第一讲 有关三线八角的几何证明
三线八角
同位角在被截直线的同一方向，内错角在被截直线之间，同旁内角在被截直线之间。
三线八角平面上一直线和两直线相截所得的八个叫称为“三线八角”。
八个角依照其相对位置有不同的名称（如图）同位角：∠1和∠5、∠2和∠6、∠3和∠7、∠4和∠8相对位置相同，称为“同位角”。
同方向错角：∠1和∠8、∠4和∠5、∠3和∠6、∠2和∠7在被截线同方向，但被截线错开，称为“同方向错角”。
内错角：∠2和∠8、∠3和∠5相互交错，且均在内部，称为“内错角”。
外错角：∠1和∠7、∠4和∠6相互交错，且均在外部，称为“外错角”。
同旁内角：∠2和∠5、∠3和∠8在截线同旁，且均在内部，称为“同旁内角”。
同旁外角：∠1和∠6、∠4和∠7在截线同旁，且均在外部，称为“同旁外角”。
定义平面上两条直线被一条直线相截所得的八个角称为“三线八角”。
[编辑本段]八个角的相对位置八个角依照其相对位置有不同的名称（如图）同位角：∠1和∠5、∠2和∠6、∠3和∠7、∠4和∠8相对位置相同，称为“同位角”。
同位角的形状似字母F。
同位角相等两直线平行（可当定理使用）同方向错角：∠1和∠8、∠4和∠5、∠3和∠6、∠2和∠7在被截线同方向，但被截线错开，称为“同方向错角”。
（有理论验证才可使用）内错角：∠2和∠8、∠3和∠5相互交错，且均在内部，称为“内错角”。
内错角的形状似字母Z。
内错角相等两直线平行（可当定理使用）外错角：∠1和∠7、∠4和∠6相互交错，且均在外部，称为“外错角”。
（有理论验证才可使用）同旁内角：∠2和∠5、∠3和∠8在截线同旁，且均在内部，称为“同旁内角”。
同旁内角的形状似字母U或门框形。
同旁内角互补两直线平行（可当定理使用）同旁外角：∠1和∠6、∠4和∠7在截线同旁，且均在外部，称为“同旁外角”。
同旁外角的形状似希腊字母π。
（有理论验证才可使用）注意：同位角、内错角等是成对出现的，不能说“∠5是内错角”、“∠6是同旁外角”等。
像可当定理使用的都可直接当几何推理的条件使用，而其他的只能由推理来验证从而使用。
春季讲义七年级(一)“三线八角”专题
春季讲义七年级（一）“三线八角”专题〖有关三线八角的介绍〗一条直线分别同两条直线相交(或者说两条直线被第三条直线所截) , 构成8个角,这些角中,没有公共顶点的两个角之间有以下三种位置关系:同位角、和同旁内角.同位角定义：共有 对 内错角定义： 共有 对 同旁内角定义： 共有 对〖探索1〗如图,直线AB 、CD 与直线EF 相交,图中哪几对角是同位角?哪几对角是内错角?哪几对角是同旁内角?〖探索2〗如图,直线AB 、CD 与直线EF 相交,∠5和_____是同位角,和____是内错角,与______是同旁内角. 〖探索3〗如图,直线AB 、CD 与直线EF 相交,图中哪几对角是同位角?哪几对角是内错角?哪几对角是同旁内角?〖探索4〗如图,找出∠1的内错角,用红笔一笔画出它们,先观察这两个角是否像英文字母"N", 再指出它们是哪两条直线被哪一条直线所截而成.〖探索5〗如图,已知四边形ABCD 是梯形,你能用红笔一笔画出图中任意一对同旁内角吗?图中一有几对同旁内角?A B C D 1 2 34 5E F A B CD 1 2 34 5 F E 6 7 8AB E D 1 2 34 5 F C 6 7 8 A B C D 1 23 4 5 F E 6 7 8 B CA B 1 D C〖探索6〗如图,直线EF 、CD 与直线AB 相交,任意找出一对同位角,分别记为∠1和∠2,你能用红笔一笔画出这两个角吗?【巩固练习】1.如图,BE 是AB 的延长线,指出下面的两个角是哪两条直线被哪一条直线所截而成?它们是什么角?(1)∠A 和∠D;(2)∠A 和∠CBA;(3)∠C 和∠CBE.2.如图,∠1与∠2是哪两条直线被哪一条直线所截而成?它们是什么角? ∠1与∠3是哪两条直线被哪一条直线所截而成?它们是什么角?3.如图,∠A 与哪个角是内错角?它们是由哪两条直线被哪一条直线所截而成的?试用彩色笔画出这两个角. ∠A 与哪个角是同旁内角?它们是由哪两条直线被哪一条截而成的?试用彩色笔验证答案.4.找出图中∠DEC 的同位角,内错角和同旁内角.找出图中∠ADE 的同位角,内错角和同旁内角.5.如图，∠6和∠2是_________角，∠5和∠6是_________角，∠5和∠7是_________角，∠1和∠5是_________角，∠4和∠6是_________角，∠3和∠1是_________角。
数学三线八角模型
数学三线八角模型数学中有一种特殊的八角形模型，它被称为数学三线八角模型。
这个模型在数学领域中有着重要的应用，它是由数学三线和八角形组成的。
下面我将详细介绍数学三线和八角形的定义和性质，以及数学三线八角模型的应用。
让我们来了解一下数学三线。
数学三线是指一个多边形内部的三条特殊的直线，它们分别是：内角平分线、中线和高线。
内角平分线是指从多边形内部的一个顶点出发，将相邻两个内角平分成相等的两部分的直线。
中线是指连接多边形的两个不相邻顶点的直线，并且中线的长度等于两个顶点连线长度的一半。
高线是指从多边形的一个顶点向对边的垂直直线。
接下来，我们来了解一下八角形。
八角形是一种具有八个角的多边形。
它有八条边和八个顶点。
八角形是一种特殊的多边形，它具有许多有趣的性质。
例如，八角形的内角和为1080度，每个内角的度数为135度。
此外，八角形的对角线个数为20条，对角线的长度可以通过数学公式计算得出。
有了数学三线和八角形的定义和性质，我们可以将它们结合起来，形成数学三线八角模型。
数学三线八角模型是指通过连接八角形的顶点和边上的特殊直线，形成的一个几何模型。
这个模型具有许多有趣的性质和应用。
数学三线八角模型在几何学中有着重要的应用。
它可以帮助我们研究八角形的特性和性质，推导出八角形的各种公式和定理。
例如，通过数学三线八角模型，我们可以证明八角形的内角和为1080度，每个内角的度数为135度。
这个结论对于解决与八角形相关的几何问题非常有帮助。
数学三线八角模型在数学解题中也有着广泛的应用。
通过运用数学三线八角模型，我们可以解决各种与八角形相关的问题。
例如，给定一个八角形的边长，我们可以利用数学三线八角模型中的定理和公式计算出八角形的面积和周长。
这对于解决实际问题非常有用，如建筑设计中的八角形建筑物的设计和计算。
数学三线八角模型还可以帮助我们研究其他几何形体的特性和性质。
通过将数学三线八角模型应用到其他多边形中，我们可以推导出它们的性质和定理。
七年级三线八角课件
本题主要考查学生对三线八角基本概念的理解和运用能力，同时考查学生的逻辑推理能力和简单的证明能力。
要点三
03
解析题3
本题通过运用三线八角的概念和性质，结合图形的特征，进行推理和计算，得出结论。
习题解析
01
解析题1
本题通过运用三线八角的概念和性质，结合图形的特征，进行推理和计算，得出结论。
02
问题3
三线八角的起源和发展历程
三线八角在实际生活中的应用
三线八角的特殊解题技巧
拓展知识
学习建议和指导
练习典型例题，深入理解三线八角的解题思路
小组合作探究，互相学习，共同提高
掌握三线八角的基本概念和性质
06
教学反思和总结
教学内容和目标达成情况
本次教学的内容是让学生掌握三线八角，通过观察和分析，学生基本掌握了三线八角的概念和应用。同时，通过让学生参与课堂活动，也达到了预期的教学目标。
会用符号表示三线八角
能利用三线八角解决实际问题
课程目标
教学内容
三线八角的概念及基本性质
三线八角的表示方法
利用三线八角解决实际问题
02
三线八角的定义和性质
三线八角的定义
七年级数学中三线八角是指由同一条直线上的三条线段或射线组成的八个角。
底角: 在三角形中，相邻两边之间的夹角小于90度，这个角叫做底角。
学生学习状态
01
在本次教学中，学生的学习状态良好，大部分学生能够积极参与课堂活动，认真听讲、思考、交流。
学生表现和评估
学生掌握情况
02
通过观察和测试，发现学生对三线八角的掌握情况较好，能够应用三线八角解决实际问题。
学生反馈意见
03
七年级下册三线八角课件.ppt
左下 3
左侧
4 下右方下 右侧
上左方上 6
5 右上
B
部
D
C
下方左下 7 8 右下
外
F
部
观察∠1和∠5两角:
E
A
87
56
B
43
C 12
D
F
观察∠1和∠5两角:
各有一边在同一直线上 E
A
5
87
56
B
1
C
43
D
12
F
观察∠1和∠5两角:
E
A
5
87
56
B
1
43
C 12
D
F
观察∠1和∠5两角:
5
分别在截线的
F
观察∠3和∠6：
E
A
87
5
6
6
43
B
3
C 12
D
F
观察∠3和∠6：
E
A
87
5
6
6
3
43
B
C 12
D
观察∠3和∠6：
6 3
同旁内角
在截线同旁,夹 在两被截直线内
图中的同旁内角除∠3和∠6外，还有……
87 56 43 12
角的名称 • 位 置 特 征 同位角 • 在两条被截直线同旁， 在截线同侧。 内错角 • 在两条被截直线之内， 在截线两侧(交错)。
知识回顾：
如图：直线AB、CD相交于O，图中有哪些 角具有特殊位置关系？这些角数量上有什么 关系？
A C
O
D
B
七年级三线八角课件
课堂练习效果评价
详细描述
知识点覆盖程度
做题时间与速度
题目难度评价
01
02
总结词
通过观察学生的问题回答情况，教师可以及时发现学生在知识掌握上的不足和问题，以便及时采取措施进行补救。
详细描述
在七年级数学教学中，学生问题回答情况反馈可以从以下几个方面展开
教学目标
教学目标与要求
三线八角的定义及性质
02
在同一个平面内，不相交的两条直线互相平行。
三线的定义
平行线
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，两条直线互相垂直。
垂线
既不平行于第一条直线，也不垂直于第二条直线。
第三条线
内错角
在两个平行直线被第三条直线所截的情况下，处于被截直线之间，且分别位于截线的两侧的两个角。
同位角
在两个平行直线被第三条直线所截的情况下，处于被截直线同侧，且分别位于截线的同侧或异侧的两个角。
同旁内角
在两个平行直线被第三条直线所截的情况下，处于被截直线之间，且位于截线的同侧的两个角。
八角的定义
三线八角的基本性质
对顶角相等；等腰三角形两底角相等；三角形三个内角之和等于180度。
等量代换；等角代换；全等三角形的对应边相等，对应角相等。
两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。
三线八角的应用与判定
03
在道路交叉口设置三线八角，用于指示车辆和行人安全行驶和停靠。
指示路标
宣传工具
装饰照明
企业或组织在宣传活动中使用三线八角作为标志，以突出自己的形象和品牌。
[数学]-专题01 识别三线八角(原版)
![[数学]-专题01 识别三线八角(原版)](https://img.taocdn.com/s3/m/a52d0c2c1fd9ad51f01dc281e53a580216fc5034.png)
专题01 识别三线八角【模型讲解】如图，已知直线a，b被直线c，d所截，直线a，c，d相交于点O，按要求完成下列各小题．(1)在图中的∠1～∠9这9个角中，同位角共有多少对？请你全部写出来；(2)∠4和∠5是什么位置关系的角？∠6和∠8之间的位置关系与∠4和∠5的相同吗？【分析】根据同位角、内错角和同旁内角的特征（同位角形如“F”，内错角形如“Z”，同旁内角形如“U”）判断即可.【详解】解：(1)如题图所示：同位角共有5对：分别是∠1和∠5，∠2和∠3，∠3和∠7，∠4和∠6，∠4和∠9；(2)由三线八角的判断方法∠4和∠5是由c，b，d三线组成，并且构成“U”形图案，所以∠4和∠5是同旁内角，同理可得：∠6和∠8也是同旁内角，故∠6和∠8之间的位置关系与∠4和∠5的相同．【模型演练】1．如图，同位角共有（）对．A．6 B．5 C．8 D．72．如图，下列判断中正确的个数是（）（1）∠A与∠1是同位角；（2）∠A和∠B是同旁内角；（3）∠4和∠1是内错角；（4）∠3和∠1是同位角．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，B ∠的内错角是（ ）A ．1∠B ．2∠C ．3∠D ．4∠4．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（ ）A ．②③B ．①②③C ．①②④D ．①④5．如图所示，下列说法不正确的是（ ）A ．∠1和∠2是同旁内角B ．∠1和∠3是对顶角C ．∠3和∠4是同位角D ．∠1和∠4是内错角6．如图，有下列说法：其中结论正确的是（ ）①若//DE AB ，则180DEF EFB ∠+∠=︒；②能与EDC ∠构成内错角的角的个数有1个③能与DEC ∠构成同位角的角的个数有2个；④能与B ∠构成同旁内角的角的个数有4个A ．①B ．①④C ．①②④D ．①③④7．如图，直线AD ，BE 被直线BF 和AC 所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（）A ．∠4，∠2B ．∠2，∠6C ．∠5，∠4D ．∠2，∠48．已知图（1）—（4）：在上述四个图中，∠1与∠2是同位角的有（ ）.A ．（1）（2）（3）（4）B ．（1）（2）（3）C ．（1）（3）D ．（1）9．如图，直线AD 、BC 被直线AC 所截，则∠1和∠2是( ).A．内错角B．同位角C．同旁内角D．对顶角10．如图，下列判断正确的是（）A．∠2与∠5是对顶角B．∠2与∠4是同位角C．∠3与∠6是同位角D．∠5与∠3是内错角第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题11．（1）如图：①所示，两条水平的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有____________对，内错角有__________对，同旁内角有___________对；（2）如图②所示，三条水平的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有_____________对，内错角有__________对，同旁内角有_____________对；（3）根据以上探究的结果，n（n为大于1的整数）条水平直线被一条倾斜的直线所截，同位角有___________对，内错角有___________对，同旁内角有___________对（用含n的式子表示）．12．如图，∠1和∠3是直线______ 和______ 被直线______ 所截而成的______ 角；图中与∠2是同旁内角的角有______ 个．13．如图，AB、DC被BD所截得的内错角是___________，AB、CD被AC所截是的内错角是_________，AD、BC被BD所截得的内错角是_________，AD、BC被AC所截得的内错角是_____________.14．如图，直线l截直线a，b所得的同位角有__对，它们是___；内错角有___对，它们是___；同旁内角有___对，它们是___；对顶角___对，它们是___．15．如图，射线DE、DC被直线AB所截得的用数字表示的角中，∠4与 ___ 是同位角，∠4与 ___ 是内错角，∠4与 ___ 是同旁内角．16．如图，标有角号的7个角中共有_____对内错角，___对同位角，____对同旁内角．三、解答题17．如图∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中，哪些是同位角？哪些是内错角？哪些是同旁内角？18．如图，已知AC 与EH 交于点B ，BF 与AC 交于点D ．问图中同位角和对顶角各有几对？并具体写出各对同位角和对顶角．19．如图所示．①∠AED 和∠ABC 可看成是直线__________、__________被直线__________所截得的__________角；②∠EDB 和∠DBC 可看成是直线__________、__________被直线__________所截得的__________角；③∠EDC 和∠C 可看成是直线__________、__________被直线__________所截得的__________角．20．如图：（1）写出图中EDM ∠的同位角： ；（2）如果AB ∥CD ，那么图中与FHC ∠相等的角有 个（FHC ∠除外）；（3）当EDM ∠=∠ 时，AB ∥CD ，理由： ；（4）如果A ∠与ABD ∠互补，那么E ∠与F ∠有什么关系？说明理由．21．如图，找出标注角中的同位角、内错角和同旁内角．22．如图，BE 是AB 的延长线，指出下面各组中的两个角是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？（1）∠A 和∠D ；（2）∠A 和∠CBA ；（3）∠C 和∠CBE ．23．已知：如图是一个跳棋棋盘，其游戏规则是一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上例如：从起始位置1∠跳到终点位置3∠有两种不同路径，路径1：193∠−−−−→∠−−−→∠同旁内角内错角；路径2：1126103∠−−−→∠−−−→∠−−−→∠−−−−→∠内错角内错角同位角同旁内角.试一试：（1）写出从起始位置1∠的一种路径；∠跳到终点位置8（2）从起始位置1∠？∠依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点位置8。
三线八角
第一讲：三线八角 一．【知识要点】1. 余角、补角及其性质定义：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角.，如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角。
性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。
2、邻补角与对顶角概念：直线AB 与CD 相交于点O ，∠1与∠2有公共顶点O ，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角。
邻补角：∠1与∠3；∠3与∠2；∠2与∠4；∠4与∠1 对顶角：∠1与∠2；∠3与∠4 性质：对顶角相等例1，一个角的余角是30º，则这个角的大小是 .例2、一个角的余角比它的补角的12少20°.则这个角为（ ）A.30°B.40°C.60°D.75°课堂练习：1、∠A 的余角是20°，那么∠A 等于________度.2、如果∠A ＝35°18′，那么∠A 的余角等于＿＿＿＿＿；3、∠A 与∠B 互补，如果∠A=36°，那么∠B 的度数为_________.4、如图1，在△ABC 中，∠ACB=90°,CD ⊥AB ，则图中与∠A 互余的角有 个，它们分别是 。
∠A=∠ ,根据是 。
5.若∠A ＋∠B ＝90°，∠B ＋∠C ＝90°，则∠A ______∠C ，理由是_______. 6、一个角与它的补角之差是20º，则这个角的大小是 .7、一个角的余角比它补角的还少12°，求这个角。
8、如图，∠AOC 和∠BOD 都是直角，∠AOB ：∠AOD ＝5：17，求∠AOB 和 ∠BOC 的度数。
C AD B图1例3．如图1，直线AB 、CD 相交于点O ，OB 平分∠DOE ，若∠DOE =60°，则∠AOC 的度数是_____ .课堂练习：1如右图1 互为余角的有__________________________互为补角的有___________________图中有对顶角吗? 答:____________2、如右图2 对顶角有_______对.它们分别是____________3、一棵小树生长时与地面所成的∠1=85°角，它的根深入泥土， 如果根和小树在同一条直线上，那么∠2等于°。
七年级三线八角课件
02
三线八角的定义和定理
三线八角的定义
七年级数学中，三线八角是常 见的几何概念。
三线八角是指在一个平面内， 有三条直线相交于一点，而每 两条相交的直线都会形成一对 邻补角。
这些角的大小可以用于描述和 证明一些几何关系和定理。
例题二：稍复杂的三线八角问题
总结词
这道例题将三线八角的概念引入到稍微复杂一些的情境中，通过观察和计算，学生可以进一步了解三线八角的 性质和应用。
详细描述
本题以一个稍复杂的图形为例，让学生找出图中所有的三线八角，并比较它们的大小。通过这种形式的题目， 学生可以进一步了解三线八角的性质和应用，为后续的学习打下基础。同时，通过让学生计算两条平行线之间 的距离，可以培养学生的计算能力。
05
三线八角的练习题
练习题一：基础题
总结词
简单基础，涉及知识点较少。
详细描述
本题主要考察学生对三线八角基本概念的理解，包括同位角 、内错角、同旁内角等。学生需根据这些概念判断哪些是同 位角、内错角或同旁内角。
练习题二：提高题
总结词
难度适中，涉及知识点较多。
VS
详细描述
本题不仅要求学生掌握三线八角的基本概 念，还需要理解角之间的位置关系，如平 行线的性质、垂直的定义等。学生需通过 分析图形中的角的位置关系，得出正确答 案。
举例
在三线八角中，如果我们已知两个角分别等于90度和45度，那么我们 可以直接推导出第三个角等于45度。
证明方法二：反证法
总结词
反证法是一种间接证明方法，通过假设相反的结论成立 ，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。
七年级三线八角课件
02
主题重要性
学习目标
掌握三线八角的定义、性质及判定方法。 能够准确绘制三线八角的基本图形。 能够解决与三线八角相关的几何问题。
02
三线八角基本概念
直线的基本定义
01
02
直线是笔直的、无端点的线，它可以向两个方向无限延伸。在直线上 ，任意两点之间可以确定一条直线。
直线的表示方法：可以用一个小写字母表示一条直线，如“l”，也 可以用两个大写字母表示两条直线，如“AB”。
对角线的性质
对角线把多边形分成几个 三角形，这些三角形是全 等的。
对角线的判定
在四边形ABCD中，如果 AC和BD互相平分，那么 四边形ABCD是平行四边 形。
07
复习与总结
重点知识回顾
角的定义
角是由两条射线或线段共享一个 端点而形成的图形，这个端点叫 做角的顶点，两条射线或线段叫
做角的两边。
角的度量
同位角的性质：两直线平行，同位角相等。
三线八角的性质
内错角的定义及性质
两个角分别在截线的两侧，且夹在两被截线之间，这样的一对角称为内 错角。
内错角的性质：两直线平行，内错角相等。
三线八角的性质
同旁内角的定义及性质 两个角都在截线的同一侧，并且夹在两被截线之间，这样的一对角称为同旁内角。
同旁内角的性质：两直线平行，同旁内角互补。
垂直线的性质证明
垂直线的性质定理
如果一条直线垂直于一个平面，那么 这条直线垂直于该平面上任意一条直 线。
证明过程
通过构造垂线，利用垂线的定义和三 角形的高来进行证明。
对角线的性质证明
对角线的性质定理
在一个n边形中，从任一个顶点出发的对角线有(n-3)条。
第一讲有关三线八角的几何证明
第一讲有关三线八角的几何证明一．三线八角模型两条直线被第三条直线所截，产生两个交点，形成了八个角（不可分的）：同位角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD的同侧，在第三条直线EF的同旁（即位置相同），这样的一对角叫做同位角；内错角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF的两旁（即位置交错），这样的一对角叫做内错角；同旁内角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF的同旁，这样的一对角叫做同旁内角；二．平行线判定定理：如果两条直线被第三条直线所截，形成的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，是否能证明这两条直线平行呢？两条直线被第三条直线所截，以下几种情况可以判定这两条直线平行：平行线判定定理1：同位角相等，两直线平行如图所示，只要满足∠1＝∠2（或者∠3＝∠4；∠5＝∠7；∠6＝∠8），就可以说AB//CD平行线判定定理2：内错角相等，两直线平行如图所示，只要满足∠6＝∠2（或者∠5＝∠4），就可以说AB//CD平行线判定定理3：同旁内角互补，两直线平行如图所示，只要满足∠5+∠2＝180︒（或者∠6+∠4＝180︒），就可以说AB//CD平行线判定定理4：两条直线同时平行于第三条直线，两条直线平行三．平行线的性质定理两条直线平行，被第三条直线所截，其同位角，内错角，同旁内角有如下关系：两直线平行，被第三条直线所截，同位角相等；两直线平行，被第三条直线所截，内错角相等两直线平行，被第三条直线所截，同旁内角互补。
概念巩固1. 如图，下面结论正确的是（）A. 是同位角B. 是内错角C. 是同位角D. 是内错角2. 如图，图中同旁内角的对数是（）A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对3. 如图，能与构成同位角的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4. 如图，图中的内错角的对数是（）A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对2413(1) (2)(3) (4) 5．如图（1）所示，同位角共有（）A．1对 B．2对 C．3对D．4对6．下图中，∠1和∠2是同位角的是A．B．C．D．α定理应用7．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则两次拐弯的角度可以是（ ）A ．第一次向右拐40°，第二次向左拐140°B ．第一次向左拐40°，第二次向右拐40°C ．第一次向左拐40°，第二次向右拐140°D ．第一次向右拐40°，第二次向右拐40° 8．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30ο，这两个角是（ ） A. 42138οο、B. 都是10οC. 42138οο、或4210οο、D. 以上都不对9．如图（2）所示，∥，AB ⊥，∠ABC=130°，那么∠α的度数为（ ）A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°10．如图（3）所示，已知∠AOB=50°，PC ∥OB ，PD 平分∠OPC ，则∠APC= ___°，∠PDO=______°11．平行四边形中有一内角为60°，则其余各个内角的大小为___，____，_____。
三线八角的题型及解答
三线八角的题型及解答1. 什么是三线八角？三线八角是一种数学题型，常见于中小学的数学考试中。
它的名称源自题目的形状，由三条线段和八个角构成。
这种题型通常要求解答与几何形状相关的问题，涉及到线段长度、角度大小、面积计算等内容。
2. 常见的三线八角题型2.1 线段长度计算这种题型要求根据给定的条件计算出某条线段的长度。
常见的条件包括已知两点坐标、已知与其他线段之间的关系等。
示例题：已知平面直角坐标系中，点A(3,4)和点B(7,9)，求线段AB的长度。
解答：根据两点间距离公式可得：AB = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2) = √((7-3)^2 + (9-4)^2) = √(16 + 25) = √41 所以线段AB的长度为√41。
2.2 角度计算这种题型要求根据给定条件计算出某个角度的大小。
常见的条件包括已知两条直线之间的夹角、已知三个点的坐标等。
示例题：已知平面直角坐标系中，点A(3,4)、点B(7,9)和点C(1,8)，求∠ABC的大小。
解答：根据向量的内积公式可得：cos∠ABC = (AB·BC) / (|AB|·|BC|) 其中，AB = B - A = (7-3, 9-4) = (4, 5) BC = C - B = (1-7, 8-9) = (-6, -1) 所以，AB·BC = 4(-6) + 5(-1) = -24 - 5 = -29 |AB| = √(4^2 + 5^2) = √41 |BC| = √((-6)^2 + (-1)^2) = √37 代入公式计算可得：cos∠ABC ≈ -0.897 ∠ABC ≈ arccos(-0.897) ≈ 152.35° 所以∠ABC的大小约为152.35°。
2.3 面积计算这种题型要求根据给定条件计算出某个几何形状的面积。
常见的条件包括已知图形的边长、已知图形的高等。
示例题：已知平面直角坐标系中，正方形ABCD，顶点A(-2,-2)，边长为4，求正方形ABCD的面积。
七年级数学三线八角知识点
七年级数学三线八角知识点三线八角是中学数学中常见的一个知识点，也是七年级数学中必须掌握的重点内容。
在这份文章中，我们将详细介绍三线八角的定义、性质以及解题技巧。
一、定义三线八角，顾名思义，就是由三条直线和八个角所组成的图形，如图1所示。
图1其中三条直线相交于一点O，八个角分别为∠AOC、∠AOB、∠BOD、∠EOC、∠EOF、∠FOG、∠GOH和∠BOH，且每两条直线之间的夹角均相等。
二、性质1.每一对相邻的外角互补，即∠AOC+∠BOD+∠EOF+∠GOH=180°。
2.每一对相邻的内角互补，即∠AOB+∠BOH+∠EOC+∠FOG=180°。
3.相邻的外角与其对应的内角互补，即∠AOC+∠EOC=∠AOB+∠BOH=∠BOD+∠FOG=∠EOF+∠GOH =180°。
三、解题技巧对于三线八角的解题，主要是应用它的性质进行推导和运用。
以例题为例：例1 在图2中，∠AOB=30°，∠EOC=110°，则∠BOD和∠EOF的和为多少度？图2解：由三线八角的性质可知，∠AOB+∠BOH+∠EOC+∠FOG=180°。
则∠BOH+∠FOG=180°-∠AOB-∠EOC=180°-30°-110°=40°。
而∠BOD+∠EOF=（180°-∠AOC）÷2+（180°-∠EOC）÷2=(180°-∠BOH)÷2+(180°-∠FOG)÷2=80°。
因此，∠BOD和∠EOF的和为80°。
例2 在图3中，AB//CD，∠BAE=55°，∠CFE=40°，则∠BEF 为多少度？图3解：由三线八角的性质可知，∠AOC+∠EOC=∠AOB+∠BOH=∠BOD+∠FOG=∠EOF+∠GOH =180°。
三线八角教学文档
3. ∠4与∠5可以看成是直线A__C_和_A_B_被直线B__C_所截 而成的同_旁__内____角。
4. ∠3与∠5可以看成是直线_A_C_和_B_C_被直线A__B_所截而 成的_同__旁__内__角。
A
1
B
D
2
C
三、 直线DE、BC被直线AB所截，
（1）∠1与∠2，∠1与∠3，∠1与∠4各 是什么角？ （2）如果∠1=∠4，那么∠1和∠2相等吗？ ∠1和∠3互补吗?为什么?
A
4
D
2
E
3
1
B
C
四、 填空
1. ∠2与∠3可以看成是直线D__C_和_A_B_被直线A__C_所截而 成的__内__错___角。
一、 判断 1. ∠BAE和∠DCF是内错角 （ ╳ ）
2. ∠ABD和∠BDC是AD、BC被BD所截
成的内错角
（╳）
A
B
E
D F
C
二、 选择 1. ∠1与∠2是同位角的个数是（ B ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
1
1
1
1
2
2
2
2
2. ∠1与∠2是内错角，是由（ D ） A AD、BC被AC所截构成 B AB、CD被AD所截构成 C AB、CD被BC所截构成 D AB、CD被AC所截构成
E
A
21
34
B
C
6 75
8
D
F
小结
一、 三类角的特征
1.
同位角
截线同旁 被截两线的同方向
2.
七年级下册三线八角知识点
七年级下册三线八角知识点作为初中数学的一部分，我们每逢新学期便要学习新的知识点。
七年级下册中，三线八角是其中的重点之一。
下面，我将详细介绍三线八角的知识点，希望对同学们的学习有所帮助。
一、三线所谓三线，顾名思义，就是指画在一个平面内的三条直线。
根据它们之间的位置关系，三线可以分为三种情况：1.三线相交于同一点，形成一个点的图形这种情况下，这个点就是三线的交点。
2.三线两两平行，形成四个顶点的图形这种情况下，四个顶点所组成的图形就是叫做平行四边形。
3.两条线段之间有一条线段相交，形成五个顶点的图形这个五个顶点所组成的图形就叫做梯形。
二、八角八角是指一个图形有八个角。
根据八个角的大小和位置关系，八角可分为以下三种情况：1.所有的角都是直角这种情况下，这个图形就是正八边形。
2.四个相邻的角为锐角，其余四个为钝角这种情况下，这个图形就是凸八边形。
3.四个相邻的角为钝角，其余四个为锐角这种情况下，这个图形就是凹八边形。
三、三线八角有了三线和八角的概念，我们就可以进入到三线八角的知识点了。
所谓三线八角，就是指三条线段相互连接形成的八角形图形。
三线八角的特点在于，1.三条线段之间是相互平行或相交的。
2.三线八角的八个角中可以有直角、钝角或者锐角。
3.三线八角可以是凸的（四个相邻的角为锐角，其余四个为钝角）或凹的（四个相邻的角为钝角，其余四个为锐角）。
常见的三线八角有以下几种类型：1.梯形梯形是三线八角中最基础的一个类型。
它由两个平行线段和相连省略号号线段组成。
它的特点是有两个对边平行，而且对角线长度不同。
2.平行四边形平行四边形也是一种非常基础的三线八角图形。
它的特点是四边对边平行且长度相同，而且有四个顶点。
3.菱形菱形同样是三线八角中的一种特殊图形，它是一种同时满足平行四边形和正八边形的要求的八角形，其四个边所对的角相等，且都是直角，所以四个角度数相等。
四、总结三线八角是初中数学中的一个基础知识点，对我们以后学习的数学知识和图形知识都有很大的帮助。
找“三线”识“八角”
找“三线” 识“八角“三线八角”是反映一条直线截两条直线所形成的八个角的位置关系，教材中我们分别称之为同位角、内错角、同旁内角，这条直线叫做截线，两条直线叫做被截线。
在教学中教师反复强调“同位角在截线同旁，在截线同方向；内错角在截线两旁，在被截线之间；同旁内角在截线同旁，在被截线之间。
”但是在实际学习中，学生往往张冠李戴、顾此失彼，除因概念本身牵扯到的线多角多外，笔者认为，主要在于没有找准截线和被截线。
如图，直线c截直线a、b，那么直线c叫做截线，直线a、b叫做被截线。
由定义可知，/1 与/2是同位角，/2与/3是内错角，/2与/4是同旁内角。
然而同时我们还发现，/1 和/2各有一条边都在截线c 上，另两条边分别在被截线b、c上。
/2与/3、/2与/4情况也一样。
于是我们有如下结论：两角的边所在的公共直线即为截线，两角另一边所在的直线为被截线。
下面看例题。
例1 判断图中/1与/2、/2与/3、/1与/3的位置关系？分析：/1的两条边所在的直线为直线a、b,Z2的两条边所在的直线为直线a、c,则公共直线a为截线，直线b、c为被截线。
由于/ 1、/2在直线a同旁，直线b、c右方，故/1与Z2为同旁内角，同理/2与/3为内错角，/1与/3为同旁内解：（略写）。
例2：找出图中同位角、内错角、同旁内角。
分析：图中共有4 条直线，没有说谁是截线被截线，那么任何一条都有可能作为截线。
因此，我们每3 条一组进行组合，共有①②③、①②④、①③④、②③④四组，在①②③中，所有的角都有公共顶点，故无同位角、内错角、同旁内角；在①②④中，直线BE与直线AD BC 都相交，故为BE截线，直线AD BC为被截线；在①③④中3条直线两两相交，那么每条直线均可作为截线；在②③④中，直线AC与直线AD BC都相交，故为AC截线，直线AD BC为被截线。
再根据定义即可求解。
解：①②③中，同位角、内错角、同旁内角均为0对；①②④中，同位角1对即/ EAD与/ EBC内错角0对、同旁内角1对即即/ DAB与/ABC①③④中，若BE为截线，AC BC为被截线时，同位角1对即/EAD 与/ EBC内错角0对、同旁内角1对即/ DAB与/ABC若BC为截线，AB AC为被截线时，同位角0对、内错角0 对、同旁内角1对即/ABC与/ACB若AC为截线，AB BC为被截线时，同位角0对、内错角1 对即/ EAC与/ ACB同旁内角1对即/ BAC与/ ACB②③④中，同位角0对、内错角1对即/DAC与/ACB同旁内角0对；故图中同位角2 对，内错角1 对，同旁内角4 对。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一讲 有关三线八角的几何证明
一．三线八角模型
两条直线被第三条直线所截，产生两个交点，形成了八个角（不可分的）：
同位角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD 的同侧，在第三条直线EF 的同旁（即位置相同），这样的一对角叫做同位角；
内错角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD 之间，在第三条直线EF 的两旁（即位置交错），这样的一对角叫做内错角；
同旁内角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD 之间，在第三条直线EF 的同旁，这样的一对角叫做同旁内角；
二．平行线判定定理：
如果两条直线被第三条直线所截，形成的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，是否能证明这两条直线平行呢？
两条直线被第三条直线所截，以下几种情况可以判定这两条直线平行： 平行线判定定理1：同位角相等，两直线平行
如图所示，只要满足∠1＝∠2（或者∠3＝∠4；∠5＝∠7；∠6＝∠8），就可以说AB//CD
平行线判定定理2：内错角相等，两直线平行
如图所示，只要满足∠6＝∠2（或者∠5＝∠4），就可以说AB//CD 平行线判定定理3：同旁内角互补，两直线平行
如图所示，只要满足∠5+∠2＝180︒（或者∠6+∠4＝180︒），就
可以说AB//CD
平行线判定定理4：两条直线同时平行于第三条直线，两条直线平行
三．平行线的性质定理
两条直线平行，被第三条直线所截，其同位角，内错角，同旁内角有如下关系： 两直线平行，被第三条直线所截，同位角相等； 两直线平行，被第三条直线所截，内错角相等 两直线平行，被第三条直线所截，同旁内角互补。
概念巩固
1. 如图，下面结论正确的是（）
A. ∠∠12和是同位角
B. ∠∠23和是内错角
C. ∠∠24和是同位角
D. ∠∠14和是内错角 2. 如图，图中同旁内角的对数是（） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 3. 如图，能与α构成同位角的有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 如图，图中的内错角的对数是（）
A. 2对
B. 3对
C. 4对
D. 5对
(1) (2)
(3) (4)
5．如图（1）所示，同位角共有（）
A．1对 B．2对 C．3对D．4对
6．下图中，∠1和∠2是同位角的是
A．B．C．D．
定理应用
7．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则两次拐弯的角度可以是（）
A．第一次向右拐40°，第二次向左拐140°B．第一次向左拐40°，第二次向右拐40°C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140°D．第一次向右拐40°，第二次向右拐40°
8．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30 ，这两个角是（）A. 42138
、 B. 都是10 C. 42138
、或4210
、 D. 以上都不对9．如图（2）所示，∥，AB⊥，∠ABC=130°，
那么∠α的度数为（）
A．60°B．50°C．40°D．30°
1
2
3
4
α
10．如图（3）所示，已知∠AOB=50°，PC ∥OB ，PD 平分∠OPC ，则∠APC= ___°，∠PDO=______°
11．平行四边形中有一内角为60°，则其余各个内角的大小为___，____，_____。
12．如图（4）所示，OP ∥QR ∥ST ，若∠2=110°，∠3=120°，则∠1=______。
13．如图（6），DE ⊥AB ，EF ∥AC ，∠A=35°，求∠DEF 的度数。
14
．如图（7）
，已知∠AEC=∠A+∠C ，试说明：AB ∥CD 。
15.如图(19),∠1+∠2=180°,∠DAE=∠BCF,DA 平分∠BDF. (1)AE 与FC 会平行吗?说明理由；
(2)AD 与BC 的位置关系如何?为什么?
(3)BC 平分∠DBE 吗?为什么？
F
2
1
D
C
B
A
证明题
1．如图，已知：AB//CD
E A B
C D
E
AB和CD上的点，DE、AF分别交BC于G、H
，。
3．已知：如图，∠=∠∠=∠123，，B AC DE //，且B 、C 、D 在一条直线上。
求证：AE BD //
4．已知：如图，∠=∠CDA CBA ，DE 平分∠CDA ，BF 平分∠CBA ，且∠=∠ADE AED 。
求证：DE FB //
5．已知：如图，∠+∠=∠=∠BAP APD 18012
，。
求证：∠=∠E F
A E 3 1 2 4
B C D
D F C
A E B
A B
1 E
F 2 C
P
D
6．已知：如图，∠=∠∠=∠∠=∠123456，，。
求证：ED FB //
F
E
4 A G 1
B
5
3 6 2
C
D
8.
都为直线，B 在直线AC 上，E 在直线DF 上，。