高中数学双基限时练21
人教B版高中数学必修二双基限时练21.docx
双基限时练(二十一)基 础 强 化1．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( ) A ．1 B. 3 C ．2D. 5解析 d ＝|－5|5＝ 5.答案 D2．已知点(3，m )到直线x ＋3y －4＝0的距离为1，则m 的值为( )A. 3 B ．－ 3 C ．－33D.3或－33 解析 |3＋3m －4|2＝1，∴|3m －1|＝2. ∴m ＝3，或m ＝－33. 答案 D3．两条平行线l 1：3x －4y －1＝0，与l 2：6x －8y －7＝0间的距离为( )A.12B.35C.65D ．1解析 l 1：6x －8y －2＝0，∴d ＝|－2＋7|62＋82＝510＝12.答案 A4．点P (m －n ，－m )到直线x m ＋yn ＝1的距离为( ) A.m 2±n 2 B.m 2－n 2 C.－m 2＋n 2 D.m 2＋n 2解析 直线方程可变为nx ＋my －mn ＝0， ∴d ＝|n (m －n )＋m (－m )－mn |m 2＋n 2＝m 2＋n 2. 答案 D5．设直线l 经过点(－1,1)，当点(2，－1)到直线l 的距离最远时，直线l 的方程是( )A ．3x －2y ＋5＝0B ．2x －3y －5＝0C ．x －2y －5＝0D ．2x －y ＋5＝0解析 当直线l 与点(2，－1)最远时，直线l 与过点(－1,1)和(2，－1)的直线垂直．过(－1,1)和(2，－1)的直线的斜率为1－(－1)－1－2＝－23，∴直线l 的斜率为32，∴l ：y －1＝32(x ＋1)，即3x －2y ＋5＝0. 答案 A6．P 点在直线3x ＋y －5＝0上，且P 到直线x －y －1＝0的距离等于2，则P 坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2)答案 C7．点A (－4,2)到直线3x ＋4y ＝2的距离为________． 解析 d ＝|3×(－4)＋4×2－2|5＝65. 答案 658．过点A (－1,2)，且与原点距离等于22的直线方程为________________________________．解析 设直线方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0， ∴d ＝|k ＋2|k 2＋1＝22，∴k ＝－1，或k ＝－7.∴所求直线方程为x ＋y －1＝0，或7x ＋y ＋5＝0. 答案 x ＋y －1＝0，或7x ＋y ＋5＝0能 力 提 升9．在坐标平面内，与点A (1,2)距离为1，且与点B (3,1)距离为2的直线共有________条．解析 由题意知，所求直线斜率必存在， 设为直线y ＝kx ＋b ，即kx －y ＋b ＝0. 由d 1＝|k －2＋b |k 2＋1＝1， d 2＝|3k －1＋b |k 2＋1＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－43，b ＝53.答案 两条10．设点P 在直线x ＋3y ＝0上，且点P 到原点的距离与点P 到直线x ＋3y －2＝0的距离相等，求点P 的坐标．解 ∵点P 在直线x ＋3y ＝0上，∴设P (－3y 0，y 0)， ∴(－3y 0)2＋y 20＝|－3y 0＋3y 0－2|12＋32， ∴|y 0|＝15，即y 0＝±15，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15，或⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，15. 11．已知直线l 过点P (1,2)，并且与点A (2,3)、B (0，－5)的距离相等，求出直线方程．解 若l 斜率存在， 设其方程为y －2＝k (x －1)，由题意得|2k －3＋2－k |k 2＋1＝|5＋2－k |k 2＋1，得k ＝4. ∴l 的方程为y ＝4x －2.若l 斜率不存在，则其方程为x ＝1. 易知A 、B 到l 的距离相等．综上所求l的方程为y＝4x－2或x＝1.12．已知分别过P(－2，－2)，Q(1,3)的直线l1和l2，分别绕点P，Q旋转，且保持l1∥l2，求两条直线的距离d的取值范围．解∵P∈l1，Q∈l2，l1∥l2，∴d＝|PQ|为l1和l2间距离最大值而当l1和l2无限趋近重合时，d无限趋近0.又∵|PQ|＝(－2－1)2＋(－2－3)2＝34，∴0＜d≤34.品味高考13．与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线m 的方程为________．解析设所求直线为5x－12y＋c＝0，则由两平行直线间的距离公式得2＝|c－6|52＋(－12)2，解得c＝32，或c＝－20.故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.答案5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0。
人教版高中数学全套试题双基限时练21(2)
双基限时练(二十一)1．设z ＝x －y ，式中变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －2y ≥0.则z 的最小值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．－2解析 作出可行域，如图所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x ＝2y ，得交点A (2,1)．当直线x －y ＝0平移过点A (2,1)时，z 有最小值1. 答案 A2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x＋3y 的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．23解析 不等式表示的平面区域如图所示．当z ＝2x ＋3y 过点A 时取得最小值，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，2x －y ＝3，取得A (2,1)．将点A 坐标代入z ＝2x ＋3y 中得z min ＝7.答案 B3．设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥4，x －y ≥－1，x －2y ≤2，则z ＝x ＋y ( )A ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最小值D ．既无最小值，也无最大值解析 如图，z ＝x ＋y 表示直线过可行域时，在y 轴上的截距，当目标函数平移至过可行域A 点时，z 有最小值．联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，x －2y ＝2，解得A (2,0)．z 最小值＝2，z 无最大值．答案 B4．某企业生产甲、乙两种产品．已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、 B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是( )A ．12万元B ．20万元C ．25万元D ．27万元解析 设该企业在一个生产周期内生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，获得利润z 万元，则依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝5x ＋3y ，画出不等式组表示的平面区域及直线l 0：5x ＋3y ＝0，易知当平移l 0经过点(3,4)时，z 取得最大值为5×3＋3×4＝27，故选D.答案 D5．某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费用为200元，设备乙每天的租赁费用为300元．现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为________元．解析 设租赁甲、乙两种设备x ，y 台，则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≥50，10x ＋20y ≥140，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈Z .目标函数z ＝200x ＋300y ，画出可行域知目标函数在点(4,5)处取得最小值，故目标函数的最小值为2300.答案 23006．某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力等限制数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为________.⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤24，2x ＋5y ≤13，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .目标函数z ＝20x ＋10y ，画出可行域如图．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝13，5x ＋4y ＝24，得A (4,1)． 易知当直线2x ＋y ＝0平移经过点A 时，z 取得最大值． 答案 4,17．某工厂制造A 种仪器45台，B 种仪器55台，现需用薄钢板给每台仪器配一个外壳．已知钢板有甲、乙两种规格：甲种钢板每张面积2 m 2，每张可作A 种仪器外壳3个和B 种仪器外壳5个，乙种钢板每张面积3 m 2，每张可作A 种仪器外壳6个和B 种仪器外壳6个，问甲、乙两种钢板各用多少张才能用料最省？(“用料最省”是指所用钢板的总面积最小)解 设用甲种钢板x 张，乙种钢板y 张，依题意⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ∈N *，3x ＋6y ≥45，5x ＋6y ≥55，钢板总面积z ＝2x ＋3y .作出可行域，如图所示．由图可知当直线z ＝2x ＋3y 过点P 时，z 最小．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋6y ＝45，5x ＋6y ＝55，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝5.所以甲、乙两种钢板各用5张用料最省．8．某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180 t 支援物资的任务．该公司有8辆载重6 t 的A 型卡车与4辆载重为10 t 的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A 型为320元，B 型为504元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？若只安排A 型或B 型卡车，所花的成本费分别是多少？解 设需A 型、B 型卡车分别为x 辆和y 辆．列表分析数据．由表可知x ，y 满足的线性条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，24x ＋30y ≥180，0≤x ≤8，0≤y ≤4，x ，y ∈N ，且z ＝320x ＋504y .作出线性区域，如图所示．可知当直线z ＝320x ＋504y 过A (7.5,0)时，z 最小，但A (7.5,0)不是整点，继续向上平移直线z ＝320x ＋504y ，可知点(5,2)是最优解．这时z min ＝320×5＋504×2＝2608(元)，即用5辆A 型车，2辆B 型车，成本费最低．若只用A 型车，成本费为8×320＝2560(元)， 只用B 型车，成本费为18030×504＝3024(元)．9．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙的投资的23，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，问该公司正式投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为多少？解 设投资甲项目x 万元，投资乙项目y 万元，共可获利z 万元，则z ＝0.4x ＋0.6y .由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥5，y ≥5，x ≥23y ，x ＋y ≤60.作出可行域如图，由图可以看出，当直线经过可行域上的点A (24,36)时，z 取得最大值．z ＝0.4x ＋0.6y ＝0.4×24＋0.6×36＝31.2.即该公司正式投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为31.2万元．。
北师大版高中数学必修一双基限时练21.docx
双基限时练(二十一)对数的运算及其性质基础强化1．log63＋log62等于()A. 6B. 5C. 1D. log65解析log63＋log62＝log66＝1.答案 C2．对于a>0，a≠1，下列说法中，正确的是()①若M＝N，则log a M＝log a N②若log a M＝log a N，则M＝N③若log a M2＝log a N2，则M＝N④若M＝N，则log a M2＝log a N2A. ①③B. ②④C. ②D. ①②③④解析①当M＝N＝0时，不成立；②正确；③log a M2＝log a N2，若M，N>0，可得2log a M＝2log a N，故M＝N，若M，N异号，则不正确，故③不正确；④若M＝N＝0，也不正确，故只有②正确．答案 C3．已知lg2＝a ，lg3＝b ，则lg12等于( ) A ．a 2＋b B ．b ＋2a C ．a ＋2bD ．a ＋b 2解析 lg12＝lg4＋lg3＝2lg2＋lg3＝2a ＋b . 答案 B4．已知lg a ＝2.4310，lg b ＝1.4310，则ba 等于( ) A.1100 B.110 C ．10D ．100解析 lg b a ＝lg b －lg a ＝－1，∴b a ＝10－1＝110. 答案 B5．已知a ，b ，c 为正实数，且lg a ＋12lg b ＋13lg c ＝1，则a 6b 3c 2等于( )A. 10B. 106C. 1012D. 1解析 由lg a ＋12lg b ＋13lg c ＝1，得lg ab12 c 13＝1，即ab12 c 13＝10，故a 6b 3c 2＝106. 答案 B6．如果方程(lg x )2－(lg2＋lg3)lg x ＋lg2lg3＝0的两根为x 1，x 2，那么x 1x 2的值为( )A. 5B. 6C. lg2lg3D. lg2＋lg3解析 由题意得lg x 1＋lg x 2＝lg2＋lg3＝lg6，∴x 1x 2＝6. 答案 B7．已知a23 ＝49(a ＞0)，则log 23a ＝__________.解析 方法一：∵a23 ＝49，∴log a 49＝23，∴2log a 23＝23，∴log a 23＝13， ∴1log a 23＝3，∴log 23 a ＝3. 方法二：∵a23 ＝49，∴a 2＝64729，∴a ＝827＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233，∴log 23 a ＝log 23⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3.答案 3能 力 提 升8．已知：x ，y ∈R ，且(2x －1)2＋(y －128)2＝0，则log 2x 3y12的值为________．解析 由(2x －1)2＋(y －128)2＝0，得x ＝12，y ＝128，log 2x 3y12 ＝3log 2x ＋12log 2y ＝－3＋12log 227＝－3＋72＝12.答案 129．已知函数f (x )＝a log 2x ＋b log 3x ＋2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12014＝4，则f (2014)＝________.解析 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12014＝a log 212014＋b log 312014＋2＝4.得－a log 22014－b log 32014＝2. ∴a log 22014＋b log 32014＝－2.∴f (2014)＝a log 22014＋b log 32014＋2＝－2＋2＝0. 答案 010．求下列各式的值．(1)lg5(lg8＋lg1000)＋(3lg2)2＋lg 16＋lg0.06；(2)(lg5)2＋lg2·lg50.解 (1)lg5(3lg2＋3)＋3(lg2)2－2 ＝3lg2＋3lg5－2＝1. (2)(lg5)2＋lg2(1＋lg5) ＝lg5＋lg2＝1.11．设a ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋17，b ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋149，用a ，b 表示lg2和lg7.解析 a ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋17＝lg 87＝lg8－lg7＝3lg2－lg7. b ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋149＝lg 5049＝lg 1002×49＝2－lg2－lg49＝2－lg2－2lg7. 由上述两式联立方程组，解得： lg2＝17(2a －b ＋2) lg7＝17(－a －3b ＋6)12．已知lg a 和lg b 是关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0的两个根，而关于x 的方程x 2－(lg a )x －(1＋lg a )＝0有两个相等的实数根，求实数a ，b 和m 的值．解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧lg a ＋lg b ＝1，lg a lg b ＝m ，又x 2－(lg a )x －(1＋lg a )＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝(lg a )2＋4(1＋lg a )＝0， lg a ＝－2，∴a ＝1100.又lg a ＋lg b ＝1，∴lg b ＝3，∴b ＝103. 即m ＝lg a ·lg b ＝－6.考 题 速 递13．已知2x＝9，log 283＝y ，则x ＋2y 的值为( )A ．6B ．8C ．4D ．log 48解析 由2x ＝9，得log 29＝x ， ∴x ＋2y ＝log 29＋2log 283 ＝log 29＋log 2649 ＝log 264 ＝6. 答案 A。
高中数学 双基限时练21 新人教B版必修4
双基限时练(二十一)基 础 强 化1．下列命题中，不正确的是( ) A ．相等的向量的坐标相同B ．平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标C ．平面直角坐标系中，一个坐标对应唯一的一个向量D ．平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．解析 两个向量相等，它们的坐标相同，∴A 正确；给定一个向量，它的坐标是唯一的，给定一对实数，由于向量可以平移，所以以这个实数对为坐标的向量有无数个，∴B 正确，C 错误；当向量的起点为原点时，向量的坐标与其终点坐标相等，∴D 正确．答案 C2．已知三点A (－1,1)，B (0,2)，C (2,0)，若AB →与CD →互为相反向量，则D 点坐标为( ) A ．(1,0) B ．(－1,0) C ．(1，－1)D ．(－1,1)解析 AB →＝(1,1)，∴CD →＝(－1，－1)，∴D (1，－1)． 答案 C3．已知a －12b ＝(1,2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a ＝( )A ．(－2，－2)B ．(2,2)C ．(－2,2)D ．(2，－2)解析 ⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝2，4，a ＋b ＝4，－10，将两式相加，∴3a ＝(6，－6)，∴a ＝(2，－2)． 答案 D4．如图，e 1，e 2为互相垂直的单位向量，向量a ＋b ＋c 可表示为( )A ．3e 1－2e 2B ．－3e 1－3e 2C ．3e 1＋2e 2D ．2e 1＋3e 2答案 C5．已知向量OA →＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则AB →等于( ) A ．(8,1) B ．(－8,1) C.⎝⎛⎭⎪⎫4，－12 D.⎝⎛⎭⎪⎫－4，12 解析 AB →＝OB →－OA →＝(－8,1)． 答案 B6．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a 、4b －2c 、2(a －c )、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6) 解析 由题意可知，4a ＋(4b －2c )＋2(a －c )＋d ＝0， ∴d ＝－6a －4b ＋4c .∴d ＝－6(1，－3)－4(－2,4)＋4(－1，－2)． ∴d ＝(－2，－6)． 答案 D7．平面上有三个点，分别为A (2，－5)，B (3,4)，C (－1，－3)，D 为线段BC 的中点，则向量DA →的坐标为______．解析 ∵D 是线段BC 的中点，∴由中点坐标公式，可得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，再由向量的坐标公式，得DA →＝(2，－5)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－112. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫1，－1128．已知点A (3,7)，AB →＝(－2,8)，则点B 的坐标为___________． 解析 设B (x ，y )，则(x －3，y －7)＝(－2,8)， ∴x ＝1，y ＝15. 答案 (1,15)能 力 提 升9．已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4.设OC →＝λOA →＋OB →(λ∈R )，则λ＝________.解析 过C 作CE ⊥x 轴于点E ，由∠AOC ＝π4，知|OE |＝|CE |＝2，所以OC →＝OE →＋OB →＝λOA→＋OB →，即OE →＝λOA →，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝23.答案 2310．已知三点A (8，－7)，B (－16,20)，C (4，－3)．求向量2AB →＋3BC →与CB →－2AC →的坐标．解析 AB →＝(－24,27)，BC →＝(20，－23)， AC →＝(－4,4)，CB →＝(－20,23)．∴2AB →＋3BC →＝(－48,54)＋(60，－69)＝(12，－15)． CB →－2AC →＝(－20,23)－(－8,8)＝(－12,15)．11．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，求M 、N 的坐标和MN →的坐标．解析 ∵A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)， ∴CA →＝(1,8)，CB →＝(6,3)． 设M (x ，y )，则CM →＝(x ＋3，y ＋4)，由CM →＝3CA →，得(x ＋3，y ＋4)＝3(1,8)＝(3,24)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝3，y ＋4＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝20，即M (0,20)．同理可得N (9,2)．所以MN →＝(9，－18)．12．已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，且OP →＝OA →＋tAB →，试问： (1)t 为何值时，P 在x 轴上？在y 轴上？在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由． 解析 (1)由已知得OA →＝(1,2)，AB →＝(3,3)，OP →＝(1,2)＋t (3,3)＝(1＋3t,2＋3t )． (1)若点P 在x 轴上， 则有2＋3t ＝0，t ＝－23；若点P 在y 轴上， 则有1＋3t ＝0，t ＝－13；若点P 在第二象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t >0，解得－23<t <－13.(2)解法1：若四边形OABP 为平行四边形，则必有OP →＝AB →，即：(3t ＋1,3t ＋2)＝(3,3)，于是有⎩⎪⎨⎪⎧3t ＋1＝3，3t ＋2＝3，无解，故四边形OABP 不能为平行四边形．解法2：OP →＝OA →＋tAB →＝OA →＋t (OB →－OA →)＝(1－t )OA →＋tOB →. 由直线的向量参数方程式知，A 、B 、P 三点共线． ∴OAPB 不能为平行四边形．品 味 高 考13．若向量BA →＝(2,3)，CA →＝(4,7)，则BC →＝( ) A ．(－2，－4) B ．(2,4) C ．(6,10)D ．(－6，－10)解析 BC →＝AC →－AB →＝－CA →＋BA → ＝(－4，－7)＋(2,3)＝(－2，－4)． 答案 A。
人教版高中数学全套试题双基限时练21
双基限时练(二十一)1．已知a ＝(－3,4)，b ＝(5,2)，则a ·b ＝( ) A ．23 B ．7 C ．－23D ．－7解析 a ·b ＝－3×5＋4×2＝－7，故选D. 答案 D2．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )．若a·b ＝1，则x ＝( ) A ．－1 B ．－12 C.12D ．1解析 由a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )可得a·b ＝2－x ＝1，故x ＝1. 答案 D3．若非零向量a ，b ，满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案 C4．已知A ，B ，C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1,2)，B (4,1)，C (0，－1)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不正确 解析 AB →＝(3，－1)，AC →＝(－1，－3)，BC →＝(－4，－2)， ∴|AB →|＝10，|AC →|＝10，|BC →|＝20.∴|AB →|＝|AC →|，且|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2＝20. ∴△ABC 为等腰直角三角形，应选C. 答案 C5．已知a ＝(0,1)，b ＝(33，x )，向量a 与b 的夹角为π3，则x 的值为( )A ．±3B ．±3C ．±9D ．3解析 cos π3＝a ·b |a |·|b |＝x 27＋x2， ∴2x ＝27＋x 2，且x >0，∴3x 2＝27，∴x ＝3. 答案 D6．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)，若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73 解析 不妨设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)，对于(c ＋a )∥b ，则有－3(1＋m )＝2(2＋n )． 又c ⊥(a ＋b )，则有3m －n ＝0， ∴m ＝－79，n ＝－73. 答案 D7．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,2)，若(a －c )⊥b ，则k ＝________.解析∵a＝(3,1)，c＝(k,2)，∴a－c＝(3－k，－1)．又b＝(1,3)，且(a－c)⊥b，∴(a－c)·b＝0，即1×(3－k)＋(－1)×3＝0.∴k＝0，故应填0.答案08．已知向量a＝(1，－2)，b＝(2，λ)，且a与b夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．解析a·b＝2－2λ，|a|＝5，|b|＝4＋λ2，由a与b的夹角为锐角，得a·b|a||b|＝2－2λ5·4＋λ2>0，即2－2λ>0，∴λ<1.当2－2λ5·4＋λ2＝1时，解得λ＝－4，此时a与b夹角为0°，不合题意．∴λ≠－4.故λ的取值范围是(－∞，－4)∪(－4,1)．答案(－∞，－4)∪(－4,1)9．已知向量a＝(x，y)，b＝(－1,2)，且a＋b＝(1,3)，则|a－2b|等于________．解析a＋b＝(x－1，y＋2)＝(1,3)，∴x＝2，y＝1，∴a＝(2,1)．又|a|＝5，|b|＝5，a·b＝0，∴|a－2b|2＝|a|2－4a·b＋4|b|2＝25.∴|a－2b|＝5.答案 510．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b ·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________．(用数字作答)解析 由题意知|a |＝1，设a 与b 的夹角为θ，则 b ·(a －b )＝b ·a －b 2＝0， ∴b 2＝b ·a ，∴|b |2＝|a ||b |cos θ.∴|b |(|b |－cos θ)＝0，∴|b |＝0，或|b |＝cos θ. ∵θ∈[0，π]，∴|b |∈[0,1]． 答案 [0,1]11．已知点A (－1,1)，点B (1,2)，若点C 在直线y ＝3x 上，且AB →⊥BC →.求点C 的坐标．解 设C (x,3x )，则AB →＝(2,1)，BC →＝(x －1,3x －2)， 所以2(x －1)＋3x －2＝0，所以x ＝45，所以C ⎝⎛⎭⎪⎫45，125.12.已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，－3)． (1)若λa －2b 与a 垂直，求λ的值； (2)若a －2k b 与a ＋b 平行，求k 的值． 解 (1)∵a ＝(1,1)，b ＝(2，－3)，∴λa －2b ＝(λ，λ)－(4，－6)＝(λ－4，λ＋6)． ∵(λa －2b )⊥a ，∴(λa －2b )·a ＝0， ∴λ－4＋λ＋6＝0，∴λ＝－1.(2)∵a －2k b ＝(1,1)－(4k ，－6k )＝(1－4k,1＋6k )， a ＋b ＝(3，－2)，且(a －2k b )∥(a ＋b )， ∴－2(1－4k )－3(1＋6k )＝0，∴k ＝－12.13．已知点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)． (1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标，并求矩形ABCD 两对角线所夹的锐角的余弦值．解 (1)∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)， 由AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， 得AB →⊥AD →.∴AB ⊥AD .(2)∵AB ⊥AD ，四边形ABCD 为矩形，∴AB →＝DC →.设点C 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(x ＋1，y －4)，又AB →＝(1,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5，∴C (0,5)． 从而AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，且|AC →|＝25， |BD →|＝25，AC →·BD →＝8＋8＝16. 设〈AC →，BD →〉＝θ， 则cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|＝1620＝45.∴矩形ABCD 两条对角线所夹的锐角的余弦值为45.。
北师大版高中数学必修四双基限时练21.docx
双基限时练(二十一) 从力做的功到向量的数量积一、选择题 1．下列命题①a ＋(－a )＝0；②(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )；③(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )；④(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .其中正确命题的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析 正确的有②④. 答案 C2．若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 解析 ∵a ∥b ，则b ＝λa ，λ∈R . ∴c ·(a ＋2b )＝c ·(a ＋2λa )＝c·a (1＋2λ)． ∵a ⊥c ，∴a·c ＝0.∴c ·(a ＋2b )＝0. 答案 D3．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，则AB →·BC →的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析 AB →·BC →＝AB →·(AC →－AB →)＝AB →·AC →－AB →2＝－|AB →|2＝－1. 答案 B4．平面向量a 与b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( )A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．12解析 (a ＋2b )2＝a 2＋4b 2＋4a ·b ＝4＋4＋4×2×1×12＝12.∴|a ＋2b |＝2 3.答案 B5．设非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则a 与b 的夹角θ为( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°解析 |a |＝|b |＝|c |且a ＋b ＝c ，得|a ＋b |＝|b |，平方得：|a |2＋|b |2＋2ab ＝|b |2⇒2ab ＝－|a |2⇒2|a |·|b |·cos θ＝－|a |2⇒cos θ＝－12⇒θ＝120°.6．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π 解析 |a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a·b ＝0有实根，则|a |2－4a·b ≥0.设向量a ，b 的夹角为θ，所以cos θ＝a·b |a ||b |≤14|a |212|a |2＝12.所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.故选B.答案 B7．在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OD →是AB 边上的高，若AD →＝λAB →，则λ等于( )A.a ·(b －a )|a －b |2B.a ·(a －b )|a －b |2C.a ·(b －a )|a －b |D.a ·(a －b )|a －b |解析 由题意知OD →·AB →＝0，即AB →·(OA →＋AD →)＝0， ∴AB →·(OA →＋λAB →)＝0，∴λ＝－AB →·OA→AB →2＝－(OB →－OA →)·OA →(OB →－OA →)2＝|a －b |2，故选B. 答案 B 二、填空题8．已知e 1，e 2是夹角为23π的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a ·b ＝0，则实数k 的值为________．解析 由a ·b ＝0，得k －2＋(1－2k )×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，得k ＝54. 答案 549．已知|a |＝3，a ·b ＝2，则b 在a 方向上的射影为________． 解析 a ·b |a |＝23.答案 2310．若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 为________三角形． 解析 由AB →·BC →＋AB →2＝0，得AB →·(AB →＋BC →)＝0，即AB →·AC →＝0，∴AB →⊥AC →，故三角形为直角三角形．答案 直角 三、解答题11．已知|a |＝3，|b |＝4，且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a ＋k b 与a －k b 互相垂直．解 要使向量a ＋k b 与a －k b 互相垂直，则要满足(a ＋k b )·(a －k b )＝0，即(a ＋k b )·(a －k b )＝a 2－k 2b 2＝|a |2－k 2|b |2＝9－16k 2＝0，解得k ＝±34.∴当k ＝±34时，向量a ＋k b 与a －k b 互相垂直． 12．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |与|a －b |.解 (1)设a 与b 的夹角为θ， 由(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， 得4a 2－3b 2－4a ·b ＝61， 即64－27－4×4×3cos θ＝61， 得cos θ＝－12，又θ∈[0，π]，∴θ＝23π. (2)|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝16＋9－2×4×3×12＝13；|a －b |＝(a －b )2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝16＋9＋2×4×3×12＝37.13．如图所示，以△ABC 两边AB ，AC 为边向外作正方形ABGF ，ACDE ，M 为BC 的中点．求证：AM ⊥EF .证明 因为M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)，EF →＝AF →－AE →， 所以AM →·EF →＝12(AB →＋AC →)·(AF →－AE →) ＝12(AB →·AF →＋AC →·AF →－AB →·AE →－AC →·AE →) ＝12(0＋AC →·AF →－AB →·AE →－0)＝12(AC →·AF →－AB →·AE →)＝12[|AC →|·|AF →|cos(90°＋∠BAC )－|AB →||AE →|·cos(90°＋∠BAC )]＝0，所以AM →⊥EF →， 即AM ⊥EF .。
高中数学人教A版选修2-1双基限时练2.docx
双基限时练(二)1．命题：“设a，b，c∈R，若ac2>bc2，则a>b”及其逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有()A．3个B．2个C．1个D．0个解析∵ac2>bc2，则a>b为真命题，∴它的逆否命题为真命题．而逆命题“若a>b，则ac2>bc2”为假命题，∴否命题为假命题．因此，真命题有两个．答案 B2．若一个命题p的逆命题是一个假命题，则下列判断一定正确的是()A．命题p是真命题B．命题p的否命题是假命题C．命题p的逆否命题是假命题D．命题p的否命题是真命题答案 B3．“若x，y∈R，且x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题是() A．若x，y∈R，且x2＋y2≠0，则x，y全不为0B．若x，y∈R，且x2＋y2≠0，则x，y不全为0C．若x，y∈R，且x，y全为0，则x2＋y2＝0D．若x，y∈R，且xy≠0，则x2＋y2≠0答案 B4．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”和这个命题互为逆否命题的为()A．若一个数是负数，则它的平方是正数B．若一个数的平方不是正数，则它不是负数C．若一个数的平方是正数，则它是负数D．若一个数不是负数，则它的平方是非负数答案 C5．命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是()A．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠0)在其定义域内是减函数D．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数答案 A6．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是()A．3 B．2C．1 D．0解析∵原命题为真命题，它的逆命题“函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”是假命题．∴逆否命题是真命题，否命题是假命题．答案 C7．命题“若A∪B＝B，则A⊆B”的否命题是________，逆否命题是________．答案若A∪B≠B，则A B若A B，则A∪B≠B8．“若不等式x2＋px＋q>0的解集为R，则p2－4q≤0”的逆命题为________________；否命题为____________________；逆否命题为______________________．答案若p2－4q≤0，则不等式x2＋px＋q>0的解集为R若不等式x2＋px＋q≤0的解集为R，则p2－4q>0若p2－4q>0，则不等式x2＋px＋q≤0的解集为R9．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；③正方形的四条边相等；④圆内接四边形对角互补；⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．答案②和④，③和⑥①和⑥，②和⑤①和③，④和⑤10．命题“若m>0，则2x2＋3x－m＝0有实根”的逆否命题是真命题吗？证明你的结论．解原命题的逆否命题为真命题．∵m>0，∴Δ＝9＋8m>0.∴方程2x2＋3x－m＝0有实根．故原命题为真命题．又原命题与其逆否命题等价．∴命题“若m>0，则2x2＋3x－m＝0有实根”的逆否命题是真命题．11．判断命题“已知a，x∈R，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x ＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．解原命题的逆否命题为：已知a，x∈R，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．判断如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.∵a<1，∴4a－7<0.即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．故逆否命题为真．12．证明：若x2＋y2＝2，则x＋y≤2.证明把命题“若x2＋y2＝2，则x＋y≤2”视为原命题，其逆否命题是“若x＋y>2，则x2＋y2≠2”．∵x＋y>2，则x2＋y2≥(x＋y)22>12×4＝2，∴x2＋y2≠2.∵原命题与其逆否命题等价，又逆否命题为真命题，∴原命题“若x2＋y2＝2，则x＋y≤2”也是真命题．。
【高三】2021届高考数学双基突破训练试题(含答案和解释)
【高三】2021届高考数学双基突破训练试题(含答案和解释)2021届高三一轮“双基突破训练”（详细解析+方法点拨） (4)一、1．若f(x)＝1x的定义域为，g(x)＝x的值域为N，令全集I＝R，则∩N＝( )A．B．NC．∁I D．∁IN【答案】A【解析】由题意知：1x>0⇒x>0，N：x≥0，所以∩N＝.故选择A.2．已知函数y＝f(x)(a≤x≤b)，则集合{(x，y)y＝f(x)，a≤x≤b}∩{(x，y)x＝0}中含有元素的个数为( )A．0 B．1或0C．1 D．1或2【答案】B【解析】＝{(x，y)y＝f(x)，a≤x≤b}表示y＝f(x)在x∈[a，b]时的图像，N＝{(x，y)x＝0}表示y轴，根据函数的定义，至多有一个交点．故选择B.3．用in{a，b}表示a，b两数中的最小值．若函数f(x)＝in{x，x＋t}的图像关于直线x＝－12对称，则t的值为( )A．－2 B．2C．－1 D．1【答案】D【解析】方法1：由图像关于直线x＝－12对称得，－12＝－12＋t，解得t＝0或t＝1，当t＝0时，f(x)＝x，不符合题意，故t＝1，选D.方法2：验证答案，将四个答案分别代入题中，通过数形结合，作出函数y＝x与y＝x＋t的图像，得出函数f(x)的图像，然后由对称性排除A，B，C，故选D.4．已知U＝{yy＝log2x，x>1}，P＝yy＝1x，x>2，则∁UP＝( )A.12，＋∞B.0，12C．(0，＋∞) D．(－∞，0)∪12，＋∞【答案】A【解析】因为函数y＝log2x在定义域内为增函数，故U＝{yy>0}，函数y＝1x在(0，＋∞)内为减函数，故集合P＝y0<y<12，所以∁UP＝yy≥12.故选择A.二、题5．已知f(x)＝3([x]＋3)2－2，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[3.1]＝3，则f(－3.5)＝.【答案】1【解析】∵[－3.5]＝－4，∴f(－3.5)＝3(－4＋3)2－2＝1.6．已知函数f(x＋1)的定义域为[－2,3]，函数f1x＋2的定义域为.【答案】－∞，－13∪12，＋∞.【解析】由题设条件知：－2≤x≤3，∴－1≤x＋1≤4，因此，－1≤1x＋2≤4，解得x≤－13或x≥12.7．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出x123f(x)131x123g(x)321则f[g(1)]的值为；满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是.【答案】1,2【解析】g(1)＝3，f(3)＝1，∴f[g(1)]＝1.x＝1时，f[g(1)]＝1，g[f(1)]＝g(1)＝3，不符合题意．x＝2时，f[g(2)]＝f(2)＝3，g[f(2)]＝g(3)＝1，符合题意．x＝3时，f[g(3)]＝f(1)＝1，g[f(3)]＝g(1)＝3，不符合题意．8．在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“ ”如下：当a≥b时，a b＝a；当a<b时，a b＝b2.则函数f(x)＝(1 x)•x－(2 x)(x∈[－2,2])的最大值等于.(“•”和“－”仍为通常的和减法)【答案】6【解析】当x∈[－2,1]时，f(x)＝1•x－22＝x－4，f(x)ax＝－3；当x∈(1,2]时，f(x)＝x2•x－2＝x3－2，f(x)ax＝6.三、解答题9．已知扇形的周长为10，求此扇形的半径r与面积S的函数关系及其定义域．【解析】设扇形的弧长为L，则有L＝10－2r，得S＝12Lr＝(5－r)•r＝－r2＋5r，又r>0，0<L<2πr，⇒r>0，0<10－2r<2πr，⇒5π＋1<r<5.∴所求函数的解析式为S＝－r2＋5r，其定义域为5π＋1，5.10．已知函数y＝f(x)的定义域A＝{1,2,3，k}，值域B＝{4,7，a4，a2＋3a}(a，k∈N)，对应法则“f：x→y＝3x＋1”(x∈A，y∈B)，能否求出a、k的值，是否可以确定集合A、B.【解析】因为A中的元素1与2的象已经确定，所以首先应确定3的象，求出a值，最后再求k.∵f：x→y＝3x＋1，∴A中的元素1与2的象分别是4和7.设A中元素3的象是a4，则：a4＝3×3＋1＝10，∵a∈N，∴此时a不存在．设3的象是a2＋3a，则有a2＋3a＝3×3＋1＝10，即a2＋3a－10＝0，解得 a＝2，a＝－5∉N(舍去)，当a＝2时，k的象即为a4，即 a4＝3k＋1,16＝3k＋1，∴k＝5.∴a＝2，k＝5，A＝{1,2,3,5}，B＝{4,7,16,10}．11．已知函数φ(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且φ13＝16，φ(1)＝8.(1)求φ(x)的解析式，并指出定义域；(2)求φ(x)的值域．【解析】(1)设f(x)＝ax，g(x)＝bx，a、b为比例常数，则φ(x)＝f(x)＋g(x)＝ax＋bx，由φ13＝16，φ1＝8.得13a＋3b＝16，a＋b＝8.解得a＝3，b＝5.∴φ(x)＝3x＋5x其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)由y＝3x＋5x，得3x2－yx＋5＝0(x≠0)．∵x∈R且x≠0，∴Δ＝y2－60≥0，∴y≥215或y≤－215，∴φ(x)的值域为(－∞，－215]∪[215，＋∞)．12．在边长为4的正方形ABCD的边上有一动点E，如图所示，沿折线BCDA由起点B 向终点A移动，设点E移动的路程为x，△ABE的面积为y.(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)作出函数y＝f(x)的图像．【解析】(1)当点E在BC边上，即0≤x≤4时，S△ABE＝12×4×x＝2x；当点E在CD边上，即4<x≤8时，S△ABE＝12×4×4＝8；当点E在DA边上，即8<x≤12时，S△ABE＝12×4(12－x)＝24－2x.综上y＝f(x)＝2x 0≤x≤48 4<x≤824－2x 8<x≤12 (2)图像如图所示感谢您的阅读，祝您生活愉快。
高中数学人教A版选修2-1双基限时练1.docx
双基限时练(一)1．已知下列语句：①平行四边形不是梯形；②3是无理数；③方程9x 2－1＝0的解是x ＝±13；④3a >a ；⑤2014年8月1日是中国人民解放军建军87周年的日子．其中命题的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析 ①，②，③，⑤是命题，④不是． 答案 C2．若A ，B 是两个集合，则下列命题中的真命题是( ) A ．如果A ⊆B ，那么A ∩B ＝AB ．如果A ∩B ＝A ，那么(∁U A )∩B ＝∅C ．如果A ⊆B ，那么A ∪B ＝AD ．如果A ∪B ＝A ，那么A ⊆B 答案 A 3．有下列命题：①mx 2＋2x －1＝0是一元二次方程；②抛物线y ＝ax 2＋2x －1与x 轴至少有一个交点； ③互相包含的两个集合相等； ④空集是任何集合的子集． 其中真命题的个数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析 ①当m ＝0时为一次方程，②Δ<0时不成立，③是真命题，④是真命题．答案 B4．设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是( )A．若a，b与α所成的角相等，则a∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b答案 D5．下列四个命题：①f(x)＝x－2＋1－x；②函数是定义域到值域的映射；③函数y＝2x(x∈N)的图象是一些孤立的点；④已知a，b，c成等比数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列．其中错误的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析因为①中f(x)的定义域为∅，所以它不是函数，故①错；②正确；③正确；④错误，因为当a，b，c中有负数时，log2a，log2b，log2c不一定有意义．因此选B.答案 B6．命题“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根”，条件p：________，结论q：________；是________(填“真”或“假”)命题．答案 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 有两个不相等的实数根 假7．给出下列语句： ①菱形是平行四边形； ②一个整数不是奇数就是偶数； ③证明方程x 2＋x ＋1＝0没有实数根； ④5比3大吗？⑤若a ＋b 为有理数，则a ，b 都是有理数； ⑥全校的学生和老师．则其中是命题的语句是________，是假命题的语句是________． 答案 ①②⑤ ⑤8．给出下列命题：①在△ABC 中，若AB →·CA →＞0，则∠A 是锐角；②函数y ＝x 3在R 上既是奇函数又是增函数；③不等式x 2－4ax ＋3a 2<0的解集为{x |a <x <3a }；④函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 至多有一个交点．其中真命题的序号是________．解析 ①由向量夹角和向量的数量积的定义，AB →·CA →>0，知AB →和CA →的夹角为锐角，则∠A 是钝角；②正确；③∵a 与3a 的大小不确定，∴不等式x 2－4ax ＋3a 2<0的解集不一定是{x |a <x <3a }；④由函数的定义知，当x ＝a 时，函数y ＝f (x )最多有一个函数值，所以函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 至多有一个交点．答案 ②④ 9．下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形； ②若xy ＝0，则|x |＋|y |＝0；③若a >b ，则ac 2>bc 2； ④矩形的对角线互相垂直． 其中假命题的个数是________． 答案 410．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵ax 2－2ax －3>0不成立，∴ax 2－2ax －3≤0恒成立． 当a ＝0时，恒成立；当a ≠0时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0.解得－3≤a <0. 综上知，－3≤a ≤0. 答案 [－3,0]11．设P ：关于x 的不等式a x >1的解集是{x |x <0}，Q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，如果P 和Q 有且仅有一个正确，求a 的取值范围．解 若P 真，则0<a <1，若P 假，则a ≥1，或a ≤0.又若Q 真，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－4a 2<0⇒a >12.若Q 假，a ≤12，又P 和Q 有且仅有一个正确，当P 真Q 假时，0<a ≤12.当P 假Q 真时，a ≥1，故综上所述得a ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)．12．已知A ：5x －1>a ；B ：x >1.请选择适当的实数a ，使得利用A ，B 构造的命题“若p ，则q ”是真命题．解 若视A 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若x >1＋a5，则x >1”．由命题为真命题知1＋a5≥1，即a ≥4；若视B 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若x >1，则x >1＋a5”．由命题为真命题知，1＋a5≤1，即a ≤4.故a 任取一个实数均可利用A ，B 构造出一个真命题．比如取a ＝1，则有真命题“若x >1，则x >25”．。
人教A版数学必修一双基限时练21.docx
双基限时练(二十一)1．函数y ＝x 3－64x 的零点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析 解方程x 3－64x ＝0知有3个根，∴函数有3个零点． 答案 D2．若函数y ＝f (x )在区间(－2,2)上的图象是连续的，且方程f (x )＝0在(－2,2)上仅有一个实根0，则f (－1)·f (1)的值( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．无法判断答案 D3．函数f (x )＝x ＋lg x －3的零点所在的大致区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52C.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，3 D.⎝⎛⎭⎪⎫3，72解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝32＋lg 32－3＝lg 32－32<0，f (2)＝2＋lg2－3＝lg2－1<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝52＋lg 52－3＝lg 52－12<0，f (3)＝3＋lg3－3＝lg3>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝72＋lg 72－3＝12＋lg 72>0， 又f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数，故选C. 答案 C4．设f (x )＝x 3＋bx ＋c 定义域是[－2,2]，且f (－1)f (1)<0，则方程x 3＋bx ＋c ＝0在[－2,2]内( )A ．有唯一的实数根B ．有两个实数根C ．有3个实数根D ．至少有一个实数根答案 D5．已知函数f (x )＝log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值( )A ．恒为负B ．等于零C ．恒为正D ．不小于零解析 因为x 0是方程f (x )＝0的解，所以f (x 0)＝0，又因为函数f (x )＝log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(0，＋∞)为增函数，且0<x 1<x 0，所以有f (x 1)<f (x 0)＝0.答案 A6．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )－2，并且α，β是方程f (x )＝0的两根，则a ，b ，α，β的大小关系可能是( )A ．a <α<b <βB ．α<a <β<bC ．α<a <b <βD ．a <α<β<b解析 f (a )＝－2，f (b )＝－2，而f (α)＝f (β)＝0，如图所示，所以a ，b ，α，β的大小关系有可能是α<a <b <β，故选C.答案 C7．函数f(x)＝ln x－x2＋2x＋5的零点个数为________．解析令ln x－x2＋2x＋5＝0得ln x＝x2－2x－5，画图可得函数y＝ln x与函数y＝x2－2x－5的图象有2个交点，即函数f(x)的零点个数为2.答案 28．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下x，f(x)的对应值表：解析观察对应值表可知：在区间(－1.5，－1)，(0,0.5)上和x＝1处各有一个零点，所以至少有3个零点．答案 39．若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)上恰有一个零点，则a的取值范围是________．解析∵f(x)＝0在(0,1)上恰有一个解，有下面两种情况：①f (0)·f (1)<0或②⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝0，且其解在(0,1)上，由①得(－1)(2a －2)<0，∴a >1， 由②得1＋8a ＝0，即a ＝－18，∴方程－14x 2－x －1＝0，∴x 2＋4x ＋4＝0，即x ＝－2∉(0,1)应舍去，综上得a >1. 答案 a >110．设x 0是方程ln x ＋x ＝4的根，且x 0∈(k ，k ＋1)，求正整数k .解 设f (x )＝ln x ＋x －4，则x 0是其零点，f (1)＝ln1＋1－4<0，f (2)＝ln2＋2－4<ln e －2<0，f (3)＝ln 3＋3－4>ln e －1＝0，f (2)·f (3)<0，故x 0∈(2,3)，∴k ＝2.11．求证：方程5x 2－7x －1＝0的一根在区间(－1,0)，另一个根在区间(1,2)上．证明 设f (x )＝5x 2－7x －1，则f (－1)＝5＋7－1＝11，f (0)＝－1，f (1)＝5－7－1＝－3，f (2)＝20－14－1＝5.∵f (－1)·f (0)＝－11<0，f (1)·f (2)＝－15<0，且f (x )＝5x 2－7x －1在R 上是连续不断的，∴f (x )在(－1,0)和(1,2)上分别有零点，即方程5x 2－7x －1＝0的根一个在区间(－1,0)上，另一个在区间(1,2)上．12．已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x .(1)写出函数y ＝f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求a 的取值范围． 解 (1)当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， ∵y ＝f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ， x ≥0，－x 2－2x ， x <0.(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，最小值为－1；∴当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x 2－2x ＝1－(x ＋1)2，最大值为1.∴据此可作出函数y ＝f (x )的图象，如图所示，根据图象得，若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，则a 的取值范围是(－1,1)．。
人教B版高中数学必修一双基限时练21指数函数的图象和性质.docx
双基限时练(二十一) 指数函数的图象和性质基 础 强 化1．函数f (x )＝2x －1－x 2的零点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析 在同一坐标系中作出y ＝2x －1和y ＝x 2的图象，可以观察得出它们有三个交点，故f (x )的零点个数为3.答案 C2．定义运算：a ·b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，(a ≤b )，b ，(a >b )，则函数f (x )＝1·2x 的图象大致为( )解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，(x ≥0)，2x ，(x <0)，故选A.答案 A3．函数y ＝36－x －x 2的单调减区间为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，2 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－3，－12 解析 ∵y ＝3t在R 上单调递增，t ＝6－x －x 2在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递减，∴y ＝36－x －x 2在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递减． 答案 C4．设a >0，f (x )＝e x a ＋ae x 是R 上的偶函数，则a 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析 f (x )＝1a e x＋a e －x ， f (－x )＝1a e －x＋a e x ，∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴1a ＝a . ∵a >0，∴a ＝1. 答案 C5．函数f (x )＝2x －12x ＋1的图象关于________对称．( )A ．x 轴B ．y 轴C ．原点D ．y ＝x解析 f (－x )＝2－x －12－x ＋1＝1－2x 1＋2x ＝－2x －12x ＋1＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，故它的图象关于原点对称． 答案 C6．已知函数f (x )＝(x －a )·(x －b )(其中a >b )的图象如图所示，则函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x＋b 的图象是( )解析 由f (x )＝(x －a )·(x －b )(a >b )的图象可知，a >1，－1<b <0，于是0<1a <1.故g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋b 的图象可以理解为由函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 的图象向下平移|b |个单位长度所得，再结合0<1a <1及过定点(0,1＋b )，且1＋b >0，可知选A.答案 A7．(1)若0.2m >1>0.2n ，则________>0>________(填m 或n )．(2)若⎝ ⎛⎭⎪⎫14x <23x ＋1，则x 的取值范围是________．解析 (1)由0.2m >1＝0.20>0.2n ，得n >0>m .(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＝2－2x <23x ＋1，∴3x ＋1>－2x ，x >－15. 答案 (1)n m (2)x >－158．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(4－3a )x，(x ≤1)，x 2＋2(1－a )x ＋2，(x >1)在R 上是增函数，则a 的取值范围是________．解析⎩⎪⎨⎪⎧4－3a >1，a －1≤1，4－3a ≤1＋2(1－a )＋2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <1，a ≤2，a ≥－1，∴－1≤a <1. 答案 －1≤a <1能 力 提 升9．奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －2，且g (1)＝a2，则f (2a )等于________．解析 f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， ∴f (－x )＋g (－x )＝a －x －2. ∴－f (x )＋g (x )＝a －x －2. 又∵f (x )＋g (x )＝a x －2，∴f (x )＝a x －a －x 2，g (x )＝a x ＋a －x －42. g (1)＝a ＋a －1－42＝a 2，∴a ＝14.答案 －3410．画出函数y ＝2|x |的图象，其图象有什么特征？根据图象指出其值域和单调区间．解 当x ≥0时，y ＝2|x |＝2x ；当x <0时，y ＝2|x |＝2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .∴函数y ＝2|x |的图象如图所示．由图象可知，y ＝2|x |的图象关于y 轴对称，且值域是[1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0]，单调递增区间是[0，＋∞)．11．已知a >0，且a ≠1，f (x )＝x 2－a x，当x ∈(－1,1)时均有f (x )≤12，求实数a 的取值范围．解 x 2－a x≤12在(－1,1)上恒成立．即x 2－12≤a x 在(－1,1)上恒成立．作y ＝x 2－12，x ∈(－1,1)，y ＝a x ，x ∈(－1,1)的图象，如图所示．∴⎩⎨⎧0<a <1，a ≥12，或⎩⎨⎧a >1，a －1≥12，∴12≤a <1，或1<a ≤2.12．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋2是奇函数，(1)求b 的值；(2)判断函数f (x )的单调性；(3)若对于任意t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求实数k 的取值范围．解 (1)∵f (x )是R 上的奇函数， ∴f (0)＝0.∴b －14＝0，∴b ＝1.经检验，b ＝1满足f (x )是奇函数，∴b ＝1. (2)f (x )＝1－2x 2x ＋1＋2＝12x ＋1－12.∵y ＝2x 在R 上单调递增， ∴f (x )在R 上单调递减．(3)∵f (x )是R 上的奇函数，且在R 上单调递减， ∴f (t 2－2t )<f (k －2t 2)． ∴t 2－2t >k －2t 2.∴k <3t 2－2t 对一切t ∈R 恒成立．∵3t 2－2t ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132－13≥－13，∴k <－13.品 味 高 考13．已知x 0是函数f (x )＝2x ＋11－x 的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析 由于y ＝2x与y ＝11－x在(1，＋∞)上是增函数，且f (x 0)＝0，根据草图易得，f (x 1)<0，f (x 2)>0.答案 B。
高中数学人教A版选修2-1双基限时练21
双基限时练(二十一)1．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α法向量的是( )A．(0，－3,1) B．(2,0,1)C．(－2，－3,1) D．(－2,3，－1)答案 D2．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝( )A．2 B．－4C．4 D．－2答案 C3．若平面α与平面β的法向量分别是a＝(4,0，－2)，与b＝(1,0,2)，则平面α与平面β的位置关系是( )A．平行B．垂直C．相交不垂直D．无法判定答案 B4．若直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角为150°，则l 1与l 2这两条异面直线所成的角等于( )A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．以上均错答案 A5．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l 与平面α所成的角等于( )A ．120°B ．60°C ．30°D ．以上均错 解析 如图所示，易知直线l 与平面α所成的角为30°.答案 C6．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( )A.⎝⎛⎭⎪⎪⎫33，33，－33 B.⎝⎛⎭⎪⎪⎫33，－33，33 C.⎝⎛⎭⎪⎪⎫－33，33，33 D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫－33，－33，－33 解析 ∵AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1)，结合选项，验证知应选D.答案 D7．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，则平面ACB 1的一个法向量为__________．解析 建立空间直角坐标系，如图所示，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，B 1(1,1,1)，∴AC →＝(－1,1,0)， AB 1→＝(0,1,1)．设平面ACB 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则由n ⊥AC →，n ⊥AB 1→，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，y ＋z ＝0，令x ＝1，得n ＝(1,1，－1)．答案 (1,1，－1)8．若两个平面α，β的法向量分别等于u ＝(1,0,1)，v ＝(－1,1,0)则这两个平面所成的锐二面角的度数是____________________．解析 ∵a ＝(1,0,1)，v ＝(－1,1,0)， ∴|u |＝2，|v |＝2，u ·v ＝－1.∴cos 〈u ·v 〉＝－12.∴〈u ，v 〉＝120°，故两平面所成的锐二面角为60°. 答案 60°9．已知直线l 1的一个方向向量为v 1＝(1，－1,2)，直线l 2的一个方向向量为v 2＝(3，－3,0)，则两直线所成角的余弦值为________．解析 cos 〈v 1，v 2〉＝v 1·v 2|v 1|·|v 2|＝3＋36·18＝33.答案3310．给定下列命题：①若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则n 1∥n 2⇔α∥β； ②若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n 1·n 2＝0； ③若n 是平面α的法向量，且向量a 与平面α共面，则a ·n ＝0； ④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直． 其中正确命题的序号是________． 答案 ①③④11．设a ，b 分别是直线l 1和l 2的方向向量，根据下列条件判断l 1与l 2的位置关系．(1)a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)； (2)a ＝(5,0,2)，b ＝(0,4,0)； (3)a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)．解 (1)∵a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)，∴a ＝－13b ，∴a ∥b ，∴l 1∥l 2.(2)∵a ＝(5,0,2)，b ＝(0,4,0)，∴a ·b ＝0，∴a ⊥b ，∴l 1⊥l 2.(3)∵a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)， ∴a 与b 不共线，也不垂直， ∴l 1与l 2的位置关系是相交或异面．12．设u ，v 分别是平面α，β的法向量，根据下列条件判断α，β的位置关系．(1)u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝⎛⎭⎪⎫3，2，－12；(2)u ＝(0,3,0)，v ＝(0，－5,0)； (3)u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)．解 (1)∵u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝⎛⎭⎪⎫3，2，－12，∴u ·v ＝3－2－1＝0. ∴u ⊥v ，∴α⊥β.(2)∵u ＝(0,3,0)，v ＝(0，－5,0)， ∴u ＝－35v ，∴u ∥v ，∴α∥β.(3)∵u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)， ∴u 与v 既不共线，也不垂直， ∴平面α与β相交(不垂直)．13．设u 是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，根据下列条件判断α与l 的关系．(1)u ＝(2,2，－1)，a ＝(－3,4,2)； (2)u ＝(0,2，－3)，a ＝(0，－8,12)； (3)u ＝(4,1,5)，a ＝(2，－1,0)．解 (1)∵u ＝(2,2，－1)，a ＝(－3,4,2)， ∴u ·a ＝－6＋8－2＝0.∴u ⊥a .∴直线l 与平面α的位置关系是l ⊂α或l ∥α. (2)∵u ＝(0,2，－3)，a ＝(0，－8,12)， ∴u ＝－14a .∴u ∥a ，∴l ⊥α.(3)∵u ＝(4,1,5)，a ＝(2，－1,0)， ∴u 与a 不共线也不垂直． ∴l 与α相交(斜交)．14．若直线a 和b 是两条异面直线，它们的方向向量分别是(1,1,1)，和(2，－3，－2)，求直线a 和b 的公垂线的一个方向向量．解 设直线a 与b 的公垂线的一个方向向量为n ＝(x ，y ，z )， 则n ⊥(1,1,1)，n ⊥(2，－3，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝0，2x －3y －2z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－15zy ＝－45z ，令z ＝－5，得x ＝1，y ＝4，故直线a 和b 的公垂线的一个法向量为(1,4，－5)．。
北师大版高中数学必修二双基限时练21
双基限时练(二十一)一、选择题1．两直线2x＋y－a＝0与x－2y＋b＝0的位置关系是( ) A．垂直B．平行C．重合D．以上都不对解析2x＋y－a＝0的斜率k1＝－2，x－2y＋b＝0的斜率k2＝12，∵k1k2＝－1，故选A.答案A2．已知直线x＋my＋1＝0与直线m2x－2y－1＝0互相垂直，则实数m为( )A．3 2 B．0或2C．2 D．0或3 2解析由题意，得1·m2＋m(－2)＝0，得m＝0，或m＝2.答案B3．点M(1,2)在直线l上的射影是H(－1,4)，则直线l的方程为( )A．x－y＋5＝0 B．x－y－3＝0 C．x＋y－5＝0 D．x－y＋1＝0解析k MH＝4－2－1－1＝－1，∴直线l的方程为y－4＝x＋1，即x－y＋5＝0.答案A4．若A(－4,2)，B(6，－4)，C(12,6)，D(2,12)，下面结论正确的个数是( )①AB∥CD；②AB⊥AD；③AC⊥BD；④AC∥BD.A．1个B．2个C．3个D．4个解析∵k AB＝2－(－4)－4－6＝－35，k CD＝12－62－12＝－35，∴AB∥CD.又k AD＝12－22－(－4)＝53，k AD k AB＝－1，∴AB⊥AD，故①②正确．又k AC＝6－212－(－4)＝14，k BD＝12－(－4)2－6＝－4，k AC k BD＝－1.∴AC⊥BD，故③正确．答案C5．直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l 的方程为( )A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y－7＝0C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0解析 设所求的直线方程为3x ＋2y ＋c ＝0，由题意得－3＋4＋c ＝0，∴c ＝－1，∴直线l 的方程为3x ＋2y －1＝0.答案 A6．已知直线l 的倾斜角为135°，直线l 1经过A(3,2)，B(a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与l 1平行，则a ＋b 等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2解析 ∵k l ＝tan 135°＝－1，又l 1⊥l 2， ∴kl 1＝2－(－1)3－a ＝1，得a ＝0.又l 2与l 1平行， ∴－2b ＝1，得b ＝－2.∴a ＋b ＝－2. 答案 B 二、填空题7．经过点(m,2)与(2,3)的直线与斜率为－2的直线垂直，则m 的值为________．解析 由题意，得3－22－m ＝12，得2＝2－m ，m ＝0. 答案 08．直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝________；若l 1∥l 2，则b ＝________.解析 由l 1⊥l 2，得k 1k 2＝－1，即－b2＝－1，得b ＝2，当l 1∥l 2时，方程有两个相等的实根，即Δ＝9＋8b ＝0，得b ＝－98.答案 2 －989．若点A(1,3)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点B(－2,1)，则k ＋b ＝________.解析 k AB ＝3－11－(－2)＝23，故k ＝－32，AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2在y ＝kx ＋b 上．∴2＝－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋b ，b ＝54. 故k ＋b ＝54－32＝－14.答案 －14三、解答题10．已知A(1,2)，B(3,1)，求线段AB 的垂直平分线的方程．解 ∵AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，2＋12，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32.又k AB ＝1－23－1＝－12，又l ⊥AB ，∴k c ＝2. ∴AB 的垂直平分线的方程为y －32＝2(x －2)，即4x －2y －5＝0.11．如图在平行四边形ABCO 中，点C(1,3)．(1)求OC 所在直线的斜率；(2)过点C 作CD ⊥AB 于点D ，求CD 所在的直线方程．解 (1)k OC ＝3－01－0＝3.(2)∵ABCD 为平行四边形， ∴k AB ＝3.∵CD ⊥AB ，∴k CD ＝－13.由点斜式，得y －3＝－13(x －1)，即x ＋3y －10＝0，即CD 所在直线的方程为x ＋3y －10＝0.12．已知△ABC 三个顶点坐标分别为A(－2，－4)，B(6,6)，C(0,6)，求此三角形三条高所在的直线方程．解 由斜率公式k AB ＝6－(－4)6－(－2)＝108＝54，k BC ＝6－60－6＝0，k AC ＝6－(－4)0－(－2)＝5，∴AB 边上的高所在的直线的斜率k 1＝－45，由点斜式，得AB 边上的高所在的直线方程为y －6＝－45(x －0)，即4x ＋5y －30＝0，同理得AC 边上的高所在的直线方程为x ＋5y －36＝0，BC 边上的高所在的直线方程为x ＝－2.思维探究13．△ABC 的顶点A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC 为直角三角形，求m 的值．解 若∠A 为直角，则AC ⊥AB ，所以k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5·1＋11－5＝－1，得m ＝－7；若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，所以k AB ·k BC ＝－1， 即1＋11－5·m －12－1＝－1，得m ＝3； 若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1， 即m ＋12－5·m －12－1＝－1，得m ＝±2. 综上可知，m ＝－7或m ＝3或m ＝±2.。
双新双基课课练数学电子版
双新双基课课练数学电子版1、45．下列运算正确的是（）[单选题] *A．（5﹣m）（5+m）＝m2﹣25B．（1﹣3m）（1+3m）＝1﹣3m2C．（﹣4﹣3n）（﹣4+3n）＝﹣9n2+16(正确答案)D．（2ab﹣n）（2ab+n）＝4ab2﹣n22、12．下列说法正确的是（）[单选题] *A．一个数前面加上“–”号这个数就是负数B．非负数就是正数C．0既不是正数，也不是负数(正确答案)D．正数和负数统称为有理数3、6.若x是- 3的相反数，|y| = 5，则x + y的值为（）[单选题] *A.2B.8C. - 8或2D.8或- 2(正确答案)4、直线2x-y=1的斜率为（）[单选题] *A、1B、2(正确答案)C、3D、45、12. 在平面直角坐标系中，一只电子狗从原点O出发，按向上→向右→向下→向下→向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图所示，则A3020的坐标为（）[单选题] *A、(1007，1)(正确答案)B、(1007，-1)C、(504，1)D、(504，-1)6、计算(－a)?·a的结果是( ) [单选题] *A. －a?B. a?(正确答案)C. －a?D. a?7、在0°~360°范围中，与645°终边相同的角是（）[单选题] *285°(正确答案)-75°295°75°8、7．把点平移到点，平移方式正确的为（）[单选题] * A．先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度B．先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度C．先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度D．先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度(正确答案) 9、二次函数y=3x2-4x+5的一次项系数是（）。
[单选题] *34(正确答案)5110、8. 估计√13?的值在() [单选题] *A、1和2之间B、2和3之间C、3和4之间(正确答案)D、4和5之间11、x3可以表示为（）[单选题] *A. 3xB. x+x+xC. x·x·x(正确答案)D. x+312、下列计算正确的是( ) [单选题] *A. (－a)·(－a)2·(－a)3＝－a?B. (－a)·(－a)3·(－a)?＝－a?C. (－a)·(－a)2·(－a)?＝a?D. (－a)·(－a)?·a＝－a?(正确答案)13、函数y=cosx与y=arcsinx都是（）[单选题] *A、有界函数(正确答案)B、有界函数C、奇函数D、单调函数14、已知2x=8,2y=4,则2x+y=（）[单选题] *A 、32(正确答案)B 、33C、16D、415、1．如果点M（a＋3，a＋1）在直角坐标系的x轴上，那么点M的坐标为（）[单选题] *A．（0，－2）B．（2，0）(正确答案)C．（4，0）D．（0，－4）16、下列各角中，是界限角的是（）[单选题] *A. 1200°B. -1140°C. -1350°(正确答案)D. 1850°17、下列计算正确是（）[单选题] *A. 3x﹣2x=1B. 3x+2x=5x2C. 3x?2x=6xD. 3x﹣2x=x(正确答案)18、两数之和为负数，则这两个数可能是? [单选题] *A.都是负数B.0和负数(正确答案)C.一个正数与一个负数D.一正一负或同为负数或0和负数19、21.|x|>3表示的区间是（）[单选题] *A.（-∞，3）B.(-3,3)C. [-3,3]D. （-∞，-3）∪（3，+ ∞）(正确答案)20、计算的结果是( ) [单选题] *A. -p2?(正确答案)B. p2?C. -p1?D. p1?21、4．已知第二象限的点P(－4，1)，那么点P到x轴的距离为( ) [单选题] *A．1(正确答案)B．4C．－3D．322、下列各式：①(x-2y)(2y+x)；②(x-2y)(-x-2y)；③(-x-2y)(x+2y)；④(x-2y)(-x+2y).其中能用平方差公式计算的是（）[单选题] *A. ①②(正确答案)B. ①③C. ②③D. ②④23、已知二次函数f（x）=2x2-x+2，那么f（2）的值为（）。
高中数学人教B版必修4：双基限时练(31份打包)双基限时练10
双基限时练(十)基 础 强 化1．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－54，－1] C ．[－54，1]D ．[－1，54]解析 令sin x ＝t ，t ∈[－1,1]，∴y ＝t 2＋t －1，t ∈[－1,1]，其对称轴为t ＝－12∈[－1,1]，∴当t ＝－12时，y min ＝－54，当t ＝1时，y max ＝1，∴y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1. 答案 C2．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2解析 ∵T ＝π，∴ω＝2，故排除C 、D.A 中y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2可化简为y＝cos2x ，满足在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递减．答案 A3．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2图象的一条对称轴是( )A ．x ＝－π4 B ．x ＝－π2 C ．x ＝π8D ．x ＝5π4解析 y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的对称轴是2x ＋π2＝k π＋π2(k ∈Z )，∴2x ＝k π，x ＝k π2. 当k ＝－1时，x ＝－π2. 答案 B4．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6的图象的两条相邻对称轴间的距离为( )A.π8 B.π4 C.π2D ．π解析 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6的最小正周期为π2，相邻的两条对称轴间的距离为半个周期，即为π4.答案 B5．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期为2π，则该函数的图象( )A ．关于直线x ＝－π6对称B ．关于点⎝⎛⎭⎪⎫－π6，0对称C ．关于直线x ＝－π3对称D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称解析 ∵f (x )的最小正周期为2π，∴ω＝1.∵y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，对称中心为其图象与x 轴的交点．∴通过代入验证可知B 正确． 答案 B6．给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称，则下列四个函数中，同时具有性质①、②的是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6D ．y ＝sin|x |解析 注意到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期T ＝2π2＝π，当x ＝π3时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝1，因此该函数同时具有性质①、②，选B.答案 B函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为________．解析 函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的ω＝2，故最小正周期T ＝2πω＝2π2＝π. 答案 π8．三角函数值sin1，sin2，sin3的大小顺序是________． 解析 ∵sin2＝sin(π－2)，sin3＝sin(π－3)， 且0<π－3<1<π－2<π2，函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，∴sin(π－2)>sin1>sin(π－3)>0， 即sin2>sin1>sin3. 答案 sin2>sin1>sin3能 力 提 升9．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的值域为________．解析 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，∴－π4≤3x －π4≤3π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1.∴y ∈[－2，2]．答案 [－2，2]10．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )的最大值及f (x )最大时x 的集合． 解析 (1)由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π，k ∈Z . 由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π，k ∈Z . ∴f (x )的单调递增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z )，递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z )．(2)当2x －π4＝π2＋2k π，k ∈Z 时， f (x )取最大值1.此时x ＝3π8＋k π，k ∈Z ，即f (x )最大时x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝3π8＋k π，k ∈Z .11．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，x ∈R ， (1)求f (0)的值．(2)试求使不等式f (x )>1成立的x 的取值范围．解析 (1)f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－2sin π6＝－1.(2)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6>1.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6>12.∴2k π＋π6<13x －π6<2k π＋56π，k ∈Z . ∴6k π＋π<x <6k π＋3π，k ∈Z ， 故满足不等式f (x )>1的x 的集合为 {x |6k π＋π<x <6k π＋3π，k ∈Z }．12．已知函数f (x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b ，a ＞0. (1)写出函数f (x )的单调递减区间；(2)设x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (x )的最小值－2，最大值为3，求实数a ，b 的值． 解析 (1)2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ， ∴k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z .∴f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z )．(2)∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3. ∴－32≤sin(2x －π3)≤1，∵a >0.∴f (x )min ＝－32a ＋b ＝－2，f (x )max ＝a ＋b ＝ 3. ∴a ＝2，b ＝－2＋ 3.品 味 高 考13．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值是( )A ．－1B ．－22 C.22D ．0解析 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4.∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1 即函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最小值为－22.答案 B。
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双基限时练(二十一)
1．已知a ＝(－3,4)，b ＝(5,2)，则a ·b ＝( ) A ．23 B ．7 C ．－23
D ．－7
解析 a ·b ＝－3×5＋4×2＝－7，故选D. 答案 D
2．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )．若a·b ＝1，则x ＝( ) A ．－1 B ．－12 C.12
D ．1
解析 由a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )可得a·b ＝2－x ＝1，故x ＝1. 答案 D
3．若非零向量a ，b ，满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( )
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
答案 C
4．已知A ，B ，C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1,2)，B (4,1)，C (0，－1)，则△ABC 的形状为( )
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．以上均不正确 解析 AB →＝(3，－1)，AC →＝(－1，－3)，BC →
＝(－4，－2)， ∴|AB →|＝10，|AC →|＝10，|BC →
|＝20.
∴|AB →|＝|AC →|，且|AB →|2＋|AC →|2
＝|BC →
|2＝20. ∴△ABC 为等腰直角三角形，应选C. 答案 C
5．已知a ＝(0,1)，b ＝(33，x )，向量a 与b 的夹角为π
3，则x 的值为( )
A ．±3
B ．±3
C ．±9
D ．3
解析 cos π3＝a ·b |a |·|b |＝x 27＋x
2， ∴2x ＝27＋x 2，且x >0，∴3x 2＝27，∴x ＝3. 答案 D
6．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)，若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－7
3，－79 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫73，79 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－7
9，－73 解析 不妨设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)，
对于(c ＋a )∥b ，则有－3(1＋m )＝2(2＋n )． 又c ⊥(a ＋b )，则有3m －n ＝0， ∴m ＝－79，n ＝－7
3. 答案 D
7．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,2)，若(a －c )⊥b ，则k ＝________.
解析∵a＝(3,1)，c＝(k,2)，
∴a－c＝(3－k，－1)．
又b＝(1,3)，且(a－c)⊥b，
∴(a－c)·b＝0，
即1×(3－k)＋(－1)×3＝0.
∴k＝0，故应填0.
答案0
8．已知向量a＝(1，－2)，b＝(2，λ)，且a与b夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．
解析a·b＝2－2λ，|a|＝5，|b|＝4＋λ2，由a与b的夹角为锐
角，得a·b
|a||b|＝
2－2λ
5·4＋λ2
>0，即2－2λ>0，
∴λ<1.
当
2－2λ
5·4＋λ2
＝1时，解得λ＝－4，此时a与b夹角为0°，不合
题意．
∴λ≠－4.故λ的取值范围是(－∞，－4)∪(－4,1)．
答案(－∞，－4)∪(－4,1)
9．已知向量a＝(x，y)，b＝(－1,2)，且a＋b＝(1,3)，则|a－2b|等于________．
解析a＋b＝(x－1，y＋2)＝(1,3)，
∴x＝2，y＝1，∴a＝(2,1)．
又|a|＝5，|b|＝5，a·b＝0，
∴|a－2b|2＝|a|2－4a·b＋4|b|2＝25.
∴|a－2b|＝5.
答案 5
10．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b ·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________．(用数字作答)
解析 由题意知|a |＝1，设a 与b 的夹角为θ，则 b ·(a －b )＝b ·a －b 2＝0， ∴b 2＝b ·a ，∴|b |2＝|a ||b |cos θ.
∴|b |(|b |－cos θ)＝0，∴|b |＝0，或|b |＝cos θ. ∵θ∈[0，π]，∴|b |∈[0,1]． 答案 [0,1]
11．已知点A (－1,1)，点B (1,2)，若点C 在直线y ＝3x 上，且AB →⊥BC →
.求点C 的坐标．
解 设C (x,3x )，则AB →＝(2,1)，BC →
＝(x －1,3x －2)， 所以2(x －1)＋3x －2＝0，
所以x ＝4
5，所以C ⎝
⎛⎭
⎪⎫45，125.
12.已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，－3)． (1)若λa －2b 与a 垂直，求λ的值； (2)若a －2k b 与a ＋b 平行，求k 的值． 解 (1)∵a ＝(1,1)，b ＝(2，－3)，
∴λa －2b ＝(λ，λ)－(4，－6)＝(λ－4，λ＋6)． ∵(λa －2b )⊥a ，∴(λa －2b )·a ＝0， ∴λ－4＋λ＋6＝0，∴λ＝－1.
(2)∵a －2k b ＝(1,1)－(4k ，－6k )＝(1－4k,1＋6k )， a ＋b ＝(3，－2)，且(a －2k b )∥(a ＋b )， ∴－2(1－4k )－3(1＋6k )＝0，
∴k ＝－1
2.
13．已知点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)． (1)求证：AB ⊥AD ；
(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标，并求矩形ABCD 两对角线所夹的锐角的余弦值．
解 (1)∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB →＝(1,1)，AD →
＝(－3,3)， 由AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， 得AB →⊥AD →
.∴AB ⊥AD .
(2)∵AB ⊥AD ，四边形ABCD 为矩形，∴AB →＝DC →
.设点C 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(x ＋1，y －4)，又AB →
＝(1,1)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，y ＝5，
∴C (0,5)． 从而AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，且|AC →
|＝25， |BD →|＝25，AC →·BD →＝8＋8＝16. 设〈AC →，BD →
〉＝θ， 则cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|
＝1620＝4
5.
∴矩形ABCD 两条对角线所夹的锐角的余弦值为4
5.。