ，使k αβ=时等号成立。
用向量坐标表示不等式||||||αβαβ•≤⋅，得2222||d c b a bd ac +⋅+≤+
两边平方，得到二维柯西不等式的代数形式 22222)())((bd ac d c b a +≥++，等
号成立的条件为ad=bc
定理：（二维柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，则
22222()()()a b c d ac bd ++≥+, 其中等号当且仅当bc ad =时成立。
代数证明过程如下:
222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+
当且仅当bc ad =时等号成立.（也可以用比较法证明）
【设计意图】不等式部分的课题引入很难，本节课利用学生的“最近发展区” 学生熟悉向量引入巧妙地化解了困难，同时有效地整合了教材，
使两个定理的讲解浑然一体。
突破了教学难点，突出了重点。
（二）定理应用
1.不等式的证明：
例1：已知a,b 为实数，求证4422332()()()a b a b a b ++≥+
2. 求最大（小）值：
例2：求函数y =
分析：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式的一边得到一个常数，并寻
找不等式取等号的条件。
这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd 的形
式就能用柯西不等式求其最大值。
（||ac bd +
解：函数的定义域为【1，5】且y>0
5y =≤==例3: 设a,b 是正实数，a+b=1，求证
411≥+b a 分析：注意到)11)((11b a b a b a ++=+，有了)11)((b
a b a ++就可以用柯西不等式了。
讨论：其它证法（利用基本不等式）
5=时，等号成立，即12727
x =时，函数取最大值36。
例4：已知321x y +=，求22x y +的最小值.
分析：（凑配法）2222222111()(32)(32)131313
x y x y x y +=++≥+= 讨论：其它方法 （数形结合法）
【设计意图】1.培养学生用适当的变形手段解决问题的能力。
2.比较一个问题的多种解法，便于学生灵活应用。
（二）随堂练习
【设计意图】理解反思、巩固提高
（三）小结与作业
【设计意图】突出重点、夯实基础。