高中数学 空间向量及其运算 教案
教案)空间向量及其运算
教案)空间向量及其运算一、教学目标1. 了解空间向量的概念，掌握空间向量的基本性质。
2. 学会空间向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和点乘。
3. 能够运用空间向量解决实际问题，提高空间想象力。
二、教学内容1. 空间向量的概念：向量的定义、大小、方向、表示方法。
2. 空间向量的线性运算：(1) 向量加法：三角形法则、平行四边形法则。
(2) 向量减法：差向量、相反向量。
(3) 数乘向量：数乘的定义、运算规律。
(4) 向量点乘：点乘的定义、运算规律、几何意义。
三、教学重点与难点1. 教学重点：空间向量的概念、线性运算及应用。
2. 教学难点：空间向量线性运算的推导及证明，空间向量在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用多媒体教学，结合图形、动画，直观展示空间向量的概念和运算。
2. 利用实际例子，引导学生运用空间向量解决实际问题。
3. 组织小组讨论，培养学生团队合作精神，提高解决问题的能力。
五、教学安排1. 第一课时：空间向量的概念及表示方法。
2. 第二课时：空间向量的线性运算（向量加法、减法）。
3. 第三课时：空间向量的线性运算（数乘向量、向量点乘）。
4. 第四课时：空间向量线性运算的应用。
5. 第五课时：总结与拓展。
六、教学评价1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和提问情况，评估学生的参与度和积极性。
2. 作业完成情况：检查学生完成的作业质量，评估学生对空间向量及其运算的理解和掌握程度。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括团队合作、问题解决能力和创新思维。
4. 课堂测试：通过课堂测试，了解学生对空间向量及其运算的掌握情况，及时发现并解决问题。
七、教学资源1. 多媒体教学课件：通过动画、图形等展示空间向量的概念和运算，增强学生的直观感受。
2. 实际例子：收集与空间向量相关的实际问题，用于引导学生运用空间向量解决实际问题。
3. 小组讨论材料：提供相关的问题和案例，供学生进行小组讨论。
4. 课堂测试卷：编写涵盖空间向量及其运算知识的测试卷，用于评估学生的学习效果。
(完整word版)空间向量及其运算 教案
（1）用向量法证明： 四点共面；
（2）用向量法证明： 平面 ．
上面①式叫做平面 的向量表达式．
（三）例题分析：
例1．已知 三点不共线，对平面外任一点，满足条件 ，
试判断：点与 是否一定共面？
解：由题意： ，
∴ ，
∴ ，即 ，
所以，点与 共面．
说明：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．
五、课堂练习：课本第96页练习第1、2、3题．
六、课堂小结：1．共线向量定理和共面向量定理及其推论；
2．空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式．
七、作业：
1．已知两个非零向量 不共线，如果 ， ， ，
求证： 共面．
2．已知 ， ，若 ，求实数 的值。
3．如图， 分别为正方体 的棱 的中点，
求证：（1） 四点共面；（2）平面 平面 ．
【练习】：对空间任一点 和不共线的三点 ，问满足向量式 （其中 ）的四点 是否共面？
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，∴点与点 共面．
例2．已知 ，从平面 外一点 引向量
，
（1）求证：四点 共面；
（2）平面 平面 ．
解：（1）∵四边形 是平行四边形，∴ ，
∵ ，
∴ 共面；
（2）∵ ，又∵ ，
∴
所以，平面 平面 ．
3．向量与平面平行：
已知平面和向量 ，作 ，如果直线 平行于或在内，那么我们说向量 平行于平面，记作： ．
通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
说明：空间任意的两向量都是共面的．
4．共面向量定理：
空间向量及其运算详细教案
空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算教学目标：（1）通过本章的学习，使学生理解空间向量的有关概念。
（2）掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。
能力目标：（1）培养学生的类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力。
（2）培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义。
（3）培养学生空间向量的应用意识教学重点：（1）空间向量的有关概念（2）空间向量的加减运算及其运算律、几何意义。
（3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用教学难点：（1）空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用。
（2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。
考点：空间向量的加减运算及其几何意义，空间想象能力，向量的应用思想。
易错点：空间向量的加减运算及其几何意义在空间几何体中的应用教学用具：多媒体教学方法：研讨、探究、启发引导。
教学指导思想：体现新课改精神，体现新教材的教学理念，体现学生探究、主动学习的思维教学过程：（老师）：同学们好！首先请教同学们一个问题：物理学中，力、速度和位移是什么量？怎样确定？（学生）：矢量，由大小和方向确定（学生讨论研究）（课件）引入：（我们看这样一个问题）有一块质地均匀的正三角形面的钢板，重500千克，顶点处用与对边成60度角，大小200千克的三个力去拉三角形钢板，问钢板在这些力的作用下将如何运动？这三个力至少多大时，才能提起这块钢板？（老师）：我们研究的问题是三个力的问题，力在数学中可以看成是什么？（学生）向量（老师）：这三个向量和以前我们学过的向量有什么不同？（学生）这是三个向量不共面（老师）：不共面的向量问题能直接用平面向量来解决么？（学生）：不能，得用空间向量（老师）：是的，解决这类问题需要空间向量的知识这节课我们就来学习空间向量板书：空间向量及其运算（老师）:实际上空间向量我们随处可见，同学们能不能举出一些例子？（学生）举例（老师）：然后再演示（课件）几种常见的空间向量身影。
空间向量及其运算(优质课)教案
空间向量及其运算（优质课）教案教学目标：1 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.教学过程：1．空间向量的有关概念(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb ．(2)共面向量定理：若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面⇔存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b ．(3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a⊥b .②两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c．4．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).规律方法：1.选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．如本例用OA→，OB→，OC→表示OG→，MG→等，另外解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量．(2.首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．所以在求若干向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和．3.数量积的应用：(1)求夹角，设向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|，进而可求两异面直线所成的角；(2)求长度(距离)，运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题；(3)解决垂直问题，利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．类型一空间向量的线性运算例１：如图3-1-6,已知平行六面体ABCD A B C D''''-.求证:2.AC AB AD AC'''++=【解析】:由于在平行六面体中,每个面都是平行四边形,故可结合空间向量加法的平行四边形法则进行向量的运算,从而证明结论.【答案】∵平行六面体的六个面均为平行四边形,,,AC AB AD AB AB AA ''∴=+=+.AD AD AA ''=+∴AC AB AD ''++()()()AB AD AB AA AD AA ''=+++++ 2().AB AD AA '=++又∵,,AA CC AD BC ''==,AB AD AA AB BC CC AC CC AC ''''∴++=++=+=2.AC AB AD AC '''∴++=练习１：如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA →1＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：AP →,A 1N →【答案】(1)AP →=a+c+2b ；(2)A 1N →=-a+b+2c练习2：【2015高考新课标2，理13】设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________．【答案】12类型二 共线定理、共面定理的应用例2：射线AB 、AC 、AD 不共面,连结BC 、CD 、DB ,取AB 、BC 、CD 、DA 的中点E 、F 、G 、H ,如图3-1-20,试判断四边形EFGH 的图形形状,并用向量的方法证明.【答案】解法1:四边形EFGH 是平行四边形. ∵1()2EH EA AH BA AD =+=+=111,(),222BD FG FC CG BC CD BD =+=+=.EH FG ∴=∵E 点不在FG 上,∴EH ∥FG ,且EH =FG ,∴四边形EFGH 是平行四边形. 解法2:∵11(),22HG HD DG AD DC AC =+=+= 11(),22EF EB BF AB BC AC =+=+=∴.HG EF =又H 点不在EF 上, ∴HG ∥EF ,且HG =EF .∴四边形EFGH 是平行四边形.练习1：【2015江苏高考，6】已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-,若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,),则n m -的值为______.【解析】由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=- 【答案】3-类型三 空间向量数量积的应用例3：已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M ，N 分别是AB ，CD 的中点．(1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ； (2)求MN 的长；(3)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值． 【解析】（1）设AB =p,AC =q ，AD =r.由题意可知：|p|=|q|=|r|=a ，且p 、q 、r 三向量两两夹角均为60°.MN=AN -AM =12（AC +AD ）-12AB =12（q+r-p ）， ∴MN·AB =12（q+r-p ）·p =12（q ·p+r ·p-p 2）=12（a 2·cos60°+a 2·cos60°-a 2）=0. ∴MN ⊥AB,同理可证MN ⊥CD.（2）由（1）可知MN=12（q+r-p ） ∴|MN |2=MN 2=14（q+r-p ）2=14［q 2+r 2+p 2+2（q ·r-p ·q-r ·p ）］=14[a 2+a 2+a 2+2（22a -22a -22a ）=14×2a 2=22a . ∴|MN|=22a,∴MN 的长为22a. (3)解 设向量AN →与MC →的夹角为θ. ∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r)，MC →＝AC →－AM →＝q －12p ， ∴AN →·MC →＝12(q ＋r)·(q －12p) ＝12(q2－12q ·p ＋r ·q －12r ·p)＝12(a 2－12a 2cos60°＋a 2cos60°－12a 2cos60°)＝22a . 又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ，∴AN →·MC →＝|AN →||MC →|cos θ＝32a ×32a ×cos θ＝22a . ∴cos θ＝23.∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23.【答案】（1）见解析（2）MN a.（3）异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23练习1：在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.求BD →1与AC →夹角的余弦值．【答案】设AB =a,AD =b.1AA =cBD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ，∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3，BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b )＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1. ∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→|·|AC →|＝66.1．（2014·广东卷）已知向量a ＝(1，0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1，1，0) B ．(1，－1，0)C ．(0，－1，1)D ．(－1，0，1)【答案】B 2．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c .其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】A3.在空间直角坐标系中，A (1，2，3)，B (－2，－1，6)，C (3，2，1)，D (4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直【答案】B4.O 为空间任意一点，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则A ，B ，C ，P 四点( )A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判断【答案】B_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固（1）1．已知a ＝(－2，1，3)，b ＝(－1，2，1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( ) A ．－2 B ．－143C.145D ．2【答案】D2.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2B.12a 2C.14a 2 D.34a 2 【答案】C3．若向量c 垂直于不共线的向量a 和b ，d ＝λa ＋μb (λ，μ∈R ，且λμ≠0)，则( ) A ．c ∥d B ．c ⊥dC ．c 不平行于d ，c 也不垂直于dD ．以上三种情况均有可能 【答案】B4．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，{a ＋b ，a －b ，c }是空间的另一个基底，一向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(4，2，3)，则向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标是( )A ．(4，0，3)B ．(3，1，3)C ．(1，2，3)D ．(2，1，3)【答案】B5.已知2a ＋b ＝(0，－5，10)，c ＝(1，－2，－2)，a ·c ＝4，|b |＝12，则以b ，c 为方向向量的两直线的夹角为________．【答案】60°6.已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ等于________．【答案】657能力提升（2）7.在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示)．【答案】111244a b c ++ 8.A ，B ，C ，D 是空间不共面四点，且AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 的形状是________三角形(填锐角、直角、钝角中的一个)．【答案】锐角9.已知空间中三点A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)若|c |＝3，且c ∥BC →，求向量c . (2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值．【答案】解 (1)∵c ∥BC →，BC →＝(－3，0，4)－(－1，1，2)＝(－2，－1，2)， ∴c ＝mBC →＝m (－2，－1，2)＝(－2m ，－m ，2m )， ∴|c |＝（－2m ）2＋（－m ）2＋（2m ）2＝3|m |＝3， ∴m ＝±1.∴c ＝(－2，－1，2)或(2，1，－2)． (2)∵a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)， ∴a ·b ＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1，又∵|a |＝12＋12＋02＝2， |b |＝（－1）2＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010. 所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.。
（教案）空间向量及其运算
（教案）空间向量及其运算空间向量及其运算【基础知识必备】⼀、必记知识精选１.空间向量的定义(1)向量：在空间中具有⼤⼩和⽅向的量叫作向量，同向且等长的有向线段表⽰同⼀向量或相等向量．(２)向量的表⽰有三种形式：a ，AB ,有向线段.2.空间向量的加法、减法及数乘运算.(1)空间向量的加法.满⾜三⾓形法则和平⾏四边形法则，可简记为:⾸尾相连,由⾸到尾．求空间若⼲个向量之和时,可通过平移将它们转化为⾸尾相接的向量.⾸尾相接的若⼲个向量若构成⼀个封闭图形,则它们的和为0,即21A A +32A A +…1A A n =０.(2)空间向量的减法.减法满⾜三⾓形法则,让减数向量与被减数向量的起点相同,差向量由减数向量的终点指向被减数向量的终点，可简记为“起点相同,指向⼀定”,另外要注意-=的逆应⽤.(3)空间向量的数量积．注意其结果仍为⼀向量.３.共线向量与共⾯向量的定义.(1)如果表⽰空间向量的有向线段在直线互相平⾏或重合,那么这些向量叫做共线向量或平⾏向量．对于空间任意两个向量a ，ｂ（b≠０),a∥b ?ａ＝λｂ,若A 、Ｂ、P 三点共线，则对空间任意⼀点O ,存在实数t ，使得OP ＝(1-t ）OA +t OB ,当t=21时,P 是线段A Ｂ的中点,则中点公式为OP =21(OA +OB )．（2)如果向量a 所在直线ＯA 平⾏于平⾯α或a 在α内，则记为ａ∥α，平⾏于同⼀个平⾯的向量,叫作共⾯向量,空间任意两个向量，总是共⾯的.如果两个向量a 、b 不共线.则向量p 与向量a 、ｂ共⾯的充要条件是存在实数对x 、y.使ｐ=xa+y ｂ.对于空间任⼀点O 和不共线的三点A 、B 、C,A 、B 、C 、Ｐ共⾯的充要条件是OP ＝x OA +y OB +ｚOC (其中ｘ+y+z=1）．共⾯向量定理是共线向量定理在空间中的推⼴,共线向量定理证三点共线,共⾯向量定理证四点共⾯.４．空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共⾯,那么对空间任⼀向量p ,存在⼀个惟⼀的有序实数组x 、y 、z,使p=x ａ+ｙb+ｚｃ.特别的，若a 、ｂ、c 不共⾯，且xa+ｙb+ｚｃ=Ｏ，则x=y ＝ｚ=０．常以此列⽅程、求值.由于０可视为与任意⼀个⾮零向量共线,与任意两个⾮零向量共⾯，所以三个向量不共⾯，隐含着三向量都不是0.空间任意三个不共⾯向量都可以作为空间向量的⼀个基底.要注意,⼀个基底是⼀个向量组，⼀个基向量是指基底中的某⼀向量．5．两个向量的数量积.ａ·b ＝|a ｜·|b |·ｃo ｓ(a,b ）,性质如下：（1）ａ·e ＝｜a|·cos；（2)a⊥b ?a ·b =0．(3）｜a |2=a ·a ;（4)|a |·|b |≥ａ·b .⼆、重点难点突破(⼀）重点空间向量的加法、减法运算法则和运算律；空间直线、平⾯向量参数⽅程及线段中点的向量公式.空间向量基本定理及其推论,两个向量的数量积的计算⽅法及其应⽤.（⼆）难点空间作图，运⽤运算法则及运算律解决⽴体⼏何问题，两个向量数量积的⼏何意义以及把⽴体⼏何问题转化为向量计算问题.对于重点知识的学习要挖掘其内涵，如从向量等式的学习中可以挖掘出:(１)向量等式也有传递性；(2）向量等式两边加(减）相同的量,仍得等式.即“移项法则”仍成⽴;(3）向量等式两边同乘以相等的数或点乘相等的向量,仍是等式．这样知识掌握更加深刻.⽤空间向量解决⽴体⼏何问题.⼀般可以按以下过程进⾏思考:（1）要解决的问题可⽤什么向量知识来解决？需要⽤到哪些向量?(2）所需要的向量是否已知？若未知,是否可⽤已知条件转化成的向量直接表⽰?（3）所需要的向量若不能直接⽤已知条件转化为向量表⽰,则它们分别易⽤哪个未知向量表⽰?这些未知向量与已知条件转化⽽来的向量有何关系?（4)怎样对已经表⽰出来的所需向量进⾏运算,才能得到所需要的结论?三、易错点和易忽略点导析两个向量的夹⾓应注意的问题:①（a ，ｂ)＝(b,a ）;②(a,b)与表⽰点的符号(a,b ）不同;③如图9-5-1(a)中的∠AOB ＝.图(b)中的∠A O B=π-（AO ,OB ),<-OA ，OB ＞＝【综合应⽤创新思维点拨】⼀、学科内综合思维点拨【例1】已知两个⾮零向量e 1、e 2不共线,如果＝e 1＋e 2，=2e 1+8e 2,=３e 1-３e 2．求证：A 、B 、C 、Ｄ共⾯．思维⼊门指导：要证A 、B 、Ｃ、D 四点共⾯,只要能证明三向量AB 、、AD 共⾯,于是只要证明存在三个⾮零实数λ、µ、υ使λ+µ+υ=0即可.证明:设λ(e １＋e ２)+µ(２e 1+8e 2)+υ（3e 1-3ｅ2)=0.则（λ+2µ＋3υ)ｅ１+(λ+8µ-３υ)e ２=0. ∵e 1、e 2不共线，∴?=-+=++.038,032υµλυµλ上述⽅程组有⽆数多组解,⽽λ=-5,µ=1,υ＝1就是其中的⼀组,于是可知-5AB ++AD =０．故AB、AC、AD共⾯，所以A、B、C、D四点共⾯.点拨：寻找到三个⾮零实数 =-5,µ＝1,υ=1使三向量符合共⾯向量基本定理的⽅法是待定系数法.⼆、应⽤思维点拨【例2】某⼈骑车以每⼩时α公⾥的速度向东⾏驶,感到风从正北⽅向吹来，⽽当速度为2α时,感到风从东北⽅向吹来.试求实际风速和风向．思维⼊门指导：速度是⽮量即为向量.因⽽本题先转化为向量的数学模型，然后进⾏求解,求风速和风向实质是求⼀向量．解:设a表⽰此⼈以每⼩时α公⾥的速度向东⾏驶的向量.在⽆风时,此⼈感到风速为－a,设实际风速为ｖ，那么此⼈感到的风速向量为v-ａ.如图9-5－2.设OA=-a，OB=-2ａ．由于PO+OA=PA,从⽽PA＝v－a.这就是感受到的由正北⽅向吹来的风.其次,由于PO+OB=PB,从⽽v－２=PB.于是，当此⼈的速度是原来的2倍时感受到由东北⽅向吹来的风就是PB．由题意,得∠ＰＢＯ=45°, PＡ⊥B O，BＡ=A O，从⽽△ＰB O为等腰直⾓三⾓形.故ＰO ＝PＢ=2α.即|ｖ|=2α.答：实际吹来的风是风速为2α的西北风.点拨：向量与物理中的⽮量是同样的概念,因⽽物理中的有关⽮量的求解计算在数学上可化归到平⾯向量或空间向量进⾏计算求解．知识的交叉点正是⾼考考查的重点，也能体现以能⼒⽴意的⾼考⽅向.三、创新思维点拨【例3】如图9－５－3(1)，已知E、F、G、Ｈ分别是空间四边形ＡBCD边AB、BC、CD、D Ａ的中点.（１)⽤向量法证明E、F、Ｇ、Ｈ四点共⾯；（2）⽤向量法证明BＤ∥平⾯EFGH.思维⼊门指导:（1）要证E、F、G、Ｈ四点共⾯,根据共⾯向量定理的推论,只要能找到实数x，y,使EG＝x+y即可；(２）要证BD∥平⾯EＦＧH，只需证向量与共线即可.证明:（1)如图９-5-3(2）,连结ＢG,则 EG =EB +BG ＝EB ＋21（BC ＋BD ）＝EB＋BF +EH =EF +EH . 由共⾯向量定理推论知,E 、Ｆ、G 、H 四点共⾯. (２)∵EH =AH －AE =21AD -21AB =21（AD －AB )=21BD , ∴EH ∥B Ｄ．⼜EH ?⾯ＥFG Ｈ,BD ?⾯EFG Ｈ,∴BD ∥平⾯EF ＧＨ．点拨：利⽤向量证明平⾏、共⾯是创新之处，⽐较以前纯⼏何的证明，显⽽易见⽤向量证明⽐较简单明快.这也正是⼏何问题研究代数化的特点．【例4】如图9-５－４，在正⽅体AB ＣD —Ａ１B １C 1D 1中，E 为D 1C 1的中点，试求A 1Ｃ1与D Ｅ所成⾓．思维⼊门指导：在正⽅体ＡC 1中，要求A １Ｃ１与D Ｅ所成⾓,只需求11C A 与所成⾓即可.要求11C A 与DE 所成⾓，则可利⽤向量的数量积，只要求出11C A ·DE 及|11C A |和｜DE |即可.解:设正⽅体棱长为ｍ,＝ａ,=b ，1AA =c. 则｜ａ|＝|b |=|c |=ｍ,a ·b =ｂ·c =c ·a =０.⼜∵11C A =11B A +11C B =+＝a +b ，DE =1DD +E D 1=1DD +2111C D =c ＋21ａ，∴11C A ·DE =(a ＋b ）(c ＋21a)=ａ·c ＋b ·ｃ+21a 2+21a ·b ＝21a ２＝21m ２. ⼜∵|11C A |=2m ，|DE ｜＝25m, ∴cos<11C A ,DE >1111m m m 252212?=1010. ∴<11C A ,＞=a ｒｃcos 1010.即A １C 1与D Ｅ所成⾓为ａrc ｃｏs 1010．点拨:A 1Ｃ１与ＤE 为⼀对异⾯直线.在以前的解法中求异⾯直线所成⾓要先找（作)，后求.⽽应⽤向量可以不作或不找直接求.简化了解题过程，降低了解题的难度.解题过程中先把11C A 及DE ⽤同⼀组基底表⽰出来,再去求有关的量是空间向量运算常⽤的⼿段.四、⾼考思维点拨【例5】（200０,全国,12分)如图９-５-5，已知平⾏六⾯体ABCD ⼀A 1B 1Ｃ1Ｄ1的底⾯AB ＣD 是菱形,且∠C 1ＣB=∠C1CD ＝∠ＢCD.(1)求证:C 1Ｃ⊥BD;(2)当1CC CD 的值为多少时，能使A 1C ⊥平⾯C 1ＢD?请给出证明. 思维⼊门指导:根据两向量的数量积公式a ·b ＝|a |·|ｂ｜ｃｏs知,两个向量垂直的充要条件是两向量的数量积为０,即a ⊥b ?a ·ｂ=0, 所以要证明两直线垂直，只要证明两直线对应的向量数量积为零即可.（１)证明:设CD =a ,CB ＝b ,1CC =ｃ.由题可知|a |＝|b |.设CD 、CB 、1CC 中两两所成夹⾓为θ,于是BD =CD -CB ＝a －ｂ，1CC ·=ｃ·（a -b )＝ｃ·a -c ·b =|c |·｜a |ｃos θ－|c |·｜b ｜c ｏs θ=0，∴C 1C ⊥BD.(2）解:若使Ａ1C ⊥平⾯Ｃ1BD ，只须证A 1C ⊥ＢＤ，A 1Ｃ⊥DC 1,由于:1CA ·D C 1=(CA +1AA ）·（CD -1CC )=(a +b +c ）·（a -c )＝|a |2+a ·ｂ-ｂ·ｃ-|c |2=|a |２+|ｂ｜·|a |·cos θ-|b |·|c ｜ｃｏs θ-｜ｃ｜2=０,得当|ａ|=|ｃ|时A 1C ⊥ＤＣ１．同理可证当|a |=|c |时，A １C ⊥BD. ∴1CC CD ＝１时,A １Ｃ⊥平⾯C 1ＢD. 点拨:对于向量数量积的运算⼀些结论仍是成⽴的.(ａ-b ）·(a +b )=ａ2-ｂ2;(a ±b )2＝ａ2±2a ·b +b 2.五、经典类型题思维点拨【例6】证明:四⾯体中连接对棱中点的三条直线交于⼀点，且互相平分.(此点称为四⾯体的重⼼)思维⼊门指导:如图9-５-6所⽰四⾯体AB ＣD 中，E 、F 、G 、H 、P 、Ｑ分别为各棱中点.要证明ＥF 、ＧH 、P Ｑ相交于⼀点O ,且Ｏ为它们的中点.可以先证明两条直线EF 、G Ｈ相交于⼀点O ,然后证明P 、O 、Q 三点共线,即OP 、OQ 共线.从⽽说明PQ 直线也过O 点．证明：∵E 、G 分别为ＡＢ、AC 的中点, ∴ＥG ∥21B Ｃ.同理HF ∥21BC.∴EG ∥HF. 从⽽四边形EGFH 为平⾏四边形，故其对⾓线EF 、ＧH 相交于⼀点O ，且O 为它们的中点，连接O Ｐ、ＯQ ．∵OP ＝OG ＋GP ，OQ =OH ＋HQ ,⽽O 为GH 的中点，∴OG +OH =０,GP ∥21ＣD,ＱH ∥21C Ｄ. ∴GP =21CD ,QH =21CD ．∴OP +OQ =OG +OH ＋GP +HQ =０+21CD －21CD =0．∴OP ＝-OQ .∴P Ｑ经过O 点,且O 为PQ 的中点.点拨:本例也可以⽤共线定理的推论来证明,事实上,设ＥF 的中点为O .连接O P 、O Q ，则FQ =EQ -EF ，⽽EQ =21AC =－FP ,EF =-2FO ，则FQ =-FP +2FO ,∴FO =21(FQ +FP )，从⽽看出O 、P 、Q 三点共线且O 为ＰＱ的中点，同理可得GH 边经过O 点且O 为G Ｈ的中点，从⽽原命题得证.六、探究性学习点拨【例7】如图9-5-7所⽰,对于空间某⼀点O ,空间四个点Ａ、Ｂ、C 、Ｄ（⽆三点共线)分别对应着向量a =OA ，b =OB ，c ＝OC ,d =OD .求证：A 、Ｂ、C 、D 四点共⾯的充要条件是存在四个⾮零实数α、β、γ、δ，使αａ+βb +γｃ+δd ＝0，且α＋β+γ+δ＝0.思维⼊门指导:分清充分性和必要性，应⽤共⾯向量定理.证明：(必要性)假设A 、B 、C 、D 共⾯,因为Ａ、B 、C 三点不共线,故,两向量不共线,因⽽存在实数x 、y ，使=x +ｙAC ,即ｄ-a ＝x(b -ａ)+ｙ（ｃ-a ）,∴（x+y －１)ａ-xb -ｙc +ｄ＝0．令α=x+y-1, β=-ｘ，γ=-y,δ=1.则αa+βb+γc+δｄ=０,且α＋β+γ+δ=0.(充分性)如果条件成⽴,则δ=-(α+β+γ),代⼊得αa +βb ＋γc +δd =αa ＋βb+γc －(α+β+γ）d=0．即α(a-ｄ)+ β(b-d ）＋γ(c －d ）=0.⼜∵ａ-ｄ=OA －OD =DA ,b-d=DB ,c-d ＝DC , ∴αDA +βDB ＋γDC =0.∵α、β、γ为⾮零实数,不妨设γ≠０.则DC =-γαDA －γβDB ．∴DC 与DA 、DB 共⾯,即A 、B 、C 、D 共⾯.点拨：在讨论向量共线或共⾯时，必须注意零向量与任意向量平⾏，并且向量可以平移，因⽽不能完全按照它们所在直线的平⾏性、共⾯关系来确定向量关系.【同步达纲训练】A 卷:教材跟踪练习题 (6０分 45分钟)⼀、选择题（每⼩题5分，共30分）1.点O 、A 、B 、Ｃ为空间四个点,⼜OA 、OB 、OC 为空间⼀个基底，则下列结论不正确的是（ )Ａ.O 、Ａ、B 、Ｃ四点不共线Ｂ. O 、Ａ、Ｂ、C 四点共⾯，但不共线Ｃ. O 、A 、B 、C 四点中任三点不共线 D. O 、Ａ、B 、C 四点不共⾯2.在正⽅体ＡＢＣD-A 1B １C 1D １中,下列各式中运算的结果为的共有( )①(+BC )+1CC ②(1AA +11D A ）+11C D③（AB +1BB )+11C B ④(1AA +11B A )+11C BA.1个Ｂ.２个 C.3个 D ．4个3.设命题p ：a 、b 、c 是三个⾮零向量；命题ｑ：｛a ，b ,c }为空间的⼀个基底，则命题p 是命题q 的( ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C ．充要条件Ｄ.既不充分⼜不必要条件４.设A 、B 、C 、Ｄ是空间不共⾯的四点,且满⾜·AC =0,AC ·=0,·=0,则△BC Ｄ是( )A ．钝⾓三⾓形 B.锐⾓三⾓形 C.直⾓三⾓形 D.不确定5．下列命题中,正确的是( )Ａ.若ａ与b 共线，则a 与b 所在直线平⾏Ｂ.若a ∥平⾯β,a 所在直线为ａ,则a ∥βC.若｛a,b,ｃ｝为空间的⼀个基底，则{ａ-b,b-c ，c-a}构成空间的另⼀个基底D.若OP =21OA +21OB ,则P 、A 、Ｂ三点共线６.若ａ＝e １＋e 2＋e 3，ｂ=e 1－e 2-e 3，c =e 1+ｅ2，d =e 1+2e 2+3e 3，且d =x ａ＋ｙb ＋z c,则ｘ、y 、z 分别为（）Ａ.25,-21，-１ B ．25,21，1 C.－25，21，1 D.25,-21,1 ⼆、填空题(每⼩题4分,共16分)7.设向量a 与b 互相垂直,向量ｃ与它们构成的⾓都是60°，且|a |=5,｜b |＝3,｜ｃ|=8，那么（ａ+3ｃ）·(3b -２a ） ;(2a +b -3c ）２= .8.已知向量n A A 1＝2a ，a 与ｂ的夹⾓为30°,且｜ａ|=3，则21A A +32A A +…+n n A A 1-在向量ｂ的⽅向上的射影的模为 .9.如图9－5－8,已知空间四边形O AB Ｃ，其对⾓线为O B 、ＡC ，M 是边O A 的中点,G 是△ＡＢC 的重⼼，则⽤基向量OA 、OB 、OC 表⽰向量MG 的表达式为 .10.已知Ｐ、Ａ、Ｂ、C 四点共⾯且对于空间任⼀点O 都有OP =2OA +34OB +λOC ,则λ＝ .三、解答题（每⼩题７分，共１4分）１1.如图9-５－9,已知点O 是平⾏六⾯体ABC Ｄ—A １Ｂ1C １D 1体对⾓线的交点,点Ｐ是空间任意⼀点．求证：PA ＋PB +PC +PD ＋1PA +1PB +1PC +1PD =8PO .12.如图9－５-10，已知线段A Ｂ在平⾯α内,线段AC ⊥α,线段ＢD ⊥ＡB,且与α所成⾓是30°．如果A Ｂ＝ａ,ＡＣ=BD ＝b,求Ｃ、D 间的距离.Ｂ卷:综合应⽤创新练习题（90分 90分钟)⼀、学科内综合题（10分)１.如图９-５-11所⽰,已知□ABCD,O 是平⾯ＡＣ外⼀点，1OA ＝２OA ,1OB ＝2OB ,1OC =2OC ,1OD ＝2OD ．求证：A 1、B 1、C 1、D １四点共⾯．⼆、应⽤题（1０分）２.在△ABC 中,∠C=60°，CD 为∠C 的平分线,A Ｃ=4,B Ｃ=２,过B 作BN ⊥CD 于N 延长交CA 于E,将△BDC 沿CD 折起，使∠BNE=120°,求折起后线段AB 的长度.三、创新题(60分)（⼀)教材变型题(10分)3.（P ３５练习2变型)如图9-5-12已知空间四边形ABCD 的每条边和对⾓线的长都等于ａ,求AB 与CD 的夹⾓.(⼆)⼀题多解（１5分）4．已知矩形ＡＢCD,Ｐ为平⾯ABCD 外⼀点,且ＰA ⊥平⾯AB ＣＤ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且M 分成定⽐2，N 分PD 成定⽐1,求满⾜=x AB ＋y AD +z AP 的实数x 、y 、z 的值.（三）⼀题多变(15分）5．设a ⊥b,＝6π,且|a |=１,｜b ｜=２，｜c |=3,求|a +b +c |. (1)⼀变:设a ⊥ｂ，=3π，＜b ，ｃ>=6π，且｜ａ|=1，|ｂ|=2，|c|＝３，求|a+2ｂ-c|.（2)⼆变:设a ⊥b,=3π,且｜a|=１,｜ｂ|＝2，|ｃ|=3，|a+b+ｃ|=3617+,求-b 与ｃ的夹⾓.(四）新解法题(１0分）6.如图９－５－13,正⽅形A ＢCD 和正⽅形ＡBEF 交于A Ｂ,M 、N 分别是BD 、AE 上的点，且ＡN=DM ，试⽤向量证明MN ∥平⾯EB Ｃ.7.O 为空间任意⼀点，A 、Ｂ、C 是平⾯上不共线的三点,动点P 满⾜OP ＝OA +λ(||||AC AB +）,λ∈[0，+∞)，则P 的轨迹⼀定通过△ＡBC 的( ）A.外⼼Ｂ.内⼼ C.重⼼ D.垂⼼四、⾼考题（１0分) 8．（20０２,上海,５分)若a 、ｂ、ｃ为任意向量，ｍ∈R ，则下列等式不⼀定成⽴的是( )Ａ.(a +b )＋c =a +（b +c ) B.(ａ+ｂ)·ｃ=a ·c ＋ｂ·cＣ.m(a +b )=ｍa+m ｂＤ.(a ·ｂ)·c =a ·(ｂ·c )加试题：竞赛趣味题(1０分）证明：ab b a -+22+ac c a -+22＞bc c b -+22(a,b,c 为正实数).【课外阅读】⽤向量表⽰三⾓形的四⼼由⾼中数学新教材中的向量知识出发，利⽤定⽐分点的向量表达式，可以简捷地导出三⾓形的重⼼、内⼼、垂⼼、外⼼这四⼼的向量表达式.【例】如图9-5-１4，在△ABC 中，F 是A Ｂ上的⼀点,E 是ＡC 上的⼀点,且FB AF ＝l m ，EC AE =ln （通分总可以使两个异分母分数化为同分母分数），连结C Ｆ、BE 交于点D.求D 点的坐标.解:在平⾯上任取⼀点O ，连结O Ａ、ＯB 、O Ｃ、O D 、ＯE 、ＯF,由定⽐分点的向量表达式，得:OF =(OA +l m ·OB ）÷(１＋lm ) =ml OB m OA l +?+? ①=ln OC l n OA +?+1=n l OC n OA l +?+? ②⼜=λλ+?+1OC OF =u OE u OB +?+1 ③（其中DCFD =λ,u DE BD =). 整理①、②、③式得λ=1+m n . 所以OD =n m l l ++OA +n m l m ++OB +nm l n ++OC ④由④式出发，可得三⾓形四⼼的向量表达式：（１）若BE 、ＣＦ是△A ＢＣ两边上的中线，交点G 为重⼼.由④式可得重⼼G 的向量表达式：OG =31(OA +OB +OC ). （2）若BE 、CF 是△AB Ｃ两内⾓的平分线,交点Ｉ是内⼼．因为FB AF =a b ,EC AE ＝a c , 由④式可得内⼼I 的向量表达式：OI ＝c b a a ++OA +c b a b ++OB ＋cb ac ++OC . （3)若BE 、ＣF 是△AB Ｃ两边上的⾼,交点Ｈ是垂⼼.EC AE =Ca A c cos cos ??＝Aa C ccos cos . 同理FBAF =Aa B bcos cos . 由④式可得垂⼼H 的向量表达式：OH =OA C c B b A a C a cos cos cos cos +++OB C c B b A a C b cos cos cos cos +++OC Cc B b A a C ccos cos cos cos ++．（4）若BE 、C Ｆ的交点O ′是△A ＢC 的外⼼,即三边中垂线交点,则O ′A=O ′B=Ｏ′Ｃ.根据正弦定理：EC AE =CBE C BE EBA A BE ∠?∠?sin sin sin sin =)(21sin sin )(21sin sin C BO A B AO C '∠-?'∠-?ππ =A A C C cos sin cos sin ??=AC 2sin 2sin .同理FB AF =A B 2sin 2sin ．由④式可得外⼼O ′的向量表达式:OO =C B A A 2sin 2sin 2sin 2sin ++OA +CB A B 2sin 2sin 2sin 2sin ++OB +OC CB AC 2sin 2sin 2sin 2sin ++. 这四个向量表达式,都由④式推出,都有着各⾃轮换对称的性质.好记，好⽤!新教材的优越性，由此可见.参考答案A 卷⼀、1.B 点拨：空间向量的⼀组基底是不共⾯的.２.Ｄ点拨:++1CC =+1CC ＝1AC ,同理根据空间向量的加法运算法则可知(2）、(3)、(4）的计算结果也为1AC .3.B 点拨：当三个⾮零向量a 、b 、ｃ共⾯时,a 、b 、c 不能构成空间的⼀个基底，但是｛a,b,c }为空间的⼀个基底时，必有a 、b 、c 都是⾮零向量.因此由P 推不出ｑ,⽽由q 可推出P.4.B 点拨:·AB =０?AC ⊥A Ｂ.同理可得A Ｃ⊥ＡD,AB ⊥ＡD.设AB=a ，ＡC ＝b,AD=c.则BC=22b a +，ＣD=22c b +,B Ｄ=22c a +．∵c ｏs∠ＢCD ＝CDBC BD CD BC ?-+2222＞0,故△BCD 为锐⾓. 同理∠CBD 、∠B ＤC 亦为锐⾓.则△BC Ｄ为锐⾓三⾓形.5.D 点拨:向量共线则其所在直线平⾏或重合,故Ａ错误;向量平⾏于平⾯，则向量在⾯内或所在直线与⾯平⾏，故B 错误;取λ1=λ2=λ3=1，则λ1(ａ-b ）+λ2(ｂ-c)+λ3(c-a)=０,即a-ｂ，b-ｃ,c －a 是共⾯向量，不能构成空间的基底,故C 错.x+y ＋z=1 ｘ＝25， 6．A 点拨: ｘ－y+z=2 ? y=-21, ｘ－y=３ z ＝-１.⼆、7.-62，373 点拨：(a+3c)·（３b －２a ）＝３a ·b-２ａ2+９c ·b －６a ·c=3|ａ。
教案)空间向量及其运算
教案)空间向量及其运算一、教学目标1. 理解空间向量的概念，掌握空间向量的基本性质。
2. 学会空间向量的表示方法，能够熟练地在坐标系中表示和计算空间向量。
3. 理解空间向量的运算规则，包括加法、减法、数乘和点乘。
4. 能够运用空间向量的运算解决实际问题。
二、教学内容1. 空间向量的概念：向量的定义、大小、方向。
2. 空间向量的表示方法：坐标表示、图形表示。
3. 空间向量的运算规则：a. 加法：三角形法则、平行四边形法则。
b. 减法：向量的减法等于加法的相反向量。
c. 数乘：数乘向量的概念、运算规则。
d. 点乘：点乘的定义、运算规则、几何意义。
三、教学重点与难点1. 教学重点：a. 空间向量的概念及其基本性质。
b. 空间向量的表示方法。
c. 空间向量的运算规则。
2. 教学难点：a. 空间向量的运算规则的理解与应用。
b. 空间向量在实际问题中的应用。
四、教学方法与手段1. 教学方法：a. 采用讲授法，讲解空间向量的概念、性质和运算规则。
b. 采用示例法，展示空间向量的运算过程和应用实例。
c. 采用练习法，让学生通过练习巩固空间向量的知识。
2. 教学手段：a. 使用多媒体课件，展示空间向量的图形和运算过程。
b. 使用黑板和粉笔，绘图和演算空间向量的运算。
五、教学安排1课时教案)空间向量及其运算六、教学过程1. 导入：通过简单的二维向量例子，引导学生思考空间向量的概念。
2. 新课：讲解空间向量的定义、性质，以及各种表示方法。
3. 示范：展示空间向量的加法、减法、数乘和点乘运算，并用多媒体课件演示运算过程。
4. 练习：让学生在多媒体课件上进行空间向量的运算练习，巩固所学知识。
5. 应用：举例说明空间向量在实际问题中的应用，如物体运动、空间几何等。
七、教学反思课后，教师应认真反思本节课的教学效果，包括学生的课堂表现、教学内容的掌握程度等。
针对存在的问题，调整教学方法，为下一节课的教学做好准备。
八、课后作业1. 复习空间向量的概念、性质和运算规则。
高中数学《空间向量及其运算》教案13新人教A版选修2-1
在空间直角坐标系中，已知点 A(x1, y1, z1 ) ， B( x2 , y2 , z2 ) ，则
dA、 B
( x2 x1 )2 ( y1 y2 ) 2 ( z1 z2 )2 ，其中 dA、B 表示 A与 B 两点间的距离．
3. 练习：已知 A(3,3,1) 、 B(1 ， 0，5) ，求：⑴线段 AB的中点坐标和长度；⑵到 A、 B两点
第六课时 3.1.5 空间向量运算的坐标表示（夹角和距离公式）
教学要求 ：掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会
用这些公式解决有关问题．
教学重点 ：夹角公式、距离公式．
教学难点 ：夹角公式、距离公式的应用．
教学过程 ：
一、复习引入
1. 向量的直角坐标运算法则：设 a＝ ( a1, a2, a3 ) ， b＝ (b1, b2 ,b3) ，则
这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度．
2. 夹角公式推导：∵
a· b＝ | a|| b|cos ＜ a, b＞
∴
a1 b1 a2 b2 ＝a ba12 a22 a32 · b12 b22 b32 · cos＜ a, b＞
由此可以得出： cos ＜ a, b＞＝
a1b1 a2b2 a3b3 a12 a22 a32 b12 b22 b32
元一次方程的图形是平面．
4. 出示例 5：如图，在正方体 ABCD
A1B1C1D1 中，B1 E1
D1F1
A1 B1 4
，求
BE1
与 DF1 所成的角的余弦值．
分析：如何建系？ → 点的坐标？ → 如何用向量运算求夹角？ → 变式：课本 P104、
例6
5. 用向量方法证明：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行．
高中高三数学《空间向量》教案、教学设计
3.运用案例教学法，结合实际生活中的空间几何问题，激发学生学习兴趣，提高学生运用空间向量解决实际问题的能力。
4.引导学生运用数形结合思想，将空间向量与空间几何图形相结合，培养学生直观想象和逻辑思维能力。
5.设计丰富的课堂练习，让学生在实际操作中掌握空间向量的运算方法和技巧。
-已知空间向量$\vec{a} = (1, 2, 3)$和$\vec{b} = (4, 5, 6)$，求向量$\vec{a} + \vec{b}$、$\vec{a} - \vec{b}$和$3\vec{a} - 2\vec{b}$的坐标表示。
-设点A(2, 3, 4)和点B(5, 6, 7)，向量$\vec{v} = (x, y, z)$，若$\vec{v}$与向量$\vec{AB}$垂直，求$\vec{v}$的坐标。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生探索空间几何问题的热情。
2.培养学生严谨求实的科学态度，让学生在解决问题的过程中，体验数学的简洁美和逻辑美。
3.培养学生勇于挑战困难、克服挫折的精神，增强自信心。
4.引导学生认识到数学知识在科学技术、生产生活中的重要应用，增强学生的社会责任感和使命感。
（二）教学设想
1.针对教学重点和难点，采用以下教学策略：
-通过引入生动的实际案例，激发学生学习兴趣，引导学生从二维空间向三维空间过渡；
-采用多媒体教学手段，如动画、模型等，帮助学生建立空间想象力，降低学习难度；
-设计层次分明的教学活动，逐步引导学生掌握空间向量的性质、运算和应用；
-加强课堂练习，及时反馈，针对学生的错误进行有针对性的指导。
2.教学过程设想：
3.1空间向量及其运算教学设计教案
3.1空间向量及其运算教学设计教案第一篇：3.1空间向量及其运算教学设计教案教学准备1.教学目标（1）知识与技能：理解和掌握空间向量的基本概念，向量的加减法（2）过程与方法：通过高一学习的平面向量的知识，引申推广，理解和掌握向量的加减法（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习，运用向量的概念和运算解决问题，培养学生的开拓创新能力。
2.教学重点/难点【教学重点】：空间向量的概念和加减运算【教学难点】：空间向量的应用3.教学用具多媒体4.标签3.1.1空间向量及其加减运算教学过程课堂小结 1．空间向量的概念： 2．空间向量的加减运算课后习题第二篇：3.1空间向量及其运算教学设计教案教学准备1.教学目标1、知识与技能：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。
2、过程与方法：通过类比、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会类比、推广的思想方法，对向量加深理解。
3、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断拓展创新的学习习惯和品质。
2.教学重点/难点重点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；难点：理解空间向量基本定理；3.教学用具多媒体设备4.标签教学过程教学过程设计（一）.复习引入1、共线向量定理：2、共面向量定理：3、平面向量基本定理：4、平面向量的正交分解：（二）、新课探究：探究一.空间向量基本定理2、空间向量基本定理3、注意：对于基底{a,b,c},除了应知道向量a,b,c不共面，还应明确（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
（2）由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量。
（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。
空间向量及其运算教案
空间向量及其运算教案教案：空间向量及其运算一、教学目标：1.理解空间向量的概念和性质；2.掌握空间向量的表示方法；3.熟练运用空间向量的运算法则。
二、教学内容：1.空间向量的定义和性质；2.空间向量的表示方法；3.空间向量的加法和减法；4.空间向量的数量积；5.空间向量的叉乘。
三、教学过程：Step 1：导入新知引入概念：向量和向量的运算在平面内已经学过了，那么在空间内是否也存在向量及其运算呢？提问：你了解什么是向量吗？向量有哪些运算法则呢？Step 2：学习空间向量的定义和性质1.向量的定义：在空间内，有大小和方向的量称为向量。
2.空间向量的性质：大小、方向、共面性和平行性。
Step 3：了解空间向量的表示方法1.简化表示法：直接用字母表示向量，如AB表示向量AB。
2.分解表示法：将向量投影到坐标轴上表示，如向量AB表示为(ABx,ABy,ABz)。
Step 4：学习空间向量的加法和减法1.加法法则：两个向量的加法满足三角形法则，即将两个向量首尾相连形成一个三角形，用第三边表示结果向量。
2.减法法则：向量AB减去向量AC等于从A点沿CA的方向和大小移动到B点。
Step 5：了解空间向量的数量积1.定义：向量的数量积是两个向量的模的乘积与它们夹角的余弦的乘积。
2. 计算方法：A·B = ，A，，B，cosθ，其中，A，和，B，分别表示向量A和向量B的模，θ表示夹角。
Step 6：学习空间向量的叉乘1.定义：向量的叉乘是一种运算，它的结果是一个向量。
2. 计算方法：A×B = ，A，，B，sinθ n，其中，A，和，B，分别表示向量A和向量B的模，θ表示夹角，n表示垂直于A和B所在平面的单位向量。
Step 7：练习和巩固提供一些实际问题，让学生运用所学知识解决。
四、教学总结：1.复习空间向量的定义和性质；2.梳理空间向量的表示方法；3.总结空间向量的运算法则。
五、课后作业：1.完成教材上相应的习题；2.总结空间向量的运算法则。
人教版高中数学教案-空间向量及其运算
3. 1.1空間向量及其運算（一）教學目標：㈠知識目標：⒈空間向量；⒉相等的向量；⒊空間向量的加減與數乘運算及運算律；㈡能力目標：⒈理解空間向量的概念，掌握其表示方法；⒉會用圖形說明空間向量加法、減法、數乘向量及它們的運算律；⒊能用空間向量的運算意義及運算律解決簡單的立體幾何中的問題．㈢德育目標：學會用發展的眼光看問題，認識到事物都是在不斷的發展、進化的，會用聯繫的觀點看待事物．教學重點：空間向量的加減與數乘運算及運算律．教學難點：應用向量解決立體幾何問題．教學方法：討論式．教學過程：Ⅰ.複習引入［師］在必修四第二章《平面向量》中，我們學習了有關平面向量的一些知識，什麼叫做向量？向量是怎樣表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向線段表示；②用字母a、b等表示；③用有向線段的起點與終點字母：AB．［師］數學上所說的向量是自由向量，也就是說在保持向量的方向、大小的前提下可以將向量進行平移，由此我們可以得出向量相等的概念，請同學們回憶一下．［生］長度相等且方向相同的向量叫相等向量.［師］學習了向量的有關概念以後，我們學習了向量的加減以及數乘向量運算：⒈向量的加法：⒉向量的減法：⒊實數與向量的積：實數λ與向量a的積是一個向量，記作λa，其長度和方向規定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)當λ＞0時，λa 與a 同向； 當λ＜0時，λa 與a 反向； 當λ＝0時，λa ＝0.［師］關於向量的以上幾種運算，請同學們回憶一下，有哪些運算律呢？ ［生］向量加法和數乘向量滿足以下運算律 加法交換律：a ＋b ＝b ＋a加法結合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ） 數乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb［師］今天我們將在必修四第二章平面向量的基礎上，類比地引入空間向量的概念、表示方法、相同或向等關係、空間向量的加法、減法、數乘以及這三種運算的運算率，並進行一些簡單的應用．請同學們閱讀課本Ⅱ.新課講授［師］如同平面向量的概念，我們把空間中具有大小和方向的量叫做向量．例如空間的一個平移就是一個向量．那麼我們怎樣表示空間向量呢？相等的向量又是怎樣表示的呢？［生］與平面向量一樣，空間向量也用有向線段表示，並且同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量．［師］由以上知識可知，向量在空間中是可以平移的．空間任意兩個向量都可以用同一平面內的兩條有向線段表示．因此我們說空間任意兩個向量是共面的．［師］空間向量的加法、減法、數乘向量各是怎樣定義的呢？［生］空間向量的加法、減法、數乘向量的定義與平面向量的運算一樣：AB OA OB +==a +b ，OA OB AB -=（指向被減向量）， =OP λa )(R ∈λ［師］空間向量的加法與數乘向量有哪些運算律呢？請大家驗證這些運算律．［生］空間向量加法與數乘向量有如下運算律： ⑴加法交換律：a + b = b + a ；⑵加法結合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；（課件驗證） ⑶數乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ．［師］空間向量加法的運算律要注意以下幾點：⑴首尾相接的若干向量之和，等於由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量．即：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++-因此，求空間若干向量之和時，可通過平移使它們轉化為首尾相接的向量． ⑵首尾相接的若干向量若構成一個封閉圖形，則它們的和為零向量．即：011433221=+++++-A A A A A A A A A A n n n ．⑶兩個向量相加的平行四邊形法則在空間仍然成立．因此，求始點相同的兩個向量之和時，可以考慮用平行四邊形法則． 例１已知平行六面體''''D C B A ABCD -（如圖），化簡下列向量運算式，並標出化簡結果的向量：；⑴BC AB + ；⑵'AA AD AB ++'21CC AD AB ++⑶．⑷)'(31AA AD AB ++ 說明：平行四邊形ABCD 平移向量 a 到A’B’C’D’的軌跡所形成的幾何體，叫做平行六面體．記作ABCD —A’B’C’D’．平行六面體的六個面都是平行四邊形，每個面的邊叫做平行六面體的棱．說明：由第2小題可知，始點相同且不在同一個平面內的三個向量之和，等於以這三個向量為棱的平行六面體的以公共始點為始點的對角線所表示的向量，這是平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣．例2、如圖中，已知點O 是平行六面體ABCD －A 1B 1C 1D 1體對角線的交點，點P 是任意一點，則．分析：將要證明等式的左邊分解成兩部分：與，第一組向量和中各向量的終點構成平行四邊形ABCD，第二組向量和中的各向量的終點構成平行四邊形A1B1C1D1，於是我們就想到了應該先證明：將以上所述結合起來就產生了本例的證明思路．解答：設E，E1分別是平行六面體的面ABCD與A1B1C1D1的中心，於是有點評：在平面向量中，我們證明過以下命題：已知點O是平行四邊形ABCD對角線的交點，點P是平行四邊形ABCD所在平面上任一點，則，本例題就是將平面向量的命題推廣到空間來．Ⅲ.鞏固練習Ⅳ.教學反思平面向量僅限於研究平面圖形在它所在的平面內的平移，而空間向量研究的是空間的平移，它們的共同點都是指“將圖形上所有點沿相同的方向移動相同的長度”，空間的平移包含平面的平移．關於向量算式的化簡，要注意解題格式、步驟和方法．Ⅴ.課後作業⒈課本1、2、⒉預習下一節：⑴怎樣的向量叫做共線向量？⑵兩個向量共線的充要條件是什麼？⑶空間中點在直線上的充要條件是什麼？⑷什麼叫做空間直線的向量參數表示式？⑸怎樣的向量叫做共面向量？⑹向量p與不共線向量a、b共面的充要條件是什麼？⑺空間一點P在平面MAB內的充要條件是什麼？3.1.1空間向量及其運算（一）課前預習學案預習目標：⒈理解空間向量的概念，掌握其表示方法；⒉會用圖形說明空間向量加法、減法、數乘向量及它們的運算律；預習內容：1.———————————————叫空間向量．空間向量的表示方法有： -------------------2． --------------------------叫相等向量3.空間向量的運算法則：—————————————————— 提出疑惑：同學們，通過你的自主學習，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中疑惑點 疑惑內容課內探究學案 學習目標：㈠知識目標：⒈空間向量；⒉相等的向量；⒊空間向量的加減與數乘運算及運算律； ㈡能力目標：⒈理解空間向量的概念，掌握其表示方法；⒉會用圖形說明空間向量加法、減法、數乘向量及它們的運算律； ⒊能用空間向量的運算意義及運算律解決簡單的立體幾何中的問題．學習重點：空間向量的加減與數乘運算及運算律． 學習難點：應用向量解決立體幾何問題． 學習過程：例１已知平行六面體''''D C B A ABCD -（如圖），化簡下列向量運算式，並標出化簡結果的向量：；⑴BC AB + ；⑵'AA AD AB ++'21CC AD AB ++⑶．⑷)'(31AA AD AB ++ 例2、如圖中，已知點O 是平行六面體ABCD －A 1B 1C 1D 1體對角線的交點，點P 是任意一點，則．當堂檢測：1、下列說法中正確的是（ ）A ．兩個有共同起點且相等的向量，其終點可能不同B ．若非零向量與是共線向量，則A 、B 、C 、D 四點共線C ．若D ．四邊形ABCD 是平行四邊形的充要條件是=2、已知空間四邊形ABCD ，連AC ，BD ，設M 、G 分別是BC 、CD 中點，則（ ）A ．B ．C ．D ．3、如圖：在平行六面體1111D C B A ABCD -中，M 為11C A 與11D B 的交點。
教案)空间向量及其运算
教案)空间向量及其运算教案内容：一、教学目标1. 了解空间向量的概念，理解向量的几何表示和坐标表示。
2. 掌握空间向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和点乘。
3. 能够应用空间向量的运算解决实际问题。
二、教学重点与难点1. 空间向量的概念及其几何表示。
2. 空间向量的坐标表示及其运算。
3. 空间向量的应用问题。
三、教学准备1. 教师准备PPT或黑板，用于展示向量的图形和运算过程。
2. 准备一些实际问题，用于引导学生应用向量知识解决。
四、教学过程1. 引入：通过展示一些实际问题，如物体运动、几何图形等，引导学生思考向量的概念和作用。
2. 讲解：向学生介绍空间向量的概念，讲解向量的几何表示和坐标表示。
通过示例和图形，让学生理解向量的加法、减法、数乘和点乘运算。
3. 练习：让学生通过练习题的方式，巩固对向量运算的理解和掌握。
可以提供一些选择题和填空题，以及一些应用问题。
4. 应用：引导学生将向量知识应用到实际问题中，如物体运动、几何图形等。
可以让学生分组讨论和展示解题过程。
5. 总结：对本节课的主要内容和知识点进行总结，强调重点和难点。
五、作业布置1. 完成课后练习题，包括选择题、填空题和应用问题。
2. 准备下一节课的预习内容，了解空间向量的线性组合和叉乘。
六、教学反思在课后，教师应反思本节课的教学效果，包括学生的参与度、理解程度和掌握情况。
根据学生的反馈和表现，调整教学方法和策略，以便更好地进行后续教学。
六、教学评价1. 评价方式：通过课堂讲解、练习题和实际问题解决，评价学生对空间向量的概念理解和运算掌握程度。
2. 评价标准：学生能准确地描述空间向量的概念，理解向量的几何表示和坐标表示；能熟练地进行向量的加法、减法、数乘和点乘运算；能将向量知识应用到实际问题中，解决问题。
七、拓展与延伸1. 向量的线性组合：向学生介绍空间向量的线性组合概念，讲解线性组合的性质和运算规律。
2. 向量的叉乘：向学生介绍空间向量的叉乘概念，讲解叉乘的性质和运算规律。
3.1《空间向量及其运算》教案(新人教选修2-1)
空间向量及其运算( 一 )教课目标：1．理解空间向量的观点，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算.2．用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题..教课要点：空间向量的加法、减法和数乘运算及运算律.教课难点：用向量解决立几问题.讲课种类：新讲课 .课时安排： 1 课时 .教具：多媒体、实物投影仪.教课过程：一、复习引入：1.向量的观点(1)向量的基本因素：大小和方向 .(2) 向量的表示：几何表示法uuur r r rAB ，a；坐标表示法 a xi yj ( x, y) .(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜ a ｜.(4)特别的向量：零向量 a ＝0｜a｜＝ 0.单位向量 a0为单位向量｜ a0｜＝1.(5)相等的向量：大小相等，方向同样( x1 , y1 )( x2 , y2 )x1x2 y1y2(6)平行向量 ( 共线向量 ) ：方向同样或相反的向量，称为平行向量. 记作a∥b . 因为向量能够进行随意的平移( 即自由向量 ) ，平行向量总能够平移到同向来线上，故平行向量也称为共线向量.2.向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数目（内积）及其各运算的坐标表示和性质运算种类几何方法坐标方法运算性质向a b b a量1.平行四边形法例a b( a b)c a (b c)的2.三角形法例( x1x2 , y1y2 )加uuur uuur uuur法AB BC AC向a b a( b)量a b uuur uuur的三角形法例( x1x2 , y1y2 )AB BA减uuur uuur uuur法OB OA AB向 1. a 是一个向量,知足:量 2.>0 时 , a与a同a ( x, y)( a) ()a的向 ;()a a a 乘<0 时, a 与a异法向 ;( a b)a b=0 时 , a =0.a ∥b a ba ?b b ? a向 a ? b 是一个数( a) ? b a ? (b)(a ?b)量 1. a 0或b0 时,的a? b =0 a ?b( a b) ? c a ? c b ? c数 2. a 0且b0 时,x1 x2y1 y2量 a ? b | a || b | cos(a,b) a 2 | a |2| a |x2y2积| a ? b | | a || b |3.重要定理、公式：(1)平面向量基本定理e1 ,e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，关于这个平面内任一直量，有且仅有一对实数 1 ,2，使a1e1 2 e2(2)两个向量平行的充要条件a ∥b a ＝λb x1 y2x2 y10 .(3)两个向量垂直的充要条件a ⊥b a ·b＝O x1 x2y1 y20 .(4)线段的定比分点公式设点 P分有向线段uuur uuur所成的比为λ，即PP＝λ PP，则12uuur1uuur1uuur( 线段的定比分点的向量公式 ) OP ＝OP ＋OP1112x x1x2,1( 线段定比分点的坐标公式 )y y1y2. 1当λ＝1时，得中点公式：uuur1uuur uuur x x1x2 ,2OP ＝2（ OP1＋ OP2）或y1y2y.2(5)平移公式设点 P( x, y) 按向量 a(h, k) 平移后获得点uuur uuur x x h, P (x , y ) ，则 OP ＝ OP+ a或y，y k.曲线 y f (x) 按向量 a(h, k) 平移后所得的曲线的函数分析式为：y k f (x h)(6)正、余弦定理正弦定理：a b c2R. sin A sin B sin C余弦定理： a2b2c22bc cos A cos A b2 c 2a22bcb2 c 2a22ac cos B cos B c2 a 2b22cac2a2b22ab cosC cosC a 2b2c2.2ab二、解说新课：1．空间向量的观点：在空间，我们把拥有大小和方向的量叫做向量.注：⑴空间的一个平移就是一个向量.⑵向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量.⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示.2．空间向量的运算定义：与平面向量运算同样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算以下（如图）uuur uuur uuur r vOB OA AB a bD'C'CbA'B'a aB bb D CaO AA Buuur uuur uuur r rBA OA OB a buuur rR)OP a(运算律：⑴加法互换律： a b b a⑵加法联合律：( a b ) c a (b c)⑶数乘分派律：( a b)a b3．平行六面体：平行四边形 ABCD 平移向量 a 到 A B C D 的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体， 并记作：ABCD － A B C D .它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱 .三、解说典范：例 1.已知平行六面体 ABCD － A B C D 化简以下向量表达式，标出化简结果的向量.uuur uuur uuur uuur uuur ⑴ AB BC ；⑵ AB AD AA ；uuur uuur1 uuuur1 uuur uuur uuurD'C'⑶AB ADCC；⑷3( AB ADAA).2A'B'M解：如图：uuur uuur uuur ⑴ ABBC AC ；uuur uuur uuur uuur uuur uuuur ⑵ ABADAA =AC AA AC ；GDCABuuur uuur1 uuuuruuur uuuur uuuur⑶设 M 是线段 CC 的中点，则 ABADCCACCMAM ；2⑷设 G 是线段 AC 的三等份点，则1 uuur uuur uuur1 uuuuruuur3 (ABADAA )ACAG .3uuur uuuur uuuur uuur向量 AC, AC , AM , AG 以下图 :例 2 已知空间四边形ABCD ，连接 AC, BD ，设 M ,G 分别是 BC ,CD 的中点，化简以下各表uuur uuur uuur达式，并标出化简结果向量：（1） ABBCCD ；uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur（2） AB ( BD BC) ；（ 3） AG (AB AC)．A2 2解：如图， uuur uuur uuur uuur uuuruuur（1） AB BC CD AC CD AD ；uuur uuur uuur uuur uuur uuurB（2） AB 1 (BD BC ) AB 1 BC 1 BDDuuur 2uuuur uuuur uuur 2 2MGAB BM MG AG ；uuur 1 uuuruuur uuur uuuur uuuur C（3） AG ( ABAC) AG AM MG ．2四、讲堂练习 ：1．如图，在空间四边形ABCD 中， E, F 分别是 AD 与 BC 的中点，uuur1 uuur uuur求证： EF(AB DC)．21 uuur1 uuuruuur uuur uuur uuuruuur证明： EF ED DC CF2 ADDC2CBA1 uuur uuur uuur1 uuur2( ABBD )DCCB2EBDFC1uuur uuur1uuur uuur2AB DC2(CB BD )1 uuur uuur1uuur2AB DC2CD1uuur uuur2( AB DC )r r r r r r r r r r r r r rr2．已知2x3y3a b4c ，3x y8a5b c ，把向量 x, y 用向量 a,b , c 表示.r r r r r r r r r r解 : ∵2x 3y3a b4c， 3x y8a5b cr r r r r r r r∴ x3a2b c ， y a b2c uuur r uuur r uuur r3 ．如图，在平行六面体ABCD ABCD 中，设AB a ， AD b, AA c ， E, F 分别是AD , BD 中点，uuuur uuur D' r r r；C'（ 1）用向量a, b,c表示D B, EFuuur uuur uuur uuuur uuuur （ 2 ）化简：AB BB BC C D2DE；uuuur uuuur uuuur uuur r r r 解 : （ 1）D B D A A B B Bb a cuuur uuur uuur uuur1 uuur r1 uuurEF EA AB BF D A a BDr 2r21r r 1 r1r r ( b c) a( a b )(a c ) 222A'B'EDCFA B五、小结：空间向量的有关的观点及空间向量的表示方法；平行六面体的观点；向量加法、减法和数乘运算 .六、课后作业：如图设 A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重心.求证：uuur 1 uuur uuur uuurAG(AB AC AD) .3A七、板书设计（略）.八、课后记：BG DC3.1《空间向量及其运算》教案(新人教选修2-1)。
教案)空间向量及其运算
空间向量及其运算第一章：空间向量的概念1.1 向量的定义介绍向量的定义和表示方法解释向量的方向和大小1.2 向量的图形表示绘制向量的起点和终点展示向量的箭头表示法1.3 向量的坐标表示介绍坐标系的概念解释如何用坐标表示向量第二章：空间向量的运算2.1 向量的加法介绍向量加法的定义和性质演示向量加法的图形表示法2.2 向量的减法介绍向量减法的定义和性质演示向量减法的图形表示法2.3 向量的数乘介绍向量数乘的定义和性质解释数乘对向量大小和方向的影响第三章：空间向量的线性组合3.1 线性组合的概念介绍线性组合的定义和表示方法解释线性组合的性质3.2 线性相关的向量组介绍线性相关的定义和判定条件展示线性相关向量组的例子3.3 线性无关的向量组介绍线性无关的定义和判定条件解释线性无关向量组的重要性第四章：空间向量的线性变换4.1 线性变换的概念介绍线性变换的定义和表示方法解释线性变换的性质4.2 矩阵与线性变换介绍矩阵的概念和表示方法解释矩阵与线性变换的关系4.3 线性变换的矩阵表示解释线性变换的矩阵表示方法演示如何求解线性变换的矩阵第五章：空间向量的内积和外积5.1 内积的概念介绍内积的定义和表示方法解释内积的性质和几何意义5.2 内积的计算公式介绍内积的计算公式和推导过程演示如何计算两个向量的内积5.3 外积的概念介绍外积的定义和表示方法解释外积的性质和几何意义5.4 外积的计算公式介绍外积的计算公式和推导过程演示如何计算两个向量的外积第六章：空间向量的投影6.1 投影的概念介绍向量投影的定义和表示方法解释投影的性质和几何意义6.2 投影的计算方法介绍投影的计算方法和推导过程演示如何计算一个向量在另一个向量上的投影6.3 投影的应用解释投影在几何和物理中的应用展示投影在坐标变换和图像处理中的应用第七章：空间向量的正交性7.1 正交性的概念介绍正交性的定义和表示方法解释正交性的几何意义和重要性7.2 正交向量组介绍正交向量组的定义和判定条件展示正交向量组的例子7.3 施密特正交化解释施密特正交化的概念和推导过程演示如何将一组向量正交化第八章：空间向量的范数8.1 范数的概念介绍范数的定义和表示方法解释范数的性质和几何意义8.2 常见范数介绍常见范数的概念和计算方法演示如何计算向量的不同范数8.3 范数与向量空间解释范数与向量空间的关系展示范数对向量空间结构的限制第九章：空间向量的角度和距离9.1 角度的概念介绍向量角度的定义和表示方法解释向量角度的几何意义9.2 角度的计算方法介绍向量角度的计算方法和推导过程演示如何计算两个向量之间的角度9.3 距离的概念介绍向量距离的定义和表示方法解释向量距离的几何意义9.4 距离的计算方法介绍向量距离的计算方法和推导过程演示如何计算两个向量之间的距离第十章：空间向量的应用10.1 向量在几何中的应用解释向量在几何中的作用和应用展示向量在证明几何定理和解决问题中的应用10.2 向量在物理中的应用介绍向量在物理中的基本概念和应用解释向量在力学和电磁学中的应用10.3 向量在工程和计算机科学中的应用介绍向量在工程和计算机科学中的应用展示向量在图像处理、机器学习和数据可视化等方面的应用第十一章：空间向量的分解11.1 向量分解的概念介绍向量分解的定义和表示方法解释向量分解的意义和几何意义11.2 向量的线性组合分解介绍向量的线性组合分解方法和步骤演示如何将一个向量分解为线性组合11.3 向量的正交分解解释向量的正交分解的概念和推导过程演示如何将一个向量正交分解为两个正交向量的和第十二章：空间向量组的极大线性无关组12.1 极大线性无关组的概念介绍极大线性无关组的定义和判定方法解释极大线性无关组的意义和重要性12.2 基底的概念介绍基底的概念和表示方法解释基底的作用和几何意义12.3 基底的选取方法介绍基底的选取方法和策略展示如何选择合适的基底第十三章：空间向量空间和子空间13.1 向量空间的概念介绍向量空间的概念和性质解释向量空间的作用和重要性13.2 子空间的概念介绍子空间的概念和判定方法解释子空间的意义和几何意义13.3 子空间的性质和运算介绍子空间的性质和运算规则演示如何计算子空间的交集和并集第十四章：空间向量的线性映射14.1 线性映射的概念介绍线性映射的定义和表示方法解释线性映射的性质和几何意义14.2 线性映射的矩阵表示解释线性映射的矩阵表示方法和推导过程演示如何求解线性映射的矩阵14.3 线性映射的性质和运算介绍线性映射的性质和运算规则展示线性映射的图像和特点第十五章：空间向量的应用案例分析15.1 向量在几何中的应用案例分析向量在几何中的经典应用案例解释向量在解决几何问题中的作用和方法15.2 向量在物理中的应用案例分析向量在物理中的经典应用案例解释向量在解决物理问题中的作用和方法15.3 向量在工程和计算机科学中的应用案例分析向量在工程和计算机科学中的经典应用案例解释向量在解决工程和计算机科学问题中的作用和方法重点和难点解析1. 向量的概念及其表示方法：向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示法、坐标表示法等方法表示。
《空间向量及其运算》第一课时示范公开课教学设计【高中数学】
《空间向量及其运算》教学设计◆教学目标1、了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共面向量等概念．提升学生的数学运算、逻辑推理素养；.2、会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，掌握数乘向量运算的意义及运算律．提高运算、抽象、推理等数学思维能力．◆教学重难点◆教学重点：熟练掌握空间向量的加法、减法、数乘的计算方法.教学难点：利用空间向量的加法、减法、数乘的计算方法解决简单的问题.◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、整体概览问题1：阅读课本第2页，回答下列问题：（1）本章将要研究哪类问题？（2）本章要研究的对象在高中的地位是怎样的？（3）本章研究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.预设的答案：（1）本章内容共分为空间向量及其运算和空间向量在立体几何中的应用两大部分.第一部分空间向量及其运算,包含空间向量及其运算、空间向量基本定理、空间向量的坐标与空间直角坐标系三小节内容.第二部分空间向量在立体几何中的应用包含五小节内容.首先将立体几何中的基本研究对象空间中的点、直线和平面用空间向量表示,然后把点、线、面的位置关系和向量运算建立联系,通过向量运算研究平行、垂直、角和距离等位置和数量关系．（2）本章是“几何与代数”这条内容主线在选择性必修部分的承接.空间向量的引入,为解决三维空间中的图形的位置关系和度量关系提供了一个十分有效的工具.在本章中,学生将在学习平面向量的基础上,把平面向量及其运算推广到空间,运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题,体会向量方法在研究几何图形中的作用,进一步发展学生的直观想象、数学运算的核心素养．（3）本章的起点是空间向量的概念，通过学生已经学习过的平面向量的概念，通过例题说明向量源于实际并应用于实际，这符合学生的认知规律，在实际教学中，要利用学生的生活经验以及他们学过的其他学科，创设丰富的情景，使学生进一步理解空间向量概念的实质，激发学生的学习兴趣,引导学生用数学眼光观察世界,用数学思维思考世界,用数学语言表达世界．设计意图：通过章引言内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.二、探索新知1、复习概念问题2：我们在必修第二册第六章中曾经学习过平面向量的相关概念，请同学们回忆平面向量的相关概念．（板书：空间向量及其运算）师生活动：在教师的指导下共同回忆平面向量的相关概念．教师讲解：①在平面内，既有大小又有方向的量称为向量(也称为矢量)．②向量的大小也称为向量的模(或长度)．③可以用有向线段来直观地表示向量,其中有向线段的长度表示向量的大小,有向线段箭头所指的方向表示向量的方向.有向线段不带箭头的端点称为向量的始点(或起点),带箭头的端点称为向量的终点.④有向线段始点和终点的相对位置确定向量的大小与方向.始点为A，终点为B的向量,记为AB,向量的模用|AB|表示,还可用一个小写字母来表示向量:在印刷时,通常用加粗的斜a b c来表示向量.此时,向体小写字母如a,b,c来表示向量;在书写时,用带箭头的小写字母如,,量a的模也用|a|或|a|来表示．⑤始点和终点相同的向量称为零向量,零向量的方向是不确定的.零向量在印刷时,通常用0表示;书写时,用0表示.零向量的模为|0|,即|0|=0.⑥模等于1的向量称为单位向量.因此,e是单位向量的充要条件是|e|=1.a b.⑦大小相等、方向相同的向量称为相等的向量.向量a和b相等,记作⑧如果两个非零向量的方向相同或者相反,则称这两个向量平行.通常规定零向量与任意a b,两个向量平行也称为两个向量共线.向量平行.两个向量a和b平行,记作//设计意图：通过复习,引导学生把握数学内容的本质,使学生对平面向量的相关概念加深理解,为下面学习空间向量的相关概念打下坚实的基础.2、形成定义观察上述平面向量的有关概念,思考能否将它们从平面推广到空间中，如果能,尝试说出推广后的不同之处;如果不能,说明理由．师生活动：通过类比，学生自己得出空间向量的概念．教师讲解：只要去掉“在平面内”的限定，就都可以原封不动地推广到空间中，因此，我们仍使用上述向量的概念与约定如下.（1）空间向量①空间向量的定义在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．②空间向量及其模的表示方法空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模．如图，a 的起点是A ，终点是B ，则a 也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|.③特殊向量不同之处：空间中的向量，除了共线之外，我们还要讨论共面的情形.一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在同一平面内，则称这些向量共面；否则，称这些向量不共面.设计意图：通过回顾平面向量的相关概念可以知道,对于一个向量,只要不改变它的大小和方向,是可以任意平行移动的.不过平面向量仅限于研究同一平面内的平移,而空间向量研究的是空间中的平移.提高学生的逻辑推理素养．问题3：如图1-1-2，请指出下列各组向量的位置关系.（1）1AA ，1DD ； （2）1AA ，11B C ； （3）1AA ，1DD ，11B C ； （4）1AA ，AD ，AB ；师生活动：学生观察图，自己写出答案，教师给出答案．预设的答案：（1）共线向量；（2）不共线向量，但是共面向量；（3）共面向量；（4）不共面向量.设计意图：充分体会空间向量的方向和模的大小，强化概念理解．问题4:回忆平面向量的加法运算，思考如何定义空间向量的加法，并尝试总结空间向量加法运算与平面向量加法运算有何不同？ 师生活动：学生根据平面向量的加法运算给出空间向量的加法运算．教师讲解：我们知道,给定两个平面向量,a b ,在该平面内任取一点A ,作,==AB a BC b ,作出向量AC ,则AC 是向量,a b 的和(也称AC 为向量,a b 的和向量).向量,a b 的和向量记作+a b ,因此+=AB BC AC .当平面向量,a b 不共线时,,a b ,+a b 正好能构成一个三角形,如图1-1-4所示,因此这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则.因为空间中的任意两个向量都共面，所以空间中两个向量的和，除了A 点可以在空间中任意选定之外，其他的与平面情形完全一样.特别地，向量加法的三角形法则和平行四边形法则在空间中也成立.空间向量的加法也可用平行四边形法则:任意给定两个不共线的向量,a b ,在空间中任取一点A ,作,==AB a AC b ,以AB ,AC 为邻边作个平行四边形ABDC ,作出向量AD ,则=+AD AB AC .问题5：如图1-1-5所示的长方体1111-ABCD A BC D 中，求下列向量的和．（1）111+AA B C (2)1++AB AD AA师生活动：学生根据空间向量的加法运算进行计算．预设的答案：（1）1111111+=+=AA BC AA AD AD (2)111++=+=AB AD AA AC AA AC设计意图：通过具体实例加强对平行四边形法则或者三角形法则的理解和应用．问题6：向量加法的运算法则(1)交换律 a ＋b ＝b ＋a ；(2)结合律 (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．它们在空间中是否成立呢？尝试证明结合律．预设的答案：如图可知，两个运算法则均成立.如图1-1-6，其中，,,===AB a BC b CO c ，而且，a ,=+=+AC AB BC bb ,=+=+BO BC COc 所以，(a )c,=+=++AO AC CO b(b ),=+=++AO AB BO a c 因此，()()++=++a b c a b c设计意图：通过对空间向量的加法交换律、结合律的推理论证,让学生知晓平面向量的加法交换律、结合律在空间依然成立,进一步培养学生的逻辑推理能力,促使学生提升数形结合的能力,发展几何直观和空间想象能力,使学生增强运用几何直观和空间想象思考问题的意识,进一步形成数学直观,能在具体的情境中感悟事物的本质.三、初步应用例 1 如图1-1-7中所示是一个平行六面体1111-ABCD A BC D ，化简1++DA DC DD师生活动：学生自行解答，由老师指定学生回答．预设的答案：因为底面ABCD 是一个平行四边形，所以,+=DA DC DB 又因为11=DD BB ,因此，111++=+=DA DC DD DB BB DB设计意图：例1旨在说明,三个不共面的向量的和,等于以这三个向量为邻边的平行六面体中,与这三个向量有共同始点的体对角线所表示的向量.问题7：结合平面向量的差向量概念，能否给出空间向量的差向量的概念及空间向量减法的法则？师生活动：学生先回顾平面向量的减法法则，总结给出空间向量的减法法则．预设的答案：在空间中任取一点O,作,==OA a OB b,作出向量BA,则向量BA就是向量,a b的差(也称BA为向量,a b的差向量),即-=OA OB BA,当,a b不共线时,向量,a b ,-a b正好能构成一个三角形,因此这种求两向量差的作图方法称为向量减法的三角形法则.设计意图：通过类比平面向量的减法法则得出空间向量减法法则，加强学生逻辑推理素养，并进一步认识空间向量的减法运算.问题8：结合平面向量的相反向量概念，能否给出空间向量相反向量的概念？师生活动：学生先回顾平面向量的相反向量，总结给出空间向量相反向量的概念．预设的答案：同平面中的情形一样,给定一个空间向量,我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量,向量a的相反向量记作-a.因此AB的相反向量是-AB,而且-AB=BA.追问：相反向量的性质有哪些？师生活动：学生空间向量相反向量的概念给出相反向量的性质，教师总结．预设的答案：（1）零向量的始点与终点相同,所以-=0；（2）--=（）a a；（3）()();+-=-+a a a a（4）若向量,a b互为相反向量，则0,,+==-=-a b a b b a设计意图：通过相反向量的概念及性质的学习，点通向量减法和加法之间的关系，融汇知识点，使学生更加方便理解概念.问题9：结合平面向量的数乘向量，能否给出空间向量数乘向量？师生活动：学生先回顾平面向量的相反向量，总结给出空间向量相反向量的概念．预设的答案：实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作λa，称为向量的数乘运算．（1）当λ≠0或a ≠0时，λa 的模是|λ||a|，且有①当λ>0时，λa 与向量a 方向相同；②当λ<0时，λa 与向量a 方向相反；（2）当λ=0或a=0时，λa=0.（3）空间向量的数乘运算满足分配律与结合律：分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb ，结合律：λ(μa )＝(λμ)a .设计意图：通过数乘向量的概念及性质的学习，清楚数乘向量的几何意义是把向量a 沿着a 的方向或a 的反方向扩大或缩小．例2 ：设AB 是空间中的任意一条线段，O 是空间中任意一点，求证：M 为线段中点的充要条件是1()2=+OM OA OB 师生活动：学生根据所学知识自己证明，教师根据学生所做情况给出讲解．预设的答案：因为M 为AB 中点⇔=AM MB ,1()2⇔-=-⇔=+OM OA OB OM OM OA OB ,所以结论成立．例3：如图1-1-10所示，三棱锥A -BCD 中，O 为CD 的中点，化简1()2+-AB BC DB ，并在图中作出表示化简结果的向量.师生活动：学生根据所学知识自己证明，教师根据学生所做情况给出讲解．预设的答案： 1()21=()2+-++=+=AB BC DB AB BC BD AB BOAO四、归纳小结，布置作业问题10：（1）什么是空间向量？空间向量的模？向量的始点和终点？（2）什么是零向量、单位向量？（3）什么是相等向量？相反向量？（4）什么是数乘向量？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：（1）在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量及其模的表示方法空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模．如图，a 的起点是A ，终点是B ，则a 也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|.（2）规定长度为0的向量叫零向量，记为0，模为1的向量叫单位向量．（3）方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量；与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量记为－a ．（4）实数λ与空间向量a 的乘积仍然是一个向量，记作λa ，称为向量的数乘运算． 设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确空间向量的概念的有关知识． 布置作业：教科书第11页练习A 2, 5题．五、目标检测设计1.如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量AC 1→的共有( )①(＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个设计意图：考查学生对空间向量的加法运算．2.化简：(1)12(a ＋2b －3c )＋5⎝⎛⎭⎫23a －12b ＋23c ＝________； (2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝________．设计意图：考查学生对空间向量线性运算简单应用．3．下列说法中正确的是 ( )A ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．空间向量的减法满足结合律D ．在四边形ABCD 中，一定有AB →＋AD →＝AC →设计意图：考查学生对向量概念的理解．参考答案：1．D [根据空间向量的加法法则以及正方体的性质逐一进行判断：①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→．②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→．③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→．④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→．所以，所给4个式子的运算结果都是AC 1→．]2．(1)236a －32b ＋116c (2)0 [(1)原式＝12a ＋b －32c ＋103a －52b ＋103c ＝236a －32b ＋116c ． (2)原式＝AB →－AC →－CD →＋BD →＝CB →＋BD →－CD →＝CD →－CD →＝0．]3．B [|a |＝|b |，说明a 与b 模长相等，但方向不确定．对于a 的相反向量b ＝－a ，故|a |＝|b |，从而B 正确．只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有AB→＋AD→＝AC→，只有平行四边形才能成立．故A、C、D均不正确．]。
人教版高中选修2-13.1空间向量及其运算课程设计
人教版高中选修2-13.1空间向量及其运算课程设计一、课程目标本课程旨在帮助学生：1.掌握空间向量的概念和基本性质2.掌握空间向量的加法、减法、数量积和向量积等运算方法3.能够应用空间向量的相关知识解决实际问题4.培养学生的数学思维能力和数学建模能力二、课程内容及安排第一课时（2课时）1. 空间向量的概念和基本性质•空间向量的定义•空间向量的基本性质2. 空间向量的表示方法•坐标表示法•向量表示法3. 空间向量的相等和共线•空间向量的相等•空间向量的共线第二课时（2课时）1. 空间向量的加法和减法•空间向量的加法定义•空间向量的减法定义•空间向量的几何意义2. 空间向量的数量积•空间向量的数量积定义•数量积的几何意义•两个非零向量的数量积为0的判定方法第三课时（2课时）1. 空间向量的向量积•向量积的定义•向量积的几何意义•向量积的性质2. 向量积的坐标表示法•向量积的坐标表示法•向量积的计算方法第四课时（2课时）1. 空间向量的混合积•混合积的概念和含义•混合积的性质和计算方法2. 空间向量在几何问题中的应用•平面方程的解法•直线间的距离和夹角•空间图形体积的计算三、教学方法和手段1.设计合理的教学计划和教学内容，使学生有序地掌握和运用知识。
2.采用多种形式的教学方法，如讲解、演示、练习和案例分析等，激发学生的学习兴趣，加深对知识的理解和记忆。
3.结合实际问题，运用空间向量的相关知识进行建模，培养学生的实际问题解决能力。
4.利用计算机辅助教学软件，如MATLAB和Mathematica等，辅助授课和实验教学。
四、教学评估1.根据学生的掌握情况，开展阶段性测试和调查，及时掌握学生的学习情况和需求，及时调整和改进教学内容和方法。
2.设计课程作业和课程论文，要求学生运用空间向量的相关知识解决具体问题，培养学生的实际问题解决和论文写作能力。
3.开展模拟实验和综合实验，考察学生的实验操作能力和实验分析能力。
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空间向量及其运算【高考导航】本节内容是高中教材新增加的内容，在近两年的高考考查中多作为解题的方法进行考查，主要是解题的方法上因引入向量得以扩展.例如2001上海5分，2002上海5分.【学法点拨】本节共有4个知识点：空间向量及其线性运算、共线向量与共面向量、空间向量的分解定理、两个向量的数量积.这一节是空间向量的重点，在学习本节内容时要与平面向量的知识结合起来，认识到研究的范围已由平面扩大到空间.一个向量是空间的一个平移，两个不平行向量确定的是一个平行平面集，在此基础上，把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间，得出空间直线与平面的表达式，有了这两个表达式，我们可以很方便地解决空间的共线和共面问题.空间向量基本定理是空间几何研究代数化的基础，有了这个定理，整个空间被3个不共面的基向量所确定，空间一个点或一个向量和实数组（x ，y ，z ）建立起一一对应关系，空间向量的数量积一节中，由于空间任一向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义、取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同.【基础知识必备】一、必记知识精选1.空间向量的定义(1)向量：在空间中具有大小和方向的量叫作向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.(2)向量的表示有三种形式：a ,AB ，有向线段.2.空间向量的加法、减法及数乘运算.(1)空间向量的加法.满足三角形法则和平行四边形法则，可简记为:首尾相连，由首到尾.求空间若干个向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量.首尾相接的若干个向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0，即21A A +32A A +…1A A n =0.(2)空间向量的减法.减法满足三角形法则,让减数向量与被减数向量的起点相同,差向量由减数向量的终点指向被减数向量的终点,可简记为“起点相同,指向一定”,另外要注意OA -OB =BA 的逆应用.(3)空间向量的数量积.注意其结果仍为一向量.3.共线向量与共面向量的定义.(1)如果表示空间向量的有向线段在直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b ⇔a=λb ,若A 、B 、P 三点共线,则对空间任意一点O ,存在实数t,使得OP =(1-t)OA +t OB ,当t=21时,P 是线段AB 的中点,则中点公式为OP =21(OA +OB ). (2)如果向量a 所在直线O A 平行于平面α或a 在α内,则记为a ∥α,平行于同一个平面的向量,叫作共面向量，空间任意两个向量，总是共面的.如果两个向量a、b不共线.则向量p 与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x、y.使p=xa+yb.对于空间任一点O和不共线的三点A、B、C，A、B、C、P共面的充要条件是OP=x OA+y OB+z OC（其中x+y+z=1）.共面向量定理是共线向量定理在空间中的推广，共线向量定理证三点共线，共面向量定理证四点共面.4.空间向量基本定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个惟一的有序实数组x、y、z，使p=xa+yb+zc.特别的，若a、b、c不共面，且xa+yb+zc=O，则x=y=z=0.常以此列方程、求值.由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，隐含着三向量都不是0.空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底.要注意，一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一向量.5.两个向量的数量积.a·b=|a|·|b|·cos（a,b），性质如下：（1）a·e=|a|·cos<a,e>；（2）a⊥b a·b=0.（3）|a|2=a·a；（4）|a|·|b|≥a·b.二、重点难点突破（一）重点空间向量的加法、减法运算法则和运算律；空间直线、平面向量参数方程及线段中点的向量公式.空间向量基本定理及其推论，两个向量的数量积的计算方法及其应用.（二）难点空间作图，运用运算法则及运算律解决立体几何问题，两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转化为向量计算问题.对于重点知识的学习要挖掘其内涵，如从向量等式的学习中可以挖掘出：（1）向量等式也有传递性；（2）向量等式两边加（减）相同的量，仍得等式.即“移项法则”仍成立；（3）向量等式两边同乘以相等的数或点乘相等的向量，仍是等式.这样知识掌握更加深刻.用空间向量解决立体几何问题.一般可以按以下过程进行思考：（1）要解决的问题可用什么向量知识来解决?需要用到哪些向量？（2）所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？（3）所需要的向量若不能直接用已知条件转化为向量表示，则它们分别易用哪个未知向量表示？这些未知向量与已知条件转化而来的向量有何关系？(4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到所需要的结论?三、易错点和易忽略点导析两个向量的夹角应注意的问题：①（a，b）=（b，a）；②（a,b）与表示点的符号（a,b）不同;③如图9-5-1(a)中的∠AOB=<OA,OB>.图(b)中的∠A O B=π-（AO，OB）,<-OA,OB>＝<OA,-OB>=π-（AO，OB）.【综合应用创新思维点拨】一、学科内综合思维点拨【例1】 已知两个非零向量e 1、e 2不共线，如果AB =e 1+e 2，AC =2e 1+8e 2，AD =3e 1-3e 2.求证：A 、B 、C 、D 共面.思维入门指导：要证A 、B 、C 、D 四点共面，只要能证明三向量AB 、AC 、AD 共面，于是只要证明存在三个非零实数λ、μ、υ使λAB +μAC +υAD =0即可. 证明:设λ(e 1+e 2)+μ(2e 1+8e 2)+υ(3e 1-3e 2)=0.则(λ+2μ+3υ)e 1+(λ+8μ-3υ)e 2=0.∵e 1、e 2不共线，∴⎩⎨⎧=-+=++.038,032υμλυμλ上述方程组有无数多组解,而λ=-5,μ=1,υ=1就是其中的一组,于是可知-5AB +AC +AD =0.故AB 、AC 、AD 共面，所以A 、B 、C 、D 四点共面.点拨：寻找到三个非零实数λ=-5,μ=1,υ=1使三向量符合共面向量基本定理的方法是待定系数法.二、应用思维点拨【例2】 某人骑车以每小时α公里的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2α时，感到风从东北方向吹来.试求实际风速和风向.思维入门指导：速度是矢量即为向量.因而本题先转化为向量的数学模型，然后进行求解，求风速和风向实质是求一向量.解:设a 表示此人以每小时α公里的速度向东行驶的向量.在无风时,此人感到风速为-a ,设实际风速为v ,那么此人感到的风速向量为v-a .如图9-5-2.设OA =-a ,OB =-2a .由于PO +OA =PA ,从而PA =v-a .这就是感受到的由正北方向吹来的风.其次，由于PO +OB =PB ，从而v-2=PB .于是，当此人的速度是原来的2倍时感受到由东北方向吹来的风就是PB .由题意,得∠PB O =45°, PA ⊥B O ，BA=A O ，从而△PB O 为等腰直角三角形.故P O =PB=2α.即|v|=2α.答：实际吹来的风是风速为2α的西北风.点拨：向量与物理中的矢量是同样的概念，因而物理中的有关矢量的求解计算在数学上可化归到平面向量或空间向量进行计算求解.知识的交叉点正是高考考查的重点，也能体现以能力立意的高考方向.三、创新思维点拨【例3】 如图9-5-3(1)，已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 边AB 、BC 、CD 、DA 的中点.（1）用向量法证明E 、F 、G 、H 四点共面；（2）用向量法证明BD ∥平面EFGH.思维入门指导:(1)要证E 、F 、G 、H 四点共面，根据共面向量定理的推论，只要能找到实数x,y,使EG =x EF +y EH 即可;(2)要证BD ∥平面EFGH,只需证向量BD 与EH 共线即可. 证明:(1)如图9-5-3(2),连结BG,则EG =EB +BG =EB +21(BC +BD )=EB +BF +EH =EF +EH . 由共面向量定理推论知，E 、F 、G 、H 四点共面. (2)∵EH =AH -AE =21AD -21AB =21(AD -AB )=21BD , ∴EH ∥BD.又EH ⊂面EFGH ，BD ⊄面EFGH ，∴BD ∥平面EFGH.点拨：利用向量证明平行、共面是创新之处，比较以前纯几何的证明，显而易见用向量证明比较简单明快.这也正是几何问题研究代数化的特点.【例4】 如图9-5-4，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为D 1C 1的中点，试求A 1C 1与DE 所成角.思维入门指导：在正方体AC 1中，要求A 1C 1与DE 所成角,只需求11C A 与DE 所成角即可.要求11C A 与DE 所成角，则可利用向量的数量积，只要求出11C A ·DE 及|11C A |和|DE |即可.解:设正方体棱长为m,AB =a,AD =b,1AA =c.则|a |=|b |=|c |=m ，a ·b =b ·c =c ·a =0.又∵11C A =11B A +11C B =AB +AD =a +b ,DE =1DD +E D 1=1DD +2111C D =c +21a ,∴11C A ·DE =(a+b)(c+21a)=a ·c +b ·c +21a 2+21a ·b =21a 2=21m 2. 又∵|11C A |=2m,|DE |=25m, ∴cos<11C A ,DE >=||||1111DE C A DEC A ••=m m m 252212•=1010. ∴<11C A ,DE >=arccos 1010.即A 1C 1与DE 所成角为arccos 1010. 点拨：A 1C 1与DE 为一对异面直线.在以前的解法中求异面直线所成角要先找（作），后求.而应用向量可以不作或不找直接求.简化了解题过程，降低了解题的难度.解题过程中先把11C A 及DE 用同一组基底表示出来,再去求有关的量是空间向量运算常用的手段.四、高考思维点拨【例5】 （2000，全国，12分）如图9-5-5，已知平行六面体ABCD 一A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB=∠C 1CD=∠BCD.(1)求证：C 1C ⊥BD ；(2)当1CC CD 的值为多少时,能使A 1C ⊥平面C 1BD?请给出证明. 思维入门指导：根据两向量的数量积公式a ·b =|a |·|b |cos<a,b >知，两个向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0,即a ⊥b ⇔a ·b =0, 所以要证明两直线垂直,只要证明两直线对应的向量数量积为零即可.(1)证明:设CD =a ,CB =b ,1CC =c .由题可知|a |=|b |.设CD 、CB 、1CC 中两两所成夹角为θ,于是BD =CD -CB =a -b ,1CC ·BD =c ·(a -b )=c ·a -c ·b =|c |·|a |cos θ-|c |·|b |cos θ=0,∴C 1C ⊥BD.(2)解:若使A 1C ⊥平面C 1BD,只须证A 1C ⊥BD,A 1C ⊥DC 1,由于:1CA ·D C 1=(CA +1AA )·(CD -1CC )=(a +b +c )·(a -c )=|a |2+a ·b -b ·c -|c |2=|a |2+|b |·|a |·cos θ-|b |·|c |cos θ-|c |2=0,得当|a |=|c |时A 1C ⊥DC 1.同理可证当|a |=|c |时,A 1C ⊥BD.∴1CC CD =1时,A 1C ⊥平面C 1BD. 点拨：对于向量数量积的运算一些结论仍是成立的.（a -b ）·（a +b ）=a 2-b 2；(a ±b )2=a 2±2a ·b +b 2.五、经典类型题思维点拨【例6】 证明：四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点，且互相平分.（此点称为四面体的重心）思维入门指导：如图9-5-6所示四面体ABCD 中，E 、F 、G 、H 、P 、Q 分别为各棱中点.要证明EF 、GH 、PQ 相交于一点O ，且O 为它们的中点.可以先证明两条直线EF 、GH 相交于一点O ，然后证明P 、O 、Q 三点共线，即OP 、OQ 共线.从而说明PQ 直线也过O 点.证明：∵E 、G 分别为AB 、AC 的中点，∴EG ∥21BC.同理HF ∥21BC.∴EG ∥HF. 从而四边形EGFH 为平行四边形，故其对角线EF 、GH 相交于一点O ，且O 为它们的中点，连接O P 、O Q.∵OP =OG +GP ,OQ =OH +HQ ,而O 为GH 的中点， ∴OG +OH =0,GP ∥21CD ，QH ∥21CD. ∴GP =21CD ,QH =21CD . ∴OP +OQ =OG +OH +GP +HQ =0+21CD -21CD =0. ∴OP =-OQ .∴PQ 经过O 点，且O 为PQ 的中点.点拨:本例也可以用共线定理的推论来证明,事实上,设EF 的中点为O .连接O P 、O Q,则FQ =EQ -EF ,而EQ =21AC =-FP ,EF =-2FO ,则FQ =-FP +2FO ,∴FO =21(FQ +FP )，从而看出O 、P 、Q 三点共线且O 为PQ 的中点，同理可得GH 边经过O 点且O 为GH 的中点，从而原命题得证.六、探究性学习点拨【例7】 如图9-5-7所示，对于空间某一点O ，空间四个点A 、B 、C 、D （无三点共线）分别对应着向量a =OA ，b =OB ,c =OC ,d =OD .求证：A 、B 、C 、D 四点共面的充要条件是存在四个非零实数α、β、γ、δ，使αa +βb +γc +δd =0，且α+β+γ+δ=0.思维入门指导：分清充分性和必要性，应用共面向量定理.证明：(必要性)假设A 、B 、C 、D 共面，因为A 、B 、C 三点不共线，故AB ，AC 两向量不共线，因而存在实数x 、y ，使AD =x AB +y AC ,即d-a=x(b -a )+y(c -a ),∴(x+y -1)a -xb -yc +d =0.令α=x+y-1, β=-x,γ=-y,δ=1.则αa+βb+γc+δd=0,且α+β+γ+δ=0.（充分性）如果条件成立，则δ=-(α+β+γ),代入得αa +βb +γc +δd =αa+βb+γc-(α+β+γ)d=0.即α(a-d)+ β(b-d)+γ(c-d)=0.又∵a -d=OA -OD =DA ,b-d=DB ,c-d=DC , ∴αDA +βDB +γDC =0.∵α、β、γ为非零实数,不妨设γ≠0. 则DC =-γαDA -γβDB . ∴DC 与DA 、DB 共面，即A 、B 、C 、D 共面.点拨：在讨论向量共线或共面时，必须注意零向量与任意向量平行，并且向量可以平移，因而不能完全按照它们所在直线的平行性、共面关系来确定向量关系.【同步达纲训练】A 卷:教材跟踪练习题 （60分 45分钟）一、选择题（每小题5分，共30分）1.点O 、A 、B 、C 为空间四个点，又OA 、OB 、OC 为空间一个基底，则下列结论不正确的是（ ）A.O 、A 、B 、C 四点不共线B. O 、A 、B 、C 四点共面，但不共线C. O 、A 、B 、C 四点中任三点不共线D. O 、A 、B 、C 四点不共面2.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,下列各式中运算的结果为的共有( )①（AB +BC ）+1CC ②（1AA +11D A ）+11C D③（AB +1BB ）+11C B ④（1AA +11B A ）+11C BA.1个B.2个C.3个D.4个3.设命题p ：a 、b 、c 是三个非零向量;命题q ：{a ,b ,c }为空间的一个基底，则命题p 是命题q 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB ·AC =0，AC ·AD =0，AB ·AD =0,则△BCD 是（ ） A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定5.下列命题中，正确的是（ ）A.若a 与b 共线，则a 与b 所在直线平行B.若a ∥平面β，a 所在直线为a ，则a ∥βC.若｛a,b,c ｝为空间的一个基底，则{a-b,b-c,c-a}构成空间的另一个基底D.若OP =21OA +21OB ,则P 、A 、B 三点共线 6.若a =e 1+e 2+e 3，b =e 1-e 2-e 3，c =e 1+e 2，d =e 1+2e 2＋3e 3，且d =x a+y b+z c ，则x 、y 、z 分别为（ ）A.25,-21,-1B.25,21,1 C.-25,21,1 D.25,-21,1 二、填空题（每小题4分，共16分）7.设向量a 与b 互相垂直，向量c 与它们构成的角都是60°，且|a |=5，|b |=3，|c |=8，那么（a +3c ）·（3b -2a ） ；（2a +b -3c ）2= .8.已知向量n A A 1=2a ，a 与b 的夹角为30°，且|a|=3，则21A A +32A A +…+n n A A 1-在向量b 的方向上的射影的模为 .9.如图9-5-8，已知空间四边形O ABC ，其对角线为O B 、AC ，M 是边O A 的中点,G 是△ABC 的重心，则用基向量OA 、OB 、OC 表示向量MG 的表达式为 .10.已知P 、A 、B 、C 四点共面且对于空间任一点O 都有OP =2OA +34OB +λOC ,则λ= .三、解答题（每小题7分，共14分）11.如图9-5-9，已知点O 是平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1体对角线的交点，点P 是空间任意一点.求证：PA +PB +PC +PD +1PA +1PB +1PC +1PD =8PO .12.如图9-5-10，已知线段AB 在平面α内，线段AC ⊥α，线段BD ⊥AB,且与α所成角是30°.如果AB=a,AC=BD=b,求C 、D 间的距离.B 卷:综合应用创新练习题 （90分 90分钟）一、学科内综合题(10分)1.如图9-5-11所示，已知□ABCD ，O 是平面AC 外一点，1OA =2OA ,1OB =2OB ,1OC =2OC ,1OD =2OD .求证：A 1、B 1、C 1、D 1四点共面.二、应用题（10分） 2.在△ABC 中，∠C=60°,CD 为∠C 的平分线,AC=4，BC=2，过B 作BN ⊥CD 于N 延长交CA 于E ，将△BDC 沿CD 折起，使∠BNE=120°，求折起后线段AB 的长度.三、创新题（60分）（一）教材变型题(10分)3.（P 35练习2变型）如图9-5-12已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，求AB 与CD 的夹角.（二）一题多解(15分)4.已知矩形ABCD,P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且M 分PC 成定比2，N 分PD 成定比1，求满足MN =x AB +y AD +z AP 的实数x 、y 、z 的值.（三）一题多变(15分)5.设a ⊥b,<a,c>=3π,<b,c>=6π，且|a |=1，|b |=2，|c |=3，求|a +b +c |. （1）一变：设a ⊥b ，<a ，c>=3π，<b ，c>=6π，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，求|a+2b-c|. （2）二变：设a ⊥b ，<a ，c>=3π，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，|a+b+c|=3617+，求-b 与c 的夹角.（四）新解法题（10分）6.如图9-5-13，正方形ABCD 和正方形ABEF 交于AB ，M 、N 分别是BD 、AE 上的点，且AN=DM ，试用向量证明MN ∥平面EBC.7.O 为空间任意一点,A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP =OA +λ(||||AC ACAB AB+),λ∈[0,+∞),则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A.外心B.内心C.重心D.垂心四、高考题(10分)8.（2002,上海,5分）若a 、b 、c 为任意向量，m∈R ，则下列等式不一定成立的是( )A.(a +b )+c =a +(b +c )B.(a +b )·c =a ·c +b ·cC.m(a +b )=ma+m bD.(a ·b )·c =a ·(b ·c )加试题：竞赛趣味题（10分）证明：ab b a -+22+ac c a -+22＞bc c b -+22(a ，b ，c 为正实数).【课外阅读】用向量表示三角形的四心由高中数学新教材中的向量知识出发，利用定比分点的向量表达式，可以简捷地导出三角形的重心、内心、垂心、外心这四心的向量表达式.【例】 如图9-5-14，在△ABC 中，F 是AB 上的一点,E 是AC 上的一点,且FB AF =l m ,EC AE =ln (通分总可以使两个异分母分数化为同分母分数)，连结CF 、BE 交于点D.求D 点的坐标.解：在平面上任取一点O ，连结O A 、O B 、O C 、O D 、O E 、O F ，由定比分点的向量表达式，得：OF =(OA +l m ·OB )÷(1+lm ) =ml OB m OA l +•+• ①OE =ln OC l n OA +•+1=n l OC n OA l +•+• ② 又OD =λλ+•+1OC OF =u OE u OB +•+1 ③(其中DCFD =λ,u DE BD =). 整理①、②、③式得λ=1+m n . 所以OD =n m l l ++OA +n m l m ++OB +nm l n ++OC ④ 由④式出发，可得三角形四心的向量表达式：（1）若BE 、CF 是△ABC 两边上的中线，交点G 为重心.由④式可得重心G 的向量表达式： OG =31(OA +OB +OC ). （2）若BE 、CF 是△ABC 两内角的平分线，交点I 是内心. 因为FB AF =a b ,EC AE =a c , 由④式可得内心I 的向量表达式：OI =c b a a ++OA +c b a b ++OB +cb ac ++OC . （3）若BE 、CF 是△ABC 两边上的高，交点H 是垂心.EC AE =Ca A c cos cos ••=Aa C ccos cos . 同理FBAF =Aa B bcos cos . 由④式可得垂心H 的向量表达式：OH =OA C c B b A a C a cos cos cos cos +++OB C c B b A a C b cos cos cos cos +++OC Cc B b A a C ccos cos cos cos ++. （4）若BE 、CF 的交点O ′是△ABC 的外心，即三边中垂线交点，则O ′A=O ′B=O ′C.根据正弦定理：EC AE =CBE C BE EBA A BE ∠•∠•sin sin sin sin =)(21sin sin )(21sin sin C BO A B AO C '∠-•'∠-•ππ =A A C C cos sin cos sin ••=AC 2sin 2sin .同理FB AF =A B 2sin 2sin . 由④式可得外心O ′的向量表达式：OO =C B A A 2sin 2sin 2sin 2sin ++OA +CB A B 2sin 2sin 2sin 2sin ++OB +OC CB AC 2sin 2sin 2sin 2sin ++. 这四个向量表达式，都由④式推出，都有着各自轮换对称的性质.好记，好用!新教材的优越性,由此可见.参考答案A 卷一、1.B 点拨：空间向量的一组基底是不共面的.2.D 点拨:AB +BC +1CC =AC +1CC =1AC ,同理根据空间向量的加法运算法则可知(2)、(3)、(4)的计算结果也为1AC .3.B 点拨：当三个非零向量a 、b 、c 共面时，a 、b 、c 不能构成空间的一个基底，但是｛a ，b,c ｝为空间的一个基底时，必有a 、b 、c 都是非零向量.因此由P 推不出q ，而由q 可推出P.4.B 点拨：AC ·AB =0⇒AC ⊥AB.同理可得AC ⊥AD,AB ⊥AD.设AB=a ，AC=b ，AD=c.则BC=22b a +,CD=22c b +,BD=22c a +. ∵cos∠BCD=CDBC BD CD BC •-+2222＞0,故△BCD 为锐角. 同理∠CBD 、∠BDC 亦为锐角.则△BCD 为锐角三角形.5.D 点拨:向量共线则其所在直线平行或重合,故A 错误;向量平行于平面,则向量在面内或所在直线与面平行,故B 错误;取λ1=λ2=λ3=1,则λ1(a-b)+λ2(b-c)+λ3(c-a)=0,即a-b,b-c,c-a 是共面向量,不能构成空间的基底,故C 错.x+y+z=1 x=25, 6.A 点拨: x-y+z=2 ⇒ y=-21, x-y=3 z=-1.二、7.-62，373 点拨：（a+3c ）·（3b-2a ）=3a ·b-2a 2+9c ·b-6a ·c=3|a|·|b|·cos90°-2|a|2+9|c|·|b|·cos60°-6|a|·|c|·cos60°=-62.8.3 点拨：∵21A A +32A A +…+n n A A 1-=n A A 1, ∴在b 方向投影为|n A A 1|·cos<n A A 1,b>=2|a|·cos30°=3.9.MG =-61OA +31OB +31OC 点拨：如答图9-5-1所示，连AG 延长交BC 于E ，MG =MA +AG =21OA +32AE =21OA +32·21(AB +AC )=21OA +31(OB -OA )+31(OC -OA )=-61OA +31OB +31OC .10.λ=-37 点拨：根据共面向量定理知，P 、A 、B 、C 四点共面，则OP =x OA +y OB +z OC ,且x+y+z=1.三、11.证明:设E 、E 1分别是平行六面体的面ABCD 与A 1B 1C 1D 1的中心,于是有 PA +PB +PC +PD =(PA +PC )+(PB +PD )=2PE +2PE =4PE , 同理可证1PA +1PB +1PC +1PD =41PE .又∵平行六面体对角线的交点O 是EE 1的中点，∴PE +1PE =2PO ,PA +PB +PC +PD +1PA +1PB +1PC +1PD =4PE +41PE =4(PE +1PE )=8PO .12.解:由AC ⊥α,可知AC ⊥AB.过D 作DD ′⊥α,D ′为垂足,则∠DBD ′=30°,<CA ,BD >=120°,|CD |2=CD ·CD =(CA +AB +BD )2=|CA |2+|AB |2+|BD |2+2CA ·AB +2CA ·BD + 2AB ·BD =b 2+a 2+b 2+2b 2·cos120°=a 2+b 2.∴CD=22b a +.B 卷一、1.证明：∵11C A =1OC -1OA =2OC -2OA =2(OC -OA )=2AC =2(AB +AD )=2[(OB -OA )+(OD -OA )]=2OB -2OA +2OD -2OA=(1OB -1OA )+(1OD -1OA )=11B A +11D A ,∴A 1、B 1、C 1、D 1四点共面.二、2.解：如答图9-5-2.解：过A 作AM ⊥CD 的延长线于M,则CM=4cos30°=23. CN=2co s30°=3,∴MN=CM -CN=3. 又AM=AC ·sin30°=2,BN=BC ·sing30°=1,且<NB ,NE >=120°, ∴<NB ,AM >=60°.∵AM ⊥MN ，则AM ·MN =0.同理MN ·NB =0. ∵AB =AM +MN +NB ,∴2AB =2AM +2MN +2NB +2AM ·MN +2AM ·NB +2MN ·NB=4+3+1+2|AM |·|NB |·cos60°=10.即|AM |=10,所以线段AB 长度为10.三、(一)3.解：取AB 、CD 的中点分别记为M 、N ，连结AN 、BN.∵空间四边形的每条边和对角线的长都等于a ，∴BN ⊥CD ，NA ⊥CD.∴AB ·CD =(AN +NB )·CD =AN ·CD +NB ·CD =0.则AB 、CD 所成的角为2. (二)4.解法一：如答图9-5-3，取PC 的中点E ，连结NE ，则MN =EN -EM .∵EN =21CD =21BA =-21AB , EM =PM -PE =32PC -21PC =61PC .连结AC,则PC =AC -AP =AB +AD -AP ∴MN =-21AB -61(AB +AD -AP )=-32AB -61AD +61AP . ∴x=-32,y=-61,z=61. 解法二：在PD 上取点F ，使F 分PD 所成定比为2，连结MF ，则MN =MF +FN =32CD +DN -DF =-32AB +21DP -31DP =-32AB +61DP =-32AB +61AP -61AD . ∴x=-32,y=-61,z=61. (三)5.解：|a +b +c |2=a 2+b 2+c 2+2a ·b +2a ·c +2b ·c=1+4+9+0+2×3×21+2×2×3×23=17+63. ∴|a +b +c |=3617+.(1)|a +2b -c |=31223-. (2)65π. (四)6.证明：设BC =a ，BE =b ，AB =c .∵AN ＝λ1(c +b )，DM =λ1(c -a )，AM =a +λ1(c -a )=(1-λ1)a +λ1c ,∴MN =AN -AM =(λ1-1)a +λ1b .∵a 、b 是平面EBC 上两个不共线的向量，∴(λ1-1)a +λ1b 必为平面EBC 上的一个向量ZY .由MN =ZY ，且MN ⊄面EBC ，必有MN ∥ZY ，所以MN ∥平面EBC.点拨：本题老解法是过M 、N 作AB 的垂线通过证面面平行得到线面平行的，新解法用向量证明.(五)7.B 点拨：本题是由2003年高考新课程卷改编而来，点P 的轨迹通过△ABC 内一定点，与O 点位置和△ABC 的形状无关，故取O 与A 重合.由平行四边形法则，易知P 在∠BAC 的平分线上.四、8.D 点拨：（a ·b ）·c =|a |·|b | cos θ·c ，a ·（b ·c ）=|b |·|c |cos α·a ，a 与c 的模不一定相等且不一定同向.加试题:证明:如答图9-5-4，构造三棱锥A —BCD ，且每个顶角均为60°，且|AB|=a ,|AC |=b ,|AD |=c ,则 ab b a -+22=b a b a •-+222=|AB -AC |=|BC |, ac c a -+22=c a c a •-+222=|AB -AD |=|BD |, bc c b -+22=c b c b •-+222=|AC -AD |=|CD |. 在三角形BCD 中,|BC |+|BD |＞|CD |, ∴ab b a -+22+ac c a -+22＞bc c b -+22.。