离散型随机变量及其分布函数
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为: 0, 1, 2, 3, , 30.
• (2)连续型 若随机变量所有可能的取值可以连续 • 地充满某个区间,则称其为连续型随机变量.
•实例1 随机变量 X 为“灯泡的寿
命”.
•则 X 的取值范围为[0, ).
•实例2 随机变量 X 为“测量某零件尺寸时的测误
差• ”.
•则 X 的取值范围为 (a, b) 内的任一值.
P{ X 0} 0.012 P{ X 4} 0.218 P{ X 8} 0.022 P{ X 1} 0.058 P{ X 5} 0.175 P{ X 9} 0.007 P{ X 2} 0.137 P{ X 6} 0.109 P{ X 10} 0.002 P{ X 3} 0.205 P{ X 7} 0.055
都属于两点分布.
•2.二项分布
•若X的分布律为：
P{X k} Cknpkqnk , k 0,1,2, n 则 •称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。记为
X ~ B(n , p) •,其中q＝1－p
•二项分布 n 1 •两点分布
•例 按规定,某种型号电子元件的使用寿命超过 12500 小时的为一级品.已知某一大批产品的一级 品率为0.2, 现在从中随机地抽查20只.问20只元件 中恰有 k 只(k 0,1, ,20) 一级品的概率是多少?
解：X的分布律为
X0
1
2
3
4
pk
p
(1 p) p (1 p)2 p (1 p)3 p (1 p)4
•离散型随机变量的分布函数与其分布律之间的关
系：
F ( x ) P{ X x} pk P ( X xk ).
xk x
xk x
•也就是：
•分布律 pk P{ X xk }
•分布函数 F ( x) P{ X x} pk
P{ X k} 0.001, 当 k 11时
•图示概率分布
•例3 某人进行射击,设每次射击的命中率为0.02, 独立射击 400 次,试求至少击中两次的概率.
•解 设击中的次数为 X ,
则 X ~ B(400,0.02). X 的分布律为
P{ X k} 400(0.02)k (0.98)400k , k 0,1, ,400. k
•定义 设离散型随机变量X 所有可能取的值为 xk (k 1,2, ), X 取各个可能值的概率, 即事件 { X xk } 的概率,为
P{ X xk } pk , k 1,2, . 称此式为离散型随机变量 X 的分布律.
•说
(1) pk 0, k 1,2, ;
明
(2) pk 1.
•泊松分布的背景及应用
• 二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察
•与分析放射性物质放射出的 粒子个数的情况时,
•他们做了2608 次观察(每次时间为7.5 秒)，发现 •放射性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子 •数X 服从泊松分布.
•
在生物学、医学、工业统计、保险科学及
•公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的.
xk x
二、常见离散型随机变量的概率分布
•1.两点分布
• 设随机变量 X 只取0与1两个值 , 它的分布
律为
X
0
1
pk 1 p
p
•则称 X 服从 (0-1) 分布或两点分布或伯努利
分布.
•说明
•
两点分布是最简单的一种分布,任何一
个只有两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿
是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,
•随机变量 X 的可能值是 : •1, 2, 3, 4, 5, 6
•实例2 若随机变量 X 记为 “连续射击, 直至命中时的射击次数”, 则 X 的可能值是:
1, 2, 3, .
•实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,
•现该射手射了30次,则随机变量 X 记为“击中目标 •的次数”•, 则 X 的所有可能取值
• •分析 这是不放回抽样.但由于这批元件的总 数很大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来 说又很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.
把检查一只元件看它是否为一级品看成是一次 试验,检查20只元件相当于做20 重伯努利试验.
•解 以 X 记 20 只元件中一级品的只数,
则 X ~ B(20, 0.2), 因此所求概率为 P{X k} 2k0(0.2)k (0.8)20k , k 0,1, ,20.
数
数
泊松定理 设 X ~ B(n, pn ) P{X k} Cnk pnk (1 pn )nk
且满足
npn 0
则对任意非负整数k , 有
•因此 P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1} 1 (0.98)400 400(0.02)(0.98)399 0.9972.
•3. 泊松分 设布随机变量所有可能取的值为 0, 1, 2,L ,而取各个
值的概率为
P{X k} ke , k 0,1, 2,L ,
k!
其中 0是常数.则称 X 服从参数为的泊松分 布,记为 X ~ ().
k 1
•离散型随机变量的分布律也可表示为
X ~ x1 x2 xn p1 p2 pn
•或
X
x1 x2 xn
pk
p1 p2 pn
例1 设一汽车在开往目的地的路上需经过四盏信号 灯.每盏灯以 （p 0 p 1) 的概率禁止汽车通过.以
X 表示汽车首次停下时已经过的信号灯盏数（信 号灯的工作是相互独立的），求 X的分布律.
wenku.baidu.com
•例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电
•话呼唤次数等都服从泊松分布.
•地震
•火山爆发
•特大洪水
•
在生物学、医学、工业统计、保险科学及
•公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的.
•例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电
•话呼唤次数等, 都服从泊松分布.
•商场接待的顾客 •电话呼唤次 •交通事故次数
第2.2节 离散型随机变量 及其分布函数
•一、离散型随机变量的分布函数 •二、几种常见的离散型随机变量 •三、小结
•一、离散型随机变量的分布函数
•随机变量
•离散型 •非离散型
•连续型 •其它 • (1)离散型 若随机变量所有可能的取值为有限
个或可列无穷个，则称其为离散型随机变量.
•实例1 • 观察掷一个骰子出现的点数.
• (2)连续型 若随机变量所有可能的取值可以连续 • 地充满某个区间,则称其为连续型随机变量.
•实例1 随机变量 X 为“灯泡的寿
命”.
•则 X 的取值范围为[0, ).
•实例2 随机变量 X 为“测量某零件尺寸时的测误
差• ”.
•则 X 的取值范围为 (a, b) 内的任一值.
P{ X 0} 0.012 P{ X 4} 0.218 P{ X 8} 0.022 P{ X 1} 0.058 P{ X 5} 0.175 P{ X 9} 0.007 P{ X 2} 0.137 P{ X 6} 0.109 P{ X 10} 0.002 P{ X 3} 0.205 P{ X 7} 0.055
都属于两点分布.
•2.二项分布
•若X的分布律为：
P{X k} Cknpkqnk , k 0,1,2, n 则 •称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。记为
X ~ B(n , p) •,其中q＝1－p
•二项分布 n 1 •两点分布
•例 按规定,某种型号电子元件的使用寿命超过 12500 小时的为一级品.已知某一大批产品的一级 品率为0.2, 现在从中随机地抽查20只.问20只元件 中恰有 k 只(k 0,1, ,20) 一级品的概率是多少?
解：X的分布律为
X0
1
2
3
4
pk
p
(1 p) p (1 p)2 p (1 p)3 p (1 p)4
•离散型随机变量的分布函数与其分布律之间的关
系：
F ( x ) P{ X x} pk P ( X xk ).
xk x
xk x
•也就是：
•分布律 pk P{ X xk }
•分布函数 F ( x) P{ X x} pk
P{ X k} 0.001, 当 k 11时
•图示概率分布
•例3 某人进行射击,设每次射击的命中率为0.02, 独立射击 400 次,试求至少击中两次的概率.
•解 设击中的次数为 X ,
则 X ~ B(400,0.02). X 的分布律为
P{ X k} 400(0.02)k (0.98)400k , k 0,1, ,400. k
•定义 设离散型随机变量X 所有可能取的值为 xk (k 1,2, ), X 取各个可能值的概率, 即事件 { X xk } 的概率,为
P{ X xk } pk , k 1,2, . 称此式为离散型随机变量 X 的分布律.
•说
(1) pk 0, k 1,2, ;
明
(2) pk 1.
•泊松分布的背景及应用
• 二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察
•与分析放射性物质放射出的 粒子个数的情况时,
•他们做了2608 次观察(每次时间为7.5 秒)，发现 •放射性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子 •数X 服从泊松分布.
•
在生物学、医学、工业统计、保险科学及
•公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的.
xk x
二、常见离散型随机变量的概率分布
•1.两点分布
• 设随机变量 X 只取0与1两个值 , 它的分布
律为
X
0
1
pk 1 p
p
•则称 X 服从 (0-1) 分布或两点分布或伯努利
分布.
•说明
•
两点分布是最简单的一种分布,任何一
个只有两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿
是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,
•随机变量 X 的可能值是 : •1, 2, 3, 4, 5, 6
•实例2 若随机变量 X 记为 “连续射击, 直至命中时的射击次数”, 则 X 的可能值是:
1, 2, 3, .
•实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,
•现该射手射了30次,则随机变量 X 记为“击中目标 •的次数”•, 则 X 的所有可能取值
• •分析 这是不放回抽样.但由于这批元件的总 数很大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来 说又很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.
把检查一只元件看它是否为一级品看成是一次 试验,检查20只元件相当于做20 重伯努利试验.
•解 以 X 记 20 只元件中一级品的只数,
则 X ~ B(20, 0.2), 因此所求概率为 P{X k} 2k0(0.2)k (0.8)20k , k 0,1, ,20.
数
数
泊松定理 设 X ~ B(n, pn ) P{X k} Cnk pnk (1 pn )nk
且满足
npn 0
则对任意非负整数k , 有
•因此 P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1} 1 (0.98)400 400(0.02)(0.98)399 0.9972.
•3. 泊松分 设布随机变量所有可能取的值为 0, 1, 2,L ,而取各个
值的概率为
P{X k} ke , k 0,1, 2,L ,
k!
其中 0是常数.则称 X 服从参数为的泊松分 布,记为 X ~ ().
k 1
•离散型随机变量的分布律也可表示为
X ~ x1 x2 xn p1 p2 pn
•或
X
x1 x2 xn
pk
p1 p2 pn
例1 设一汽车在开往目的地的路上需经过四盏信号 灯.每盏灯以 （p 0 p 1) 的概率禁止汽车通过.以
X 表示汽车首次停下时已经过的信号灯盏数（信 号灯的工作是相互独立的），求 X的分布律.
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•例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电
•话呼唤次数等都服从泊松分布.
•地震
•火山爆发
•特大洪水
•
在生物学、医学、工业统计、保险科学及
•公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的.
•例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电
•话呼唤次数等, 都服从泊松分布.
•商场接待的顾客 •电话呼唤次 •交通事故次数
第2.2节 离散型随机变量 及其分布函数
•一、离散型随机变量的分布函数 •二、几种常见的离散型随机变量 •三、小结
•一、离散型随机变量的分布函数
•随机变量
•离散型 •非离散型
•连续型 •其它 • (1)离散型 若随机变量所有可能的取值为有限
个或可列无穷个，则称其为离散型随机变量.
•实例1 • 观察掷一个骰子出现的点数.