《材料力学》第9章压杆稳定习题解课件.doc

第九章压杆稳定习题解

[ 习题9-1] 在§9-2 中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a 所示坐标系及挠度曲线

形状，导出了临界应力公式

2

EI

P

cr

。试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲线形2

l

状时，压杆在F作用下的挠曲线微分方程是否与图 a 情况下的相同，由此所得F

cr 公式又

cr

是否相同。

解：挠曲线微分方程与坐标系的y 轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。

因为（b）图与（a）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是

" M x

EIw ( ) 。（c）、(d) 的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程：

" M x

EIw ( ) ，显然，这微分方程与（a）的微分方程不同。

临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的

位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即：

2

EI P

cr

。

2

l

1

[ 习题9-2] 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图 f 所示杆在中间支承处不能转动）？

解：压杆能承受的临界压力为：

2

EI

P

cr

。由这公式可知，对于材料和截面相同的压杆，

2

( .l)

它们能承受的压力与原压相的相当长度l 的平方成反比，其中，为与约束情况有关的长度系数。

（a）l 1 5 5m

（b）l 0.7 7 4.9m

（c）l 0.5 9 4. 5m

（d）l 2 2 4m

（e）l 1 8 8m

（f ）l 0.7 5 3.5m （下段）；l 0.5 5 2.5m （上段）

故图 e 所示杆F最小，图f 所示杆F

cr 最大。

cr

[ 习题9-3] 图a,b 所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图a）的基础放在弹性

地基上，第二根杆（图b）的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为P

cr

2

EI (2.l

min

2

)

？为什么？并由此判断压杆长因数是否可能大于2。

2

螺旋千斤顶（图c）的底座对丝杆（起顶杆）的稳定性有无影响？校核丝杆稳定性时，

把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为l 的压杆是否偏于安全？

解：临界力与压杆两端的支承情况有关。因为(a) 的下支座不同于(b) 的下支座，所以它们的临界力计算公式不同。(b) 为一端固定，一端自由的情况，它的长度因素 2 ，其临界

力为：

2

EI

min

P

cr

。但是，(a) 为一端弹簧支座，一端自由的情况，它的长度因素2

(2.l )

2 ，因此，不能用

2

EI

min

P

cr

来计算临界力。

2

(2.l )

3

为了考察（a）情况下的临界力，我们不妨设下支座（B）的转动刚度

M EI C 20 ，

l

且无侧向位移，则：

" M x F w

EIw ( )

cr

( )

令F

cr

EI

k 2，得：" k2 w k

w

2

微分方程的通解为：w A s in kx B cos k x

'

w Ak cos k x Bk sin kx

由边界条件：x 0，w 0，'

w M

C

F

cr

C

；x l ，w

解得： A F

cr

Ck

F

cr

，B ，sin kl cos k l

Ck

C

整理后得到稳定方程：20

kl tan kl

EI / l

用试算法得：kl 1.496

故得到压杆的临界力：

2

EI EI

2

F

cr

(1.496) 。

2

l ( 2.1l )

因此，长度因素可以大于2。这与弹性支座的转动刚度C有关，C越小，则值越大。

当 C 0 时，。

螺旋千斤顶的底座与地面不是刚性连接，即不是固定的。它们之间是靠摩擦力来维持相

对的静止。当轴向压力不是很大，或地面较滑时，底座与地面之间有相对滑动，此时，不能

看作固定端；当轴向压力很大，或地面很粗糙时，底座与地面之间无相对滑动，此时，可以

看作是固定端。因此，校核丝杆稳定性时，把它看作上端自由，下端为具有一定转动刚度的

弹性支座较合适。这种情况， 2 ，算出来的临界力比“把它看作下端固定（固定于底座

上）、上端自由、长度为l 的压杆”算出来的临界力要小。譬如，设转动刚度

M EI C 20 ，

l

P

2

2.1

cr固端

则： 1. 1025

2

P 2

cr弹簧，P

cr固端

1.1025P

,

。因此，校核丝杆稳定性时，把

它

cr 弹簧

看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为l 的压杆不是偏于安全，而是偏于危险。