积分变换 课件教学教材
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数学物理方法课件-5 积分变换
生成的积分变换
F () sin xf (x)dx
与
F () cosxf (x)dx
分别称为正弦型和余弦型的傅立叶变换.
汉克变换 梅林变换 希尔伯特变换
§5.2 傅立叶积分与变换
1. 实数形式的傅立叶积分与变换
g(x)以2l为周期，则在[l, l]上
(2)
证明:
设f
(t)与f
(t)的公共增长指数为
，则
0
Re
p
时，
0
lim e pt f (t) 0
t
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
例：已知
1 e ptdt 1 (Re p 0),
0
p
e p0t
e e p0t pt dt 1
b
a K (s, ) f ( )d
定义了一个从" f ( )到F (s)"的变换，即
F (s)＝
b
K(s, )
f
( )d
a
这种经过积分的方法，把一个函数变为另一个函 数的运算，称为积分变换.
注：I [a,b] E{(s, )
}，a,b可分别是 和 .
sI ,[a,b]
其中
ak
1
kl
l
l f ( ) coskd
,
bk
1 l
l l
f ( ) sin kd
k
2, k 0 1, k 0
考虑l 时的极限，若lim l f ( )d有限，则 l l
lim
F () sin xf (x)dx
与
F () cosxf (x)dx
分别称为正弦型和余弦型的傅立叶变换.
汉克变换 梅林变换 希尔伯特变换
§5.2 傅立叶积分与变换
1. 实数形式的傅立叶积分与变换
g(x)以2l为周期，则在[l, l]上
(2)
证明:
设f
(t)与f
(t)的公共增长指数为
，则
0
Re
p
时，
0
lim e pt f (t) 0
t
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
例：已知
1 e ptdt 1 (Re p 0),
0
p
e p0t
e e p0t pt dt 1
b
a K (s, ) f ( )d
定义了一个从" f ( )到F (s)"的变换，即
F (s)＝
b
K(s, )
f
( )d
a
这种经过积分的方法，把一个函数变为另一个函 数的运算，称为积分变换.
注：I [a,b] E{(s, )
}，a,b可分别是 和 .
sI ,[a,b]
其中
ak
1
kl
l
l f ( ) coskd
,
bk
1 l
l l
f ( ) sin kd
k
2, k 0 1, k 0
考虑l 时的极限，若lim l f ( )d有限，则 l l
lim
积分变换_(Laplace)课件与习题
5
§1 Laplace变换的概念
设指数衰减函数
(t
)
0, e
t
,
t0
( 0).
t0
考虑 f t t ,,有 f t u t =f t t 0.
若存在 0,使 lim et f t =0,则 + et f t dt .
t
-
那麽 f t u t et的傅氏积分总是存在的。
F [ f (t)u(t)et ] f (t)u(t)ete jtdt
L[ f (t)] F s f (t)estdt 0
f (t)称为F (s)的Laplace逆变换，记为f (t) L1[F (s)]. F (s)称为象函数，f (t)称为象原函数.
8
例1
求单位阶跃函数
u(t)
0 1
t 0 的拉氏变换. t 0
根据拉氏变换的定义, 有
L[u(t)] estd t 0
；
smL
t m
1 s
m!
L
t m
1 s m1
m!
(Re(s) 0).
26
练习： 求 f (t) cost 的Laplace变换.
解 因为
参见上节例3, 与这里方法不同
f (0) 1, f (0) 0, f (t) 2cost,
根据 微分性质 和线性性质
[2 cost] s2 [cost] sf (0) f (0),
对正整数n, 有
L[f
2
(n)
[(ct )o]sstn]F(
s2
s)
[scnos1
t] s,
f (0)
f (n1)(0).
所以
特[c别os地，t] 当sf2
§1 Laplace变换的概念
设指数衰减函数
(t
)
0, e
t
,
t0
( 0).
t0
考虑 f t t ,,有 f t u t =f t t 0.
若存在 0,使 lim et f t =0,则 + et f t dt .
t
-
那麽 f t u t et的傅氏积分总是存在的。
F [ f (t)u(t)et ] f (t)u(t)ete jtdt
L[ f (t)] F s f (t)estdt 0
f (t)称为F (s)的Laplace逆变换，记为f (t) L1[F (s)]. F (s)称为象函数，f (t)称为象原函数.
8
例1
求单位阶跃函数
u(t)
0 1
t 0 的拉氏变换. t 0
根据拉氏变换的定义, 有
L[u(t)] estd t 0
；
smL
t m
1 s
m!
L
t m
1 s m1
m!
(Re(s) 0).
26
练习： 求 f (t) cost 的Laplace变换.
解 因为
参见上节例3, 与这里方法不同
f (0) 1, f (0) 0, f (t) 2cost,
根据 微分性质 和线性性质
[2 cost] s2 [cost] sf (0) f (0),
对正整数n, 有
L[f
2
(n)
[(ct )o]sstn]F(
s2
s)
[scnos1
t] s,
f (0)
f (n1)(0).
所以
特[c别os地，t] 当sf2
积分变换.ppt
L [ekt ] 1 (P145) sk
1
f (t ) L 1[F (s)]
t
24
有
f
(t
)
1 t
L
1
1[
s1
1] s1
1 (et et ) 1 (et et )
t
t
积分性质 1
设Ff(s()t )=L[ tf(Lt)],1则[F有(s)]
t
2t
解 L [ sht ] =L [1 et 1 et ] 22
1 ( 1 1 ) F(s) 2 s1 s1
由像函数的积分性质, 有 L [ekt ] 1
f (t)
sk
L [ t ] s F (s)ds
27
sht 1 1 1
L
[
t
]
2 s
( s1
但在工程实际应用中, 许多以时间t 作为自 变量的函数往往在 t 0时是无意义的或者 是不需要考虑的. 这样的函数都不能取傅 氏变换. 因此, 傅氏变换的应用范围受到相 当大的限制.
对这些函数f(t)能否经过适当地改造, 使其 进行傅氏变换时克服上述两个缺点呢？ 答案是可以的, 就是拉普拉斯变换.
L [ t f (t)dt] 1F (s)
0
s
此外, 我们还有象函数的积分性质
L [ f (t)]
f (t ) est dt
F (s)ds
t
0t
s
26
或
f(t) = tL 1[ F (s)ds] s
例 求 f (t ) sht et et 的拉氏变换
复变函数与积分变换课堂PPT课件
完全类似在此基础上，也可以得出类似于微积分学中的 基本定理和牛顿-莱布尼兹公式。先引入原函数的概念。
第45页/共104页
定义 即
如果函数 , 则称
在区域D内的导数等于 f (z), 为 f (z)在区域B内的原函数。
定理二表明
是 f (z)的一个原函数。
• 容易证明，f (z)的任何两个原函数相差一个常数。
，因此有
或
第48页/共104页
有了原函数、不定积分和积分计算公式，复变函数
E'
E
C
B'
B
C1
即 或
第30页/共104页
上式说明如果将 C 及 沿C逆时针, 沿
看成一条复合闭路G, 其正向为: 顺时针, 则
上式说明在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分, 不 因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值, 只要在变 形过程中不经过函数
D
f (z)不解析的点。这 一重要事实，称为 闭路变形原理。
今后讨论积分，如无特别说明，总假定被积函数是连续 的，曲线C是按段光滑的。
第10页/共104页
例1 计算
, 其中C为原点到点3+4i的直线段。
[解]直线的方程可写作
或 在C上,
。于是
又因
第11页/共104页
容易验证，右边两个线积分都与路线C无关，所以 的值，不论C是怎样的连接原点到3+4i的曲线，
第27页/共104页
在上一节中，讨论了柯西-古萨定理是在单连通域
里，现将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的情况。
设函数 f (z)在多连通域D内解析，C为D内的任意一条
简单闭曲线，当C的内部不完全含于D时，沿C的积分 就不一定为零。
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定义 即
如果函数 , 则称
在区域D内的导数等于 f (z), 为 f (z)在区域B内的原函数。
定理二表明
是 f (z)的一个原函数。
• 容易证明，f (z)的任何两个原函数相差一个常数。
，因此有
或
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有了原函数、不定积分和积分计算公式，复变函数
E'
E
C
B'
B
C1
即 或
第30页/共104页
上式说明如果将 C 及 沿C逆时针, 沿
看成一条复合闭路G, 其正向为: 顺时针, 则
上式说明在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分, 不 因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值, 只要在变 形过程中不经过函数
D
f (z)不解析的点。这 一重要事实，称为 闭路变形原理。
今后讨论积分，如无特别说明，总假定被积函数是连续 的，曲线C是按段光滑的。
第10页/共104页
例1 计算
, 其中C为原点到点3+4i的直线段。
[解]直线的方程可写作
或 在C上,
。于是
又因
第11页/共104页
容易验证，右边两个线积分都与路线C无关，所以 的值，不论C是怎样的连接原点到3+4i的曲线，
第27页/共104页
在上一节中，讨论了柯西-古萨定理是在单连通域
里，现将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的情况。
设函数 f (z)在多连通域D内解析，C为D内的任意一条
简单闭曲线，当C的内部不完全含于D时，沿C的积分 就不一定为零。
积分变换第1讲
2
§1 Fourier积分公式
1.1 Recall:周期函数的 Fourier 级数
定理 (Dirichlet 定理)设 fT (t)是以 T 为周期的实值函数，且在 区间 [T/2 , T/2] 上满足如下条件(称为 Dirichlet 条件)：
(1) 连续或只有有限个第一类间断点；
(2) 只有有限个极值点(不能震荡太厉害) .
t t
( ) c e 1 f ( )e d e fT t
in t
n
T n
n
T2 T 2 T
int
分析
由
c0
a0 2
,
cn
an
2
ibn
,
cn
an
ibn 2
,
得 c0 A0 ,
|cn
| | cn
|
1 2
an2
bn2
An ， 2
An
n an
in t 2c n
bn
argcn argcn θn , (n 0) .
F ()
2
k sin 0
2 3
25
例2
求指数衰减函数f
(t)
0, et ,
积分表达式,其中 0.
t 0的傅氏变换及其 t0
2
0
1 2sin costd 2 sin cost d
0
0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
24
0
sin cost
d
24 0
| t | 1 | t | 1 | t | 1
因此可知当t 0时,有
sin x d x sinc(x) d x
0x
20
2
§1 Fourier积分公式
1.1 Recall:周期函数的 Fourier 级数
定理 (Dirichlet 定理)设 fT (t)是以 T 为周期的实值函数，且在 区间 [T/2 , T/2] 上满足如下条件(称为 Dirichlet 条件)：
(1) 连续或只有有限个第一类间断点；
(2) 只有有限个极值点(不能震荡太厉害) .
t t
( ) c e 1 f ( )e d e fT t
in t
n
T n
n
T2 T 2 T
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分析
由
c0
a0 2
,
cn
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2
ibn
,
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,
得 c0 A0 ,
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1 2
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An ， 2
An
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bn
argcn argcn θn , (n 0) .
F ()
2
k sin 0
2 3
25
例2
求指数衰减函数f
(t)
0, et ,
积分表达式,其中 0.
t 0的傅氏变换及其 t0
2
0
1 2sin costd 2 sin cost d
0
0
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24
0
sin cost
d
24 0
| t | 1 | t | 1 | t | 1
因此可知当t 0时,有
sin x d x sinc(x) d x
0x
20
2
《积分变换法》课件
信号处理
在频域中，积分变换法可用于 滤波、降噪和信号分析。
电路分析
积分变换法可帮助分析电路的 稳定性、频率响应和系统性能。
总结
优缺点
积分变换法具有数学表达简单、普适性强等优点，但对初始条件敏感。
与其他方法的比较
相比其他方法，积分变换法可以更方便地处理连续和离散函数。
发展趋势
未来，积分变换法将继续应用于自动控制、信号处理和电子技术等领域，不断发展和完善。
《积分变换法》PPT课件
欢迎来到本次《积分变换法》PPT课件。让我们一起探索积分变换法的定义、 分类、常见方法以及在控制工程、信号处理和电路分析中的应用。
什么是积分变换法？
定义
积分变换法是一种数学方法，通过对函数的积分来研究和处理一些问题。
分类
积分变换法分为拉普拉斯变换、傅里叶变换和Z变换等不同类型。
1 参考文献
常见的积分变换频域，可用于信号
处理和频谱分析。
3
拉普拉斯变换
将函数从时域转换到频域，广泛应用于 控制系统和信号分析。
Z变换
将离散信号从时域转换到Z域，在数字信 号处理和系统分析中有重要应用。
积分变换法的应用
控制工程
积分变换法可用于控制系统的 建模、参数估计和控制器设计。
数学物理方法第十二章积分变换法课件
方程(12.2.4)的通解为
将式(12.2.6)代入式(12.2.5)，可得
将式(12.2.7)与式(12.2.8)联立，解出C1与C2后代入 式(12.2.6) ，可得
(12.2.9)
53
(3)作像函数应
的傅里叶逆变换
第一、三项应用延迟定理 作傅里叶逆变换得
(12.2.10)
54
第二、四项应用延迟定理和积分定理
特别是
证明 将
代入式 (12.1.40)左边，交换积分次序后应用d函数的 傅里叶展开式，便有
41
帕塞瓦尔等式在辐射问题中有着广泛的应用，如 计算切连科夫辐射的电磁能流密度时就会用到
42
【例12.1.5】 求解积分方程
解设 解题的步骤分三步：
(1)作积分方程的傅里叶变换。由卷积的定义
用卷积定理，将积分方程的傅里叶变换写成
可见，只要证明
, 也即证明e-k满足傅
里叶正弦逆变换(见式(12.1.20)
则本题得证
22
实际上，通过两次分部积分可证，留给读者作为练 习．
23
4. d函数的傅里叶展开
d函数可以表示为指数函数与三角函数的傅里叶积分
证明 令f(x)=d (x-x’)代入式(12.1.14), 得 将上式代入式(12.1.15) 即有
若a1 、a2为任意常数，则对任意函数f1(x)及
f2(x) ，有
27
证明 由定义出发
28
2.延迟定理
设x0为任意常数，则
证明由定义出发，令u=x-x0可得
由式(12.1.16)可见,F[f(x)]仅为k的函数，与x无关(x 是定积分的积分变量) 故 F[f(u)]=F[f(x)] (12.1.30)
积分变换第1讲
的频谱图. 解： F ( )
f ( t )e i t dt
a 2e i t dt
E e i t i
a sin . 2 2E
24
频谱为 | F ( ) | 2 E | sin a | .
i
i
.
a0 fT ( t ) 2 e i n t e i n t e i n t e i n t a n ibn 2 2 n 1 a0 a n ibn i n t a n ibn i n t e e . 2 2 2 n 1
则在连续点处，有
6
a0 fT (t ) ( a n cos n t bn sin n t ). (1 ) 2 n 1
其中
2 a0 T 2 an T 2 bn T
T 2 T 2
fT ( t ) d t ,
2 , T
T 2
T 2 T 2
f T ( t ) cos nt dt ( n 1,2, ), f T ( t ) sin nt dt ( n 1,2, ).
所以 | F ( ) | f ( t ) cos tdt f ( t ) sin tdt , 显然有 | F ( ) || F ( ) | .
2 2
F ( )的 辐 角 arg F ( ) 称 为 f ( t ) 相 角 频 谱 .
记为
这里f (t )是要变换的函数， 原像函数； F ( )是变换后的函数， 像函数； K (t , )是一个二元函数， 积分变换核 .
2
数学物理方程第四章 积分变换法(课堂PPT)
❖ 傅里叶变换建立R了信号时域与频域之间的关系，
频率是信号的物理本质之一。
6
❖ 设f(x)为[-π,π]上的有限信号，则f(x)的傅 里叶变换可简化为：
fˆ ( ) π f (x)eix dx π
❖ 对于只在有限区间，例如在上有定义的函数,可 采取延拓的方法，使其成为某种周期函数，而在 上，。然后再对作傅里叶级数展开，其级数和在 区间上代表f(x),由于f(x)在x=0和x=l无定义，因此 可以有无数种延拓方式，因而有无数种展开式， 它们在上均代表.有时，对函数在边界（区间的 端点）上的行为提出限制，即满足一定的边界条 件，这常常就决定了如何延拓。
第四章 积分变换法 傅立叶变换与拉普拉斯变换
数学物理方程
1
1777年以前，人们普遍采用多项式函数P(x)来对信 N 1
号f(x)进行表征：f (x) P(x) anxn。 n0 1777年，数学家Euler在研究天文学时发现某些函
数可以通过余弦函数之和来表达。1807年，法国科学
家傅里叶进一步提出周期为2π的函数f(x)可以表示为
( x ,t 0)
U ' (t; k) k 2a2U (t; k) F(t; k) U (t; k) |t0 0
其中 U (t; k) 为u(x,t)的傅里叶变换。为求解这个非齐次
e 常微分方程，用 k2a2t 遍乘方程各项 18
d [U (t; k)ek2a2t ] F (t; k)ek2a2t dt
19
❖ 交换积分次序
u(x,t) t
1
= 0
f ( , )[2
e e dk] k2a2 (t ) ik (x ) d d
引用积分公式
e2k2 ek dk =
积分变换 ppt课件
积分后可得
取逆变换可得
满足初始条件
15
例 求方程 的解。
解
满足初始条件
为确定常数C，令 代入，有
故方程满足初始条件的解为
16
例4 求方程 的解，其中h(t)，f (t)为定义在[0,+∞)上的实值函数。
解设 对方程的两边取Laplace变换，由卷积定理可得
所以
17
例4 求方程 的解，其中h(t)，f (t)为定义在[0,+∞)上的实值函数。
对于某些变系数的微分方程，即方程中每一项为 的形式时也可以用Laplace变换的方法求解。
由象函数的微分性质可知
从而
10
例3 求方程 的解。
解 设方程的解 对方程的两边取Laplace变换，
满足初始条件 且设
亦即
又由初始条件，代入整理化简后可得
11
例3 求方程 的解。
解 这是可分离变量的一阶微分方程，即
分方程
代数方程
4
例1 求方程 的解。
满足初始条件
解 设方程的解
且设
对方程的两边取Laplace变换，又由初始条件，得
这是含未知量 Y (s)的代数方程，整理后解出Y (s)，得
这便是所求函数的Laplace变换，取其逆就可得所求函数
5
例1 求方程 的解。
解
满足初始条件
这便是所求函数的Laplace变换，取其逆就可得所求函数 为了求Y(s)的逆变换，将它化为部分分工的形式，
20
例 求方程 解设
的解。 ，原方程可写为
对方程的两边取Laplace变换，由卷积定理可得
所以
因此方程的解为
21
例8 求解方程组
满足初始
取逆变换可得
满足初始条件
15
例 求方程 的解。
解
满足初始条件
为确定常数C，令 代入，有
故方程满足初始条件的解为
16
例4 求方程 的解，其中h(t)，f (t)为定义在[0,+∞)上的实值函数。
解设 对方程的两边取Laplace变换，由卷积定理可得
所以
17
例4 求方程 的解，其中h(t)，f (t)为定义在[0,+∞)上的实值函数。
对于某些变系数的微分方程，即方程中每一项为 的形式时也可以用Laplace变换的方法求解。
由象函数的微分性质可知
从而
10
例3 求方程 的解。
解 设方程的解 对方程的两边取Laplace变换，
满足初始条件 且设
亦即
又由初始条件，代入整理化简后可得
11
例3 求方程 的解。
解 这是可分离变量的一阶微分方程，即
分方程
代数方程
4
例1 求方程 的解。
满足初始条件
解 设方程的解
且设
对方程的两边取Laplace变换，又由初始条件，得
这是含未知量 Y (s)的代数方程，整理后解出Y (s)，得
这便是所求函数的Laplace变换，取其逆就可得所求函数
5
例1 求方程 的解。
解
满足初始条件
这便是所求函数的Laplace变换，取其逆就可得所求函数 为了求Y(s)的逆变换，将它化为部分分工的形式，
20
例 求方程 解设
的解。 ，原方程可写为
对方程的两边取Laplace变换，由卷积定理可得
所以
因此方程的解为
21
例8 求解方程组
满足初始
第二章 卷积积分与积分变换ppt课件
F(t)(t)dtF()
(b)δ(t)为偶函数，即 δ(t) = δ(t)
2 脉冲响应
例：设如图所示单自由度系统在t = 0以前静止， 在t = 0时受到脉冲力δ(t)的激励。 运动微分方程
m& x&cx&kxf(t)Fˆ(t)
x(0)0,x&(0)0
这里：0－表示小于零但无限接近于零的时刻， 0+表示大于零但无限接近于零的时刻。
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
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i3
i5
Re[
4
e ] i(2n1)0t
n1 i(2n1)
同样
2
dp
1 2 (ap
ibp )
ip
0
p 1,3,5,L p 2, 4, 6,L
g(t)
2
ei(2n1)0t
ni(2n1)
1
(b)δ(t)为偶函数，即 δ(t) = δ(t)
2 脉冲响应
例：设如图所示单自由度系统在t = 0以前静止， 在t = 0时受到脉冲力δ(t)的激励。 运动微分方程
m& x&cx&kxf(t)Fˆ(t)
x(0)0,x&(0)0
这里：0－表示小于零但无限接近于零的时刻， 0+表示大于零但无限接近于零的时刻。
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1
0.5
0
-0.5
-1
-1
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0
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1
1
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0
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-1
-1
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0
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1
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1
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0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
i
i3
i5
Re[
4
e ] i(2n1)0t
n1 i(2n1)
同样
2
dp
1 2 (ap
ibp )
ip
0
p 1,3,5,L p 2, 4, 6,L
g(t)
2
ei(2n1)0t
ni(2n1)
1
积分变换第1讲-课件
11
这是因为
p e j(n-m) d =
1
p
e j(n-m)
-p
j(n - m)
-p
=
1
[e j(n-m)p - e- j(n-m)p ]
j(n - m)
=
1
e- j(n-m)p [e j2(n-m)p - 1] = 0
j(n - m)
p p e 2 ip k = c2 o k s is2 i kn = 1
函数f和g的内积定义为:
T
[f,g]= 2 f(t)g(t)dt -T 2
9
一个函数f(t)的长度为
|| f || = [ f , f ] = 而许瓦兹不等式成立 [f,g] f g
T
2 f 2 (t) d t -T 2
:
T
即 2 f (t ) g (t ) d t -T 2
这样可令
T
T
2 - T 2
nwt d t
T
am
2 cos
-T
m w t sin
nwt d t
m =1
2
n
T
bm
2 sin
-T
m w t sin
nwt d t =
m =1
2
=
bn
T
2 sin
-T 2
(n, m = 1,2,3,, n m),
T
2 cos nwt cos mwt d t = 0 (n, m = 1,2,3,, n m), -T 2
13
而1, coswt, sinwt, ..., cos nwt, sin nwt, ...
的函数的长度计算如下:
T
1 = 2 12 dt = T -T 2
积分变换 课件-课件
bnT 2 T 2 T 2fT(t)sin n td(tn1,2,3, )
在fT(t)的间断点t0处，式(1.1.1)的左端代之为
1 2f(t00)f(t00) (二)付氏级数的复指数形式
fT(t) Cnjewnt n (三)付氏积分
任何一个非周期函数f (t)都可以看成由某个周期
函数fT(t)当T→+∞时转化而来的。 即 Tl im fT(t)f(t)
sin x d x sinc( x ) d x
0x
0
2
另 外 ， 由 F = 2 s i n 可 作 出 频 谱 图 :
F 2 k s i n 0
2 3
例 2求 指 数 衰 减 函 数 f(t) e 0 ,t,
t 0 的 傅 氏 变 换 及 其 t 0
积 分 表 达 式 ,其 中 0 .
ejn t co n stjsin n t (1.3.8)
e j n t cn o t s jsn itn ( 1 .3 .9 )
co nts1(ej nt ej nt) (1 .3 .1)0 2
sin nt1(ej ntej nt) (1.3.1)1
2j
2.2 单位脉冲函数及其傅氏变换 在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲
上满足狄利克莱（DirichL et）条件，如果它满足条
件： ⑴ 在[a,b]上或者连续，或者只有有限个第一
类间断点；
⑵ f（t）在[a,b]上只有有限个极值点。
从T为周期的周期函数fT(t)，如果在
T 2
,
T2上 满
足狄利克雷条件，那么在
T 2
,
T上2 fT(t)可以展成付
氏级数，在fT(t)的连续点处，级数的三角形成为
积分变换(Fourier)课件与习题
的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的
线性组合来逼近.---- Fourier级数
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
4
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周 期内的情况即可, 通常研究在闭区间[T/2,T/2]内 函数变化的情况.
T T fT (t )为T 周期函数，在 , 上满足 2 2 Dirichlet条件： fT (t )连续或仅有有限个第一类间断点； fT (t )仅有有限个极值点 则fT (t )可展开为Fourier级数，且在连续点t处成立： a0 fT (t ) an cos nt bn sin nt 2 n1
18
一般地, 对于周期T
1 T2 j n t cn T fT (t )e dt T 2 1 1 j n t e dt T 1 1 1 1 j n t j n j n e e e Tj n Tj n 1 2 sin n 2 sinc( n ) (n 0,1,2, ) T n T
cos nt
e
int
e 2
int
, sin nt
e
int
e 2i
int
6
级数化为： a0 e int e int e int e int an bn 2 n 1 2 2i a0 a n ibn int a n ibn int e e 2 n 1 2 2
1 从 而f (t ) f ( )cos (t )d d 2 1 可得 f (t ) f ( )cos (t )d d ， 0 这就是f (t )的Fourier积分公式的三角形式。
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这表明在通常意义下的函数类中找不到一个
函数能够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电
流强度, 引进一称为狄拉克(Dirac)的函数, 简单记
成d-函数:
d
t
0
t 0 t 0
有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量,
例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技
术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的
积分变换
第一章 付里叶变换
§1.1 付氏积分
§1.2 付氏变换 §1.3 付氏变换的公式和性质
§1.4 卷积与相关函数
第二章 拉普拉斯变换
§2.1 拉普拉斯变换的概念
§2.2 拉氏变换的基本公式和性质
§2.3 拉氏逆变换 §2.4 拉氏变换的应用
第一章 付里叶变换
§1.1 付氏积分
(一)付氏级数
称实系数R上的实值函数 f（t） 在闭区间[a,b]
fT(t)a 2 0n 1(a nco nts b nsinn t)
(1 .1 .1 )
其中 2T称为频率，频率ω对应的周期T与fT(t) 的周期相同，因而称为基波频率，nω称为fT(t)的n
次谐波频率。
a0
2 T
T
2 T
2
fT (e)dt
dnT 2T 2T 2fT(e)dt(n1,2,3,)
f (t)
F()f(t)ejtdt
etejtdte(j)tdt 1
0
0
j
j 2
2
t
f(t)21
F()ejtd 1
2
2j2ejtd
10cos2t 2sintd
因 此0cos2t 2sintd e0 /2 t
t0 t0 t0
(二)尤拉公式及尤拉公式推出的几个公式
ejn t con stjsin n t (1.3.8)
e j n t cn o t s jsn it n( 1 .3 .9 )
co ns t1(ej ntej nt) (1 .3 .1)0
2
sinnt1(ej ntej nt) (1.3.1)1
2j
2.2 单位脉冲函数及其傅氏变换 在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲
s in x d x s in c ( x ) d x
0x
0
2
另 外 ， 由 F = 2s i n 可 作 出 频 谱 图 :
F
2 k s i n 0
2 3
例 2求 指 数 衰 减 函 数 f(t) e 0 ,t,
t0的 傅 氏 变 换 及 其 t0
积 分 表 达 式 ,其 中 0.
bnT 2 T 2 T 2fT(t)sinn td(tn1,2,3,)
在fT(t)的间断点t0处，式(1.1.1)的左端代之为
1 2f(t00)f(t00) (二)付氏级数的复指数形式
fT(t) Cnejwnt n (三)付氏积分
任何一个非周期函数f (t)都可以看成由某个周期
函数fT(t)当T→+∞时转化而来的。 即 Tl im fT(t)f(t)
f(t)1 F(w)ejwdt t而在f
2
(t)的间断点t0处，应以
1 2f(t00)f(t00)代替该式左端的f (t)。
注 非周期函数满足付氏积分定理的条件1°，
才能保证函数在任意有限区间上能展为付氏级数。
满足付氏积分定理的第2°条,才能保证
存
在。
lim
T
fT
(t)
§1.2 付氏变换
(一)定义1.1.1 设f (t)和F(ω)分别是定义在R上 的实值和复值函数，称它们是一组付里叶变换对，
F() f(t)eitdt 1 eitdt eit 1
1
i
1
1 eiei 2sin
i
f(t)21
F()eitd1
F()costd
0
102s incostd20sin costd
0
sin cos t
d
2 4
0
因 此 可 知 当 t 0时,有
| t | 1 | t | 1 | t | 1
f(t)2 1 f(t)ejwdt e tjw dt w
这个公式称为函数f (t)的付里叶积分公式
付氏积分定理 若f (t)在(-∞，+∞)上满足下列
条件：
1°在任一有限区间满足狄利克雷条件；
2°
f (t)dt
则积发
F(w) f(t)ejwdt 存t 在,并且在f
(t)的连续点处
函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在 电学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电势 作用后产生的电流; 在力学中, 要研究机械系统 受冲击力作用后的运动情况等. 研究此类问题就 会产生我们要介绍的单位脉冲函数.
在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t=0) 进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流 i(t). 以q(t)表示上述电路中的电荷函数, 则
量那样, 以统一的方式加以解决.
0 t0
给
函数
序列
d
(t)
1
0t，
d(t)
1/
0 t
定
义
d
(t)
lim
0
d
(t)
0
t0。 t0
O
d d ( t) d t l i m 0 ( t) d t l i m 00 1 d t 1
（在极限与积分可交换意义下）
工程上将d-函数称为单位脉冲函数。
如果成立
F(w) f(t)ejwdt t
f(t)1 F(w)ejwdt w
2
并称F(ω)为f (t)的象函数
或付里叶变换，记为
F[f(t)]；称f (t)为F(ω)的象 原函数或付里叶逆变换，
记为F-1[F(ω)]
例1
求矩形脉冲函数
f
(t)
1,
t 1 的付氏变换及其积分
表达式。
0, t 1
0, t 0; q(t) 1, t 0.
i(t)dd q ( tt) lt i0q m (t tt) q (t)
当t0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的, 从而在 普通导数意义下, q(t)在这一点是不能求导数的.
如果我们形式地计算这个导数, 则得
i(0 ) lt i0q m (0 tt) q (0 ) lt i0 m 1 t
上满足狄利克莱（DirichL et）条件，如果它满足条
件： ⑴ 在[a,b]上或者连续，或者只有有限个第一
类间断点；
⑵ f（t）在[a,b]上只有有限个极值点。
从T为周期的周期函数fT(t)，如果在
T 2
,
T2上 满
足狄利克雷条件，那么在
T 2
,
T上2 fT(t)可以展成付
氏级数，在fT(t)的连续点处，级数的三角形成为
函数能够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电
流强度, 引进一称为狄拉克(Dirac)的函数, 简单记
成d-函数:
d
t
0
t 0 t 0
有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量,
例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技
术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的
积分变换
第一章 付里叶变换
§1.1 付氏积分
§1.2 付氏变换 §1.3 付氏变换的公式和性质
§1.4 卷积与相关函数
第二章 拉普拉斯变换
§2.1 拉普拉斯变换的概念
§2.2 拉氏变换的基本公式和性质
§2.3 拉氏逆变换 §2.4 拉氏变换的应用
第一章 付里叶变换
§1.1 付氏积分
(一)付氏级数
称实系数R上的实值函数 f（t） 在闭区间[a,b]
fT(t)a 2 0n 1(a nco nts b nsinn t)
(1 .1 .1 )
其中 2T称为频率，频率ω对应的周期T与fT(t) 的周期相同，因而称为基波频率，nω称为fT(t)的n
次谐波频率。
a0
2 T
T
2 T
2
fT (e)dt
dnT 2T 2T 2fT(e)dt(n1,2,3,)
f (t)
F()f(t)ejtdt
etejtdte(j)tdt 1
0
0
j
j 2
2
t
f(t)21
F()ejtd 1
2
2j2ejtd
10cos2t 2sintd
因 此0cos2t 2sintd e0 /2 t
t0 t0 t0
(二)尤拉公式及尤拉公式推出的几个公式
ejn t con stjsin n t (1.3.8)
e j n t cn o t s jsn it n( 1 .3 .9 )
co ns t1(ej ntej nt) (1 .3 .1)0
2
sinnt1(ej ntej nt) (1.3.1)1
2j
2.2 单位脉冲函数及其傅氏变换 在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲
s in x d x s in c ( x ) d x
0x
0
2
另 外 ， 由 F = 2s i n 可 作 出 频 谱 图 :
F
2 k s i n 0
2 3
例 2求 指 数 衰 减 函 数 f(t) e 0 ,t,
t0的 傅 氏 变 换 及 其 t0
积 分 表 达 式 ,其 中 0.
bnT 2 T 2 T 2fT(t)sinn td(tn1,2,3,)
在fT(t)的间断点t0处，式(1.1.1)的左端代之为
1 2f(t00)f(t00) (二)付氏级数的复指数形式
fT(t) Cnejwnt n (三)付氏积分
任何一个非周期函数f (t)都可以看成由某个周期
函数fT(t)当T→+∞时转化而来的。 即 Tl im fT(t)f(t)
f(t)1 F(w)ejwdt t而在f
2
(t)的间断点t0处，应以
1 2f(t00)f(t00)代替该式左端的f (t)。
注 非周期函数满足付氏积分定理的条件1°，
才能保证函数在任意有限区间上能展为付氏级数。
满足付氏积分定理的第2°条,才能保证
存
在。
lim
T
fT
(t)
§1.2 付氏变换
(一)定义1.1.1 设f (t)和F(ω)分别是定义在R上 的实值和复值函数，称它们是一组付里叶变换对，
F() f(t)eitdt 1 eitdt eit 1
1
i
1
1 eiei 2sin
i
f(t)21
F()eitd1
F()costd
0
102s incostd20sin costd
0
sin cos t
d
2 4
0
因 此 可 知 当 t 0时,有
| t | 1 | t | 1 | t | 1
f(t)2 1 f(t)ejwdt e tjw dt w
这个公式称为函数f (t)的付里叶积分公式
付氏积分定理 若f (t)在(-∞，+∞)上满足下列
条件：
1°在任一有限区间满足狄利克雷条件；
2°
f (t)dt
则积发
F(w) f(t)ejwdt 存t 在,并且在f
(t)的连续点处
函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在 电学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电势 作用后产生的电流; 在力学中, 要研究机械系统 受冲击力作用后的运动情况等. 研究此类问题就 会产生我们要介绍的单位脉冲函数.
在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t=0) 进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流 i(t). 以q(t)表示上述电路中的电荷函数, 则
量那样, 以统一的方式加以解决.
0 t0
给
函数
序列
d
(t)
1
0t，
d(t)
1/
0 t
定
义
d
(t)
lim
0
d
(t)
0
t0。 t0
O
d d ( t) d t l i m 0 ( t) d t l i m 00 1 d t 1
（在极限与积分可交换意义下）
工程上将d-函数称为单位脉冲函数。
如果成立
F(w) f(t)ejwdt t
f(t)1 F(w)ejwdt w
2
并称F(ω)为f (t)的象函数
或付里叶变换，记为
F[f(t)]；称f (t)为F(ω)的象 原函数或付里叶逆变换，
记为F-1[F(ω)]
例1
求矩形脉冲函数
f
(t)
1,
t 1 的付氏变换及其积分
表达式。
0, t 1
0, t 0; q(t) 1, t 0.
i(t)dd q ( tt) lt i0q m (t tt) q (t)
当t0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的, 从而在 普通导数意义下, q(t)在这一点是不能求导数的.
如果我们形式地计算这个导数, 则得
i(0 ) lt i0q m (0 tt) q (0 ) lt i0 m 1 t
上满足狄利克莱（DirichL et）条件，如果它满足条
件： ⑴ 在[a,b]上或者连续，或者只有有限个第一
类间断点；
⑵ f（t）在[a,b]上只有有限个极值点。
从T为周期的周期函数fT(t)，如果在
T 2
,
T2上 满
足狄利克雷条件，那么在
T 2
,
T上2 fT(t)可以展成付
氏级数，在fT(t)的连续点处，级数的三角形成为