2020年高考文科数学分类汇编：专题九解析几何
2020高考文科数学(人教A版)总复习课件：第九章 解析几何9.6
第九章
知识梳理 考点自诊
9.6 双曲线
必必备备知知识识··预预案案自自诊诊 关键能力·学案突破
学科素养·微专题
-2-
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的 距离的差的绝对值 等于常数(小于 |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做 双曲线的焦点 , 两焦点间的距离叫做 双曲线的焦距 .
集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且
a>0,c>0.
(1)当 2a<|F1F2| (2)当 2a=|F1F2|
时,点P的轨迹是双曲线; 时,点P的轨迹是两条射线;
(3)当 2a>|F1F2| 时,点P不存在.
第九章
知识梳理 考点自诊
9.6 双曲线
1 2
(������������
+
������������1 ),
|������������|=√3,则双曲线的方程为( D )
上一点,且 PF 与 x 轴垂直,点 A 的坐标是(1,3),则△APF 的面积为
( D)
A.13
B.12
C.23
D.32
解析:由 c2=a2+b2=4,得 c=2,
所以点 F 的坐标为(2,0).
将 x=2 代入 x2-���3���2=1,得 y=±3,所以 PF=3.
又点 A 的坐标是(1,3),故△APF 的面积为12×3×(2-1)=32,故选 D.
解析:以 AB 所在的直线为 x 轴,AB 的中垂线为 y 轴,建立平面
直角坐标系,则 A(-2,0),B(2,0),C(3,√3),由|MA|-|MB|=2 知点 M 的轨迹, 即曲线 PQ 的方程为 x2-���3���2=1(x>0),
2020年高考文科数学二轮专题复习九：解析几何(附解析)
2020年高考文科数学二轮专题复习九：解析几何（附解析）从近五年的高考试题来看，该部分的试题是综合性的，题目中既有直线和圆的方程的问题，又有圆锥曲线与方程的问题．考查的重点：直线方程与两直线的位置关系；圆的方程；点、线、圆的位置关系；椭圆、双曲线、抛物线及其性质；直线与圆锥曲线的位置关系；曲线的方程；圆锥曲线的综合问题．1．直线方程与圆的方程 （1）直线方程的五种形式（①两条直线平行：对于两条不重合的直线1l ，2l ，若其斜率分别为1k ，2k ，则有1212//l l k k ⇔=； 当直线1l ，2l 不重合且斜率都不存在时，12//l l ． ②两条直线垂直：如果两条直线1l ，2l 的斜率存在，设为1k ，2k ，则有1212·1l l k k ⊥⇔=-； 当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，12l l ⊥． （3）两条直线的交点的求法直线1l ：1110A x B y C ++=，2l ：2220A x B y C ++=， 则1l 与2l 的交点坐标就是方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解．（4）三种距离公式①111(,)P x y ，222(,)P x y两点之间的距离：12||PP = ②点000(,)P x y 到直线l ：0Ax By C ++=的距离：d =．③平行线10Ax By C ++=与20Ax By C ++=间距离：d =．（5）圆的定义及方程点00()M x y ,与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系： ①若00()M x y ,在圆外，则22200()()x a y b r -+->． ②若00()M x y ,在圆上，则22200()()x a y b r -+-=． ③若00()M x y ,在圆内，则22200()()x a y b r -+-<．2．直线、圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )0∆<0∆=0∆>（2设两圆的圆心距为d ，两圆的半径分别为R ，()r R r >，则3．圆锥曲线及其性质（1）椭圆的标准方程及几何性质,()0F c -0(),F c ()0,F c -()0,F c220+=<mx ny mn1()（4．圆锥曲线的综合问题（1）直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0Ax By C ++=(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程0()F x y =,，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即联立0(,)0Ax By C F x y ++=⎧⎨=⎩，消去y ，得20ax bx c ++=．①当0a ≠时，设一元二次方程20ax bx c ++=的判别式为∆， 则0∆>⇔直线与圆锥曲线C 相交；0∆=⇔直线与圆锥曲线C 相切； 0∆<⇔直线与圆锥曲线C 相离．②当0a =，0b ≠时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． （2）圆锥曲线的弦长设斜率为(0)k k ≠的直线l 与圆锥曲线C 相交于M ，N 两点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则12|||MN x x =-=12|||MN y y =-=．1．（2019·全国Ⅰ卷）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为︒130，则C 的离心率为（ ）A ．︒40sin 2B ．︒40cos 2C ．︒50sin 1 D ．︒50cos 12．（2019·全国II 卷）若抛物线)0(22>=p px y 的焦点是椭圆1322=+py p x 的一个焦点，则=p （ ）A ．2B ．3C ．4D ．83．（2019·全国III 卷）已知F 是双曲线22:145x y C -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点．若||||PO OF =，则△OPF 的面积为（ ）A ．32 B ．52 C ．72 D ．924．（2019·全国III 卷）设1F 、2F 为椭圆22:13620x y C +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若△12MF F 为等腰三角形，则M 的坐标为________．5．（2019·全国Ⅰ卷）已知点,A B 关于坐标原点O 对称，4AB =，M e 过点,A B 且与直线20x +=相切．（1）若A 在直线0x y +=上，求M e 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，MA MP -为定值？并说明理由．经典常规题（45分钟）1．（2019·江西省上高县第二中学期末考试）若(2,3)A -，(3,2)B -，1(,)2C m 三点共线，则m 的值为（ ） A ．12 B ．12- C ．2- D ．2 2．（2019·内蒙古乌兰察布市集宁第一中学适应性考试）过抛物线24y x =的焦点F 作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于A ，B 两点，则以AB 为直径的圆的标准方程为（ ）A ．22(1)4x y ++=B ．22(1)4x y -+=C ．22(1)4x y ++=D ．22(1)4x y +-=3．（2019·宁夏银川一中调研考试）双曲线2221(0)9x y a a -=>的一条渐近线方程为35y x =，则a = ． 4．（2019·广东省5月仿真冲刺模拟卷）斜率为(0)k k <的直线l 过点(0,1)F ，且与曲线21(0)4y x x =≥ 及直线1y =-分别交于,A B 两点，若||6||FB FA =，则k =_____．5．（2019·河南省八校高三1月尖子生联赛）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，1(2,2)P，2P ，3(2,3)P -，4(2,3)P 四点中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）已知点(0,1)E ，问是否存在直线p 与椭圆C 交于M ，N 两点且||||ME NE =？若存在，求出直线p斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．高频易错题1．(2019·江西省新余市第一中学模拟考试)若113420x y --=，223420x y --=，则过11(,)A x y ，22(,)B x y 两点的直线方程是（ ）A ．4320x y +-=B ．3420x y --=C ．4320x y ++=D ．3420x y -+=2．（2019·湖南、湖北、河南、河北、山东五省名校4月模拟）已知椭圆的长轴长是倍，则该椭圆的离心率是（ ）A ．31 B．3 C．3 D．33．（2019·山东省济南第一中学2月适应考试）已知△ABC 的顶点0()5,A -，()5,0B ，△ABC 的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是（ ）A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．221(3)916x y x -=>D ．221(4)169x y x -=>4．（2019·广东省高三二月调研考试）以抛物线24y x =的焦点为圆心且过点(5,P -的圆的标准方程为____________．5．（2019·湖南、湖北、河南、河北、山东五省名校高考适应性考试）过抛物线2:4C y x =的焦点F的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，N 点在l 上，且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为_____精准预测题2020年高考文科数学二轮专题复习九：解析几何（解析）从近五年的高考试题来看，该部分的试题是综合性的，题目中既有直线和圆的方程的问题，又有圆锥曲线与方程的问题．考查的重点：直线方程与两直线的位置关系；圆的方程；点、线、圆的位置关系；椭圆、双曲线、抛物线及其性质；直线与圆锥曲线的位置关系；曲线的方程；圆锥曲线的综合问题．1．直线方程与圆的方程（1）直线方程的五种形式（①两条直线平行：对于两条不重合的直线1l ，2l ，若其斜率分别为1k ，2k ，则有1212//l l k k ⇔=； 当直线1l ，2l 不重合且斜率都不存在时，12//l l ． ②两条直线垂直：如果两条直线1l ，2l 的斜率存在，设为1k ，2k ，则有1212·1l l k k ⊥⇔=-； 当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，12l l ⊥． （3）两条直线的交点的求法直线1l ：1110A x B y C ++=，2l ：2220A x B y C ++=， 则1l 与2l 的交点坐标就是方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解．（4）三种距离公式①111(,)P x y ，222(,)P x y 两点之间的距离：12||PP = ②点000(,)P x y 到直线l ：0Ax By C ++=的距离：d =．③平行线10Ax By C ++=与20Ax By C ++=间距离：d =．（5）圆的定义及方程点00()M x y ,与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系： ①若00()M x y ,在圆外，则22200()()x a y b r -+->． ②若00()M x y ,在圆上，则22200()()x a y b r -+-=． ③若00()M x y ,在圆内，则22200()()x a y b r -+-<．2．直线、圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )0∆<0∆=0∆>（2设两圆的圆心距为d ，两圆的半径分别为R ，()r R r >，则3．圆锥曲线及其性质（1）椭圆的标准方程及几何性质,()0F c -0(),F c ()0,F c -()0,F c22+=mx ny（4．圆锥曲线的综合问题（1）直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0Ax By C ++=(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程0()F x y =,，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即联立0(,)0Ax By C F x y ++=⎧⎨=⎩，消去y ，得20ax bx c ++=．①当0a ≠时，设一元二次方程20ax bx c ++=的判别式为∆， 则0∆>⇔直线与圆锥曲线C 相交；0∆=⇔直线与圆锥曲线C 相切； 0∆<⇔直线与圆锥曲线C 相离．②当0a =，0b ≠时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． （2）圆锥曲线的弦长设斜率为(0)k k ≠的直线l 与圆锥曲线C 相交于M ，N 两点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则12|||MN x x =-=12|||MN y y =-=．1．（2019·全国Ⅰ卷）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为︒130，则C 的离心率为（ ）A ．︒40sin 2B ．︒40cos 2C ．︒50sin 1 D ．︒50cos 1【答案】D【解析】根据题意可知︒=-130tan a b ，所以︒︒=︒=50cos 50sin 50tan a b ， 离心率︒=︒=︒︒+︒=︒︒+=+=50cos 150cos 150cos 50sin 50cos 50cos 50sin 1122222222a b e ． 2．（2019·全国II 卷）若抛物线)0(22>=p px y 的焦点是椭圆1322=+py p x 的一个焦点，则=p （ ）A ．2B ．3C ．4D ．8 【答案】D【解析】抛物线)0(22>=p px y 的焦点是)0,2(p，椭圆1322=+p y p x 的焦点是)0,2(p ±，∴p p22=，∴8=p ．经典常规题3．（2019·全国III 卷）已知F 是双曲线22:145x y C -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点．若||||PO OF =，则△OPF 的面积为（ ）A ．32 B ．52 C ．72 D ．92【答案】B【解析】依据题意222224,5,9a b c a b ===+=， 设F 为右焦点，(3,0)F ，设P 在第一象限，(,)P x y ，根据||||PO OF =，22229145x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，得到53y =，所以15||22OPF S OF y ∆=⋅⋅=．4．（2019·全国III 卷）设1F 、2F 为椭圆22:13620x y C +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若△12MF F 为等腰三角形，则M 的坐标为________． 【答案】)15,3(【解析】由椭圆22:13620x y C +=可知，6=a ，4=c ，由M 为C 上一点且在第一象限，故等腰三角形12MF F 中，8211==F F MF ，4212=-=MF a MF ，415828sin 2221=-=∠M F F ，15sin 212=∠=M F F MF y M ， 代入22:13620x y C +=可得3=M x ，故M 的坐标为)15,3(．5．（2019·全国Ⅰ卷）已知点,A B 关于坐标原点O 对称，4AB =，M e 过点,A B 且与直线20x +=相切．（1）若A 在直线0x y +=上，求M e 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，MA MP -为定值？并说明理由．【答案】（1）2或6；（2）存在，(1,0)P ，详见解析．【解析】（1）∵M e 过点,A B ，∴圆心在AB 的中垂线上即直线y x =上， 设圆的方程为222()()x a y a r -+-=，又4AB =，根据222AO MO r +=，得2242a r +=，∵M e 与直线20x +=相切，∴2a r +=，联解方程得0a =，2r =或4a =，6r =． （2）设M 的坐标为(,)x y ，根据条件22222AO MO r x +==+，即22242x y x ++=+，化简得24y x =，即M 的轨迹是以(1,0)为焦点，以1x =-为准线的抛物线， 所以存在定点(1,0)P ，使(2)(1)1MA MP x x -=+-+=．1．（2019·江西省上高县第二中学期末考试）若(2,3)A -，(3,2)B -，1(,)2C m 三点共线，则m 的值为（ ） A ．12 B ．12- C ．2- D ．2 【答案】A【解析】2321132232AB BC m k k m --+=⇒=⇒=+-． 2．（2019·内蒙古乌兰察布市集宁第一中学适应性考试）过抛物线24y x =的焦点F 作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于A ，B 两点，则以AB 为直径的圆的标准方程为（ ）高频易错题（45分钟）A ．22(1)4x y ++=B ．22(1)4x y -+=C ．22(1)4x y ++=D ．22(1)4x y +-= 【答案】B【解析】由抛物线的性质知AB 为通径，焦点坐标为(1,0)，直径224R AB p ===，即2R =，所以圆的标准方程为22(1)4x y -+=．3．（2019·宁夏银川一中调研考试）双曲线2221(0)9x y a a -=>的一条渐近线方程为35y x =，则a = ． 【答案】5【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为3y x a=±，结合题意可得5a =． 4．（2019·广东省5月仿真冲刺模拟卷）斜率为(0)k k <的直线l 过点(0,1)F ，且与曲线21(0)4y x x =≥ 及直线1y =-分别交于,A B 两点，若||6||FB FA =，则k =_____．【答案】12-【解析】易知曲线21(0)4y x x =≥是抛物线2:4C x y =的右半部分，如图，其焦点为(0,1)F ，准线1y =-，过点A 作AH ⊥准线，垂足为H ，则||||AH AF =， 因为||6||FB FA =，所以||5||AB AH =，||tan||AHABHBH∠===，故直线l的斜率为．5．（2019·河南省八校高三1月尖子生联赛）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>，1(2,2)P，2P，3(2,3)P-，4(2,3)P四点中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）已知点(0,1)E，问是否存在直线p与椭圆C交于M，N两点且||||ME NE=？若存在，求出直线p斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2211612x y+=；（2）存在，11(,)22-．【解析】（1）由于3P，4P两点关于y轴对称，故由题设知C经过34,P P两点，又由22224449a b a b+<+知C不经过点1P，所以点2P在C上．因此222221211649121abba b⎧=⎪⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪+=⎪⎩，所以C的方程为2211612x y+=．（2）假设存在满足条件的直线:p y kx m=+，设11(,)M x y，22(,)N x y．将直线:p y kx m=+与椭圆联立可得22222(34)8448011612y kx mk x kmx mx y=+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩．222222644(34)(448)01612k m k m k m∆=-+->⇒+>①，故122834kmx xk-+=+，212244834mx xk-=+，设MN 的中点为00(,)F x y ，故12024234x x km x k +-==+，002334my kx m k =+=+， 因为||||ME NE =，所以EF MN ⊥，所以1EF k k =-，所以22231341(43)434mk k m k km k -+⋅=-⇒=-+-+， 代入①得22242111612(43)1683022k k k k k +>+⇒+-<⇒-<<， 故存在直线p 使得||||ME NE =，且直线p 斜率的取值范围是11(,)22-．1．(2019·江西省新余市第一中学模拟考试)若113420x y --=，223420x y --=，则过11(,)A x y ，22(,)B x y 两点的直线方程是（ ）A ．4320x y +-=B ．3420x y --=C ．4320x y ++=D ．3420x y -+= 【答案】B【解析】由题意得11(,)A x y ，22(,)B x y 两点的坐标都满足方程3420x y --=， 所以过11(,)A x y ，22(,)B x y 两点的直线方程是3420x y --=．2．（2019·湖南、湖北、河南、河北、山东五省名校4月模拟）已知椭圆的长轴长是倍，则该椭圆的离心率是（ ）A ．31 B．3 C．3 D．3精准预测题【答案】C【解析】由题可知a =，则3c e a ===． 3．（2019·山东省济南第一中学2月适应考试）已知△ABC 的顶点0()5,A -，()5,0B ，△ABC 的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是（ ）A ．221916x y -=B ．221169x y -= C ．221(3)916x y x -=> D ．221(4)169x y x -=> 【答案】C【解析】如图，||||8AD AE ==，||||2BF BE ==，||||CD CF =，所以|||||82610|CA CB AB -=-=<=．根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，且0y ≠， 故轨迹方程为221(3)916x y x -=>． 4．（2019·广东省高三二月调研考试）以抛物线24y x =的焦点为圆心且过点(5,P -的圆的标准方程为____________．【答案】22(1)36x y -+=【解析】由题意知，P 在抛物线上，且F 的坐标为(1,0)，则||55162p PF =+=+=， 故所求的圆的标准方程为22(1)36x y -+=．5．（2019·湖南、湖北、河南、河北、山东五省名校高考适应性考试）过抛物线2:4C y x =的焦点F的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，N 点在l 上，且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为_____．【答案】【解析】设00(,)M x y ，∴2004y x =，∴0y =，∴0sin 60︒=，020043214x x x =++， ∴20031030x x -+=，解得0=3x 或013x =（舍去），∴4MF =， ∵MN MF =，60NMF ∠=︒，∴△MNF 为等边三角形，∴M 到NF直线的距离为42⨯=。
2020年高考数学试题分类汇编解析几何精品
2 2c ：xy、选择题22 c cc1.（重庆理8）在圆x y 2x 6y 0内，过点E （0,1）的最长弦和最短弦分别是物线顶点的坐标为五、解析几何AC和BD,则四边形ABCDW 面积为A. 5.2B. 10.2C. 15,2 D . 20.22 2 C 1 :与 戛 1（a> b>0） C 1:x 2 2.（浙江理8）已知椭圆 a b 与双曲线 2匕14有公共的焦点,C1的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于 A ，B两点，若C 1恰好将线段AB 三等分, 2aA.B. a 213C .b2iD. b 23.（四川理 210)在抛物线y x ax5（a 乒0）上取横坐标为 X i2的两点，过这两点引一条割线， 有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x 2 5y 236相切，则抛A. (2, 9) B . (°， 5)C. (2,9)D. (1, 6)【解析】由知的割线的坐标（4,11 4a),(2,2 a 1),K 2a,设直线方程为4. (a 2)x2y xy (a （陕西理 2A . y5.（山东36 b 2b,则 51 (2 a)2ax 5b 6 a 2)x b2）设抛物线的顶点在原点, 8x B . y 28x理8 ）已知双曲线(2, 9)准线方程为2C . y2 2 2,2a b4x 1(a> 0, 2,则抛物线的方程是D . y2 4xb> 0）的两条渐近线均和圆2 2 c：x y 6x 5 0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为1或3A. 222或皂D. 3 2cos AFB =D.(B. 3 或 22x2y_ 12x2 y_2 x 2匕1 2x2工154B. 4 5C. 3 6D. 63F案】 A（全国新课标理7）已知直线 l 过双曲线C 的一个焦点，且与 C 的对称轴垂直，l 与C 交于A. 6. A, B 两点，|ABI 为C 的实轴长的2倍，C 的离心率为(A)抵 (B)后(C) (D) 37.（全国大纲理 10）已知抛物线 2C ： y4x的焦点为F,直线y2x 4与C 交于A, B 两点.则A. 53B. 5C.D.8.（江西理 9)若曲线C I:2x与曲线C2:y(y mx m ） 0有四个不同的交点，则实数 m 的取值范围是A.(B.，0) U (0,C.[ 9.（湖南理 5) 设双曲线y9的渐近线方程为3x 2y 0,则a 的值为A. 4【答案】CD. 110.（湖北理 4）将两个顶点在抛物线2px(p °）上， 另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为 A. n=0【答案】C11.（福建理 n, 7) PF 1 : F 1F 2 : 则B. n=1 C .n=2 D. n设圆锥曲线 r 的两个焦点分别为PF 2=4:3:2，则曲线r 的离心率等于F1, F2,若曲线r 上存在点P 满足【答案】A12.（北京理8）设A。
2020高考数学分类汇编--解析几何圆锥曲线
2020年普通高等学校招生全国统一考试一卷理科数学4．已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p = A ．2B ．3C ．6D ．911．已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为 A ．210x y --= B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=15．已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为 . 20.（12分）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.4．C11．D15．220．解：（1）由题设得A （–a ，0），B （a ，0），G （0，1）.则(,1)AG a =，GB =（a ，–1）.由AG GB ⋅=8得a 2–1=8，即a =3.所以E 的方程为29x +y 2=1．（2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），P （6，t ）.若t ≠0，设直线CD 的方程为x =my +n ，由题意可知–3<n <3.由于直线P A 的方程为y =9t （x +3），所以y 1=9t（x 1+3）.直线PB 的方程为y =3t （x –3），所以y 2=3t（x 2–3）.可得3y 1（x 2–3）=y 2（x 1+3）.由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得221227(3)(3)y y x x =-++， 即221212(27)(3)()(3)0.m y y m n y y n ++++++=①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290.m y mny n +++-=所以12229mn y y m +=-+，212299n y y m -=+．代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0.m n m n mn n m +--++++= 解得n =–3（含去），n =32.故直线CD 的方程为3=2x my +，即直线CD 过定点（32，0）． 若t =0，则直线CD 的方程为y =0，过点（32，0）.综上，直线CD 过定点（32，0）.2020年普通高等学校招生全国统一考试二卷理科数学5．若过点)1,2(的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线032=--y x 的距离为A ．55B ．552C ．553D ．554 8．设O 为坐标原点，直线a x =与双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的两条渐近线分别交于E D 、ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为A ．4B ．8C ．16D ．3219．（12分）已知椭圆1C :()012222>>=+b a b y a x 的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与的2C 的顶点重合． 过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于A ，B 两点，交2C 于C ，D 两点，且AB CD 34=． （1）求1C 的离心率；设M 是1C 与2C 的公共点，若5=MF ，求1C 与2C 的标准方程．2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学5．设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为A ．1(,0)4B ．1(,0)2C ．(1,0)D ．(2,0)11．设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2．P是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a = A ．1 B ．2 C ．4 D ．820．（12分）已知椭圆222:1(05)25x y C m m+=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积． 5．B11．A20．解：（1）由题设可得54=，得22516m =， 所以C 的方程为221252516x y +=. （2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >， 由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y =，||BQ =， 因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -.11||PQ 11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ的距离为2，故11APQ △的面积为1522=.22||PQ =直线22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q故22AP Q △的面积为1522=. 综上，APQ △的面积为52. 2020年普通高等学校招生全国统一考试一卷文科数学6．已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为 A ．1B ．2C ．3D ．411．设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为 A ．72B ．3C ．52D ．221．已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点. 6．B11．B21．解：（1）由题设得(,0),(,0),(0,1)A a B a G -．则(,1)AG a =，(,1)GB a =-．由8AG GB ⋅=得218a -=，即3a =．所以E 的方程为2219x y +=．（2）设1122(,),(,),(6,)C x y D x y G t ．若0t ≠，设直线CD 的方程为x my n =+，由题意可知33n -<<． 由于直线PA 的方程为(3)9t y x =+，所以11(3)9ty x =+．直线PB 的方程为(3)3t y x =-，所以22(3)3ty x =-．可得12213(3)(3)y x y x -=+．由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++， 即221212(27)(3)()(3)0m y y m n y y n ++++++=．①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290m y mny n +++-=．所以212122229,99mn n y y y y m m -+=-=-++． 代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0m n m n mn n m +--++++=． 解得3n =-（舍去），32n =． 故直线CD 的方程为32x my =+，即直线CD 过定点3(,0)2． 若0t =，则直线CD 的方程为0y =，过点3(,0)2．综上，直线CD 过定点3(,0)2．2020年普通高等学校招生全国统一考试二卷文科数学8．若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x -y -3=0的距离为A B C D 9．设O 为坐标原点，直线x =a 与双曲线C ：2222-x y a b=l(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点．若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为 A ．4B ．8C ．16D ．3219．(12 分)已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴重直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |． （1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程． 8．B9．B19．解：（1）由已知可设2C 的方程为24y cx =，其中c不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a-；,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =.由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⨯=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c+=，所以1C 的四个顶点坐标分别为(2,0)c ，(2,0)c -，)，(0,)，2C 的准线为x c =-. 由已知得312c c c c +++=，即2c =.所以1C 的标准方程为2211612x y +=，2C 的标准方程为28y x =.2020年普通高等学校招生全国统一考试三卷文科数学6．在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ⋅，则点C 的轨迹为 A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线7．设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：()220y px p =>交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为 A ．（14，0） B ．（12，0） C ．（1，0） D ．（2，0）14．设双曲线C :22221x y a b-= (a >0,b >0)的一条渐近线为y x ，则C 的离心率为_________．21．（12分）已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积． 6．A7．B1421．解：（1=22516m =，所以C 的方程为1252516+=. （2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >， 由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y =，||BQ =， 因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -.11||PQ 11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ，故11APQ △的面积为1522=.22||PQ =直线22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q的距离为26，故22AP Q △的面积为152262⨯=. 综上，APQ △的面积为52. 2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）（5）已知半径为1的圆经过点)4,3(，则其圆心到原点的距离的最小值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（7）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ；P 是抛物线异己O 的一点，过P 做PQ ⊥l 于Q ，则线段FQ 的垂直平分线 （A ）经过点O （B ）经过点P（C ）平行于直线OP （D ）垂直于直线OP（12）已知双曲线:163C -=，则C 的右焦点的坐标为________；C 的焦点到其渐近线的距离是________． （20）（本小题15分）已知椭圆22221x y C a b+=：过点()21A --，，且2a b =（I ）求椭圆C 的方程：（II ）过点4,0B -（）的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q 求PBBQ的值 2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线222105()x y a a -=>的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的离心率是 ▲ ． 18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标． 6．3218．满分16分.解：（1）椭圆22:143x y E +=的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，则2224,3,1a b c ===.所以12AF F △的周长为226a c +=. （2）椭圆E 的右准线为4x =. 设(,0),(4,)P x Q y ，则(,0),(4,)OP x QP x y ==--， 2(4)(2)44,OP QP x x x ⋅=-=--≥-在2x =时取等号.所以OP QP ⋅的最小值为4-.（3）因为椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，则123(1,0),(1,0),(1,)2F F A -.所以直线:3430.AB x y -+=设(,)M x y ，因为213S S =，所以点M 到直线AB 距离等于点O 到直线AB 距离的3倍. 由此得|343||30403|355x y -+⨯-⨯+=⨯， 则34120x y -+=或3460x y --=.由2234120,143x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得2724320x x ++=，此方程无解；由223460,143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩得271240x x --=，所以2x =或27x =-.代入直线:3460l x y --=，对应分别得0y =或127y =-. 因此点M 的坐标为(2,0)或212(,)77--.2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）7．设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为A ．22144x y -=B ．2214y x -= C ．2214x y -= D ．221x y -= 12．已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r的值为_________． 18．（本小题满分15分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程． 7．D12．518．满分15分．（Ⅰ）解：由已知可得3b =．记半焦距为c ，由||||OF OA =可得3c b ==．又由222a b c =+，可得218a =．所以，椭圆的方程为221189x y +=．（Ⅱ）解：因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以AB CP ⊥．依题意，直线AB 和直线CP 的斜率均存在．设直线AB 的方程为3y kx =-．由方程组223,1,189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =，或21221k x k =+.依题意，可得点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,3)-，所以点P 的坐标为2263,2121k k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭．由3OC OF =，得点C 的坐标为(1,0)，故直线CP 的斜率为2230216121k k k --+-+，即23261k k -+．又因为AB CP ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =，或1k =． 所以，直线AB 的方程为132y x =-，或3y x =-． 2020年普通高等学校招生全国统一考试新高考9．已知曲线22:1C mx ny +=.A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C是双曲线，其渐近线方程为y = D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 13．C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________． 22．（12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点A （2，1）． （1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．9．ACD13．16322．解：（1）由题设得22411a b +=，22212a b a -=，解得26a =，23b =． 所以C 的方程为22163x y +=． （2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ．若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y kx m =+， 代入22163x y +=得222(12)4260k x kmx m +++-=． 于是2121222426,1212km m x x x x k k -+=-=++．① 由AM AN ⊥知0AM AN ⋅=，故1212(2)(2)(1)(1)0x x y y --+--=， 可得221212(1)(2)()(1)40k x x km k x x m ++--++-+=． 将①代入上式可得22222264(1)(2)(1)401212m km k km k m k k -+---+-+=++． 整理得(231)(21)0k m k m +++-=．因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故2310k m ++=，1k ≠．于是MN 的方程为21()(1)33y k x k =--≠. 所以直线MN 过点21(,)33P -. 若直线MN 与x 轴垂直，可得11(,)N x y -.由0AM AN ⋅=得1111(2)(2)(1)(1)0x x y y --+---=. 又2211163x y +=，可得2113840x x -+=.解得12x =（舍去），123x =. 此时直线MN 过点21(,)33P -. 令Q 为AP 的中点，即41(,)33Q .若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故1||||2DQ AP ==. 若D 与P 重合，则1||||2DQ AP =. 综上，存在点41(,)33Q ，使得||DQ 为定值.2020年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）8．已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =图象上的点，则|OP |=A ．2BCD 15．已知直线(0)y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______，b =_______．21．（本题满分15分）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于点M （B ，M 不同于A ）． （Ⅰ）若116p =，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．8．D1521．满分15分。
专题9：2012-2020年高考数学真题分类汇编《解析几何》(学生版)
《解析几何》一、单选题1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为（ ）A ．72B ．3C ．52D ．23．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ）A ．2B ．3C ．6D ．94．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ）A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=5．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 6．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．327．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ⋅，则点C 的轨迹为（ ）A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线8．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ） A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)9．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））若直线l 与曲线y 和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1 D ．y =12x +1210．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（ ）A ．1B ．2C ．4D ．811．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））双曲线C :22221(0,0)x y a b a b -=>>的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为（ ） A ．2sin40° B ．2cos40° C ．1sin50︒D ．1cos50︒12．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为（ ）A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=13．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．814．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（ ）A BC ．2D 15．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知F 是双曲线22:145x y C 的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为（ ）A ．32B ．52C ．72D ．9216．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为（ ）A ．4B ．2C ．D ．17．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷））已知椭圆C ：2221(0)4x y a a +=>的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为（ ）A ．13B ．12C D 18．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=（ ）A ．5B ．6C ．7D ．819．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若OMN 为直角三角形，则|MN |=（ ）A ．32B ．3C ．D ．420．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> ）A ．y =B ．y =C ．2y x =±D ．2y x =±21．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II ））已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A ．12-B ．2C ．12D 122．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A ．23B ．12C ．13D ．1423．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是（ ）A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣24．（2018年全国卷Ⅲ文数高考试题）已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的离，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为（ ）A B ．2C D ．25．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）设1F ,2F 是双曲线2222:1x y C a b-=（）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为（ ）A BC ．2D26．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））已知F 是双曲线C ：2213y x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则APF 的面积为（ ）A ．13 B ．1 2C ．2 3D ．3 227．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））（2017新课标全国卷Ⅰ文科）设A ，B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是（ ）A ．(0,1][9,)+∞B ．[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．[4,)+∞28．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ）A ．16B ．14C ．12D ．1029．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．2)C ．D ．(1,2)30．（2017年全国普通高等学校招生统一考试）过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为（ ）AB ．C ．D ．31．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2BC D 32．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）A B ．3C ．3D ．1333．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学新课标Ⅱ卷））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点.则C 的方程为（ ）A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=34．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ）A ．(–1,3)B ．(–C ．(0,3)D ．)35．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=|DE |=C 的焦点到准线的距离为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．236．设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线()0ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k =（ ）A ．12B ．1C ．32D ．237．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）圆2228130+--+=x y x y 的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ）A ．43-B ．34-C D ．238．（（2016新课标全国Ⅱ理科）已知F 1，F 2是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为（ ）A B ．32C D ．239．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．3440．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB =（ ）A ．3B ．6C ．9D ．1241．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））已知00(,)M x y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，1F ，2F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是（ ）A ．(B ．()66- C ．(,33-D ．(33- 42．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ））已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）A B ．2C D43．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）已知双曲线的离心率为2，则（ ）A ．2B ．C ．D ．144．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知抛物线C ：的焦点为F,A(x 0,y 0)是C 上一点，05||4AF x =，则x 0=（ ） A ．1B ．2C ．4D ．845．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））已知抛物线C ：的焦点为F ，准线为，P 是上一点，Q 是直线PF 与C 得一个交点，若4FP FQ =，则|QF|=（ ）A ．B ．C ．D ．46．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅱ卷））设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为30的直线交C 于A ，B 两点，则AB =（ ）A B ．6 C ．12 D ．47．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅱ卷））设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）A ．[]1,1-B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．⎡⎣D ．22⎡-⎢⎣⎦48．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷））设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）A B C ．6332D ．9449．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．50．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）已知椭圆22x a ＋22y b＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为 （ ）A ．245x ＋236y ＝1B ．236x ＋227y ＝1C ．227x ＋227x ＝1D ．218y ＋218x ＝151．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）设1F 、2F 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，21F PF ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A ．12B ．23C ．34D ．45二、填空题52．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________.53．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））设双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)的一条渐近线为y ，则C 的离心率为_________．54．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________． 55．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））设12F F ，为椭圆22:+13620x y C =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.56．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）已知点()11M ，-和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________．57．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线于交M 、N 两点，若60MAN ∠=，则C 的离心率为__________．58．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N =____________．59．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））（2017新课标全国III 文科）双曲线22219x y a -=（a >0）的一条渐近线方程为35y x =，则a =______________．60．（2016年全国普通高等学校招生统一考试））设直线2y x a =+与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，若AB =C 的面积为________61．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））已知直线l ：60x -+=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D两点.则CD =_________.62．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国3卷））已知直线l ：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若||AB =，则||CD =__________．63．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为 ．64．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为___________. 65．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷带解析））设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________.三、解答题66．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.67．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |． （1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．68．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |. （1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程. 69．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．70．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │ =4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径．（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │－│MP │为定值？并说明理由． 71．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |．72．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2POF 为等边三角形，求C 的离心率；（2)如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围.73．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）） 已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG 是直角三角形； （ii ）求PQG 面积的最大值.74．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））已知曲线C ：y =22x ，D为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B . （1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.75．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷））设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN ∠=∠．76．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.77．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．78．（2018年全国卷Ⅲ文数高考试题）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=．证明：2FP FA FB =+．79．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，．（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．80．（2017年全国卷文数高考试题）设A ，B 为曲线C ：24x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．81．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a>b>0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1P 4（1有三点在椭圆C 上.（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.82．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .83．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.84．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷））已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 于A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆.（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆M 的方程.85．（2016新课标全国卷Ⅰ文科）在直角坐标系xOy 中，直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H .（Ⅰ）求OH ON；（Ⅱ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.86．（2016新课标全国卷Ⅰ）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .（I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.87．（2016新课标全国卷）已知A 是椭圆E ：22143x y +=的左顶点，斜率为()0k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥.（Ⅰ）当AM AN =时，求AMN 的面积（Ⅱ） 当2AM AN =2k <<.88．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ．（Ⅰ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.89．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B ，两点，交C 的准线于P Q ，两点．（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明//AR FQ ； （Ⅱ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.90．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM ON ⋅＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.91．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））在直角坐标系xoy中，曲线C ：y=24x 与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由. 92．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，点在C 上 （1）求C 的方程（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.93．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ））已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．94．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点. (1)求的轨迹方程；(2)当时，求的方程及的面积95．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点. (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.96．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅱ卷））设12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ．（1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求,a b ．97．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））(本小题满分12分)已知圆()22:11M x y ++=，圆()22:19N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求AB ．98．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2=1，圆N ：(x －1)2＋y 2=9，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线 C（1）求C 的方程；（2）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.99．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（课标卷））设抛物线C ：22x py =（p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ,D 两点.(Ⅰ)若090BFD ∠=,ABD ∆的面积为p 的值及圆F 的方程；(Ⅱ)若A ，B ，F 三点在同一条直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值.100．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（课标卷））设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为,l AC ，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F交l 于,B D 两点；（1）若90,BFD ABD ∠=︒△的面积为；求p 的值及圆F 的方程；（2）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到,m n 距离的比值.。
2020年高考文科数学分类汇编：专题九解析几何
《2018年高考文科数学分类汇编》第九篇：解析几何一、选择题1.【2018全国一卷4】已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为A ．13B ．12C D2.【2018全国二卷6】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A ．y =B ．y =C ．y =D ．y = 3.【2018全国二11】已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．1B ．2CD 14.【2018全国三卷8】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣5.【2018全国三卷10】已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为AB ．2C ．2D ．6.【2018天津卷7】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为A221412x y -=B221124x y -= C22139x y -=D 22193x y -= 7.【2018浙江卷2】双曲线221 3=x y -的焦点坐标是A ．(−2，0)，(2，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，−2)，(0，2)D ．(0，−2)，(0，2)8.【2018上海卷13】设P 是椭圆 ²5x + ²3y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）A.2B.2C.2D.4二、填空题1.【2018全国一卷15】直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．2.【2018北京卷10】已知直线l 过点（1,0）且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.3.【2018北京卷12】若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为52，则a =_________. 4.【2018天津卷12】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．5.【2018江苏卷8】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c ，则其离心率的值是 ． 6.【2018江苏卷12】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r，则点A 的横坐标为 ．7.【2018浙江卷17】已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP u u u u r =2PB u u u u r ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．8.【2018上海卷2】2.双曲线2214x y -=的渐近线方程为 . 9.【2018上海卷12】已知实数x ₁、x ₂、y ₁、y ₂满足：²²1x y +=₁₁，²²1x y +=₂₂，212x x y y +=₁₂₁，的最大值为__________ 三、解答题1.【2018全国一卷20】设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN =∠∠．2.【2018全国二卷20】设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．3.【2018全国三卷20】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r．证明：2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r ．4.【2018北京卷20】已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为3，焦距为.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若1k =，求||AB 的最大值；（Ⅲ）设(2,0)P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D 和点71(,)44Q -共线，求k .5.【2018天津卷19】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为3，||AB = （I ）求椭圆的方程；（II ）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值．6.【2018江苏卷18】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △的面积为26，求直线l 的方程． 7.【2018浙江卷21】如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上． （Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+24y =1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围． 8.【2018上海卷20】（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设常数t >2，在平面直角坐标系xOy 中，已知点F （2，0），直线l ：x=t ，曲线τ：²8y x =00x t y （≦≦，≧），l 与x 轴交于点A ，与τ交于点B ，P 、Q 分别是曲线τ与线段AB 上的动点.（1）用t 为表示点B 到点F 的距离；（2）设t =3，2FQ =∣∣，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积； （3）设t =8，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在τ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由. 参考答案 一、选择题1.C2.A3.D4.A5.D6.C7.B8.C 二、填空题1. 222.)0,1(3.44.0222=-+x y x 5.2 6.3 7.58.x y 21±= 9.32+三、解答题1.解：（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x =2，可得M 的坐标为（2，2）或（2，–2）．所以直线BM 的方程为y =112x +或112y x =--．（2）当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM =∠ABN ．当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1>0，x 2>0．由2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，得ky 2–2y –4k =0，可知y 1+y 2=2k ，y 1y 2=–4．直线BM ，BN 的斜率之和为 1221121212122()22(2)(2)BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=+=++++．① 将112y x k =+，222yx k=+及y 1+y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得 121221121224()882()0y y k y y x y x y y y k k++-++++===．所以k BM +k BN =0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM +∠ABN ． 综上，∠ABM =∠ABN ．2.解：（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=． 216160k ∆=+=，故212224k x x k ++=． 所以212244(1)(1)k AB AF BF x x k +=+=+++=．由题设知22448k k +=，解得k =–1（舍去），k =1．因此l 的方程为y =x –1．（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为 2(3)y x -=--，即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则00220005(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．3.解：（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，则2211143x y +=，2222143x y +=．两式相减，并由1212=y y k x x --得1212043x x y y k +++⋅=． 由题设知1212x x +=，122y y m +=，于是34k m=-． 由题设得302m <<，故12k <-． （2）由题意得F （1，0）．设33()P x y ，，则331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=，，，，．由（1）及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<．又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1)2P -，23=．于是1||22x FA ==-uu r ．同理2||=22x FB -uu r ．所以1214()32FA FB x x +=-+=uu r uu r ．故2||=||+||FP FA FB uu r uu r uu r ．4.解：（Ⅰ）由题意得2c =，所以c =又c e a ==，所以a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（Ⅱ）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12|||AB x x =-==易得当20m =时，max ||AB ，故||AB． （Ⅲ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，则221133x y += ①，222233x y += ②，又(2,0)P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+， 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+，学科*网 又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+， 所以1111712(,)4747x y C x x --++，同理可得2222712(,)4747x y D x x --++．故3371(,)44QC x y =+-u u u r ，4471(,)44QD x y =+-u u u r ，因为,,Q C D 三点共线，所以34437171()()()()04444x y x y +--+-=，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =． 5. 解：（I ）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．由||AB ==,从而3,2a b ==．所以，椭圆的方程为22194x y +=． （II ）设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>，点Q 的坐标为11(,)x y --．由BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，可得||=2||PM PQ ，从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =．易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ，可得2632x k =+．由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y ，可得1294x k =+． 由215x x =，可得2945(32)k k +=+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-．当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意． 所以，k 的值为12-． 6.解：（1）因为椭圆C 的焦点为12() 3,0,(3,0)F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1(3,)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+．由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以002,1x y ==．因此，点P 的坐标为(2,1)．②因为三角形OAB 的面积为26， 所以21 26AB OP ⋅=，从而42AB =． 设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得22000001,22448(2)x y x x ±-=，所以2222121()()x B y y x A =-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+． 因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=， 解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P 的坐标为102(,)． 综上，直线l 的方程为532y x =-+．7.解：（Ⅰ）设00(,)P x y ，2111(,)4A y y ，2221(,)4B y y ．因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程202014()422y x y y ++=⋅即22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根． 所以1202y y y +=．因此，PM 垂直于y 轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎪⎨=-⎪⎩ 所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-，12||y y -= 因此，PAB △的面积32212001||||4)24PABS PM y y y x =⋅-=-△． 因为220001(0)4y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈． 因此，PAB △面积的取值范围是4． 8.解：（1）由抛物线的性质可知，抛物线x y 82=的准线为2-=x ，抛物线上的点B 到焦点)0,2(F 的距离等于点B 到准线2-=x 的距离，由题意知，点B 的横坐标为t ，则2+=t BF 。
解析几何(2020高考)
解析几何（2020高考）1.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的短轴长为2，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，过点F 2的动直线与椭圆交于点P ，Q ，过点F 2与PQ 垂直的直线与椭圆C 交于A 、B 两点．当直线AB 过原点时，PF 1＝3PF 2．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点H(3，0)，记直线PH ，QH ，AH ，BH 的斜率依次为1k ，2k ，3k ，4k ．①若12215k k +=，求直线PQ 的斜率；②求1234()()k k k k ++的最小值．（第18题）2.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:195y x C +=与22221(06)36y x C b b +=<<: 的离心率相等．椭圆1C 的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆1C 交于A B ，两点，射线OB 与椭圆2C 交于点C ．椭圆2C 的右顶点为D ．（1）求椭圆2C 的标准方程； （2）若ABO △求直线AB 的方程；（3）若2AF BF =，求证：四边形AOCD是平行四边形．3.4.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右准线为直线4x =，左顶点为A ，右焦点为F . 已知斜率为2的直线l 经过点F ，与椭圆E 相交于,B C 两点，且O 到直线l 的距离为255.(1) 求椭圆E 的标准方程；(2) 若过O 的直线:m y kx =与直线,AB AC 分别相交于,M N 两点，且OM ON =，求k 的值.5.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：22221x ya b+=(a＞b＞0)左、右焦点分别为F1，F2，离心率为2，两准线间距离为8，圆O的直径为F1F2，直线l与圆O相切于第四象限点T，与y轴交于M点，与椭圆C交于点N（N点在T点上方），且OM＝ON．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求直线l的方程；（3）求直线l上满足到F1，F2距离之和为的所有点的坐标．参考解答1.解：（1）因为椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的短轴长为2，所以b ＝1，当直线AB 过原点时，PQ ⊥x 轴，所以△PF 1F 2为直角三角形， 由定义知PF 1＋PF 2＝2a ，而PF 1＝3PF 2，故132PF a =，212PF a =， 由2221212PF PF F F =+得2222291144(1)444a a c a a =+=+-，化简得a 2＝2， 故椭圆的方程为2212x y +=． （2）①设直线PQ ：(1)y k x =-，代入到椭圆方程得：2222(12)4(22)0k x k x k +-+-=， 设P(1x ，1y )，Q(2x ，2y )，则2122412k x x k +=+，21222212k x x k-=+， 所以121221121212[(1)(3)(1)(3)]33(3)(3)y y k x x x x k k x x x x --+--+=+=----， 化简可得122228715k k k k +==+， 解得：1k =或78k =，即为直线PQ 的斜率．②当这两条直线中有一条与坐标轴垂直时，1234()()0k k k k ++=， 当两条直线与坐标轴都不垂直时， 由①知122287k k k k +=+，同理可得342287kk k k-+=+ 故21234422244()()1565611356()113k k k k k k k k k--++==++++4225≥=-， 当且仅当221k k =即k ＝±1时取等号．综上，1234()()k k k k ++的最小值为4225-． 2.3.4.(1) 设椭圆E 的焦距为2c ，则直线l 的方程为2()y x c =-，即220x y c --=. 因为O 到直线l 25，222002521c d ⨯--==+255=，则1c =. ………………….3分 因为椭圆E 的右准线的为直线4x =，则24a c =，所以24a =，2223b a c =-=，故椭圆E 的标准方程为22143x y +=. ………………….4分(2) 由(1)知l ：2(1)y x =-，设11(,)B x y ，22(,)C x y .由222(1),3412y x x y =-⎧⎨+=⎩得2193240x x -+=，则212123241940,32,194.19x x x x ⎧⎪∆=-⨯⨯>⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩………….6分 由(2,0)A -，11(,)B x y 可知11:(2)2y AB y x x =++， 由11,(2)2y kx y y x x =⎧⎪⎨=+⎪+⎩得1112(2)M y x k x y =+-， ………………….9分 同理2222(2)N y x k x y =+-，因为OM ON =2211M N k k +=+，由图可知0M N x x +=， ………………….12分 所以1222112[(2)]2[(2)]0y k x y y k x y +-++-=，即122211(1)[(2)2(1)](1)[(2)2(1)]0x k x x x k x x -+--+-+--=， 所以121212122112124(1)(1)4[()1](1)(2)(1)(2)2()4x x x x x x k x x x x x x x x ---++==-++-+++- ……………….14分 4324[1]4(43219)19191432832419241919-+-+===+-⨯⨯+-. ………………….16分5.。
2020高考文科数学总复习课件：第九章 解析几何9.7
x +x
y +y
点,则过点 P 的切线方程为 Ax0x+B 0 0 +Cy0y+D 0 +E 0 +F=0.
2
2
2
3.抛物线 y2=2px(p>0)的通径长为 2p.
第五页，编辑于星期日：一点 三十七分。
9.7 抛物线
第九章
必备知识·预案自诊
必备知识·预案自诊
知识梳理
关键能力·学案突破
C.x2=6y
D.x2=4y
(2)(2018河北衡水中学押题卷四,6)抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,点
A(0,2),若线段AF的中点B在抛物线上,则|BF|=(
)
D
为
.
x2=-2py(p>0)
第二页，编辑于星期日：一点 三十七分。
9.7 抛物线
第九章
必备知识·预案自诊
必备知识·预案自诊
知识梳理
-3-
关键能力·学案突破
考点自诊
3.抛物线的几何性质
标准方程
图
y2=2px
y2=-2px
x2=2py
x2=-2py
(p>0)
(p>0)
(p>0)
(p>0)
p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离
9.7 抛物线
第九章
必备知识·预案自诊
考点1
考点2
考点3
考点4
-13-
关键能力·学案突破
关键能力·学案突破
考点5
解析: (1)由抛物线C的方程为y2=4x,得F(1,0),
设A(x1,y1),B(x2,y2),|AF|等于点A到准线x=-1的距离x1+1,
2020年高考数学试题分类汇编解析几何精品
、选择题2 2cA -1.(重庆理8)在圆x y 2x 6y 0内，过点E (0, 1)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD,则四边形ABCDW面积为A. 5、. 2 B 10、. 2 C. 15.2 D. 20.2【答案】B2 2 2C1：3 4 1(a> b>0) C1:x2 *y- 12.(浙江理8)已知椭圆 a b 与双曲线 4 有公共的焦点，C1的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则2 13 -2 1a 2b 2A. 2 B, a 13 C, 2 D. b 2【答案】C3.(四川理10)在抛物线y x2 ax 5(aw0)上取横坐标为x1 4, x2 2的两点，过L 2 L 2这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x 5y 36相切，则抛物线顶点的坐标为A. ( 2, 9) B (0, 5) C (2, 9) D (1, 6)【答案】C【解析】由已知的割线的坐标(4,11 4a),(2,2 a 1),K 2 a,设直线方程为36 b22y (a 2)x b,则5 1 (2 a)五、解析几何2y x ax 5 ,b又y (a 2)x b6 a 4 ( 2, 9)4.(陕西理2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x 2,则抛物线的方程是2 2A, y 8x B . y 8x C. y2 4x D . y2 4x5. 理8 )已知双曲线2 2上工2 ,2a b1(a>0, b>0)的两条渐近线均和圆2x2或卫D. 3 2A. 5B. 2 y_5 C. 3 D. 66.（全国新课标理 7) 已知直线 l 过双曲线C 的一个焦点，且与 C 的对称轴垂直，l 与C 交于A, B 两点，1ABi为C 的实轴长的2倍，C 的离心率为 (A)短(B)由 (C) (D) 3 7.（全国大纲理 10）已知抛物线 2 C ：y 4x的焦点为F,直线y 2x 4与C 交于A, B 两点.则cos AFB = A. 5 3B. 5C .8.（江西理 9)若曲线C 1 :点，则实数 m 的取值范围是A.( B .C.[ 9.（湖南理 5) 设双曲线 y 9 D .2xD.(与曲线C2:，0)U (0,y(y的渐近线方程为mx m ） 0有四个不同的交3x 2y0,则a 的值为A. 4 【答案】C D. 110.（湖北理 4）将两个顶点在抛物线 2 px(p 0）上， 另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为 A. n=0 【答案】C 11.（福建理 n, 则 B. n=1 C .n=2D. n7) 设圆锥曲线 r 的两个焦点分别为F1, F2,若曲线r 上存在点P 满足PF 1 : F 1F 2 : PF2 1或3 A. 22=4:3:2 ,则曲线r 的离心率等于 B. 3 或 2【答案】A12 .（北京理8）设A 0，0 , B 4，0 , C t 4，4 , D t ，4 t R .记N t 为平行四边形 ABCg 部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数 的值域为C 22 c13 .（安徽理2）双曲线2x y8的实轴长是则线段AB 的中点到y 轴的距离为、填空题15 .（湖北理14）如图，直角坐标系 x O y 所在的平面为，直角坐标系xOy （其中y 轴一与射影C 的方程是 【答案】(2, 2) (x 1)2 y2 12 x 2116 .（浙江理17）设F1,F 2分别为椭圆 3的左、右焦点，点A,B 在椭圆上，若uuruurnF 1A 5F 2B;则点 A 的坐标是A. 9,10,11B.9,10,12 C.9,11,12D.10,11,12(A) 2(B) 2 2(C) 4(D) 4 214.（辽宁理已知F 是抛物线 y2=x 的焦点, A,B 是该抛物线上的两点， IAF BF =3(A)4(B) 1'轴重合）所在的平面为，xOx 45 。
高考数学：专题九 第五讲 解析几何课件
2 2 解得 k＝± 2 ,所以直线 l 的斜率为± 2 .
(2)证明 设线段 AB 中点的坐标为 N(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),
因为直线 AB 不与 x 轴垂直,所以 AB 斜率存在, 4－x0 y0 所以直线 MN 的斜率为 ,直线 AB 的斜率为 , y0 x0－4 4－x0 直线 AB 的方程为 y－y0＝ y (x－x0), 0
设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 4k2m2－4 8k2m x1＋x2＝ ,x x ＝ . 1＋4k2 1 2 1＋4k2 |km| 2 2 又由 l 与圆 x ＋y ＝1 相切,得 2 ＝1, k ＋1 2 2 2 即 m k ＝k ＋1.
所以|AB|＝ x2－x12＋y2－y12 ＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2] 64k4m2 44k2m2－4 ＝ 1＋k2 2 2－ 2 1＋4k 1＋4k 4 3|m| ＝ 2 . m ＋3
题型突破
|BF2| 同理|PF2|＝ (2 2－|AF1|). |AF1|＋|BF2|
第五讲
本 讲 栏 目 开 关
|AF1| |BF2| 因此,|PF1|＋|PF2|＝ (2 2－|BF2|)＋ · 2－|AF1|) (2 |AF1|＋|BF2| |AF1|＋|BF2| 2|AF1|· 2| |BF ＝2 2－ . |AF1|＋|BF2|
例 2
第五讲
在平面直角坐标系 xOy 中,过定点 C(0,p)作直线与抛物线 x2＝
2py(p>0)相交于 A,B 两点.
本 讲 栏 目 开 关
(1)若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点,求△ANB 面积的最小值； (2)是否存在垂直于 y 轴的直线 l,使得 l 被以 AC 为直径的圆截得的弦 长恒为定值？若存在,求出 l 的方程,若不存在,说明理由.
专题 9 解析几何-2020年高考文科数学学科素养与能力突破含答案(教师版)
专题9 解析几何学科思想 分类讨论思想分类讨论思想是根据研究对象本质属性的异同，确定划分标准，进行分类，然后对每一类分别进行求解，并综合得出答案的一种数学思想．例 求经过A （m ，3），B （1，2）两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围． 【解】当m =1时，直线斜率不存在，此时直线的倾斜角α=90°． 当m ≠1时，由斜率公式可得32111k m m -==--，①当m >1时，k =11m -> 0，所以直线的倾斜角的取值范围是：0°<α<90°． ②当m <1时，101k m =<-， 所以直线的倾斜角的取值范围是：90°<α<180°． 【方法与技巧】m 是一参数，m 的不同取值使得斜率有不同的取值范围． 训练题组1．已知椭圆2215x y m+=的离心率e ＝105，则m 的值为（ ） A ．3 B ．3或253 C ．15 D ．15或51532．已知双曲线x 2–y 24＝1，过点A （1，1）的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．13．过点P （–1，0），Q （0，2）分别作两条互相平行的直线，使它们在x 轴上的截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程．4．已知动点P （x ，y ）与两定点M （–1，0），N （1，0）连线的斜率之积等于常数λ（λ≠0）． （1）求动点P 的轨迹C 的方程； （2）讨论轨迹C 的形状． 数形结合思想数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决．例 已知实数x ，y 满足y =x 2–2x +2（–1≤x ≤1），求32y x ++ 的最大值与最小值．【解】32y x ++表示经过定点P （–2，–3）与曲线段AB 上任一点（x ，y ）的直线的斜率k ，如图，则k PA ≤k ≤k PB ，由已知，得A （1，1），B （–1，5），所以314,213PA k --==--358,2(1)PB k --==--- 所以43≤k ≤8，所以32y x ++的最大值是8，最小值是43．【方法与技巧】由题意作图，根据图求出过点P 直线与y =x 2–2x +2（–1≤x ≤1）交点，从而求出最大与最小值． 训练题组5．已知圆C ：（x –3）2＋（y –4）2＝1和两点A （–m ，0），B （m ，0）（m ＞0）．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为（ ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．46．圆（x –3）2＋（y –3）2＝9上到直线3x ＋4y –11＝0的距离等于1的点有（ ） A ．1个B ．2个 C ．3个 D ．4个 7．设平面点集()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛--=01),(x y x y y x A ，()(){}111),(22≤-+-=y x y x B ，则A B 所表示的平面图形的面积为（ ）A ．34π B ．35π C ．47π D ．2π8．若直线y =|x |与y =kx +1有两个交点，则k 的取值范围是________．转化归纳的思想研究问题时，将研究对象在一定条件下转化为熟悉的、简单的、基本的研究对象的思维方法称为转化的思想方法．这种思想方法是解析几何中最重要的思想方法，贯穿在解析几何教学的始终．例 已知a ，b 满足a +b =3【解】点（a ，b ）在直线x +y –3=0从而可看作求P （a ，b ）与点A （–5，2）距离的最小值问题，显然A 到直线的距离即为最小值． 因为点A 到直线x +y –3=0的距离为d =．【方法与技巧】将条件与目标函数都赋于几何意义，将问题转化为点到直线的距离． 训练题组9．已知双曲线1169:22=-y x C 的左、右焦点分别为P F F ，21,为双曲线C 的右支上一点，且212F F PF =，则21F PF ∆ 的面积等于（ ） A ．24B ．36C ．48D ．9610．已知圆（x ＋2）2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，且点N （2，0），线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线11．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆的顶点()0,5-A 和()0,5C ，顶点B 在双曲线221169x y -=上，则CA Bsin sin sin -为___________．12．已知直线5x –12y –60=0，求x 2+y 2的最小值．函数方程思想函数与方程的在解析几何中的应用就是从问题中的数量关系分析入手，运用数学语言将解析几何问题描述转化为数学模型，然后通过函数特性、图象或解方程、不等式（组）获得问题的解．例 两条平行直线分别过点P （–2，–2）、Q （1，3），它们之间的距离为d ，如果这两条直线各自绕着P 、Q 旋转并且保持互相平行． （1）求d 的变化范围；（2）当d 取最大值时，求两条直线的方程．【解析】（1）设过点P （–2，–2）的直线l 1的方程为：Ax ＋By ＋C 1＝0，过点Q （1，3）的直线l 2的方 程为Ax ＋By ＋C 2＝0，由于点P 、Q 分别在直线上l 1、l 2，得–2A –2B ＋C 1＝0，A ＋3B ＋C 2＝0，两式相减得C 1–C 2＝3A ＋5B ，两直线间的距离为d =，即：2222930250d A AB d B ---()()＋＝． ①当B ≠0时，两直线斜率存在，有229Ad B-()()–30A B ()＋2d –25＝0．由d ＞0及∆≥0得：2223049250d d ----()()()…，从而0＜d ．②当B ＝0时，两直线分别为x ＝–2，与x ＝1，它们间的距离为3，满足上述结论．综上所述，d 的取值范围是（0）．（2）当d 时，k ＝35A B -=- ，对应两条直线分别为l 1：3x ＋5y ＋16＝0，l 2：3x ＋5y –18＝0． 【方法与技巧】设两平行线的一般方程，利用两平行间距离公式得出方程2222930+250d A AB d B ---＝()()，根据方程有意义，求得d 的取值范围．d 的取值就决定了直线斜率k =–AB的值． 训练题组13．能够把圆O ：x 2＋y 2＝9的周长和面积同时分为相等的两部分的函数f （x ）称为圆O 的“亲和函数”，下列函数不是圆O 的“亲和函数”的是（ ） A ．f （x ）＝4x 3＋x 2B ．f （x ）＝ln 5－x5＋xC ．f （x ）＝e x ＋e －x2D ．f （x ）＝tan x514．设椭圆)>>(=+012222b a b y a x 的离心率e=12，右焦点F （c ，0），方程a x 2+bx –c=0的两个根分别为x 1，x 2，则点P （x 1，x 2）（ ） A ．在圆x 2+y 2=2内 B ．在圆x 2+y 2=2上 C ．在圆x 2+y 2=2外 D ．以上三种情况都有可能15．已知点O 和点F 分别为椭圆13422=+y x 的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则•的最大值是 ．16．过点P （0，1）作直线l ，使它被两条已知直线l 1：2x ＋y –8＝0和l 2：x –3y ＋10＝0所截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．参考解析答案1．【答案】B【解析】若焦点在x 轴上，则有⎩⎪⎨⎪⎧5>m ，5－m 5＝105.∴m ＝3．若焦点在y轴上，则有5m >⎧=，∴m＝253． 2．【答案】A【解析】①斜率不存在时，方程为x ＝1满足题意．②当直线斜率存在时，设斜率为k ，y –1＝k （x –1），kx –y –k ＋1＝0．22441x y y kx k ⎧-=⎨=-+⎩，消去y ，整理得（4–k 2）x 2＋（2k 2–2k ）x –k 2＋2k –5＝0． 当4–k 2＝0，k ＝±2时符合；当4–k 2≠0，Δ＝0，亦有一个答案，∴共4条． 3．【解析】（1）当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x =–1，x =0， 它们在x 轴上截距之差的绝对值为1，符合题意．4．【解析】（1）由题设知直线PM 与PN 的斜率存在且均不为零，所以k PM ·k PN ＝y x ＋1·y x －1＝λ． 整理，得x 2–y 2λ＝1（λ≠0，x ≠±1）．（2）①当λ>0时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线（除去顶点）；②当–1<λ<0时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆（除去长轴两个端点）； ③当λ＝–1时，轨迹C 为以原点为圆心，1为半径的圆除去点（–1，0），（1，0）； ④当λ<–1时，轨迹C 为中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆（除去短轴的两个端点）． 5．【答案】B【解析】由图可知，圆C 上存在点P 使∠APB ＝90°，即圆C 与以AB 为直径的圆有公共点，所以32＋42–1≤m ≤32＋42＋1，即4≤m ≤6．∴m 的最大值为6，故选B ．6．【答案】C【解析】因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．故选C ．7．【答案】D【解析】由题意可知，A B 所表示的平面图形为阴影部分所示，根据对称性可知，其面积等于圆面积的一半，即2．故选D ．8．【答案】–1<k <1【解析】利用数形结合找出直线l 的斜率k 的取值范围．y =|x |的图象是一､二象限角的平分线，直线y =kx +1过定点（0，1），由图象知：–1<k <1． 9．【答案】C【解析】由题意得5,4,3===c b a ，∴)0,5(1-F ，)0,5(2F ∵212F F PF =，∴122PF PF a =+=61016+=，作1PF 边上的高2AF ，则81=AF ，∴6810222=-=AF ，∴12PF F △的面积为4821==AF PF S ．10．【答案】B【解析】点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |，又AM 是圆的半径， ∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |， 由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆． 11．【答案】45故应填45．12所以x 2+y 2可以看成是直线上的动点到原点的距离的平方．原点到直线的距离6013d =，所以x 2+y 2最小值为3 600169．13．【答案】C【解析】若函数f （x ）是圆O 的“亲和函数”，则函数()f x 的图象经过点O 且关于点O 对称．A 中f （x ）＝4x 3＋x 2，B 中f （x ）＝ln 5－x 5＋x ，D 中f （x ）＝tan x 5的图象均过圆心O （0，0），在C 中，f （x ）＝e x ＋e －x2的图象不过圆心，不满足要求，故选C ．14．【答案】A【解析】由题意可得a=2c ，，所以方程ax 2+bx –c=0，即为2x 2–1=0，方程的两根分别为x 1，x 2，所以x 1+x 2=x 1x 2=–12，则2212x x +=（x 1+x 2）2–2x 1x 2=34+1=74<2，故点P （x 1，x 2）在圆x 2+y 2=2内．故选A ．15．【答案】6【解析】由题意，F （–1，0），设点P （x 0，y 0），则有2200143x y +=，解得22003(14x y =-）， 因为001,)FP x y =+（，00,)OP x y =（，所以22200000000(1)(1)3(1344x x OP FP x x y x x x ∙=++=++-=++），此二次函数对应的抛物线的对称轴为02x =-，因为022x -≤≤，所以当02x =时， •取得最大值222364++=． 16．【解析】由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1．。
2020年高考数学(文)热点专练09 解析几何(解析版)
热点09 解析几何【命题趋势】解析几何一直是高考数学中的计算量代名词，在高考中所占的比例一直是2+1+1模式.即两道选择，一道填空，一道解答题.高考中选择部分，一道圆锥曲线相关的简单概念以及简单性质，另外一道是圆锥曲线的性质会与直线、圆等结合考查一道综合题目，一般难度诶中等.填空题目也是综合题目，难度中等.大题部分一般是以椭圆抛物线性质为主，加之直线与圆的相关性子相结合，常见题型为定值、定点、对应变量的取值范围问题、面积问题等.双曲线一般不出现在解答题中，一般出现在小题中.即复习解答题时也应是以椭圆、抛物线为主.本专题主要通过对高考中解析几何的知识点的统计，整理了高考中常见的解析几何的题型进行详细的分析与总结，通过本专题的学习，能够掌握高考中解析几何出题的脉略，从而能够对于高考中这一重难点有一个比较详细的认知，对于解析几何的题目的做法能够有一定的理解与应用. 【满分技巧】定值问题：采用逆推方法，先计算出结果.即一般会求直线过定点，或者是其他曲线过定点.对于此类题目一般采用特殊点求出两组直线，或者是曲线然后求出两组直线或者是曲线的交点即是所要求的的定点.算出结果以后，再去写出一般情况下的步骤.定值问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.先求结果一般会也是采用满足条件的特殊点进行带入求值（最好是原点或是（1.0）此类的点）.所得答案即是要求的定值.然后再利用答案，写出一般情况下的过程即可.注：过程中比较复杂的解答过程可以不求，因为已经知道答案，直接往答案上凑即可.关于取值范围问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.对于答案的求解，一般利用边界点进行求解，答案即是在边界点范围内.知道答案以后再写出一般情况下的步骤比较好写.一般情况下的步骤对于复杂的计算可以不算. 【考查题型】选择，填空，解答题【限时检测】（建议用时：55分钟）1．（2019·湖南雅礼中学高考模拟（文））“26m <<”是“方程22126x y m m+=--为椭圆的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：若方程22126x ym m+=--表示椭圆，则20{6026m m m m->->-≠-，解得26m <<且4m ≠，所以26m <<是方程22126x y m m+=--表示椭圆的必要不充分条件，故选B ．考点：椭圆的标准方程；必要不充分条件的判定．2．（2019·四川高考模拟（文））已知P 为双曲线122=-y x 右支上任意一点，Q 与P 关于x 轴对称，12,F F 为双曲线的左、右焦点，则12F P F Q ⋅=u u u r u u u u r（） A ．1 B ．-1C ．2D ．-2【答案】B 【解析】【分析】设出P 的坐标，求出Q 坐标，求出焦点坐标，利用向量的数量积求解即可． 【详解】P 为双曲线x 2﹣y 2＝1右支上任意一点，Q 与P 关于x 轴对称， F 1（0），F 20）为双曲线的左，右焦点，设P （t ，m ），则Q （t ，﹣m ），根据点P 在双曲线上得到：t 2﹣m 2＝1，则12F P F Q ⋅=u u u r u u u u r （t m ）•（t ，-m ）＝t 2﹣m 2﹣2＝1﹣2＝﹣1． 故选：B ． 【名师点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，向量的数量积的求法，考查计算能力．3．（2019·江西高考模拟（文））阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数(0,1)k k k >≠的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A 、B 间的距离为2,动点P满足PA PB=P 、A 、B 不共线时，三角形PAB 面积的最大值是（ ） A ．12x x BC．3D【答案】A 【解析】 【分析】由题，设点A(-1,0), B(1,0)，根据题意，求得圆的方程，再求得P 点的位置，即可求得面积的最大值. 【详解】以经过,A B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系；则：A(-1,0), B(1,0) 设P(x, y),||||PA PB ==Q ， 两边平方并整理得：2222610(3)8x y x x y +-+=⇒-+= ， 当点P 到AB （x 轴）的距离最大时，三角形PAB 的面积最大，此时面积为122⨯⨯=故选：A 【名师点睛】本题考查了曲线的轨迹方程，熟悉圆的定义和求轨迹方程是解题的关键，属于中档题型.4．（2019·河北唐山一中高考模拟（文））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,,F F O 为坐标原点，A 为椭圆上一点，122F AF π∠=，连接2AF y 交轴于M 点，若23OM OF =，则该椭圆的离心率为( ) A ．13BC ．58D．4【答案】D 【解析】 【分析】设AF 1＝m ，AF 2＝n ．如图所示，Rt △AF 1F 2∽Rt △OMF 2，可得12213AF OM AF OF ==．可得m +n ＝2a ，m 2+n 2＝4c 2，n ＝3m ．化简解出即可得出． 【详解】设AF 1＝m ，AF 2＝n ．如图所示，由题意可得：Rt △AF 1F 2∽Rt △OMF 2，∴12213AF OM AF OF ==． 则m +n ＝2a ，m 2+n 2＝4c 2，n ＝3m ．化为：m 2223b =，n 2＝9m 2＝6b 2．∴223b +6b 2＝4c 2．∴()2253a c -=c 2，化为：4c a =． 故选：D ．【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合222-c a b =转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．5．（2019·贵州高考模拟（文））已知实轴长为的双曲线C ：22221(0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1（﹣2，0），F 2（2，0），点B 为双曲线C 虚轴上的一个端点，则△BF 1F 2的重心到双曲线C 的渐近线的距离为（ ）A ．13B ．3C ．3D ．23【答案】A 【解析】 【分析】求出a ，b ，c 得到三角形的重心坐标，求出双曲线的渐近线方程，然后利用点到直线的距离求解即可． 【详解】实轴长为C ：22221(0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为F 1（﹣2，0），F 2（2，0），可得a ，c ＝2，则b 不妨B （0），则△BF 1F 2的重心G 0,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，双曲线的渐近线方程为：y ＝x 的距离为：d 13=． 故选：A ． 【名师点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．6．（2019·广东高考模拟（文））已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ，M 是抛物线C 上的点，且MF x ⊥轴，若以AF 为直径的圆截直线AM 所得的弦长为2，则p =( )A ．2B ．C ．4D ．【答案】B 【解析】 【分析】求出直线AM 的方程，根据垂径定理列方程得出p 的值． 【详解】把2p x =代入22y px =可得y p =±，不妨设M 在第一象限， 则,2p M p ⎛⎫⎪⎝⎭， 又,02p A ⎛⎫-⎪⎝⎭，∴直线AM 的方程为2p y x =+，即02px y -+=， ∴原点O 到直线AP的距离pd ==Q 以AF 为直径的圆截直线AM 所得的弦长为2，22148p p ∴=+，解得p =故选：B ． 【名师点睛】本题考查了抛物线的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理.7．（2019·天津南开中学高考模拟）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为32，过右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为M ，若FOM ∆O 为坐标原点，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22415y x -=B ．222125x y -=C ．22145x y -=D ．2211620x y -=【答案】C 【解析】 【分析】运用离心率公式，求得渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得F 到渐近线的距离为b ，由勾股定理可得OM a =，运用三角形的面积公式，结合,,a bc 的关系，解得,a b ，即可求出双曲线方程． 【详解】由题意可得 32c e a ==①，可得b a == ，设 (),0F c ， 渐近线为by x a=， 可得 F到渐近线的距离为MF b == ，由勾股定理可得OM a === ， 因为FOM ∆12ab =② ， 又 222+=a b c ③，由①②③解得2,3b a c === ，所以双曲线的方程为22145x y -= ,故选C.【名师点睛】本题主要考查双曲线的方程与几何性质，属于中档题. 求解双曲线方程的题型一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论.8．（2019·广东高三月考（文））已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，且1F AB ∆的面积为22，点P 为椭圆上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为（ ） A ．[1,2] B．C．4]D ．[1,4]【答案】D 【解析】分析： 由得椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为2，()112F AB S a c b ∆=-=可得，2,a c ==1PF x =可得()21211442PF PF x +=--，从而可得结果.详解：由得椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为22,1b b ==，()11222F AB S a c b ∆=-=，解得22,a c a c -=∴==1224PF PF a +==，设1PF x =，则24PF x =-，[],x a c a c ∈-+，即22x ⎡∈⎣， ()[]212111141,4442PF PF x x x ∴+=+=∈---，故选D. 【名师点睛】：本题考查题意的简单性质，题意的定义的有意义，属于中档题. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系， 挖掘出它们之间的内在联系. 二、填空题9．（2019·山东高考模拟（文））已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，A ，B 分别为椭圆C 的左，右顶点，F 为椭圆C 的右焦点，过F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，当直线l 垂直于x 轴时，四边形APBQ 的面积为6，则椭圆C 的方程为__________．【答案】22143x y +=【解析】 【分析】根据题意和椭圆的几何性质得到四边形的面积为：221226 3.2b a b a⨯⨯=⇒=结合离心率的值，构造方程得到结果.【详解】根据题意得到当直线和x 轴垂直时四边形可分割成两个三角形，底边为2a,高为半通径长2b a此时四边形的面积为：221226 3.2b a b a⨯⨯=⇒=再由离心率为12，得到()222221,44 4.2c a c a b a a ===-⇒= 此时方程为：22143x y +=.【名师点睛】这个题目考查了椭圆的几何性质的应用,方程的求法，涉及离心率的应用，以及椭圆通径的应用；题目比较基础. 求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立,,a b c的方程，求出22,a b 即可，注意222,ca b c e a=+=的应用. 10．（2019·湖南高考模拟（文））已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，第一象限内的点00(,)M x y 在双曲线1C 的渐近线上，且12MF MF ⊥，若以2F 为焦点的抛物线2C ：22(0)y px p =>经过点M ，则双曲线1C 的离心率为_______．【答案】2【解析】 【分析】 由题意可得00by x a=，又由12MF MF ⊥，可得22200y x c +=，联立得0x a =，0y b =，又由F 为焦点的抛物线2C ：22(0)y px p =>经过点M ，化简得224ac 0c a --=，根据离心率ce a=，可得2410e e --=，即可求解． 【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为by x a=±，焦点为()1,0F c -，()2,0F c ， 可得00by x a=，① 又12MF MF ⊥，可得00001y y x c x c⋅=-+-， 即为22200y x c +=，②由222a b c +=，联立①②可得0x a =，0y b =，由F 为焦点的抛物线2C ：22(0)y px p =>经过点M ，可得22b pa =，且2pc =，即有2224b ac c a ==-，即224ac 0c a --= 由ce a=，可得2410e e --=，解得2e =+【名师点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c 的值，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．11．（2019·江西高考模拟（文））设1F ，2F 为椭圆1C ：221122111(0)x y a b a b +=＞＞与双曲线2C 的公共左、右焦点，椭圆1C 与双曲线2C 在第一象限内交于点M ，12MF F ∆是以线段1MF 为底边的等腰三角形，且1=2MF .若椭圆1C 的离心率152,145e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则双曲线2C 的离心率2e 的取值范围是_______. 【答案】5,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】由题，椭圆和双曲线的焦点相同和定义可得122a a c -=，即转化为离心率12112e e -=，再由题152,145e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可求得双曲线2C 的离心率2e 的取值. 【详解】设双曲线2C 的方程为()2222222210,0x y a b a b -=>>，由题意知11222,2MF F F MF c ===，其中222222211c a b a b =+=-，又根据椭圆与双曲线的定义得1211222|2MF MF a MF MF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，则12222222c a c a +=⎧⎨-=⎩，即122a a c -= 其中122,2a a 分别为椭圆的长轴长和双曲线的实轴长.所以12112e e -=因为椭圆的离心率152,145e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2111142,25e e ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦所以25,24e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即双曲线2C 的离心率的取值范围是5,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【名师点睛】本题考查了圆锥曲线综合知识，熟悉椭圆、双曲线的性质和定义是解题的关键，属于难题.12．（2019·重庆高考模拟（文））已知双曲线2221(0)12x y a a -=>的一条渐近线方程为0y -=，左焦点为F ，当点M 在双曲线右支上，点N 在圆22(3)4x y +-=上运动时，则||||MN MF +的最小值为__________． 【答案】7 【解析】 【分析】先由双曲线渐近线求出a ，记双曲线的右焦点为'F ，利用2'MF a MF =+，得'2MN MF MN MF a +=++，再由两点之间线段最短求出'MN MF +的最小值，然后得出答案. 【详解】解：由双曲线方程222112x y a -=，得b =y x =0y -=，得2a =所以双曲线方程为221412x y -=，点()4,0F -记双曲线的右焦点为()'4,0F ，且点M 在双曲线右支上，所以4'MF MF =+ 所以'4MN MF MN MF +=++由两点之间线段最短，得'4MN MF ++最小为'4F N + 因为点N 在圆()2234x y +-=上运动所以'F N 最小为点F 到圆心()0,3的距离减去半径2 所以'523min F N =-= 所以MN MF +的最小值为7 故答案为：7. 【名师点睛】本题考查了双曲线的定义与方程，双曲线的渐近线，平面中线段和最小问题，利用双曲线定义进行线段转化是解本题的关键，属于中档题. 三、解答题13．（2019·天水市第一中学高三月考（文））已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2， （1）试求椭圆M 的方程； （2）若斜率为12的直线l 与椭圆M 交于C 、D 两点，点3(1)2P ，为椭圆M 上一点，记直线PC 的斜率为1k ，直线PD 的斜率为2k ，试问：12k k +是否为定值？请证明你的结论【答案】（1）22143x y +=（2）见解析【解析】分析：（1）由条件得a,c ，解得b,即得椭圆标准方程，（2）设C,D 坐标，根据斜率公式得12k k +，设直线方程并与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理代入化简可得12k k +为定值.详解：（1）．，椭圆的方程为（2）设直线的方程为：，联立直线l 的方程与椭圆方程得：（1）代入（2）得：化简得： (3)当时，即，即时，直线l 与椭圆有两交点，由韦达定理得：，所以，，则，12k k +所以为定值.【名师点睛】：直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化.14．（2019·河南高考模拟（文））椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，A 为椭圆上一动点（异于左、右顶点），若12AF F ∆的周长为4+，且面 积的最大（1）求椭圆C 的方程；（2）设,A B 是椭圆C 上两动点，线段AB 的中点为P ，,OA OB 的斜率分别为12,k k (O 为坐标原点)，且1214k k =-，求OP 的取值范围. 【答案】（1）2214x y +=；（2）2⎢⎣.【解析】 【分析】（1）通过2a+2c=4+且122c b ⋅⋅= （2）当直线AB 的斜率k ＝0时，|OP|2=， 当直线AB 的斜率k ≠0时，可令AB 的方程为：x ＝my +t ，由2244x y x my t⎧+=⎨=+⎩可得（m 2+4）y 2+2mty +t 2﹣4＝0，求得p （244t m +，24mt m -+）．由1214k k =-，⇒4222+=m t ，代入|OP |2的运算中，化简得|OP |22132t =+∈（12，2]即可．【详解】（1）由题知，12AF F ∆的周长为=+c a 224+且122c b ⋅⋅= ∴21a b ==，，∴椭圆C 的方程为：2214x y +=；（2）当直线AB 的斜率k ＝0时，此时k 1，k 2（O 为坐标原点），满足1214k k =-，k 1＝-k 2=﹣12． 可令OB 的方程为：y 12x =，（x B ＞0） 由22244x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩可得B），此时|OP|=当直线AB 的斜率k ≠0时，可令AB 的方程为：，my+t x = 由2244x y x my t ⎧+=⎨=+⎩可得0424222＝-mty+t +y +m ）（， 04t -0)4-t )(4m 4(-t 4△＝222222>+>+m m 即…①21212222444mt t y y y y m m ，--+==++， t y y m +x x 2+)+(＝2121284tm =+．∴p （244t m +，24mtm -+）．∵1214k k =-，∵121214y y x x =-0＝42121x +x y y 即． ⇒04221212=++t +y y mt y y +m ）（）（．⇒4-t 222224m tm-+++．0＝t 2 ⇒4+222m t =，且2≥t 2，…② 由①②可得2≥t 2恒成立，|OP |2()222222222222222162416161613(4)(2)442t t m t t m t m m t t t t+-+++=====++∈（12，2]|OP|∈⎝．综上，|OP |的取值范围为]． 【名师点睛】本题考查了椭圆的方程的求法，考查了椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系的应用，考查了计算能力，转化思想，属于难题．15．（2019·建瓯市第二中学高三月考（理））已知抛物线()220x py p =>的焦点为()0,1F ，A ，B 为抛物线上不重合的两动点，O 为坐标原点，4OA OB ⋅=-u u u r u u u r，过A ，B 作抛物线的切线1l ，2l ，直线1l ，2l 交于点M ． （1）求抛物线的方程；（2）问：直线AB 是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由； （3）三角形ABM 的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值．【答案】（1）24x y =；（2）是，()0,2；（3）是，【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标直接求抛物线方程；（2）设直线AB 的方程是y kx b =+，与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，同时4OA OB ⋅=-u u u r u u u r，用坐标表示，并代入根与系数的关系，求得定点；（3）由（2）知，直线AB 的方程是2y kx =+，与抛物线方程联立224y kx x y =+⎧⎨=⎩，得到 124x x k +=，128x x ⋅=-，求弦长AB ，利用导数的几何意义求过A ，B 作抛物线的切线1l ，2l ，并求交点M 的坐标，求点M 到直线的距离，并求ABM ∆的面积，和面积的最小值. 【详解】（1）由()0,1F 得2p =，所以抛物线方程为24x y =．（2）当斜率不存在时，与对称轴平行，没有两个交点，当斜率存在时，设直线AB 方程为y kx b =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由24y kx b x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx b --=，则124x x k +=，124x x b ⋅=-． 又4OA OB ⋅=-u u u r u u u r ，得12124x x y y ⋅+⋅=-，即22121211444x x x x ⋅+⋅=-，∴24402b b b -+=⇒=，所以直线AB 过定点()0,2．（3）由224y kx x y=+⎧⎨=⎩得2480x kx --=，则124x x k +=，128x x ⋅=-∴12AB x =-=设()00,M x y ，由12y x '=， 所以直线()111112:l y y x x x -=-，即11102x x y y --=． 同理直线2221:02l x x y y --=， 又直线1l ，2l 交于点M ，则有10012002102102x x y y x x y y ⎧--=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，可知点A 、B 在直线00102x x y y --=上，与直线AB 方程20kx y -+=对应系数相等，则02x k =，02y =- 则M 到直线AB的距离d =．所以三角形ABM 的面积()3221422ABMS AB d k =⋅=+△ 则当0AB k =时，()min ABM S =△． 【名师点睛】1本题考查直线与抛物线位置关系的综合问题，意在考查分析问题和解决问题的能力，涉及抛物线中三角形面积的最值的求法和定点问题，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.2对于第二问中的定点问题也可以采用特殊值计算也是可以的.16．（2019·重庆南开中学高三月考（文））已知离心率为12的椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上异于长轴顶点的动点.当2PF x ⊥轴时，12PF F △面积为32. （1）求椭圆C 的方程；（2）12F PF ∠的内角平分线交x 轴于Q ，求OP OQ ⋅u u u r u u u r的取值范围.【答案】（1）22143x y +=（2）[0,1)【解析】 【分析】（1）利用已知条件，求出椭圆的几何量，然后求解椭圆C 的方程；（2）设()00,P x y ，则直线1PF ：()0001y x xy y +=+；2PF ：()0001y x xy y -=-,利用点到直线的距离，建立等量关系，从而得到014t x =，表示目标即可. 【详解】（1）213222b c a ⋅⋅=，2a c =，b =，解得1c =，2a =，b =22143x y +=. （2）设()00,P x y ，则直线1PF ：()0001y x xy y +=+；2PF ：()0001y x xy y -=- 设(,0)Q t=，2200314x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，=，由于(1,1)t ∈-，0(2,2)x ∈-，则()()0011(1)4(1)422t x t x +⋅-=-⋅+. 化简得014t x =；则201[0,1)4OP OQ x ⋅=∈u u u r u u u r .【名师点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．17．（2019·上海高三）曲线()2222:10x y a b a bΓ+=>>的右焦点分别为()()121,0,1,0F F -，短袖长为()0P y 在曲线Γ上，Q 直线:4l x =-上，且11PF QF ⊥.（1）求曲线的标准方程；（2）试通过计算判断直线PQ 与曲线Γ公共点的个数.（3）若点()()1122,,,A x y B x y 在都在以线段12F F 为直径的圆上，且12OA OB x x •=+u u u r u u u r，试求2x 的取值范围.【答案】（1）22143x y +=（2）只有一个公共点（3）1,1⎡⎤-⎣⎦ 【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质，列出方程组，求得22,a b 的值，即可得到椭圆的标准方程；（2）由11PF QF ⊥，根据向量的数量积公式可得Q 的纵坐标，取得直线PQ 的直线方程，即可作出判定，得到答案；（3）由121212x x y y x x +=+得到()2121210x x y y x -+-=，进而得打不等式222220x x +-≤，即可求解．【详解】（1）由曲线()2222:10x y a b a bΓ+=>>的右焦点分别为()()121,0,1,0F F -，短袖长为22221b c a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，所以曲线Γ的标准方程为：22143x y +=（2）由()0P y 在()2222:10x y a b a bΓ+=>>，可得23143o y +=，解得0y =，所以2P ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭， 设()4,Q t -，则()()1011,3,PF y QF t =--=-u u u r u u u r又由11PF QF ⊥，则120PF QF •=u u u r u u u u r，即(0310ty -+=，解得)031t y =，所以0Q ⎛=- ⎝⎭，所以):4PQ y t x -=+若2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则3:2PQ y x =+由2223230143y x x x y ⎧=+⎪⎪⇒++=⎨⎪+=⎪⎩，解得x = 知道直线PQ 与曲线Γ相切，只有一个公共点；若2P ⎛- ⎝⎭，同理可知直线与曲线相切，只有一个公共点；（3）因为12121212OA OB x x x x y y x x •=+⇒+=+u u u r u u u r，即()2121210x x y y x -+-=2221220x x ≤⇒+-≤所以211x ≤，又211x -≤≤，所以21,1x ⎡⎤∈-⎣⎦．【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．。
2020年全国各地高中数学真题分类汇编—解析几何(含答案)
2020年全国各地⾼考真题分类汇编—解析⼏何1．（2020•天津）设双曲线C的⽅程为﹣＝1（a＞0，b＞0），过抛物线y2＝4x的焦点和点（0，b）的直线为l．若C的⼀条渐近线与l平⾏，另⼀条渐近线与l垂直，则双曲线C 的⽅程为（）A．﹣＝1B．x2＝1C．﹣y2＝1D．x2﹣y2＝12．（2020•北京）已知半径为1的圆经过点（3，4），则其圆⼼到原点的距离的最⼩值为（）A．4B．5C．6D．73．（2020•浙江）已知点O（0，0），A（﹣2，0），B（2，0）．设点P满⾜|PA|﹣|PB|＝2，且P 为函数y＝3图象上的点，则|OP|＝（）A．B．C．D．4．（2020•北京）设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的⼀点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线（）A．经过点O B．经过点PC．平⾏于直线OP D．垂直于直线OP5．（2020•新课标Ⅲ）点（0，﹣1）到直线y＝k（x+1）距离的最⼤值为（）A．1B．C．D．26．（2020•新课标Ⅲ）设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（）A．（，0）B．（，0）C．（1，0）D．（2，0）7．（2020•新课标Ⅱ）设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的⾯积为8，则C的焦距的最⼩值为（）A．4B．8C．16D．328．（2020•新课标Ⅱ）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆⼼到直线2x﹣y﹣3＝0的距离为（）A．B．C．D．9．（2020•新课标Ⅰ）已知A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上⼀点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝（）A．2B．3C．6D．910．（2020•新课标Ⅰ）已知圆x2+y2﹣6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的⻓度的最⼩值为（）A．1B．2C．3D．4 11．（2020•新课标Ⅲ）在平⾯内，A，B是两个定点，C是动点．若•＝1，则点C的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线12．（2020•新课标Ⅰ）设F1，F2是双曲线C：x2﹣＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的⾯积为（）A．B．3C．D．213．（2020•新课标Ⅲ）设双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离⼼率为．P是C上⼀点，且F 1P⊥F2P．若△PF1F2的⾯积为4，则a＝（）A．1B．2C．4D．814．（2020•新课标Ⅰ）已知⊙M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：2x+y+2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|•|AB|最⼩时，直线AB的⽅程为（）A．2x﹣y﹣1＝0B．2x+y﹣1＝0C．2x﹣y+1＝0D．2x+y+1＝015．（2020•上海）已知椭圆+y2＝1，作垂直于x轴的垂线交椭圆于A、B两点，作垂直于y 轴的垂线交椭圆于C、D两点，且AB＝CD，两垂线相交于点P，则点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．圆D．抛物线⼆．多选题（共1⼩题）16．（2020•海南）已知曲线C：mx2+ny2＝1．（）A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线⽅程为y＝±xD．若m＝0，n＞0，则C是两条直线17．（2020•天津）已知直线x﹣y+8＝0和圆x2+y2＝r2（r＞0）相交于A，B两点．若|AB|＝6，则r的值为．18．（2020•北京）已知双曲线C：﹣＝1，则C的右焦点的坐标为；C的焦点到其渐近线的距离是．19．（2020•上海）已知椭圆C：+＝1的右焦点为F，直线l经过椭圆右焦点F，交椭圆C于P、Q两点（点P在第⼆象限），若点Q关于x轴对称点为Q′，且满⾜PQ⊥FQ′，求直线l的⽅程是．20．（2020•浙江）已知直线y＝kx+b（k＞0）与圆x2+y2＝1和圆（x﹣4）2+y2＝1均相切，则k ＝，b＝．21．（2020•新课标Ⅲ）设双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的⼀条渐近线为y＝x，则C的离⼼率为．22．（2020•江苏）在平⾯直⻆坐标系xOy中，若双曲线﹣＝1（a＞0）的⼀条渐近线⽅程为y＝x，则该双曲线的离⼼率是．23．（2020•新课标Ⅰ）已知F为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离⼼率为．24．（2020•海南）斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝．25．（2020•上海）已知直线l1：x+ay＝1，l2：ax+y＝1，若l1∥l2，则11与l2的距离为．26．（2020•天津）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的⼀个顶点为A（0，﹣3），右焦点为F，且|OA|＝|OF|，其中O为原点．（Ⅰ）求椭圆的⽅程；（Ⅱ）已知点C满⾜3＝，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），直线AB与以C为圆⼼的圆相切于点P，且P为线段AB的中点．求直线AB的⽅程．27．（2020•北京）已知椭圆C：+＝1过点A（﹣2，﹣1），且a＝2b．。
2020高考文科数学(人教A版)总复习课件：第九章 解析几何9.4
解析:由已知条件知圆心(-1,-2),半径r=5,弦长m=8.
设弦心距是 d,则由勾股定理得 r2=d2+
������ 2
2,解得 d=3.若 l 的斜
率不存在,则直线 l 的方程为 x=-4,圆心到直线的距离是 3,符合题意.
若 l 的斜率存在,设为 k,则直线 l 的方程为 y+3=k(x+4),即
由题意知|������-2+1-3������|=2,解得
������2+1
k=34.
所以圆的切线方程为 y-1=34(x-3), 即 3x-4y-5=0.
故过点 M 的圆的切线方程为 x=3 或 3x-4y-5=0.
考点1
第九章
考点2
考点3
9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
必备知识·预案自诊
关关键键能能力力··学学案案突突破破
������2+������2
∴a2+b2<r2,∴ |������2| >r,∴直线 n 与圆 O 相离.故选 A.
������2+������2
(2)因为直线 l:y=kx+1(k<0)与圆 C:(x+2)2+(y-1)2=2 相切,
所以|-2������-1+1| = √2,解得 k=±1,因为 k<0,所以 k=-1,
关关键键能能力力··学学案案突突破破
-9-
考点1
考点2
考点3
直线与圆的位置关系及其应用 例1(1)已知O的方程x2+y2=r2(r>0),点P(a,b)(ab≠0)是圆O内一点,以 P为中心点的弦所在的直线为m,直线n的方程为ax+by=r2,则( A) A.m∥n,且n与圆O相离 B.m∥n,且n与圆O相交 C.m与n重合,且n与圆O相离 D.m⊥n,且n与圆O相交 (2)(2018云南宣威五中期末,10)若直线l:y=kx+1(k<0)与圆 C:(x+2)2+(y-1)2=2相切,则直线l与圆D:(x-2)2+y2=3的位置关系是 ( A) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
2020高考文科数学大题专项训练：解析几何
解析几何A组基础通关(2019安徽蚌埠高三第三次教学质检)已知点E(-2,0),F(2,0),P(x,y)是平面内一动点,P可以与点1.重合.当F不与重合时，直线FE与PF的斜率之积为(1)求动点P的轨迹方程；(2)一个矩形的四条边与动点P的轨迹均相切，求该矩形面积的取值范围.厕(1)当P与点不重合时，由kpE・kpF=-=,得去.即§+)2=1(：#。
)，当F与点氏尸重合时,P(-2,0)或P(2,0).v2综上，动点P的轨迹方程为彳+y2=l.(2)记矩形面积为5,当矩形一边与坐标轴平行时，易知S=8.当矩形各边均不与坐标轴平行时，根据对称性,设其中一边所在直线方程为y=kx+m,则对边方程为y=kx-m,另一边所在的直线为、=-金+〃,则对边方程为y=-yx-n,K K联立:—%得(1+4^2)x2+8fcmx+4(m2-l)=0,\.y=KX+771,则1=0,即4砂+1=初2.矩形的一边长为Jk2+1同理：4+i=«2,矩形的另一边长为/=牛业,k F\2m\\2n\_\4mnk\_. ----------=―n---—4-/c z+l（4好+1）仇2+4）J~*+1）2~二4・4/c4+17/c2+4,L,9k2（炉+1）2=4.4+e综上:SC[8,10].2.(2019山东烟台一模)已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)^]焦点，过F的动直线交抛物线C于A,3两点.当直线与x轴垂直时,|AB|=4.(1)求抛物线C的方程；(2)设直线AB的斜率为1且与抛物线的准线"目交于点抛物线C上存在点F使得直线PA,PM,PB 的斜率成等差数列，求点P的坐标.照⑴因为F(§0),在抛物线方程y2=2px中，令*=|,可得y=±p.于是当直线与尤轴垂直时,|A8|=2p=4,解得p=2.所以抛物线的方程为y2=4x.(2)因为抛物线寸二4工的准线方程为工=-1,所以设直线AB的方程为y=x-l,联立=4X,消去x,得)2_4北4=0,ly=x-1'设A(xi,yi),B(X2,y2),则yi+y2=4,yiy2=-4.若点P3o,yo)满足条件，则2kpM=kpA+kpB,即2.些=冬+心，Xo+l X O-X1X O-X29因为点PAB均在抛物线上，所以xo=4，xi=#,X2=空.444代入化简可得软m=诟+42、0+、1+、2场+（yi+y2）yo+viy2‘将yi+y2=4,y)2=-4代入，解得yo=±2.将，o=±2代入抛物线方程，可得xo-1-于是点P(l,±2)为满足题意的点.3.已知椭圆4+#=1(*＞。
2020年高考文科数学分类汇编：专题九解析几何
《2018年高考文科数学分类汇编》第九篇：解析几何、选择题2 21.12018全国一卷4】已知椭圆C：与上a2 41的一个焦点为（2,0）,则C的离心率为1 A. 一3 C 2 C. 2 2 2D.—32.12018全国二卷2 (X)6】双曲线x2a2b2 1(a0,b 0）的离心率为黎,则其渐近线方程为A. y &xB. y 3xC.y Z D. y 立x2 23.12018全国二11】已知E , F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1 PF2 ,且PF2 F1 60 ,则C的离心率为A. 1 —B. 2 MC. 3^—^D. 73 12 24.12018全国三卷8】直线x y 2 0分别与x轴，y轴交于A, B两点，点P在圆x 2 2 y2 2上，则4ABP面积的取值范围是A. 2,6 B, 4,8 C.五，3& D. 2亦，3注5.12018全国三卷10】已知双曲线C:到C的渐近线的距离为A. 2B. 22 x 6.12018天津卷7】已知双曲线—a2x2a2yb21(aC.0 , b 0）的离心率为J2，则点（4,0）3、22D. 2V2y2b21（a 0, b 0）的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A, B两点.设A, B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d12 x C —327.12018浙江卷2】双曲线 —y 2 = 1的焦点坐标是38.12018上海卷13】设P 是椭圆32+丫2=1上的动点，则5 3之和为（）A.2B.2C.2 网D.4、填空题1.【2018全国一卷15】直线y x 1与圆x 2 y 2 2y 3 0交于A, B 两点，则 AB .2.12018北京卷10】已知直线l 过点（1,0）且垂直于？轴，若l 被抛物线y 2 4ax 截得的线 段长为4,则抛物线的焦点坐标为 .x 2 y 2 一、 一， \ 53.12018北京卷12】若双曲线 -2 工 1（a 0）的离心率为—,则a=. a 424.12018天津卷12】在平面直角坐标系中，经过三点（ 0, 0） , （1,1）, （2,0）的圆的方程为.2x5.12018江苏卷8］在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 — a3F(c,0)到一条渐近线的距离为 3C c ,则其离心率的值是26.12018江苏卷12】在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线l: y 2x 上在第一象限内的点，unr uuir和d 2,且d 1d26 ,则双曲线的方程为2 x A—42 2x yB -— 12 4A.(-应，0), (V 2, 0)B. (-2, 0), (2, 0)C. （0,-夜），（0,贬）D. (0,-2), (0, 2)P 到该椭圆的两个焦点的距离24 1(a 0,b 0)的右焦点 bB(5,0),以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若AB CD 0,则点A的横坐标为.2uuuu uuuirx7.12018浙江卷17】已知点P(0, 1),椭圆z+y2=m(m>1)上两点A, B满足AP =2 PB ,则当m=时，点B横坐标的绝对值最大.2X 28.12018上海卷2】2.双曲线一y 1的渐近线方程为^41 9.12018 上海卷12】已知实数x?、x?、y?、y?满足：x?2 y?2 1 , x?2 y?2 1 , x?<? 海2 —，2 x? y? 1 I x? y? 1 钻曰上/古*则----- =——+ -------- 3——的最大值为、2 、2三、解答题1.12018全国一卷20】设抛物线C: y2 2x ,点A 2, 0 , B 2 , 0 ,过点A的直线l与C 交于M , N两点.(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：ZABM /ABN .2.12018全国二卷20】设抛物线C: y2 4x的焦点为F ,过F且斜率为k(k 0)的直线l与C交于A , B两点，| AB| 8 .(1)求l的方程；(2)求过点A , B且与C的准线相切的圆的方程.2 2x y3.12018全国三卷20】已知斜率为k的直线l与椭圆C: —— 1交于A, B两点.线4 3段AB的中点为M (1,m)(m 0).(1)证明：k - - 2uuu uur uur(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP FA FB 0.证明：uuu ULU uuu2|FP | | FA | |FB | .2 2 —4.12018北京卷20】已知椭圆M :今4 1(a b 0)的离心率为二，焦距为2J2. a b 3斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A, B.(I )求椭圆M的方程；(n )若k 1 ,求|AB|的最大值；(出)设P( 2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个7 1交点为D.若QD和点Q(-,-)共线，求k.4 42 2x V5.12018天津卷19】设椭圆二4 1(a b 0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆a b的离心率为—,|AB| M . 3(I)求椭圆的方程；(II)设直线l : y kx(k 0)与椭圆交于P,Q两点，l与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限.若4BPM的面积是4BPQ面积的2倍，求k的值.6.12018江苏卷18］如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点(石」)，焦点2 E(点,0), F2(后0),圆。