高中数学双基限时练21

双基限时练(二十一)

1．已知a ＝(－3,4)，b ＝(5,2)，则a ·b ＝( ) A ．23 B ．7 C ．－23

D ．－7

解析 a ·b ＝－3×5＋4×2＝－7，故选D. 答案 D

2．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )．若a·b ＝1，则x ＝( ) A ．－1 B ．－12 C.12

D ．1

解析 由a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )可得a·b ＝2－x ＝1，故x ＝1. 答案 D

3．若非零向量a ，b ，满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( )

A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．150°

答案 C

4．已知A ，B ，C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1,2)，B (4,1)，C (0，－1)，则△ABC 的形状为( )

A ．直角三角形

B ．等腰三角形

C ．等腰直角三角形

D ．以上均不正确 解析 AB →＝(3，－1)，AC →＝(－1，－3)，BC →

＝(－4，－2)， ∴|AB →|＝10，|AC →|＝10，|BC →

|＝20.

∴|AB →|＝|AC →|，且|AB →|2＋|AC →|2

＝|BC →

|2＝20. ∴△ABC 为等腰直角三角形，应选C. 答案 C

5．已知a ＝(0,1)，b ＝(33，x )，向量a 与b 的夹角为π

3，则x 的值为( )

A ．±3

B ．±3

C ．±9

D ．3

解析 cos π3＝a ·b |a |·|b |＝x 27＋x

2， ∴2x ＝27＋x 2，且x >0，∴3x 2＝27，∴x ＝3. 答案 D

6．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)，若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )

A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73

B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－7

3，－79 C.⎝ ⎛⎭

⎪⎫73，79 D.⎝ ⎛⎭

⎪⎫－7

9，－73 解析 不妨设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)，

对于(c ＋a )∥b ，则有－3(1＋m )＝2(2＋n )． 又c ⊥(a ＋b )，则有3m －n ＝0， ∴m ＝－79，n ＝－7

3. 答案 D

7．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,2)，若(a －c )⊥b ，则k ＝________.

解析∵a＝(3,1)，c＝(k,2)，

∴a－c＝(3－k，－1)．

又b＝(1,3)，且(a－c)⊥b，

∴(a－c)·b＝0，

即1×(3－k)＋(－1)×3＝0.

∴k＝0，故应填0.

答案0

8．已知向量a＝(1，－2)，b＝(2，λ)，且a与b夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．

解析a·b＝2－2λ，|a|＝5，|b|＝4＋λ2，由a与b的夹角为锐

角，得a·b

|a||b|＝

2－2λ

5·4＋λ2

>0，即2－2λ>0，

∴λ<1.

当

2－2λ

5·4＋λ2

＝1时，解得λ＝－4，此时a与b夹角为0°，不合

题意．

∴λ≠－4.故λ的取值范围是(－∞，－4)∪(－4,1)．

答案(－∞，－4)∪(－4,1)

9．已知向量a＝(x，y)，b＝(－1,2)，且a＋b＝(1,3)，则|a－2b|等于________．

解析a＋b＝(x－1，y＋2)＝(1,3)，

∴x＝2，y＝1，∴a＝(2,1)．

又|a|＝5，|b|＝5，a·b＝0，

∴|a－2b|2＝|a|2－4a·b＋4|b|2＝25.

∴|a－2b|＝5.

答案 5

10．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b ·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________．(用数字作答)

解析 由题意知|a |＝1，设a 与b 的夹角为θ，则 b ·(a －b )＝b ·a －b 2＝0， ∴b 2＝b ·a ，∴|b |2＝|a ||b |cos θ.

∴|b |(|b |－cos θ)＝0，∴|b |＝0，或|b |＝cos θ. ∵θ∈[0，π]，∴|b |∈[0,1]． 答案 [0,1]

11．已知点A (－1,1)，点B (1,2)，若点C 在直线y ＝3x 上，且AB →⊥BC →

.求点C 的坐标．

解 设C (x,3x )，则AB →＝(2,1)，BC →

＝(x －1,3x －2)， 所以2(x －1)＋3x －2＝0，

所以x ＝4

5，所以C ⎝

⎛⎭

⎪⎫45，125.

12.已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，－3)． (1)若λa －2b 与a 垂直，求λ的值； (2)若a －2k b 与a ＋b 平行，求k 的值． 解 (1)∵a ＝(1,1)，b ＝(2，－3)，

∴λa －2b ＝(λ，λ)－(4，－6)＝(λ－4，λ＋6)． ∵(λa －2b )⊥a ，∴(λa －2b )·a ＝0， ∴λ－4＋λ＋6＝0，∴λ＝－1.

(2)∵a －2k b ＝(1,1)－(4k ，－6k )＝(1－4k,1＋6k )， a ＋b ＝(3，－2)，且(a －2k b )∥(a ＋b )， ∴－2(1－4k )－3(1＋6k )＝0，