北大量子力学提纲

∑
n n
n
n
n
n
(若 ψ 已写成 ϕn 的迭加形式，步骤(1)可免) (2) |cn|2 就是测值为 λn 的几率(如何求 cn？)。
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第四章 (一) 概念 1. Ô 表象波函数的物理意义(与坐标表象对比)。 2. 力学量及其本征函数在自己表像中的表示。 (二) 计算 会在分立表象中求解力学量的本征方程。
z,x, y
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⎛ ˆ − 2 ∂ 2 ∂ ⎞ 1 ˆ2 (r )+ L + U (r ) ⎟ ⎜H = 2 2 ∂r 2µ r 2µ r ∂r ⎝ ⎠
5. 和对易式有关的概念：两力学量有…… (1)如对易 • 两力学量有构成完备系的共同本征函数。 • 两力学量有可能同时有确定值。 ˆ ˆ • 与时间无关的力学量 F 如与体系的 H 对易 ˆ 则 F 在该体系中是守恒量。 • 力学量的完全集合由相互对易的力学量组成。 (2)如不对易 这两个力学量的测量受到 uncertainty principle 的限制，测量的精确性相互约制。
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4. 跃迁的选择定则是怎么得到的？ (1) 电偶极近似(忽略外磁场并把外电场看成是均匀的)
ˆ 这个近似的结果是 H ′ = eEir
→ 与 r 成正比，
从而使跃迁速率 与 |rmk|2 成正比。 (2)计算 rmk 时，利用了初末态的波函数
ψ nlm = Rnl (r )Ylm (θ ,ϕ )
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1. 一个电子的自旋态和两个电子的自旋态各怎么表 示？ (1) 1个电子 a. 抽象表示 χ = aχ1/ 2 + bχ−1/ 2 .
ˆ b. sz 表象中的表示
a 0 χ = b = a 1 +b 1 . 0
() () ()
ˆ 在此状态下电子自旋 sz 取值为 ± / 2 的几率分别为 |a|2和 |b|2。
课程学习的最低要求复习 (一 至 七 章)
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第二章 (一) 概念 1.公理一、二、三 的物理含义。 2. 几率流密度的物理意义。 3. 定态波函数，定态的性质。 4. 形成束缚态的必要条件。 (二) 计算 1. 会写无限深势阱及谐振子的能级和波函数。 2. 利用波函数的标准条件，计算一维问题，特别 是掌握方势阱和方势垒的有关计算。 计算时要正确的应用波函数的标准条件和ψ ′ 的连 续性条件，分清是束缚还是非束缚态问题。
−α 2 x2 / 2
H 0 (α x) + 0.6 N1e
−α 2 x2 / 2
H 2 (α x).
体系处于基态和第一激发态的几率分别 0.64 和0.36 2. 几率流密度的物理意义。 它在一定程度上反映了粒子在空间的运动。
3
3. 定态波函数，定态的性质。
Ψ(r, t ) = ψ (r)e−iE⋅t / ,
ˆ ˆ ˆ (2) [ Lx , Ly ] = i Lz , ˆ2 , L ] = 0. [L ˆ
x, y ,z
ˆ ˆ ˆ [ Ly , Lz ] = i Lx ,
ˆ ˆ ˆ [ Lz , Lx ] = i Ly ,
(3) 在球对称场中
角动量算符与 r 无关 ˆ ˆ ˆ ˆ [ H , L2 ] = [ H , L ] = 0.
ˆ r 的本征函数
ˆ p 的本征函数
例：坐标表象 ψ (r′, t ) = ∫ψ (r, t )δ (r − r′)dτ
r 表象波函数
例：动量表象 ψ (r, t ) = ∫ c(p, t )(2π )−3/ 2eipir / dτ
p表象波函数
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例：无限深势阱能量表象
1 nπ ψ ( x, t ) = ∑n cn sin ( x + a)e−iEnt / , 2a a
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4. 坐标与动量的对易式、角动量对易式。 (1) 坐标算符各分量彼此对易 [x, y] = [y, z] = [z, x]= 0. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 动量算符各分量彼此对易 [ px , p y ] = [ px , pz ] = [ p y , pz ] = 0. 坐标与动量不同分量彼此对易 ˆ ˆ ˆ [ x, p y ] = [ x, pz ] = [ y, px ] = ⋅⋅⋅⋅ = 0. 坐标与动量同分量对易关系式为 ˆ ˆ ˆ [ x , p x ] = [ y , p y ] = [ z , pz ] = i .
该表象的波函数
无限深势阱能量的 本征函数
2. 力学量及其本征函数 ϕn 在自己表像中的表示
(1) 由于
ϕ1 = 1iϕ1 + 0iϕ2 + 0iϕ3 + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ϕ2 = 0iϕ1 + 1iϕ2 + 0iϕ3 + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
所以本征函数 ϕn 在自己表像表示为
⎛1 ⎞ ⎜ ⎟ ϕ1 = ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛0 ⎞ ⎜ ⎟ ϕ2 = ⎜1⎟ ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛0 ⎞ ⎜ ⎟ ϕ1 = ⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
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(二) 计算 1. 给定波函数后，会计算各力学量的可能测值和测值 几率(几率分布)和平均值。
ˆ 2. 给定体系 H 后，会判断哪些力学量是守恒量。
1.的基本步骤： (1)把体系波函数ψ 在该力学量 Ô 的本征函数系{ϕn} 中作展开(若ϕn未知，则先求ϕn )即为 ˆ (Oϕ = λ ϕ ). ψ= cϕ ,
0
矩阵是对角的，则能量一级修正可按非简并微扰公式 算出。) 17
3. 原子发光的机制是什么？ 原子受到外界扰动时，会从原有的状态(初态)跃迁 到到另一状态(末态)，多余的能量(初末态能差)以光 的的形式放出。 发光的强度正比于跃迁速率 。发光的颜色(频率) 由初末态能差决定 态之间的跃迁是量子力学基本概念之一。 跃迁分为受激跃迁和自发跃迁两种。 前者由含时微扰论算出，后者可由前者结合热统的 方法算出。
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1.公理一、二、三 的物理含义。 迭加态 ψ = c1 ψ 1+c2 ψ 2 是这样一种态，对它进行 相关的(多次)测量，可以发现有时它是 ψ 1 态，有时 它是 ψ 2 态。 ——是 ψ 1 态的几率正比于|c1|2，是 ψ 2 态的几率 正比于|c2|2。 例：在谐振子体系中
ψ ( x) = 0.8N0e
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1.公理 四、五、六 的物理含义。 (公理六)在波函数 ψ (r,t) 所描写的状态中测量某力学 量 Ô 时(相同的条件下作多次测量)， 每种测值 λn 出 现的几率正比于 |cn|2，其中 cn 是波函数 ψ 在该力学 量的本征函数系{ϕn(r)} 中的展开系数，即 ˆ ψ= cϕ , (Oϕ = λ ϕ ).
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第七章 (一) 概念 1. 一个电子的自旋态和两个电子的自旋态各怎么表 示？ 2. 考虑自旋自由度后粒子的波函数的最普遍形式是 什么？波函数的统计解释应该怎样表达？量子力 学公式要有什改变？ 3. 什么是耦合表象基矢？什么是无耦合表象基矢？ 4. 全同粒子体系的波函数应具有什么性质？ 5. 什么是好量子数？怎么判断？
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
……
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则最一般的自旋态可表为
( χ = ∑i =1 ai χSi ) + a4 χ A .
在此自旋状态，两电子总自旋 S, M =1, 1; 1, -1; 1, 0; 0, 0 的几率分别为
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1.含时微扰与定态微扰分别处理什么样的问题？ 定态微扰论的任务是：计算定态波函数的修正和能量 的修正。 含时微扰论的任务是：计算各态之间的跃迁几率。 2. (定态)简并微扰首先要处理什么问题？ 首先要确定 0 级近似波函数，为此要计算能量简 并的态之间的 H′ 的矩阵元， 代入久期方程求出能 量一级修正，然后根据每一个能量一级修正值求出 对应的 0 级近似波函数。 ˆ ˆ (如果 H ′在 H 的某一组能量简并的本征函数中的
E' E
x
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第三章 (一) 概念 1.公理 四、五、六 的物理含义。 2. 在量子力学和经典力学中，处理力学量问题有何 异同？ 3. 力学量的本征函数的性质和用处。 4. 坐标与动量的对易式、角动量对易式。 5. 和对易式有关的概念：两力学量有共同且完备的 本征函数系，两力学量同时有确定值的条件，守 恒量，测不准关系。 6. 通过氢原子对原子的图象有所了解。
····
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· · ·
· · ·
· · ·
ˆ ˆ 例： sz 的本征函数在 sz 表象中分别表示为
1 , χ1/ 2 = 0
()
0. χ−1/ 2 = 1
()
力学量 Ô 在自己表像中表示为
⎛ λ1 0 ·····⎞ ˆ ˆ O(O表象) = ⎜ 0 λ2 0··· ⎟ ⎜ ·· ⎟ · ⎜ · ⎟ · ⎠ ⎝ ·
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(二) 计算 1. 会解含自旋自由度的定态 S 方程。 2. 给定波函数(含自旋自由度)后，会计算各力学量的 可能测值和测值几率(几率分布)和平均值。 3. 会分别在 sz , sx , sy 表象中计算 sx , s y , sz 的本征值 ˆ ˆ ˆ 和本征函数。 4. 会构造两个全同粒子的体系的的波函数(含自旋)。
(2) 2个电子 a. 抽象表示 χ = ∑i =1 ai χi (s1z , s2 z ).
4
这里 χi 是两电子自旋基矢(耦合或无耦合基矢)。
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b.
ˆ ˆ s1z , s2 z 耦合表象中的表示
(1) χS = 1 0 (3) χS
在此表象中耦合基矢表为
1 , χ (2) = 0 0 S 02 11 12 1 = [ 1 0 + 0 1 ]/ 2 , 01 12 11 02
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1. Ô 表象波函数的物理意义(与坐标表象对比)。 把波函数 ψ(r,t) 在力学量 Ô 的本征函数系 ϕn 中作展 开，展开系数 cn(t) 的集合就叫做 Ô 表象的波函数—— 其物理意义是它的绝对值平方是该力学量的取值几率。 ˆ ψ= cϕ , (Oϕ = λ ϕ ).
∑
n n
n
n
n
n
Ô 表象的波函数
λn 是 Ô 的本征值
ˆ ˆ 例： sz 在 sz 表象中表示为
ˆ ˆ sy 在 s y 表象中表示也为
ˆ sz =
1 0 , 2 0 −1
( )
ˆ sy =
1 0 , 2 0 −1
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( )
第五章 (一) 概念 1.含时微扰与定态微扰分别处理什么样的问题？ 2. (定态)简并微扰首先要处理什么问题？ 3. 原子发光的机制是什么？ 4. 跃迁的选择定则是怎么得到的？ (二) 计算 1. 会计算定态微扰问题。 2. 会计算与所留习题类型相同的含时微扰问题。 3.会计算选择定则。
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3. 力学量的本征函数的性质和用处。 波函数：满足薛定谔方程，描述粒子可能的状态。 力学量 Ô 的本征函数：满足Ô 的本征方程，一般不满 足薛定谔方程，故一般不能描述粒子的状态。
(仅在特殊情况下，Ô 的本征函数同时也满足 S 方程
时，该本征函数才具有波函数的意义。 本征函数的用处——是用其线性迭加来表示波函数。 在求某力学量的各种可能的取值几率时，也需要把 体系的波函数在该力学量的本征函数系中作展开。 上述用处基于本征函数的如下性质： 完备性 正交归一性
∑
n n
n
n
n
n
该公理是我们计算力学量的各种取值的几率和平均值 的理论基础。 在 Ô 的本征值构成连续谱时，公理六应该如何表述？
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2. 在量子力学和经典力学中，处理力学量问题有何 异同？ (1) 与经典力学不同，微观粒子在给定的状态下，它的 每一个力学量都不一定有唯一确定的取值，而可能 有一系列的可能取值，每个值都有一定的取值几率。 当且仅当粒子的波函数也恰好是某力学量算符的本 征函数时，该力学量才有确定取值。 (2) 与经典力学不同。除非两力学量算符相互对易， 否则它们一般不会同时具有确定取值。
(1) 它是定态 S 方程的解，是能量算符 H 本征函数。 它描写了能量有确定值 E 的态 不随时间而改变。 (2) 定态的几率密度 (3) 定态的几率流密度 不随时间而改变。 (4) 不含时的力学量在定态中的平均值 不随时间而改变。 4. 形成束缚态的必要条件。 (1) 势场 U(r) 为阱状。 (2) 粒子能量低于势阱高度。 U(x)
l l
的角度部分 Ylml (θ , ϕ ) 的特殊性质。
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第六章 (一) 概念 1. 束缚态和散射态各处理什么问题？ 2. 微分散射截面的物理意义是什么？为什么要研究 散射截面？ 3. 分波法和玻恩近似法各在什么条件下适用？ (二) 计算 1. 会用分波法计算 s 波的散射截面。 2. 会用玻恩近似法计算简单的高能散射。