第一讲 有关三线八角的几何证明

第一讲 有关三线八角的几何证明

一．三线八角模型

两条直线被第三条直线所截，产生两个交点，形成了八个角（不可分的）：

同位角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD 的同侧，在第三条直线EF 的同旁（即位置相同），这样的一对角叫做同位角；

内错角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD 之间，在第三条直线EF 的两旁（即位置交错），这样的一对角叫做内错角；

同旁内角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD 之间，在第三条直线EF 的同旁，这样的一对角叫做同旁内角；

二．平行线判定定理：

如果两条直线被第三条直线所截，形成的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，是否能证明这两条直线平行呢？

两条直线被第三条直线所截，以下几种情况可以判定这两条直线平行： 平行线判定定理1：同位角相等，两直线平行

如图所示，只要满足∠1＝∠2（或者∠3＝∠4；∠5＝∠7；∠6＝∠8），就可以说AB//CD

平行线判定定理2：内错角相等，两直线平行

如图所示，只要满足∠6＝∠2（或者∠5＝∠4），就可以说AB//CD 平行线判定定理3：同旁内角互补，两直线平行

如图所示，只要满足∠5+∠2＝180︒（或者∠6+∠4＝180︒），就

可以说AB//CD

平行线判定定理4：两条直线同时平行于第三条直线，两条直线平行

三．平行线的性质定理

两条直线平行，被第三条直线所截，其同位角，内错角，同旁内角有如下关系： 两直线平行，被第三条直线所截，同位角相等； 两直线平行，被第三条直线所截，内错角相等 两直线平行，被第三条直线所截，同旁内角互补。

概念巩固

1. 如图，下面结论正确的是（）

A. ∠∠12和是同位角

B. ∠∠23和是内错角

C. ∠∠24和是同位角

D. ∠∠14和是内错角 2. 如图，图中同旁内角的对数是（） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 3. 如图，能与α构成同位角的有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 如图，图中的内错角的对数是（）

A. 2对

B. 3对

C. 4对

D. 5对

(1) (2)

(3) (4)

5．如图（1）所示，同位角共有（）

A．1对 B．2对 C．3对D．4对

6．下图中，∠1和∠2是同位角的是

A．B．C．D．

定理应用

7．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则两次拐弯的角度可以是（）

A．第一次向右拐40°，第二次向左拐140°B．第一次向左拐40°，第二次向右拐40°C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140°D．第一次向右拐40°，第二次向右拐40°

8．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30 ，这两个角是（）A. 42138

、 B. 都是10 C. 42138

、或4210

、 D. 以上都不对9．如图（2）所示，∥，AB⊥，∠ABC=130°，

那么∠α的度数为（）

A．60°B．50°C．40°D．30°

1

2

3

4

α

10．如图（3）所示，已知∠AOB=50°，PC ∥OB ，PD 平分∠OPC ，则∠APC= ___°，∠PDO=______°

11．平行四边形中有一内角为60°，则其余各个内角的大小为___，____，_____。 12．如图（4）所示，OP ∥QR ∥ST ，若∠2=110°，∠3=120°，则∠1=______。

13．如图（6），DE ⊥AB ，EF ∥AC ，∠A=35°，求∠DEF 的度数。

14

．如图（7）

，已知∠AEC=∠A+∠C ，试说明：AB ∥CD 。

15.如图(19),∠1+∠2=180°,∠DAE=∠BCF,DA 平分∠BDF. (1)AE 与FC 会平行吗?说明理由；

(2)AD 与BC 的位置关系如何?为什么?

(3)BC 平分∠DBE 吗?为什么？

F

2

1

D

C

B

A

证明题

1．如图，已知：AB//CD

E A B

C D

E

AB和CD上的点，DE、AF分别交BC于G、H

，。

3．已知：如图，∠=∠∠=∠123，，B AC DE //，且B 、C 、D 在一条直线上。 求证：AE BD //

4．已知：如图，∠=∠CDA CBA ，DE 平分∠CDA ，BF 平分∠CBA ，且∠=∠ADE AED 。 求证：DE FB //

5．已知：如图，∠+∠=∠=∠BAP APD 18012

，。求证：∠=∠E F

A E 3 1 2 4

B C D

D F C

A E B

A B

1 E

F 2 C

P

D

6．已知：如图，∠=∠∠=∠∠=∠123456，，。 求证：ED FB //

F

E

4 A G 1

B

5

3 6 2

C

D

8.

都为直线，B 在直线AC 上，E 在直线DF 上，