七年级数学相交线2
人教版七年级数学下册《垂线》相交线与平行线PPT教学课件(第2课时)
与 线的距离.
应
用
探
究 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中, 垂线段最短.
与
应 简单说成: 垂线段最短.
用
探 探究2 学习了上面的知识,你知道水渠该怎样挖了吗?请在图5-1-
究
与 25中画出来.如果图中比例尺为1∶100000,水渠大约要挖多长?
应 用
图5-1-25
探 解:如图,PQ为所挖水渠.
用
图5-1-27
探 (3)量出点B到AC的距离.
究
与 解:如图,过点B画AC的垂线,交CA的 应 延长线于点E,量得线段BE的长度,即
用
点B到AC的距离.具体测量略.
图5-1-27
探
究 垂线、垂线段和点到直线的距离这三个概念的区别与联系
与 应
区别:垂线是一条直线;垂线段是一条线段;点到直线的距离
图5-1-29
理由:两点之间,线段最短.
探 (2)从码头到铁路怎样走最近?画图并说明理由;
究
与 解:如图,过点A作AC⊥a于点C.从码头 应 到铁路沿线段AC走最近.理由:垂线段
用 最短.
图5-1-29
探 (3)从火车站到河流怎样走最近?画图并说明理由.
究
与 解:如图,过点B作BD⊥b于点D. 应 从火车站到河流沿线段BD走最近.
用 是垂线段的长度,是一个数量,不能说垂线段是点到直线的
距离.
联系:它们都与垂直有关.
探 变式 (1)画∠AOB=60°,再画∠AOB的平分线OP;
究
与 (2)在OP上任取一点Q,过点Q分别画OA,OB的垂线段QC,QD;
应 用
(3)量出线段QC,QD的长度后比较QC,QD的大小.
人教版七年级数学课件《相交线》
8.如图(2)，直线AC和BD相交于点O，那么∠AOD的对顶角是________，
∠AOD，∠BOC
∠AOB的邻补角是__________________.
148°
32° ∠4=______.
148°
9.如图(3),直线a，b相交，∠1=32°，则∠2=______,∠3=____,
达标检测
解：∠1与∠α，∠3与∠α，∠1与∠2，∠2与∠3是邻补角；
∠1与∠3，∠2与∠α是对顶角.
当∠α=35°时，
∠1=145°，∠2=35°，∠3=145°；
当∠α=90°时，
∠1=90°，∠2=90°，∠3=90°；
当∠α=115°时，
∠1=65°，∠2=115°，∠3=65°；
当∠α=m°时，
∠1=(180-m)°，∠2=m°，∠3=(180-m)°.
针对练习
人教版数学七年级下册
1.如图，直线AB、CD、EF相交，若∠1+∠5=180°,找出图中与
∠1相等的角.
2
解：∵ ∠1= ∠3（对顶角相等）
1
∠5+∠8=180 °且∠1 +∠5=180°
4
∴∠8= ∠1
∵ ∠8= ∠6（对顶角相等）
∴∠6= ∠1.
3
A
C
5
7
6
8
F
针对练习
人教版数学七年级下册
解：由邻补角的定义，得
∠2=180°-∠1=180°-40°=140°
由对顶角相等，得
∠3=∠1=40°
∠4=∠2=140°
针对练习
人教版数学七年级下册
如图，取两根木条a、b，将它们钉在一起，并把它们想象成两条直线，就得
七年级数学相交线
返回
测试
一、判断（每题10分） 1、有公共顶点且相等的两个角是对顶角。（ × ） 2、两条直线相交，有两组对顶角。 （√ ） 3、两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角， 那么其余的三个角也是直角。 （√ ） 二、选择（每题10分） 1、如右图直线AB、CD交于点O，OE为射线，那么（C ） A。∠AOC和∠BOE是对顶角； B。∠COE和∠AOD是对顶角； D A C。∠BOC和∠AOD是对顶角； O D。∠AOE和∠DOE是对顶角。 2、如右图中直线AB、CD交于O， C E B OE是∠BOC的平分线且∠BOE=50度， C ）度 那么∠AOE=（ （A）80；（B）100；（C）130（D）150。 下 页
第二章 相交线、平行线
如上图中是一段铁路桥梁的侧面图，其中有些线如：AB和 CD是相交的，有些线如：MN和PQ是平行的。相交线和平行线都 有许多重要性质，并且在生产和生活中有广泛应用。我们将在前一 章的基础上，进一步研究直线间的位置关系，同时还要介绍一些有 关推理证明的常识，为后面的学习做些准备。
第一节
（ D） （ 4 ）
二、 填空
1、一个角的对顶角有 一 个，邻补角最多有 两 个，而补角 则可以有 无数 个。 2、右图中∠AOC的对顶角是∠DOB D 邻补角是 ∠AOD和∠COB A 3、如图，直线AB、CD相交于O， 1 ∠AOC=80°；∠1=30°；求∠2的度数 2 E 解：∵∠DOB=∠ AOC ，（ 对顶角相等 ） C ∠AOC =80°（已知） B ∴∠DOB= 80 °（等量代换） 又∵∠1=30°（ 已知 ） ∴∠2=∠ DOB -∠ 1 = 80°- 30° = 50 °
我们知道邻补角是互 补的，那么对顶角有 什么样的关系呢？
北师大版七年级数学下册第二章相交线与平行线暑假培训讲义集体备课教案：平行线、平行线的构造（含答案）
四川省渠县崇德实验学校北师大版七年级数学下册第二章相交线与平行线暑假培训讲义集体备课教案（授课内容：平行线、平行线的构造）知识梳理 一、平行线1．平行线：在同一平面内，永不相交的两条直线称为平行线．用“//”表示． 2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【例】如图1，过直线a 外一点A 作b//a ，c//a ，则b 与c 重合．3．平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 简记为：平行于同一条直线的两条直线平行． 【例】如图2，若b//a ，c//a ，则b//c ．图1 图2 图34．平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等．如图3，若a//b ，则Ð1=Ð2． （2）两直线平行，内错角相等．如图3，若a//b ，则Ð2=Ð3． （3）两直线平行，同旁内角互补．如图3，若a//b ，则Ð3+Ð4=180°． 5．平行线的判定（1）同位角相等，两直线平行．如图3，若Ð1=Ð2，则a//b ． （2）内错角相等，两直线平行．如图3，若Ð2=Ð3，则a//b ． （3）同旁内角互补，两直线平行．如图3，若Ð3+Ð4=180°，则a//b ． 二、平行的构造1．如图4，若a//b ，则Ð1=Ð2+Ð3 2．如图5，若a//b ，则Ð1+Ð2+Ð3=360°(c )b aAcba b a4321a b` 213`a b213图4 图5例题讲解 一、平行线下列说法中：下列说法中：①如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；①如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； ②过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线相交；②过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线相交； ③如果同一平面内的两条直线不相交，那么它们互相平行；③如果同一平面内的两条直线不相交，那么它们互相平行； ④过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．④过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 正确的是__________．【解析】①③④．【提示】这道题主要考查平行线的概念和平行公理．（1）如图2-1，一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若125Ð=°，则2Ð的度数是（的度数是（ ） A ．155° B ．135° C ．125° D ．115°（2）如图2-2，已知AB//CD ，EF 分别交AB 、CD 于M 、N ，EMB Ð=50°，MG 平分BM BMF F Ð，交CD 于G ，MGN Ð的度数为__________．FE AMBC N G D12图2-1 图2-2（3）证明：三角形三个内角的和等于180°．【解析】（1）D ；（2）65°；（3）证法1：如右图，过△ABC 的顶点A 作直线l//BC ． 则B Ð1=Ð，C Ð2=Ð（两直线平行，内错角相等）． 又因为BAC Ð1+Ð+Ð2=180°．（平角的定义） 所以B BAC C Ð+Ð+Ð=180°（等量代换）． 即三角形三个内角的和等于180°． 证法2：如右图，延长BC ，过C 作CE//AB ， 则A Ð1=Ð（两直线平行，内错角相等），B Ð2=Ð（两直线平行，同位角相等）．又∵BCA Ð+Ð1+Ð2=180°， ∴BCA A B Ð+Ð+Ð=180°， 即三角形三个内角的和等于180°．【提示】这道题主要考查平行线的性质，（3）题证明方法老师可以自行补充，这个结论和平行公理是等价的．平行公理是等价的．另外，另外，这种证明题需要学生先转化成常规的已知和求证，这种证明题需要学生先转化成常规的已知和求证，然后然后再证明，重点强调格式．（1）根据图在（）根据图在（ ）内填注理由：）内填注理由： ①∵B CEF Ð=Ð（已知），（已知），∴AB//CD （ ）；）； ②∵B BED Ð=Ð（已知），（已知），∴AB//CD （ ）；）； ③∵B CEB Ð+Ð=180°（已知），（已知），l21CB A 21DCEBAA CDBFE∴AB//CD （ ）．）．（2）已知：如图所示，ABC ADC Ð=Ð，BF 和DE 分别平分ABC Ð和ADC Ð，AED EDC Ð=Ð．求证：ED//BF ．证明：∵BF 和DE 分别平分ABC Ð和ADC Ð（已知）（已知）∴EDC Ð=__________ADC Ð，FBA Ð=__________ABC Ð（ ）， 又∵ADC ABC Ð=Ð（已知），（已知）， ∴Ð__________FBA =Ð（等量代换）．（等量代换）． 又∵AED EDC Ð=Ð（已知），（已知），∴Ð__________=Ð__________（等量代换），（等量代换）， ∴ED//BF （ ）．）．【解析】（1）①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行； ③同旁内角互补，两直线平行． （2）12；12；角平分线定义；EDC ；AED ；FBA ；同位角相等，两直线平行. 【提示】这道题主要考查平行的判定，这道题主要考查平行的判定，也通过这道题规范孩子们的书写过程，也通过这道题规范孩子们的书写过程，也通过这道题规范孩子们的书写过程，这种题型也是这种题型也是各学校的必考题型．如图，已知EF BC ^，C Ð1=Ð，Ð2+Ð3=180°．证明：AD BC ^．【解析】C Ð1=ÐQ ，（已知）\GD//AC ，（同位角相等，两直线平行） \CAD Ð=Ð2．（两直线平行，内错角相等）A CD BF EABCDEFG123又Ð2+Ð3=180°Q ，（已知）\CAD Ð3+=Ð180°．（等量代换）\AD//EF ，（同旁内角互补，两直线平行） \ADC EFC Ð=Ð．（两直线平行，同位角相等）EF BC ^Q ，（已知） ADC \Ð=90°，\AD BC ^．【提示】平行的性质和判定结合，时间可以留长点．请你分析下面的题目，从中总结规律，填写在空格上，并选择一道题目具体书写证明． （1）如图5-1，已知：AB//CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分AME Ð，CNE Ð．求证：MG//NH ．从本题我能得到的结论是：_____________．（2）如图5-2，已知：AB//CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分BMF Ð，CNE Ð．求证：MG//NH ．从本题我能得到的结论是：_____________．（3）如图5-3，已知：AB//CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分AMF Ð，CNE Ð，相交于点O ．求证：MG NH ^．从本题我能得到的结论是：_____________________．图5-1 图5-2 图5-3【解析】（1）两直线平行，同位角的角平分线平行．A CG EB M H NDFOACGEB MHNDF A CG EBMHNDF（2）证明：∵AB//CD ，∴BMF CNE Ð=Ð，又∵MG ，NH 分别平分BMF Ð，CNE Ð，∴GMF BMFCNE HNM 11Ð=Ð=Ð=Ð22，∴MG//NH ， 从本题我能得到的结论是：两直线平行，内错角的角平分线平行． （3）证明：∵AB//CD ，∴AMF CNE Ð+Ð=180°，又∵MG ，NH 分别平分AMF Ð，CNE Ð， ∴GMF HNE AMF CNE 11Ð+Ð=Ð+Ð=90°22，∴MON GMF HNE Ð=180°-Ð-Ð=90°，∴MG NH ^．从本题我能得到的结论是：两直线平行，同旁内角的角平分线垂直．【提示】平行线的性质和判定相结合，练习平行线倒角．二、平行线的构造（1）如图6-1，已知直线a//b ，Ð1=40°，Ð2=60°，则Ð3等于_________．（2）如图6-2，l 1//l 2，Ð1=120°，=Ð2100°，则Ð3=_________．（3）如图6-3，AB//CD ，ABE Ð=120°，ECD Ð=25°，则E Ð=_________．图6-1 图6-2 图6-3【解析】（1）100°；（2）40°；（3）85°．321b aED CBAl 1l 2321【提示】练习基础的平行线倒角模型：铅笔模型和猪蹄模型．（1）如图7-1，AB//CD ，BAFEAF 1Ð=Ð3，FCD ECF 1Ð=Ð3，AEC Ð=128°，则AFC Ð的度数为________．（2）如图7-2，已知：AB//CD ，ABP Ð和CDP Ð的平分线相交于点E ，ABE Ð和CDE Ð的平分线相交于点F ，BFD Ð=54°，则BPD Ð=________，BED Ð=________．图7-1 图7-2【解析】（1）58°；（2）144°；108°． 【提示】铅笔模型和猪蹄模型综合．（1）如图8-1，AB//CD ，A Ð=32°，C Ð=70°，则F Ð=________．（2）如图8-2，AB//CD ，E Ð=37°，C Ð=20°，则EAB Ð的度数为________．图8-1 图8-2【解析】（1）38°；（2）57°． 【提示】铅笔模型和猪蹄模型的变形．EF A BPCDFD CBEAED CBA如图，直线AC//BD ，连结AB ，直线AC 、BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定线上各点不属于任何部分，规定线上各点不属于任何部分，当动点当动点P 落在某个部分时，落在某个部分时，连结连结P A 、PB ，构成PAC Ð，APB Ð，PBD Ð三个角。
北师大版七年级下数学第二章《相交线与平行线》全套教案
1北师大版七年级下数学第二章《相交线与平行线》教案 《2.1两条直线的位置关系》教案一：教学目标1、掌握两条直线平行与垂直的条件；2、会运用条件判断两直线是否平行或垂直；3、能运用条件确定两平行或垂直直线的方程系数.二：教学重点、难点两条直线平行与垂直的条件， 两条直线平行与垂直的条件的应用.三：教学设计（一）情景引入A ：两条直线位置关系当中平行为简单；现在我们来研究平面内两条直线平行的关系. ①先入为主的思想；在研究直线问题时首先考虑特殊情况：α=90°时，画图.这个情况很简单：当α=90°时只要x 1≠x 2，则两条直线平行.②一般情况：α≠90°时，则k 存在，∴y 1=kx +b 1 y 2=kx +b 2已知直线l 1，l 2的斜截式方程为：l 1：y =k 1x +b 1 l 2：y =k 2x +b 2，若l 1//l 2，则有α1=α2且b 1≠b 2，∴tan α=tan α [α1∈[0，180°），α2∈[0，180°）]∴k 1=k 2反之，是否成立？若k 1=k 2且b 1≠b 2则有tan α=tan α，∵0≤α1，α2＜π，∴α1=α2且b 1≠b 2，∴l 1//l 2结论一：①特殊情况：若两条直线l 1，l 2斜率都不存在也不重合，则两直线l 1，l 2平行； ②有斜率的两条直线l 1//l 2 <=> k 1=k 2且b 1≠b 2∴判断不重合的两条直线平行的程序：两条直线方程——两条直线斜率都不存在且不重合→平行.两条直线方程——化为斜截式方程→求两条直线斜率.若k 1=k 2且b 1≠b 2→平行若k 1≠k 2→相交或者若A 1B 2≠B 1A 2且B 1C 2≠B 2C 1或A 1B 2=A 2B 1且A 1C 2≠A 2C 1 则两条直线平行.例1：已知两条直线l 1:4x +2y -7=0，l 2:2x -y -5=0求证l 1∥l 212122∵l 1的斜率为，l 2的斜率为 ∴k 1=k 2∴l 1∥l 2 例2：求过点A （1，-4）且与直线2x +3y +5=0平行的直线的方程？解：已知直线的斜率为-，因为所求直线与已知直线平行，因此它的斜率也是-. 根据点斜式，得到所求直线的方程是：y +4=-（x -1）即2x +3y +10=0 例3：如果直线ax +2y +2=0与3x -y -2=0平行，那么系数a =（）A .3B .-6C .-D . 例4：求与直线3x +4y +1=0平行，且在两坐标轴上截距之和为的直线l 的方程？ 法一：设直线方程为3x +4y +m =0，交x 轴于点（-，0）交y 轴于点（0，-），由题意可得（-）+（-）=即m =-4， ∴所求直线l 的方程为3x +4y -4=0， 法二：设直线方程为+=1， ∴a +b =，-=-，可得a =，b =1， ∴所求直线l 的方程为3x +4y -4=0B ：平时我们已经理解了；接下来我们来研究两直线相互垂直的关系.①同样的先考虑特殊情况：若已知一条直线的倾斜角为90°，x =x 1，则求其另一条与它垂直的直线方程.②一般情况：若已知两条直线l 1:y =k 1x +b 1，l 2:y =k 2 x +b 2，相互垂直则k 1与k 2有何关系？ α+（π-β）= ∴α-β=- ∴β=α+ 21213232322332373m 4m 3m 4m 37a x b y 37a b 43342π2π2π3tan β=tan （α+）=-cot α ∴tan α·tan β=tan α·（-cot α）=-1∴最后我们得证:若两条直线垂直则k 1k 2=-1.③α=90°时=>β=0°（特殊情况）k 1=0，k 2不存在.或者k 1不存在，k 2=0.例4:已知直线l 1：ax -y +2a =0与l 2：（2a -1）x +ay +a =0互相垂直，求a 的值一、①当α=90°即a =0时，l 2：x =0 ∴l 1：y =0 ∴l 1⊥l 2②当α≠90°则k 1·k 2=a ·（-）=-1 ∴a =1 二、A 1A 2+B 1B 2=0 =>a （2a -1）-a =0 2a ²-2a =0 =>a =1或a =0例5：求与3x +4y +1=0平行，且在两坐标轴上截距之和为7/3的直线l 的方程.（一）设直线方程为3x +4y +m =0，交x 轴于点（-，0）交y 轴于点（0，-） ∴（-）+（-）= ∴m =-4∴所求直线l 的方程为3x +4y -4=0（二）设直线方程为+=1 =>a +b =；-=-=>a =，b =1 ∴l ：3x +4y -4=0例6：已知三角形两条高线为x +y =0和2x -3y +1=0且一个顶点C （1，2），求三角形AC ，BC 边所在直线的方程.∵AC ，BC 与两条高线垂直∴AC ，BC 的斜率为1和- ∴边AC ，BC 所在直线的方程为y -2=1（x -1），y -2=-（x -1） 即x -y +1=0，3x +2y -7=0《2.2探索直线平行的条件》教案一、导学目标1.使学生能够熟练识别同位角；2πaa )12(-3m 4m 3m 4m 37a xb y 37a b 433423232.使学生会用同位角相等判定二条直线平行.二、重点难点1.重点（1）识别同位角.（2）用同位角相等判定二条直线平行.2.难点用同位角相等判定二条直线平行.三、导学过程一、自主学习：操作---观察---探索如图：3根木条（或硬纸条）相交成∠1、∠2，固定木条b、c，转动木条a.问：1.在木条a的转动过程中，木条a、b的位置关系发生了什么变化？∠2与∠1的大小关系发生了什么变化？2.改变图中∠1的大小，按照上面的方式再试一试，当∠2与∠1的大小满足什么关系时，木条a与木条b平行？二、合作探究：活动一：利用平移三角尺的方法画平行线，探索直线平行的条件.当∠1与∠2相等，直线a、b就；当∠1与∠2不相等时，直线a、b平行吗？活动二：通过观察、比较，认识“同位角”，探索直线平行的条件.直线a、b被第三条直线c所截而成的8个角中，像∠1与∠2这样的一对角称为.请问图中还有没有其他的同位角？4归纳：相等，两直线.活动三：例题讲解.例：如图，∠1=∠C，∠2=∠C，请找出图中互相平行的直线，并说明理由.三、拓展提高：1.∠1与∠C、∠2与∠B、∠ 3与∠ C分别是哪两条直线被哪一条直线截成的同位角？2.如图，直线a、b被直线c所截，∠1=35°，∠2=145°，问：直线a与b平行吗？四、达标检测：1.如图，∠1与∠B是直线和被直线所截构成的同位角；∠2与∠A直线和被直线所截构成的同位角.2.如图，∠1、∠2、∠3中，和是同位角.3.如图，如果∠B=∠1，根据，那么可得DE//BC；如果∠B=∠2，根据同位角相等，两直线平行，那么可得// .4.如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，如果∠BMN＝∠DNF，∠1＝∠2，那么MQ∥NP，为什么？AB CD EF13256《2.3平行线的性质》教案教学目标：理解平行线的性质的推导，掌握平行线的性质.教学重点：平行线的性质以及应用.教学难点：平行线的性质公理与判定公理的区别.教学过程：一、梳理旧知，引出新课平行线的判定：判定方法1、同位角相等，两直线平行.判定方法2、内错角相等，两直线平行.判定方法3、同旁内角互补，两直线平行.问题：反过来也成立吗？过去我们学过：如果两个数的和为0，这两个数互为相反数.反过来，如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为0.这两个句子都是正确的.现在换一个例子：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.它是对的.反过来，如果两个角相等，这两个角是对顶角.对吗？再看下面的例子：“如果一个整数个位上的数字是5，那么它一定能够被5整除.”对吗？这句话反过来怎么说？对不对？【结论】如果一个句子是正确的，反过来说（因果对调），就未必正确.二、动手操作，归纳性质上一节课，我们学过：同位角相等，两直线平行.反过来怎么说？它还是对的吗？（板书）性质1、两直线平行，同位角相等.P Q M N21F ED C B A7如果把平行线性质1：“两直线平行，同位角相等”看作是基本事实（公理），我们可以利用这个公理证明平行线性质2：“两直线平行，内错角相等”.【例】如图，已知：直线a 、b 被直线c 所截，且a ∥b ，求证：∠1=∠2.证明：∵a ∥b ，∴∠1=∠3（__________________）.∵∠3=∠2（对顶角相等），∴∠1=∠2（等量代换）.（板书）性质2、两直线平行，内错角相等【变式】下面我们来证明平行线的性质3：两直线平行，同旁内角互补.请模仿范例写出证明.如图，已知：直线a 、b 被直线c 所截，且a ∥b ，求证：∠1+∠2=180º.证明：（略）（板书）性质：两直线平行，同旁内角互补三、巩固新知，深化理解例1、如图，平行线AB ，CD 被直线AE 所截.（1）从∠1=110º．可以知道∠2是多少度吗？为什么？（2）从∠1=110º可以知道∠3是多少度吗？为什么？（3）从∠1=110º可以知道∠4是多少度吗？为什么？例2、如图，已知AB ∥CD ，AE ∥CF ，∠A = 39°，∠C 是多少度？为什么？ab1 2 3 c ab 1 23c ED CB A12348方法一解：∵AB ∥CD ， ∴ ∠C=∠1．∵ AE ∥CF ，∴ ∠A=∠1．∴ ∠C=∠A ．∵∠A = 39º，∴∠C = 39º．方法二解：∵AB ∥CD ，∴ ∠C=∠2.∵ AE ∥CF ，∴ ∠A=∠2.∴ ∠C=∠A .∵∠A = 39º，∴∠C = 39º．练习1：如图，已知直线a 、b 被直线c 所截，在括号内为下面各小题的推理填上适当的根据： （1）∵a ∥b ，∴∠1=∠3（___________________）；（2）∵∠1=∠3，∴a ∥b （_________________）.（3）∵a ∥b ，∴∠1=∠2（__________________）；（4）∴a ∥b ，∴∠1+∠4=180º（_____________________________________）（5）∵∠1=∠2，∴a ∥b （___________________）；（6）∵∠1+∠4=180º，∴a ∥b （_______________）.练习2：教材第51页 随堂练习四、盘点收获，布置作业1、（1）平行线的性质是什么？（2）你能用自己的语言叙述研究平行线性质的过程吗？（3）性质2和性质3是通过简单推理得到的，在推理论证中需要注意哪些问题？2、作业G FED C B Aa b12 3 c 49《2.4用尺规作角》教案教学目的：1、经历尺规作角的过程，进一步培养学生的动手操作能力，增强学生的数学应用和研究意识.2、能按作图语言来完成作图动作，能用尺规作一个角等于已知角.教学重点：能按作图语言来完成作图动作，能用尺规作一个角等于已知角.教学难点：作图步骤和作图语言的叙述，及作角的综合应用.教学过程：一、问题的提出如图，要在长方形木板上截一个平行四边形，使它的一组对边在长方形木板的边缘上，另一组对边中的一条边为AB .（1）请过点C 画出与AB 平行的另一条边.（2）如果你只有一个圆规和一把没有刻度的直尺，你能解决这个问题吗？二 、新课内容一：（请按作图步骤和要求操作，别忘了留下作图痕迹）（一） 用尺规作一个角等于已知角.（1）已知：∠AOB求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB（2）已知：∠10求作：∠AOB ，使∠AOB=∠（二）用尺规作一个角等于已知角的倍数：（3）已知：∠1求作：∠MON ，使∠MON=2∠1∠COD ，使∠COD=3∠1（三）用尺规作一个角等于已知角的和：（4） 已知：∠1、∠2、∠3求作：①∠AOB ，使∠AOB=∠1+∠2②∠POQ ，使∠POQ=∠1+∠2+∠3③∠MON ，使∠MON=2∠1+∠2（四）用尺规作一个角等于已知角的差：已知：∠、∠、∠求作：①∠AOB ，使∠AOB=∠－∠②∠POQ ，使∠POQ=∠－∠－∠③求作一个角，使它等于2∠－∠（五） 综合练习：（通过以下练习，意味着你掌握了作角的真本领，多动一下脑筋，你一定会完成得很出色的）1、已知：线段AB 、 ∠、∠αα1αβγαβγαβαβγβγαβ13211求作：分别过点A 、点B 作∠CAB=∠、∠CBA=∠2、如图，点P 为∠ABC 的边AB 上的一点，过点P 作直线EF//BC .3、已知：直线L 和L 外一点P ，求作：一条直线，使它经过点P ，并与已知直线L 平行.4、已知：△ABC ，求作：直线MN ，使MN 经过点A ，且MN//BC .5、如图，以点B 为顶点，射线BA 为一边，在∠ABC 外再作一个角，使其等于∠ABC .（六）小结（七）作业αβLA αβ。
北师大版七年级数学下册-第二章相交线与平行线同步串讲
· M
A · N
B
八．点到直线的距离
1.
2. 3.
定义：从直线外一点到这条直线的垂线段的 长度叫做点到直线的距离。 距离是一个数量；垂线段是一个图形。二者 不能混为一谈。 常见错误：“作出点到直线的距离”就是错 误的表述。
【例8】∠ACB＝∠BDC=90°则：
① ② ③ ④ ⑤ 点A到直线BC的距离是（ 点A到直线CD的距离是（ 点B到直线AC的距离是（ 点B到直线CD的距离是（ 点C到直线AB的距离是（
1. 2. 3. 余角的性质：同角或等角的余角相等。 补角的性质：同角或等角的补角相等。 每个性质包含了两个两个“不同的性质”。 同角和等角符号语言中的条件是不同的。 举例：符号语言叙述“四个”性质。
（同角） （等角）
4.
∵∠B是∠A的补角；∠C是∠A 的补角。∴∠B＝∠C ∵∠A=∠B，∠C是∠A的补角，∠D是∠B的补角∴∠C=∠D
2. 3. 4.
【例7】在平面内，下列语句错误的是（
）
A. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 B. 垂直于已知线段，并且经过这条线段中点的 线段只有一条。 C. 垂直于已知直线的垂线只有一条。 D. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 垂线段最短。
【练习】一汽车在笔直的公路上由A向B行驶， M、N为位于公里两侧的两所学校，当汽车 行驶到何处时，对两所学校的影响最大， 在图点标出来。
内蒙古包头瑞星教育原创精品课件——版权所有
第二章 相交线与平行线
七年级（下册）
点→线（两点定线）→角（两线）→（面）图→体
学习几何 基本规律
一个图（三角形、四边形---）形的定义，性质，判定
两个图形之间的关系：全等、相似、对称、位似----
02初中数学七年级下册 相交线,垂线(提高)知识讲解
初中数学七年级下册相交线，垂线（提高）知识讲解【学习目标】1.了解两直线相交所成的角的位置和大小关系，理解邻补角和对顶角概念，掌握对顶角的性质；2.理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算.【要点梳理】知识点一、邻补角与对顶角1．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．要点诠释：(1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180°．(2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角．(3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．(4)邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边；另一边互为反向延长线.2.对顶角及性质：（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．（2）性质：对顶角相等．要点诠释：(1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角．(2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.邻补角①两条直线相交而成；②有一个公共顶点；③有一条公共边.邻补角互补. 的.1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．要点诠释：(1)记法：直线a与b垂直，记作：a b⊥；直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O.(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：90AOC∠=°判定性质CD⊥AB．2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．要点诠释：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．3．垂线的性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．要点诠释：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．4．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．要点诠释：（1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 【典型例题】类型一、邻补角与对顶角1．如图所示，AB 和CD 相交于点O ，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOD ，试说明OM 和ON 成一条直线。
北师大版七年级下册数学第2章(相交线和平行线)章末总结
《相交线与平行线》章末总结【知识点】一．余角和补角如果两个角的和为90°(或直角)，那么这两个角互为余角； 如果两个角的和为180°(或平角)，那么这两个角互为补角.注意：这两个概念都是对于两个角而言的，而且两个概念强调的是两个角的数量关系，与两个角的相互位置没有关系．它们的主要性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等．二．平行的条件及平行线的特征①同位角相等 ⇔ 两直线平行； ②内错角相等 ⇔ 两直线平行； ③同旁内角互补 ⇔ 两直线平行．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线______. 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_____________________. 设a 、b 、c 为平面上三条不同直线，若//,//a b b c ，则a 与c 的位置关系是_________； 若,a b b c ⊥⊥，则a 与c 的位置关系是________； 若//a b ，b c ⊥，则a 与c 的位置关系是________．三．用尺规作线段和角尺规作图是指只用圆规和没有刻度的直尺来作图．直尺的功能是：在两点间连接一条线段；将线段向两方向延长．圆规的功能是：以任意一点为圆心，任意长度为半径作一个圆；以任意一点为圆心，任意长度为半径画一段弧．【提高练习】1．如右图所示，点E 在AC 的延长线上，下列条件中能判断．．．CD AB //的是( )A. 43∠=∠B. 21∠=∠C. DCE D ∠=∠D. ο180=∠+∠ACD D2．一学员练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( )E DC BA4321EDCBAEDBC′FCD ′A图7CAE B FD图81 23图9A. 第一次向左拐ο30，第二次向右拐ο30B. 第一次向右拐ο50，第二次向左拐ο130 C. 第一次向右拐ο50，第二次向右拐ο130 D. 第一次向左拐ο50，第二次向左拐ο130 3．两条平行直线被第三条直线所截，下列命题中正确．．的是( ) A. 同位角相等，但内错角不相等 B. 同位角不相等，但同旁内角互补 C. 内错角相等，且同旁内角不互补 D. 同位角相等，且同旁内角互补 4．下列说法中错误．．的个数是( ) (1)过一点有且只有一条直线与已知直线平行． (2)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种． (4)不相交的两条直线叫做平行线．(5)有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 5．下列说法中，正确．．的是( ) A. 图形的平移是指把图形沿水平方向移动 B. 平移前后图形的形状和大小都没有发生改变 C. “相等的角是对顶角”是一个真命题 D. “直角都相等”是一个假命题 6．如右图，CD AB //，且ο25=∠A ，ο45=∠C ，则E ∠的度数是( ) A. ο60 B. ο70 C. ο110 D. ο807、如图7，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED ′的度数为 ．8、如图8，直线AB CD 、相交于点E ，DF AB ∥．若100AEC ∠=°，则D ∠等于 ． 9、如图9，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130250∠=∠=°，°，则3∠的度数等于 ．10、如图10，已知AB ∥CD ，若∠A=20°，∠E=35°，则∠C 等于 ．.300PFEBA CDAB DC1 23 11、如图11，12//l l ，∠1=120°，∠2=100°，则∠3= ．12、如图12，已知AC ∥ED ，∠C =26°，∠CBE =37°，则∠BED 的度数是 ．图10 图11 图1213、如图13，AB ∥CD ，∠ABE ＝66°，∠D ＝54°，则∠E 的度数为_______________．14、如图14，AB//CD ，直线EF 与AB 、CD 分别相交于E 、F 两点，EP 平分∠AEF ，过点F 作FP ⊥EP ，垂足为P ，若∠PEF=300，则∠PFC=__________．15、如图15，1502110AB CD ∠=∠=∥，°，°，则3∠= ． 16、如图16，已知//AE BD ，∠1=130o ，∠2=30o ，则∠C = ．图13 图14 图15 图1617、如图，AB ∥DE ，试问∠B 、∠E 、∠BCE 有什么关系．解：∠B ＋∠E ＝∠BCE 过点C 作CF ∥AB ，则B ∠=∠____( ) 又∵AB ∥DE ，AB ∥CF ，∴____________( ) ∴∠E ＝∠____( ) ∴∠B ＋∠E ＝∠1＋∠2 即∠B ＋∠E ＝∠BCE ．18．如图，AB ∥CD ，∠1＝115°，∠2＝140°，求∠3的度数．19. ⑴如图，已知∠1＝∠2 求证：a ∥b ； ⑵直线//a b ，求证：12∠=∠．20. 阅读理解并在括号内填注理由：如图，已知AB ∥CD ，∠1＝∠2，试说明EP ∥FQ ． 证明：∵AB ∥CD ，∴∠MEB ＝∠MFD ( ) 又∵∠1＝∠2，∴∠MEB －∠1＝∠MFD －∠2， 即 ∠MEP ＝∠______∴EP ∥_____．( )21、已知DB ∥FG ∥EC ，A 是FG 上一点，∠ABD ＝60°，∠ACE ＝36°，AP 平分∠BAC ， 求：⑴∠BAC 的大小；⑵∠PAG 的大小.22. 如图，已知ABC ∆，AD BC ⊥于D ，E 为AB 上一点，EF BC ⊥于F ，//DG BA 交CA 于∠=∠.G. 求证1223. 已知：如图∠1=∠2，∠C=∠D，问∠A与∠F相等吗? 试说明理由．360．24．已知AB//CD，试问∠B+∠BED+∠D=︒B AED C 25．如图2-101，已知∠BED=∠ABE+∠CDE，那么AB//CD吗? 为什么?26．如图2-102，在折线ABCDEFG中，已知∠1=∠2=∠3=∠4=∠5，延长AB，GF交于点M．那么，∠AMG=∠3，为什么?27．如图2-103，已知AB//CD，∠1=∠2．试问∠BEF=∠EFC吗? 为什么?(提示：作辅助线BC)．28. 如图2-104，AB//CD，在直线，AB和CD上分别任取一点E、F．已知有一定点P在AB、CD之间，试问∠EPF=∠AEP+CFP 吗? 为什么?29 如图2-106，AB//CD ，BEFGD 是折线，那么∠B+∠F+∠D=∠E+∠G 吗? 简述你的理由．30、如图2-107，已知∠1=∠2=∠3，∠GFA=︒36，∠ACB=︒60，AQ 平分∠FAC ，求∠HAQ 的度数．。
上海市初中数学2019-2020学年七年级数学同步学案相交线的深度学习之二
上海市初中数学2019-2020学年度七年级数学同步教学案相交线深度学习之二1．相交线在同一平面内，两条相交线只有一个交点．2．邻补角(1)如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，这两个角互为邻补角．如图所示，1∠与2∠、2∠与3∠、3∠与4∠、4∠与1∠互为邻补角．(2)邻补角的特征：①位置关系互为邻角（一边公共）；②数量关系互补（即和为180°）．而互为补角的的两个角仅要求数量关系上互补，对位置没有要求．3．对顶角(1)若一个角的两条边分别是另一个角两条边的反向延长线，那么着两个角互为对顶角， 1∠与3∠、2∠与4∠都是对顶角．(2)对顶角的性质：对顶角相等， 1∠＝3∠、2∠＝4∠．4．垂线与斜线：(1)夹角：两条直线相交形成四个小于平角的角，其中不大于直角的角叫做这两条直线的夹角．(2)斜线：如果两条直线的夹角为锐角，那么就说这两条直线互相斜交，其中一条直绒叫做另一条直线的斜线．(3)垂直：如果两条直线的夹角为直角，那么就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．5．垂线的性质：(1)过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．这条性质中提到了“有且只有”，也就是说，过直线上或直线外一点，可以作这条直线的一条垂线，并且只能作一条．(2)在联结直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段（联结直线外一点与垂足形成的线段）最短．直线外一点到这条直线的垂线段只有一条，而斜线段有无数条．这些线段中，最短的线段是垂线段，如图所示，在,,,PA PB PC PD 中，PD 最短．6．线段的垂直平分线过线段中点且垂直于这条直线的直线叫做这条直线的垂直平分线，简称中垂线．如图，若EF AB ⊥，垂足为O ．且AO BO =，则称EF 为线段AB 的垂直平分线，反之，若EF 为线段AB 的垂直平分线，则有AO BO =．7．点到直线的距离(1)联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．(2)直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离．特别的，如果一个点在直线l 上，那么就说这个点到直线l 的距离为0．【注意】直线外一点到这条直线的距离是垂线段的长度，是一个正数，不能把垂线段说成是距离，要注意“两点间的距离”和“点到直线的距离”两个概念的区别和联系．8．同位角、内错角、同旁内角的概念如图所示，直线a 和b 被第三条直线c 所截，构成八个角，简称“三线八角”．(1)同位角．1∠和5∠分别在直线a ，b 相同的一侧，并且位于直线c 的同旁，具有这样位置关系的一对角叫做同位角．(2)内错角．3∠与5∠都在直线a ，b 之间，并且位于直线c 的两旁，具有这样位置关系的一对角叫做内错角．(3)同旁内角，4∠与5∠都在直线a ，b 之间，并且位于直线c 的同旁，具有这样位置关系的一对角叫做同旁内角．【注意】①这三类角都是成对出现的；②这三类角必须是两直线被第三条直线所截而成的；③每对角的顶点都不相同．9．同位角、内错角、同旁内角的图形特点和判定方法图形特点：(1)同位角．如下图所示的各个图形中的1∠与2∠都是同位角．总结：成“F ”形．(2)内错角．如下图所示的各个图形中的1∠与2∠都是内错角．总结：成“Z ”形．(3)同旁内角．如下图所示的各个图形中的1∠与2∠都是同旁内角．总结；成“U ”形．判定方法：在判定同位角、内错角、同旁内角时应注意以下两点：(1)位置特点：同位角都在两直线的上方（或都在下方），且都在第三条直线的同侧；内错角和同旁内角都在两直线之间，内错角分别在第三条直线两侧，同旁内角在第三条直线同侧．(2)图形特点：同位角形如“F ”，内错角形如“Z ”，同旁内角形如“U ”，另外，这三类角中，不管是哪一类，都只涉及到三条直线，如果两个角的两边分别在四条或两条直线上．那么就不属于这三类角．【典型例题讲解】【例1】小猴出的算题：小猴居猴山，拦网警示游客：朋友不准入内！但请测得α角（如下图）．【分析】游客莫入是条件，请测α角是结论，则请设法在网外测α角．【解析】如图①所示，作射线OB 的反向延长线OC ，那么OB 、OC 在一直线上，所以COB ∠是一平角，根据“邻补角”的意义有180AOB AOC ∠+∠=︒．因此只要在网外测得AOC ∠的度数，即得网内AOB ∠的度数．这样既测得了α角，又考虑了游客莫入的条件．【方法总结】本题也可利用“对顶角相等”的知识求得AOB ∠的度数，如图②所示，反向延长射线OA 、OB 得射线OA '和OB '，则AOB ∠与A OB ''∠是一组对顶角，根据“对顶角相等”，得A OB AOB α''∠=∠=∠，其中A OB ''∠'的度数可在网外测得．【例2】如图一所示，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分BOD ∠，若:8:1AOD EOB ∠∠=，求AOC ∠度数．图一 图二【分析】求AOC ∠的度数，根据“对顶角相等”，即求DOB ∠的度数．由题设可先求出EOB ∠的度数，再求DOB ∠的度数．【解析】如图二所示，因为:8:1AOD EOB ∠∠=，设EOB x ∠=，则8AOD x ∠=，因为OE 平分BOD ∠，所以DOE EOB x ∠=∠=．又AB 是直线，则180AOB ∠=︒（平角的意义），所以8180x x x ++=︒，解方程，得18x =︒，所以236DOB x ∠==︒，又AB 、CD 直线相交于点O ，那么AOC DOB ∠=∠(对顶角相等)，所以36AOC ∠=︒．【方法总结】解几何计算题，常可把几何问题转化为与方程有关的问题，通过解方程求得结论．【借题发挥】如图所示，已知直线AB 、CD 相交于点O ，90EOC AOF ∠=∠=︒，60AOC ∠=︒，求,,EOA COF COB ∠∠∠及BOD ∠的度数．【分析】将题中已知条件标注在图中，一般讲，标注时，凡是有具体数据则将数据标上，凡是有数量关系的则用特殊记号标出，如图所示，如EOC ∠、AOF ∠标注90︒、AOC ∠标注60︒，在此基础上标出可利用已掌握的数学知识推出的一些简单结论，如COB ∠的度数和,,EOA COF BOD ∠∠∠的度数．【解析】因90EOC AOF ∠=∠=︒（已知），60AOC ∠=︒（已知）， 所以906030EOA ∠=︒-︒=︒（互为余角的意义），906030COF ∠=︒-︒=︒（互为余角的意义）， 因为AB 是直线，所以180AOB ∠=︒（平角的意义），所以18060120COB ∠=︒-︒=︒（邻补角的意义）．因为AB 、CD 两直线相交于点O ．所以60BOD AOC ∠=∠=︒（对顶角的意义）．综上所述： 30,30,120,60EOA COF COB BOD ∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒．【方法总结】标注图形是解好几何图形题目的重要手段，标注图形的过程也是推理思维过程，它常常起到；事半功倍的效果，读者不妨试用（如图所示）．【例3】如图所示，直线EF 和直线CD 相交于点B ，90ABC ∠=︒．BF 平分ABD ∠，将FBD ∠绕点B 逆时针旋转175︒．BF 、BD 分别旋转至BF '、BD '，求ABF '∠的度数．【分析】FBD ∠绕点B 逆时针旋转175︒，则夹FBD ∠的两边同时绕点B 逆时针旋转175︒，结合周角为360︒来解题．【解析】 Q 180ABC ABD ∠+∠=︒（邻补角的意义）∴1801809090ABD ABC ∠=︒-∠=︒-︒=︒Q BF 平分ABD ∠∴1452FBA ABD ∠=∠=︒ Q FBD ∠绕点B 逆时针旋转175︒，BF 旋转至BF ' ∴/FBF =175。
七年级数学下册-相交线与平行线
第2讲相交线与平行线知识导航1．三线八角．2．平行线与平行公理．3．平行线的判定．4．平行线的性质．5．平移．【板块一】平行线的判定◆题型一三线八角方法技巧1．两条直线被第三条直线所截形成的8个角中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．2．同位角形如字母“F"(或倒置、反置)；内错角形如字母“Z”(或反置)；同旁内角形如字母“U”(或倒置、反置)．3．三种角讲的都是位置关系，而不是大小关系，通常情况下，其大小是不确定的．【例1】在∠1至∠8这8个角中，同位角、内错角、同旁内角各有几对，请分别写出来．87654321◆题型二平行公理及其推论方法技巧(1)平行公理体现了平行线的存在性和唯一性，平行公理的推论体现了平行线的传递性，它们都可以作为以后推理的依据．(2)平行公理中强调“经过直线外一点”，而垂线性质中只要求“经过一点”，不限定点是否在直线上．【例2】下列说法中正确的是(B)．A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行B．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．因为a∥b，c∥d，所以a∥dD．一条直线的平行线只有一条◆题型三平行线的判定——两步导角证平行方法技巧1.已知角相等导角证平行.2.通过角的数量关系证平行.3.通过同角(等角)的余角相等，对顶角相等，角平分线得等角，再证平行.【例3】如图，已知CD平分∠ACB，∠1＝∠2，试判断AC与DE的位置关系，并说明理由.E DC BA21◆题型四 平行线的判定方法＋平行公理推论证平行 【例4】如图，∠A ＋∠B ＝180°，∠EFC ＝∠DCG ，试说明：AD ∥EF .GF ED CBA◆题型五 作辅助线证折线中的平行关系 方法技巧有些平行线的证明，无法直接导出相等角，此时考虑连线或作平行线转化角.【例5】如图，在长方形ABCD 中，点E 在BA 的延长线上，点F 在BC 的延长线上，AM 平分∠EAD ，CN 平分∠DCF .(1)直接写出图中∠ABC 的所有同位角；(2)求证：AM ∥CN .ABCDE FMN针对练习11.一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的方向与角度可能是( ) A.第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B.第一次向右拐50°，第二次向左拐130° C.第一次向右拐50°，第二次向右拐130° D.第一次向左拐50°，第二次向左拐130°2.平面上有2018条直线，若a 1⊥a 2，a 2⊥a 3，a 3∥a 4，a 4∥a 5，a 5⊥a 6，a 6⊥a 7，…，那么a 1和a 2018的位置关系是_________.3.如图，直线AB ，CD 被直线EF 所截，∠1＝∠2，∠CNF ＝∠BME ，那么AB ∥CD ，MP ∥NQ ，请说明理由.QP N MFEDCB A124.如图，直线EF 与直线AB ，CD 分别相交于点M ，N ，直线PT 经过点M ，∠MQN ＝∠BMQ ＋∠QND ，∠AMT ＝∠QN D. (1)求证：МР∥NQ ；(2)АВ∥СD.Q P N MT FEDCBA5.在长方形ABCD 中.(1)如图1，若CD ＝3，BD ＝5，BC ＝4，AE ⊥BD 于点E ，P 是BD 上一动点，连接CP ，当CP 为何值时，CP ∥AE ?说明理由； (2)如图2，若∠ADB ＝20°，P 为BC 上一动点，将三角形ABP 沿AP 翻折到三角形AEP 位置，当∠BAP 等于多少度时AE ∥BD ?说明理由.图1图2P EDCBAABCDEP【板块二】平行线的性质◆题型一 利用平行线性质导角 方法技巧1.在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内错互补的结论，这是平行线特有的性质.2.利用平行线的性质构建等角链.【例1】如图，AF ∥CD ，CB 平分∠ACD ，BD 平分∠EBF ，且BC ⊥BD ，下列结论：①BC 平分∠ABE ；②AC ∥BE ；③∠CBE ＋∠D ＝90°；④∠DEB ＝2∠ABC ，其中结论正确的个数有哪些?说明理由.F EDCB A◆题型二 利用角平分线的性质与判定进行计算与证明 方法技巧利用已知得可知，思考结论看需知.【例2】如图，DC ∥FP ，∠1＝∠2，∠FED ＝30°，∠AGF ＝80°，FH 平分∠EFG . (1)说明：DC ∥AB ；(2)求∠PFH 的度数.PH GFED C BA 312◆题型三 平行线间的距离 方法技巧1.平行线间的距离处处相等.2.夹在两条平行线间的线段必须是和这两条平行线垂直，否则其长度不是两条平行线间的距离.3.夹在两平行线间的图形的等积变换.【例3】已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，连接AC ，BD 相交于点O . (1)图中有几对面积相等的三角形?(2)若AD 与BC 之间的距离为a ，AC ＝4，BD ＝5，求AD ＋BC 的最大值.(用a 表示)ODCB A◆题型四 命题 方法技巧(1)命题必须是一个完整的句子，而且这个句子必须对某件事情作出肯定或否定的判断，二者缺一不可.(2)命题的内容可以是几何的，也可以是代数的，还可以是生活中的事情，如“如果a ＝b ，那么a 2＝b 2”，“末位数字是0或5的数能被5整除”，“这支粉笔是红色的”等都是命题. (3)命题是判断句，而判断句可对可错，因而命题所描述的关系可真可假，如“相等的角都是对顶角”，这个判断虽是错的，但仍然是命题.(4)疑问句、具体操作都不是命题，如“今天是星期天吗?”就不是命题.【例4】判断下列语句是不是命题，如果是命题，写成“如果…，那么…”的形式，指出题设和结论，并指出是真命题还是假命题： (1)画直线AB ；(2)两直线相交，有几个交点? (3)等角的补角相等； (4)两点确定一条直线.针对练习21.如图，AD 与BC 交于点O ，点E 在AD 上，∠C ＝∠3，∠2＝80°，∠1＋∠3＝140°，∠A ＝∠D ，求∠B 的度数.OF E DC BA 3122.如图，点E 在AB 上，点F 在CD 上，EC 交AD 于点G ，BF 交AD 于点H ，已知∠A ＝∠AGE ，∠D ＝∠DG C. (1)试说明AB ∥CD ； (2)若∠1＋∠2＝180°，且∠BEC ＝2∠B ＋60°，求∠C 的度数.HG F E DC A 123.如图，点F 在CA 的延长线上，点E 在CD 的延长线上，已知AB ∥CD ，∠C ＝35°，AB 是∠F AD 的平分线，∠ADB ＝110°，求∠BDE 的度数.AB CD EF4.直线a 上有一点A ，直线b 上有一点B ，且a ∥b .点P 在直线a ，b 之间，若P A ＝3，PB ＝4，则直线a ，b 之间的距离( )A.等于7B.小于7C.不小于7D.不大于75.如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，垂足分别为C ，D 两点，∠1＝∠2，下列结论：①∠3＝∠EDB ；②∠A ＝∠3；③AC ∥DE ；④∠2与∠3互补；⑤∠1＝∠EDB ，其中正确的有( )A.2个B.3个C.4个D.5个ED CBA 3126.如图，在长方形内画了一些直线，已知其中有3块面积分别是12，32，52的三角形、三角形、四边形，那么图中阴影部分的面积是( ) A.108 B.96 C.84 D.727.如图1，将线段AB 平移至CD ，使点A 与点D 对应，点B 与点C 对应，连接AD ，B C. (1)填空：AB 与CD 的位置关系为_________，BC 与AD 的位置关系为___________； (2)点G ，E 都在直线DC 上，∠AGE ＝∠GAE ，AF 平分∠DAE 交直线CD 于点F . ①如图2，若G ，E 为射线DC 上的点，∠F AG ＝30°，求∠B 的度数；②如图3，若G ，E 为射线CD 上的点，∠F AG ＝α，求∠C 的度数(结果用含α的式子表示).DCBAG F E DCB图3图1图2ABC D EF G【板块三】阅读理解填空、解答题◆题型一 阅读理解填理由题 方法技巧看图，联系上下文，运用有关定理进行合理填空. 【例1】完成下列推理过程如图，M ，F 两点在直线CD 上，AB ∥CD ，CB ∥DE ，BM 、DN 分别是∠ABC 、∠EDF 的平分线，求证：BM ∥DN .NMFEDC BA312证明：∵BM 、DN 分别是∠ABC 、∠EDF 的平分线，∴∠1＝12∠ABC ，∠3＝__________(角平分线定义). ∵AB ∥CD ，∴∠1＝∠2，∠ABC ＝________（____________） ∵CB ∥DE ，∴∠BCD ＝________（____________）. ∴∠ABC ＝∠EDF ，∴∠1＝∠3， ∴∠2＝________（____________） ∴BM ∥DN （____________）◆题型二阅读理解和运用【例2】如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，某同学为了探究这两个角之间的关系，画出了以下两个不同的图形，请你根据图形完成以下问题：图2图1MFEDC BAM FE DCB A213312(1)如图1，如果AB ∥CD ，BE ∥DF ，那么∠1与∠2的关系是_________； 如图2，如果AB ∥CD ，BE ∥DF ，那么∠1与∠2的关系是_________；(2)根据(1)的探究过程，我们可得出结论：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角____________；(3)利用结论解决问题：如果有两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的3倍少60°，则这两个角分别是多少度?针对练习31.完成下面的证明：如图，点D 、E 、F 分别在线段AB 、BC 、AC 上，连接DE 、EF ，DM 平分∠ADE 交EF 于点M ，∠1＋∠2＝180°，求证：∠B ＝∠BE D.ME DCBA12证明：∵∠1＋∠2＝180°(已知)， 又∵∠1＋∠BEM ＝180°(平角定义)， ∴∠2＝∠BEM (___________)，∴DM ∥_________(_________________) ∴∠ADM ＝∠B (_________________) ∠MDE ＝∠BED (_________________) 又∵DM 平分∠ADE (已知)，∴∠ADM ＝∠MDE (角平分线定义)， ∴∠B ＝∠BED (_________________).2.探究：如图1，直线AB ，BC ，AC 两两相交，交点分别为点A ，B ，C ，点D 在线段AB 上，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ，过点E 作EF ∥AB ，交BC 于点F .若∠ABC ＝40°，求∠DEF 的度数.图1FE D CBA请将下面的解答过程补充完整.解：∵DE ∥BC (已知)，∴_________________(两直线平行，内错角相等) ∵EF ∥AB (已知)，∴∠ABC ＝∠EFC (_____________)， ∴∠DEF ＝∠ABC ＝40°(等量代换).应用：如图2，四边形BDEF 中，BF ∥DE ，DB ∥EF ，∠F ＝2∠D －50°，点C 在线段BF 上，若∠FCE ＝∠CEF ＋10°，求∠CEF 的度数.图2FEDCB【板块四】运用“中间等角”导角证两线平行◆题型一 利用同角或等角的余角(或补角)相等导角 方法技巧在已知条件为a ＋b ＝90°或a ＋b ＝180°的题目中，寻找第二对a ＋c ＝90°或a ＋c ＝180°，得出b ＝c .【例1】如图，已知直线AB ∥DF ，点G 在射线BC 上，射线DE 分别交AB 、AG 于点H 、M ，∠D ＋∠B ＝180°. (1)求证：DE ∥BC ； (2)如果∠AMD ＝80°，∠AHE ＝70°，∠EHB 与∠MGC 的平分线交于点P ，求∠HPG 的度数.ABCDEFGHMP◆题型二 运用等式的性质证角相等 方法技巧1.若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；2.若a ＝b ，则a ＋c ＝b ＋c .【例2】如图，点B 在AC 上，AB ∥EF ，∠1＝∠2，∠3＝∠4，AF 与BE 平行吗?为什么?3412FEDCB A◆题型三 反复运用平行线的判定与性质导角【例3】如图，点E 在AB 上，点F 在CD 上，∠1＝∠2，∠B ＝∠C ，求证：AB ∥C D.3412ABC DE F◆题型四 作适当的辅助线构造中间等角 方法技巧有些题目给出的等角的位置不是三线八角中的基本角，这时作适当的辅助线(连线，延长线或作平行线)来转化角.【例4】如图是一个汉字“互”字，其中点M 在AB 上，点N 在CD 上，点G 在ME 上，点F 在NH 上，GH ∥EF ，∠1＝∠2，∠MEF ＝∠GHN . 求证：(1)∠MGH ＝∠GHN ；(2)AB ∥C D.12A B C DEFG H MN题型三设两个未知数，列关系式求解 方法技巧题目中有两个独立未知角，一个已知方程不能求出未知角时，需列两个方程求解． 【例3】如图1，在五边形ABCDE 中，AE ∥BC ，∠A ＝∠C ． （1）猜想AB 与CD 之间的位置关系，并说明理由； （2）如图2，延长DE 至点F ，连接BE ，若∠1＝∠3，∠AEF ＝2∠2，∠AED ＝2∠C －140°，求∠C 的度数．图2图1ABCDE321FED BA题型四设两个未知数列一个方程巧解角的度数题目中有两个独立未知角，只有一个等戏，这时设两个未知数，列一个方程，巧解所求角． 【例4】已知AB ∥CD ，M ，N 分别是直线AB ，CD 上两点，点G 在AB ，CD 之间，连接MG ，NG ，点E 是AB 上方一点，连接EM ，EN ，且GM 的延长线平分∠AME ，NE 平分∠CNG ，2∠MEN ＋∠MGN ＝105°，求∠AME 的度数．NMGF E DCB A针对练习71．如图，AB ∥CD ，点E 在直线AB 上，点N ，F 在直线CD 上，PE 平分∠AEN ，FH ∥EN ，延长PF 到点G ，FG 平分∠DFH ，若∠PFC ＝∠AEP ＋10°，求∠BEN 的度数．HNPFE DCBA2．如图1，AC 平分∠DAB ，∠1＝∠2．（1）试说明AB 与CD 的位置关系，并予以证明；（2）如图2，延长AD ，BC 交于点G ，过点D 作DH ∥BC 交AC 于点H ，若AC ⊥BC ，问当∠CDH 多少度时，∠GDC ＝∠ADH ?图2图12121H GBD ACDCBA3．如图，已知AB ∥CD ，∠EBF ＝2∠ABF ，CF 平分∠DCE ，若2∠F －∠E ＝10°，求∠ABE 的度数．KFEACBD【板块八】分类讨论思想求角题型一 按照点的不同位置关系分类讨论求角 方法技巧点在运动过程中，由于点在线上的不同位置，产生不同的图形，需分类讨论． 【例1】已知AB ∥CD ，∠BAD ＝50°，点P 在直线AD 上，E 为UD 上一点 （1）如图1，当点P 在线段AD 延长线上时，求证：∠PEC －∠APE ＝130°；图1PE DCBA（2）如图2，当点P 在直线AD 上运动时（不与点A ，D 重合），求∠APE 与∠PEC 之间 的数量关系．题型二 按照线的不同位置关系分类讨论求角 方法技巧按照动线的不同位置来分类讨论求角．【例2】一个角为60°，另一个角的两边分别与这个角的两边平行，则这个角的度数为 ．题型三分类讨论求角之间的关系 方法技巧点在运动时，两个动角之间具有某种确定的数量关系，此时设未知数，探求它们之间的关系 【例3】如图，已知AB /CD 、BE 平分ABD ，DE 平分/BDC （1)求证：BE ⊥DE ;（2）H 是直线CD 上一动点（不与点D 重合），BI 平分∠HBD 交CD 于点I ，在图2或备用图中，请你画出图形，并猜想∠EBI 与∠BHD 的数量关系，且说明理由．图3图2图1ABCD EABCDEE DCBA针对练习81．如果两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的两倍少80°，则这两个角的度数分别是 ．2．如图，AB ∥CD ，直线EF 与直线AB ，CD 分别交于点E ，F ，∠BEF <150°，点P 为直线EF 左侧平面上一点，且∠BEP ＝150°，∠EPF ＝50°，则∠DFP 的度数是 ．FEDC BA3．(1)如图1，F 是OC 边上一点，求证：∠AFC ＝∠AOC ＋∠OAF ；（2）如图2，∠AOB ＝40°，OC 平分∠AOB ，点D ，E 在射线OA ，OC 上，点P 是射线OB 上的一个动点，连接DP 交射线OC 于点F ，设∠ODP ＝x °，若DE ⊥OA ，是否存在这样的x 的值，使得∠EFD ＝4∠EDF ?若存在，求出x 的值；若不存在，说明理由．备用图图2图1DBEC AAC EBDCF OA【板块九】平移题型一平移定义 方法技巧1．图形的平移必须具备两个要素：平移的方向与平移的距离．其中，平移的方向是平移前图形上的某一点到其对应点所指的方向；平移的距离是平移前图形上的某一点到其对应点之间的距离．2．平移只改变位置，形状与大小都不改变。
最新人教版七年级数学下册相交线与平行线试题(带答案)(二)解析
一、选择题1．为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MN 、QP 上分别放置A 、B 两盏激光灯，如图所示．A 灯发出的光束自AM 逆时针旋转至AN 便立即回转，B 灯发出的光束自BP 逆时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不间断照射，A 灯每秒转动30°，B 灯每秒转动10°，B 灯先转动2秒，A 灯才开始转动，当B 灯光束第一次到达BQ 之前，两灯的光束互相平行时A 灯旋转的时间是（ ）A ．1或6秒B ．8.5秒C ．1或8.5秒D ．2或6秒 2．如图，//AB CD ，PF CD ⊥于F ，40AEP ∠=︒，则EPF ∠的度数是（ ）A ．120︒B ．130︒C ．140︒D ．150︒3．给出下列说法： （1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；（2）不相等的两个角不是同位角；（3）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做该点到直线的距离；（5）过一点作已知直线的平行线，有且只有一条．其中真命题的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．如下图，在“A ”字型图中，AB 、AC 被DE 所截，则A ∠与4∠是（ ）A ．同位角B ．内错角C ．同旁内角D ．邻补角 5．如图，直线12//l l ，23216∠+∠=°，则1∠的度数为（ ）A ．216︒B ．36︒C ．44︒D ．18︒6．如图，两个直角三角形重叠在一起，将ABC 沿AB 方向平移2cm 得到DEF ，CH ＝2cm ，EF ＝4cm ，下列结论：①BH //EF ；②AD ＝BE ；③DH ＝CH ；④∠C ＝∠BHD ；⑤阴影部分的面积为6cm 2．其中正确的是（ ）A ．①②③④⑤B ．②③④⑤C ．①②③⑤D ．①②④⑤ 7．如果，直线//AB CD ，65A ∠=︒，则EFC ∠等于（ ）A ．105︒B ．115︒C ．125︒D ．135︒8．如图，//AB CD ，AC 平分BAD ∠，B CDA ∠=∠，点E 在AD 的延长线上，连接EC ，2B CED ∠=∠，下列结论：①//BC AD ；②CA 平分BCD ∠；③AC EC ⊥；④ECD CED ∠=∠．其中正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9．如图，////AF BE CD ，若140∠=︒，250∠=︒，3120∠=︒，则下列说法正确的是（ ）A ．100F ∠=︒B ．140C ∠=︒ C ．130A ∠=︒D ．60D ∠=︒ 10．如图，已知AB ∥CD ，BE 和DF 分别平分∠ABF 和∠CDE ，2∠E-∠F=48°，则∠CDE 的度数为( )．A ．16°B ．32°C ．48°D ．64°二、填空题11．如图，//AC BD ，BC 平分ABD ∠，设ACB ∠为α，点E 是射线BC 上的一个动点，若:5:2BAE CAE ∠∠=，则CAE ∠的度数为__________．（用含α的代数式表示）．12．一副三角尺按如图所示叠放在一起，其中点,B D 重合，若固定三角形AOB ，将三角形ACD 绕点A 顺时针旋转一周，共有 _________次 出现三角形ACD 的一边与三角形AOB 的某一边平行．13．如图，已知AB CD ∥，CE 、BE 的交点为E ，现作如下操作：第一次操作，分别作ABE ∠和DCE ∠的平分线，交点为1E ，第二次操作，分别作1ABE ∠和1DCE ∠的平分线，交点为2E ，第三次操作，分别作2ABE ∠和2DCE ∠的平分线，交点为3E ，…第n 次操作，分别作1n ABE -∠和1n DCE -∠的平分线，交点为n E ．若1n E ∠=度，那BEC ∠等于__________度．14．小明将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，他发现若∠ACE＝_____，则三角板BCE有一条边与斜边AD平行．15．如图，有两个正方形夹在AB与CD中，且AB//CD,若∠FEC=10°，两个正方形临边夹角为150°，则∠1的度数为________度(正方形的每个内角为90°)16．如图，已知直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，且∠1比∠2大4°，那么∠1＝______．17．一副三角板按如图所示（共定点A）叠放在一起，若固定三角板ABC，改变三角板ADE的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝___°时，DE∥AB．18．把一张对边互相平行的纸条，折成如图所示，EF 是折痕，若32EFB ∠=︒，则下列结论：（1）'32C EF ∠=︒；（2）148AEC ∠=︒；（3）64BGE ∠=︒；（4）116BFD ∠=︒．正确的有________个．19．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB ，CD ．若CD ∥BE ，∠1＝28°，则∠2的度数是______．20．如图//AB CD ，分别作AEF ∠和CFE ∠的角平分线交于点1P ，称为第一次操作，则1P ∠=_______；接着作1AEP ∠和1CFP ∠的角平分线交于2P ，称为第二次操作，继续作2AEP ∠和2CFP ∠的角平分线交于2P ，称方第三次操作，如此一直操作下去，则n P ∠=______．三、解答题21．如图1，MN ∥PQ ，点C 、B 分别在直线MN 、PQ 上，点A 在直线MN 、PQ 之间． （1）求证：∠CAB ＝∠MCA +∠PBA ；（2）如图2，CD ∥AB ，点E 在PQ 上，∠ECN ＝∠CAB ，求证：∠MCA ＝∠DCE ；（3）如图3，BF 平分∠ABP ，CG 平分∠ACN ，AF ∥CG ．若∠CAB ＝60°，求∠AFB 的度数．22．已知//AM CN ，点B 为平面内一点，AB BC ⊥于B ．（1）如图1，求证：90A C ∠+∠=︒；（2）如图2，过点B 作BD MA ⊥的延长线于点D ，求证：ABD C ∠=∠；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E 、F 在DM 上，连接BE 、BF 、CF ，且BF 平分DBC ∠，BE 平分ABD ∠，若AFC BCF ∠=∠，3BFC DBE ∠=∠，求EBC ∠的度数． 23．如图，已知直线//AB 射线CD ，100CEB ∠=︒．P 是射线EB 上一动点，过点P 作PQ //EC 交射线CD 于点Q ，连接CP ．作PCF PCQ ∠=∠，交直线AB 于点F ，CG 平分ECF ∠．（1）若点P ，F ，G 都在点E 的右侧，求PCG ∠的度数；（2）若点P ，F ，G 都在点E 的右侧，30EGC ECG ∠-∠=︒，求CPQ ∠的度数；（3）在点P 的运动过程中，是否存在这样的情形，使:4:3EGC EFC ∠∠=？若存在，求出CPQ ∠的度数；若不存在，请说明理由．24．如图1，已知直线CD ∥EF ，点A ，B 分别在直线CD 与EF 上．P 为两平行线间一点．（1）若∠DAP ＝40°，∠FBP ＝70°，则∠APB ＝（2）猜想∠DAP ，∠FBP ，∠APB 之间有什么关系？并说明理由；（3）利用（2）的结论解答：①如图2，AP 1，BP 1分别平分∠DAP ，∠FBP ，请你写出∠P 与∠P 1的数量关系，并说明理由；②如图3，AP 2，BP 2分别平分∠CAP ，∠EBP ，若∠APB ＝β，求∠AP 2B ．（用含β的代数式表示）25．如图1，点E 在直线AB 、DC 之间，且180DEB ABE CDE ∠+∠-∠=︒．（1）求证：//AB DC ；（2）若点F 是直线BA 上的一点，且BEF BFE ∠=∠，EG 平分DEB ∠交直线AB 于点G ，若20D ∠=︒，求FEG ∠的度数；（3）如图3，点N 是直线AB 、DC 外一点，且满足14CDM CDE ∠=∠，14ABN ABE ∠=∠，ND 与BE 交于点M ．已知()012CDM αα∠=︒<<︒，且//BN DE ，则NMB ∠的度数为______（请直接写出答案，用含α的式子表示）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】设A 灯旋转的时间为t 秒，求出t 的取值范围为016t <≤，再分①06t <≤，②612t <≤和③1216t <≤三种情况，先分别求出MAM '∠和PBP '∠的度数，再根据平行线的性质可得MAM PBP ''∠=∠，由此建立方程，解方程即可得．【详解】解：设A 灯旋转的时间为t 秒，A 灯光束第一次到达AN 所需时间为180630︒=︒秒，B 灯光束第一次到达BQ 所需时间为1801810︒=︒秒， B 灯先转动2秒，A 灯才开始转动，0182t ∴<≤-，即016t <≤，由题意，分以下三种情况：①如图，当06t <≤时，//AM BP ''，30,10(2)MAM t PBP t ''∴∠=︒∠=︒+，//,//MN PQ AM BP ''，1,1MAM PBP ''∴∠=∠∠=∠，MAM PBP ''∴∠=∠，即3010(2)t t ︒=︒+，解得1t =，符合题设；②如图，当612t <≤时，//AM BP ''，18030(6)36030,10(2)MAM t t PBP t ''∴∠=︒-︒-=︒-︒∠=︒+，//,//MN PQ AM BP ''，2180,2180MAM PBP ''∴∠+∠=︒∠+∠=︒，MAM PBP ''∴∠=∠，即3603010(2)t t ︒-︒=︒+，解得8.5t =符合题设；③如图，当1216t <≤时，//AM BP ''，30(12)30360,10(2)MAM t t PBP t ''∴∠=︒-=︒-︒∠=︒+，同理可得：MAM PBP ''∠=∠，即3036010(2)t t ︒-︒=︒+，解得1916t =>，不符题设，舍去；综上，A 灯旋转的时间为1秒或8.5秒，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的几何应用等知识点，正确求出时间t 的取值范围，并据此分三种情况讨论是解题关键．2．B解析：B【分析】过点P 作MN ∥AB ，结合垂直的定义和平行线的性质求∠EPF 的度数．【详解】解：如图，过点P作MN∥AB，∵∠AEP=40°，∴∠EPN=∠AEP=40°∵AB∥CD,PF⊥CD于F，∴PF⊥MN，∴∠NPF=90∴∠EPF=∠EPN+∠NPF=40°+90°=130°故答案为B【点睛】本题考查了平行线的判定定理和性质，作出辅助线构造平行线是解答本题的关键．3．B解析：B【详解】试题分析：根据两平行线被第三条直线所截，同位角相等，故（1）不正确；同位角不一定相等，只有在两直线平行时，同位角相等，故（2）不正确；平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交，故（3）正确；从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做该点到直线的距离，故（4）不正确；过直线外一点作已知直线的平行线，有且只有一条，故（5）不正确.故选B.4．A解析：A【分析】根据同位角，内错角，同旁内角和邻补角的定义判断即可．【详解】解：在“A”字型图中，两条直线AB、AC被DE所截形成的角中，∠A与∠4都在直线AB、DE的同侧，并且在第三条直线（截线）AC的同旁，则∠A与∠4是同位角．故选：A．【点睛】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角和邻补角的定义，正确理解定义是解题的关键．5．B解析：B【分析】记∠1顶点为A ，∠2顶点为B ，∠3顶点为C ，过点B 作BD ∥l 1，由平行线的性质可得∠3+∠DBC =180°，∠ABD +(180°－∠1)=180°，由此得到∠3+∠2+(180°－∠1)=360°，再结合已知条件即可求出结果．【详解】如图，过点B 作BD ∥l 1，∵12//l l ，∴BD ∥l 1∥l 2，∴∠3+∠DBC =180°，∠ABD +(180°－∠1)=180°，∴∠3+∠DBC +∠ABD +(180°－∠1)=360°，即∠3+∠2+(180°－∠1)=360°，又∵∠2+∠3=216°，∴216°+(180°－∠1)=360°，∴∠1=36°．故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线，熟练掌握平行线性质是解题的关键． 6．D解析：D【分析】根据平移的性质直接可判断①②；先根据线段的和差可得2cm BH =，再根据直角三角形的斜边大于直角边即可判断③；根据平行线的性质可判断④；根据阴影部分的面积等于直角梯形BEFH 的面积即可判断⑤．【详解】解：由题意得：90ABC ∠=︒，由平移的性质得：,4cm,2cm AB DE BC EF AD BE =====，//,//,90BH EF AC DF E ABC ∠=∠=︒，则结论①②正确；2cm CH =，2cm BH BC CH CH ∴=-==，在Rt BDH 中，斜边DH 大于直角边BH ，DH CH ∴>，即结论③错误；//AC DF ，C BHD ∴∠=∠，即结论④正确；由平移的性质得：ABC 的面积等于DEF 的面积，则阴影部分的面积为ABC BDH DEF BDH S S S S -=-，BEFH S =直角梯形，2BH EF BE +=⋅， 2422+=⨯， 26(cm )=，即结论⑤正确；综上，结论正确的是①②④⑤，故选：D ．【点睛】本题考查了平移的性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握平移的性质是解题关键． 7．B解析：B【分析】先求∠DFE 的度数，再利用平角的定义计算求解即可．【详解】∵AB ∥CD ，∴∠DFE =∠A =65°，∴∠EFC =180°-∠DFE =115°，故选B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，平角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 8．D解析：D【分析】结合平行线性质和平分线判断出①②正确，再结合平行线和平分线根据等量代换判断出③④正确即可．【详解】解：∵AB //CD ，∴∠1=∠2，∵AC 平分∠BAD ，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∵∠B =∠CDA ，∴∠1=∠4，∴∠3=∠4，∴BC //AD ，∴①正确；∴CA 平分∠BCD ，∴②正确；∵∠B=2∠CED，∴∠CDA=2∠CED，∵∠CDA=∠DCE+∠CED，∴∠ECD=∠CED，∴④正确；∵BC//AD，∴∠BCE+∠AEC= 180°，∴∠1+∠4+∠DCE+∠CED= 180°，∴∠1+∠DCE = 90°，∴∠ACE= 90°，∴AC⊥EC，∴③正确故其中正确的有①②③④，4个，故选：D．【点睛】此题考查平行线的性质和角平分线的性质，难度一般，利用性质定理判断是关键．9．D解析：D【分析】根据平行线的性质进行求解即可得到答案.【详解】解：∵BE∥CD∴∠ 2+∠C=180°，∠ 3+∠D=180°∵∠ 2=50°，∠ 3=120°∴∠C=130°，∠D=60°又∵BE∥AF，∠ 1=40°∴∠A=180°-∠ 1=140°，∠F=∠ 3=120°故选D.【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.10．B解析：B【分析】已知BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE，根据角平分线分定义可得∠ABE=12∠ABF，∠CDF=12∠CDE；过点E作EM//AB，点F作FN//AB，即可得////AB CD EM//FN，由平行线的性质可得∠ABE=∠BEM，∠MED=∠EDC，∠ABF=∠BFN，∠CDF=∠DFN，由此可得∠BED=∠BEM+∠DEM=∠ABE+∠CDE=12∠ABF+∠CDE，∠BFD=∠BFN+∠DFN=∠ABF+∠CDF=∠ABF +12∠CDE，又因2∠BED-∠BFD=48°，即可得2（12∠ABF+∠CDE）-（∠ABF +12∠CDE）=48°，由此即可求得∠CDE=32°.【详解】∵BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE，∴∠ABE=12∠ABF，∠CDF=12∠CDE，过点E作EM//AB，点F作FN//AB，∵//AB CD，∴////AB CD EM//FN，∴∠ABE=∠BEM，∠MED=∠EDC，∠ABF=∠BFN，∠CDF=∠DFN，∴∠BED=∠BEM+∠DEM=∠ABE+∠CDE=12∠ABF+∠CDE，∠BFD=∠BFN+∠DFN=∠ABF+∠CDF=∠ABF +12∠CDE，∵2∠BED-∠BFD=48°，∴2（12∠ABF+∠CDE）-（∠ABF +12∠CDE）=48°，∴∠CDE=32°.故选B.【点睛】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质确定有关角之间的关系是解决问题的关键.二、填空题11．或【分析】根据题意可分两种情况，①若点运动到上方，根据平行线的性质由可计算出的度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出的度数，再由，，列出等量关系求解即可得出结论；②若点运动到下方，根据 解析：41203α︒-或36047α︒-【分析】根据题意可分两种情况，①若点E 运动到1l 上方，根据平行线的性质由α可计算出CBD ∠的度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出BAC ∠的度数，再由5:2BAE CAE ∠∠=，BAE BAC CAE ∠=∠+∠，列出等量关系求解即可得出结论；②若点E 运动到1l 下方，根据平行线的性质由α可计算出CBD ∠的度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出BAC ∠的度数，再由5:2BAE CAE ∠∠=，BAE BAC CAE ∠=∠-∠列出等量关系求解即可得出结论．【详解】解：如图，若点E 运动到l 1上方，//AC BD ，CBD ACB α∴∠=∠=，BC 平分ABD ∠，22ABD CBD α∴∠=∠=，1801802BAC ABD α∴∠=︒-∠=︒-，又5:2BAE CAE ∠∠=，5():2BAC CAE CAE ∴∠+∠∠=， 5(1802):2CAE CAE α︒-+∠∠=， 解得180241205312CAE αα︒-∠==︒--； 如图，若点E 运动到l 1下方，//AC BD ，CBD ACB α∴∠=∠=， BC 平分ABD ∠，22ABD CBD α∴∠=∠=，1801802BAC ABD α∴∠=︒-∠=︒-， 又5:2BAE CAE ∠∠=，5():2BAC CAE CAE ∴∠-∠∠=， 5(1802):2CAE CAE α︒--∠∠=， 解得180236045712CAE αα︒-︒-∠==+． 综上CAE ∠的度数为41203α︒-或36047α︒-． 故答案为：41203α︒-或36047α︒-． 【点睛】 本题主要考查平行线的性质和角平分线的性质，两直线平行，同位角相等．两直线平行，同旁内角互补．两直线平行，内错角相等，合理应用平行线的性质是解决本题的关键． 12．【分析】要分类讨论，不要漏掉任何一种情况，也可实际用三角板操作找到它们之间的关系，再计算．【详解】解：分10种情况讨论：（1）如图1，AD 边与OB 边平行时，∠BAD ＝45°或135°；；解析：8【分析】要分类讨论，不要漏掉任何一种情况，也可实际用三角板操作找到它们之间的关系，再计算．【详解】解：分10种情况讨论：（1）如图1，AD 边与OB 边平行时，∠BAD ＝45°或135°；；（2）如图2，当AC 边与OB 平行时，∠BAD ＝90°+45°＝135°或45°；（3）如图3，DC 边与AB 边平行时，∠BAD ＝60°+90°＝150°，（4）如图4，DC 边与OB 边平行时，∠BAD ＝135°+30°＝165°，（5）如图5，DC 边与OB 边平行时，∠BAD ＝45°﹣30°＝15°；（6）如图6，DC 边与AO 边平行时，∠BAD ＝15°+90°＝105°（7）如图7，DC 边与AB 边平行时，∠BAD ＝30°，（8）如图8，DC 边与AO 边平行时，∠BAD ＝30°+45°＝75°；综上所述：∠BAD 的所有可能的值为：15°，30°，45°，75°，105°，135°，150°，165°．故答案为：8．【点睛】本题考查了平行线的性质及判定，画出所有符合题意的示意图是解决本题的关键．13．【分析】先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠B=∠1，∠C=∠2，进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE；根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，解析：2n【分析】先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠B=∠1，∠C=∠2，进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE；根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，则可得出∠CE1B=∠ABE1+∠DCE112=∠ABE12+∠DCE12=∠BEC；同理可得∠BE 2C =∠ABE 2+∠DCE 212=∠ABE 112+∠DCE 112=∠CE 1B 14=∠BEC ；根据∠ABE 2和∠DCE 2的平分线，交点为E 3，得出∠BE 3C 18=∠BEC ；…据此得到规律∠E n 12n =∠BEC ，最后求得∠BEC 的度数．【详解】如图1，过E 作EF ∥AB ．∵AB ∥CD ，∴AB ∥EF ∥CD ，∴∠B =∠1，∠C =∠2．∵∠BEC =∠1+∠2，∴∠BEC =∠ABE +∠DCE ；如图2．∵∠ABE 和∠DCE 的平分线交点为E 1，∴∠CE 1B =∠ABE 1+∠DCE 112=∠ABE 12+∠DCE 12=∠BEC ． ∵∠ABE 1和∠DCE 1的平分线交点为E 2， ∴∠BE 2C =∠ABE 2+∠DCE 212=∠ABE 112+∠DCE 112=∠CE 1B 14=∠BEC ； ∵∠ABE 2和∠DCE 2的平分线，交点为E 3， ∴∠BE 3C =∠ABE 3+∠DCE 312=∠ABE 212+∠DCE 212=∠CE 2B 18=∠BEC ； …以此类推，∠E n 12n=∠BEC ， ∴当∠E n =1度时，∠BEC 等于2n 度．故答案为：2n ．【点睛】本题考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．14．或或【分析】分三种情形画出图形分别建立好几何模型求解，即可解决问题．【详解】解：有三种情形：①如图1中，当AD∥BC时．∵AD∥BC，∴∠D＝∠BCD＝30°，∵∠ACE+∠E解析：30或120︒或165︒【分析】分三种情形画出图形分别建立好几何模型求解，即可解决问题．【详解】解：有三种情形：①如图1中，当AD∥BC时．∵AD∥BC，∴∠D＝∠BCD＝30°，∵∠ACE+∠ECD＝∠ECD+∠DCB＝90°，∴∠ACE＝∠DCB＝30°．②如图2中，当AD∥CE时，∠DCE＝∠D＝30°，可得∠ACE＝90°+30°＝120°．③如图2中，当AD∥BE时，延长BC交AD于M．∵AD∥BE，∴∠AMC=∠B=45°，∴∠ACM＝180°-60°-45°＝75°，∴∠ACE＝75°+90＝165°，综上所述，满足条件的∠ACE的度数为30°或120°或165°．故答案为30°或120°或165°．【点睛】本题考查旋转变换、平行线的判定和性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考常考题型．15．【详解】作IF∥AB,GK∥AB,JH∥AB因为AB∥CD所以，AB∥CD∥ IF∥GK∥JH所以，∠IFG=∠FEC=10°所以，∠GFI=90°-∠IFG=80°所以，∠KGF=∠解析：【详解】作IF∥AB,GK∥AB,JH∥AB因为AB∥CD所以，AB∥CD∥ IF∥GK∥JH所以，∠IFG=∠FEC=10°所以，∠GFI=90°-∠IFG=80°所以，∠KGF=∠GFI=80°所以，∠HGK=150°-∠KGF=70°所以，∠JHG=∠HGK=70°同理，∠2=90°-∠JHG=20°所以，∠1=90°-∠2=70°故答案为70【点睛】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线是关键，注意掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等．16．【分析】延长AB ，交两平行线与C 、D ，根据平行线的性质和领补角的性质计算即可；【详解】延长AB ，交两平行线与C 、D ，∵直线l1∥l2，∠A ＝125°，∠B ＝85°，∴，，，∴，∴，解析：17︒【分析】延长AB ，交两平行线与C 、D ，根据平行线的性质和领补角的性质计算即可；【详解】延长AB ，交两平行线与C 、D ，∵直线l 1∥l 2，∠A ＝125°，∠B ＝85°，∴4285∠+∠=︒，13125∠+∠=︒，34180∠+∠=︒，∴852*******︒-∠+︒-∠=︒，∴1230∠+∠=︒，又∵∠1比∠2大4°，∴2=14∠∠-︒，∴2134∠=︒，∴117∠=︒；故答案是17 ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质应用，准确计算是解题的关键．17．30或150【分析】分两种情况，根据ED∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠BAD的度数．【详解】解：如图1所示：当ED∥AB时，∠BAD=∠D=30°；如图2所示，当ED∥AB时，∠D解析：30或150【分析】分两种情况，根据ED∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠BAD的度数．【详解】解：如图1所示：当ED∥AB时，∠BAD=∠D=30°；如图2所示，当ED∥AB时，∠D=∠BAD=180°，∵∠D=30°∴∠BAD=180°-30°=150°；故答案为：30°或150°．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由直线的平行关系来寻找角的数量关系．18．3【分析】（1）根据平行线的性质即可得到答案；（2）根据平行线的性质得到：∠AEF=180°-∠EFB=180°-32°=148°，又因为∠AEF=∠AEC+∠GEF，可得∠AEC＜148°，解析：3【分析】（1）根据平行线的性质即可得到答案；（2）根据平行线的性质得到：∠AEF=180°-∠EFB=180°-32°=148°，又因为∠AEF=∠AEC+∠GEF，可得∠AEC＜148°，即可判断是否正确；（3）根据翻转的性质可得∠GEF=∠C′EF，又因为∠C′EG=64°，根据平行线性质即可得到∠BGE=∠C′EG=64°，即可判断是否正确；（4）根据对顶角的性质得：∠CGF=∠BGE=64°，根据平行线得性质即可得：∠BFD=180°-∠CGF即可得到结果．【详解】AE BG，∠EFB=32°，解：（1）∵//∴∠C′EF=∠EFB=32°，故本小题正确；（2）∵AE∥BG，∠EFB=32°，∴∠AEF=180°-∠EFB=180°-32°=148°，∵∠AEF=∠AEC+∠GEF，∴∠AEC＜148°，故本小题错误；（3）∵∠C′EF=32°，∴∠GEF=∠C′EF=32°，∴∠C′EG=∠C′EF+∠GEF=32°+32°=64°，∵AC′∥BD′，∴∠BGE=∠C′EG=64°，故本小题正确；（4）∵∠BGE=64°，∴∠CGF=∠BGE=64°，DF CG，∵//∴∠BFD=180°-∠CGF=180°-64°=116°，故本小题正确．故正确的为：（1）（3）（4）共3个，故答案为：3．【点睛】本题考查的是平行线的性质及翻折变换的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．19．56°【分析】由折叠的性质可得∠3＝∠1＝28°，从而求得∠4＝56°，再根据平行线的性质定理求出∠EBD ＝180°﹣∠4＝124°，最后再根据平行线性质定理求出∠2＝56°．【详解】解：如解析：56°【分析】由折叠的性质可得∠3＝∠1＝28°，从而求得∠4＝56°，再根据平行线的性质定理求出∠EBD ＝180°﹣∠4＝124°，最后再根据平行线性质定理求出∠2＝56°．【详解】解：如图，由折叠的性质，可得∠3＝∠1＝28°，∴∠4＝∠1+∠3＝56°，∵CD ∥BE ，AC ∥BD ，∴∠EBD ＝180°﹣∠4＝124°，又∵CD ∥BE ，∴∠2＝180°﹣∠CBD ＝180°﹣124°＝56°．故答案为：56°．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系． 20．90°【分析】过P1作P1Q ∥AB ，则P1Q ∥CD ，根据平行线的性质得到∠AEF+∠CFE=180°，∠AEP1=∠EP1Q ，∠CFP1=∠FP1Q ，结合角平分线的定义可计算∠E解析：90°902n︒ 【分析】过P 1作P 1Q ∥AB ，则P 1Q ∥CD ，根据平行线的性质得到∠AEF +∠CFE =180°，∠AEP 1=∠EP 1Q ，∠CFP 1=∠FP 1Q ，结合角平分线的定义可计算∠EP 1F ，再同理求出∠P 2，∠P 3，总结规律可得n P ∠．【详解】解：过P 1作P 1Q ∥AB ，则P 1Q ∥CD ，∵AB ∥CD ，∴∠AEF +∠CFE =180°，∠AEP 1=∠EP 1Q ，∠CFP 1=∠FP 1Q ，∵AEF ∠和CFE ∠的角平分线交于点1P ，∴∠EP 1F =∠EP 1Q +∠FP 1Q =∠AEP 1+∠CFP 1=12（∠AEF +∠CFE ）=90°；同理可得：∠P 2=14（∠AEF +∠CFE ）=45°， ∠P 3=18（∠AEF +∠CFE ）=22.5°， ...，∴902n nP ︒∠=， 故答案为：90°，902n ︒．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，规律性问题，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算求解．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）120°．【分析】（1）过点A 作AD ∥MN ，根据两直线平行，内错角相等得到∠MCA ＝∠DAC ，∠PBA ＝∠DAB ，根据角的和差等量代换即可得解；（2）由两直线平行，同旁内角互补得到∴、∠CAB +∠ACD ＝180°，由邻补角定义得到∠ECM +∠ECN ＝180°，再等量代换即可得解；（3）由平行线的性质得到，∠FAB ＝120°﹣∠GCA ，再由角平分线的定义及平行线的性质得到∠GCA ﹣∠ABF ＝60°，最后根据三角形的内角和是180°即可求解．【详解】解：（1）证明：如图1，过点A 作AD ∥MN ，∵MN ∥PQ ，AD ∥MN ，∴AD ∥MN ∥PQ ，∴∠MCA ＝∠DAC ，∠PBA ＝∠DAB ，∴∠CAB ＝∠DAC +∠DAB ＝∠MCA +∠PBA ，即：∠CAB ＝∠MCA +∠PBA ；（2）如图2，∵CD ∥AB ，∴∠CAB +∠ACD ＝180°，∵∠ECM +∠ECN ＝180°，∵∠ECN ＝∠CAB∴∠ECM ＝∠ACD ，即∠MCA +∠ACE ＝∠DCE +∠ACE ，∴∠MCA ＝∠DCE ；（3）∵AF ∥CG ，∴∠GCA +∠FAC ＝180°，∵∠CAB ＝60°即∠GCA +∠CAB +∠FAB ＝180°，∴∠FAB ＝180°﹣60°﹣∠GCA ＝120°﹣∠GCA ，由（1）可知，∠CAB ＝∠MCA +∠ABP ，∵BF 平分∠ABP ，CG 平分∠ACN ，∴∠ACN ＝2∠GCA ，∠ABP ＝2∠ABF ，又∵∠MCA ＝180°﹣∠ACN ，∴∠CAB ＝180°﹣2∠GCA +2∠ABF ＝60°，∴∠GCA ﹣∠ABF ＝60°，∵∠AFB +∠ABF +∠FAB ＝180°，∴∠AFB ＝180°﹣∠FAB ﹣∠FBA＝180°﹣（120°﹣∠GCA ）﹣∠ABF＝180°﹣120°+∠GCA ﹣∠ABF＝120°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，线段、角、相交线与平行线，准确的推导是解决本题的关键．22．（1）见解析；（2）见解析；（3）︒=∠105EBC ．【分析】（1）先根据平行线的性质得到C BDA ∠=∠,然后结合AB BC ⊥即可证明；（2）过B 作//BH DM ，先说明ABD CBH ∠=∠，然后再说明//BH NC 得到CBH C ∠=∠，最后运用等量代换解答即可；（3）设∠DBE =a ，则∠BFC =3a ，根据角平分线的定义可得∠ABD =∠C =2a ，∠FBC =12∠DBC =a +45°，根据三角形内角和可得∠BFC +∠FBC +∠BCF =180°，可得∠AFC =∠BCF 的度数表达式，再根据平行的性质可得∠AFC +∠NCF =180°，代入即可算出a 的度数，进而完成解答．【详解】（1）证明：∵//AM CN ，∴C BDA ∠=∠，∵AB BC ⊥于B ， ∴90B ∠=︒，∴90A BDA ∠+∠=︒，∴90A C ∠+∠=︒；（2）证明：过B 作//BH DM ，∵BD MA ⊥，∴90ABD ABH ∠+∠=︒，又∵AB BC ⊥，∴90ABH CBH ∠+∠=︒，∴ABD CBH ∠=∠，∵//BH DM ，//AM CN∴//BH NC ，∴CBH C ∠=∠，∴ABD C ∠=∠；（3）设∠DBE =a ，则∠BFC =3a ，∵BE 平分∠ABD ，∴∠ABD =∠C =2a ，又∵AB ⊥BC ，BF 平分∠DBC ，∴∠DBC =∠ABD +∠ABC =2a +90，即：∠FBC =12∠DBC =a +45°又∵∠BFC+∠FBC+∠BCF=180°，即：3a+a+45°+∠BCF=180°∴∠BCF=135°-4a，∴∠AFC=∠BCF=135°-4a，又∵AM//CN，∴∠AFC+∠NCF=180°，即：∠AFC+∠BCN+∠BCF=180°，∴135°-4a+135°-4a+2a=180，解得a=15°，∴∠ABE=15°，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质及角的计算，熟练应用平行线的性质、角平分线的性质是解答本题的关键．23．（1）40°；（2）65°；（3）存在，56°或20°【分析】（1）依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠PCG的度数；（2）依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠ECG=∠GCF=25°，再根据PQ∥CE，即可得出∠CPQ=∠ECP=65°；（3）设∠EGC=4x，∠EFC=3x，则∠GCF=4x-3x=x，分两种情况讨论：①当点G、F在点E 的右侧时，②当点G、F在点E的左侧时，依据等量关系列方程求解即可．【详解】解：（1）∵∠CEB=100°，AB∥CD，∴∠ECQ=80°，∵∠PCF=∠PCQ，CG平分∠ECF，∴∠PCG＝∠PCF+∠FCG＝12∠QCF+12∠FCE=12∠ECQ=40°；（2）∵AB∥CD∴∠QCG=∠EGC，∠QCG+∠ECG=∠ECQ=80°，∴∠EGC+∠ECG=80°，又∵∠EGC-∠ECG=30°，∴∠EGC=55°，∠ECG=25°，∴∠ECG=∠GCF=25°，∠PCF=∠PCQ=12（80°-50°）=15°，∵PQ∥CE，∴∠CPQ=∠ECP=65°；（3）设∠EGC=4x，∠EFC=3x，则∠GCF=∠FCD=4x-3x=x，①当点G、F在点E的右侧时，则∠ECG=x，∠PCF=∠PCD=32 x，∵∠ECD=80°，∴x+x+32x+32x=80°，解得x=16°，∴∠CPQ=∠ECP=x+x+32x=56°；②当点G、F在点E的左侧时，则∠ECG=∠GCF=x，∵∠CGF=180°-4x，∠GCQ=80°+x，∴180°-4x=80°+x，解得x=20°，∴∠FCQ=∠ECF+∠ECQ=40°+80°=120°，∴∠PCQ＝12∠FCQ＝60°，∴∠CPQ=∠ECP=80°-60°=20°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．24．（1）110°；（2）猜想：∠APB=∠DAP+∠FBP，理由见解析；（3）①∠P=2∠P1，理由见解析；②∠AP2B=1 1802β︒-．【分析】（1）过P作PM∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠APM=∠DAP，再根据平行公理求出CD∥EF然后根据两直线平行，内错角相等可得∠MPB=∠FBP，最后根据∠APM+∠MPB=∠DAP+∠FBP等量代换即可得证；（2）结论：∠APB=∠DAP+∠FBP．（3）①根据（2）的规律和角平分线定义解答；②根据①的规律可得∠APB =∠DAP +∠FBP ，∠AP 2B =∠CAP 2+∠EBP 2，然后根据角平分线的定义和平角等于180°列式整理即可得解．【详解】（1）证明：过P 作PM ∥CD ，∴∠APM =∠DAP ．（两直线平行，内错角相等），∵CD ∥EF （已知），∴PM ∥CD （平行于同一条直线的两条直线互相平行），∴∠MPB =∠FBP ．（两直线平行，内错角相等），∴∠APM +∠MPB =∠DAP +∠FBP ．（等式性质） 即∠APB =∠DAP +∠FBP =40°+70°=110°． （2）结论：∠APB=∠DAP +∠FBP ．理由：见（1）中证明．（3）①结论：∠P=2∠P 1；理由：由（2）可知：∠P =∠DAP +∠FBP ，∠P 1=∠DAP 1+∠FBP 1，∵∠DAP =2∠DAP 1，∠FBP =2∠FBP 1，∴∠P =2∠P 1．②由①得∠APB =∠DAP +∠FBP ，∠AP 2B =∠CAP 2+∠EBP 2，∵AP 2、BP 2分别平分∠CAP 、∠EBP ，∴∠CAP 2=12∠CAP ，∠EBP 2=12∠EBP ，∴∠AP 2B =12∠CAP +12∠EBP ， = 12（180°-∠DAP ）+ 12（180°-∠FBP ），=180°- 12（∠DAP +∠FBP ），=180°- 12∠APB ，=180°- 12β．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键，此类题目，难点在于过拐点作平行线．25．（1）见解析；（2）10°；（3）18015α︒-【分析】（1）过点E 作EF ∥CD ，根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，得出,CDE DEF ∠=∠结合已知条件180DEB ABE CDE ∠+∠-∠=︒，得出180,FEB ABE ∠+∠=︒即可证明；（2）过点E 作HE ∥CD ，设,,GEF x FEB EFB y ∠=∠=∠= 由（1）得AB ∥CD ，则AB ∥CD ∥HE ，由平行线的性质，得出20,DEF D EFB y ∠=∠+∠=︒+再由EG 平分DEB ∠，得出,DEG GEB GEF FEB x y ∠=∠=∠+∠=+则2DEF DEG GEF x y ∠=∠+∠=+，则可列出关于x 和y 的方程，即可求得x ，即GEF ∠的度数；（3）过点N 作NP ∥CD ，过点M 作QM ∥CD ，由（1）得AB ∥CD ，则NP ∥CD ∥AB ∥QM ，根据14CDM CDE ∠=∠和CDM α∠=，得出3,MDE α∠=根据CD ∥PN ∥QM ,DE ∥NB ,得出,PND CDM DMQ α∠=∠=∠=3,EDM BNM α∠=∠=即4,BNP α∠=根据NP ∥AB ，得出4,PNB ABN α∠=∠=再由14ABN ABE ∠=∠，得出16,ABM α∠=由AB ∥QM ,得出18016,QMB α∠=︒-因为NMB NMQ QMB ∠=∠+∠，代入α的式子即可求出BMN ∠．【详解】（1）过点E 作EF ∥CD ，如图，∵EF ∥CD ,∴,CDE DEF ∠=∠∴,DEB CDE DEB DEF FEB ∠-∠=∠-∠=∠∵180DEB ABE CDE ∠+∠-∠=︒,∴180,FEB ABE ∠+∠=︒∴EF ∥AB ，∴CD ∥AB ；（2）过点E 作HE ∥CD ，如图，设,,GEF x FEB EFB y ∠=∠=∠=由（1）得AB ∥CD ，则AB ∥CD ∥HE ，∴20,,D DEH HEF EFB y ∠=∠=︒∠=∠=∴20,DEF DEH HEF D EFB y ∠=∠+∠=∠+∠=︒+又∵EG 平分DEB ∠，∴,DEG GEB GEF FEB x y ∠=∠=∠+∠=+∴2,DEF DEG GEF x y x x y ∠=∠+∠=++=+即220,x y y +=︒+解得：10,x =︒即10GEF ∠=︒；（3）过点N 作NP ∥CD ，过点M 作QM ∥CD ，如图，由（1）得AB ∥CD ，则NP ∥CD ∥AB ∥QM ，∵NP ∥CD ，CD ∥QM ，,CDM α∠=∴PND CDM DMQ α∠=∠=∠=,又∵14CDM CDE ∠=∠， ∴33,MDE CDM α∠=∠=∵//BN DE ,∴3,MDE BNM α∠=∠=∴34,PNB PND BNM ααα∠=∠+∠=+=又∵PN ∥AB ，∴4,PNB NBA α∠=∠= ∵14ABN ABE ∠=∠, ∴44416,ABM ABN αα∠=∠=⨯=又∵AB ∥QM ，∴180,ABM QMB ∠+∠=︒∴18018016,QMB ABM α∠=︒-∠=︒-∴1801618015NMB NMQ QMB ααα∠=∠+∠=+︒-=-．【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解决问题的关键是作平行线构造相等的角，利用两直线平行，内错角相等，同位角相等来计算和推导角之间的关系．。
北师大数学七年级下册第二章《相交线与平行线》全章复习与巩固(基础)
《相交线与平行线》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1．熟练掌握对顶角，余角，补角，邻补角及垂线的概念及性质，了解点到直线的距离与两平行线间的距离的概念；2. 区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；3. 了解尺规作图的概念，熟练掌握用尺规作角或线段的方法.【知识网络】【要点梳理】要点一、两条直线的位置关系1.同一平面内两条直线的位置关系：相交与平行要点诠释：（1）只有一个公共点的两条直线叫做相交直线，这个公共点叫做交点.（2）在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.平行用符号“∥”表示.2.对顶角、补角、余角（1）定义：①由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角.②如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角．类似地，如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角．简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角．（2）性质：同角或等角的余角相等．同角或等角的补角相等．对顶角相等．3.垂线（1）垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．垂直用符号“⊥”表示，如下图．（2）垂线的性质：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．②垂线段最短．（3）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．要点二、平行线的判定与性质1．平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行．判定方法2：内错角相等，两直线平行．判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.2．平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．3．两条平行线间的距离如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离.要点诠释：（1）两条平行线之间的距离处处相等.（2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.（3）如何理解“垂线段”与“距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同.要点三、用尺规作线段和角1.用尺规作线段（1）用尺规作一条线段等于已知线段.（2）用尺规作一条线段等于已知线段的倍数.（3）用尺规作一条线段等于已知线段的和.（4）用尺规作一条线段等于已知线段的差.2.用尺规作角（1）用尺规作一个角等于已知角.（2）用尺规作一个角等于已知角的倍数.（3）用尺规作一个角等于已知角的和.（4）用尺规作一个角等于已知角的差.【典型例题】类型一、两条直线的位置关系1.如图，直线AB、CD、EF相交于点O，那么互为对顶角（平角除外）的角共有对，它们分别是，共有对邻补角.【思路点拨】根据邻补角定义和对顶角定义，每一个顶点处有四个角，可以组成四对邻补角和两对对顶角，而本题图形中，三个顶点重叠在一起，所以再乘以3即可．【答案】6,∠AOC与∠BOD，∠AOF与∠BOE，∠COF与∠DOE, ∠BOC与∠AOD，∠BOF与∠AOE, ∠DOF与∠COE ,12．【解析】找对顶角或邻补角，先从某一个角开始，顺时针或逆时针旋转，这样做，既不漏也不重.【总结升华】两条直线相交得到的四个角中，共有2对对顶角，4对邻补角.举一反三：【变式】如图所示，已知∠AOD=∠BOC，请在图中找出∠BOC的补角,邻补角及对顶角.【答案】解：因为∠BOC＋∠AOC=180º（平角定义）,所以∠AOC是∠BOC的补角.因为∠AOD＋∠BOD=180º（平角定义）,∠AOD=∠BOC（已知）,所以∠BOC＋∠BOD=180º.所以∠BOD是∠BOC的补角．所以∠BOC的补角有两个：∠BOD和∠AOC.而∠BOC的邻补角只有一个∠AOC，且∠BOC没有对顶角.2.已知：如图，直线a、b、c两两相交，且a⊥b，∠1＝2∠3，，求∠4的度数.【答案与解析】解：∵a⊥b,∴∠2＝∠1＝90°.又∵∠1＝2∠3，∴90°＝2∠3，∴∠3＝45°,又∠3与∠4互为邻补角，所以∠3+∠4＝180°即45°+∠4＝180°.所以∠4＝135°.【总结升华】涉及到角的运算时，充分利用已知条件和隐含条件（平角、余角、补角、对顶角等）是解题的关键．类型二、平行线的性质与判定3.如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°，将求∠AGD的过程填写完整：因为EF∥AD，所以∠2= （）又因为∠1=∠2，所以∠1=∠3所以AB∥（）所以∠BA C＋ =180°（）因为∠BAC=70°，所以∠AGD= .【答案】∠3，两直线平行，同位角相等；DG，内错角相等，两直线平行；∠AGD，两直线平行，同旁内角互补；110°.【解析】首先由已知EF∥AD根据两直线平行同位角相等可得∠2=∠3，再由∠1=∠2，利用等量代换可得∠1=∠3，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥DG，再根据两直线平行同旁内角互补可得∠BAC+∠AGD=180°，进而得到答案．【总结升华】本题主要考查的是平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．此外注意证明题规范的书写格式.举一反三：【变式】如图，已知∠ADE＝∠B，∠1＝∠2，那么CD∥FG吗？并说明理由.【答案】解：平行，理由如下：因为∠ADE=∠B，所以DE∥BC（同位角相等，两直线平行），所以∠1=∠BCD（两直线平行，内错角相等）.又因为∠1=∠2（已知），所以∠BCD=∠2.所以CD∥FG（同位角相等，两直线平行）.4.（2015春•杭州期末）如图，已知BC∥GE，AF∥DE，∠1=50°．（1）求∠AFG的度数；（2）若AQ平分∠FAC，交BC于点Q，且∠Q=15°，求∠ACB的度数．【答案与解析】解：（1）∵BC∥EG，∴∠E=∠1=50°．∵AF∥DE，∴∠AFG=∠E=50°；（2）作AM∥BC，∵BC∥EG，∴AM∥EG，∴∠AFM=∠AFG=50°．∵AM∥BC，∴∠QAM=∠Q=15°，∴∠FA Q=∠AFM+∠FAQ=65°．∵AQ平分∠FAC，∴∠QAC=∠FA Q=65°，∴∠M AC=∠QAC+∠QAM=80°．∵AM∥BC，∴∠ACB=∠MAC=80°．【总结升华】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．类型三、用尺规作线段和角5. 在如图中，补充作图：（1）在AD的右侧作∠DCP=∠DAB（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）CP与AB会平行吗？为什么？【思路点拨】（1）根据作一个角等于已知角的方法即可作出；（2）根据平行线的判定方法即可判断．【答案与解析】解：（1）作图如下：（2）会平行．用同位角相等，两直线平行．【总结升华】本题考查了基本作图：作一个角等于已知角，以及平行线的判定定理，正确掌握基本作图是关键．举一反三：【变式】（2014秋•娄底期中）尺规作图的画图工具是（）A．刻度尺、量角器 B．三角板、量角器C．直尺、量角器 D．没有刻度的直尺和圆规【答案】D提示：尺规作图的画图工具是没有刻度的直尺和圆规．类型四、实际应用6.如图，107国道a上有一个出口M，想在附近公路b旁建一个加油站，欲使通道最短，应沿怎样的线路施工？【答案与解析】解：如图，过点M作MN⊥b，垂足为N，欲使通道最短，应沿线路MN施工.【总结升华】灵活运用垂线段最短的性质是解答此类问题的关键.《相交线与平行线》全章复习与巩固（基础）巩固练习【巩固练习】一、选择题1．下列图中,∠1和∠2是对顶角的有()个.A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图所示是同位角关系的是()．A．∠3和∠4 B．∠1和∠4 C．∠2和∠4 D．不存在3．下列说法正确的是()．A．相等的角是对顶角.B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等.C．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.D．若两个角的和为180°，则这两个角互为余角.4．（2015•宜昌）如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1=50°，则∠2的度数是（）A．60°B．50° C．40° D．30°5．用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是（）．A．作一个角等于已知角B．作已知直线的垂线C．作一条线段等于已知线段D．作角的平分线6．一个人从A点出发向北偏东60°方向走到B点，再从B点出发向南偏西15°方向走到C点，那么∠ABC等于()．A．75°B．105°C．45°D．135°7．下列说法中，正确的是()．A．过点P画线段AB的垂线.B．P是直线AB外一点，Q是直线AB上一点，连接PQ，使PQ⊥AB.C．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.D．过一点有且只有一条直线平行于已知直线.8．如图,∠1和∠2互补,∠3=130°,那么∠4的度数是( )．A. 50°B. 60°C.70°D.80°二、填空题9. 如图所示，AB∥CD，EF分别交AB、CD于G、H两点，若∠1＝50°，则∠EGB＝________．10．如图所示，已知BC∥DE，则∠ACB＋∠AOE＝．11．每天小明上学时，需要先由家向东走150米到公共汽车站点，然后再乘车向西900米到学校，每天小明由家到学校移动的方向是________，移动的距离是________．12. (广东湛江)如图所示，请写出能判断CE∥AB的一个条件，这个条件是：①：________ ②：________ ③：________13．如图，已知AB∥CD，CE，AE分别平分∠ACD，∠CAB，则∠1+∠2=________.14．如图所示，直线AB与直线CD相交于点O，EO⊥AB，∠EOD＝25°，则∠BOD= ，∠AOC＝，∠BOC＝．15. 如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°．甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西．Array 16．（2015秋•丰台区期末）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小聪、小明、小敏三位同学在黑板上分别画出了设计方案：根据以上信息，你认为同学的方案最节省材料，理由是．三、解答题17．如图所示，直线AB、CD、EF相交于点O，若∠1+∠2＝90°，∠3＝40°，求∠1的度数，并说明理由．18．（2015春•监利县期末）如图，已知∠ABC=180°﹣∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于F．（1）求证：AD∥BC；（2）若∠1=36°，求∠2的度数．19. 如图所示，已知∠1＝50°，∠2＝130°，∠4＝50°，∠6＝130°，试说明a∥b，b∥c，d∥e，a∥c．20．如图所示，点P是∠ABC内一点．(1)画图：①过点P画BC的垂线，垂足为D；②过点P画BC的平行线交AB于点E，过点P画AB的平行线交BC于点F．(2)∠EPF等于∠B吗? 为什么?【答案与解析】一、选择题1. 【答案】A；【解析】只有第三个图中的∠1与∠2是对顶角.2. 【答案】B；【解析】同位角的特征：在截线同旁，在两条被截直线同一方向上．3. 【答案】C；【解析】一个角的平分线分得两个角相等，但不是对顶角，A错误；内错角相等的前提必须是两条直线平行，B错误；若两个角的和为180°，这两个角互为补角，D错误；C是平行公理的推论，正确．4. 【答案】C；【解析】∵FE⊥DB，∴∠DEF=90°．∵∠1=50°，∴∠D=90°﹣50°=40°．∵AB∥CD，∴∠2=∠D=40°．故选C．5. 【答案】C；【解析】根据三边做三角形用到的基本作图是：作一条线段等于已知线段．故选C．6. 【答案】C；【解析】根据直线平行，内错角相等，从A点北偏东60°方向等于从B点南偏西60°，再从B点向南偏西15°方向到C点，∠ABC应等于这两个角的差，故C正确．7.【答案】C；【解析】应是过一点画线段所在直线的垂线，不能是画线段的垂线，故A错误；P是直线AB外一点，Q是直线AB上一点，如果P点不在过Q点与AB垂直的直线上，或Q 点不在过P点与AB垂直的直线上，连接PQ，不可能有PQ⊥AB，故B错误；过一点画直线的平行线，这点不能在直线上，否则是同一条直线，故D错误；只有C是垂线的性质，故C正确．8.【答案】A；【解析】平行线的判定与性质综合应用．二、填空题9.【答案】50°；【解析】因为AB∥CD，所以∠1＝∠AGF，因为∠AGF与∠EGB是对顶角，所以∠EGB ＝∠AGF，故∠EGB＝50°．10.【答案】180°；【解析】由BC∥DE可知∠ACB＝∠EOC，又因为∠AOE+∠EOC＝180°，故可得解．11.【答案】向西，750米；【解析】移动的方向是起点到终点的方向，移动的距离是起点到终点的线段的长度. 12．【答案】∠DCE＝∠A，∠ECB＝∠B，∠A+∠ACE＝180°；【解析】根据平行线的判定，CE∥AB成立的条件可以是∠DCE＝∠A或∠ECB＝∠B 或∠A+∠ACE＝180°．13.【答案】90°；【解析】∠BAC+∠ACD＝180°，11BAC+ ACD22∠∠＝90°，即∠1+∠2＝90°.14.【答案】115°，115°，65°；【解析】邻补角或对顶角的性质进行求解.15.【答案】48°；【解析】内错角相等，两直线平行.16.【答案】小聪；两点之间线段最短；点到直线垂线段最短；【解析】小明与小聪的方案比较：在小明的方案中∵AD+BD＞AB，∴小聪的方案比小明的节省材料；小聪与小敏的方案比较：小聪方案中AC＜小敏的方案中AC∴小聪同学的方案最节省材料，理由：两点之间线段最短；点到直线垂线段最短．三、解答题17.【解析】解：因为∠2＝∠3(对顶角相等)，∠3＝40°(已知)，所以∠2＝40°(等量代换)．又因为∠1+∠2＝90°(已知)，所以∠1＝90°-∠2＝50°．18.【解析】（1）证明：∵∠ABC=180°﹣∠A，∴∠ABC+∠A=180°，∴AD∥BC；（2）解：∵AD∥BC，∠1=36°，∴∠3=∠1=36°，∵BD⊥CD，EF⊥CD，∴BD∥EF，∴∠2=∠3=36°．19.【解析】解：因为∠1＝50°，∠2＝130°(已知)，所以∠1+∠2＝180°．所以a∥b(同旁内角互补，两直线平行)．所以∠3＝∠1＝50°(两直线平行，同位角相等)．又因为∠4＝50°(已知)，所以∠3＝∠4(等量代换)．所以d∥e(同位角相等，两直线平行)．因为∠5+∠6＝180°(平角定义)，∠6＝130°(已知)，所以∠5＝50°(等式的性质)．所以∠4＝∠5(等量代换)．所以b∥c(内错角相等，两直线平行)．因为a∥b，b∥c(已知)，所以a∥c(平行于同一直线的两直线平行)．20.【解析】解：如图所示，(1)①直线PD即为所求；②直线PE、PF即为所求．(2)∠EPF＝∠B，理由：因为PE∥BC(已知)，所以∠AEP＝∠B(两直线平行，同位角相等)．又因为PF∥AB(已知)，所以∠EPF＝∠AEP(两直线平行，内错角相等)，∠EPF ＝∠B(等量代换)．。
北师大版七年级下册数学第二章 相交线与平行线含答案(汇总)
北师大版七年级下册数学第二章相交线与平行线含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，AB=AC，AF∥BC，∠FAC=75°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE 的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A.15°B.17.5°C.20°D.22.5°2、如图，在下列条件中，不能判定AB∥DF的是（）A. B. C. D.3、如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1＝∠2，∠3＝115°，则∠4的度数为( )A.55°B.60°C.65°D.75°4、如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且点C，D在AB的异侧，连接AD，BD，OD，OC，若∠ABD＝15°，且AD∥OC，则∠BOC的度数为（）A.120°B.105°C.100°D.110°5、如图，直线，点A在直线上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线、于B、C两点，连结AC、BC.若，则的大小为（）A. B. C. D.6、如图，已知∠1=∠2，∠3=80°，则∠4=（）A.80°B.70°C.60°D.50°7、如果a∥b，b∥c，d⊥a，那么（）A.b⊥dB.a⊥cC.b∥dD.c∥d8、如图，∠BAC＝40°，DE∥AB，交AC于点F，∠AFE的平分线 FG交AB于点H，则结论正确的是（）A.∠AFG＝70°B.∠AFG>∠AGFC.∠FHB＝100°D.∠CFH ＝2∠EFG9、如图，a∥b，∠1是∠2的3倍，则∠2等于（）A.45°B.90°C.135°D.150°10、如图，直线c与直线a相交于点A，与直线b相交于点B，，，若要使直线，则将直线a绕点A按如图所示的方向至少旋转（）A. B. C. D.11、如图，由已知条件推出结论正确的是（）A.由，可以推出B.由，可以推出C.由，可以推出D.由，可以推出12、将一块三角板如图放置，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，点B，C分别在PQ，MN上，若PQ∥MN，∠ACM＝42°，则∠ABP的度数为（）A.45°B.42°C.21°D.12°13、已知在同一平面内有三条不同的直线a，b，c，下列说法错误的是（）A.如果a∥b，a⊥c，那么b⊥cB.如果b∥a，c∥a，那么b∥cC.如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥cD.如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c14、如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是（）A.∠3＝∠5B.∠1＝∠5C.∠1＋∠4＝180°D.∠3＝∠415、如图，若∠1+∠2=180°，则( )A.c∥dB.a∥bC.c∥d且a∥bD.∠3=∠2二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，已知AD∥BC，∠1＝∠2，要说明∠3＋∠4＝180°，请补充完整解题过程，并在括号内填上相应的依据：解：∵AD∥BC(已知)，∴∠1＝∠3(________)．∵∠1＝∠2(已知)，∴∠2＝∠3.∴BE∥________(________)．∴∠3＋∠4＝180°(________)．17、如图，在中，CD平分∠ACB，DE∥BC，DE交AC于E,若DE=7，AE=5，则AC=________。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
[单选]图示结构MA影响线（P=1在BE上移动，MA右侧受拉为正）在B、D两点纵标（单位：m）分别为：（）A.4，4B.-4，-4C.0，-4D.0，4 [单选]下列不属于门静脉高压症的侧支循环的是（）A.食管、胃底静脉交通支B.直肠下端、肛管交通支C.腹膜后门、体静脉分支之间交通支D.腰静脉与腹膜后下腔静脉属支E.脐及脐旁静脉与腹壁上、下静脉之间交通支 [单选]对一个四线组来说，（）在红线的顺时针方向时，该端为A端。A.绿线B.兰线C.绿组D.兰组 [问答题]某建筑工程，地下1层，地上16层。总建筑面积28000m2，首层建筑面积2400m2，建筑红线内占地面积6000m2。该工程位于闹市中心，现场场地狭小。施工单位为了降低成本，现场只设备了一条3m宽的施工道路兼作消防通道。现场平面呈长方形，在其斜对角布置了两个临时消火栓，两者之 [单选]男性，40岁，多年咳嗽、咳脓痰史，5小时前突然大咯血，考虑病因可能为（）A.胸腔积液B.支气管扩张症C.肺炎D.肺癌E.胸膜增厚 [单选]小儿惊厥最常见的原因是（）A．癫痫B．低钙惊厥C．高热惊厥D．低血糖E．颅内感染 [单选]原发单纯疱疹的特征性临床表现是（）A.神经痛B.水疱C.大疱D.群集性小水疱E.局部淋巴结肿大 [单选,A2型题,A1/A2型题]pH6.5醋酸纤维电泳哪种Hb泳在点样线（）A.HbAB.HbBartsC.HbHD.HbGE.HbF [单选,A1型题]小儿骨髓外造血的器官是（）A.卵巢B.胆囊C.脾脏D.淋巴管E.盲肠 [单选]在计算应收账款周转天数时，应收账款平均余额（）。A.应当扣除坏账准备B.按期初应收账款金额计算C.不应当扣除坏账准备D.按期末应收账款金额计算 [单选]以下关于合同分析作用的说法，错误的是（）。A.分析合同漏洞，解释争议内容B.分析合同风险，制定风险对策C.分解合同工作并落实合同责任D.进行图纸交底，简化合同管理工作 [单选]在慢性胃炎时，属于癌前病变的是（）A.浅表胃炎伴肠上皮化生B.浅表胃炎伴脐状突起C.萎缩胃炎伴肠上皮化生D.萎缩胃炎伴重度不典型增生E.萎缩胃炎伴幽门腺化生 [单选]重点监测关键区的原则是指，对（）的部位应重点进行监测。A.有危险因素B.风险度高C.位移大D.受施工影响 [单选]一患者，向心性肥胖，满月脸，多毛和痤疮明显，超声检查发现右侧肾上腺区显示7C.m的低回声区，分叶状，内回声不均匀。下列哪项诊断可能性大A.肾上腺皮质增生B.皮质腺瘤C.皮质腺癌D.神经母细胞瘤E.以上均对 [单选]静脉血的血色（）.A.鲜红B.暗红C.黑色 [单选]胶结的类型分为（）种。A、2B、3C、4D、5 [单选,B型题]羟苯乙酯可用作（）A.促渗透剂B.防腐剂C.保湿剂D.软膏剂油脂性基质E.软膏剂水溶性基质 [单选,B型题]听觉适应指（）。A.短时间暴露于强噪声，使听阈上升10～15dB，脱离噪声接触后数分钟内即可恢复正常B.较长时间暴露于强噪声，致使听阈上升超过15～30dB，脱离后需数小时至几十小时才能恢复C.已长期在强噪声环境中导致听力曲线在3000～6000Hz范围内出现"V形" [单选]根据《行政复议法》的规定，行政复议申请人在对具体行政行为申请行政复议时，可以一并向行政复议机关提出申请，就该具体行政行为所依据的有关规定的合法性进行审查。这些规定不包括下列（）。A.国务院部门规定B.国务院部、委员会规章和地方人民政府规章C.乡、镇人民政府的规 [填空题]当三相电动势的相序排列是A---C---B时，称为（）。 [单选]颅后窝骨折的特征性表现为（）A.脑脊液鼻漏B.失明C.Battle征D.失嗅E.搏动性突眼 [单选]皮肌炎典型的皮疹为（）A.面、颈、前胸上部弥漫性红斑B.各关节周围红斑C.面部蝶形红斑D.背部盘形红斑E.全身各部位皮疹 [单选,A2型题,A1/A2型题]输血相关性急性肺损伤的主要原因，是由于供者血浆中存在着（）。A.白细胞凝集素或HLA特异性抗体B.血小板抗体或球蛋白C.红细胞抗体或白蛋白D.白细胞碎片或蛋白质E.血细胞溶解碎片或血小板抗体 [单选]以下关于程序流程图、N-S盒图和决策表的叙述中，错误的是（）。A.N-S盒图可以避免随意的控制转移B.N-S盒图可以同时表示程序逻辑和数据结构C.程序流程图中的控制流可以任意转向D.决策表适宜表示多重条件组合下的行为 [单选]从事救助遇难船舶作业时应于开始工作时24h以内向海事局()。A.申请办理《许可证》B.提出口头申请C.申请免办《许可证》D.提出工作报告 [单选,A1型题]膀胱镜检查术，以下错误的是（）A.术前做好解释工作B.嘱患者多饮水C.检查前清洗外阴D.术后留置导尿管1周E.应用抗生素，预防感染 [单选,A2型题]人类文化的产生与发展是世代努力的结果，这指的是文化的（）A.历史性B.现实性C.渗透性D.继承性E.社会性 [单选]下列关于股票回购方式的表述中，正确的是（）。A.公开市场回购属于场外回购B.固定价格要约回购和荷兰式拍卖回购是按照股票回购的地点不同划分的C.股票回购容易造成资金紧张D.固定价格要约回购在回购价格确定方面给与公司更大的灵活性 [单选]人的腹腔内有（）.A.胃、肠、心、肝、肾等B.肺、胃、子宫、膀胱等C.胃、肝、肾、膀胱等 [单选,A2型题,A1/A2型题]《素问·上古天真论》中女子五七发始堕的原因是（）A.肾气虚B.肾精亏C.血不足D.阳气衰于上E.阳明脉衰 [单选]火灾现场中常见的“V”字形图痕，一般起火点就在“V”形的（）。A、上部B、中部C、底部D、不确立 [单选]支票磁码的（）域，应由提出行打码。A、交易码B、账号C、序号D、银行号 [名词解释]（水泥的）抗压强度 [单选]温经理所领导的团队根据组织目标确定了相应的发展目标——“到7月底，提高对问题的诊断能力”。这属于发展循环周期中的（）阶段。A．明确发展要求B．同意发展目标C．选择发展方法D．评估其有效性 [填空题]鼻骨复位术应在受伤后____天内进行，一般不宜超过____天。 [问答题,简答题]增加瓦斯嘴的操作？ [单选]机床型号中，通用特征代号中“数控”的表示代号是：（）。A.GB.MC.BD.K [单选,A2型题,A1/A2型题]关于肝性脑病，正确的是（）A.一期脑电图轻度异常B.二期Babinski征阳性C.三期腱反射减弱或消失D.四期有扑翼样震颤E.一期患者出现精神症状 [单选]甲建设单位委托乙设计单位编制工程设计图纸，但未约定该设计着作权归属。乙设计单位注册建筑师王某被指派负责该工程设计，则该工程设计图纸许可使用权归（）享有。A．甲建设单位B．乙设计单位C．注册建筑师王某D．甲、乙两单位共同 [单选]下肢牵涉痛是由哪一神经受刺激所致（）A.脊神经前根B.脊神经后根C.交感