代数、几何综合题

代数、几何综合题

1、（2005年）已知：OE 是⊙E 的半径，以OE 为直径的⊙D 与⊙E 的弦OA 相交于点B ，在如图9所示的直角坐标系中，⊙E 交y 轴于点C ，连结BE AC 、．

（至少写出四种不同类型的结论）；

（2若线段BE OB 、的长是关于x 的方程2(1)0x m x m -++=的两根，且OB BE <，2OE =，求以E 点为顶点且经过点B 的抛物线的解析式；

（３）该抛物线上是否存有点P ，使得PBE △是以BE 为直角边的直角三角形？若存有，求出点P 的坐标；若不存有，说明其理由．

E

2、（2006年）已知：AC 是⊙O ’的直径，点A 、B 、C 、O 在⊙O ’上OA =2。建立如图所示的直角坐标系。∠ACO =∠ACB =60°。 (1)求点B 关于x 轴对称的点D 的坐标； (2)求经过三点A 、B 、O 的二次函数的解析式；

(3)该抛物线上是否存有在点P ，使四边形P ABO 为梯形？

若存有，请求出P 点的坐标；若不存有，请说明理由。

3、（2007年）如图，在平面直角坐标系中，以点C(0，4)为圆心，半径为4的圆交y 轴正半轴于点A ，AB 是⊙C 的切线．动点P 从点A 开始沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q 从O

点开(第26题图) 图

9

始沿x 轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P 、Q 从点A 和点O 同时出发，设运动时间为t (秒)．

(1)当t ＝1时，得到P 1、Q 1两点，求经过A 、P 1、Q 1三点的抛物线解析式及对称轴l ；

(2)当t 为何值时，直线PQ 与⊙C 相切？并写出此时点P 和点Q 的坐标；

(3)在(2)的条件下，抛物线对称轴l 上存有一点N ，使NP ＋NQ 最小，求出点N 的坐标并说明理由．

4、（2008年）如图15，四边形OABC 是矩形，4OA =，8OC =，将矩形OABC 沿直线AC 折叠，使点B 落在D 处，AD 交OC 于E ．

（1）求OE 的长；

（2）求过O D C ，，三点抛物线的解析式；

（3）若F 为过O D C ，，三点抛物线的顶点，一动点P 从点A 出发，沿射线AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当运动时间t （秒）为何值时，直线PF 把FAC △分成面积之比为1:3的两部分？

5、（2009年）如图13，在梯形ABCD 中，24AD BC AD BC ==∥，，，点M 是AD 的中点，MBC △是等边三角形．

(第26题图) A B C

x O y l

P P 1 Q Q 1

（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；

（2）动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且60MPQ =︒∠保持不变．设PC x MQ y ==，，

求y 与x 的函数关系式；

（3）在（2）中：①当动点P 、Q 运动到何处时，以点P 、M 和点A 、B 、C 、D 中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数；

②当y 取最小值时，判断PQC △的形状，并说明理由．

6、（2010年）(本小题满分12分)如图，四边形ABCO 是平行四边形，AB=4，OB=2，抛物线过A 、B 、C 三点，与x 轴交于另一点D ．一动点P 以每秒1个单位长度的速度从B 点出发沿BA 向点A 运动，运动到点A 停止，同时一动点Q 从点D 出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC 向点C 运动，与点P 同时停止．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若抛物线的对称轴与AB 交于点E ，与x 轴交于点F ，当点P 运动时间t 为何值时，四边形POQE 是等腰梯形？

（3）当t 为何值时，以P 、B 、O 为顶点的三角形与以点Q 、B 、O 为顶点的三角形相似？

7、(2011年)如图10，在平面直角坐标系xoy 中，AB 在x 轴上，AB ＝10，以AB 为直径的⊙O ′与y

轴正半轴交于点C ，连接BC ，AC ． CD 是⊙O ′的切线，AD ⊥CD 于点D ，tan ∠CAD ＝1

2

，抛物线 A D C B P M Q 60图13

y＝ax2＋bx＋c过A，B，C三点.

(1) 求证：∠CAD＝∠CAB；

(2) ①求抛物线的解析式；

②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；

(3) 在抛物线上是否存有一点P，使四边形PBCA是

直角梯形. 若存有，直接写出点P的坐标（不写求解过程）；

若不存有，请说明理由.

8、（2012年）如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛

物线

2

y ax bx c

=++经过O，D，C三点．

（1）求AD的长及抛物线的解析式；

（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？

（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存有这样的

点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存有，

请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存有，请说明理由．