新人教A版新教材学高中数学必修第一册第三章函数概念与性质章末复习提升课教案

函数的定义域和值域（１）函数f（x）＝错误!＋（３x—１）0的定义域是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!∪错误!（２）已知函数y＝f（x＋１）的定义域是[—２，３]，则y＝f（２x—１）的定义域是（）Ａ．错误!Ｂ．[—１，４]Ｃ．[—５，５]D．[—３，7]（３）求下列函数的值域：１y＝错误!；２y＝x＋４错误!；３y＝错误!—２x，x∈错误!.【解】（１）选Ｄ．由题意得，错误!解得x<１且x≠错误!.（２）选Ａ．设u＝x＋１，由—２≤x≤３，得—１≤x＋１≤４，所以y＝f（u）的定义域为[—１，４]．再由—１≤２x—１≤４，解得0≤x≤错误!，即函数y＝f（２x—１）的定义域是错误!.（３）１y＝错误!＝错误!＝２＋错误!，显然错误!≠0，所以y≠２．故函数的值域为（—∞，２）∪（２，＋∞）．２设t＝错误!≥0，则x＝１—t２，所以原函数可化为y＝１—t２＋４t＝—（t—２）２＋５（t≥0），所以y≤５，所以原函数的值域为（—∞，５]．３因为y＝错误!—２x在错误!上为减函数，所以y min＝错误!—２×错误!＝—１．y max＝错误!—２×（—２）＝错误!.所以函数的值域为错误!.错误!求函数定义域的类型与方法（１）已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（２）实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义．（３）复合函数问题：１若f（x）的定义域为[a，b]，f（g（x））的定义域应由a≤g（x）≤b解出；２若f（g（x））的定义域为[a，b]，则f（x）的定义域为g（x）在[a，b]上的值域．[注意] （１）f（x）中的x与f（g（x））中的g（x）地位相同．（２）定义域所指永远是自变量的范围．１．设函数f（x）的定义域为[１，５]，则函数f（２x—３）的定义域为（）Ａ．[２，４]Ｂ．[３，１１]Ｃ．[３，7]Ｄ．[１，５]解析：选Ａ．由题意得，１≤２x—３≤５，解得２≤x≤４，所以函数f（２x—３）的定义域是[２，４]．２．设函数f（x）＝—２x２＋４x在区间[m，n]上的值域是[—6，２]，则m＋n的取值范围是________．解析：由题意可得：函数f（x）＝—２x２＋４x的对称轴为直线x＝１，故当x＝１时，函数取得最大值为２．因为函数的值域是[—6，２]，令—２x２＋４x＝—6，可得x＝—１或x＝３．所以—１≤m≤１，１≤n≤３，所以0≤m＋n≤４．即m＋n的取值范围为[0，４]．答案：[0，４]函数的解析式（１）已知f（x＋１）＝x２—５x＋４，则f（x）＝________．（２）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x>0时，f（x）＝x２—２x＋３．１求出函数f（x）在R上的解析式；２写出函数的单调区间（写出即可，不需要证明）．【解】（１）令x＋１＝t，则x＝t—１，因为f（x＋１）＝x２—５x＋４，所以f（t）＝（t—１）２—５（t—１）＋４＝t２—7t＋１0，所以f（x）＝x２—7x＋１0．故填x２—7x＋１0．（２）１设x<0，则—x>0，所以f（—x）＝（—x）２—２（—x）＋３＝x２＋２x＋３．又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（—x）＝—f（x），所以f（x）＝—x２—２x—３．又因为f（0）＝0，所以f（x）＝错误!２画出函数f（x）＝错误!的图象，如图：由图象可知函数f（x）的单调递增区间为（—∞，—１]，[１，＋∞），单调递减区间为[—１，0），（0，１]．错误!求函数解析式的题型与相应的解法（１）已知形如f（g（x））的解析式求f（x）的解析式，使用换元法或配凑法．（２）已知函数的类型（往往是一次函数或二次函数），使用待定系数法．（３）含f（x）与f（—x）或f（x）与f错误!，使用解方程组法．（４）已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法．１．已知二次函数f（x）满足f（0）＝１，f（１）＝２，f（２）＝５，则该二次函数的解析式为________．解析：设二次函数的解析式为f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0），由题意得错误!解得错误!故f（x）＝x２＋１．答案：f（x）＝x２＋１２．若３f（x—１）＋２f（１—x）＝２x，则f（x）的解析式为________．解析：令t＝x—１，则x＝t＋１，t∈R，原式变为３f（t）＋２f（—t）＝２（t＋１）１．以—t代替t，１式变为３f（—t）＋２f（t）＝２（１—t）２．由１２消去f（—t）得f（t）＝２t＋错误!，故f（x）＝２x＋错误!.答案：f（x）＝２x＋错误!函数的单调性和奇偶性已知f（x）＝错误!（x≠a）．（１）若a＝—２，试证明f（x）在（—∞，—２）内单调递增；（２）若a>0且f（x）在（１，＋∞）内单调递减，求a的取值范围．【解】（１）证明：∀x１<x２<—２，则f（x１）—f（x２）＝错误!—错误!＝错误!.因为（x１＋２）（x２＋２）>0，x１—x２<0，所以f（x１）<f（x２），所以f（x）在（—∞，—２）内单调递增．（２）１<x１<x２，则f（x１）—f（x２）＝错误!—错误!＝错误!.因为a>0，x２—x１>0，所以要使f（x１）—f（x２）>0，只需（x１—a）（x２—a）>0恒成立，所以a≤１．综上所述，a的取值范围是（0，１]．错误!函数单调性与奇偶性应用的常见题型（１）用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性．（２）利用函数的单调性和奇偶性求单调区间．（３）利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式．（４）利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围．１．（２0１9·张家界检测）已知函数y＝f（x）是R上的偶函数，且在（—∞，0]上是增函数，若f （a）≤f（２），则实数a的取值范围是（）Ａ．a≤２Ｂ．a≥—２Ｃ．—２≤a≤２Ｄ．a≤—２或a≥２解析：选Ｄ．因为y＝f（x）是偶函数，且在（—∞，0]上是增函数，所以y＝f（x）在[0，＋∞）上是减函数，由f（a）≤f（２），得f（|a|）≤f（２），所以|a|≥２，得a≤—２或a≥２，故选Ｄ．２．已知函数f（x）＝错误!是R上的增函数，求a的取值范围．解：因为f（x）在R上是单调递增的函数，所以f（x）需满足在区间（—∞，１]和（１，＋∞）上都是单调递增的，并且端点处（x＝１）的函数值—１２—a—５≤错误!，即a≥—３；f（x）＝—x２—ax—５的对称轴为直线x＝—错误!，f（x）在（—∞，１]上单调递增，所以—错误!≥１，即a≤—２；f（x）＝错误!在（１，＋∞）上单调递增，所以a<0．综上所述，a的取值范围是[—３，—２]．函数图象及应用对于函数f（x）＝x２—２|x|.（１）判断其奇偶性，并指出图象的对称性；（２）画此函数的图象，并指出单调区间和最小值．【解】（１）函数的定义域为R，关于原点对称，f（—x）＝（—x）２—２|—x|＝x２—２|x|.则f（—x）＝f（x），所以f（x）是偶函数．图象关于y轴对称．（２）f（x）＝x２—２|x|＝错误!画出图象如图所示，根据图象知，函数f（x）的最小值是—１．单调递增区间是[—１，0]，[１，＋∞）；单调递减区间是（—∞，—１]，[0，１]．错误!作函数图象的方法（１）描点法——求定义域；化简；列表、描点、连线．（２）变换法——熟知函数的图象的平移、对称、翻转．１平移：y＝f（x）错误!y＝f（x±h）；y＝f（x）错误!y＝f（x）±k.（其中h>0，k>0）２对称：y＝f（x）错误!y＝f（—x）；y＝f（x）错误!y＝—f（x）；y＝f（x）错误!y＝—f（—x）．１．已知函数y＝ax２＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是（）解析：选Ｄ．因为a>b>c且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，f（１）＝0，则可知开口向上，排除A、C，然后根据f（0）＝c<0，可知函数图象与y轴的交点在x轴下方．２．已知f（x）为定义在R上的奇函数，且f（x）＝f（２—x），当x∈[0，１]时，f（x）＝x.求x∈[—３，５]时，f（x）＝错误!的所有解的和．解：当x∈[—１，0]时，—x∈[0，１]，所以f（—x）＝—x.又因为f（x）为奇函数，所以x∈[—１，0]时，f（x）＝—f（—x）＝x，即x∈[—１，１]时，f（x）＝x.又由f（x）＝f（２—x）可得f（x）的图象关于直线x＝１对称．由此可得f（x）在[—３，５]上的图象如图：在同一坐标系内画出y＝错误!的图象，由图可知在[—３，５]上共有四个交点，所以f（x）＝错误!在[—３，５]上共有四个解，从左到右记为x１，x２，x３，x４，则x１与x４，x２与x３关于直线x＝１对称，所以错误!＝１，错误!＝１，所以x１＋x２＋x３＋x４＝４．函数的应用某工厂有２１４名工人，现要生产１５00件产品，每件产品由３个A型零件和１个B型零件配套组成，每名工人加工５个A型零件与３个B型零件所需的时间相同．现将全部工人分成两组，分别加工A型零件与B型零件，且同时开工．设加工A型零件的工人有x名，单位时间内每名工人加工A型零件５k（k∈N*）个，加工完A型零件所需的时间为g（x），加工完B型零件所需的时间为h（x）．（１）试比较g（x）与h（x）的大小，并写出完成总任务所需时间的表达式；（２）怎样分组才能使完成总任务所需的时间最少？【解】（１）由已知A型零件需要生产４５00个，B型零件需要生产１５00个，加工B型零件的工人有（２１４—x）名，单位时间内每名工人加工B型零件３k个．所以g（x）＝错误!＝错误!，h（x）＝错误!＝错误!.则g（x）—h（x）＝错误!—错误!＝错误!·错误!.因为0＜x＜２１４，且x∈N，k∈N*，所以当0＜x≤１３7时，g（x）＞h（x），当１３7＜x＜２１４时，g（x）＜h（x）．所以f（x）＝错误!其中x∈N.（２）因为当0＜x≤１３7时，f（x）为减函数，当１３7＜x＜２１４时，f（x）为增函数，且错误!＝错误!·错误!＝错误!＜１，所以当x＝１３7时f（x）的值最小，即安排１３7名工人加工A型零件，77名工人加工B型零件时，完成总任务所需时间最少．错误!解应用题的基本步骤（１）审题：读懂题意，分清条件与结论，理顺数量关系；（２）建模：将已知条件转化为数学语言，应用数学知识建立相应的函数模型；（３）解模：求解函数模型，得到数学结论；（４）还原：将数学方面的结论还原到实际问题中去，解释实际意义．某企业生产一种机器的固定成本为0．５万元，但每生产１百台机器时，又需可变成本（即另增加投入）0．２５万元．市场对此商品的年需求量为５百台，销售的收入（单位：万元）函数为F（x）＝５x—错误!x２（0≤x≤５），其中x是产品生产的数量（单位：百台）．（１）将利润表示为产量的函数；（２）年产量是多少时，企业所得利润最大？解：（１）设利润函数为G（x），成本函数为R（x），则依题意，得G（x）＝F（x）—R（x）＝错误!—（0．５＋0．２５x）＝—0．５x２＋４．7５x—0．５（0≤x≤５）．（２）因为由（１）知利润函数G（x）＝—0．５x２＋４．7５x—0．５（0≤x≤５），所以当x＝—错误!＝４．7５时，G（x）有最大值，所以年产量为４7５台时，企业所得利润最大．。