高斯求积公式

q( x)为次数 n的多项式。
则有
b
Gauss点 的 定 义
a ( x)n1( x)q( x)dx
n
Akn1 ( xk )q( xk ) 0，
k 0
由于左端等于0，即( n1 ( x)，q( x)) 0,
n1 ( x)在a, b上关于权 ( x)是n 1次正交多项式，
则 x（k k 0，1， ，n）是n 1次正交多项式 n1( x)的根。
i0
i i0 0
L( x)dx
a
Ai (b a)Ci(n)，i 0，1， ，n
例如
b
a
b
a
f
f
b
(x)dx a
( x)dx
H
3 ( x)dx
b
6
a
H
3
(a
)
4H3
(a
2
b)
H3
(b)
b
6
a
b a
L1 (
x)dx
(b
2
a)
L1
(a)
L1(b)
(b
2
a)
f
f
(a)
4
f
(
a
2
( x)的n 1次正交多项式Pn1 ( x)的根，则插值型求积公式
b
n
( x) f ( x)dx
a
Ak f ( xk )
(2.2)
具有代数精度m 2n 1。
k0
分析：只要证得对于次数 2n 1多项式f ( x)，(2.2)精确成立,即
b ( x) f ( x)dx＝ n a
Ak f ( xk )
k0
证明：令f ( x)是任意次数 2n 1代数多项式，则
f ( x) Pn1 ( x)q( x) r( x)， 其中q( x)与r( x)是任意次数 n的多项式。
I( f )
b
( x) f ( x)dx
a
b
a ( x)Pn1( x)q( x)dx
b
( x)r( x)dx
a
1、Gauss-Legendre （勒让德）求积公式
1
n
xi
(i
(x) 1,[a,b] [1,1], f ( x)dx 1
Ai f ( xi ),
i0
0,1, , n)是勒让德正交多项式的根，Ak (1
x
2 k
2 )[ P( xk
)]2
,
k
0,1,
, n。
若区间[a, b] [1,1]，则可用变量替换把区间[a, b] [1,1]，再进行计算。
0
b
a
(
x )l k2
(
x)dx
n
0为2n次代数多项式， Ailk2( xi ) Ak , k 0,1, , n。
i0
其次，取f ( x) 1，
n
则 | Ak |
n
Ak
b( x)dx ，
a
n
(E max
| Ak |)
k 0
k 0
k 0
E
b
( x)dx
E b( x)dx，即是数值稳定的。
2、Gauss- chebyshev （切比雪夫）求积公式
( x) 1 ,[a, b] [1,1], 1 f ( x) dx n f (cos 2k 1 )
1 x2
1 1 x 2
n k1
2n
3、Gauss-Laguerre （拉盖尔）求积公式
4、Gauss-Hermite 求积公式
说明：（1）插值型求积公式代数精度大于n，多大？最大可 达到2n+1,即是Gauss型求积公式，Gauss节点是正交多项式的根。
max
a
a
2、收敛性 引理2 对于有限闭区间[a, b] 上的任何连续函数 f ( x)有
lim R[ f ] 0
(2.4)
n
证明 : [a, b] 上的连续函数 f ( x) 可以用代数多项式一致逼近,
对任意给定的
max |
a xb
f
0,
(x
存在某个多项式
) qm ( x) | b
2 (
qm (x x)dx
b
b
b
I( f )
因为Pn1 (
a
x
(x) )是n
f (1x次)dx正交a 多( 项 x)P式nn11((xx))qq((xx))dd＝xx 0
b
b
n
( x)r( x)dx
a
r( x)的次数 n
I(( ff )) ( x) f ( x)dx ( x)r( x)dx Q(r)
复习：给定n+1个节点，插值型求积公式： Simpson公式
b
n
( x) f (x)dx a
Ai f ( xi )
N－C公式：
i0
b
n
nn
其中Ai
b
b
a ( x)li ( x)dx, i 0,1, , n
插值基函数
a
f ( x)dx
Ai f ( xi ) AAi iLL((xxii)
Q(
f
)
A0
x
3 0
A1
x
3 1
解
x
0
x1
1 3，
得
x0
源自文库
3 3
把A0 ,A1代入
2
2x0 x1(x0 x1) 3 (x0 x1)
x0 x1 0
x1
3 3
从而，A0
A1
1， Q( f ) A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 )
f (
3) 3
f(
3) 3
因此，求积公式为 1 f ( x)dx f ( 3 ) f ( 3 )，
)有
当n m 时，有(即m
2
从而，R[ f ] |
b
(x)
a
a
b
2n) a ( x)qm ( x)dx
n
f ( x)dx
A( n 1) k
n
Ak( n
q 1) m
k0
f ( xk(n1) ) |
(
x(n1) k
)
|
k0 b
a ( x)[ f ( x) qm ( x)]dx
n
Ak(n1)[ f ( xk(n1) ) qm ( xk(n1) )] |
1、稳定性 Gauss型求积公式是数值稳定的
0, k i lk (xi ) 1, k i
首先，可以证明Gauss 型求积系数Ak 0,(k 0,1, , n)
事实上，m 2n 1,
lk (x)(k 0,1,
则I
(l
2 k
(
x))
Q(l
,
2 k
n)为L ( x)), 即
插值基函数, lk 2 ( x)
本节 问题
值 问题：m最大多大? 如何确定？
关键
型 结论：由求积系系数数及n 1个节点xi , i 0,1,, ,,nn的的分分布布确定。
例4 求节点 x0，x1 ，使插值型求积公式
1
1 f ( x)dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 )
(2.1)
具有尽可能高的代数精度。
分析：四个未知量A0，A1，x0，x1，并知道插值型求积公式的
代数精解度：最x0高, x1。待定因，此l0按( x插) 值xx0型xx求11 ,积l1 (公x) 式 x来x1 求xx00A，0，A1。
A0
1 1
x x1 dx x0 x1
2x1 x1 x0
,
A1
1 x x0 dx 2x0
1 x1 x0
x1 x0
1
1 f ( x)dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 )
定义3 n+1个节点(a< x0<…< xn <b)的求积公式(2.2)若其代数 精度m=2n+1，即达到最高，称之为Gauss型求积公式, 并称其节点 为Gauss点。
正交多项式的根一定是Gauss点，那么Gauss点是否一定是正
交多项式的根？
2.2 Gauss点与正交多项式的关系
代数精度m=2n+1
k0
b
( x)(
a
2
)dx
b
(t)dt 2
b
n
A(n1) k
(t)dt k0
a
a
n
b
Ak
( x)dx
a
由 的任意性得(2.4)成立。
#
k0
3、结论： 定理6 Gauss型求积公式是数值稳定的；且对有限闭区间上的 连续函数，Gauss型求积公式的值随节点数目的增加而收敛到准确 积分值。 优点：（1）收敛、稳定；
a
a
Ak r( xk )
n
n
k0
而QQ((ff )) Ak f ( xk ) Ak r( xk ) Q(r)), Pn1 ( xk ) 0，
k0
I( f ) Q( f )，即
k0 b
( x) f ( x)dx
a
n
Ak f ( xk )
m 2n 1,
k0
又 m 2n 1, m 2n 1.
定理4 求积公式(2.2)是Gauss型的 Gauss点a<x0<…<xn <b
是[a,b]上关于权 ( x)的n+1次正交多项式的根。
分析：“充分性”即是引理1的结论。以下只证必要性
“必要性”，即Gauss点作为节点正是n+1次正交多项式的根。
只需证 n1(x) 关于( x) 正交。 证明：取2n 1次多项式f ( x) n1( x)q( x) ( x x0 ) ( x xn )q( x)，
x1
Ak f
( xk
xn
) Q(
b
f
，任意求积
)的代数精度
分析：
只要证明2n 2次多项式f ( x), I( f ) Q( f )即可。
b
n
f ( x)dx
a
Ak f ( xk )
k0
事实上，令f
(x)
[( x
x0 )( x
x1 )
(x
xn )]2
2 n1
(
x
)，则f
(x)
0,
从而，I( f )
分析：证明思路,由引理1知, xi(i=0,1,…,n)是Gauss点,则m=2n+1,
由n+1个点,确定2n+1次多项式。自然就想到Hermite插值多项式。
证明：若f(x)的Hermite插值多项式H2n+1(x) 满足插值条件
H2n1( xk ) f ( xk ), H2n1( xk ) f ( xk ), k 0,1, , n.
插值型
A0
1 1
x x1 dx x0 x1
2 x1 x1 x0
,
A1
1 x x0 dx 2x0
1 x1 x0
x1 x0
代数精度m 1,
令f ( x) x 2，得 1 x 2dx 2
－1
3
Q(
f
)
A0
x
2 0
A1 x12
把A0 , A1代 入
2x0 x1
令f ( x) x 3，得 1 x 3dx 0 －1
#
注：本定理说明Gauss求积公式的唯一性。
2.3 Gauss求积公式的余项（截断误差）
定理5 若f ( x) C (2n2)[a, b] ，则Gauss求积公式(2.2)的余项为
Rn1[ f ]
f ( (2n2) )
(2n 2)!
b a
(
x
)
2 n1
(
x
)dx,
(a, b) (2.3)
b ( x) f ( x)dx 0, 而Q( f )
a
n
Ak f ( xk ) 0,
m 2n 2。
k0
例4中m 3 2 1 1 2n 1是最高能达到的代数精度。
Gauss型求积公式的构造 ——利用正交多项式的根构造
代数精度最高的求积公式
引理1：若求积节点a x0 x1 xn b是[a, b]上关于权函数
（2）计算量小，代数精度高。 缺点: （1）Gauss点难求（即多项式的根难求）；
（2）Gauss点是无理数， Gauss求积系数也是无理数。
使用情况： （1）f(x) 赋值量大；
（2）计算的积分多。
2.5 几个常用的Gauss型求积公式
Gauss型节点是多项式的根，因此与正交多项式联系起来，有
以下几种求积公式。
－1
3
3
求积公式为 1 f ( x)dx f ( 3 ) f ( 3 )，
－1
3
3
对于f ( x) x 4 , I( f ) 1 x 4dx 2 Q( x) ( 3 )4 ( 3 )4 2
－1
5
3
39
m 3 21 1。
m系数2n一， 般求2。地积，公对式于I(任f )意求ab积f 节( x点)dxax0
（2）虽然对任意的[a,b]以及[a,b]上的权函数 ( x)都能构造正
交多项式，并且也能构造高斯求积公式，但不能象这些特殊多项
式那样，归结成一个明确的表达式，也没有明确的规律，因此，
借助这些特殊多项式，便于解决一些实际问题。
作业:
由
b
a ( x)H2n1( x)dx
n
Ak H 2n1( xk )
k0
b
n
Ak f ( xk ) (
k0
b
( x) f ( x)dx I( f ))
a
Rn1[ f ] I( f ) Q( f ) a ( x)[ f ( x) H 2n1 ( x)]dx
b
(x)
a
f (2n2) ( )
[( x (2n 2)!
x0 )( x
x1 )
(x
xn )]2dx
利用
2 n1
(
x
)
[( x
x0 )( x
x1 )
(x
xn )]2
0,
f
(2n2) ( )是连续函数，
由积分中值定理得
Rn1[ f ]
f (2n2) ( )
(2n 2)!
b a
(
x
)
2 n1
(
x)dx,
(a,b)。
#
2.4 Gauss求积公式的数值稳定性和收敛性
(a) f (b)
b)
f
(b)
优点：代数精度高： m ，n
梯形公式
缺点：数值不一定稳定。
问题：代数精度最大是多少？如何寻求数值稳定的方法？
本节内容：介绍插值型求积公式的特例，Gauss型求积公式。
优点： 1、代数精度最高； 2、数值稳定，收敛。
§2 Gauss型求积公式
2.1 最高代数精度求积公式 插 设有n 1个节点，插值型求积公式的代数精度m n。