高中数学— 数系的扩充和复数的概念
《数系的扩充和复数的概念》教案及说明
《数系的扩充和复数的概念》教案及说明教学目标：1.了解数系的扩充，并能够理解自然数、整数、有理数、无理数、实数和复数之间的关系。
2.掌握复数的定义、运算规则和表示方法。
3.能够应用复数解决实际问题。
教学重点：1.数系的扩充和复数的定义。
2.复数的运算规则和表示方法。
教学难点：1.理解数系的扩充对于数学的意义。
2.掌握复数的运算规则和应用技巧。
教学内容：一、数系的扩充1.自然数：正整数，用于计数。
2.整数：包括正整数、负整数和0。
3.有理数：可表示为两个整数之比的数。
4.无理数：不可表示为两个整数之比的数。
5.实数：包括有理数和无理数。
6. 复数：形如a+bi的数，其中a和b为实数，i为虚数单位。
二、复数的定义和表示1. 复数的定义：形如a+bi的数称为复数，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
2.复数的表示：复数可以用平面直角坐标系中的点表示，a为横坐标，b为纵坐标。
3.复数的运算：复数的加减乘除法规则同实数运算，注意i的平方为-1三、复数的应用1.解方程：复数可以解决一些实数无解的方程。
2.代数表达式：复数可以简化代数表达式，并且在求根过程中十分有用。
3.物理问题：在电路、波动等问题中，复数有着广泛的应用。
教学步骤：一、引入复数的概念2.解释为什么需要引入复数。
3.引导学生构建复数概念。
二、复数的定义和表示1.讲解复数的定义和表示方法。
2.给出几个例子，让学生练习表示复数。
3.带领学生画出复数在平面直角坐标系中的位置。
三、复数的运算1.讲解复数的加减乘除法规则。
2.演示如何计算复数的运算。
3.给出一些练习题，让学生巩固运算技巧。
四、复数的应用1.解方程：举例说明复数如何解决一些实数无解的方程。
2.代数表达式：展示复数简化代数表达式的过程。
3.物理问题：讲解复数在物理问题中的应用实例。
五、综合练习和实践1.设计一些综合性的练习题，包括复数的定义、表示和运算。
2.提供一些实际问题，让学生尝试用复数解决。
《数系的扩充和复数的概念》 学历案
《数系的扩充和复数的概念》学历案一、学习目标1、了解数系扩充的必要性和数系扩充的基本过程。
2、理解复数的概念，包括实部、虚部、虚数单位等。
3、掌握复数相等的条件，并能运用其解决相关问题。
二、学习重难点1、重点（1）理解数系扩充的必要性和数系扩充的规则。
（2）掌握复数的概念及复数相等的条件。
2、难点（1）对虚数单位的理解和运用。
（2）理解复数的概念，特别是虚部的概念。
三、知识链接1、回顾从自然数到有理数，再到实数的数系扩充过程。
自然数：用于计数的数，如 0、1、2、3……整数：包括自然数、0 和负整数，如……－3、－2、－1、0、1、2、3……有理数：整数和分数的统称，可以表示为两个整数之比的数，如－2/3、05 等。
实数：有理数和无理数的统称，包括所有可以在数轴上表示的数。
2、思考实数在实际应用中是否能满足所有的数学需求。
四、学习过程（一）数系扩充的历史在人类文明的发展过程中，数的概念不断得到扩充。
最初，人们只认识自然数，用来计数物体的个数。
但随着生产和生活的需要，仅仅自然数是不够的。
比如，在分配物品时，如果不能正好平均分，就需要引入分数，这样数系就从自然数扩充到了有理数。
后来，人们又发现了一些不能表示为有理数的数，比如边长为 1 的正方形的对角线长度，它不能用有理数准确表示，于是无理数产生了，数系进一步扩充到了实数。
然而，即使是实数，在解决某些数学问题时，仍然存在不足。
例如，在求解方程 x²＋ 1 ＝ 0 时，在实数范围内没有解。
这就促使人们进一步思考数系的扩充。
（二）虚数单位 i 的引入为了解决上述方程没有实数解的问题，我们引入一个新的数 i，规定 i²＝－1。
i 被称为虚数单位，它是数系扩充的关键。
有了 i，我们就可以构建出形如 a ＋ bi 的数，其中 a 和 b 都是实数。
（三）复数的概念形如 a ＋ bi（a，b ∈ R）的数叫做复数，其中 a 叫做复数的实部，记作 Re(z)；b 叫做复数的虚部，记作 Im(z)。
数系的扩充及复数的概念
知识引入
我们已知知道：
对于一元二次方程
x 1 0 没有实数根．
2
思考？
x 1
2
我们能否将实数集进行扩充，使得在新的 数集中，该问题能得到圆满解决呢？
引入一个新数：
i
满足
i 1
2
复数的概念
现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，
并且规定： （1）i21； （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运 算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换率、结 合率和分配率)仍然成立。
（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数
（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数 （3）若a为实数，则Z= a一定不是虚数
例1 实数m取什么值时，复数
z m 1 (m 1)i
m 1时，复数z 是实数．
m 1
是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
解: （1）当 m 1 0，即 （2）当 m 1 0 ，即 （3）当 m 1 0
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字 母C表示 .
复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即
z a bi (a R, b R)
实部
虚部
其中
i 称为虚数单位。
注意：
(1)当b=0时，a+bi就是实数，如：1，2.5，-1/2 (2)当b≠0时，a+bi是虚数，(含 虚 数 单 位 i)时，复数z来自是虚数． m 1 0
2
即 纯虚数．
m 1时，复数z 是
2
练习:当m为何实数时，复数
高中数学必修1-5错解分析：第十一章_数系的扩充与复数
数系的扩充与复数§1 数系的扩充与复数的概念一、知识导学1. 复数：形如bi a +的数（b a ,R ∈），复数通常有小写字母z 表示，即bi a z +=,其中a 叫做复数的实部、b 叫做复数的虚部，i 称做虚数单位.2. 分类：复数bi a +(b a ,R ∈)中，当0=b 时，就是实数；除了实数以外的数，即当b 0≠时，bi a +叫做虚数；当0=a ,b 0≠时，叫做纯虚数.3. 复数集：全体复数所构成的集合.4. 复数相等：如果两个复数bi a +与di c +的实部与虚部分别相等，记作：bi a +=di c +.5. 复平面、实轴、虚轴：建立直角坐标系来表示复数的平面.在复平面内，x 轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.6. 复数的模：设=bi a +,则向量的长度叫做复数bi a +的模（或绝对值），记作bi a +.(1)22b a bi a z +=+=；(2)21z z +=12z z +； (3)2121z z z z =； 7．共扼复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数互为共扼复数.二、疑难知识导析1．两个实数可以比较大小，而不全是实数的两个复数不能比较大小2．,R z ∈则02≥z ，而C z ∈，则02≥z 不一定成立，如i z =时012<-=i ；3．22,z zR z =∈，而C z ∈则22z z =不一定成立；4．若,,,321C z z z ∈0)()(232221=-+-z z z z 不一定能推出321z z z ==；5．若R z z ∈21,，则21z z -=212214)(z z z z -+，但若,,21C z z ∈则上式不一定成立.三、经典例题导讲[例1]两个共扼复数的差是（ ）A .实数B .纯虚数C .零D .零或纯虚数错解:当得到bi z z 2=-时就错误的选B ，忽略了b 可以为零的条件.正解：设互为共扼的两复数分别为bi a z +=及),(R b a bi a z ∈-=则bi z z 2=- 或bi z z 2=-当0≠b 时，z z -，z z -为纯虚数当0=b 时，0=-z z ，0=-z z ，因此应选D.注：要认真审题，看清题设条件，结论. 学会全面辩证的思考问题，准确记 忆有关概念性质. [例2]判断下列命题是否正确 (1)若C z ∈, 则02≥z(2)若,,21C z z ∈且021>-z z ，则21z z >(3)若b a >，则i b i a +>+错解：(1)认为任何一个实数的平方大于零可推广到复数中，从而(1)是正确的(2)认为两实数之差大于零等价于前一个大于后一个实数，也可推到复数中来.认为两复数差为实数则这两个复数也为实数.而认为命题(2)是正确的.(3)把不等式性质错误的推广到复数中，忽略不等式是在实数中成立的前提条件.正解：(1)错，反例设i z =则0122<-==i z(2)错，反例设i z +=21，i z +=12，满足0121>=-z z ，但1z 2z不能比较大小.(3)错，b a > ，R b a ∈∴,，故i a +，i b +都是虚数，不能比较大小.[例3]实数a 分别取什么值时，复数i a a a a a z )152(3622--++--=是(1)实数； (2)虚数;(3)纯虚数.解：实部3)3)(2(362+-+=+--a a a a a a ，虚部)5)(3(1522-+=--a a a a .（1）当 时，z 是实数； （2）当 ，且 时，z 是虚数； （3） 当或时是纯虚数．[例4] 设i z R m i m m m m z 35),()34()32(2221+=∈+-+--=，当m 取何值时，(1) 21z z =; (2)01≠z .分析：复数相等的充要条件，提供了将复数问题转化为实数问题的依据，这是解复数问题常用的思想方法，这个题就可利用复数相等的充要条件来列出关于实数 的方程，求出 的值．解：(1)由可得：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=--33453222m m m m 解之得4=m ，即：当 时(2)当可得：或 ，即时01≠z .[例5]21,z z 是两个不为零的复数，它们在复平面上分别对应点P 和Q ，且024222121=+-z z z z ，证明△OPQ 为直角三角形（O 是坐标原点），并求两锐角的度数．分析 本题起步的关键在于对条件024222121=+-z z z z 的处理．等式左边是关于21,z z 的二次齐次式，可以看作二次方程求解，也可配方．解：由024222121=+-z z z z （，不为零），得⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛±+⎪⎭⎫ ⎝⎛±=±=±=3sin 3cos 21431832221221ππi z z z iz i z即向量OP 与向量的夹角为3π， 在图中，3π=∠POQ ，又||21||21z z =，设r z r z 2||,||21==， 在△OPQ 中，由余弦定理△OPQ 为直角三角形，．四、典型习题导练1. 设复数z 满足关系i z z +=+2||，那么z 等于（ ）． A ．B ．C ．D ．2.复数系方程062)1()1(2=----+i x i x i 有实数根，则这个实数是_________.3. 实数m 取何值时，复数是(1)纯虚数；(2)在复平面上的对应点位于第二象限．4.已知z z z f -+=1)(且,310)(i z f +=-求复数z5.设复数z 满足5=z 且z i )43(+在复平面上对应的点在第二象限、四象限的角平分线上，),(252R m m z ∈=-求m z 和的值§2 复数的运算一、知识导学1.复数加、减法的几何意义 (1)加法的几何意义复数21z z + 是以→1oz 、→2oz 为两邻边的平行四边形对角线→oz 所对应的复数. (2)复数减法的几何意义复数21z z -是连接向量1OZ 、2OZ 的终点，并指向被减数的向量21z z 所对应的复数. 2. 重要结论（1） 对复数z 、1z 、2z 和自然数m 、n ，有n m n m z z z +=∙，mn n m z z =)(，n n n z z z z 2121)(∙=∙(2) i i =1，12-=i ，i i -=3，14=i ； 114=+n i，124-=+n i ，i i n -=+34，14=n i .(3) i i 2)1(2±=±，i i i -=+-11，i ii=-+11. (4)设231i +-=ω，ϖω=2，ωω=2，012=++ωω，n n 33ωω=，021=++++n n n ωωω 二、疑难知识导析1.对于22z zz z ==⋅，是复数运算与实数运算相互转化的主要依据，也是把复数看作整体进行运算的主要依据，在解题中加以认识并逐渐体会.2.在进行复数的运算时，不能把实数的某些法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论. 当C z ∈时，不总是成立的.(1)),()(为分数时不成立n m z z m n n m =； (2))1(时不成立==⇒=z n m z z n m ；(3)),(0021212221是虚数时不成立z z z z z z ==⇔=+； (4))(22为虚数时不成立z z z=；(5))(为虚数时不成立z a z a a z <<-⇔< 三、经典例题导讲[例1] 满足条件512=++-z i z 的点的轨迹是（ ）A.椭圆B.直线C.线段D.圆 错解：选A 或B.错因：如果把i z 2-看作动点Z 到定点（0，2）的距离，由上式表示到两个定点（0，2）与（-1，0）的距离之和为常数5∴动点的轨迹符合椭圆的定义，但是，有一定的前提的就是两点间的距离小于定常数. 正解： 点（0，2）与（-1，0）间的距离为5， ∴动点在两定点（0，-2）与（-1，0）之间，选C 评注：加强对概念的理解加深，认真审题. [例2] 求值：.)1()1(6nn i i --⋅+错解：原式=1368)2()11()1(+=⋅-=-+-n n ni i i ii i 82-==时，原式当n 83==时，原式当n错因：上面的解答错在没有真正理解Z n ∈的含义，只是用了三个特殊整数代替了所有整数，犯了用特殊代替一般的错误.另外还可以看出对虚数单位i 的整数幂的运算不熟悉，没有掌握虚数单位i 整数幂的运算结果的周期性.正解：原式=nii i )11()1(6-+- =138)2(+=⋅-n n i i i=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=-+=-).4(8,348)(),24(8),14(8k n ik n k k n ik n ）（为非负整数评注：虚数单位i 整数幂的值具有以4为周期的特点，根据时，求n i n 必须按被4整除余数为0、1、2、3四种情况进行分类讨论. [例3]已知iz 312+-=，求200021zz z +++ 的值.分析：结论是等比数列的求和问题，所以应联想到求和公式qq a S n n --=1)1(1，若直接将条件代入求和公式，则显得较为麻烦，不妨先将条件化简. ω=+-=--=+-=i i iz 23214)31(2312 原式=01111111667*32001=--=--=--ωωωz z 评注：由于数列中的数可以是复数，所以数列的诸性质在复数集中仍成立. [例4] （06年上海春卷）已知复数w 满足i (i )23(4w w -=-为虚数单位），|2|5-+=w wz ，求一个以z 为根的实系数一元二次方程. 解法一： i 2i21i34,i 34)i 21(-=++=∴+=+w w ， i 3|i |i25+=-+-=∴z . 若实系数一元二次方程有虚根i 3+=z ，则必有共轭虚根i 3-=z . 10,6=⋅=+z z z z ，∴ 所求的一个一元二次方程可以是01062=+-x x . 解法二：设i b a w +=R)(∈b a 、 b a b a 2i 2i 34i +-=-+，得 ⎩⎨⎧-==-,23,24a b b a ∴ ⎩⎨⎧-==,1,2b ai 2-=∴w ，以下解法同解法一.[例5].211<<-+=ωω是实数，且是虚数，设zz z .的实部的取值范围的值及求z z解析 是虚数z yix yi x z z +++=+=∴1)(1ω可设 i y x yy y x x x y x yi x yi x )()(222222+-+++=+-++=,0≠y 是实数，且ω 1,0112222=+=+-∴y x yx 即 ,1=∴zx 2=ω此时22121<<-<<-x 得由ω)1,21(,121-<<-∴的实部的范围是即z x四、典型习题导练1．（06年四川卷）非空集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意,a b G ∈，都有a b G ⊕∈； （2）存在e G ∈，使得对一切a G ∈，都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 关于运算⊕为“融洽集”；现给出下列集合和运算：①{},G =⊕非负整数为整数的加法 ②{},G =⊕偶数为整数的乘法③{},G =⊕平面向量为平面向量的加法 ④{},G =⊕二次三项式为多项式的加法 ⑤{},G =⊕虚数为复数的乘法其中G 关于运算⊕为“融洽集”__________;（写出所有“融洽集”的序号） 2.______)11(1993=-+ii 3．计算4.计算5．解下列方程：(1)； (2).高一数学必修1模块考试(）一、选择题。
(完整word版)数系的扩充和复数的概念全面版
数系的扩充和复数的概念教学目标重点：复数的概念，虚数单位i ，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等。
复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用.难点:虚数单位i 的引进以及对复数概念的理解．知识点:了解引进复数的必要性；理解并掌握复数的有关概念（复数集、代数形式、实部、虚部、实数、虚数、纯虚数、复数相等）;理解虚数单位i 及i 与实数的运算规律能力点:探寻复数的形成过程,体会引入虚数单位i 和复数形式的合理性，以及等价转化思想、方程思想、分类讨论数学思想的运用。
教育点:通过问题情境,体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用，经历由实数系扩充到复数系的研究过程，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.自主探究点：如何运用实数与虚数单位i 的加、乘运算得到复数代数形式及探索复数相等的充要条件. 考试点:用复数的基本概念解决简单的数学问题。
易错易混点:对复数代数形式的认识,及复数分类的把握。
拓展点:如何利用复数代数形式解题,理解复数的几何意义.一、 引入新课求下列方程的解:(1)24x = 2(2)40x -= (3)310x -= 2(4)20x -= 2(5)10x +=．学生分析各题的解：(1)2x =；(2)22x x ==-或;1(3)3x =；(4)22x x ==-或；(5)实数集内无解. 通过以上五题解的探讨,学生会发现方程(5)在实数集中遇到了无解现象.如何使方程(5)有解呢?类比引进2，就可以解决方程220x -=在有理数中无解的问题,就有必要扩充数集，今天我们来与大家一起学习“数系的扩充”。
【设计意图】通过类比，易引发学生的学习兴趣.使学生了解扩充数系要从引入新数开始,引出本课题．二、探究新知1.复习已学过的数系问题1:数，是数学中的基本概念。
到目前为止,我们学习了哪些数集?用符号如何表示?它们之间有怎样的包含关系？用图示法可以如何表示?答：自然数集、整数集、有理数集、实数集,符号分别表示为N ，Z ,Q ，R ； 其中它们之间的关系式:N Z Q R ; 用文氏图表示N ,Z ,Q ,R 的关系【设计意图】数集及其之间关系的回顾，特别是“图示法”的直观表示,旨在帮助学生对“数系的扩充”有个初步感受.我们将一个数集连同相应的运算及结构叫做一个数系。
数系的扩充和复数的概念(教学设计)
§7.1.1 数系的扩充和复数的概念一、内容和内容解析内容：从实数系扩充到复数系的过程与方法，复数的概念.内容解析：本节课选自《普通高中课程标准数学教科书必修第二册》（人教A版）第七章第1节的内容．本节内容是数系的扩充和复数的概念，基于之前所学的数系的发展历程，由一元二次方程的根的问题导入，将数学扩充到复数范围，并研究复数的概念，为复数的运算打好基础。
复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，引入复数以后，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认知，也为进一步学习数学打下基础.通过本节课学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用.二、目标和目标解析目标：（1）了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程．（2）理解复数的概念、表示法及相关概念．（3）掌握复数的分类及复数相等的充要条件．目标解析：（1）能够通过方程的解，感受引入复数的必要性，体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用．（2）学生能够从自然数系逐步扩充到实数系的过程中，归纳出数系扩充的一般“规则"，体会扩充的合理性及人类理性思维在数系扩充中的作用．（3）学生能说明虚数i的由来，能够明晰复数代数表示式的基本结构，会对复数进行分类，会用Venn 图表示复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系；知道两个复数相等的含义，能利用复数概念和复数相等的含义解决相关的简单问题．基于上述分析，本节课的教学重点定为：复数的分类及复数相等的充要条件．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：因为现实生活中没有任何事物支持虚数，学生可能会怀疑引入复数的必要性，在教学中，如果单纯地讲解或介绍复数的概念会显得枯燥无味，学生不易接受．解决方案：适当介绍数的发展简史，增强学生学习的生动性．2．教学问题二：由于知识储备和认知能力的限制，学生对数系扩充的一般规则并不熟悉，对虚数单位的引入，以及虚数单位和实数进行形式化运算的理解会出现一定困难．解决方案：通过解方程问题引导，借助已有的数系扩充的经验，特别是从有理数系扩充到实数系的经验，从特殊到一般，帮助学生梳理出数系扩充过程中体现的“规则”，进而在“规则”的引导下进行从实数系到复数系的扩充，感受引入复数的必要性和合理性．3．教学问题三：学生以前学习过的数都是单纯的一个数，而复数的代数形式是两项和的形式，学生比较陌生，因此理解上会存在一定困难．解决方案：引导学生按照“规则”自主探究出复数集中可能存在的各种数，并归纳总结出复数的一般表示方法，经历复数形式化的过程．基于上述情况，本节课的教学难点定为：理解复数的概念、表示法及相关概念．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生类比得到复数的概念，应该为学生创造积极探究的平台，可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视复数概念的理解和表示，让学生体会数系扩充的基本过程．五、教学过程与设计纯虚数．[课堂练习2]已知M＝{2，m2－2m ＋(m2＋m－2)i}，N＝{－1,2,4i}，若M∪N＝N，求实数m的值．课堂小结升华认知[问题10]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是()A.2，1B.2，5C.±2，5D.±2，12.下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是()A.±1B.±iC.±2iD.±2i2 021＝________.4.设i为虚数单位，若关于x的方程x2－(2＋i)x＋1＋m i＝0(m∈R)有一实根为n，则m＝________.教师14：提出问题10．学生14：学生14：学生课后进行思考，并完成课后练习．师生共同回顾总结．引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．课后练习是对定理巩固，是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．。
高中数学_数系的扩充和复数的概念教学设计学情分析教材分析课后反思
《数系的扩充与复数的概念》教学设计【教学目标】1．了解数系的扩充过程，理解复数的有关概念以及符号表示；2．掌握复数的代数形式和几何表示法，理解复平面、实轴、虚轴等概念的意义掌握复数集C与复平面内所有点成一一对应；【教学重点】复数的有关概念,复数的代数形式和复数的向量表示【教学难点】复数相等的条件,复数向量表示．【教学方法】点拨教学与小组合作【教学过程】一、创设情景问题 1 从你认识自然数到现在，数系都在哪几个阶段经历了哪几次扩充？2 为什么要进行数系的扩充？设计意图：学生已经学习过一些数集，在此基础之上，帮助学生重新建构数集的扩充过程，不仅通过对前几次数系扩充进行了的梳理，也为数系的为何要再一次扩充打下了基础，让学生感受到数系扩充的合理性，并能自我总结出数系扩充的一般原则。
二探究新知（一）数系的扩充问题如何在实数范围内解x2 +1=0这样的方程？设计意图由于有了前面问题的铺垫，这个问题的解决，使新数的引入变得自然了，由教师引导同学们回答1 引入新数i数学家欧拉引入一个新数i，i叫做虚数单位，并规定：（1）i2= -1 ；（2）实数可以与它加法和乘法运算，原有的加、乘运算律仍然成立．这样出现了很多新数，如2+i,-3+4i,2i等，由于满足乘法交换律及加法交换律，从而这些结果可以写成a+bi ，a ,b∈R2形成新数集所有i实数实数形式的都应该在新的数集里面，并+⨯且新的数集里面的数都可以写成这种形式，我们不妨把这种形式写成,,+∈∈，这就是我们把实数集进行扩充后得到的数所具有a bi a Rb R的一般形式。
（二）复数的概念1 复数概念形如的数，我们把它们叫做复数．注意（1）复数的代数形式z=a+bi、(a ,b∈R,)a叫实部、b叫虚部.（2）全体复数所形成的集合{}=+∈∈叫做复数集，C a bi a R b R|,一般用字母C表示2 概念运用判断正误（1）z=1-ai (a ∈R)是一个复数（2）z=-2i+0.1实部为-2，虚部为0.1（3）10-2i2＞0（4）z=a+3i其中a为实部设计意图这几个题目采取学生口答形式，通过分析题目，使学生对复数概念的认识达到及时巩固的效果（三）复数分类探究（1） z=a+bi(a ,b∈R)中a,b在什么条件下为实数？（2）复数集C和实数集R之间有什么关系?设计意图采用学生先独立思考在小组讨论方式解决，这样由问题1到2的过渡，让学生对复数集C和实数集R关系的理解能较为容易些。
数系的扩充和复数的概念
2、复数加法的几何意义： 问题二：复数与复平面内的向量有一一 对应关系。我们讨论过向量加法的几何 意义，你能由此出发讨论复数加法的几 何意义吗？ 复数的加法可以按照向量的加法来进行——平行四边 形法则或三角形法则
问题三：复数是否有减法?如何理解复数的减法？
（二）复数的减法：
1、定义：复数的减法是加法的逆运算，即把满足 (c+di）+(x+yi)=a+bi的复数x+yi叫做复数a+bi减去复数 c+di的差，记作(a+bi)-(c+di).
3.1.2复数的几何意义
问题一：我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此， 实数可用数轴上的点来表示，类比实数的几何意义，复数 的几何意义是什么？
复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建 立一一对应的关系.
王新敞
奎屯
新疆
王新敞
奎屯
新疆
一、复数的坐标表示 1、复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是 b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建 立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫 高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。 实轴上的点都表示实数
第三章 数系的扩充与复数的引入
（一）数系的扩充
• 我们认识数是一个不断发展的过程，从自然数到 整数，从整数到有理数，再从有理数到实数。这 个认识过程是在原有数集的基础上，再加上新的 数，是对原有数集不断扩充的过程。而这种扩充 是为了解决新的问题所必需的。 • 这种扩充的动力主要来源于两个方面：
①解决实际问题的需要
若存在实数t 使得 | z2 || z1 | 成立，求：实数 k的取值范围。
练习：设z是复数，满足下列条件的点Z的集合是什么图 形？ （1）|z|=2 ； （2） 2<|z|<3。
数系的扩充和复数的概念_教学设计
《数系的扩充和复数的概念》教学设计一、教学设计背景1．课题：数系的扩充和复数的概念2．学科：数学3．授课年级：高中二年级4．学时数：1课时二、教材分析《数系的扩充和复数的概念》是高中课程里数的概念的最后一次扩展。
引入复数后，不仅可以使学生对数的概念有一个初步完整的认识，也为进一步学习数学奠定基础。
而本节则是该章的基础课、起始课，具有承上启下的作用。
三、学情分析在之前的学习中学生对数的概念已经扩充到实数，也已清楚各种数集之间的包含关系等内容。
同时学生在本章之前已经学习了《推理与证明》的内容，有了一定的推理与证明能力，有利于本节课运用类比思想对实数集进行扩充。
四、教学目标（1）知识与技能1、了解数系扩充的过程及引入复数的需要。
2、掌握复数的有关概念和代数符号形式、复数的分类方法及复数相等的充要条件。
（2）过程与方法1、通过数系扩充的介绍，让学生体会数系扩充的一般规律。
2、在不断练习中让学生理解和掌握复数的基本概念以及复数相等的充要条件（3）情感态度价值观1、体会数系的扩充过程中蕴含的创新精神与实践精神，感受人类理性思维在数系扩充中的作用。
2、体会类比、分类讨论、等价转化的数学思想方法。
五、教学重难点1、教学重点：引入复数的必要性与复数的相关概念、复数的分类和复数相等的充要条件。
2、教学难点：虚数单位i的引进和复数的概念及其应用。
六、教学过程（一）、情境导入一、问题引入师：请大家看幻灯片上这个方程，动手试试看它的解是多少?问题：解方程 x 2+1=0生（独立完成）：x 2=－1是不存在的，这个方程在实数集中无解。
师：事实上在实数范围内这样的x 确实不存在，为什么会这样呢？假设x是存在的，那么就肯定是一些不是实数的数，那么，这些数是什么？我们能不能解决这个问题呢？这就是我们今天要学习的内容《数系的扩充和复数的概念》。
二、回顾数系的扩充历程 师：其实对于这种“数不够用”的情况，我们并不陌生。
大家记得吗？从小学到现在，我们一直在经历着数的不断扩充。
高中数学《数系的扩充和复数的概念》教案
高中数学《数系的扩充和复数的概念》教案一、教学目标1. 让学生了解数系的扩充过程，理解实数和复数的概念。
2. 培养学生运用数系知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学美的感受，培养学生的创新意识。
二、教学内容1. 数系的扩充过程：有理数、实数、复数。
2. 实数和复数的概念及其性质。
3. 复数的几何意义。
三、教学重点与难点1. 教学重点：数系的扩充过程，实数和复数的概念及其性质。
2. 教学难点：复数的几何意义，复数方程的求解。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究数系的扩充过程。
2. 运用实例讲解法，让学生理解实数和复数的概念。
3. 利用数形结合法，揭示复数的几何意义。
五、教学过程1. 导入新课：通过复习实数的概念，引出数系的扩充过程。
2. 讲解数系的扩充过程：有理数、实数、复数。
3. 讲解实数和复数的概念：实数的定义、性质；复数的定义、性质。
4. 讲解复数的几何意义：复平面、复数的几何表示。
5. 巩固练习：解决一些与实数和复数有关的实际问题。
6. 课堂小结：总结本节课的主要内容和知识点。
7. 布置作业：布置一些有关实数和复数的练习题，巩固所学知识。
六、教学拓展1. 介绍复数在工程、物理等领域的应用，如电路分析中的复数表示法。
2. 引导学生探究复数的运算规则，如复数的乘法、除法、乘方等。
七、案例分析1. 分析实际问题，如利用复数解决几何问题、信号处理问题等。
2. 引导学生运用复数知识解决实际问题，提高学生的应用能力。
八、课堂互动1. 组织学生进行小组讨论，探讨复数的几何意义。
2. 开展课堂提问，检查学生对实数和复数概念的理解。
3. 引导学生进行互动交流，分享学习心得和解决问题的方法。
九、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况。
2. 作业完成情况：检查学生作业的完成质量，巩固所学知识。
3. 课后反馈：收集学生对课堂内容的反馈，了解学生的学习效果。
十、教学反思1. 反思教学内容：检查教学内容是否全面、深入，是否符合学生的实际需求。
数系的扩充和复数的概念
数系的扩充和复数的概念1. 数系的演变说到数，大家可能会想起从小到大学的那些简单的算数题。
其实，数的世界可不止这些啊，随着时间的推移，数学家们可没闲着，他们不断在探索和扩充数的种类，直到把它们搞得五花八门，简直让人眼花缭乱。
首先，我们从最基本的自然数说起，自然数就像我们在数手指头时用到的那些，比如1、2、3……这些都是小朋友们耳熟能详的。
但是，等到你发现了零，这可就是个“翻天覆地”的概念了。
零的加入，瞬间让自然数的大家族扩展成了整数的大家庭，嘿，这可是一种“大门大开”的感觉呀！1.1 整数的引入说到整数，大家知道它们就是自然数加上了负数部分，像1、2、3……这样的存在。
整数让我们的数系更加丰富，原本的“有钱”小朋友们也多了些“欠债”的伙伴，嘿嘿，这样一来，数的对比和运算就变得更加有趣了。
想想，如果没有负数，我们能做多少有趣的数学题呢？而整数的出现，恰如给数系加上了一对翅膀，让它飞得更高，看到更广的世界。
1.2 有理数的诞生紧接着，数学家们又发现了“有理数”。
这可是一群有趣的数，它们可以被写成分数的形式，像是1/2、3/4、甚至5/6这样的，真是让人觉得“哇塞”。
有理数的加入，给我们提供了更多的可能性，特别是在解决实际问题的时候。
想象一下，我们在做蛋糕时，切一块有理数大小的蛋糕，那可真是“酸甜苦辣”的完美结合了！2. 复数的出现不过，数系的扩展可不止于此！随着数学的发展，复数这个家伙也横空出世了，简直是个“黑马”。
复数的形式看上去有点怪异，像是a + bi，其中a是实数，b是虚数，i是一个让人咋舌的数，它的平方竟然是1！这真是让许多人瞠目结舌，脑袋里一片空白。
“这怎么可能呢？”不少人疑惑地问。
但是，复数的引入，真的让我们可以解决许多在实数范围内无法解决的问题，简直是“救命稻草”。
2.1 复数的应用再想想，复数的应用可真广泛，从电工程到量子物理，它们都大展身手。
比如，在电路中，复数可以用来描述交流电的性质。
高中数学《数系的扩充和复数的概念》教案
高中数学《数系的扩充和复数的概念》教案一、教学目标1. 让学生理解实数和复数的概念，掌握实数和复数的关系。
2. 让学生掌握复数的代数表示法，了解复数的几何表示。
3. 让学生学会运用复数的概念和性质解决实际问题。
二、教学内容1. 实数和复数的概念2. 复数的代数表示法3. 复数的几何表示4. 复数的运算5. 复数的应用三、教学重点与难点1. 重点：实数和复数的概念，复数的代数表示法，复数的几何表示，复数的运算。
2. 难点：复数的几何表示，复数的运算。
四、教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组讨论法、讲授法等，引导学生主动探究，提高学生分析问题、解决问题的能力。
五、教学过程1. 实数和复数的概念（2）引入复数的概念，解释复数的概念。
（3）通过实例让学生理解实数和复数的关系。
2. 复数的代数表示法（1）介绍复数的代数表示法，让学生掌握复数的标准形式。
（2）讲解复数的实部和虚部的含义。
（3）通过实例让学生学会写出复数的标准形式。
3. 复数的几何表示（1）介绍复数的几何表示，让学生了解复平面的概念。
（2）讲解复数在复平面上的位置与实部和虚部的关系。
（3）通过实例让学生学会在复平面上表示复数。
4. 复数的运算（1）讲解复数的加减乘除运算规则。
（2）通过实例让学生掌握复数的运算方法。
5. 复数的应用（1）讲解复数在实际问题中的应用，如电路分析、信号处理等。
（2）通过实例让学生学会运用复数解决实际问题。
（3）引导学生思考复数的在其他领域中的应用。
六、课后作业2. 练习复数的代数表示法，写出给定复数的标准形式。
3. 学习复数的几何表示，画出给定复数在复平面上的位置。
4. 练习复数的运算，掌握加减乘除运算规则。
5. 思考复数在实际问题中的应用，举例说明。
七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 课后作业：检查学生的作业完成情况，评估学生对知识点的掌握程度。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，了解学生的合作能力和解决问题的能力。
数系的扩充和复数的概念
1 复数的概念
思考： 1.复数集C和实数集R之间有什么关系？
复数集C
虚数集
纯虚数集
实数集 R
2.实数和虚数之间有什么关系？ 区别：实数可以比较大小，虚数不可以比较大小
例: 实数m取什么值时，复数 z m 1 (m 1)i
（1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？
例：若复数 z＝m2－1＋(m2－m－2)i 为纯虚数，则实数m
0
3.两个复数相等,则它们的实部和虚部分别相等
的值为 B
A －1 B ±1 C 1 D －2
复数相等
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等
若a,b,c, d R,
a bi c di
a c b d
特别的，若z a bi 0
a 0 b 0
例：已知x2－y2＋2xy i＝2i(其中x>0)，则实数x，y 的值分别为
7.1.1数系的扩充和复数的 概念
数系的扩充
x2 +1 0
x2 1
引进一个新数:i
新数 i 叫做虚数单位，则：
i 2 = -1
找规律？
ii
i2 1
i3 i
i4 1
i5.... i
i2023 ?
1 复数的概念
知识点1 复数的概念 把实数b与i 相乘记作bi,把实数a与bi相加记作a+bi (a,b为实数)
形如 a+bi(a,b∈R)的数叫做复数（i为虚数单位） 全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示
记为C {a bi | a, b∈R}
1 复数的概念
知识点2 复数的代数形式
复数通常用字母 z 表示，即
z = a+b i (a, b R)
3.1.1数系的扩充和复数的概念
数系的扩充
方程x 1 0有解吗？
2
i
i 1
2
虚数单位
规定： i 与实数可以进行四则运算，在进行运算时，原 有的加、乘运算律仍然成立．
数系的扩充
实数a与i做加法， 结果记为a i
实数b与i做乘法， 结果记为bi
设a, b R, 则：
a +b i 记作
C a bi a, b R
复数z a bi可以分类如下： b 0 实数 复数z b 0 虚数 (a 0纯虚数)
下列复数中哪些是实数，哪些是虚数，哪些是 纯虚数？
3 2i
1 3 i 2
- 5
1 3 i 2
1 3i 2
0.2i
i( 2 1)
1 3i 2
i
2
(i)
2
例题1：实数m取什么值时，复数
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
数系的扩充
为了解决测量、分配中遇到的将某些量进 行等分的问题人们引进了分数，为了表示 各种具有相反意义的量，又引进了负数
自然数集N
用正方形的边长去度量它的对角线所得的结 果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾， 人们又引进了无理数.
有理数集Q
实数集R
实数集还需要进一步扩充吗？怎样扩充？
x, y
的值
小结：
2 1.数系扩充：复数集 i 2 1 ，（-i） 1
2.复数的代数形式：z a bi 1)实数
b0 2）虚数 b 0 3）纯虚数 b 0, 且a 0
z1 a bi, z2 c di z1 z2 a c, 且b=d
3.复数相等的充要条件：
a +bi
高中数学教学课例《数系的扩充和复数的概念》课程思政核心素养教学设计及总结反思
（四）巩固练习——知识的应用
（五）学习小结——概括知识体系，布置作业
本节课通过创设问题情境，引导学生思考，通过类
比思想，使学生了解扩充数系要引入新数，引入复数的
课例研究综 概念及分类，降低学生的学习难度。学生也掌握了复数
述
的概念及复数相等的定义；对基础薄弱的学生在“练习
1，3”中多给他们创造机会，力争使每一个层次的学生
2.理解复数的基本概念；
过程与方法：
教学目标
通过回顾数系扩充的历史，让学生体会数系扩充的
一般方法。
情感态度与价值观：通过数系扩充的过程，让学生
体会其中的创新精神和实践能力，体会人类理性思维在
数系扩充中的作用。
学生已经掌握了整数与分数，正数与负数，有理数
学生学习能 与无理数，以及实数这些概念，但是学生对数的分类主
力分析 要依靠的是简单记忆，所以对数系扩充的过程以及扩充
的必要性不甚了解。，由实数系扩充到复数系比较抽象，
理解起来比较困难.
创设问题情境，引导学生思考，通过类比思想，使 教学策略选
学生了解扩充数系要引入新数，引入复数的概念及分 择与设计
类，降低学生的学习难度。
（一）情景引入——得到学习课题，明确学习目标
都能有所发展。
高中数学教学课例《数系的扩充和复数的概念》教学设计及 总结反思
学科
高中数学
教学课例名
《数系的扩充和复数的概念》
称
本节主要内容是数系的扩充和复数的概念；重点是
对引入复数的必要性的认识及复数概念的理解；难点事 教材分析
学生对数系扩充的只是不熟悉，对了解实数系扩充到复
数系的过程比较困难。
知识与技能目标：
1.了解数系的扩充过程；
【高中数学】数系的扩充与复数的引入
【高中数学】数系的扩充与复数的引入知识讲解1. 复数的有关概念 （1）复数的概念形如a+bi (a,b ∈R)的数叫做复数，其中a,b 分别是它的实部和虚部。
若b=0，则a+bi 为实数；若b≠0，则a+bi 为虚数；若a=0且b≠0，则a+bi 为纯虚数。
{}{}虚数纯虚数⊂，{}{}{}实数虚数复数 ==C（2）复数相等：a+bi=c+di ⇔=⎧⎨=⎩a c b d(a,b,c,d ∈R).（3）共轭复数：a+bi 与c+di 共轭⇔=⎧⎨=-⎩a c b d(a,b,c,d ∈R)两个重要命题：定理：复数是实数的充要条件是；1z z z =定理：复数是纯虚数的充要条件是（）200z z z z +=≠ （4）复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。
x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
实轴上的点表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。
复数集与平面上的点集之间能建立一一对应关系，故可用平面上的点来表示复数，一般的，可用Z (a,b) (a,b ∈R)表示复数a+bi (a,b ∈R)或用向量O Z表示复数a+bi.（5）复数的模向量O Z的模叫做复数z=a+bi 的模，记为|z|或|a+bi|，即|z|=|a+bi|=22a b +。
2、复数的几何意义（1）复数z=a+bi ←−−−→一一对应复平面内的点Z (a,b) (a,b ∈R) （2）复数z=a+bi ←−−−→一一对应平面向量O Z(a,b ∈R) 3、复数的运算（1）四则运算法则（可类比多项式的运算）加法：R d c b a i d b c a di c bi a ∈+++=+++,,,)()()()( 减法：i d b c a di c bi a )()()()(-+-=+-+ 乘法：i ad bc bd ac di c bi a )()())((++-=++除法：)())(())(()()(转化为乘法运算…=-+-+=++=+÷+di c di c di c bia dic bi a di c bi a ，简记为“分母实数化”。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1 数系
= =
1, 1
C.
������ ������
= =
0, 2
D.
������ = -1, ������ = -1
解析:由
������ + ������ = 2, 得 ������-������ = 0,
������ ������
= =
1, 1.
故选B.
答案:B
知识梳理
3.复数的分类 (1)对于复数a+bi,当且仅当b=0时,它是实数;当且仅当a=b=0时, 它是实数0;当b≠0时,叫做虚数;当a=0,且b≠0时,叫做纯虚数. 这样,复数z=a+bi(a,b∈R)可以分类如下: 复数������ 实数(������ = 0)
我们规定:a+bi与c+di相等的充要条件是a=c,且b=d .
温馨提示应用两个复数相等的充要条件时,首先要把“=”左右两
边的复数写成代数形式,即分离实部与虚部,然后列出等式求解. 【做一做2】 满足x+y+(x-y)i=2的实数x,y的值为 ( )
A.
������ ������
= =
2, 0
B.
������ ������
要条件;但若a=0,且b=0,则a+bi=0为实数,即不是充分条件.故选B.
答案:B
重难聚焦
1.数系扩充的一般原则是什么? 剖析数系扩充的脉络是:自然数系→整数系→有理数系→实数系 →复数系,用集合符号表示为N→Z→Q→R→C. 从自然数系逐步扩充到复数系的过程可以看出,数系的每一次扩 充都与实际需求密切相关.数系扩充后,在新数系中,原来规定的加 法运算与乘法运算的定律仍然适用,加法和乘法都满足交换律和结 合律,乘法对加法满足分配律. 一般来说,数的概念在扩大时,要遵循如下几项原则: (1)增添新元素,新旧元素在一起构成新数集; (2)在新数集里,定义一些基本关系和运算,使原有的一些主要性 质(如运算定律)依然适用; (3)旧元素作为新数集里的元素,原有的运算关系保持不变; (4)新的数集能够解决旧的数集不能解决的矛盾.
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2 7
i,
i,
5i + 8,
3-9
2i,
i(1-
3),
2 - 2i, 这几
个数是虚数, 因为它们的虚部不为 0.
2 7
i,
i,
i(1-
3),
这几个数是纯虚数,
因为它们
的实部为 0, 虚部不为 0.
3. 如果 (x+y)+(y-1)i = (2x+3y)+(2y+1)i, 求实数 x, y 的值.
解: 两复数相等, 必须实部与实部相等, 且虚部 与虚部相等, 则得方程组
- 2i.
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1. 复数在坐标平面上有哪两种表示方法? 2. 表示复数的坐标平面叫什么? 坐标轴叫 什么? 在坐标平面上如何表示复数?
问题1. 一个复数 z=a+bi 由什么确定? 类似于我 们所学过的什么数学知识?
一个复数是由一个有序实数对 (a, b) 唯一确定. 在平面直角坐标系中, 一个确定的有序实数对 (a, b) 在坐标平面上唯一确定一个点.
3
O
x
对应复数 z=a+bi.
-2
Z
因此复数可以用复平面上的
向量表示.
复数 C 与复平面内的向量所成的集合一一对应.
复数 z=a+bi 一一对应 平面向量 OZ
问题 3. 还记得向量的坐标表示吗? 你能画出向 量 a=(3, -2)? 能否借用向量表示复数?
复数的两种几何意义:
y
(1) 任一复数可用复平面上
0 的实部是 0, 虚部是 0.
2. 指出下列各数中, 哪些是实数, 哪些是虚数,
哪些是纯虚数, 为什么?
2+
7,
0.618,
2 7
i,
0,
i,
i2,
5i + 8,
3-9 2i,
i(1- 3), 2 - 2i.
解: 2+ 7, 0.618, 0, i2 = -1, 这几个数是实数,
因为它们的虚部为 0.
题 3.1 A组 第 1、2、3 题.
题 3.1 A组 1. 求适合下列方程的实数 x 与 y 的值:
(1) (3x+2y)+(5x-y)i=17-2i;
(2) (x+y-3)+(x-4)i=0.
解: (1) 由两复数相等得方程组
53xx
+ -
2 y
y =17, = -2.
解得 x=1, y=7.
问题1. 方程 x2=2 和 x2= -2 在什么样的数系范围 内有解? 在什么样的数系范围内无解? 如果要使它 们都有解, 怎么办?
x2=2 在有理数范围内无解, 将数系扩充到实数 范围内就有解: x = 2.
x2= -2 在有理数范围内无解, 将数系扩充到实数 范围还是无解.
要使 x2= -2 有解, 考虑把数系再扩充.
当 b=0 时, a+bi=a 是一个实数; 当 b≠0 时, a+bi 就有一新引进的数 i, 这个数就 是我们要学习的虚数.
我们把集合 C={ a+bi | a, bR } 中的数, 即形如 a+bi (a, bR) 的数叫做复数, 其中 i 叫做虚数单位. 当 b=0 时, a+bi=a 是实数, 当 b≠0 时, a+bi 叫虚数.当 a=0, b≠0 时, a+bi=bi 叫纯虚数. 复数包含实数和虚数, 全体复数所成的集合 C 叫做复数集.
是什么数? 原点呢?
实轴上的点表示实数, 如: 点 Z1(-2, 0) 表示实数 z= -2.
虚轴上的点表示纯虚数, 如: 点 Z2(0, 2) 表示纯虚数 z= 2i.
原点 (0, 0) 表示实数 0.
y
2 Z2
Z1 1
Z3
-2 O 2 x
坐标平面上的任一点表示唯一的一个复数, 如:
点 Z3(2, 1) 表示表示复数 z=2+i.Leabharlann BOD F
E x
C
(6) 点F表示复数 -3i.
3.
已知复数 2+i,
-2+4i,
-2i,
4,
3 2
-
4i,
在复平
面内画出这些复数对应的向量.
解: 如图,
向量 OZ1 表示复数 2+i.
向量 OZ2 表示复数 -2+4i.
向量 OZ3 表示复数 -2i.
向量 OZ4 表示复数 4.
向量
OZ5
表示复数
复数的两种几何意义: (3) 向量 OZ 的模 r 叫复数 z=a+bi 的模, 记作 |z| 或 |a+bi|. |z| = |a + bi| = a2 + b2 . 如: z=3-2i.
y
3
O
x
-2
Z
|z| = 32 +(-2)2 = 13.
练习: (课本105页) 第 1、2、3 题.
练习: (课本105页)
练习: (课本104页)
1. 说出下列复数的实部和虚部:
-
2
+
1 3
i,
2 +i,
2 2
,
-
3i,
i,
0.
解:
-1+
1 3
i
的实部是
-2,
虚部是
1 3
.
2 + i 的实部是 2, 虚部是 1.
2 的实部是 2
2 2
,
虚部是 0.
- 3i 的实部是 0, 虚部是 - 3.
i 的实部是 0, 虚部是 1.
1. 说出图中复平面内各点所表示的复数 (每个小
正方格的边长为 1).
y
解: 点A表示复数 z=4+3i.
点B表示复数 z=3-3i.
G
点C表示复数 z= -3+2i.
C
A
点D表示复数 z= -2.5-3i.
FO
E
x
点E表示复数 z=5.5. 点F表示复数 z= -2.
D
B
H
点G表示复数 z= 5i.
复数 z=a+bi 一一对应 复平面内的点 Z(a, b)
问题 3. 还记得向量的坐标表示吗? 你能画出向
量 a=(3, -2)? 能否借用向量表示复数? 如图, 向量 OZ = a = (3, - 2).
y
复平面上的点 Z(a, b) 唯一
对应向量 OZ = (a, b); 复平面上的点 Z(a, b) 唯一
(1) 3+2i;
(4)
-
1 2
i;
(2) - 3; (5) 0;
(3) 1-i; (6) (1- 3)i.
(1)(2)(3)(4)(5)(6)都是复数.
(2)(5)是实数.
(1)(3)(4)(6)是虚数.
(4)(6)是纯虚数.
例1. 实数 m 取什么值时, 复数 z=m+1+(m-1)i
是 (1) 实数; (2) 虚数; (3) 纯虚数.
【课时小结】
2. 复数 形如 a+bi (a, bR) 的数叫做复数. 当 b=0 时, a+bi=a 是实数. b0 时, a+bi 是虚数. a=0, b≠0 时, a+bi=bi 叫纯虚数. 复数通常用字母 z 表示, 即 z=a+bi (a, bR),
这一表示形式叫做复数的代数形式. 其中的 a 与 b 分别叫做复数 z 的实部与虚部.
复数通常用字母 z 表示, 即 z=a+bi (a, bR), 这 一表示形式叫做复数的代数形式. 其中的 a 与 b 分别 叫做复数 z 的实部与虚部.
在复数集 C={a+bi | a, bR} 中任取两个数 a+bi, c+di (a, b, c, dR), 我们规定:
a+bi 与 c+di 相等的充要条件是 a=c 且 b=d.
解: (1) 当 m-1=0 时, z 是实数, 即 m=1 时, z=2 是实数. (2) 当 m-1≠0 时, z 是虚数, 即 m≠1 时, z=m+1+(m-1)i 是虚数. (3) 当 m+1=0 且 m-1≠0 时, z 是纯虚数, 即 m= -1 时, z= -2i 是纯虚数.
练习: (课本104页) 第 1、2、3 题.
题 3.1 A组 1. 求适合下列方程的实数 x 与 y 的值:
(1) (3x+2y)+(5x-y)i=17-2i;
(2) (x+y-3)+(x-4)i=0.
解: (2) 由复数为 0 得方程组
x x
+ -
y-3= 4= 0.
0,
解得 x=4, y= -1.
2. 实数 m 取什么值时, 复数 (m2-5m+6)+(m2-3m)i 是
的点表示, 如: 点 Z(3, -2) 表示复数 z=3-2i.
3
O
x
(2) 任一复数可用复平面上
-2
Z
的向量表示, 如:
向量 OZ = (3, - 2) 表示复数 z=3-2i.
我们常把复数 z=a+bi 说成点 Z 或说成向量 OZ,
相等的向量表示同一个复数.
问题 3. 还记得向量的坐标表示吗? 你能画出向 量 a=(3, -2)? 能否借用向量表示复数?
3. 符合下列条件的复数一定存在吗? 若存在, 请举出例子; 若不存在, 请说明理由.
(1) 实部为- 2 的虚数; (2) 虚部为- 2 的虚数; (3) 虚部为- 2 的纯虚数.