积分变换 课件教学教材

fT(t)a 2 0n 1(a nco nts b nsinn t)
(1 .1 .1 )
其中 2T称为频率，频率ω对应的周期T与fT(t) 的周期相同，因而称为基波频率，nω称为fT(t)的n
次谐波频率。
a0
2 T
T
2 T
2
fT (e)dt
dnT 2T 2T 2fT(e)dt(n1,2,3,)
0, t 0; q(t) 1, t 0.
i(t)dd q ( tt) lt i0q m (t tt) q (t)
当t0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的, 从而在 普通导数意义下, q(t)在这一点是不能求导数的.
如果我们形式地计算这个导数, 则得
i(0 ) lt i0q m (0 tt) q (0 ) lt i0 m 1 t
bnT 2 T 2 T 2fT(t)sinn td(tn1,2,3,)
在fT(t)的间断点t0处，式(1.1.1)的左端代之为
1 2f(t00)f(t00) (二)付氏级数的复指数形式
fT(t) Cnejwnt n (三)付氏积分
任何一个非周期函数f (t)都可以看成由某个周期
函数fT(t)当T→+∞时转化而来的。 即 Tl im fT(t)f(t)
F() f(t)eitdt 1 eitdt eit 1
1
i
1
1 eiei 2sin
i
f(t)21
F()eitd1
F()costd
0
102s incostd20sin costd
0
sin cos t
d
2 4
0
因 此 可 知 当 t 0时,有
| t | 1 | t | 1 | t | 1
ejn t con stjsin n t (1.3.8)
e j n t cn o t s jsn it n( 1 .3 .9 )
co ns t1(ej ntej nt) (1 .3 .1)0
2
sinnt1(ej ntej nt) (1.3.1)1
2j
2.2 单位脉冲函数及其傅氏变换 在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲
f(t)2 1 f(t)ejwdt e tjw dt w
这个公式称为函数f (t)的付里叶积分公式
付氏积分定理 若f (t)在(-∞，+∞)上满足下列
条件：
1°在任一有限区间满足狄利克雷条件；
2°
f (t)dt
则积发
F(w) f(t)ejwdt 存t 在,并且在f
(t)的连续点处
积分变换
第一章 付里叶变换
§1.1 付氏积分
§1.2 付氏变换 §1.3 付氏变换的公式和性质
§1.4 卷积与相关函数
第二章 拉普拉斯变换
§2.1 拉普拉斯变换的概念
§2.2 拉氏变换的基本公式和性质
§2.3 拉氏逆变换 §2.4 拉氏变换的应用
第一章 付里叶变换
§1.1 付氏积分
(一)付氏级数
称实系数R上的实值函数 f（t） 在闭区间[a,b]
f (t)
F()f(t)ejtdt
etejtdte(j)tdt 1
0
0
j
j 2
2
t
f(t)21
F()ejtd 1
2
2j2ejtd
10cos2t 2sintd
因 此0cos2t 2sintd e0 /2 t
t0 t0 t0
(二)尤拉公式及尤拉公式推出的几个公式
如果成立
F(w) f(t)ejwdt t
f(t)1 F(w)ejwdt w
2
并称F(ω)为f (t)的象函数
或付里叶变换，记为
F[f(t)]；称f (t)为F(ω)的象 原函数或付里叶逆变换，
记为F-1[F(ω)]
例1
求矩形脉冲函数
f
(t)
1,
t 1 的付氏变换及其积分
表达式。
0, t 1
上满足狄利克莱（DirichL et）条件，如果它满足条
件： ⑴ 在[a,b]上或者连续，或者只有有限个第一
类间断点；
⑵ f（t）在[a,b]上只有有限个极值点。
从T为周期的周期函数fT(t)，如果在
T 2
,
T2上 满
足狄利克雷条件，那么在
T 2
,
T上2 fT(t)可以展成付
氏级数，在fT(t)的连续点处，级数的三角形成为
函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在 电学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电势 作用后产生的电流; 在力学中, 要研究机械系统 受冲击力作用后的运动情况等. 研究此类问题就 会产生我们要介绍的单位脉冲函数.
在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t=0) 进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流 i(t). 以q(t)表示上述电路中的电荷函数, 则
量那样, 以统一的方式加以解决.
0 t0
给
函数
序列
d
(t)
1
0t，
d(t)
1/
0 t
定
义
d
(t)
lim
0
d
Baidu Nhomakorabea
(t)
0
t0。 t0
O
d d ( t) d t l i m 0 ( t) d t l i m 00 1 d t 1
（在极限与积分可交换意义下）
工程上将d-函数称为单位脉冲函数。
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个
函数能够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电
流强度, 引进一称为狄拉克(Dirac)的函数, 简单记
成d-函数:
d
t
0
t 0 t 0
有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量,
例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技
术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的
s in x d x s in c ( x ) d x
0x
0
2
另 外 ， 由 F = 2s i n 可 作 出 频 谱 图 :
F
2 k s i n 0
2 3
例 2求 指 数 衰 减 函 数 f(t) e 0 ,t,
t0的 傅 氏 变 换 及 其 t0
积 分 表 达 式 ,其 中 0.
f(t)1 F(w)ejwdt t而在f
2
(t)的间断点t0处，应以
1 2f(t00)f(t00)代替该式左端的f (t)。
注 非周期函数满足付氏积分定理的条件1°，
才能保证函数在任意有限区间上能展为付氏级数。
满足付氏积分定理的第2°条,才能保证
存
在。
lim
T
fT
(t)
§1.2 付氏变换
(一)定义1.1.1 设f (t)和F(ω)分别是定义在R上 的实值和复值函数，称它们是一组付里叶变换对，