运用完全平方公式因式分解 优秀课件
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湘教版七年级数学下册教学课件(XJ) 第3章 因式分解 第2课时 利用完全平方公式进行因式分解
首2 ±2×首 +尾2 ×尾
=(a ± b)² (首±尾)2
两个数的平方和加上(或减去) 这两个数的积的2倍，等于这 两个数的和(或差)的平方.
对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，填空： 1. x²+4x+4= ( )²+2x·( )·( )+x( )²=2( 2 )² x + 2 2.m²-6m+9=( )²-m2·( ) ·( m)+( )²=3( 3)² m - 3 3.a²+4ab+4b²=( )²+2a·( ) ·( )a+( 2)b²=( 2b)² a + 2b
分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式；
(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36.
解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2；
(2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62 =(a+b-6)2.
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式 等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
当堂练习
1.下列四个多项式中，能因式分解的是( )
B
A．a2＋1
B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( )
B
A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2
C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________． 1 4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为___________ ．
=(a ± b)² (首±尾)2
两个数的平方和加上(或减去) 这两个数的积的2倍，等于这 两个数的和(或差)的平方.
对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，填空： 1. x²+4x+4= ( )²+2x·( )·( )+x( )²=2( 2 )² x + 2 2.m²-6m+9=( )²-m2·( ) ·( m)+( )²=3( 3)² m - 3 3.a²+4ab+4b²=( )²+2a·( ) ·( )a+( 2)b²=( 2b)² a + 2b
分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式；
(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36.
解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2；
(2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62 =(a+b-6)2.
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式 等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
当堂练习
1.下列四个多项式中，能因式分解的是( )
B
A．a2＋1
B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( )
B
A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2
C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________． 1 4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为___________ ．
运用完全平方公式因式分解(课件)数学八年级上册同步备课系列(人教版)
=3a(x+y)2
=(a+b-6)2
分解因式：
(1) ax2+2a2x+a3
(2) -3x2+6xy-3y2
(3) (x+y)2-12x-12y+36
解：(1)原式= a(x2+2ax+a2)
(2)原式= -3(x2-2xy+y2)
=a(x+a)2
=-3(x-y)2
(3)原式=(x+y)2-12(x+y)+36
A. x2-y2= (x+y) (x-y)
B. x2+6x+9= (x+3)2
C. x2+xy=x (x+y)
D. x2+y2= (x+y)2
5.若x2- 2(k+1)x+4是完全平方式，则k的值为( A )
A.1或-3
B. -1或3
C.±1
D.±3
6.已知 = + 2，则代数式32 − 6 + 3 2 + 2022的值为（ D ）
±
10．若x2﹣8x+m2＝(x﹣4)2，那么m＝_____．
11．若 2 + (3 − ) + 9可以用完全平方式来分解因式，则m的值为
−或9
__________．
12．分解因式：
(1) − 22 + 3 ；
(2)3 − 102 + 25；
(3) 2 − 5
(4)(2 + 2 − 2 )2 −42 2 .
例3.分解因式：
(1) 3ax2+6axy+3ay2
因式分解(完全平方公式)精选教学PPT课件
ab2 a2 2ab b2
现在我们把这个公式反过来
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2
很显然，我们可以运用以上这个公式 来分解因式了，我们把它称为“完全 平方公式”
a2 2abb2 a2 2abb2
我们把以上两个式子叫做完全平方式
我开始虚伪，听着谎言却装做一无所知；我学会窥探，四处打听如蛇之祟行，而十分看轻自己； 我的故事越编越好，好莱坞金牌编剧也没这般丰富多采，只为让他多留一分钟。
最后，我打他一巴掌。干脆痛快，出手的瞬间，像那位绝望的母亲，远远掷出她的高跟鞋。掷中没有？并不重要。 有多爱，就有多不舍；有多温柔，就有多暴烈，爱得唇边有血，眼中有泪，胸口有纠缠的爱与恨，爱到如连体婴般骨肉相连。割爱，就一定不可能如拈去一片花叶般轻松微笑。 明知留不住，收不下，却不能自控我颠倒狂乱的脚步。那一遭，我是夜深街上，追逐汽车的女子。而我无声的哭泣，他没有听见。快乐是人类社会众望所归的最高境界。所谓君子之交谈如水。一个把名缰利锁看得太重的人。注定是不快乐的。快乐就是看淡尘世的物欲、烦恼，不慕荣利。假如你喜欢武侠小说，你没有必要愧对红楼梦； 假如你喜欢的人突然销声匿迹，你没有必要寻死觅活地断言他一定洒脱地离去；假如你的朋友不幸，你没有必要怨天尤人；假如你认为张曼玉艳美绝俗，你没有必要眼馋肚饱虐待老婆；假如你已经身心交病，那就去教堂忏悔，没有必要仇视别人的平庸；坦然面对心融神会，快乐就在你心里。我怜悯一个有点荣誉的人，就旁若无人而因此失 去快乐的人。能把名利得失置之度外，而凡事都能以诚相待的人一生将是快乐的。我们应从平谈的生活中去提炼体会，如：赤城待人的那种快乐。低待遇下一如既往工作的快乐，助人为乐一介不取的快乐，一片至诚去感化恶人的快乐，热心被人误解依然如故的快乐，信实可靠的服务态度为目的的快乐，尽责任吃苦耐劳的快乐，因为这些 “快乐”能保持住人内心的快乐，使人的容貌永远那么牵挂，一句亲切的问候。甚至一个关切的眼神，快乐无处不有，唯有胸襟开阔的人，才能体会到。形单影只的人仍然可以享受着闲情逸致的快乐。乐山乐水各不相同。爱静的人可以看书、听音乐、上网、写作、画画、搜集各种收藏品。爱动的人则不妨练习舞蹈、慢跑、爬山、游泳。看 电影、上健身房。做编织、陶艺。练瑜枷、潜心发明、闭门创作，摄影、观鸟，我们仍然兴复不浅，乐不可支。人生苦短，岁月如流，乐天知命，为什么不乐乐陶陶的。为什么要疾首蹙额，为眼前一时的顿挫心胆俱碎？为什么要对那些你看不惯的人和事心烦率乱？岂不知我们都是尘世间相映成趣的战友。人世一切冤天屈地，无妄之灾，荣 华富贵，香娇玉嫩……都将随身亡命殒。而人生长着百年，短则数十寒暑，又有何值得耀武扬威的，不过是烟云过眼矣？人生如月，月满则亏，凡事岂能尽人意，但求于心无愧。无愧我心，则恩同再造，那些得失又算不了甚么。世界上没有完美无缺得事物。奉劝多愁善感的朋友。饮醇自醉，快乐起来吧！芸芸众生，绿水青山，名胜古迹，
现在我们把这个公式反过来
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2
很显然，我们可以运用以上这个公式 来分解因式了，我们把它称为“完全 平方公式”
a2 2abb2 a2 2abb2
我们把以上两个式子叫做完全平方式
我开始虚伪，听着谎言却装做一无所知；我学会窥探，四处打听如蛇之祟行，而十分看轻自己； 我的故事越编越好，好莱坞金牌编剧也没这般丰富多采，只为让他多留一分钟。
最后，我打他一巴掌。干脆痛快，出手的瞬间，像那位绝望的母亲，远远掷出她的高跟鞋。掷中没有？并不重要。 有多爱，就有多不舍；有多温柔，就有多暴烈，爱得唇边有血，眼中有泪，胸口有纠缠的爱与恨，爱到如连体婴般骨肉相连。割爱，就一定不可能如拈去一片花叶般轻松微笑。 明知留不住，收不下，却不能自控我颠倒狂乱的脚步。那一遭，我是夜深街上，追逐汽车的女子。而我无声的哭泣，他没有听见。快乐是人类社会众望所归的最高境界。所谓君子之交谈如水。一个把名缰利锁看得太重的人。注定是不快乐的。快乐就是看淡尘世的物欲、烦恼，不慕荣利。假如你喜欢武侠小说，你没有必要愧对红楼梦； 假如你喜欢的人突然销声匿迹，你没有必要寻死觅活地断言他一定洒脱地离去；假如你的朋友不幸，你没有必要怨天尤人；假如你认为张曼玉艳美绝俗，你没有必要眼馋肚饱虐待老婆；假如你已经身心交病，那就去教堂忏悔，没有必要仇视别人的平庸；坦然面对心融神会，快乐就在你心里。我怜悯一个有点荣誉的人，就旁若无人而因此失 去快乐的人。能把名利得失置之度外，而凡事都能以诚相待的人一生将是快乐的。我们应从平谈的生活中去提炼体会，如：赤城待人的那种快乐。低待遇下一如既往工作的快乐，助人为乐一介不取的快乐，一片至诚去感化恶人的快乐，热心被人误解依然如故的快乐，信实可靠的服务态度为目的的快乐，尽责任吃苦耐劳的快乐，因为这些 “快乐”能保持住人内心的快乐，使人的容貌永远那么牵挂，一句亲切的问候。甚至一个关切的眼神，快乐无处不有，唯有胸襟开阔的人，才能体会到。形单影只的人仍然可以享受着闲情逸致的快乐。乐山乐水各不相同。爱静的人可以看书、听音乐、上网、写作、画画、搜集各种收藏品。爱动的人则不妨练习舞蹈、慢跑、爬山、游泳。看 电影、上健身房。做编织、陶艺。练瑜枷、潜心发明、闭门创作，摄影、观鸟，我们仍然兴复不浅，乐不可支。人生苦短，岁月如流，乐天知命，为什么不乐乐陶陶的。为什么要疾首蹙额，为眼前一时的顿挫心胆俱碎？为什么要对那些你看不惯的人和事心烦率乱？岂不知我们都是尘世间相映成趣的战友。人世一切冤天屈地，无妄之灾，荣 华富贵，香娇玉嫩……都将随身亡命殒。而人生长着百年，短则数十寒暑，又有何值得耀武扬威的，不过是烟云过眼矣？人生如月，月满则亏，凡事岂能尽人意，但求于心无愧。无愧我心，则恩同再造，那些得失又算不了甚么。世界上没有完美无缺得事物。奉劝多愁善感的朋友。饮醇自醉，快乐起来吧！芸芸众生，绿水青山，名胜古迹，
教学课件：七下湘教公式法第2课时 利用完全平方公式进行因式分解
(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2= a2-2ab+b2 .
将完全平方公式从右到左地使用，就可以把形
如这样的多项式进行因式分解.
例如， x2+4x+4 = x2+2·x·2+22 = (x+2)2 .
a2+2·a·b+b2 = (a+b)2
知识讲授
因式分解的完全平方公式
a 2 2ab b 2 a b
2
a 2ab b a b
2
2
2
注意：公式中
的, 既可以
是单项式，也
可以是多项式.
语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个
数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
知识讲授
我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.
能用完全平方公式分解因式的多项式的特点
(x2-1)2
[(x+1)(x-1)]2
(x+1)2(x-1)2.
知识讲授
例5 因式分解：
(1)3ax2+6axy+3ay2 ；
(2)( + )－（ + ） + .
解：(1)原式=3a（x2+2xy+y2）
有公因式，先
提公因式
=3a（x+y）2.
(2)原式 = （ + ）－ × （ + ） × +
法公式，我们得到了因式分解的两种方法：提取公因
式法、平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些
乘法公式可以用来分解因式呢？
完全平方公式
将完全平方公式从右到左地使用，就可以把形
如这样的多项式进行因式分解.
例如， x2+4x+4 = x2+2·x·2+22 = (x+2)2 .
a2+2·a·b+b2 = (a+b)2
知识讲授
因式分解的完全平方公式
a 2 2ab b 2 a b
2
a 2ab b a b
2
2
2
注意：公式中
的, 既可以
是单项式，也
可以是多项式.
语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个
数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
知识讲授
我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.
能用完全平方公式分解因式的多项式的特点
(x2-1)2
[(x+1)(x-1)]2
(x+1)2(x-1)2.
知识讲授
例5 因式分解：
(1)3ax2+6axy+3ay2 ；
(2)( + )－（ + ） + .
解：(1)原式=3a（x2+2xy+y2）
有公因式，先
提公因式
=3a（x+y）2.
(2)原式 = （ + ）－ × （ + ） × +
法公式，我们得到了因式分解的两种方法：提取公因
式法、平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些
乘法公式可以用来分解因式呢？
完全平方公式
初中数学《完全平方公式》优秀课件北师大版2
a2 2• a •bb2
(1)、解：16x2 24x 9
方法：当一个式子满足完全
(4x)2 2 4x 3 32
平方式的所有特征时，可直 接分解因式。结果为这两平
4x 32
方项底数和或差的平方，是
和是差看中间项的符号
分析：- x2 4xy 4 y2 - x2 2 • x • 2 y 2 y2
• 学习重点：
运用完全平方公式分解因式．
学习难点：综合运用提公因式和公式法分解
因式
复习引入
问题一：大家还记得什么是因式分解吗?
因式分解就是将一个多项式化成几个整式的 积的形式
即： 和
积
问题二：我们已经学习了分解因式的哪
些方法？
1、提公因式法 2、公式法
平方差公式 a2 b2 a ba b
即：两个数的平方差等于 这两个数的和与差的积
方法：若式子有整体满足完全平方 式可直接进行因式分解，需注意中 间项的符号
练习2 将下列多项式分解因式：
1 25a3 ax2 10a2x
2 12x3 12x2 2 y 1- 3x2y -12
答案：
1 a5a x2
a b2 b a2
2 - 3x2 y 1 2x2
或 - 32x 2 y 12
你对因式分解的方法有什么新的发现？请尝试概括 你的发现.
把整式的乘法公式——完全平方公式 倒过来 就得到因式分解的完全平 方公式：
a2 2ab+b2 =（a b）2
首2 2 首 尾 尾2 首 尾2
即两个数的平方和加上（或减去）这两个 数的积的2倍，等于这两个数的和（或差） 的平方
1、在下面括号ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ填空
14.3.2.2 利用完全平方公式因式分解
利用完全平方公式进行因式分解ppt课件
④ 4x2 – 8xy + 4y2 = 4 (x2–2xy+y2) = 4 (x–y)2
例3 把下列完全平方式因式分解。
（1）x2+14x+49； （2）（m+n）2-6（m+n）+9.
例4 把下列各式因式分解。
（1）3ax2+6axy+3ay2； （2）-x2-4y2+4xy。
补例 把9x2 3x 1 因式分解
试计算：9992 + 2×1999998×1 + 1 = (999+1)2 = 106
就像平方差公式一样，完全平方公式也可 以逆用，从而进行一些简便计算与因式分解。 即：
a 2 2 a b b 2 a b 2
a 2 2 a b b 2 a b 2
这个公式可以用文字表述为：
两个数的平方和加上（或减去）这两个数的 积的两倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
a 2 2 a b b 2 a b 2
牛刀小试(对下列各式因式分解)：
① a2+6a+9 = _______(a_+__3)_2______ ② n2–10n+25 = ____(n_–_5_)_2_______ ③ 4t2–8t+4 = _____4_(t_–_1_)_2 _______ ④ 4x2–12xy+9y2 = _(_2_x_–_3_y_)2______
形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式。
① 16x2 + 24x + 9
② – 4x2 + 4xy – y2 ③ x2 + 2x – 1
完全平方式
④ 4x2 – 8xy + 4y2 ⑤ 1 – 2a2 + a4 ⑥ (p+q)2 – 12(p+q) + 36
完全平方公式-优秀课件
完全平方公式的文字叙述：
两个数的和（或差）的平方， 等于它们的平方和，加上（或减去） 它们的积的2倍。
思考:
你能根据图1和图2中的面积说 明完全平方公式吗?
b
a
a
b
图1
b a
b a 图2
完全平方公式 的几何意义
和的完全平方公式：
b ab b²
(a+b)²
a a² ab
ab
(a b)2 a2+2ab+b2
完全平方公式 的几何意义
差的完全平方公式：
b ab b²
a
a² ab
(a-b)²
ab
(a b)2 a2 ab ab b2
a2 2ab b2
(a+b)2= a2 +2ab+b2 公式特征： (a-b)2= a2 - 2ab+b2
1、积为二次三项式；
2、积中两项为两数的平方和；
3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中
2.若 x2 2kx 9 是一个完全平方公式,
则 k ____3___;
3.若 x 2 8x k 2是一个完全平方公式,
则 k _____4__;
4.请添加一项________，使得 k 2 4
是完全平方式.
x y 8, x y 4,求xy.
4k 4k
k2
4
5.已知
xy 12
(2)(x-2y)2 解： (x-2y)2= x2 -2•x •2y +(2y)2
(a - b)2= a2 - 2 ab + b2 =x2-4xy +4y2
例2、运用完全平方公式计算：
(1) 1022 解： 1022 = (100+2)2
两个数的和（或差）的平方， 等于它们的平方和，加上（或减去） 它们的积的2倍。
思考:
你能根据图1和图2中的面积说 明完全平方公式吗?
b
a
a
b
图1
b a
b a 图2
完全平方公式 的几何意义
和的完全平方公式：
b ab b²
(a+b)²
a a² ab
ab
(a b)2 a2+2ab+b2
完全平方公式 的几何意义
差的完全平方公式：
b ab b²
a
a² ab
(a-b)²
ab
(a b)2 a2 ab ab b2
a2 2ab b2
(a+b)2= a2 +2ab+b2 公式特征： (a-b)2= a2 - 2ab+b2
1、积为二次三项式；
2、积中两项为两数的平方和；
3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中
2.若 x2 2kx 9 是一个完全平方公式,
则 k ____3___;
3.若 x 2 8x k 2是一个完全平方公式,
则 k _____4__;
4.请添加一项________，使得 k 2 4
是完全平方式.
x y 8, x y 4,求xy.
4k 4k
k2
4
5.已知
xy 12
(2)(x-2y)2 解： (x-2y)2= x2 -2•x •2y +(2y)2
(a - b)2= a2 - 2 ab + b2 =x2-4xy +4y2
例2、运用完全平方公式计算：
(1) 1022 解： 1022 = (100+2)2
因式分解——公式法完全平方公式人教版八年级数学上册课件
；
（2）4b2-4ab+a2= （2b-a）2
；
（3）9x2-12x+4=
（3x-2）2
；
（4）4b2-20ab+25a2=
（2b-5a）2
.
12. 下列各式中，不能用完全平方公式分解的
个数为（ C ）
①x2-10x+25；②4a2+4a-1；③x3-2x-1；
④m2-m+ ；⑤4x4-x3+ .
原式＝4x2-12xy+9y2＝（2x-3y）2．
16. 已知：△ABC 的三边分别为 a，b，c，且满 足 a2+2b2+c2=2b（a+c）. 求证：△ABC 为等
边三角形.
证明：因为a2+2b2+c2=2b（a+c）， 所以（a-b）2+（c-b）2=0. 所以a=b=c，即△ABC为等边三角形.
（1）9x2-6x+1=
（3x-1）2
；
（2）9a2+24ab+16b2= （3a+4b）2
.
7. （例 3）分解因式：
（1）5mx2-10mxy+5my2；
原式＝5m（x-y）2.
（2）-2x3+12x2-18x.
原式＝-2x（x-3）2.
方法提升：用完全平方公式分解因式的步骤： ①提取公因式；
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
二级能力提升练
13. 分解因式：
（1）x3-2x2+x；
原式＝x（x-1）2.
（2）2b2-4ab+2a2；
原式＝2（b-a）2.
用完全平方公式因式分解
注意符号 哦！！！
解：原式＝ - （x2 – 4xy + 4y2 ） = - ( x – 2y )2
1、下列分解因式正确的是（ B ）
A、1+4x2 =(1+2x)2
B、a2+6a+9 = (a+3)2 C、1+4m- 4m2=(1-2m)2
小心变形哦
D、x2+xy+y2=(x+y) 2
2、把下列各式分解因式：
（1）有 三 项组成。
（2）有两项分别是某两个数（或式）的
平方，
且这两项 同 号.
（3）交叉项是上述两数（或式）的乘积的 2倍或-2 倍
我们把多项式a²＋2ab＋b² 和 a²－2ab＋b² 叫做完全平方式。
16x2 －+24x+9
. . (4x)2 －+ 2 4x 3 +32
. . a2 －+ 2 a b + b2
(1)4x2-4x＋1
(2) -2xy-x²-y²
我们已经学习了两种方法进行因式分解： 第一种是提公因式法， 第二种运用公式法：如果多项式是二项式，
考虑运用平方差公式，如果多项式是三项式， 考虑运用完全平方公式。
(1)3ax2 + 6axy＋ 3ay2
注意啦！如果多项式中有公因式，应先提取公因式！
简单记成：一提二套三彻底
练一练：把下列各式分解因式： （1） ax2 + 2a2x + a3
（2）(m + n )2 + 4(m + n) + 4
求华
学习目标：
1、经历用完全平方公式法分解因式的探索过程， 理解公式的意义。
. 完全平方公式 优质课获奖课件
讲解此例之前可先让学生自学教材第111页的“添括号法
则”并完成教材第111页练习第1题．然后给出例5题目，让
学生思考选择哪个公式．第(1)小题的解决关键是要引导学 生比较两个因式的各项符号，分别找出符号相同及相反的
项，学会运用整体思想，将其与公式中的字母a，b对照，
其中－2y＋3＝－(2y－3)，故应运用平方差公式．第(2)小 题可将任意两项之和看作一个整体，然后运用完全平方公 式． 在解此例的过程中，应注意边辩析各项的符号特征，边 对照两个公式的结构特征，教师应完整详细地书写解题过 程，帮助学生理解这一公式的拓展应用，突破难点．
1．完全平方公式的推导及其应用． 2．完全平方公式的几何解释．
重点 完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释 ，
灵活应用．
难点 理解完全平方公式的结构特征 ， 并能灵活应用公 式进行计算．
一、复习引入 你能列出下列代数式吗？ (1)两数和的平方；(2)两数差的平方． 你能计算出它们的结果吗？ 二、探究新知 你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗？ 引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间 互相补充，教师不急于概括； 举例：(1)(p＋1)2＝(p＋1)(p＋1)＝________________； (2)(p－1)2＝(p－1)(p－1)＝________________； (3)(m＋2)2＝________________； (4)(m－2)2＝________________．
讲解此例之前可先让学生自学教材第111页的“添括号法
则”并完成教材第111页练习第1题．然后给出例5题目，让
学生思考选择哪个公式．第(1)小题的解决关键是要引导学 生比较两个因式的各项符号，分别找出符号相同及相反的
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化为非负数的和的形式，然后利用非负数性 质解答问题．
例6 已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且 a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形 状，并说明理由． 解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得
a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，
即(a－b)2＋(b－c)2＝0， ∴a－b＝0，b－c＝0， ∴a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形．
a a² a
ab a ab a b²b
b
b
b
拼出图形为：
b ab b² 大正方形的面积可以怎么求？
（a+b）2 = a2+2ab+b2
a a² ab
上面的等式反过来看，能
a
b 得到：
a2+2ab+b2 = （a+b）2
我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫
作完全平方式.
观察这两个式子：
简记口诀：
首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式， 将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.
a2 ±2ab
首2 ±2× 首×尾
+b2
两个数的平方和加 =(a ± b)² 上(或减去)这两个
+尾2 (首±尾)2 数的积的2倍，等 于这两个数的和(或
差)的平方.
对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，填空：
当堂练习
1.下列四个多项式中，能因式分解的是( )
A．a2＋1
B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
2.多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( ) A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2 C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是____．
=3a(x+y)2； (2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62
=(a+b-6)2.
因式分解： (1) －3a2x2＋24a2x－48a2； (2) (a2＋4)2－16a2.
有公因式要 先提公因式
解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)
要检查
＝－3a2(x－4)2
每一个多项
(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2
方法总结：
本题要熟练掌握完全平方公式的结构特 征， 根据参数所在位置，结合公式，找出参 数与已知项之间的数量关系，从而求出参数 的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号， 避免漏解．
例2 分解因式： （1）16x2+24x+9； （2）-x2+4xy-4y2. （3）(a2+b2)2－4a2b2 (4)(x-y)(x-3y)+y2
＝2500
例5 已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
求x2y2＋2xy＋1的值．
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0
几个非负
∴(x－2)2＋(y－5)2＝0
数的和为0，则
∴x－2＝0，y－5＝0 ∴x＝2，y＝5
这几个非负数
∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2 都为0.
＝112＝121
方法总结： 此类问题一般情况是通过配方将原式转
4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式， 则m的值为_____．
5.把下列多项式因式分解. （1）x2－12x+36; （2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1; (3) y2+2y+1－x2; （4）9m2(a-b)3+49(b-a)3
6.计算： (1) 38.92－2×38.9×48.9＋48.92.
（4）a2+ab+b2;
（5）x2+x+0.25.
分析：（2）因为它只有两项； （3）4b²与-1的符号不统一； （4）因为ab不是a与b的积的2倍.
典例精析
例1 如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是 ( ) A . 11 B. 9 C. -11 D. -9
解析：根据完全平方式的特征，中间 项 -6x=2x×(-3),故可知N=(-3)2=9. 变式训练 : 如果x2-mx+16是一个完全平方式, 那么m的值为________. 解析：∵16=(±4)2，故 -m=2×(±4)，m=±8.
利用公式把某些具有特殊形式（如平方 差式，完全平方式等）的多项式分解因式， 这种分解因式的方法叫做公式法.
例3 把下列各式分解因式： (1) 3ax2+6axy+3ay2 ；(2) (a+b)2-12(a+b)+36.
(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式 化为m2-12m+36. 解: (1)原式=3a(x2+2xy+y2)
式的因式，
＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a) 看能否继续
＝(a＋2)2(a－2)2.
分解．
例4 把下列完全Байду номын сангаас方公式分解因式：
(1)1002－2×100×99+99²； (2)342＋34×32＋162. 解：(1)原式＝（100－99)²
＝1 (2)原式＝(34＋16)2
本题利用完 全平方公式分解 因式，可以简化 计算.
a2+2ab+b2
a2－2ab+b2
（1）每个多项式有几项？ 三项 （2）每个多项式的第一项和第三项有什么 特征？
这两项都是数或式的平方，并且符号相同 （3）中间项和第一项，第三项有什么关系？
是第一项和第三项底数的积的±2倍
完全平方式: a 2 2ab b2 完全平方式的特点：
1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍.
1. x²+4x+4= ( )²+2·( )·( )+( )²=(
)²
2.m²-6m+9=( )²- 2·( )·( )+( )²=( )²
3.a²+4ab+4b²
=( )²+2·( ) ·( )+( )²=(
)²
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a+4;
（2）1+4a²;
（3）4b2+4b-1;
公式法(2)
运用完全平方公式因式分解
导入新课
复习引入
1.因式分解： 把一个多项式转化为几个整式的积的形式.
2.我们已经学过哪些因式分解的方法？ 1.提公因式法 2.平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b)
讲授新课
一 用完全平方公式分解因式
你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出
你拼成的图形的面积吗？
(2)20142 2014 4026 20132.
7.已知a，b，c分别是△ABC三边的长，判断 (a2+b2-c2)2－4a2b2的符号，并说明理由．
例6 已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且 a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形 状，并说明理由． 解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得
a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，
即(a－b)2＋(b－c)2＝0， ∴a－b＝0，b－c＝0， ∴a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形．
a a² a
ab a ab a b²b
b
b
b
拼出图形为：
b ab b² 大正方形的面积可以怎么求？
（a+b）2 = a2+2ab+b2
a a² ab
上面的等式反过来看，能
a
b 得到：
a2+2ab+b2 = （a+b）2
我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫
作完全平方式.
观察这两个式子：
简记口诀：
首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式， 将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.
a2 ±2ab
首2 ±2× 首×尾
+b2
两个数的平方和加 =(a ± b)² 上(或减去)这两个
+尾2 (首±尾)2 数的积的2倍，等 于这两个数的和(或
差)的平方.
对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，填空：
当堂练习
1.下列四个多项式中，能因式分解的是( )
A．a2＋1
B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
2.多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( ) A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2 C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是____．
=3a(x+y)2； (2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62
=(a+b-6)2.
因式分解： (1) －3a2x2＋24a2x－48a2； (2) (a2＋4)2－16a2.
有公因式要 先提公因式
解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)
要检查
＝－3a2(x－4)2
每一个多项
(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2
方法总结：
本题要熟练掌握完全平方公式的结构特 征， 根据参数所在位置，结合公式，找出参 数与已知项之间的数量关系，从而求出参数 的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号， 避免漏解．
例2 分解因式： （1）16x2+24x+9； （2）-x2+4xy-4y2. （3）(a2+b2)2－4a2b2 (4)(x-y)(x-3y)+y2
＝2500
例5 已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
求x2y2＋2xy＋1的值．
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0
几个非负
∴(x－2)2＋(y－5)2＝0
数的和为0，则
∴x－2＝0，y－5＝0 ∴x＝2，y＝5
这几个非负数
∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2 都为0.
＝112＝121
方法总结： 此类问题一般情况是通过配方将原式转
4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式， 则m的值为_____．
5.把下列多项式因式分解. （1）x2－12x+36; （2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1; (3) y2+2y+1－x2; （4）9m2(a-b)3+49(b-a)3
6.计算： (1) 38.92－2×38.9×48.9＋48.92.
（4）a2+ab+b2;
（5）x2+x+0.25.
分析：（2）因为它只有两项； （3）4b²与-1的符号不统一； （4）因为ab不是a与b的积的2倍.
典例精析
例1 如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是 ( ) A . 11 B. 9 C. -11 D. -9
解析：根据完全平方式的特征，中间 项 -6x=2x×(-3),故可知N=(-3)2=9. 变式训练 : 如果x2-mx+16是一个完全平方式, 那么m的值为________. 解析：∵16=(±4)2，故 -m=2×(±4)，m=±8.
利用公式把某些具有特殊形式（如平方 差式，完全平方式等）的多项式分解因式， 这种分解因式的方法叫做公式法.
例3 把下列各式分解因式： (1) 3ax2+6axy+3ay2 ；(2) (a+b)2-12(a+b)+36.
(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式 化为m2-12m+36. 解: (1)原式=3a(x2+2xy+y2)
式的因式，
＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a) 看能否继续
＝(a＋2)2(a－2)2.
分解．
例4 把下列完全Байду номын сангаас方公式分解因式：
(1)1002－2×100×99+99²； (2)342＋34×32＋162. 解：(1)原式＝（100－99)²
＝1 (2)原式＝(34＋16)2
本题利用完 全平方公式分解 因式，可以简化 计算.
a2+2ab+b2
a2－2ab+b2
（1）每个多项式有几项？ 三项 （2）每个多项式的第一项和第三项有什么 特征？
这两项都是数或式的平方，并且符号相同 （3）中间项和第一项，第三项有什么关系？
是第一项和第三项底数的积的±2倍
完全平方式: a 2 2ab b2 完全平方式的特点：
1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍.
1. x²+4x+4= ( )²+2·( )·( )+( )²=(
)²
2.m²-6m+9=( )²- 2·( )·( )+( )²=( )²
3.a²+4ab+4b²
=( )²+2·( ) ·( )+( )²=(
)²
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a+4;
（2）1+4a²;
（3）4b2+4b-1;
公式法(2)
运用完全平方公式因式分解
导入新课
复习引入
1.因式分解： 把一个多项式转化为几个整式的积的形式.
2.我们已经学过哪些因式分解的方法？ 1.提公因式法 2.平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b)
讲授新课
一 用完全平方公式分解因式
你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出
你拼成的图形的面积吗？
(2)20142 2014 4026 20132.
7.已知a，b，c分别是△ABC三边的长，判断 (a2+b2-c2)2－4a2b2的符号，并说明理由．