运用完全平方公式因式分解 优秀课件

4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式， 则m的值为_____．
5.把下列多项式因式分解. （1）x2－12x+36; （2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1; (3) y2+2y+1－x2; （4）9m2(a-b)3+49(b-a)3
6.计算： (1) 38.92－2×38.9×48.9＋48.92.
＝2500
例5 已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
求x2y2＋2xy＋1的值．
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0
几个非负
∴(x－2)2＋(y－5)2＝0
数的和为0，则
∴x－2＝0，y－5＝0 ∴x＝2，y＝5
这几个非负数
∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2 都为0.
＝112＝121
方法总结： 此类问题一般情况是通过配方将原式转
化为非负数的和的形式，然后利用非负数性 质解答问题．
例6 已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且 a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形 状，并说明理由． 解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得
a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，
即(a－b)2＋(b－c)2＝0， ∴a－b＝0，b－c＝0， ∴a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形．
a a² a
ab a ab a b²b
b
b
b
拼出图形为：
b ab b² 大正方形的面积可以怎么求？
（a+b）2 = a2+2ab+b2
a a² ab
上面的等式反过来看，能
a
b 得到：
a2+2ab+b2 = （a+b）2
我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫
作完全平方式.
观察这两个式子：
公式法(2)
运用完全平方公式因式分解
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复习引入
1.因式分解： 把一个多项式转化为几个整式的积的形式.
2.我们已经学过哪些因式分解的方法？ 1.提公因式法 2.平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b)
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讲授新课
一 用完全平方公式分解因式
你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出
你拼成的图形的面积吗？
简记口诀：
首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式， 将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.
a2 ±2ab
首2 ±2× 首×尾
+b2
两个数的平方和加 =(a ± b)² 上(或减去)这两个
+尾2 (首±尾)2 数的积的2倍，等 于这两个数的和(或
差)的平方.
对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，填空：
=3a(x+y)2； (2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62
=(a+b-6)2.
因式分解： (1) －3a2x2＋24a2x－48a2； (2) (a2＋4)2－16a2.
有公因式要 先提公因式
解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)
要检查
＝－3a2(x－4)2
每一个多项
(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2
（4）a2+ab+b2;
（5）x2+x+0.25.
分析：（2）因为它只有两项； （3）4b²与-1的符号不统一； （4）因为ab不是a与b的积的2倍.
典例精析
例1 如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是 ( ) A . 11 B. 9 C. -11 D. -9
解析：根据完全平方式的特征，中间 项 -6x=2x×(-3),故可知N=(-3)2=9. 变式训练 : 如果x2-mx+16是一个完全平方式, 那么m的值为________. 解析：∵16=(±4)2，故 -m=2×(±4)，m=±8.
当堂练习
1.下列四个多项式中，能因式分解的是( )
A．a2＋1
B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
2.多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( ) A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2 C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是____．
方法总结：
本题要熟练掌握完全平方公式的结构特 征， 根据参数所在位置，结合公式，找出参 数与已知项之间的数量关系，从而求出参数 的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号， 避免漏解．
例2 分解因式： （1）16x2+24x+9； （2）-x2+4xy-4y2. （3）(a2+b2)2－4a2b2 (4)(x-y)(x-3y)+y2
(2)20142 2014 4026 20132.
7.已知a，b，c分别是△ABC三边的长，判断 (a2+b2-c2)2－4a2b2的符号，并说明理由．
a2+2ab+b2
a2－2ab+b2
（1）每个多项式有几项？ 三项 （2）每个多项式的第一项和第三项有什么 特征？
这两项都是数或式的平方，并且符号相同 （3）中间项和第一项，第三项有什么关系？
是第一项和第三项底数的积的±2倍
完全平方式: a 2 2ab b2 完全平方式的特点：
1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍.
式的因式，
＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a) 看能否继续
＝(a＋2)2(a－2)2.
分解．
例4 把下列完全平方公式分解因式：
(1)1002－2×100×99+99²； (2)342＋34×32＋162. 解：(1)原式＝（100－99)²
＝1 (2)原式＝(34＋16)2
本题利用完 全平方公式分解 因式，可以简化 计算.
利用公式把某些具有特殊形式（如平方 差式，完全平方式等）的多项式分解因式， 这种分解因式的方法叫做公式法.
例3 把下列各式分解因式： (1) 3ax2+6axy+3ay2 ；(2) (a+b)2-12(a+b)+36.
(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式 化为m2-12m+36. 解: (1)原式=3a(x2+2xy+y2)
1. x²+4x+4= ( )²+2·( )·( )+( )²=(
)²
2.m²-6m+9=( )²- 2·( )·( )+( )²=( )²
3.a²+4ab+4b²
=( )²+2·( ) ·( )+( )²=(
)²
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a+4;
（2）1+4a²;
（3）4b2+4b-1;