高斯求积公式
4。4高斯型求积公式
=
A
1
=1
于是得到求积公式
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∫
1 −1
f
( x )dx
≈ f −
1 + f 3
1 3
3
它有3次代数精度， 它有 次代数精度，而以两个端点为节点的梯形公式只有 次代数精度 1次代数精度。 次代数精度。 次代数精度 一般地， 一般地，考虑带权求积公式
I =
∫
1
0
x 2 e x dx
解 由于区间为[0,1],所以先作变量替换 由于区间为 所以先作变量替换x=(1+t)/2,得 得 所以先作变量替换 2 1 1 1 2 x I = ∫ x e dx = ∫ (t +1 e(1+t ) / 2dt ) 0 8 −1 2 对于n=1,由两点 由两点Gauss-Legendre公式有 令 由两点 公式有 f (t ) = (1 + t ) e (1+t )/ 2 对于
∫
b a
ρ
( x )l k ( x )dx
, k = 0 ,1 , L n
是关于Gauss点的 点的Lagrange插值基函数。 插值基函数。 其中 l k ( x ) 是关于 点的 插值基函数
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10
定理2 定理 高斯型求积公式总是稳定的。 证明 只需证明高斯系数全为正即可。由 于插值公式对次数不超过2n+1的多项式精 f ( x ) = lk2 ( x), 其中lk ( x ) 是n次拉格 确成立，若取 朗日插值基函数，有
1 P3 ( x ) = ( 5 x 2 − 3 x ), 当n=2时，三次 时 三次Legendre多项式 多项式 2
零点为 x 0
4.3高斯型求积公式
有
I=
b a
f ( x )dx 0,
n
而数值积分
In
Ak f ( x k )
k0
n
Ak n 1 ( x k ) 0
2
k0
故 最 高 可 能 代 数 精 度 为 2n + 1.
高斯求积公式
定 义 7- 1： 如 果 求 积 公 式
b
f ( x )d x
a
k=0
1 1
f ( x )d x
k=0
n
Ak f ( x k )
称 为 高 斯 - 勒 让 德 求 积 公 式 ， 具 有 2n 1 次 代 数 精 度 。 其 中 G a u ss 点 x k , 及 求 积 系 数 A k 可 查 表 求 得 .
点 数 1 2
xk
Ak
点 数 6
xk
Ak
0
n
Ak f ( x k ) 对 于
所有次数不超过m 的多项式均能准确成立， 但对于 m 1 次多项式不一定准确成立， 则称该数值求积公式具有 m 次代数精度。
高斯求积公式
定 义 7- 2： 若 插 值 求 积 公 式
b a
f ( x )d x
k =0
n
Ak f ( x k )
具 有 2n 1 次 代 数 精 度 ， 则 称 该 插 值 求 积 公 式 为 高 斯 求 积 公 式 ， 其 中 结 点 xk 称 为 高 斯 点 ； 求 积 系 数 Ak 称 为 高 斯 求 积 系 数 。
0.1713244924 0.3607615730 0.4679139346 0.1294849662 0.2797053915 0.3818300505 0.4179591837
高斯求积公式-数值分析课程设计2
一、 引言介绍高斯型求积公式，并使用其求积分⎰=1sin I xdx 。
要求：数值实验结果要体现出随高斯点的增加误差的变化。
我们知道,求积公式⎰∑=≈bani i ix f Adx x f 0)()( （1.1）含有22+n 个待定常数i x 及),,2,1,0(n i A i =,如果它具有n 次代数精确度,则它应使1+m 个方程mk dx x x A bakni ki i ,,2,1,0,==⎰∑= (1.2)精确成立。
作为插值型求积公式(1.1)它至少具有n 次代数精确度；另一方面,令)())(()(101n n x x x x x x x ---=+ ω,则对22+n 次多项式)()(21x x f n +=ω而言，(7.5.1)右端为零,而左端严格大于零,即(7.5.1)式对22+n 次多项式)(21x n +ω不准确成立。
但要确定方程组(7.5.2)中的22+n 个待定常数i x 与i A ,最多需要给出22+n 个独立条件,所以m最大取12+n 。
因此,插值型求积公式(1.1)的代数精确度最小是n ,最大是12+n ．由此可见，高斯公式的代数精度比牛顿-科特斯公式高，求解高斯求积公式的关键就是解出上述2n+2个待定常数。
为解决上述问题，首先要先给出三个定理：定理一：以n x x x ,,,10 为节点的插值型求积公式(7.5.1)具有12+n 次代数精确度的充要条件是以这些节点为零点的多项式)())(()(101n n x x x x x x x ---=+ ω与任意次数不超过n 的多项式)(x P 均在区间],[b a 上正交,即⎰=+ban dx x x P 0)()(1ω (1.3)定理二：高斯公式(1.1)的求积系数k A 全为正,且nk dx x l dx x l A bak bak k ,1,0,)()(2===⎰⎰(1.4)定理三：对于高斯公式(1.1),其余项为dxx fn f R ban n ⎰+++=)()()!22(1)(21)22(ωη (1.5)其中).())(()(],,[101n n x x x x x x x b a ---=∈+ ωη证明 以n x x x ,,,10 为节点构造)(x f 的埃尔米特插值多项式)(x H),()(i i x f x H = ni x f x H i i ,1,0),()(='='因为)(x H 是12+n 次多项式,而它的余项是)()()!22(1)()(21)22(x fn x H x f n n +++=-ωξ所以高斯公式(7.5.1)对)(x H 能准确成立,即∑∑⎰====ni i in i iibax f Ax H A dx x H 0)()()(从而dxx fn dxx H dx x f x f A dx x f f R n ban babani i i ba)()()!22(1)()()()()(21)22(0++=⎰⎰⎰∑⎰+=-=-=ωξ若)()22(x fn +在区间],[b a 上连续,由于)(21x n +ω在],[b a 上不变号,故应用积分中值定理可得],[,)()()!22(1)(21)22(b a dx x fn f R ban n ∈+=⎰++ηωη上述定理说明,与牛顿—科兹公式进行比较,高斯公式不但具有高精度,而且它还是数值稳定的,但是节点和求积系数的计算比较麻烦。
数值分析课件高斯求积公式
1
1
1 f ( x)dx A0 f (
求 A0 , A：1
3 ) A1 f (
) 3
令 f ( x) ，1,代x入公式精确成立，得到： A0 A1 1
或
1
1
A0 1 l0 ( x)dx 1, A1 1 l1( x)dx 1
两点Gauss-Legendre求积公式
3次代数精度
1
1
1
一、 Gauss积分问题的提法
n
积分公式的一般形式： In ( f ) Ak f ( xk ) k0
➢为了提高代数精度，需要适当选择求积节点:
①当求积节点个数确定后，不管这些求积节点如何选
取，求积公式的代数精度最高能达到多少？2n 1
②具有最高代数精度的求积公式中求积节点如何选取？
n 个1求积节点， n个求1 积系数，共 个2n未知2量，需要
f p max f p axb
则Gauss型求积公式（*）是收敛的。
证明：由Weierstrass定理知 对 0
存在m次多项式 p( x满)足
下证 N , 当 n 时N
f
p 2
b
( x)dx
a
b
n
f ( x)( x)dx
a
Ak f ( xk )
k0
b
n
f ( x)( x)dx
➢ Gauss-Chebyshev求积公式
(x)
1
n
f ( x)( x)dx
1
Ak f ( xk )
k0
1 1 x2
其中求积节点
多项式的零点
xk
n [a, b] 是n+1次Chebyshev
k0
数值分析(高斯求积公式)
推论 Gauss求积公式是稳定的. 定理3. 6.4
设f x C a , b , 则Gauss求积公式是收敛的,即
lim Ak f xk f x dx
b n k 0 a
n
常用的Gauss求积公式
1. Gauss－Legendre求积公式 取权函数 ( x ) 1,? 积分区间[a , b] [1,1], Gauss点为Legendre多项式的零点, 则得到 Gauss Legendre求积公式 :
例3.6.1
1
取 ( x ) 1, 积分区间为[1,1], 求x0 , x1和A0 , A1，使
1
求积公式 f x dx A0 f x0 A1 f x1 为Gauss求积公式. 解法二：
注意到f xk q xk 2 xk r xk r xk , k 0,1.
两端ai i 0,1,2,, m 的系数相等。即
A0 A1 A2 An 0 ,
其中，i x i ( x )dx .
a
b
A0 x0 A1 x1 A2 x2 An xn 1 ,
2 2 2 2 A0 x0 A1 x1 A2 x2 An xn 2 ,
则有 f x dx q x 2 x dx r x dx， 3.6.8
1 1 1 1 1 1
注意到r x 是一次式，故对求积公式准确成立，即
r x dx A r x A r x .
1 1 0 0 1 1
b a k 0
n
k
f ( xk )
的余项为
R
高斯求积公式
定义4 定义4
如果求积公式(5.1)具有 2n +1次代数精度，
则称其节点 xk (k = 0,1 ⋯, n) 为高斯点 高斯点，相应公式(5.1)称 高斯点 , 为高斯求积公式 高斯求积公式. 高斯求积公式
3
根据定义要使(5.1)具有 2n +1次代数精度，只要对
充分性. 对于 ∀f (x) ∈H2n+1, 用 ωn+1(x) 除 f (x) ， ， 记商为 P(x)，余式为 q(x) 即 f (x) = P(x)ωn+1(x) + q(x) , 其中 P(x),q(x)∈Hn. 由(5.5)可得
∫
b
a
f (x)ρ(x)dx = ∫ q(x)ρ(x)dx.
b a
18
令它对 f (x) =1, x 都准确成立，有
A + A = 2; 0 1 A − 1 + A 1 = 0. 1 0 3 3
由此解出 A = A =1, 从而得到两点高斯-勒让德求积公式 0 1
∫
1
1 −
f (x)dx ≈ f (−
1 1 ) + f (− ). 3 3
b n→ ∞ k =0 a n
16
4.5.2
高斯高斯-勒让德求积公式
在高斯求积公式(5.1)中，若取权函数 ρ(x) =1, 区间为
[−11 则得公式 , ],
n
∫
1
−1
f (x)dx ≈ ∑A f (xk ). k
k =0
（5.9）
由于勒让德多项式是区间 [−11]上的正交多项式，因此， , 勒让德多项式 P 1(x) 的零点就是求积公式(5.9)的高斯点. n+ 形如(5.9)的高斯公式称为高斯-勒让德求积公式. 高斯-勒让ρ(x) ≥ 0, 由积分中值定理得(5.1)的余项为
高斯求积公式范文
高斯求积公式范文高斯求积公式，也称为高斯–勒让德求积公式（Gauss-Legendre Quadrature），是数值计算中一种常见的数值积分方法。
它通过选择适当的节点和权重来近似计算一个确定积分的值。
高斯求积公式的基本思想是通过选取合适的节点，使得积分节点上的函数值和求积公式的节点值与相应的权重值的乘积之和等于被积函数的积分。
要了解高斯求积公式，首先需要了解勒让德多项式（Legendre Polynomials）。
勒让德多项式是定义在区间[-1,1]上的一个连续函数系列，它们具有许多重要的性质。
其中最为重要的性质是勒让德多项式是在[-1,1]上正交的，即在区间[-1,1]上的积分为0，除非两个不同的多项式相乘。
高斯求积公式可以通过使用勒让德多项式的正交性质来推导。
假设我们要计算函数f(x)在区间[-1,1]上的积分，可以通过勒让德多项式来近似这个积分。
具体的做法是，首先选择一个适当的正整数n，计算n个勒让德多项式。
然后，在区间[-1,1]上选择n个互不相同的节点x_i，通过求解勒让德多项式的根来得到这些节点。
接下来，计算n个权重w_i，使得求积公式的节点值与权重值之积的和等于被积函数在区间[-1,1]上的积分。
对于一个给定的n，高斯求积公式的节点和权重可以通过一系列的计算得到。
首先，通过求解勒让德多项式的根来得到节点。
勒让德多项式的根是对应于勒让德多项式的零点的x值。
然后，通过求解勒让德多项式的导数来得到权重。
通过这些计算，我们可以得到一组称为高斯节点和权重的数值。
利用高斯节点和权重，我们可以将原始的积分问题转化为一组简单的加权求和问题。
具体地，我们可以将被积函数f(x)展开为勒让德多项式的级数形式，然后将这个级数代入原始积分的公式中，使用高斯节点和权重来计算每一项的值，最后将这些值相加得到积分的数值近似值。
1.高准确性：高斯求积公式可以提供非常精确的数值积分结果。
2.高效性：高斯求积公式可以通过选择适当的节点和权重，使计算量最小化。
高斯-勒让德(gauss-legendre)求积公式的证明
高斯-勒让德(gauss-legendre)求积公式的证明高斯-勒让德（Gauss-Legendre）求积公式是一种用于数值积分的方法，通过对积分区间上的权重和节点进行适当选择，可以实现高精度的数值积分。
下面是高斯-勒让德求积公式的概要证明：1.首先，我们需要选择积分区间和节点数。
高斯-勒让德求积公式要求积分区间为[-1, 1]，且节点数与权重数相同。
2.接下来，我们需要在[-1, 1]之间确定节点和相应的权重。
节点是使得关联的勒让德多项式在该点上取得零值的点。
权重则反映了在积分计算中节点的重要性。
3.对于高斯-勒让德求积公式的n阶，我们需要找到n个根（即节点）x1, x2, ..., xn，并确定相应的权重w1, w2, ..., wn。
4.使用勒让德多项式进行重写。
勒让德多项式Pn(x)可以表示为（n阶勒让德多项式的归一化形式）：Pn(x) = (1 / (2^n * n!)) * d^n/dx^n [(x^2 - 1)^n]5.根据正交性质，勒让德多项式在区间[-1, 1]上相互正交。
即对于i ≠ j，有：∫[-1, 1] P_i(x) * P_j(x) dx = 0根据这一性质，我们可以确定节点和权重。
6.使用节点和权重构建高斯-勒让德求积公式。
积分的近似值可以表示为：∫[a, b] f(x) dx ≈ (b - a) / 2 * ∑[i=1 to n] wi * f((b - a) * xi / 2 + (b + a) /2)其中wi是权重，xi是节点。
7.在实际计算中，节点和权重需要通过数值方法来求解，如Jacobi矩阵或递推关系式等。
一种常用的数值求解方法是利用Jacobi矩阵的特征值与特征向量，通过迭代过程求解。
需要注意的是，上述证明提供了高斯-勒让德求积公式的概要，具体的证明过程可能会涉及更多数学推导和定理。
高斯求积公式
总结
1：梯形求积公式和抛物线求积公式是低精度的方法，但对于光滑 性较差的函数有时比用高精度方法能得到更好的效果。复化梯形 公式和抛物线求积公式，精度较高，计算较简，使用非常广泛。 2：Romberg求积方法，算法简单，当节点加密提高积分近似程度 时，前面的计算结果可以为后面的计算使用，因此，对减少计算 量很有好处。并有比较简单的误差估计方法。 3。Gauss型求积，它的节点是不规则的，所以当节点增加时，前 面的计算的函数值不能被后面利用。计算过程比较麻烦，但精度 高，特别是对计算无穷区间上的积分和旁义积分，则是其他方法 所不能比的。
n
证明： 时代入公式， 证明：分别取 f(x)=1, x，x2，...xn 时代入公式，并让其成为等式得 ，
A1 + A2 + …… + An =∫ab1dx.= b-a +xn An =∫abxdx.= （b2-a 2)/2 ...... x1 rA1 + x2 rA2+ …… +xn rAn =∫abxr dxr =(br+1-a r+1)/ (r+1) 等式， 个待定系数 变元),要想如上方程组有唯一解 个待定系数(变元 要想如上方程组有唯一解， 上式共有 r 个 等式，2n个待定系数 变元 要想如上方程组有唯一解，应有方 程组中方程的个数等于变元的个数,即 程组中方程的个数等于变元的个数 即 r=2n,这样求出的解答应的求积公式的代 这样求出的解答应的求积公式的代 数精度至少是2n-1,下面证明代数精度只能是2n-1. 下面证明代数精度只能是 数精度至少是 下面证明代数精度只能是 [ 如果事先已选定 ，b]中求积节点 k如下a≤x1 ≤…x n≤b,上式成为 个未知 如果事先已选定[a 中求积节点x 上式成为n个未知 中求积节点 如下 ≤ 上式成为 元线性方程组， 时方程组有唯一解 有唯一解] 数 A1、...An的n元线性方程组，此时要 元线性方程组 此时要r=n 时方程组有唯一解 、 x1 A1 + x2 A2+ ……
高斯(Gauss)求积公式
数值分析
（2）利用正交多项式构造高斯求积公式 ）
为正交多项式序列， 设Pn(x)，n=0,1,2,…,为正交多项式序列， Pn(x) 为正交多项式序列 具有如下性质： 具有如下性质： 1）对每一个 ,Pn(x)是 n 次多项式。 n=0,1,… ）对每一个n 是 次多项式。 2） 正交性 b ρ( x)P ( x)P ( x)dx = 0,(i ≠ j) ） 正交性) (正交性
∫
1
1
f ( x)dx ≈ f (0.5773502692) + f (0.5773502692)
n=2
∫
1
1
f ( x)dx ≈ 0.555555556 f (0.7745966692)
+0.888888889 f (0) + 0.555555556 f (0.7745966692)
数值分析
数值分析
例: 运用三点高斯-勒让德求积公式与辛卜生求积 公式计算积分∫ x + 1.5dx 1 解:由三点高斯-勒让德求积公式有
1
∫
1
1
x + 1.5dx
≈ 0.555556( 0.725403 + 2.274596) + 0.888889 1.5 = 2.399709 由三点辛卜生求积公式有 1 1 ∫1 x + 1.5dx ≈ 3 ( 0.5 + 4 1.5 + 2.5) = 2.395742
b k=0 k=0
b b
n
n
由性质3） 由性质 ）及(4)式，有 式
ρ( x) f ( x)dx = ∫a ρ( x)q( x)P +1( x)dx + ∫a ρ( x)r( x)dx n a
gauss型求积公式例题
gauss型求积公式例题高斯求积公式，也称高斯-勒让德求积公式，是一种用于数值积分的方法。
它通过在给定区间上选择适当的节点和权重来近似计算定积分。
具体来说，高斯求积公式使用一组特定的节点和权重，使得在这些节点上进行的插值多项式与被积函数的积分相等。
为了更好地理解高斯求积公式，让我们来看一个例题。
假设我们要计算定积分∫(0到1) 2x^2 dx。
我们可以使用高斯求积公式来近似计算这个积分。
首先，我们需要确定使用的节点和权重。
对于高斯求积公式，节点和权重是预先确定的，并且取决于所选择的积分近似阶数。
假设我们选择3阶高斯求积公式，那么对应的节点和权重为：节点，-0.7745966692, 0, 0.7745966692。
权重，0.5555555556, 0.8888888889, 0.5555555556。
接下来，我们将被积函数 2x^2 转换到区间[-1, 1]上。
这可以通过线性变换来实现。
然后，我们可以利用节点和权重来计算近似积分值。
具体计算过程涉及将被积函数在节点处进行求值，并与对应权重相乘后求和。
在这个例子中，我们可以计算出近似的积分值为：0.5555555556 f(-0.7745966692) + 0.8888888889 f(0) + 0.5555555556 f(0.7745966692)。
其中f(x) = 2 ((x+1)/2)^2。
将这些值代入后计算即可得到近似的积分值。
需要注意的是，高斯求积公式的精度取决于所选择的节点和权重，以及所选择的积分近似阶数。
通常情况下，随着阶数的增加，高斯求积公式的精度会提高。
总之，高斯求积公式是一种用于数值积分的有效方法，通过选择合适的节点和权重，可以对定积分进行较为精确的近似计算。
在实际应用中，可以根据需要选择不同阶数的高斯求积公式来平衡计算精度和计算成本。
4.3 高斯求积公式
解之得
A1 x1 0 2 2 A1 x1 3 3 A1 x1 0 3 3 A0 A1 1 x0 x0 3 3
A0 A x 0 0 2 A x 0 0 A x3 0 0
A1 2
代入(1)即得
1
1
可以验证，所得公式（2）是具有3次代数精度的插 值型求积公式。 这个例子告诉我们，只要适当选择求积节点， 可使插值型求积公式的代数精度达到最高。这就是 本节要介绍的高斯求积公式。
高斯求积公式的误差
定理： 设 f ( x )在[ a , b ]上 2 n +2 阶连续可微， ( x ) 0, 则带权函数 ( x )的 Gauss型求积公式的余项为
R ( f ) ( x ) f ( x ) dx Ak f ( xk )
a k 0 b n
f ( ) 2 ( x ) ( x ) dx ( a , b ) (2 n +2)! a
a b
b
( x )q ( x )
a n k 1 k k
b
n
( x ) dx ( x ) r ( x ) dx
a
b
( x ) r ( x )dx A r ( x
a
)
A
k 1
n
k
f ( xk )
结论：
区 间[ a , b ]上 关 于 权 函 数 ( x )的 正 交 多 项 式 系 中 的 n +1 次 正 交 多 项 式 的 根 就 是 Gauss点 。
a k 0
b
n
对 f ( x ) x l (l 0,1, , 2 n 1) 精确成立
数值分析8-高斯型求积公式
1 −1
f ( 2 n+ 2) (η ) f ( x ) dx − ∑ ωi f ( xi ) = (2n + 2)! i =0
n
∫
1
−1
( x − xi ) 2 dx ∏
i =0
n
证明：以 x0 … xn 为节点，构造 f (x) 的 2n+1 次Hermite插值
多项式 H(x)，满足
1 d n+1 ( x 2 − 1) n+1 Pn+1 ( x ) = n+1 2 ( n + 1)! dx n+1
取其 n+1 个零点作为 Gauss 点，即可得 Gauss-Legendre 求积公式。
G-L 公式的余项
定理 设 f (x) ∈C 2n+2[-1, 1] ，则 G-L求积公式的余项为
i =0
n
注：(1)Gauss求积公式仍然是插值型求积公式； (2)Gauss系数可通过Gauss点和Lagrange基函 数得到；
高斯点的确定
定理 节点 xi (i = 0, 1, … , n) 是求积公式(2-30)的Gauss
点的充要条件是：多项式 w( x) = ∏ ( x − xi ) 与任意次数不超 过 n 的多项式 p(x) 正交，即
∫
1
−1
f ( x ) dx ≈ ∑ Ai f ( x i ) = f ( −1 / 3 ) + f (1 / 3 )
i =0
n
n = 2: Pn+1(x) =
(5x3 -
3x)/2,
两点G-L公式
∫
1
−1
f ( x ) dx ≈ 5 f − 15 5 + 8 f ( 0 ) + 5 f 9 9 9
数值分析10_4。4高斯型求积公式
Px
x
n1
Q( x)
其中P(x)和Q(x)都是次数不超过n的多项式，于是有
b
a
x
f
xdx
b
a
x Qx dx
由于是插值型求积，它对于Q(x)能准确立即
华长生制作
8
即
b
a
x
Q
x
dx
n
Ak
Q
xk
k 0
注意到 n1xk 0 知 Qxk f xk ，从而有
b
a
x f
x dx
n
Ak
f
xk
k 0
Gauss-Chebyshev求积公式为
1
1
1 1 x2
f
xdx
3
f
3 2
f 0
f
3 2
,
华长生制作
19
例 计算积分
1 2 x dx
1 1 x 2
解 选用n=2的Gauss-Chebyshev求积公式计算,这时 f x 2 x
于是有
1 1
2 x 1 x2
dx
3
2 3 2
2
2
3 2
多项式。n+1次Chebyshev多项式
Tn1x cos[(n 1) arccos x]
的零点为
xk
cos 2k 1 , k
2n 2
0,1,
, n.
以此为Gauss点,利用Chebyshev多项式的性质可得相应的求积系数 为
1
Ak 1
1 1
x2
lk xdx
,k
n 1
0,1,
n.
其中 lk x 是关于Gauss点的Lagrange插值基函数.从而有Gauss-
高斯求积公式及其matlab实现
高斯求积公式及其matlab实现高斯求积公式是一种用于数值积分的方法，它可以在有限次计算的情况下，精确地计算多项式函数在给定区间上的积分值。
该方法发明于19世纪初期，是数值分析领域中的重要研究内容之一。
随着计算机技术的不断发展，高斯求积方法在科学计算和工程领域得到了广泛的应用。
高斯求积公式的基本思想是，将被积函数在给定区间内进行变换，使得其能够转化为一个已知的多项式函数的形式。
然后，将该多项式进行插值和积分，得到被积函数在该区间内的积分值。
这种方法的核心是高斯-黎曼公式，即在复平面上的某个区域内，对任意一个可微函数进行积分的公式，该公式是复分析理论中的重要结果。
具体地说，高斯求积公式可以表示为：$$\int_{-1}^{1}f(x)dx=\sum_{i=1}^{n}w_if(x_i)$$其中，$f(x)$表示被积函数，$x_i$和$w_i$分别表示$n$个积分点和相应的权重系数。
这些权重系数的计算是通过将被积函数在给定区间内进行变换来实现的，通常使用拉格朗日插值多项式或英特波公式进行计算。
在实际应用中，也可以使用类似于Simpson和辛普森公式的数值积分方法来实现该求积公式。
在MATLAB中，高斯求积公式的实现可以通过使用“quadgk”函数来实现。
该函数使用了Gaussian-Kronrod求积规则，可以在给定的精度下计算任意复杂的函数积分。
具体用法如下：```[f, err] = quadgk(@(x)f(x), -1, 1, 'MaxIntervalCount', n);```其中，$f(x)$表示被积函数，$n$表示积分点的数量，可以通过调整“MaxIntervalCount”参数来控制精度。
该函数会返回一个包含积分值和估计误差的向量，可以通过查看估计误差来判断计算结果的可靠性。
综上所述，高斯求积公式是一种重要的数值积分方法，在科学计算和工程领域中得到了广泛的应用。
在MATLAB中，可以通过使用“quadgk”函数来实现该方法，同时也可以结合其他数值积分方法来提高计算的精度和效率。
高斯型求积公式课件
自编程实现
要点一
理解高斯型求积公式的原理
在自编程实现高斯型求积公式时，需要深入理解高斯型求 积公式的原理和数学推导过程，以确保编程实现的正确性 。
要点二
编写代码并进行测试
根据高斯型求积公式的原理，编写相应的代码并进行测试 ，以确保代码的正确性和可靠性。在编写代码时，需要注 意代码的可读性和可维护性，以提高代码的质量和可复用 性。
收敛性分析
对高斯型求积公式的收敛性进行深入分析，有 助于进一步优化其收敛速度。
稳定性
在提高收敛速度的同时，保持高斯型求积公式的稳定性是关键。
高斯型求积公式的并行化改的计算过程分解为多个子任务
，可以实现并行计算，进一步提高计算效率。
并行算法设计
02 设计高效的并行算法是实现高斯型求积公式并行化的
在微积分基本定理推导过程中，我们需要理解微积分的基本 概念和定理的证明过程，以确保推导的正确性和可靠性。
数值积分公式推导
数值积分公式是高斯型求积公式的另一种形式，通过数值积分公式的推导，我们可以将高斯型求积公 式应用到数值计算中。
在数值积分公式推导过程中，我们需要理解数值计算的基本原理和方法，以确保数值计算的准确性和 可靠性。
03
高斯型求积公式的实现
编程语言实现
Python实现
Python是一种通用编程语言，具有简洁的语法和丰富的科学计算库。使用Python实现高斯型求积公式可以充分 利用NumPy等科学计算库，提高计算效率。
C实现
C是一种高效的系统编程语言，适合进行大规模数值计算。通过C实现高斯型求积公式，可以充分利用其编译型语 言的性能优势，提高计算速度。
高斯型求积公式具有高精度、高稳定 性和易于实现等优点，因此在数值计 算中得到了广泛应用。
高斯求积公式
高斯求积公式
高斯求积公式，也称为高斯积分公式，是一个数学上的重要公式，它是由德国数学家卡尔·高斯提出的。
高斯求积公式可以用来计算一个函数在某个区间内的积分值，因此也可以称为“求积公式”。
高斯求积公式的具体形式如下：
∫a^b f(x)dx = (b-a)/2[f(a)+f(b)+2∑f(x_i)]
其中，f(x)是区间[a,b]内的某个函数，x_i是区间[a,b]的某个中间点，i=1,2,…,n。
为了简化计算，一般情况下，n取值为2或3。
高斯求积公式有许多应用，它可以用来解决许多不同类型的积分问题。
它能够求解函数在某个区间内的积分值，也可以用来求解多元函数的最大值或最小值问题。
此外，它还可以用来计算曲线下面积，求解复杂微分方程等。
总之，高斯求积公式是一个非常有用的数学公式，它可以用来解决许多积分问题，因此被广泛应用于科学研究和工程计算中。
第四节 高斯Gauss求积公式讲解
Ak f ( x k )
k?0
的代数精度最高为 2n+1次。
证明：取特殊情形 ? ( x ) ? 1,
分别取 f(x)=1, x ，x2，...xr 代入公式，并让其成为
等式，得：
A0 + A1 + …… + A n =∫ab1dx.= b-a
x0 A0 + x1 A1+ …… +x n An =∫abxdx.= （b2-a 2)/2
? ? ? 于是
1 f ( x )dx ? 1
1
f
(
1
(1
?
t ))dt
?
?
1
1
F (t )dt
0
2 ?1 2
2 ?1
? 由两点Gauss? Legendre求积公式
1
F (t)dt ? F (?0.577)? F(0.577)
?1
得
1
11 1
11
11
? ? f (x)dx ? f ( (1? t))dt ? f ( (1? 0.577))? f ( (1? 0.577))
0
2 ?1 2
22
22
数值分析
数值分析
? 例 对积分 1 f ( x )dx，试利用 n ? 3的四点 Gauss ? Legendre 0 求积公式构造 Gauss型求积公式。即确定 x 0 , x1 , x2 , x3和 A0 , A1 , A2 , A3使 1 ?0 f ( x )dx ? A0 f ( x0 ) ? A1 f ( x1 ) ? A2 f ( x2 ) ? A3 f ( x3 ) 为 Gauss 型求 积公式。
3）对任意一个次数 ≤n-1 的多项式P(x)，有
6c高斯型求积公式
定理
若节点 xk , k 0,1, , n 是高斯点，则以这些点为根
n
的多项式 ( x) ( x xk ) 是最高次幂系数为 1 的的勒让德多项
k 0
式，即
(n 1)! d n 1 ( x 2 1) n 1 L n 1 (2n 2)! dx n 1
计算方法
第六章 数值积分与数值微分
—— Gauss 求积公式
1
本讲内容
Gauss 求积公式
一般理论: 公式, 余项, 收敛性, 稳定性
Gauss-Legendre 求积公式
Gauss-Chebyshev 求积公式
无限区间的 Gauss 求积公式
2
Gauss 型求积公式
考虑求积公式
0.4674
20
1 1
f ( x ) dx Ai f ( xi )
i 0
9
n
简单 G-L 公式
n =0 时, Pn1 ( x) x G-L 求积公式:
1 1
Gauss 点: x0 0
将 f (x)＝1 代入求出 A0
f ( x ) dx 2 f (0)
1 2
n =1 时, Pn1 ( x ) (3 x 2 1) Gauss 点: x0 3 , x1 3
i 0
n
要证 xi 为 Gauss 点，即公式对 p(x) H2n+1精确成立 “ p( x) ( x)q( x) r( x) ” p(x), r(x)Hn 设
n1
b a
( x ) p( x )dx ( x)n1 ( x)q( x)dx ( x)r( x)dx
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定理4 求积公式(2.2)是Gauss型的 Gauss点a<x0<…<xn <b
是[a,b]上关于权 ( x)的n+1次正交多项式的根。
分析：“充分性”即是引理1的结论。以下只证必要性
“必要性”，即Gauss点作为节点正是n+1次正交多项式的根。
只需证 n1(x) 关于( x) 正交。 证明：取2n 1次多项式f ( x) n1( x)q( x) ( x x0 ) ( x xn )q( x)，
q( x)为次数 n的多项式。
则有
b
Gauss点 的 定 义
a ( x)n1( x)q( x)dx
n
Akn1 ( xk )q( xk ) 0，
k 0
由于左端等于0，即( n1 ( x)，q( x)) 0,
n1 ( x)在a, b上关于权 ( x)是n 1次正交多项式，
则 x（k k 0，1， ，n）是n 1次正交多项式 n1( x)的根。
max
a
a
2、收敛性 引理2 对于有限闭区间[a, b] 上的任何连续函数 f ( x)有
lim R[ f ] 0
(2.4)
n
证明 : [a, b] 上的连续函数 f ( x) 可以用代数多项式一致逼近,
对任意给定的
max |
a xb
f
0,
(x
存在某个多项式
) qm ( x) | b
2 (
qm (x x)dx
由
b
a ( x)H2n1( x)dx
n
Ak H 2n1( xk )
k0
b
n
Ak f ( xk ) (
k0
b
( x) f ( x)dx I( f ))
a
Rn1[ f ] I( f ) Q( f ) a ( x)[ f ( x) H 2n1 ( x)]dx
b
(x)
a
f (2n2) ( )
2、Gauss- chebyshev （切比雪夫）求积公式
( x) 1 ,[a, b] [1,1], 1 f ( x) dx n f (cos 2k 1 )
1 x2
1 1 x 2
n k1
2n
3、Gauss-Laguerre （拉盖尔）求积公式
4、Gauss-Hermite 求积公式
说明：（1）插值型求积公式代数精度大于n，多大？最大可 达到2n+1,即是Gauss型求积公式，Gauss节点是正交多项式的根。
k0
b
( x)(
a
2
)dx
b
(t)dt 2
b
n
A(n1) k
(t)dt k0
a
a
n
b
Ak
( x)dx
a
由 的任意性得(2.4)成立。
#
k0
3、结论： 定理6 Gauss型求积公式是数值稳定的；且对有限闭区间上的 连续函数，Gauss型求积公式的值随节点数目的增加而收敛到准确 积分值。 优点：（1）收敛、稳定；
0
b
a
(
x )l k2
(
x)dx
n
0为2n次代数多项式， Ailk2( xi ) Ak , k 0,1, , n。
i0
其次，取f ( x) 1，
n
则 | Ak |
n
Ak
b( x)dx ，
a
n
(E max
| Ak |)
k 0
k 0
k 0
E
b
( x)dx
E b( x)dx，即是数值稳定的。
？
关键
型 结论：由求积系系数数及n 1个节点xi , i 0,1,, ,,nn的的分分布布确定。
例4 求节点 x0，x1 ，使插值型求积公式
1
1 f ( x)dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 )
(2.1)
具有尽可能高的代数精度。
分析：四个未知量A0，A1，x0，x1，并知道插值型求积公式的
a
a
Ak r( xk )
n
n
k0
而QQ((ff )) Ak f ( xk ) Ak r( xk ) Q(r)), Pn1 ( xk ) 0，
k0
I( f ) Q( f )，即
k0 b
( x) f ( x)dx
a
n
Ak f ( xk )
m 2n 1,
k0
又 m 2n 1, m 2n 1.
#
注：本定理说明Gauss求积公式的唯一性。
2.3 Gauss求积公式的余项（截断误差）
定理5 若f ( x) C (2n2)[a, b] ，则Gauss求积公式(2.2)的余项为
Rn1[ f ]
f ( (2n2) )
(2n 2)!
b a
(
x
)
2 n1
(
x
)dx,
(a, b) (2.3)
b
b
b
I( f )
因为Pn1 (
a
x
(x) )是n
f (1x次)dx正交a 多( 项 x)P式nn11((xx))qq((xx))dd＝xx 0
b
b
n
( x)r( x)dx
a
r( x)的次数 n
I(( ff )) ( x) f ( x)dx ( x)r( x)dx Q(r)
分析：证明思路,由引理1知, xi(i=0,1,…,n)是Gauss点,则m=2n+1,
由n+1个点,确定2n+1次多项式。自然就想到Hermite插值多项式。
证明：若f(x)的Hermite插值多项式H2n+1(x) 满足插值条件
H2n1( xk ) f ( xk ), H2n1( xk ) f ( xk ), k 0,1, , n.
b ( x) f ( x)dx 0, 而Q( f )
a
n
Ak f ( xk ) 0,
m 2n 2。
k0
例4中m 3 2 1 1 2n 1是最高能达到的代数精度。
Gauss型求积公式的构造 ——利用正交多项式的根构造
代数精度最高的求积公式
引理1：若求积节点a x0 x1 xn b是[a, b]上关于权函数
k0
证明：令f ( x)是任意次数 2n 1代数多项式，则
f ( x) Pn1 ( x)q( x) r( x)， 其中q( x)与r( x)是任意次数 n的多项式。
I( f )
b
( x) f ( x)dx
a
b
a ( x)Pn1( x)q( x)dx
b
( x)r( x)dx
a
x1
Ak f
( xk
xn
) Q(
b
f
，任意求积
)的代数精度
分析：
只要证明2n 2次多项式f ( x), I( f ) Q( f )即可。
b
n
f ( x)dx
a
Ak f ( xk )
k0
事实上，令f
(x)
[( x
x0 )( x
x1 )
(x
xn )]2
2 n1
(
x
)，则f
(x)
0,
从而，I( f )
1、Gauss-Legendre （勒让德）求积公式
1
n
xi
(i
(x) 1,[a,b] [1,1], f ( x)dx 1
Ai f ( xi ),
i0
0,1, , n)是勒让德正交多项式的根，Ak (1
x
2 k
2 )[ P( xk
)]2
,
k
0,1,
, n。
若区间[a, b] [1,1]，则可用变量替换把区间[a, b] [1,1]，再进行计算。
[( x (2n 2)!
x0 )( x
x1 )
(x
xn )]2dx
利用
2 n1
(
x
)
[( x
x0 )( x
x1 )
(x
xn )]2
0,
f
(2n2) ( )是连续函数，
由积分中值定理得
Rn1[ f ]
f (2n2) ( )
(2n 2)!
b a
(
x
)
2 n1
(
x)dx,
(a,b)。
#
2.4 Gauss求积公式的数值稳定性和收敛性
( x)的n 1次正交多项式Pn1 ( x)的根，则插值型求积公式
b
n
( x) f ( x)dx
a
Ak f ( xk )
(2.2)
具有代数精度m 2n 1。
k0
分析：只要证得对于次数 2n 1多项式f ( x)，(2.2)精确成立,即
b ( x) f ( x)dx＝ n a
Ak f ( xk )
代数精解度：最x0高, x1。待定因，此l0按( x插) 值xx0型xx求11 ,积l1 (公x) 式 x来x1 求xx00A，0，A1。
A0
1 1
x x1 dx x0 x1
2x1 x1 x0
,
A1
1 x x0 dx 2x0
1 x1 x0
x1 x0
1
1 f ( x)dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 )
i0
i i0 0
L( x)dx
a
Ai (b a)Ci(n)，i 0，1， ，n
例如
b
a
b
a
f
f
b
(x)dx a
( x)dx