生命表函数

另一个互补性的概率也是经常用的，即， 一个0岁的人在t 一个0岁的人在t岁之后死亡的概率，也就是 他未来的生存时间超过t年的概率，记作S 他未来的生存时间超过t年的概率，记作S0 （t），称为生存函数，即 S0（t）=P﹝T0＞t﹞=1－F0（t） =P﹝ =1－ 下面以同样的方式将一个年龄为x (x＞ 下面以同样的方式将一个年龄为x岁(x＞ 0)的人的未来生存时间定义为一个随机变量 0)的人的未来生存时间定义为一个随机变量 TX。 TX=一个x岁的人将来继续生存的时间 一个x 随机变量T的分布函数记作F 随机变量T的分布函数记作FX（t），因 此： FX（t）=P﹝ TX≤t﹞ =P﹝ ≤t﹞
生存函数也有类似的表达式，并且这种 表示用得更多。 SX（t）=P﹝ T0＞x+t︱ T0＞x﹞ =P﹝ x+t︱ P﹝ T0＞x+t ﹞ P﹝ T0＞x ﹞ S0(x+t) S0(x) ∴ S0(x+t)= S0(x) × SX（t）
生命表函数
定义：p 定义：p x=Sx(1)= P﹝Tx＞1﹞ P﹝ q x=Fx(1)= P﹝Tx≤1﹞ P﹝ ≤1﹞ 其中，p 表示一个x岁的人在x+1岁时 其中，p x 表示一个x岁的人在x+1岁时 仍然生存的概率； q x表示一个x岁的人在未 表示一个x 来一年内死亡的概率。显然， p x =1－ q x =1－ 类似地，可以把符号p 类似地，可以把符号p x 和 q x扩展到1 扩展到1 年以上的时间内的死亡和生存概率。 定义：tp 定义：tp x=Sx(t)=P﹝Tx＞t﹞ (t)=P﹝ tq x=Fx(t)=P ﹝Tx≤t﹞ ≤t﹞
Ck
死亡人数d 死亡人数dx
中，在x岁和x+n岁之间死亡的人数，其中 中，在x岁和x+n岁之间死亡的人数，其中 Dk 0 (其他) (其他) 1 （在x岁之前死亡时） （在x 同理，nD ~bi（ 同理，nD x~bi（lx，n qx）。 记n dx=E（n Dx), =E（ 则n dx=lx nqx=lx－lx+n 当 n=1时，则 dx=lx－lx+1 n=1时，则
3、tdx=lx－l x+t =(lx-lx+1)+(lx+1-lx+2)+···+(lx+t－1－lx+t) x+t－ =dx+dx+1+···+dx+t－1 x+t－
例1 填写表中的空栏
x 101 102 103 104 105 40 0.3 1 lx 100 25 0.75 dx px qx
其中， tp x表示x岁的人在x+t岁时仍然 表示x岁的人在x+t岁时仍然 生存的概率； tq x表示x岁的人在未来t年中 表示x岁的人在未来t 死亡的概率。则有： tp x =1－tq x =1－ 注意，p 注意，p x 和q x是 tp x和tq x的特殊形式， p x =1 p x q x =1 q x
生存函数
一个刚刚出生的个体（0 一个刚刚出生的个体（0岁），其未来 生存时间可作为一个随机变量，用T 生存时间可作为一个随机变量，用T0表示。 T0代表一个0岁的人未来生存的时间，也就 代表一个0 是他的寿命。T 是他的寿命。T0经常以年来计量。 假定T 是一个连续随即变量，T 假定T0是一个连续随即变量，T0可以取 任何比0 任何比0大的值。 用P﹝A﹞ 表示事件A发生的概率。 表示事件A 定义随机变量T 的分布函数F 定义随机变量T0的分布函数F0（t）为 F0（t）=P﹝T0≤t﹞ =P﹝ ≤t﹞ 根据定义， F0（t）是一个正好0岁的人 ）是一个正好0 不晚于t 不晚于t岁死亡的概率。
生存人数l 生存人数lx
设最初有l 设最初有l0个新生婴儿，每个人都具有生 存函数S 存函数S0（x），称这样的集合为随机生存 集合。取随机变量L 集合。取随机变量L（x）= ∑c 表示新生儿 中活至x 中活至x岁的人的数目，其中
l0 k =0 k
0 (未活至x (未活至x岁) 1 （在x （在x岁生存时） 若设I相互独立，则有L 若设I相互独立，则有L（x）~bi（n， ~bi（ ）），即L s0（x）），即L（x）服从二项分布。那么 E﹝L(X)﹞=ns0(x) L(X)﹞ 记lx=E﹝L(X)﹞,则lx=l0s0(x) lx=E﹝L(X)﹞
∑D 表示l 个新生婴儿 令随机变量nD x= 表示l0
k =0 k
lX
生命表各函数之间的关系
1、 t
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s0 (x + t) l0 s0 (x + t) lx+t px = = = s0 (x) l0 s0 (x) lx
lx+t t dx − = t qx = 1 t px = 1− 2、 lx lx
生命表考察的一群人是一个确定生存 集合, 集合,一般具有如下特点： 1、基期人口为lɑ（ɑ≥0） 、基期人口为l ≥0） 2、集合时封闭的，一旦选定，就不再 有进入。集合人数减少的唯一原因是自然 死亡； 3、集合中各成员在每一年龄段上的死 亡概率确定。
结构
最基本的生命表包括以下几个基本栏目： 1、被观察的人口年龄（x） 、被观察的人口年龄（x 2、年初生存人数(l) 基期人口中活至x岁的人数 、年初生存人数( 基期人口中活至x (lx) 3、当年死亡人数(d) x岁的人在一年中的死亡人 、当年死亡人数(d) x岁的人在一年中的死亡人 数 (dx) 4、死亡率（q） x岁的人在一年中死亡的概率(qx) 、死亡率（q 岁的人在一年中死亡的概率(q 5、生存率(p) x岁的人至少活到x+1岁的概率(px) 、生存率(p) x岁的人至少活到x+1岁的概率(p 6、此外还可能包括完全平均余命ex、生存人年数 、此外还可能包括完全平均余命e Tx等。
生命表函数
1693年，哈雷彗星的发现者发明了世 1693年，哈雷彗星的发现者发明了世 界上第一张生命表，这一年被认为是精算 学的开始，由此可见生命表在精算学中的 重要性。 （一）生命表的概念 生命表又称死亡表，是对一定数量的人 口自出生（或一定年龄）直至死亡这段时 间内的生存和死亡进行记录。
生命表特点
类似的，定义一个岁的人在年之后死亡 的概率，也就是他的未来生存时间超过年 的概率，记作，成为生存函数，即 Sx（t）=P﹝Tx＞t﹞=1－Fx（t） =P﹝ =1－ 事实上，分布F 事实上，分布F0（t）和 Fx（t）之间是 有联系的，如果知道0 有联系的，如果知道0岁的人（即新生个体） 的生存时间分布F 的生存时间分布F0（t） ，就能知道所有年 龄x＞0的人的生存时间分布。 为了说明这个问题，再仔细看一下T 为了说明这个问题，再仔细看一下Tx的 定义。它是一个x 定义。它是一个x岁的人将来可继续生存的 时间，以他已生存了x 时间，以他已生存了x岁为条件的。
x 101 102 103 104 105
lx 100 65 40 10 3
dx 35 25 30 7 3
px 0.65
qx 0.35
0.615 0.385 0.25 0.3 0 0.75 0.7 1
回忆一下条件概率的定义。假设两个时 间A和B，在B已发生条件下的概率是： ，在B P﹝A︱B﹞=P﹝AB﹞/P ﹝B﹞ =P﹝AB﹞ 因此对所有年龄x 因此对所有年龄x＞0的人， FX（t）=P﹝ T0≤x+t︱ T0＞t ﹞ =P﹝ ≤x+t︱ P﹝ x＜T0≤x+t ﹞ P﹝ T0＞x ﹞ F0(x+t) －F0(x) 1－F0(x)