生命表函数
生命表函数与生命表构造
1 1 1 1 1 d t d t d t ... d 1 l0 2 t 0 t 1 t 2
1 1 1 1 1 [ d 0 (1 )d1 (2 )d 2 .... ( 1 )d 1 ] l0 2 2 2 2 (3.11)
ln
s ( x n) ln n p x s ( x)
xn x
故 n p x exp(
y dy) exp( x s ds
0 t 0
n
同样，对于t p x exp( x s ds)
• 死亡效力与生存函数的关系
s ( x) exp{ s ds}
0 x
• 死亡效力表示剩余寿命的密度函数 g (t )
s ( x) s ( x t ) G (t ) 1 t px s ( x) d d s ( x) s ( x t ) s ( x t ) x t g (t ) G (t ) t px x t dt dt s ( x) s ( x)
• 概率函数
Pr( K ( X ) k ) Pr( k T ( x) k 1)
k 1
qx k qx k px k 1 px
k px qx k k qx
设S ( x)为( x)在死亡年所活过的不足 一年的部分，它是（ 0， 1 ）上的连续分布
T（x）=K(x)+S(x)
n t 0
p x x t dt 1
根据死亡力的定义公式 ，容易得出
n
q x t p x x t dt
0
nm
qx
nm t
《保险精算》之三--生命表
定义：( x)
的瞬时死亡率，简记 µx
s′( x) f ( x) µx = − = = − ln[ s( x)]′ s( x) s( x)
�
死亡力与生存函数的关系
x
s ( x) = exp{− ∫ µs ds}
0
x +t t
px = exp{− ∫ µ s ds}
x
20
死亡力
21
对 µ y 从 x 到 x + n 积分，有
∫
x+n x
µ y dy = − ∫
x+n x
s'( y) +n d y = − lns(y) | x = − [ln s ( x + n ) − ln s ( x )] x s( y)
= − ln 故有
n
s( x + n ) = − ln n p x s( x)
x+ n
p x = e ∫x
−
µ ydy
l25 − l50 = 0.2 l 25
由 (**) 式 可 得 ： 0.8 l 25 = l 50 代 入 (*) 可 得 ： 0.125l50 = 0.3l75 由此可推知 = 25 p50 = l 50
l75
0.125 = 0.4167 0.3
11
例： 已知 lx =1000×(1− 解： 50 l50 (1) 20 p30 = = 120 = 77.78% l30 1− 30 120 1− 45 50 (1 − ) − (1 − ) l45 −l50 120 120 (2) 20|5 q 25 = = = 5.26% 25 l25 1− 120
qx
4
生命表基本函数
第三章 生命表
由于 px t qx
t 1 2
px t qx
t 2
......... 故
k
k 0
k
q x＝1 q x 2 q x 3 q x ........ 2 q x 3 q x ........ 3 q x ........
0
o
ex (t. p
t
x
)
0
E T ( x)
t t p x x t dt
0
利用分部积分法，容易证明： d ( p ) t x t t p x x t dt tdt t p x t 0 0 dt
0
t
px 1 px 2 0.680 px 1 0.770 1 qx 1 px 1 q x 2 0.090 qx 2 0.117
qx1 qx2 0.230 0.117 0.347
例2.4
如果40岁以前死亡效力恒定为0.04，40 岁之后死亡效力提高到0.06，求25岁的 人在未来25年内的期望存活时间
1
qx1 0.090, 2 qx1 0.170, qx3 0.250.
例2.3
已知
1 2
qx 1 0.090 qx 1 0.170
qx 3 0.250
计算
qx1 qx2
解2.3
2 qx 1 px 1 px 2 qx 3 0.170 qx 3 0.025
n t 0
p x x t dt 1
根据死亡力的定义公式，容易得出
生命表算法
生命表函数及计算通过生命表可以得到任意年龄的人在任何期限内的生存概率、死亡概率等相关数据。
以下介绍生命表中揭示的那些栏目所代表的函数。
1、年龄区间[x,x+1][x,x+1]表示x到x+1岁的年龄区间，除最后一个年龄区间（如：89以上）为开区间以外，其余每一个区间都有两个确定的年龄值来定义。
通常，最后一个年龄区间的起点为ω，半开区间[ω,+∞]。
2、生存人数l x设正好活到某一确切年龄x岁的生存人数以l x表示生命表的基础是生存人数，它表示在一封闭区域一定数量的人口集团随着时间的推移因死亡而逐渐减少的人口生存状态。
生存人数l x表示正好活到某一确切整数年龄x岁的人数。
在人的生命表中，作为起点的出生人数l0称为生命表的基数，研究中可以任意取值，但为方便，一般设为100 000人。
3、死亡人数d xd x为年龄区间[x,x+1]内死去的人口数。
dx是生命表上年龄区间[x,x+1]内的死亡数，不同于实际人口死亡数。
根据定义可知l x+1=l x-d x x=0,1,……ω (7.23)4、死亡概率q xq x表示存活到确切年龄x岁的人在到达x+1岁前死亡的概率。
以x至x+1的死亡人数d z占x岁存活人数l x的比例表示。
q x＝d z/l x， x=0,1,……ω (7.24) q x这一指标是计算生命表的基础，在已知q x后，就可以依生命表基数l0由公式(7.1)和(7.2)计算出各年龄的存活人数l x和死亡人数d z。
l x+1=(1-q x)*l x , d z+1= q x*l x5、生存人年数L xx岁的人平均生存人年数L x是指年龄区间[x,x+1]的所有人在该区间内的存活年数，即活到确切年龄x岁的人群l z在到达x+1岁前平均存活的人年数。
人年是表示人均存活的符合单位，一人年表示一个人存活了一年。
把生存人数l x看作是在区间[t,t+1]内连续变化的函数，以此为基础的生存人年数L x的计算公式为：L x=1tx ttl dt++⎰ x=0,1……ω-1 (7.25)在死亡均匀分布（UDD）假设下，即我们假设l x曲线从x到x+1间是条直线那么，L x的计算公式可以写为：L x =(l x +l x+1)/2又根据公式(7.23)得：L x =(l x -d x +l x )/2=l x -d x /2 (7.26)注意到死亡均匀假设与l x 从0到ω是线性的假设不同，它仅在每一年年龄上假设是线性的，因此是l x 的比较精确的描述。
初学生命表
生命表的基本概念
生命表是反映在封闭人口条件下一批人从出 生后陆续死亡的全部过程的一种统计表。它 是以各年龄死亡概率为依据，并以此计算出 各年龄的死亡人数，编制出相应的生命表。
生命表主要函数
1、尚存人数
lx
和死亡人数
dx
l 生命表基数：0 是指生命表的出生人数，也即0岁（确切年龄）的人 数，通常定 l 0 =100000。
静止人口
3. 基本性质
每年出生人数与死亡人数不变且相等 B=D 各年龄人数不变
Px B Lx, Lx表示出生婴儿活到 x岁的比例
出生率与死亡率相等且与平均预期寿命互为倒数
P
P
x 0
x
B L
x 0
x
B Lx B e0
x 0
B B 1 b d P B e0 e0
静止人口
4. 重新阐释生命表
l0 每年出生数及死亡数 lx 每日历年到达 岁的人数 x nLx 任何时间点存活的 到x n岁人数 N L x , Tx 任何时间点存活的 岁以上人数 x T0 总人口规模 ndx 每年x到x n岁死亡人数 e0 任何一年死亡人口的平 均年龄
静止人口
讨论：
静止人口是一种非常理想化的人口，在现实 中很难出现，那么研究静止人口的意义何在？
时期生命表
时期生命表
② 高龄组
l d m d a l a 1 m
时期生命表
7. 编制步骤
获取基础数据 mx n 选择一套nax 计算nqx n nmx n nmx nmx 1 选定l0 100000 计算lx
保险精算第3章(3)
s(x t)
t px
1 ty px t px
1
pxt y pxt
1
p
y x
y p xt pxy
26
例：在常数死力下求： q5 75.25
l75 56799 l76 54239 l80 43180 l81 40208
p 5 75.25 p 0.75 75.25 4 p76 0.25 p80
5 p20 0.2 p25 (10.8 p25.2 2 p26 0.6 p28 )
l25 l20
(1
0.2q25 )[1
(1
0.8q25 1 0.2q25
)
l28 l26
(1
0.6q28 )
0.00248
24
二、年龄内常数死力假设(几何插值法)
还可以怎么写？
• 令： s(x t) s(x)1t s(x 1)t 0 t 1
p0.75 75
l80 l76
p 0.25 80
0.75545
q5 75.25 0.24455
27
三、调和插值法（Balducci假设）
• 令： 1 1 t t
s(x t) s(x) s(x 1)
0t 1
• 生存函数：
t
px
s(x t) s(x)
1 1t t s(x) s(x 1)
0 t 1
1.t qx
lx
lxt lx
td x lx
tqx
2.t px
lxt lx
lx tdx lx
1 tqx
3. y qxt
lxt
lxt y lxt
yd x lx tdx
yqx 1 tqx
21
生命表理论
解2.4
e • 在常数死亡力下， t px t ，则
e e e t
p25
15
0.04t
p25
, 0 t 15
p t15 40
0.0415
0.06(t 15)
,t 15
.
• 25岁的人在未来25年内的期望存活时间为
0
25
e25:25 0 t p25dt
死亡效力
•
( 定义：
x)
的瞬时死亡率，简记
x
x
S ( x) S ( x)
f (x) S ( x)
ln[S(x)]
• 死亡效力与生存函数的关系
x
S(x) exp{ sds} 0 xt
t px exp{ sds} x
人类的死亡效力曲线图示
死亡效力
0.05 0.04 0.03 0.02 0.01
lx l0 S (x)
• l0 个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期
望个数n：dx
特别：n=1时，记作d x
n dx lx lxn lx n qx dx lx lx1 lx qx
生命表的构造
l0
t Lx
• 个新生生命在年龄x至xx+t t区间共存活年数：
t)
g(t)
d G(t) dt
d dt
S(x) S(x t)
S(x)
S(x t)xt
S(x)
t
px xt
例2.2
• 已知给出生存函数
S(x) 100 x 20
保险精算学笔记：生命表函数与生命表构造
《保险精算学》笔记：生命表函数与生命表构造第一节生命表函数一、生存函数1、定义：2、概率意义：新生儿能活到的概率3、与分布函数的关系：4、与密度函数的关系：二、剩余寿命1、定义：已经活到x岁的人（简记），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。
2、剩余寿命的分布函数5、：，它的概率意义为：将在未来的年去世的概率，简记3、剩余寿命的生存函数：，它的概率意义为：能活过岁的概率，简记特别：（1）（2）（3）（4）：将在岁与岁之间去世的概率4、整值剩余寿命（1）定义：未来存活的完整年数，简记（2）概率函数：5、剩余寿命的期望与方差（1）期望剩余寿命：剩余寿命的期望值（均值），简记（2）剩余寿命的方差：6、整值剩余寿命的期望与方差（1）期望整值剩余寿命：整值剩余寿命的期望值（均值），简记（2）整值剩余寿命的方差：2三、死亡效力1、定义：的人瞬时死亡率，记作2、死亡效力与生存函数的关系3、死亡效力与密度函数的关系4、死亡效力表示剩余寿命的密度函数记为剩余寿命的分布函数，为的密度函数，则第二节生命表的构造一、有关寿命分布的参数模型1、de Moivre模型（1729）2、Gompertz模型（1825）3、Makeham模型（1860）4、Weibull模型（1939）二、生命表的起源1、参数模型的缺点（1）至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。
这四个常用模型的拟合效果不令人满意。
（2）使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差（3）寿险常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。
（4）在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。
2、生命表的起源（1）生命表的定义根据已往一定时期各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表.（2）生命表的发展历史1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡,写过《生命表的自然和政治观察》。
第二章 生命表函数与生命表构造
第二章生命表函数与生命表构造第一节生命表函数一、生存函数1、定义：2、概率意义：新生儿能活到的概率3、与分布函数的关系：4、与密度函数的关系：二、剩余寿命1、定义：已经活到x岁的人（简记），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。
2、剩余寿命的分布函数5、：，它的概率意义为：将在未来的年内去世的概率，简记3、剩余寿命的生存函数：，它的概率意义为：能活过岁的概率，简记特别：（1）（2）（3）（4）：将在岁与岁之间去世的概率4、整值剩余寿命（1）定义：未来存活的完整年数，简记（2）概率函数：5、剩余寿命的期望与方差（1）期望剩余寿命：剩余寿命的期望值（均值），简记（2）剩余寿命的方差：6、整值剩余寿命的期望与方差（1）期望整值剩余寿命：整值剩余寿命的期望值（均值），简记（2）整值剩余寿命的方差：2三、死亡效力1、定义：的人瞬时死亡率，记作2、死亡效力与生存函数的关系3、死亡效力与密度函数的关系4、死亡效力表示剩余寿命的密度函数记为剩余寿命的分布函数，为的密度函数，则第二节生命表的构造一、有关寿命分布的参数模型1、de Moivre模型（1729）2、Gompertz模型（1825）3、Makeham模型（1860）4、Weibull模型（1939）二、生命表的起源1、参数模型的缺点（1）至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。
这四个常用模型的拟合效果不令人满意。
（2）使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差（3）寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。
（4）在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。
2、生命表的起源（1）生命表的定义根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表.（2）生命表的发展历史1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过《生命表的自然和政治观察》。
第四章 生命函数
t
qx
S(x) S(x S(x)
t)
lx
lxt lx
§4.3 一般整数年龄生命函数
4、 ❖
q f n x
❖ 表示（x）在未来f年内生存，在之后的n年 内死亡的概率。
f
n q
x
S(x
f ) S(x S(x)
f
n)
f
px n qx f
5、死亡效力(p57)
❖ 定义：(x) 的瞬时死亡率，简记 x
x
s(x) s(x)
f (x) s(x)
ln[s(x)]
❖ 死亡效力与生存函数的关系
x
s(x) exp{ sds} 0
❖ 一些基本随机变量 ❖ 1、X：新出生的婴儿或0岁的人在死亡时的年龄 ❖ 2、F(x)：X的分布函数
F(x) P(X x)(x 0)
❖ 表示新出生的婴儿尚未能活到x岁便发生死亡的概率
❖
§4.1 基本随机变量
❖ 3、S(x)：新生婴儿能活到x岁的概率值。 ❖ （1） S(0) 1 ❖ （2） S() 0 ❖ （3）S(x)是关于X的递减连续函数
w x 1
w x 1
ex E(K (x)) k k qx k px
k 1
k 1
完全平均余命
❖ 表示存活到 x岁的人群 ，平均还能存活的年 数。它是x岁群未来存活总人年数被 平均后的 值。即
表示出生时平均寿命，简称平均寿命。表示出 生同批人从出生到死亡平均每人存活的年数。 假 设死亡在每个年龄上都均匀分布，即
保险精算学生命表基本函数
生命表的通常函数
1.x : 年龄，在生命表中的范围，0 1岁。x取整数值。
2.lx : 存活到确切整数年龄x岁的人数。x 0,1, , 1。
l0 100000,1000000,
1 l0 l1 l2
2 l 0
3.dx : x岁的存活人在x岁这一整年内的死亡人数。
(1)lx lx1 dx
0
ex
1
lx
lx1 lx2
l1
1 2
1 lx
x 1 t0
t
1 2
d x t
0
平均寿命为: e0
1 l0
l1
l2
l1
1 2
1 l0
1 t0
t
1 2
dt
证明: 记Lx表示x岁的人在一年内存活的总人年数.
Lx
lx
lx1 2
lx1
1 2
d
x
记Tx表示x岁的在未来存活的总人年数.
第3章 生命表
生命表是研究人口死亡规律的有力工具， 它用表格的形式简单清楚地表述了同时 出生的一组人以怎样的死亡率陆续死亡
的全部过程。
本章主要内容
• 生命表基本函数 • 生存分析 • 非整数年龄存活函数的估计 • 几个死亡时间的解析分布 • 生命表的编制
3.1 生命表基本函数
生命表是反映在封闭人口的条件下，一批 人从出生后陆续死亡的全部过程的一种统计表。
所以,
0 t pxxt dt 1.
n qx 0n t px xt dt
n m qx nm t px xt dt
0
而且 ex E T x
0 t t px xt dt
E T
x2
t2
0
《保险精算》之三--生命表
整值剩余寿命
定义： ( x ) 未来存活的完整年数，简记 K ( x)
K ( X ) k, k T ( x) k 1, k 0,1,
概率函数
Pr( K ( X ) k ) Pr( k T ( x) k 1)
k 1
qx k qx k px k 1 px
11
(*) (**)
例： 已知l x 1000(1 解： 50 l50 (1) 20 p30 120 77.78% l30 1 30 120 1 l45 l50 (2) 20|5 q 25 l25 (1 45 50 ) (1 ) 120 120 5.26% 25 1 120 x ),计算 20 p30和 20|5 q25 . 120
F (t x) F ( x) 1 F ( x) s ( x) s ( x t ) s ( x)
17
x岁余寿的生存函数
x岁的人在x+t~x+t+u的死亡概率 t｜u q x ，以 概率的方式表示为：
t｜u
qx Pr[t T ( x) t u ]
t u q x t q x t p x t u p x t p x u q x t
保险精算之三
王明征 大连理工大学管理学院 2009年11月
第三章 生命表
2
生命表相关定义
生命表：反映在封闭人口的条件下，一批 人从出生后陆续死亡的全部过程的一种统 计表。 封闭人口：指所观察的一批人只有死亡变 动，没有因出生的新增人口和迁入或迁出 人口。
3
生命表基本函数
lx：存活到确切整数年龄x岁的人口数，x=0,1,……ω-1。
生命表计算公式
生命表计算公式一、生命表基本概念。
1. 定义。
- 生命表是描述种群死亡过程及存活情况的一种有用工具。
它反映了在特定条件下，一个初始数量为一定值的种群，随着年龄增长，其存活数量、死亡数量等的变化情况。
二、生命表的主要函数及计算公式。
（一）存活函数l(x)1. 定义。
- l(x)表示年龄为x时的存活个体数与初始个体数（通常设初始个体数为l(0)）的比例。
2. 计算公式。
- l(x)=(N(x))/(N(0))，其中N(x)是年龄为x时存活的个体数，N(0)是初始个体数。
例如，若初始有100个个体，到年龄x = 5时还有80个个体存活，则l(5)=(80)/(100) = 0.8。
（二）死亡概率函数q(x)1. 定义。
- q(x)表示年龄为x的个体在到达年龄x+ 1之前死亡的概率。
2. 计算公式。
- q(x)=(d(x))/(l(x))，其中d(x)=l(x)-l(x + 1)，即年龄x到x+1之间死亡的个体数与年龄为x时存活个体数的比例。
例如，若l(5)=0.8，l(6)=0.7，则d(5)=l(5)-l(6)=0.8 - 0.7=0.1，q(5)=(d(5))/(l(5))=(0.1)/(0.8)=0.125。
（三）死亡率函数m(x)1. 定义。
- m(x)表示在年龄x时的死亡率，它是瞬间死亡率的一种度量。
2. 计算公式。
- m(x)=(d(x))/(L(x))，这里L(x)是年龄x到x + 1之间存活个体的平均存活数。
一种近似计算L(x)的方法是L(x)=(l(x)+l(x + 1))/(2)。
例如，若l(5)=0.8，l(6)=0.7，则L(5)=(0.8 + 0.7)/(2)=0.75，若d(5)=0.1，则m(5)=(d(5))/(L(5))=(0.1)/(0.75)=(2)/(15)≈0.133。
（四）平均余寿函数e(x)1. 定义。
- e(x)表示年龄为x的个体的平均剩余寿命。
2. 计算公式。
第二章生命表函数与生命表构造
第⼆章⽣命表函数与⽣命表构造第⼆章⽣命表函数与⽣命表构造第⼀节⽣命表函数⼀、⽣存函数1、定义：2、概率意义：新⽣⼉能活到的概率3、与分布函数的关系：4、与密度函数的关系：⼆、剩余寿命1、定义：已经活到x岁的⼈（简记），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。
2、剩余寿命的分布函数5、：，它的概率意义为：将在未来的年内去世的概率，简记3、剩余寿命的⽣存函数：，它的概率意义为：能活过岁的概率，简记特别：（1）（2）（3）（4）：将在岁与岁之间去世的概率4、整值剩余寿命（1）定义：未来存活的完整年数，简记（2）概率函数：5、剩余寿命的期望与⽅差（1）期望剩余寿命：剩余寿命的期望值（均值），简记（2）剩余寿命的⽅差：6、整值剩余寿命的期望与⽅差（1）期望整值剩余寿命：整值剩余寿命的期望值（均值），简记（2）整值剩余寿命的⽅差：2三、死亡效⼒1、定义：的⼈瞬时死亡率，记作2、死亡效⼒与⽣存函数的关系3、死亡效⼒与密度函数的关系4、死亡效⼒表⽰剩余寿命的密度函数记为剩余寿命的分布函数，为的密度函数，则第⼆节⽣命表的构造⼀、有关寿命分布的参数模型1、de Moivre模型（1729）2、Gompertz模型（1825）3、Makeham模型（1860）4、Weibull模型（1939）⼆、⽣命表的起源1、参数模型的缺点（1）⾄今为⽌找不到⾮常合适的寿命分布拟合模型。
这四个常⽤模型的拟合效果不令⼈满意。
（2）使⽤这些参数模型推测未来的寿命状况会产⽣很⼤的误差（3）寿险中通常不使⽤参数模型拟合寿命分布，⽽是使⽤⾮参数⽅法确定的⽣命表拟合⼈类寿命的分布。
（4）在⾮寿险领域，常⽤参数模型拟合物体寿命的分布。
2、⽣命表的起源（1）⽣命表的定义根据已往⼀定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表.（2）⽣命表的发展历史1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过《⽣命表的⾃然和政治观察》。
保险精算第3章(2)
x
s( x) s( x)
f ( x) [ln s( x)] s( x)
• 死亡效力与生命函数的关系
x
s( x) exp{ sds}
0
xt
t px exp{ sds} x
x
f (x) x s(x) x exp{ sds}
0
剩余寿命密度函数g(t ) t px xt
5
练习（学习通）
递推式：lx dx lx1或lx lx1 dx
由于l1 d1 l 0 l1 d1
于是l0 d0 d1
lx d x d x1
1
d1 d x
x0
x1
d1
d xk
k 0
16
(4)qx : 表示x岁的人在一年内死亡的概率。
qx
dx lx
lx lx1 , lx
q 1
d1 l1
1
(5) px : 表示 x 岁的人一年后仍存活的概率。
px
l x 1 lx
,
p 1
l l 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
于是
px
qx
l x 1 lx
lx
lx1 lx
lx lx
1
17
(6) n dx : 表示x岁的人在x～x n岁间死亡的人数。
递推式：n d x lx lxn
1d x lx lx1 d x , (n 1时可以不写）
• 1693年，Edmund Halley(英国的天文学家),《根据Breslau城 出生与下葬统计表对人类死亡程度的估计》，在文中第一次 使用了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因而 把Halley称为生命表的创始人，《哈莱死亡表》奠定了近代 人寿保险费计算的基础。
2,生命表和生命函数
➢ 有了死力概念，即可得出存活概率与死 亡概率的连续型表达式：
x
lx l0e0 ydy
n
p e n x
0 xt dt
n
n qx
1
e
0
xt
dt
n
0 t px xtdt
生命表和生命函数
➢ 生命表函数（续） ➢ Lx： 的人在 x 岁和
岁间活的总年数；
Lx
1 0
l
xt
xt
பைடு நூலகம்
tdt
lx1
1
0 lxt dt
假如死亡人数在每个年龄区间上均匀分布，则
Lx
lx
lx1 2
生命表和生命函数
➢ 生命表函数（续）
➢ Tx：x岁的人群未来累计存活总年数；
Tx 0 lxt xttdt 0 lxt dt
x1
Tx Lx Lx1 L1
Lxt
t 0
生命表和生命函数
➢ 生命表函数（续）
➢ K(x)：x岁的人群未来存活的整年数；
K ( x) [Tx ]
生命表和生命函数
➢ 生命表函数（续）
➢平均余命：取整平均余命及完全平均余命
➢取整：
ex
K (x) lx
E[K ( x)]
KP[K ( x) k ]
P k 1 x
k 0
k 0
➢完全：
ex
Tx lx
E[Tx ]
lxt dt 0 lx
死亡率的改进
➢ 死亡率的改进 ➢ 例：
➢ A公司：经过体检的不吸烟者死亡率首年度为 55%×生命表首年度死亡率，以后逐年递增到60% 或70%；经过体检的吸烟者，首年度调整因子为 115%，以后逐年递减到110%
《保险精算》之三--生命表
∫
x+n
x
µ y dy = − ∫
x+n
x
s'( y) d y = − lns(y) | x + n = − [ln s ( x + n ) − ln s ( x )] x s( y)
= − ln 故有
n
s( x + n) = − ln n p x s( x)
−
x+n
p x = e ∫xµBiblioteka y dy∞ 0ex
正是T(x)随机变量的期望值
p xµ
∞ 0 t
e
x
= E [T ( x )] =
∫
t
t
x + t
dt =
∫
p xdt
23
死亡力
生命表x岁死亡人数dx正是生存人数函数lx+t与死亡力之积在 0~1上的积分
d x = ∫ lx + t µ x + t dt
0
1
生命表x岁生存人年数Lx正是生存人数函数lx+t在0~1上的积分
26
例3.6：已知F0 (t ) = 1 − e
− λt
, λ > 0, 计算µ x 。
解：由已知条件知，f 0 (t ) = λ e − λt , 有 f 0 ( x) λ e−λ x = −λ x = λ; µx = 1 − F0 (t ) e
27
整值平均余寿与中值余寿
x岁的整值平均余寿是指x岁未来平均存活的整数年数， 不包括不满1年的零数余寿，它是整值余寿随机变量K(x) 的期望值，以ex表示，
d x + n lx + n − lx + n + m = = n px − n + m px = n px ⋅m qx + n n｜m q x＝ lx lx
第二章生命函数与生命表理论
寿命的分布函数 新生儿在x岁之前死亡的概率
F ( x ) P r ( X x ) , x 0 .
假定寿命极限为w，满足：
( 1 )F (0 ) 0 ;
(2 )Fw ( )1 .
寿命的生存函数
随机变量X的生存函数
S ( x ) P r ( X x ) 1 F ( x ) , x 0 .
整值余寿的生存函数
P r ( K ( X ) k ) P r ( T ( x ) k 1 ) p k 1 x
整值余寿的密度函数
P r ( K ( X ) k ) P r ( k T ( x ) k 1 ) q x k
xk 1 x k xkx k 1 xk xx k k
一年中的平均生存时间。
Lx lx1 a(x) dx
x 例已知 lx 10000 ( 1 ) 100
1）该人群在95岁时的期望剩余寿命； 2）该人群在95岁时的中位死亡率；
1 ) t p d t 2 .5 ; 9 5 e 9 5
0
0
5
d 1 0 0 2 9 5 2 )m 1 ; 9 5 L 9 9 5 l d x 95x
分别在三种非整数年龄假定下，计算下面各值：
0 . 5 30 5 . 25 50
q, q ， 30 . 5
（补充练习）某人头上仅剩3根头发，并且他不再长任何头发。
q 0 . 1 ( k 1 ) , k 0 , 1 , 2 , 3 . （1）每根头发(x)未来的死亡服从： k | x
t
px
1 tqx
e
t
y q xt
1 e y
xt
第四章 生命函数
❖ (5) P(x1 X x2 ) F (x2 ) F (x1) S(x1) S(x2 )
❖ 4．T(x)：年龄为x岁的人未来能存活的时间，称作 未来余命。
❖ G(x)是T的分布函数，G(x) P(X t)
d dt
s(
x)
s(x s(x)
t)
s(x t)xt
s(x)
t px xt
§4.3 一般整数年龄生命函数
❖ 6、T的分布函数G(t)与密度函数g(t)
❖ (1). G(t) t qx
❖ (2). g (t) t p xxt
基本函数总结
❖ px ：x岁的人至少能活到x+1岁的概率
w x 1
w x 1
ex E(K (x)) k k qx k px
k 1
k 1
完全平均余命
❖ 表示存活到 x岁的人群 ，平均还能存活的年 数。它是x岁群未来存活总人年数被 平均后的 值。即
表示出生时平均寿命，简称平均寿命。表示出 生同批人从出生到死亡平均每人存活的年数。 假 设死亡在每个年龄上都均匀分布，即
❖ 在各年龄死亡均匀分布假设下，公式(3.16)中x+ 是每 个年龄死亡人数的平均年龄。 是各年龄死亡人数的合计 数，因此平均寿命也就是以各年龄死亡人数为权重的平 均死亡年龄。
剩余寿命的期望与方差
❖
期望剩余寿命：(x)
剩余寿命的期望值(均值),简记
o
ex
o
ex E(T (x)) td (1 t px ) t pxdt
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3、tdx=lx－l x+t =(lx-lx+1)+(lx+1-lx+2)+···+(lx+t－1－lx+t) x+t－ =dx+dx+1+···+dx+t－1 x+t－
例1 填写表中的空栏
x 101 102 103 104 105 40 0.3 1 lx 100 25 0.75 dx px qx
Ck
死亡人数d 死亡人数dx
中，在x岁和x+n岁之间死亡的人数，其中 中，在x岁和x+n岁之间死亡的人数，其中 Dk 0 (其他) (其他) 1 （在x岁之前死亡时） （在x 同理，nD ~bi（ 同理，nD x~bi（lx，n qx）。 记n dx=E（n Dx), =E（ 则n dx=lx nqx=lx－lx+n 当 n=1时，则 dx=lx－lx+1 n=1时，则
回忆一下条件概率的定义。假设两个时 间A和B，在B已发生条件下的概率是： ，在B P﹝A︱B﹞=P﹝AB﹞/P ﹝B﹞ =P﹝AB﹞ 因此对所有年龄x 因此对所有年龄x＞0的人， FX（t）=P﹝ T0≤x+t︱ T0＞t ﹞ =P﹝ ≤x+t︱ P﹝ x＜T0≤x+t ﹞ P﹝ T0＞x ﹞ F0(x+t) －F0(x) 1－F0(x)
生存函数
一个刚刚出生的个体（0 一个刚刚出生的个体（0岁），其未来 生存时间可作为一个随机变量，用T 生存时间可作为一个随机变量，用T0表示。 T0代表一个0岁的人未来生存的时间，也就 代表一个0 是他的寿命。T 是他的寿命。T0经常以年来计量。 假定T 是一个连续随即变量，T 假定T0是一个连续随即变量，T0可以取 任何比0 任何比0大的值。 用P﹝A﹞ 表示事件A发生的概率。 表示事件A 定义随机变量T 的分布函数F 定义随机变量T0的分布函数F0（t）为 F0（t）=P﹝T0≤t﹞ =P﹝ ≤t﹞ 根据定义， F0（t）是一个正好0岁的人 ）是一个正好0 不晚于t 不晚于t岁死亡的概率。
生存函数也有类似的表达式，并且这种 表示用得更多。 SX（t）=P﹝ T0＞x+t︱ T0＞x﹞ =P﹝ x+t︱ P﹝ T0＞x+t ﹞ P﹝ T0＞x ﹞ S0(x+t) S0(x) ∴ S0(x+t)= S0(x) × SX（t）
生命表函数
定义：p 定义：p x=Sx(1)= P﹝Tx＞1﹞ P﹝ q x=Fx(1)= P﹝Tx≤1﹞ P﹝ ≤1﹞ 其中，p 表示一个x岁的人在x+1岁时 其中，p x 表示一个x岁的人在x+1岁时 仍然生存的概率； q x表示一个x岁的人在未 表示一个x 来一年内死亡的概率。显然， p x =1－ q x =1－ 类似地，可以把符号p 类似地，可以把符号p x 和 q x扩展到1 扩展到1 年以上的时间内的死亡和生存概率。 定义：tp 定义：tp x=Sx(t)=P﹝Tx＞t﹞ (t)=P﹝ tq x=Fx(t)=P ﹝Tx≤t﹞ ≤t﹞
x 101 102 103 104 105
lx 100 65 40 10 3
dx 35 25 30 7 3
px 0.65qx 0来自350.615 0.385 0.25 0.3 0 0.75 0.7 1
另一个互补性的概率也是经常用的，即， 一个0岁的人在t 一个0岁的人在t岁之后死亡的概率，也就是 他未来的生存时间超过t年的概率，记作S 他未来的生存时间超过t年的概率，记作S0 （t），称为生存函数，即 S0（t）=P﹝T0＞t﹞=1－F0（t） =P﹝ =1－ 下面以同样的方式将一个年龄为x (x＞ 下面以同样的方式将一个年龄为x岁(x＞ 0)的人的未来生存时间定义为一个随机变量 0)的人的未来生存时间定义为一个随机变量 TX。 TX=一个x岁的人将来继续生存的时间 一个x 随机变量T的分布函数记作F 随机变量T的分布函数记作FX（t），因 此： FX（t）=P﹝ TX≤t﹞ =P﹝ ≤t﹞
生命表函数
1693年，哈雷彗星的发现者发明了世 1693年，哈雷彗星的发现者发明了世 界上第一张生命表，这一年被认为是精算 学的开始，由此可见生命表在精算学中的 重要性。 （一）生命表的概念 生命表又称死亡表，是对一定数量的人 口自出生（或一定年龄）直至死亡这段时 间内的生存和死亡进行记录。
生命表特点
其中， tp x表示x岁的人在x+t岁时仍然 表示x岁的人在x+t岁时仍然 生存的概率； tq x表示x岁的人在未来t年中 表示x岁的人在未来t 死亡的概率。则有： tp x =1－tq x =1－ 注意，p 注意，p x 和q x是 tp x和tq x的特殊形式， p x =1 p x q x =1 q x
生存人数l 生存人数lx
设最初有l 设最初有l0个新生婴儿，每个人都具有生 存函数S 存函数S0（x），称这样的集合为随机生存 集合。取随机变量L 集合。取随机变量L（x）= ∑c 表示新生儿 中活至x 中活至x岁的人的数目，其中
l0 k =0 k
0 (未活至x (未活至x岁) 1 （在x （在x岁生存时） 若设I相互独立，则有L 若设I相互独立，则有L（x）~bi（n， ~bi（ ）），即L s0（x）），即L（x）服从二项分布。那么 E﹝L(X)﹞=ns0(x) L(X)﹞ 记lx=E﹝L(X)﹞,则lx=l0s0(x) lx=E﹝L(X)﹞
生命表考察的一群人是一个确定生存 集合, 集合,一般具有如下特点： 1、基期人口为lɑ（ɑ≥0） 、基期人口为l ≥0） 2、集合时封闭的，一旦选定，就不再 有进入。集合人数减少的唯一原因是自然 死亡； 3、集合中各成员在每一年龄段上的死 亡概率确定。
结构
最基本的生命表包括以下几个基本栏目： 1、被观察的人口年龄（x） 、被观察的人口年龄（x 2、年初生存人数(l) 基期人口中活至x岁的人数 、年初生存人数( 基期人口中活至x (lx) 3、当年死亡人数(d) x岁的人在一年中的死亡人 、当年死亡人数(d) x岁的人在一年中的死亡人 数 (dx) 4、死亡率（q） x岁的人在一年中死亡的概率(qx) 、死亡率（q 岁的人在一年中死亡的概率(q 5、生存率(p) x岁的人至少活到x+1岁的概率(px) 、生存率(p) x岁的人至少活到x+1岁的概率(p 6、此外还可能包括完全平均余命ex、生存人年数 、此外还可能包括完全平均余命e Tx等。
∑D 表示l 个新生婴儿 令随机变量nD x= 表示l0
k =0 k
lX
生命表各函数之间的关系
1、 t
s0 (x + t) l0 s0 (x + t) lx+t px = = = s0 (x) l0 s0 (x) lx
lx+t t dx − = t qx = 1 t px = 1− 2、 lx lx
类似的，定义一个岁的人在年之后死亡 的概率，也就是他的未来生存时间超过年 的概率，记作，成为生存函数，即 Sx（t）=P﹝Tx＞t﹞=1－Fx（t） =P﹝ =1－ 事实上，分布F 事实上，分布F0（t）和 Fx（t）之间是 有联系的，如果知道0 有联系的，如果知道0岁的人（即新生个体） 的生存时间分布F 的生存时间分布F0（t） ，就能知道所有年 龄x＞0的人的生存时间分布。 为了说明这个问题，再仔细看一下T 为了说明这个问题，再仔细看一下Tx的 定义。它是一个x 定义。它是一个x岁的人将来可继续生存的 时间，以他已生存了x 时间，以他已生存了x岁为条件的。