九年级数学上册 4.1 线段的比和成比例线段(第1课时) 北师大版
北师大版九年级数学上册_名师教学设计：4。1_成比例线段(第1课时)
成比例线段郑州市第七中学方敏一、学情分析相似图形是现实生活中广泛存在的现象，在小学时学生就接触过比例的知识，在七年级下册时学生已学习了全等图形（其实全等图形就是相似图形的一个特例）. 所以学生已经具备一些知识基础、活动经验基础等，学生在学习线段的比时不会感到很困难.二、教学目标1.结合现实情境，感受学习线段的比的必要性，了解线段的比和成比例线段.2.借助几何直观，了解比例的基本性质及其简单应用.3.通过现实情境，进一步发展从数学的角度发现问题、提出问题、解决问题的能力，培养数学应用意识，体会数学与自然、社会的密切联系.三、教学重、难点重点：理解线段的比和成比例线段的概念及比例的基本性质.难点：判断四条线段是否成比例.四、教学方法探索法、发现法五、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：第一环节：设置情境，引入新课；第二环节：新知探究；第三环节：应用新知；第四环节：巩固新知；第五环节：回顾新知；第六环节：布置作业.第一环节设置情境，引入新课（1）通过用幻灯片展示生活的的图片，并提出问题：观察下列图形，每一组图形有什么特点？（设计目的：引发学生思考相似图形的特征，激发学生的学习兴趣.）（2）请在下面图形中找出形状相同的图形？你发现这些形状相同的图形有什么不同？（设计目的：从生活图片过渡到平面图形，引导学生寻找表示方法，引出线段的比.）利用多媒体技术，通过放大或缩小得到形状相同、大小不同的图形，引导学生观察放大、缩小的过程中图形上的相应线段也被放大或缩小，从而发现结论.对于形状相同、大小不同的两个图形，我们可以用相应线段长度的比来描述它们的大小关系.第二环节：探究新知（一）线段的比1. 活动：同桌之间用不同的长度单位测量课本的长和宽（精确到0.1 cm），并求出这两条线段的长度比.问题：你们的结论相同吗？两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系？（设计目的：让学生对这个问题有了一定的认识：两条线段长度的比与所采用的长度单位无关. 但要采用同一个长度单位.）概念：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB ，CD 的长度分别是m ，n ，那么这两条线段的比AB :CD =m :n ，或写成AB m CD n=，其中，AB ，CD 分别叫做这个线段比的前项和后项. 如果把m n 表示成比值k ，那么AB k CD =或AB =k ·CD . 2. 问题：如图，五边形 ABCDE 与五边形A ′B ′C ′D ′E ′形状相同，AB =5 cm ，A ′B ′=3 cm . 请问：线段AB 与线段A ′B ′的比是多少？这个比值刻画了这两个五边形的大小关系.3. 问题：如图，设小方格的边长为1，四边形ABCD 与四边形EFGH 的顶点都在格点上，那么AB ，AD ，EF ，EH 的长度分别是多少？分别计算,,,AB AD AB EF EF EH AD EH的值，你发现了什么？（提问目的：学生观察发现有两组线段的比相同，引入成比例线段.）（二）成比例线段1. 概念四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a cb d=，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段.（讲评要点：四条线段成比例，与四条线段的顺序有关，不能变动. 例如，上图中的AB，EF，AD，EH是成比例线段，AB，AD，EF，EH也是成比例线段，但是AB，AD，EH，EF就不是成比例线段.）2.练习（1）判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：①a=2 cm，b=4 cm，c=3 m，d=6 m；②a=0.8，b=1，c=3，d=2.4 .（2）a、b、c、d是成比例线段，其中a=3 cm，b=2 cm，c=9 cm，求线段d的长.（设计目的：通过练习加深学生对成比例线段概念的理解.）（三）比例的基本性质1.小组合作如果a，b，c，d四个数成比例，即a cb d=，那么ad=bc吗？追问：反过来如果ad=bc，那么a，b，c，d四个数成比例吗？即a cb d=成立吗？（设计目的：通过提问复习回顾小学学过的比例的基本性质，让学生了解新旧知识之间的联系.）第三环节：应用新知例1. 如图，一块矩形绸布的长AB=a m，宽AD=1 m，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的长与宽的比与原绸布的长与宽的比相同，即AE:AD=AD:AB，那么a的值应当是多少？第四环节：巩固新知（平板推送检测内容）1、下列各组中的四条线段成比例的是（ C ）A、a=1、b=3、c=2、d=4；B、a=4、b=6、c=5、d=10；C、a=2、b=4、c=3、d=6 ；D、a=2、b=3、c=4、d=1.2、已知a、b、c、d成比例线段，且a=2、b=4、c=9，则d=（C）A、10B、15C、18D、203、在比例尺为1：500000的平面地图上，A、B两地的距离是6 cm，则A、B两地的实际距离是（ D ）A、60 kmB、1.2 kmC、20 kmD、30 km4、已知2a=3b（b≠0），则下列比例式成立的是（D）A、32ab=B、23a b=C、23ab=D、32a b=（设计目的：让学生利用平板完成课堂检测，便于及时反馈学生的学习效果.）能力提升已知线段AB，如图，按下列要求进行尺规作图，①过点B作BD⊥AB，使BD=12 AB；②连接AD，在AD上截取DE=DB；③在AB上截取AC=AE.试判断：线段AC、AB、BC、AC是否是成比例线段？（设计目的：学生完成后利用平板拍照上传到作品库，便于反馈并及时纠正.）第五环节：回顾新知这节课我们学习了哪些知识？生活中还有哪些利用线段比的事例？你能举例吗？（设计目的：让学生回顾本节课的学习内容，学会归纳，善于总结，做一个有心人. 同时，也体现数学来源于生活并应用于生活.）第六环节：布置作业（A、B层）必做题：课本79页习题4.1第1题、第2题.（A层）选做题：课本79页习题4.1第3题.教学反思：教学中穿插了让同桌之间用不同的单位测量课本的长与宽（精确到0.1 cm），并求出这两条线段的长度之比. 添加这个环节目的是对学生得出“两条线段长度的比与所采用的长度单位无关”的结论埋下伏笔. 提问时问题不够准确，学生已经有了全等图形和比例的知识作为铺垫，生活中也存在大量相似图形的例子，所以学生学习起来不会很难，可以大胆的放手让学生自己去动手操作、动脑思考，老师可以在适当的时候给予帮助和补充.。
北师大版九年级上册数学4.1成比例线段一(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了成比例线段的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对成比例线段的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
2.成比例线段的基本性质：引导学生探究并证明成比例线段的两个基本性质：（1）如果线段a、b与线段c、d成比例，那么线段a、b的任意一组对应线段也与线段c、d成比例；（2）如果线段a、b与线段c、d成比例，且线段a、b的长度分别为m、n，那么线段c、d的长度分别为λm、λn（其中λ为常数）。
二、核心素养目标
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解成比例线段的基本概念。成比例线段是指如果两条线段a、b与另外两条线段c、d满足a∶b=c∶d，那么线段a、b与线段c、d成比例。它在几何学中具有重要地位，可以帮助我们解决许多实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析梯形、相似三角形等图形，了解成比例线段在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“成比例线段在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
北师大版九年级上册数学4.1成比例线段一（教案）
一、教学内容
4.1.1成比例线段 课件(共16张PPT) 北师大版数学九年级上册
教师讲评
知识点2：成比例线段
四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d
的比，即
=
，那么这四条
线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段.
四条线段a，b，c，d成比例，有顺序关系，即a，b，c，d是成比例线段，则比
例式为a:b=c:d;a,b,d,c是成比例线段,则比例式为a:b=d:c.
分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把 表示成比值k，那么
（1）在 比或a:b中，a是比的前项，b是比的后项；
（2）两条线段的长度单位要统一；
（3）在同一单位下线段的比与选用的长度单位无关；
（4）线段的比是一个没有单位的正数.
= ，其中，线段AB，CD
=k，AB=k∙CD.
+
例 2: 若 − = ,则 : =. ________,
= __________.
例 3: 若
=
= = ,且 + + = ,则 + + 的值为
( B )
A.10
B.4
C.一4
D.一5
【题型三】解决实际问题
例4：已知同一时刻物高与影长成比例，现在有一棵很高的古树，
③成比例线段的基本性质是什么？
Fra bibliotek
（如果 = ，那么bc=ad；如果bc=ad（a，b，c，d都不为0），那么 = ）
1.教材习题：完成课本79页随堂 练习
2.作业本作业：完成对应练习
北师大版数学九年级上册4.1成比例线段(第一课时)优秀教学案例
1.学生总结：让学生回顾自己的学习过程，总结成比例线段的知识点，发现自身的不足，明确改进方向。
2.同伴评价：学生互相评价，给出建设性意见，促进共同进步。
3.教师总结：教师对学生的学习过程和成果进行评价，关注学生的成长和进步，激发学生的学习动力。
4.利用评价结果，调整教学策略，为后续教学提供参考。如：针对学生的掌握情况，适当增加成比例线段在实际应用方面的教学内容。
（四）反思与评价
1.学生自我反思：让学生回顾自己的学习过程，总结成比例线段的知识点，发现自身的不足，明确改进方向。
2.同伴评价：学生互相评价，给出建设性意见，促进共同进步。
3.教师评价：教师对学生的学习过程和成果进行评价，关注学生的成长和进步，激发学生的学习动力。
4.利用评价结果，调整教学策略，为后续教学提供参考。如：针对学生的掌握情况，适当增加成比例线段在实际应用方面的教学内容。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握成比例线段的定义，理解成比例线段的判定方法，能运用成比例线段解决实际问题。
2.通过对成比例线段的学习，培养学生运用数学知识描述现实生活中的现象，提高学生的数学建模能力。
3.使学生能够熟练运用成比例线段的知识，对线段进行合理的比较和判断，提高学生的空间想象能力。
北师大版数学九年级上册4.1成比例线段（第一课时）优秀教学案例
一、案例背景
本节课的主题是“成比例线段”，这是北师大版数学九年级上册4.1的内容，也是学生在初中阶段首次系统接触比例线段的知识。在此之前，学生已经学习了线段、射线、直线等基础知识，对本节课的学习奠定了基础。然而，成比例线段的概念较为抽象，对于九年级的学生来说，理解起来仍存在一定难度。因此，在教学过程中，我需要充分考虑学生的认知特点，设计符合他们思维水平的学习活动，以提高他们的学习兴趣和积极性。
北师大版数学九年 级数学上册4.1：成比例线段与比例的基本性质 课件
第二环节 新课探究
三、比例的基本性质
三、比例的基本性质
小组合作交流三：
如果a、b、c、d 四个数成比例，
即 ac
bd
，那么ad＝bc 吗？反过来，如
果ad＝bc，那么a、b、c、d 四个数成比
例吗？
三、比例的基本性质
如果
a b
c, d
那么
ad
bc
如果 ad bc(a, b, c, d都不等于0），那么 a c bd
巩固练习2
1．判断下列线段是否是成比例线段：
（1）a＝2cm，b＝0.04m，c＝0.3dm，d＝6cm；
（2）a＝0.8，b＝3，c＝1，d＝2.4．
解：（2） a 0.8, c 1, d 2.4,b 3 a 0.8 4 , d 2.4 4 c 1 5b 3 5 a d cb a、c、d、b是成比例线段。
3 题、解决问题能力，培养数学应用意识，体会数学与自然，
社会的密切联系。
2014.10
你能在下面图形中找出形状相同的图形吗？
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
合作交流1：
①
②
③
④ ⑤ ⑥⑦
• 1、图中形状相同的图形有什么不同？ • 2、形状相同的图形其中的一个如何由另一个得到？ • 3、形状相同的图形对应线段如何变化？ • 4、形状相同而大小不同的两个图形，你认为如何描 • 述它们的大小关系？
考考你的眼力
找出这两幅图中四处不同
第一环节 情景引入 在实际生活中，经常会看到许多形状相同的图片
第四章 图形的相似
第1节 成比例线段(一)
4.1.1成比例线段
学习目标
结合现实情境感受学习线段的比的必要性，借助
北师大版初中数学九年级上册4.1 第1课时 线段的比和成比例线段
【预习案】
一、链接
1、 一 般 地 ， 如 果 选 用 同 一 长 度 单 位 去 度 量 两 条 线 段 的 叫作这两条线段的比. 2、归纳：
分 别 为 a,b,那 么
(1)计算两条线段的比时，必须选用同一长度单位，即单位要统一；
(2)两线段的比的最后结果应约分、化简；
(3)两条线段的比是一个没有单位的正数。
二、导读 1、成比例线段：对于四条线段 a,b,c,d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如 a c （ 即
bd ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 2 归纳： 成比例的条件：在判断四条线段是否成比例线段时，只要把四条线段的长度化为同一单位，然后按从小 到大(或从大到小)的顺序排列，再分别计算第一和第二、第三和第四条线段的比，如果相等，那么这四条 线段就是成比例线段，否则就不是成比例线段。
相信自己，就能走向成功的第一步
北师大初中数学
教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。数学思维可以让他们 更理性地看待人生
TB:小初高题库
【探究案】
ab 1、线段 a＝15 厘米，b＝20 厘米，c＝75 毫米，d＝0.1 米，求: 与 ，这四条线段会成比例吗?
bc
2、延长线段 AB 到点 C，使 BC=AB,求（1）AC：AB （2）AB：BC （3）BC：AC .
TB:小初高题库
北师大初中数学
【训练案】
1、判断下列四条线段是否成比例
（1）a=2，b= 5 ,c= 15 ，d= 2 3 ； （2） a= 2 ，b=3, c=2，d= 3 ；
（3）a=4，b=6, c=5，d=10；
4、1、1成比例线段(1) -21—22学年北师大版九年级数学上册
的值。
2 3
2、小明认为：
a （1）如果b
c d
b
d
0, c
d
0
那么
b
a
a
d
c
c
。
（2）如果a b c d
b
d
，那么 a c bd
。
这两个结论正确吗？为什么？
（1）✔ （2）✔ 合比性质的应用
2、（1）证明：∵ a c a b 0, c d 0
bd ∴ ad bc
在等式两边同时加ac 即 ad +ac bc ac
所以研究相似图形，先要学习线段的比和 比例线段的有关知识.
讲授新课
一 线段的比
A
m
BC nD
如果选用同一个长度单位 量得两条线段AB,CD的
长度分别是m、n，那么这两条线段的比就是两条线
段的长度比。
记作：AB: CD m : n（或 AB m） CD n
其中，AB、CD分别叫做这个线段比的前项、后项。
c
a
b
求k的值.
解：当a＋b＋c≠0时，由 a+b b+c c+a k ，
c ab
得 a+b b+c+c+a k ，
a+b+c
则k＝2；
易错点
当a＋b＋c＝0时，则有a＋b＝－c.
此时 k= c c 1
a+b c
综上所述，k的值是2或－1.
课堂练习
1、已知
a b
c d
=
2 3
b
d
0
a+c ，b d
∴ AB BC CA AB 3 .
北师大版-数学-九年级上册-教案4.1 成比例线段
4．1 成比例线段第1课时 线段的比和比例的基本性质1．了解线段的比和比例线段的概念．2．掌握比例的基本性质，会求两条线段的比，并应用线段的比解决实际问题．(重点)阅读教材P76～79，完成下列内容：(一)知识探究1．线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB ，CD 的长度分别是m ，n ，那么这两条线段的比(ratio)就是它们________的比，即AB ∶CD ＝m ∶n ，或写成AB CD ＝m n.其中，线段AB ，CD 分别叫做这个线段比的________和________．如果把m n 表示成比值k ，那么AB CD＝k 或AB ＝k ·CD.两条线段的比实际上就是两个数的比．2．四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即________，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称________．3．比例的基本性质如果a b ＝c d，那么ad ＝________. 如果ad ＝bc(a ，b ，c ，d 都不等于0)，那么a b＝________. (二)自学反馈1．下列各组线段(单位：cm)中，成比例线段是( )A ．1，2，3，4B ．1，2，2，4C ．3，5，9，13D ．1，2，2，32．把mn ＝pq 写成比例式，错误的是( )A.m p ＝q nB.p m ＝n qC.q m ＝n pD.m n ＝p q活动1 小组讨论例 如图，一块矩形绸布的长AB ＝a m ，宽AD ＝1 m ，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即AE AD ＝AD AB，那么a 的值应当是多少？解：根据题意可知，AB ＝a m ，AE ＝13a m ，AD ＝1 m. 由AE AD ＝AD AB，得 13a 1＝1a， 即13a 2＝1. ∴a 2＝3.开平方，得a ＝3(a ＝－3舍去)．本例提供了应用比例基本性质的一个具体情境，应注意阅读和理解题意，然后由比例式得到等积式，再通过计算求得结果．易错提示：开平方后求得的结果，需要检验是否符合题意．活动2 跟踪训练1．等边三角形的一边与这边上的高的比是( )A.3∶2B.3∶1C ．2∶ 3D ．1∶ 32．若四条线段a 、b 、c 、d 成比例，且a ＝3，b ＝4，c ＝6，则d ＝( )A ．2B ．4C ．4.5D ．83．在比例尺为1∶900 000的安徽黄山交通图中，黄山风景区与市政府所在地之间的距离是4 cm ，这两地的实际距离是( )A ．2 250厘米B ．3.6千米C ．2.25千米D ．36千米4．A 、B 两地之间的高速公路为120 km ，在A 、B 间有C 、D 两个收费站，已知AD ∶DB ＝11∶1，AC ∶CD ＝2∶9，则C 、D 间的距离是________km.5．如图，已知AD DB ＝AE EC，AD ＝6.4 cm ，DB ＝4.8 cm ，EC ＝4.2 cm ，求AC 的长． 活动3 课堂小结1．线段的比的概念、表示方法；前项、后项及比值k.2．两条线段的比是有序的；与采用的单位无关，但要选用同一长度单位．3．两条线段的比在实际生活中的应用．【预习导学】(一)知识探究1．长度 前项 后项 2.a b ＝c d 比例线段 3.bc c d(二)自学反馈1．B 2.D【合作探究】活动2 跟踪训练1．C 2.D 3.D 4.905．∵AD DB ＝AE EC ，∴6.44.8＝AE 4.2.解得AE ＝5.6.∴AC ＝AE ＋EC ＝5.6＋4.2＝9.8(cm)．第2课时 等比性质1．理解并掌握等比性质．(重点)2．运用等比性质解决有关问题．(难点)阅读教材P79～80，自学“例2”，完成下列内容：(一)知识探究等比性质：如果a b ＝c d ＝…＝m n (b ＋d ＋…n ≠0)，那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n＝________. 注意在运用等比性质时，前提条件是：分母b ＋d ＋…＋n ≠0.(二)自学反馈如果a b ＝c d ＝52(b ＋d ≠0)，那么a ＋c b ＋d＝________.活动1 小组讨论例 在△ABC 与△DEF 中，若AB DE ＝BC EF ＝CA FD ＝34，且△ABC 的周长为18 cm ，求△DEF 的周长． 解：∵AB DE ＝BC EF ＝CA FD ＝34， ∴AB ＋BC ＋CA DE ＋EF ＋FD ＝AB DE ＝34. ∴4(AB ＋BC ＋CA)＝3(DE ＋EF ＋FD)，即DE ＋EF ＋FD ＝43(AB ＋BC ＋CA)． 又∵△ABC 的周长为18 cm ，即AB ＋BC ＋CA ＝18 cm ，∴DE ＋EF ＋FD ＝43(AB ＋BC ＋CA)＝43×18＝24(cm)， 即△DEF 的周长为24 cm.在应用等比性质时，要抓住题目已知条件：三角形ABC 的周长，即三边之和为18 cm.活动2 跟踪训练1．已知a b ＝c d ＝e f＝4，且a ＋c ＋e ＝8，则b ＋d ＋f 等于( ) A ．4 B ．8C ．32D ．22．若a ＋b c ＝b ＋c a ＝c ＋a b＝k ，且a ＋b ＋c ≠0，则k 的值为( ) A ．2 B ．－1C ．2或－1D ．不存在3．已知a b ＝c d ＝e f ＝23，则a ＋e b ＋f＝________. 4．如果a b ＝c d ＝e f＝k(b ＋d ＋f ≠0)，且a ＋c ＋e ＝3(b ＋d ＋f)，那么k ＝________.5．已知a b ＝c d ＝e f ＝23，b ＋2d －3f ≠0，求a ＋2c －3e b ＋2d －3f的值． 活动3 课堂小结等比性质：如果a b ＝c d ＝…＝m n (b ＋d ＋…n ≠0)，那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b.【预习导学】(一)知识探究 a b(二)自学反馈52【合作探究】活动2 跟踪训练1．D 2.A 3.234.3 5．∵a b ＝c d ＝e f ＝23，b ＋2d －3f ≠0，∴a b ＝2c 2d ＝－3e －3f ＝23.∵b ＋2d －3f ≠0，∴a ＋2c －3e b ＋2d －3f ＝23.。
4.1第1课时线段的比和比例的基本性质-北师大版九年级数学上册习题课件
ACB＝90°，AC＝3，BC＝4.∴AB＝5.∵S ＝ AB·CD＝ BC·AC，∴CD＝ ＝ 15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC.
△ABC
2 2 AB 15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC.
第一课时 线段的比和比例的基本性质
2.4，∴在 Rt△ADC 中，AD＝ 试判断线段AD、BE、AC、BC是否成比例，并说明理由．
15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC.
17．【核心素养题】如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，已知AC＝3，BC＝4.
17．【核心素养题】如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，已知AC＝3，BC＝4.
15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC.
第一课时 线段的比和比例的基本性质
AC2－CD2＝1.8，∴BD＝AB－AD＝3.2，∴AD∶CD
试判断线段AD、BE、AC、BC是否成比例，并说明理由．
＝CD∶BD＝3∶4，即线段 15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC.
注意：求两条线段的比时，长度单位必须统一．
AD、CD、CD、BD
是成比例线段．
(2)比例尺 在地图或工程图纸上，图上长度与它所表示的实际长度的比通
常称为比例尺．比例尺是两条线段的比的一种． 注意：求两条线段的比时，长度单位必须统一．
知识点 2 比例线段的定义 四条线段 a、b、c、d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即ab＝dc，那么这四 条线段 a、b、c、d 叫做成比例线段，简称比例线段． (1)a、b、c、d 分别叫做比例的第一、二、三、四比例项； (2)a、d 叫做比例外项，b、c 叫做比例内项． 提示：判断给定的四条线段是否成比例的方法：先将四条线段统一单位，再按 大小顺序排列好，看前两条线段之比与后两条线段之比是否相等；也可看最长线段 与最短线段长度的乘积与剩余两条线段长度的乘积是否相等，若相等则成比例，否 则不成比例．
4.1.1线段的比与比例的基本性质(教案)北师大版数学九年级上册
第四章图形的相似1成比例线段第1课时线段的比与比例的基本性质教学目标：1.结合实际情境了解线段比的概念,并会计算两条线段的比.2.结合实际情境了解比例线段的概念.3.理解并掌握比例的基本性质,并能进行简单应用.4.通过现实情境,进一步提高学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力,培养学生的数学应用意识.教学重难点：重点:理解线段的比与成比例线段的概念及求解.难点:判断四条线段是否成比例及比例基本性质的灵活应用.教学方法：讲授法、练习法教学课时：1教学过程：导入新课请观察下列几幅图片,你能发现些什么?你能对观察到的图片特点进行归纳吗?解:这些例子都是形状相同、大小不同的图形.它们之所以大小不同,是因为它们图上对应的线段的长度不同.讲授新知知识点1线段的比已知线段a=30 cm,b=60 cm,c=0.15 m,d=30 cm.(1)求线段a与线段b的比;(2)求线段c与线段d的比.[点拨]先化为相同单位,然后进行计算.解:(1)a∶b=30∶60=1∶2.(2)0.15 m=15 cm,c∶d=15∶30=1∶2.[归纳]如果选用同一个长度单位量得两条线段AB ,CD 的长度分别是m ,n ,那么就说这两条线段的比AB ∶CD=m ∶n 或写成AB CD =m n .其中,AB ,CD 分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把m n表示成比值k ,那么AB CD =k 或AB=k ·CD. 知识点2 成比例线段计算下列四条线段中a ∶b 与c ∶d 的值,你能发现什么?(1)a=2 cm,b=4 cm,c=3 m,d=6 m;(2)a=0.8,b=1,c=2.4,d=3.解:(1)a ∶b=2∶4=1∶2;c ∶d=3∶6=1∶2,两个比相等.(2)a ∶b=0.8∶1=4∶5;c ∶d=2.4∶3=4∶5,两个比相等.[归纳]四条线段a ,b ,c ,d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即a b =c d,那么这四条线段a ,b ,c ,d 叫做成比例线段,简称比例线段.注意:(1)若a ∶b=k ,说明a 是b 的k 倍;(2)两条线段的比与所采用的长度单位无关,但求比时两条线段的长度单位必须一致;(3)两条线段的比值是一个没有单位的正数. 知识点3 比例的基本性质有四条线段:a=3,b=4,c=6,d=8,它们成比例吗?计算ad 与bc 的值,你能发现什么? 解:它们成比例,ad=bc.[归纳]如果a ,b ,c ,d 四个数成比例,即a b = c d .那么ad=bc.如果ad=bc (a ,b ,c ,d 都不等于0),那么a b = c d . 范例应用例1 如图所示,已知在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=8 cm,AC=6 cm,CD 是斜边AB 上的高,求CD ∶AB 的值.解:在Rt △ABC 中,由勾股定理,得AB=√AC 2+BC 2=√62+82=10(cm ),由面积公式,得S △ABC = 12AC ·BC=12AB ·CD.所以CD=6×810 = 245(cm ).所以CD ∶AB = 245∶10=1225.例2 下列四个数成比例的是(A)A.3,9,5,15B.1,2,3,4C.2,4,5,8D.3,5,7,9例3 若x ∶3=5∶(x+2),求x 的值.解:因为x ∶3=5∶(x+2),则x (x+2)=3×5.即x 2+2x15=0. 解得x=5或x=3.所以x 的值为5或3.课堂训练1.如果3x=5y,则下列比例式成立的是(B)A.x y = 35B.x y = 53C.x 3 = y 5D.3x = 5y2.已知a b =52,那么下列等式中正确的是(A)A.2a=5bB.a+b=7C.a=5,b=2D.a 2 = b 5 3.在比例尺为1∶2 000 000的地图上,量得甲、乙两地的距离是2.4 cm,甲、乙两地的实际距离是 48 km.4.如图所示,有矩形ABCD 和矩形A'B'C'D',AB=8 cm,BC=12 cm,A'B'=4 cm,B'C'=6 cm.则线段A'B',AB,B'C',BC 是成比例线段吗?解:因为AB=8 cm ,BC=12 cm ,A'B'=4 cm ,B'C'=6 cm ,所以A'B'AB =48=12,B'C'BC = 612=12. 所以A'B'AB =B'C'BC .所以A'B',AB ,B'C',BC 是成比例线段.5.已知三个数2,4,8,请你再添上一个数,使它们成比例,求出所有符合条件的数. 解:设添加的数为x ,当2∶4=8∶x 时,x=16.2∶4=x ∶8时,x=4.2∶x=4∶8时,x=4.x ∶2=4∶8时,x=1.所以可以添加的数有1,4,16.课堂小结1.线段比的概念.2.成比例线段的概念、判断及注意事项.3.比例的基本性质.板书设计第四章 图形的相似1 成比例线段第1课时 线段的比与比例的基本性质1.线段的比:如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD 的长度分别是m,n,那么就说这两条线段的比AB ∶CD=m ∶n 或写成AB CD =m n.2.成比例线段:四条线段a,b,c,d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即a b =c d ,那么这四条线段a,b,c,d 叫做成比例线段,简称比例线段.3.比例的基本性质:如果a,b,c,d 四个数成比例,即a b =c d ,那么ad=bc.如果ad=bc(a,b,c,d 都不等于0),那么a b =c d .教学反思：本节课主要学习比例线段的概念及性质,成比例线段的概念及比例的基本性质,对学生而言,这个概念基于图形背景中,比较直观,学生比较容易理解.比例的性质,是后续研究相似图形的基础,同时也可以为分式的运算提供一些便捷,而且比例的基本性质中蕴含着一些基本的数学方法,可适当运用到后续知识的学习中,是本节课重要的教学任务.。
北师大版九年级数学上册 4.1成比例线段 导学案(含答案)
北师大版九年级数学上册第四章 4.1成比例线段 导学案第1课时 线段的比和成比例线段1、教学目标1．线段的比：是指选用同一个长度单位量得的两条线段长度的比，叫做两条线段的比．2．比例尺：在地图或工程图纸上，图上长度与实际长度的比通常称为比例尺．3．线段比AB ∶CD 中，AB 叫线段比的前项，CD 叫线段比的后项．4．成比例线段：四条线段a ，b ，c ，d ，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a b ＝c d ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．5．比例的基本性质：如果a b ＝c d，那么ad ＝bc ；反之，如果ad ＝bc(a ，b ，c ，d 都不为0)，那么a b ＝c d. 2、课堂精讲精练【例1】在1∶40 000的地图上，村犀路的距离是7厘米，则实际距离是2.8千米．【跟踪训练1】 在比例尺为1∶6 000的地图上，图上尺寸为1 cm ×2 cm 的矩形操场，实际尺寸为60m ×120m ．【例2】下列各组中的四条线段成比例的是(C)A ．a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝ 3B ．a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10C ．a ＝2，b ＝5，c ＝23，d ＝15D ．a ＝2，b ＝3，c ＝4，d ＝1【跟踪训练2】已知a ，b ，c ，d 成比例线段，其中a ＝3 cm ，b ＝2 cm ，c ＝6 cm ，则d 的长度为(A)A ．4 cmB ．5 cmC ．6 cmD ．9 cm【例3】已知x ∶y ＝3∶2，则下列各式中正确的是(A)A.x ＋y y ＝52B.x －y y ＝13C.x y ＝23D.x ＋1y ＋1＝43【跟踪训练3】如果x ∶y ＝3∶5，那么x ∶(x ＋y)＝(B)A.35B.38C.25D.583、课堂巩固训练1．在比例尺是1∶4 000的成都市城区地图上，位于锦江区的九眼桥的长度约为3 cm ，它的实际长度用科学记数法表示为(B)A ．12×103 cmB ．1.2×102m C ．1.2×104m D ．0.12×105 cm 2．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120°，AD 为高，则AD ∶AB 为(D)A ．2∶1B ．1∶1C ．1∶3D ．1∶23．下面四组线段中不能成比例线段的是(B)A ．3，6，2，4B ．4，6，5，10C ．1，2，3， 6D ．25，15，4，2 3 4．如果x －y x ＋y ＝38，那么x y ＝115． 5．已知三条线段的长分别为1 cm ，2 cm ， 2 cm ，如果另外一条线段与它们是成比例线段，那么另外一条线段的长为2_cm 或22_cm ． 4、课堂总结1．求线段a 与b 的比值的准备工作：统一a ，b 的长度单位或把a ，b 用同一个字母表示出来．2．验证两个比例式是否可以相互转化的方法：看它们的等积式是否相同．3．验证四条线段是否成比例的简便方法：看是否满足“最大×最小＝其余两项之积”．第2课时 等比性质1、教学目标如果a b ＝c d ＝…＝m n ，当b ＋d ＋…＋n ≠0时，a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b.比例的这种性质叫做比例的等比性质．2、课堂精讲精练【例1】(1)若a b ＝c d ＝e f(b ＋d ＋f ≠0)，则下列各式中一定成立的是(B) A.e f ＝ac bd B.e f ＝a ＋c ＋e b ＋d ＋fC.e f ＝a ＋c b －dD.e f ＝a ＋c －e b ＋d ＋f (2)已知a 2＝b 3＝c 4≠0，则a ＋b c ＝54． 【跟踪训练1】若a 6＝b 5＝c 4≠0，且a ＋b －2c ＝3，则a ＝6． 【例2】已知a b ＝c d ＝e f＝3，求： (1)a ＋c ＋e b ＋d ＋f(b ＋d ＋f ≠0)的值； (2)2a ＋3c －4e 4b ＋6d －8f(4b ＋6d －8f ≠0)的值． 解：(1)∵a b ＝c d ＝e f＝3， ∴a ＋c ＋e a ＋d ＋f ＝a b＝3. (2)∵a b ＝c d ＝e f＝3， ∴2a 4b ＝3c 6d ＝－4e －8f ＝3×12＝32. ∴2a ＋3c －4e 4b ＋6d －8f ＝32.【跟踪训练2】若a b ＝c d ＝…＝2m 3n ＝57(b ＋d ＋…＋3n －7≠0)，则a ＋c ＋…＋2m －5b ＋d ＋…＋3n －7的值为57． 【跟踪训练3】已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，且(a －c)∶(a ＋b)∶(c －b)＝(－2)∶7∶1，a ＋b ＋c ＝24.(1)求a ，b ，c 的值；(2)判断△ABC 的形状．解(1)设a －c ＝－2k ，a ＋b ＝7k ，c －b ＝k ，∴a ＝7k －b ，c ＝k ＋b.∴a －c ＝7k －b －k －b ＝－2k.∴b ＝4k ，a ＝3k ，c ＝5k.∵a ＋b ＋c ＝24，∴3k ＋4k ＋5k ＝24，解得k ＝2.∴a ＝6，b ＝8，c ＝10.(2)∵a 2＋b 2＝62＋82＝100＝102＝c 2，∴△ABC 是直角三角形．3、课堂巩固训练1．设a ，b ，c 是三个互不相同的正数，如果a －c b ＝c a ＋b ＝b a，那么(A) A ．3b ＝2c B ．3a ＝2b C ．2b ＝c D ．2a ＝b 2．若k ＝a ＋b c ＝b ＋c a ＝a ＋c b(a ＋b ＋c ≠0，k ≠0)，则直线y ＝kx ＋k －2一定经过第一、三象限．3．若a 2＝b 3＝c 4，且a ＋b －c ＝1，求a －b ＋c 的值． 解：设a 2＝b 3＝c 4＝k ， 则a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k.∵a ＋b －c ＝1，∴2k ＋3k －4k ＝1.解得k ＝1.∴a＝2，b＝3，c＝4.∴a－b＋c＝2－3＋4＝3.4、课堂总结1．合比性质与等比性质的证明过程中用到了引入参数k的方法，这种方法使用十分广泛．2．使用等比性质时一定要注意所有后项之和是否为零，如果没有限制条件，那么需要分类讨论．。
4.1.1 线段的比和比例的基本性质九年级上册数学北师大版
1a
由 AE AD , 得 3 1 ,即 1 a 2 1.
a
AD
AB
1
3
a 2 3.开平方，得a 3 （a - 3舍去）
.
随堂练习
1.你知道地图比例尺的含义吗？生活中还有哪些
利用线段比的事例？
梯子
黄金分割
2.一条线段的长度是另一条线段长度的5倍，求这
两条线段的比.
5:1
a = c.
么
d
b
例1
如图，一块矩形绸布的长AB = a m, AD =
1m，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩
形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原
绸布的宽与长的比相同，即
那么 a 的值应当是多少？
AE AD
AD AB
，
解：根据题意可知，AB am，
AE 1 am , AD 1m ,
求AD的长.
解：∵AB=12 ,∴BD=AB-AD=12-AD，
∵AE = 6 cm，EC = 5 cm，且
AD
6
72
,∴
=
,
12−AD5 ∴AD=11 . Nhomakorabea=
AD AE
cm，且 DB = EC
6.如图，将一张矩形纸片沿它的长边对折（EF为折
痕），得到两个全等的小矩形.如果小矩形长边与短
边的比等于原来矩形长边与短边的比，那么原来矩
形的长边与短边的比是多少?
解：设小矩形的长边为x短边为y，则原来矩形的
长边为2y，短边为x.
由题意,得x:y=2y:x,
2
2
即:2 = ,解得 y=
九年级数学上册4.1第1课时线段的比和成比例线段教案1北师大版
4.1 成比例线段第1课时线段的比和成比例线段1.知道线段的比的概念,会计算两条线段的比；（重点）2。
理解成比例线段的概念；（重点）3.掌握成比例线段的判定方法。
（难点）一、情景导入请观察下列几幅图片，你能发现些什么?你能对观察到的图片特点进行归纳吗？这些例子都是形状相同、大小不同的图形.它们之所以大小不同,是因为它们图上对应的线段的长度不同。
二、合作探究探究点一：线段的比【类型一】求线段的比已知线段AB＝2。
5m，线段CD＝400cm，求线段AB与CD的比。
解析：要求AB和CD的比,只需要根据线段的比的定义计算即可，但注意要将AB和CD的单位统一.解：∵AB＝2.5m＝250cm，∴ABCD＝错误!＝错误!。
方法总结：求线段的比时，首先要检查单位是否一致，不一致的应先统一单位，再求比.【类型二】比例尺在比例尺为1：50 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3cm，则甲、乙两地的实际距离是m。
解析：根据“比例尺＝错误!”可求解。
设甲、乙两地的实际距离为x cm，则有1：50 000＝3：x，解得x＝150 000. 150000cm＝1500m.故答案为1500.方法总结：理解比例尺的意义，注意实际尺寸的单位要进行恰当的转化.探究点二：成比例线段【类型一】判断线段成比例下列四组线段中，是成比例线段的是（）A.3cm，4cm，5cm，6cmB。
4cm，8cm,3cm，5cmC。
5cm，15cm,2cm，6cmD.8cm，4cm，1cm，3cm解析：将每组数据按从小到大的顺序排列，前两条线段的比和后两条线段的比相等的四条线段成比例.四个选项中，只有C项排列后有25＝错误!。
故选C。
方法总结：判断四条线段是否成比例的方法：（1)把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比，看是否相等做出判断；（2)把四条线段按从小到大顺序排好，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断。
北师大版九年级上册数学 4.1 第1课时 线段的比和成比例线段 教学课件
问题2 多啦A梦的2寸照片和4寸照片，它的形状改变了吗？ 大小呢？
讲授新课
一 线段的比和成比例线段
如果选用同一个长度单位得两条先线段AB,CD的长度分别是 m , n,那么这两条线段的比就是它们长度的比，即
m
n
A
B
C
D
AB:CD= m : n 或 AB m CD n
如果把 m 表示成比值k,那么 AB =k，或k ·CD,两条线段
AC AB
A
AB = 15 , AC = 10 , BD = 6.
则 AD = AB – BD =15 – 6= 9.
D
E
则 AE AD AC 910 6
AB 15
B
C
课堂小结
线段的比
如果选用同一长度单位量得两条线段AB,CD的长
度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长 度的比，即AB：CD=m：n，或写成 A B m
n
CD
的比实际上就是两个数的比.
设小方格的边长为1，四边形ABCD与四边形EFGH的顶点 都在格点上，那么AB，AD, EF, EH的长度分别是多少？
C D
G H
A
BE
F
四条线段a, b,
c, d中，如果a与b的比等于c与d的比，即
a b
c d
，
那么这四条线段a , b ,c , d叫作成比例线段，简称比例线段.
（1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10；
解： （1） ∵ a 4 2
b63
c 5 1 d 10 2
，
∴ ac ， bd
∴ 线段a、b、c、d 不是成比例线段．
（2）a＝2，b＝ 5 ，c＝ 2 15 ，d＝ 5 3 ．
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,
AC0 , BD = 6.
则
AD = AB – BD =15 –
D
E
6= 9. AE AD AC 910 6
AB 15
B
C
则
课堂小结
线段的比 成比例线段
如果选用同一长度单位量得两条线段AB,CD的长
度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长 度的比，即AB：CD=m：n，或写成 A B m
一 线段的比和成比例线段
如果选用同一个长度单位得两条先线段AB,CD的长度分别是
m , n,那么这两条线段的比就是它们长度的比，即
m
n
A
B
C
D
AB:CD= m : n 或 AB m CD n
如果m把
表示成比值ABk,那么
n
CD
k · CD,两条线段的比实际上就是两个数的比.
=k，或
设小方格的边长为1，四边形ABCD与四边形EFGH的顶点都 在格点上，那么AB，AD, EF, EH的长度分别是多少？
为（A
）
A.100:3
B.1:3
C.10:3
D.1000:3
2.甲、乙两C地相距35km，图上距离为7cm,则这张图的比例
尺为（
）
A.5:1
B. 1:5
C.1:500000
D.500000:1
3.已知 AD AE
AE． AB AC
，AB=15，AC=10，BD=6．求
解：根据题意可知, AE AD
CD n
成比例 线段
四条线段a，b，c，d，如果a与b的比等于c与d的
比，即 a c
bd
，那么这四条线段a，b，c，d叫
成比例线段，简称比例线段.
比与原绸布的宽与长的比相同，即 AE AD
AD AB
，那么a
的值应当是多少？
解：根据题意可知,AB=am, AE= am,
D
F
C
AD=1m .
由 AE AD
1 3
a
，1 得.
AD AB
即 1 a2 1
1a
开a平 方3,. 得
A
E
B
3
当堂练习
1.一把矩形米尺，长1m,宽3cm，则这把米尺的长和宽的比
C
D G
H
A
BE
F
四条线段a, b, c, d中，如果a与b的比等于c与d的比，a c
bd
即
，那么这四条线段a , b ,c , d叫作成比例线
段，简称比例线段.
二 成比例线段的应用
例：一块矩形绸布的长AB=am,宽AD=1m，按照图中所示中方式它
裁剪成相同的三面矩形彩旗，且使才裁出的每面彩旗的宽与长的
第四章 图形的相似
4.1 比例线段
第1课时 线段的比和成比例线段
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标 1.知道线段的比的概念，会计算两条线段的比；（重点） 2．理解成比例线段的概念；（重点） 3．掌握成比例线段的判定方法．（难点）
导入新课 观察与思考
问题:以下两幅图片有什么样的关系？
讲授新课