2012年高中数学联赛湖北省预赛试卷(高一年级)
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2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题
（高一年级）（附答案）
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。
一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。） 1．已知集合∈>=≤=b a b x x B a x x A ,},|{},|{N ，且 B A N }1{=，则=+b a 1 ． 2．已知正项等比数列}{n a 的公比1≠q ，且542,,a a a 成等差数列，则
=++++9637
41a a a a a
a ．
3．函数7
41
)(2+++=
x x x x f
的值域为． 4．已知1sin 2sin 322=+βα，1)cos (sin 2)cos (sin 322=+-+ββαα，则=+)(2cos βα13
-．
5．已知数列}{n a 满足：1a 为正整数，
⎪⎩⎪⎨⎧+=+,
,13,,21
为奇数为偶数n n n n
n a a a a a 如果29321=++a a a ，则=1a 5 ．
6．在△ABC 中，角C B A ,,的对边长c b a ,,满足b c a 2=+，且A C 2=，则=
A
sin ． 7．在△ABC 中，2==BC AB ，3=AC ．设O 是△ABC 的内心，若AC q AB p AO +=，则
q p
的值为32
． 8．设321,,x x x 是方程013=+-x x 的三个根，则5
35251x x x ++的值为 －5 ．
二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分） 9．已知正项数列}{n a
=且11a =，
28a =，求}{n a 的通项公式．
解 在已知等式两边同时除以1+n n a a ，得3141112++=+
+++n
n n n a a
a a ， 所以
11)=． ------------------------------------------4分
令111
++=+n
n n a a b ,则n n b b b 4,411==+，即数列}{n b 是以1b ＝4为首项,4为公比的等比数
列
，所以
n
n n b b 4411=⋅=-.
------------------------------------------8分
所
以
n n
n a a 4111
=++
+,即
n
n n a a ]1)14[(21--=+.
------------------------------------------12分
于是，当1>n 时,
22221121]1)14[(]1)14[(]1)14[(-------⋅--=--=n n n n n n a a a
∏∏-=--=---=
--==1
1
21
1
1
12
1
]1)14
[(]1)14
[(n k k n k k a ，
因此,
⎪⎩⎪⎨
⎧≥--==∏-=-.2,]1)14[(,1,
11
1
21n n a n k k n ------------------------------------------16分
10．已知正实数b a ,满足122=+b a ，且333)1(1++=++b a m b a ，求m 的最小值． 解 令cos ,sin a b θθ==，02
π
θ<<
，则
3
22333)1sin (cos 1
)sin sin cos )(cos sin (cos )1sin (cos 1sin cos ++++-+=
++++=θθθθθθθθθθθθm ．----------------------------------------5分
令
θ
θsin cos +=x ，则 ]2,1()4
sin(2∈+
=πθx ，且
2
1
sin cos 2-=x θθ．------------------------------10分 于是
21)1(23)1(22)
1(22)1(232)1(1
)211(2
23332-+=+-=+-+=+-+=++--=x x x x x x x x x x x x m ． ------------------------------15分
因为函数2
1
)1(23)(-+=x x f 在]2,1(上单调递减，所以)1()2(f m f <≤．
因此，m 的最小值为
2
4
23)2(-=
f ． ------------------------------------------20分
11．设)3(log )2(log )(a x a x x f a a -+-=，其中0>a 且1≠a ．若在区间]4,3[++a a 上
1)(≤x f 恒成立，求a 的取值范围．
解 2
2
2
25()log (56)log [()]24
a a a a f x x ax a x =-+=--．
由⎩⎨
⎧>->-,
03,02a x a x 得a x 3>，由题意知a a 33>+，故23
(3)(2)022 a a a +- = ->，故函数 2 25()()24 a a g x x =-- 在区间]4,3[++a a 上单调递增 . ------------------------------------------5分 （1）若10< 在区间]4,3[++a a 上不等式1)(≤x f 恒成立，等价于不等式1)992(log 2≤+-a a a 成立，从而a a a ≥+-9922，解得275+≥ a 或2 7 5-≤a ． 结