第5章随机信号分析

E[ s(n)s(n m) s(n)u(n m)]
E[ s(n)s(n m)]
E[ s( n)u( n m )] 0
Rs (m)

系统识别
x ( n) h( n)
H (e )
j
测定系统的频率响应原理图
y ( n)
Rxy (m) h(m)
H (e
j 2 N
N




x1 x2 p X ( x1 , x2 ; t1 , t 2 )dx1dx2
2 N 1 2 X (n) E{ X (n)} lim x(n, i) DX (t ) E[ X (n) ] lim x(n, i) N N N i 1 i 1
R X (n1 , n2 ) E{ X * (n1 ) X (n2 )} lim
RXY (n1 , n2 ) E[ X * (n1 )Y (n2 )]
广义平稳随机信号
RXY (t1, t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )] RXY ()
RXY (n1 , n2 ) E[ X * (n) X (n m)]
t2 t1
各态遍历随机信号

x(t ) x0 sin( t )
检测信号 的回声 若信号中存在有时间延时τ的回声，那么自相 关函数在τ除达到峰值
5.2.2互相关函数及应用
1 定义
一般随机信号
R XY (t1 , t 2 ) E[ X (t1 )Y (t 2 )]

联合概率密度


xy p X ,Y ( x, y; t1 , t 2 )dxdy
若 x(t ) 是实函数，可得某个样本函数的平均功率G
1 G lim T 2T
1 lim T 2T
1 lim T 2T
1 lim T 2T
T

T
T
xT (t , ) dt
2
1 jt X T (, )e d dt T xT (t, ) 2
直接估计
1 R x ( m) N
^
x ( n ) x ( n m)
n 0
N 1
1 N 1 m R x (m) x(n) x(n m) N n 0
^
1 R x (m) Nm
^
N 1 m n 0
无偏 x ( n ) x ( n m )
估计

快速计算——利用FFT来实现的快速计算
Rxx ( m )* h( m )
Rxy ( m ) h( m )
5.3 随机信号的功率谱估计
5.3.1 随机信号的功率谱密度 1 定义
x(t )
T
0 T

t
jt
x(t ) , t T xT (t ) 0 ,t T
X T () xT (t )e

dt xT (t )e jt dt
jm
N 1 1 2 N 1 jn j ( n m ) x 2 N ( n)e x2 N (n m)e N n 0 m ( N 1)
令l=n+m
1 N
2 N 1 n 0
x
2N
( n )e
jn
2 N 1 l 0
x
2N
(l )e
jl
1 j 2 X 2 N (e ) N

互相关函数与均值 、标准差 有如下关系 x y x y Rxy ( ) x y x y
x y x y
Rxy
x y
0


不是偶函数，也不对称。
Rxy ( ) Ryx ( )

若x(t )与y (t )是两个完全独立无关的信号，则

性质3
周期平稳过程的自相关函数必是周期函数， 且与过程的周期相同。

性质4
性质5
RX(0)=E[ X 2 (n)]

不包含任何周期分量的非周期平稳过程 满足 2
m
lim R X (m) R X () X
3.自相关函数的估计

N 1 R X (m) E{ X (n) X (n m)} lim x ( n ) x ( n m) R x ( m) N 2 N 1 n N
当随机信号是实过程时，其功率谱是偶函 数，即 PX () PX ()
5.3.3 功率谱密度与自相关函数的关系 连续时间随机信号
1 2 PX ( ) lim E X T ( , ) T 2T
1 PX ( ) lim E T 2T
1 lim T 2T
N 1 1 N 1 jm xN (n) xN (n m)e N n 0 m ( N 1)
n 0,1,..., N 1 x N ( n) x 2 N ( n) N n 2N 1 0
m ( N 1)
R
N 1 ^
x
(m)e
T
T
1 xT (t ) 2



X T ()e jt d
由于x(t ) 是随机过程X (t ) 的一个样本函数，取
哪一个样本函数取决于试验结果 ，且 X T () 和 xT (t ) 也都是试验结 是随机的。因此， 果的随机函数，可写成 X T (, )和 xT (t, )。

T
T
T 1 X T (, ) xT (t , )e jt dt d T 2
1 1 1 2 2 X ( , ) d lim X ( , ) d T 2 T T 2 2T

样本函数的功率谱密度函数
如果对所有试验结果 取统计平均
互相关

FFT
)
Rxy ( m ) E{ x( n ) y( n m )} E{ x( n ) h( k ) x( n m k ) }
k

k
h( k )E{ x( n )x( n m k )} h(k )R
k


xx
(m k )
N 1 R X (m) E{ X (n) X (n m)} lim x ( n ) x ( n m) R x ( m) N 2 N 1 n N
2. 自相关函数性质

性质1
RX (m) RX (m) 若 X(n) 是实信号，

性质2
RX (0) RX (m)
5.1 随机信号简介
是时间t或n的函数，没有明确的数学关系。 样本无穷多，持续时间无穷长。 对任一时刻t

xi ( t ), i 1,2, ,
的集合构成一个随机变量，随着t的变化 我们得到无穷多个随机变量。 用描述随机变量的方法来描述随机信号。
组成随机过程的样本函数总体
随机信号描述

5.2 随机信号的相关分析
5.2.1自相关函数及应用
1 定义
一般随机信号

概率密度
2 X 2
X (t ) E[ X (t )] xpX ( x; t )dx D (t ) E[ X (t )] x p X ( x, t )dx
RX (t1 , t 2 ) E[ X (t1 ) X (t 2 )]
1 2 PX () E lim X T (, ) T 2T
1 2 lim E X T (, ) T 2T
随机过程的功率谱密度函数，简称功率谱密度。
5.3.2

功率谱密度的性质
非负性， PX () 0
PX () 是实函数

间接估计法（快速傅立叶变换）
先通过FFT求得互功率谱函数，然后计算互谱的逆傅里 叶变换 。
x ( n)
FFT
X (k ) H (k )
序列相乘 共轭
H (k )
IFFT
h( n)
y ( n)
FFT
H (测量滞后时间
当系统的输出与输入之间有一定的时间差时， 互相关函数在时间差等于信号通过系统所需时间 值时，将出现峰值。
N
* x (n1 , i) x(n2 , i) i 1
N
广义平稳随机信号
X (n) X E{X (n)}
R X (n1 , n2 ) R X (m) E{ X * (n) X (n m)} m n2 n1
各态遍历随机信号
N 1 X E{ X (n)} lim x ( n) x N 2 N 1 n N
均值：
1 N m x ( t1 ) lim x k ( t1 ) N N k 1
自相关函数：
1 N Rx ( t1 , t1 ) lim x k ( t1 ) x k ( t1 ) N N k 1

平稳随机过程 均值和时间无关，是常数；自相关函数与时 间的起点无关，只与两点的时间差有关。 不同样本函数计算的均值、自相关函数都 一样，则称此随机过程为各态遍历的。 非平稳随机过程 包括所有不满足平稳性要求的随机过程。非 平稳随机过程的特性一般是随时间而变化的。
T (t1, t2 ) T
1 PX () lim T 2T

T
T
T
T
RX (t1 , t2 )e
j ( t 2 t1 )
dt1dt2
设信号传播速度为V ，a和b两点距L，则信 号由a点传播到b点的时间延迟
L L V
热轧钢运动速度测定