全等三角形知识点梳理
全等三角形知识点梳理
全等三角形知识点梳理全等三角形是指具有相同形状和相等大小的三角形。
在几何学中，全等三角形是一个重要的概念，它们具有许多有趣的性质和定理。
本文将对全等三角形的相关知识进行梳理，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、全等三角形的定义全等三角形是指具有相同形状和相等大小的三角形。
当两个三角形的对应边长和对应角度都相等时，我们可以说它们是全等三角形。
二、全等三角形的判定条件判定两个三角形是否全等有多种方法，常用的有以下几种：1. SSS判定法：如果两个三角形的三边分别相等，则它们是全等的。
2. SAS判定法：如果两个三角形的两边和夹角分别相等，则它们是全等的。
3. ASA判定法：如果两个三角形的两角和夹边分别相等，则它们是全等的。
4. RHS判定法：如果两个直角三角形的斜边和两个直角边分别相等，则它们是全等的。
三、全等三角形的性质和定理全等三角形具有以下性质和定理：1. 全等三角形的对应角度相等：如果两个三角形全等，它们的对应角度一定相等。
这是全等三角形的基本性质之一。
2. 全等三角形的对应边长相等：如果两个三角形全等，它们的对应边长一定相等。
这也是全等三角形的基本性质之一。
3. 全等三角形的性质可以推导其他性质：由全等三角形的性质，我们可以推导出许多有用的结论，如对应边角相等、对应角边相等等。
4. 全等三角形的周长和面积相等：如果两个三角形全等，它们的周长和面积一定相等。
这是全等三角形的重要性质之一。
5. 全等三角形的角平分线相等：如果两个三角形全等，它们的对应角的角平分线也是相等的。
这是有关全等三角形的重要定理之一。
6. 全等三角形的高线相等：如果两个三角形全等，它们的对应边的高线也是相等的。
这是有关全等三角形的重要定理之一。
四、全等三角形的应用全等三角形的概念和定理在几何学中有广泛的应用，例如：1. 在证明几何定理时，可以利用全等三角形的性质进行推导和证明。
2. 在计算几何问题中，可以利用全等三角形的性质求解未知量。
全等三角形的知识点梳理
《全等三角形》一、结构梳理二、知识梳理（一）概念梳理1．全等图形定义：两个能够完全重合的图形称为全等图形，全等图形的形状和大小都相同．例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形．2．全等三角形这是学好全等三角形的基础．根据全等形定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．完全重合有两层含义：（1）图形的形状相同；（2）图形的大小相等．符号“≌”也形象、直观地反映了这一点．“∽”表示图形形状相同，“=”表示图形大小相等．（二）性质与判定梳理1．全等图形性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等．全等三角形的对应边、对应角分别相等．2．全等三角形的判定这是学好全等三角形的关键．只给定一个条件或两个条件画三角形时，都不能保证所画出的三角形全等，只要有三个条件对应相等就可以，于是判定两个三角形全等的方法有：（1）三边对应相等的两个三角形全等，简记为：SSS ；（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为：ASA；（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为：AAS；（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为：SAS．若是直角三角形，则还有斜边、直角边公理（HL）。
由此可以看出，判断三角形全等，无论用哪一条件，都要有三个元素对应相等，且其中至少要有一对应边相等．（5）注意判定三角形全等的基本思路从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有图2三个元素（其中至少一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）去迅速准确地确定要补充的边（角），不致盲目地而能有目标地完善三角形全等的条件．从而得到判定两个三角形全等的思路有：⎪⎩⎪⎨⎧→→SSS SAS 找另一边找夹角 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→→→→→SAS AAS ASA AAS 找该角的另一边找这条边上的对角找这条边上的另一角边就是角的一条边找任一角边为角的对边 ⎩⎨⎧→→AASASA 找任一边找两角的夹边 （6）学会辨认全等三角形的对应元素辨认全等三角形的对应元素最有效的方法是，先找出全等三角形的对应顶点，再确定对应角和对应边，如已知△ABC ≌EFD ，这种记法意味着A 与E 、B 与F 、C 与D 对应，则三角形的边AB 与EF 、BC 与FD 、AC 与ED 对应，对应边所夹的角就是对应角，此外，还有如下规律：（1）全等三角形的公共边是对应边，公共角是对应角，对顶角是对应角；（2）全等三角形的两个对应角所夹的边是对应边，两条对应边所夹的角是对应角．（三）基本图形梳理注意组成全等三角形的基本图形，全等图形都是由图形的平移、旋转、轴对称等图形变换而得到的，所以全等三角形的基本图形大致有以下几种：1．平移型 如图3，下面几种图形属于平移型：它们可看成有对应边在一直线上移动所构成的，故该对应边的相等关系一般可由同一直线上的线段和或差而得到．2．对称型 如图4，下面几种图形属于对称型：它们的特征是可沿某一直线对折，直线两旁的部分能完全重合（轴对称图形），重合的顶点就是全等三角形的对应顶点．3．旋转型 如图5，下面几种图形属于旋转型：它们可看成是以三角形的某一顶点为中心旋转所构成的，故一般有一对相等的角隐含在对顶角、某些角的和 或差中． 三、易混、易错点剖析1．探索两个三角形全等时，要注意两个特例（1两个三角形不一定全等；如图6（1已知两边 已知一边一角 已知两角 图3图4图6（1）角都是600，但这两个三角形显然不全等； （2）两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，如图6（2），中的△ABC 和△ABD 中，虽然有AB=AB ，AC=AD ，∠B=∠B ，但它们显然不全等． 2．在判定三角形全等时，还要注意的问题 在判定三角形全等时，应做到以下几点：（１）根据已知条件与结论认真分析图形；（２）准确无误的确定每个三角形的六个元素；（３）根据已知条件，确定对应元素，即找出相等的角或边；（４）对照判定方法，看看还需什么条件两个三角形就全等；（５）想办法找出所需的条件来．四、例题：例1．如图7（1），E 、F 分别是四边形ABCD 的边BA 、DC 延长线上的点，AB//CD ，AD//BC ，且AE=CF ，EF 交AD 于G ，交BC 于H ．（1）图中的全等三角形有 对，它们分别是 ；（不添加任何辅助线）（2）请在（1）问中选出一对你认为全等的三角形进行证明． 我选择的是： ．解：（1）2，△AEG ≌△CFH 和△BEH ≌△DFG ． （2）如求证明：△AEG ≌△CFH ．证明：在平行四边形ABCD 中，有∠BAG=∠HCD ， 所以∠EAG=1800－∠BAG=1800－∠HCD=∠FCH ． 又因BA ∥DC ，所以∠E=∠F ．又因AE=CF ，所以△AEG ≌△CFH ．点评：本题简单地考察学生对图形的识别能力以及证明能力，主要是根据全等三角形的判定条件去寻找，然后再作出证明．例2．如图8，在△ABD 和△ACE 中，有下列四个等式：○1AB=AC ○2AD=AE ○31=∠2○4BD=CE. 请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题（要求写出已知，求证及证明过程）．（提示：答案不唯一）．点评：本题是条件组装题，答案不唯一，它重点考查学生的创新意识和能力，四个命题进行组合，有六种情况，这六种情况中 有的是假命题，请同学们注意分辨．例3．如图9，点E 在AB 上，AC=AD ，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明。
(完整版)全等三角形知识点总结
全等三角形 知识梳理一、知识网络⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪→⇒⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎨⎩对应角相等性质对应边相等边边边 S S S 全等形全等三角形应用边角边 S A S 判定角边角 A S A 角角边 A A S 斜边、直角边 H L 作图 角平分线性质与判定定理二、基础知识梳理（一）、基本概念1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。
同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二）灵活运用定理1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
（1）已知条件中有两角对应相等，可找：①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS)（2）已知条件中有两边对应相等，可找①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找①任一组角相等(AAS 或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：1.确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系）；2.回顾三角形判定公理，搞清还需要什么；3.正确地书写证明格式（顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题）。
全等三角形知识点
全等三角形知识点摘要：全等三角形是初中数学中的一个重要概念，它指的是两个三角形在形状和大小完全相同的情况下，它们的对应边和对应角完全相等。
本文将详细介绍全等三角形的定义、性质、判定条件以及在几何题中的应用。
关键词：全等三角形、对应边、对应角、判定条件、几何应用1. 全等三角形的定义全等三角形（Congruent Triangles）指的是两个三角形在几何形状和大小上完全相同，即它们的所有对应边和对应角都相等。
在数学符号中，我们通常用“≌”来表示全等。
2. 全等三角形的性质全等三角形具有以下性质：- 对应边相等：两个全等三角形的对应边长度完全相同。
- 对应角相等：两个全等三角形的对应角度数完全相同。
- 对应边上的高相等：两个全等三角形对应边上的高（垂直于边的线段）长度也相等。
- 对应角的平分线相等：两个全等三角形对应角的角平分线长度相等。
- 对应边上的中线相等：两个全等三角形对应边上的中线（连接顶点和对边中点的线段）长度相等。
3. 全等三角形的判定条件要判定两个三角形是否全等，可以通过以下几种条件：- SSS（边边边）：如果两个三角形的三边分别相等，那么这两个三角形全等。
- SAS（边角边）：如果两个三角形有两边及它们的夹角分别相等，那么这两个三角形全等。
- ASA（角边角）：如果两个三角形有两角及它们之间的边分别相等，那么这两个三角形全等。
- AAS（角角边）：如果两个三角形有两角及其中一角的对边分别相等，那么这两个三角形全等。
- HL（直角边-直角边）：对于直角三角形，如果斜边和一条直角边分别相等，那么这两个三角形全等。
4. 全等三角形在几何题中的应用全等三角形的概念在解决几何问题时非常有用，尤其是在涉及角度和长度计算的问题中。
通过识别和证明三角形全等，我们可以得出隐藏的边长和角度关系，从而解决复杂的几何构造问题。
5. 结论全等三角形是几何学中的一个基础概念，它在解决几何问题中扮演着关键角色。
全等三角形知识点归纳
全等三角形知识点归纳
全等三角形是指两个三角形的所有对应的边和角都相等。
以下是
关于全等三角形的一些重要知识点：
1. 全等三角形的定义：两个三角形的所有对应的边和角都相等时，这两个三角形就是全等三角形。
2. 全等三角形的性质：
a. 边-边-边（SSS）判定准则：如果两个三角形的三条边相等，那
么它们是全等的。
b. 边-角-边（SAS）判定准则：如果两个三角形的一条边和夹角的
对边的长度和角度相等，那么它们是全等的。
c. 角-边-角（ASA）判定准则：如果两个三角形的两个角和他们夹
着的边的长度相等，那么它们是全等的。
d. 角-角-角（AAA）判定准则：两个三角形的三个角度分别相等，
不能确定它们是全等的。
3. 全等三角形的性质与应用：
a. 全等三角形的对应部分相等：如果两个三角形全等，则它们的
对应边长相等，对应角度相等，对应的高、中线、中位线等也相等。
b. 全等三角形的性质可用于解决实际问题，例如测量无法直接测
量的长度或角度，或在建造、设计等领域中的应用。
4. 全等三角形的判定准则：在判定两个三角形是否全等时，根
据给定的信息应选择适合的判定准则进行判断，如SSS、SAS、ASA等。
以上是关于全等三角形的一些基本知识点和性质总结。
要确定两
个三角形全等，一般需要给出足够的边长和角度信息，利用相应的判
定准则进行判断。
全等三角形知识点
图形类知识点1.1相交线2、垂线如图所示：AB ⊥CD ，垂足为O3、点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离如图，PO ⊥AB ，同P 到直线AB 的距离是PO 的长。
PO 是垂线段。
PO 是点P 到直线AB 所有线段中最短的一条。
A B C DOP AB O1.2平行线7、两直线平行的判定方法1.3平行线的性质1、平行线的性质：1.4平移1、平移变换①把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同。
②新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点③连接各组对应点的线段平行且相等2、平移的特征：①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化。
②经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。
1.5三角形及四边形1.5外角的性质全等三角形1. 全等形2. 全等三角形a) 定义： 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
b) 表示方法：△ABC 全等于△ DEF （△ABC ≌△DEF ） 3. 全等三角形的判定和性质② 全等三角形面积相等． （2）证题的思路：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 角的平分线的性质1.角的平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
2.角的平分线的判定： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
全等三角形的知识点归纳
全等三角形的知识点归纳1.全等三角形的定义：如果两个三角形的对应的边相等，对应的角也相等，则这两个三角形是全等三角形。
2.全等三角形的符号表示：通常使用三个粗体字母表示全等三角形，例如△ABC≌△DEF，表示△ABC全等于△DEF。
3.全等三角形的性质：a.边-边-边（SSS）全等：如果两个三角形的三条边相等，则这两个三角形全等。
b.顶角-底角-顶角（ASA）全等：如果两个三角形中两个顶角和它们的夹边相等，则这两个三角形全等。
c.底边-底角-底边（SAS）全等：如果两个三角形中两条底边和它们夹的角相等，则这两个三角形全等。
d.直角-直角-斜边（RHS）全等：如果两个直角三角形的一个直角和斜边相等，则这两个直角三角形全等。
e.角-边-角（AAS）全等：如果两个三角形中两个夹角和它们的夹边相等，则这两个三角形全等。
f.边-角-边（ASA）全等：如果两个三角形中一条边和夹角相等，另一条边和夹角的夹边相等，且夹角不是直角，则这两个三角形全等。
4.全等三角形的性质推论：a.如果两个三角形是全等的，则它们对应的边和角是一一对应的。
b.全等三角形的一边等于另一个全等三角形的一边，一角等于另一个全等三角形的一角。
c.全等三角形的对应边和对应角是相等的。
d.全等三角形的对应边平行。
e.全等三角形的对应边垂直。
f.全等三角形的对应角相等。
g.如果一个角等于一个角，两边分别等于两边，那么两个三角形可能全等，也可能不全等。
5.全等三角形的判定方法：a.SSS判定法：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
b.SAS判定法：如果两个三角形的两条边和夹角相等，则这两个三角形全等。
c.ASA判定法：如果两个三角形的两个夹角和一条边相等，则这两个三角形全等。
d.RHS判定法：如果两个直角三角形的一个直角和斜边相等，则这两个直角三角形全等。
6.全等三角形的性质应用：a.利用全等三角形的性质，可以证明两个三角形的各边之比相等。
全等三角形知识点
1.全等形：能够完全重合的两个图形。
平移、翻折、旋转前后的图形全等。
2.全等三角形：能够完全重合的两个三角形。
3.全等三角形的性质：⑴全等三角形的对应边相等；⑵全等三角形的对应角相等；⑶全等三角形周长、面积相等；⑷全等三角形的对应边上的中线、高线、对应角平分线相等。
4.三角形具有稳定性；5.三角形的三边关系：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。
6.三角形的内角和等于180O；四边形的内角和等于360O；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
7.等腰三角形的两腰相等，两个底角相等；反之：有两边相等的三角形是等腰三角形；有两个角相等的三角形是等腰三角形。
8.两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。
反之也成立。
9.同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等。
10.同底等高或等底同高的两个三角形面积相等。
11.全等三角形的判定定理：定理1：（边边边或SSS）三边对应相等的两个三角形全等。
定理2：（边角边或SAS）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
定理3：（角边角或ASA）两角和它们的夹边境地区对应相等的两个三角形全等。
定理4：（角角边或AAS）两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
定理5：（斜边、直角边或HL）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
12.角平分线定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
角平分线的逆定理：角的内部到角的距离相等的点在角的平分线上。
13.三角形的内心：三角形的三条角平分线相交于一点，这点是三角形内切圆的圆心，也叫三角形的内心。
内心到三角形三边的距离相等。
1.全等形：能够完全重合的两个图形。
平移、翻折、旋转前后的图形全等。
2.全等三角形：能够完全重合的两个三角形。
3.全等三角形的性质：⑴全等三角形的对应边相等；⑵全等三角形的对应角相等；⑶全等三角形周长、面积相等；⑷全等三角形的对应边上的中线、高线、对应角平分线相等。
第十二章全等三角形知识点总结
∵ △ABC≌△DEF
∴ ①AB=DE
④ ∠A= ∠D
② BC=EF ③ CA=FD
⑤ ∠B=∠E
⑥ ∠C= ∠F
注意： 寻找对应元素的规律 （1）有公共边的，公共边是对应边；
（2）有公共角的，公共角是对应角； （3）有对顶角的，对顶角是对应角； （4）最大边是对应边，最小边是对应边；
（5）最大角是对应角，最小角是对应角；
F
∴ △ABC ≌△ DEF（SAS）
“ASA”判定方法:
几何语言： 在△ABC和△ DEF中 ∠ B =∠ E BC=EF ∠ C =∠ F ∴ △ABC ≌△ DEF（ASA）
E B
A C
D F
“AAS”判定方法:
几何语言： 在△ABC和△ DEF中 ∠ A =∠ D ∠ B =∠ E BC=EF ∴ △ABC ≌△ DEF（AAS）
4
三 角 形 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 全 简写为“边角边”或“SAS ” 等 的 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 判 简写为“角边角”或“ASA” 定 方 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形 法 全等。简写为“角边角”或“AAS”
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 简写为“斜边、直角边”或“HL”
三边对应相等的两个三角形全等 简写为：“边边边”或“SSS”
“SSS”判定方法:
几何语言： 在△ABC和△ DEF中 AB=DE BC=EF CA=FD ∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）
E B
A C
D F
“SAS”判定方法:
A
几何语言：
B
D E
C
在△ABC和△ DEF中
全等三角形知识点总结
全等三角形知识点总结一、全等三角形的概念1. 定义- 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
- 例如，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中A与D、B与E、C与F 是对应顶点，AB与DE、BC与EF、AC与DF是对应边，∠A与∠D、∠B与∠E、∠C 与∠F是对应角。
2. 全等三角形的性质- 对应边相等：若△ABC≌△DEF，则AB = DE，BC = EF，AC = DF。
- 对应角相等：∠A=∠D，∠B = ∠E，∠C=∠F。
- 全等三角形的周长相等，面积相等。
因为全等三角形的对应边相等，所以它们的周长（三边之和）相等；又因为对应边和对应角都相等，根据三角形面积公式（如S=(1)/(2)ahsin B等多种公式都可推出），其面积也相等。
二、全等三角形的判定1. SSS（边边边）判定定理- 内容：三边对应相等的两个三角形全等。
- 例如，在△ABC和△DEF中，如果AB = DE，BC = EF，AC = DF，那么△ABC≌△DEF。
- 作用：可以用来证明两个三角形全等，当已知两个三角形的三边长度分别相等时，就可以直接判定它们全等。
2. SAS（边角边）判定定理- 内容：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
- 例如，在△ABC和△DEF中，如果AB = DE，∠A = ∠D，AC = DF，那么△ABC≌△DEF。
这里要注意必须是两边及其夹角，不能是两边及其中一边的对角。
- 作用：在已知三角形两边长度和它们夹角大小的情况下，用于判定三角形全等。
3. ASA（角边角）判定定理- 内容：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
- 例如，在△ABC和△DEF中，如果∠A = ∠D，AB = DE，∠B = ∠E，那么△ABC≌△DEF。
- 作用：当知道两个三角形两角及其夹边相等时，可判定全等。
4. AAS（角角边）判定定理- 内容：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
全等三角形的知识点归纳
全等三角形知识点总结一、关于三角形的一些概念1、三角形的角平分线。
三角形的角平分线是一条线段(顶点与内角平分线和对边交线间的距离)三条角平分线交于一点(交点在三角形内部，是三角形内切圆的圆心，称为内心)2、三角形的中线三角形的中线也是一条线段(顶点到对边中点间的距离)三条中线线交于一点(交点在三角形内部，是三角形的几何中心，称为中心)3.三角形的高三角形的高线也是一条线段(顶点到对边的距离)注意：三角形的中线和角平分线都在三角形内。
二、三角形三条边的关系三角形三边都不相等，叫不等边三角形;有两条边相等的叫等腰三角形;三边都相等的则叫等边三角形。
等腰三角形中，相等的两条边叫腰，另一边叫底边，腰和底边的夹角叫底角，两腰的夹角叫项角。
按接边相等关系来分类：推论三角形两边的差小于第三边。
不符合定理的三条线段，不能组成三角形的三边。
例如三条线段长分别为5，6，1人因为5+6<12，所以这三条线段，不能作为三角形的三边。
三、三角形的内角和定理三角形三个内角的和等于180°由定理可以知道，三角形的.三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角。
推论1：直角三角形的两个锐角互余。
三角形按角分类：三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角。
推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
∠1 >∠3;∠1=∠3+∠4;∠5>∠3+∠8;∠5=∠3+∠7+∠8;∠2>∠8;∠2=∠7+∠8;∠4>∠9;∠4=∠9+∠10等等。
四、全等三角形能够完全重合的两个图形叫全等形。
两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。
全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等。
五、全等三角形的判定1、边角边公理：“SAS”注意：一定要是两边夹角，而不能是边边角。
2、角边角公理：ASA3、AAS4、SSS3、直角三角形全等的判定：斜边，直角边”或HL三角形的重要性质：三角形的稳定性。
三角形全等知识点总结
全等三角形知识总结【学习目标】1. 了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；3．会作角的平分线，了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质， 会利用角的平分线的性质进行证明.【知识网络】【要点梳理】要点一、全等三角形的判定与性质要点二、全等三角形的证明思路 SAS HL SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS⎧→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎪⎪→→⎧⎪⎪→⎧⎪⎪⎨⎨⎪→⎨⎪⎪⎪⎪⎪→⎩⎩⎪⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边要点三、角平分线的性质1. 角的平分线的性质定理2. 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.3.角的平分线的判定定理4.角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.5.三角形的角平分线三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.6.与角平分线有关的辅助线在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.要点四、全等三角形证明方法全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.1．证明线段相等的方法：(1) 证明两条线段所在的两个三角形全等.(2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.(3) 等式性质.2．证明角相等的方法：(1) 利用平行线的性质进行证明.(2) 证明两个角所在的两个三角形全等.(3) 利用角平分线的判定进行证明.(4) 同角（等角）的余角（补角）相等.(5) 对顶角相等.3．证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法：可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明. 4．辅助线的添加:(1)作公共边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.5. 证明三角形全等的思维方法:（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.（3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.。
八年级数学上册全等三角形知识点总结
千里之行，始于足下。
八年级数学上册全等三角形知识点总结
一、全等三角形的定义：
两个三角形的三个对应角相等，并且对应边的长度相等，这两个三角形就
是全等的。
二、全等三角形的判定方法：
1. SSS判定法：若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等。
2. SAS判定法：若两个三角形的两边和夹角对应相等，则这两个三角形全等。
3. ASA判定法：若两个三角形的两角和边对应相等，则这两个三角形全等。
4. AAS判定法：若两个三角形的两角和对边对应相等，则这两个三角形全等。
三、全等三角形的性质：
1. 全等三角形的对应边长相等。
2. 全等三角形的对应角度相等。
3. 全等三角形的对应高、中线、角平分线等相等。
4. 全等三角形的全等部分与全等部分相等，非全等部分与非全等部分相等。
四、全等三角形的应用：
1. 利用全等三角形可以证明几何定理和解决几何问题。
2. 利用全等三角形可以判断两个图形是否全等，并求出一些未知的边长或角度的值。
3. 利用全等三角形可以判断两个物体的形状是否相等，或者利用一个物体的全等部分构造出另一个物体。
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锲而不舍，金石可镂。
需要注意的是，在证明问题中，除了上述判定方法，还可以使用正规玩散三角形、合同三角形等方法来证明全等关系。
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第十二章全等三角形 2018.9 杨1. 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边.对应 边相等。
2. 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角.对应 角相等。
证明三角形全等基本思路：C1J ■已知两■■叫 16夹角 〔和巫)L 找是否有宜常(BL)三角形全等的判定(1)三边分别相等的两个三角形全等，简写成边边边或 SSS1. 如图，A 吐 AD, CB= CD 求证：(1) △ABZ A ADC (2) / B =/ D. 证明：⑴连接AC,在厶ABC 与△ ADC 中,•••△ ABC^A ADC(SSS)(2) ABC^A ADC 「•/ B =/ D.2. 已知在四边形 ABCD 中, AB 二CD,AD 二BC,求证 AD//BC做辅助线，连接AC,利用SSS 证明全 得到/ DAC W ACB ，从而证明平行 三角形全等的判定(2)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等SAS ).两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等1. 如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 (A , B, D 三点共线，AB= CB,EB= DB,Z ABC=Z EBD= 90° )，连接AE, CD,试确定 AE 与CD 的关系，并证 明你的结论. (2) :已知一边一ft* 等,(可以简写成“边角边”或己知一边和它的 找这边的另一"角(汴)找这个充的另—Mfii 邑竺(AAS 1)t£—ft t己*n 角是宜角.a —atrHL)©)：已知两角找两儒的夹边〔启SA 〉 找夹边外的任意边(=证明：延长 AE 交CD 于尸，在厶ABE 与厶CBD 中A 吐CB/ AB 氐/ CBD ,BE = BD,Q 秸 •••△ ABEm CBD SAS ，二 AE= CD / EAB=Z DCB•••/ DCB^Z CD * 90°, A / EAB^Z CD * 90°, •••/ AFD= 90°,A AE1CD.2. 在厶 ABC^H ^ CDE 中，CA=CB,CD=CE,ACB=Z DCE=90 , AE 与 BD 交与点 F(1) 求证：△ ACE^A BCD(2) 求证：AE1 BDD 1,利用SAS 证明全等，AC=BC DC=EC Z BCD Z ACE2,全等得到角相等 Z CAE Z DCBZ CAB+Z EAB+Z ABC=90Z DCB/ EAB+Z ABC=90两角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等, 简称角边角或ASA两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简称角角边或 AAS求证：三角形一边的两端点到这边的中线或中线延长线的距离相等.如图，ABC 的中线，且 CF 丄AD 于点F , BE !AD,交AD 的延长线于点 E,求 证：BE= CF.证法1：••• ABC 的中线，A BD *CD.v BE!AD , CF !AD,•••/ BED=Z CFD= 90° .在厶 BED 与△ CFD 中Z BED=Z CFDZ BDE=Z CDFBD * CD•••△ BED^A CFD AAS , A BE= CF..• S △ ABD * E S ^ ACD =且S A ABD * S A ACd (等底同高的两个三角形面积相等 ),A 2AD- BE= 2AD- CE A BE * CF. 三角形全等的判定(4)斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等，简称“斜边、直角边” 或“ HL ”.如图，E , F 分别为线段 AC 上的两点，且 DEL AC 于点E, BF ! AC 于点F ,若AB* CD AE= CE BD 交 AC 于点 M.求证：BM * DM ME= MF.解：结论：AE = CD AE! CD.三角形全等的判定⑶证法2：VS证明：••• AE^ CE 二AE+ EF= CF+ EF「. AF= CE. AB= CD在Rt△ ABF与Rt △ CDE中AF= CE••• Rt A ABF^Rt△CDE HL ,••• BF= DE.v DEL AC BF丄AC,•••/ DEM kZ BFMk 90°./ BFM kZ DEM在厶BFM与厶DEM中 / BM B/ DMEBF= DE,•••△ BFM^A DEM AAS, ••• BM= DM ME= MF.角的平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.文字命题的证明方法：a. 明确命题中的已知和求证；b. 根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证;c. 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.C方法总结：(1)角平分线的性质是证明线段相等的另一途径.(2)在已知角平分线的条件下，也可想到翻折构造全等的方法.角平分线的性质是证线段相等的常用方法之一，角平分线的性质与判定通常是交叉使用，作角的平分线或过角的平分线上一点作角两边的垂线段是常用的辅助线.1. 在厶ABC中，人。
是厶ABC的角平分线，E，F分别是AB, AC上一点，并且有 /EDF^Z EAF= 180° .试判断DE和DF的大小关系并说明理由.解：结论：DE= DF.证明：过点D作DGL AB于点G,作DH L AC于点C，••• AD >△ ABC 的角平分线，••• DG= DH.•••/ DGA F Z DHA F 90°,A Z GDH-Z BAG 180°,•••/ EDF-Z EAF= 180°,「./ GD出/ EDF•••/ GDH-Z EDH=Z EDF- / EDHGDE=Z FDH./ DG吕Z DHF= 90°,在厶DGE-与^ DHF 中，DG= DHZ GDE=Z HDF•••△ DGE^A DHF ASA,••• DE= DF2. 如图，在△ ABC中，D是BC边上一点，连接AD，过点B作BE丄AD于点E ,过点C作CF丄AD交AD的延长线于点F,且BE = CF.求证：AD是厶ABC的中线.利用AAS证明全等/ BDE玄 F/ BDE= CDFBE=CF利用全等证明垂直此类题目中必有垂直，利用垂直角度和是90°,再根据全等转换一个角，达到另外的两个角度和是90。
，得到第三个角是90°，进一步证明线的垂直关系。
1. 将两块全等的直角三角形如图1摆放，其中/ DCE N ACB90°ZD=Z A.2. (1)求证:AB 丄DE;3. (2)将图中的ADCE绕点C顺时针旋转45'得到图2,AB.CD交于点N,DE,BC交于M.求证:CM=CN4.5.第一问中延长AB交DE于F，已经知道全等，知道垂直，就可以将/D+Z E=90°转化为/ A+Z E=90得到Z AFE=90 进而证明了垂直第二问中，利用ASA证明相等旋转角度是45°Z MCD Z DCA=45 Z A=Z D CD=CA 得到△ CM^^ CNA(ASA)从而证明CM=CN2.如图，已知等腰RtOABC和等腰RtACDE,AC二BC,CD二CE,M分别为AE,BD的中点(1) 判断CM与CN的位置关系和数量关系：(2) 若厶CDE绕C旋转任意角度，其他条件不变，则(1)的结论是否仍成立？试证明,几何证明中常见的“添辅助线”方法.连结:构造全等三角形或等腰三角形1:如图,AB=AD,BC=DC求ffi: Z B=Z D.1. 连结AC构造全等三角形2. 连结BD构造两个等腰三角形B2: 如图,AB=AE,BC=ED, Z B=Z E,AM1 CD求证：点M是CD 的中点.连结AC AD构造全等三角形3:如图,AB=AC,BD=CD, M N分别是BD CD的中点，求证: Z AM圧Z ANC连结AD构造全等三角形二. 角平分线上点向两边作垂线段：构造直角三角形，得到距离相等C1:如图,△ ABC 中, / C =90o,BC=10,BD=6, AD 平分/ BAC 求点 D 到 AB 的距离.过点D 作DE I AB 构造全等的直角三角形且距离相等 2:如图，△ ABC 中 , / C =90o,AC=BC,AD 平分/ BAC 求证:AB=AC+DC过点D 作DEL AB 构造了全等的直角三角形且距离相等3:如图，梯形中，/ A= / D =90o,BE 、CE 均是角平分线，求证:BC=AB+CD.过点E 作EF L BC 构造全等的直角三角形且距离相等三. 垂直平分线 上点向两端连线段构造直角三角形，得到斜边相等△ ABC 中 ,AB > AC ，/ A 的平分线与BC 的垂直平分线DM 相交于D,过 D 作 DE L AB 于 E,作 DF L AC 于 F 。
求证：BE=CF连接DB,DC 垂直平分线上点向两端连线段 四•倍长中线：中线延长一倍构造直角三角形，得到斜边相等人。
是厶ABC 的中线，求证延长AD 到点E ,使DE=AD连结CE..如图，在△ ABC 中, D 为BC 的中点.⑴求证：AB+ AC>2AD(2)若A 吐5, AO 3,求AD 的取值范围.五•截长补短1. 已知在△ ABC 中, Z C=2/ B, / 仁/2 求证:AB=AC+CD 在AB 上取点E 使得AE=AC 连接DE 在AC 的延长线上取点F 使得CF=CD 连接DF2. 如图所示,已知 AD// BC , Z 仁/ 2, Z 3=/ 4,直线 DC 经过点E 交AD 于点D ,交BC 于点G 求证：AD+BC=AB 在AB 上取点F 使得AF=AD 连接EF3. 如图,在四边形 ABC 冲,A 吐AD , Z BAD= 120° ZB =Z AD G90° .E , F 分别是 BC , CD 上的点,且Z EAF= 60°.FD 之间的数量关系并证明.BE, EF,的转化借助“角平分线性质探究图中线段 六.“周长问题” 如图,△ ABC 中 , / C=90o,AC=BC,A 平分/ ACBQELAB.若 AB=6cm 则△ DBE 的周长是多ABE+BD+DE BE+BD+CDBE+BC BE+ACBE+AE AB七.. “周长问题”的转化借助“垂直平分线性质”AD+AE+DEBD+CE+DE。