实验十 系统能控性与能观性分析
能控性与能观性
假使输出矩阵C中有某一列全为零，譬如说第2列中c12, c22, …, cm2均为零，则在 t y(t)中将不包含 e 2 x20这个自由分量，亦即不包含 x2(t)这个状态变量，很明显，这 个x2(t)不可能从y(t)的测量值中推算出来，即x2(t)是不能观的状态。
系统是状态完全能控的
x 2 1 x2 b2u y c1 c2 x
1 1 b1 x x u; 0 0 1
对于式(3-5)的系统
x 1 1 x1 x2 b1u x 2 1 x2
x2不受u(t)的控制，而为不能控的系统。
对式(3-3)的系统，系统矩阵A为对角线型，其标量微分方程形式为
x 1 1 x1
x 2 2 x2 b2u
x 2
x 1
1 1 0 x x u; 0 1 b2
对于式(3-4)的系统
y c1 c2 x
x 1 1 x1 x2
c13 c23 c33
1 2 1t 1t 1t e x10 te x20 t e x30 2! x1 (t ) 1t 1t e x20 te x30 这时，状态方程的解为 x(t ) x2 (t ) x ( t ) 3 1t e x 30
从而
y1 (t ) c11 c12 y (t ) y2 (t ) c21 c22 y3 (t ) c31 c32
控制系统的能控性与能观性
系统能控性与能观性的对偶关系
▪ 卡尔曼对偶原理
若有两系统 x1 A1x1 B1u1 x2 A2x2 B2u2
y1 C1x1
y2 C2x2
满足条件 A2 A1T , B2 C1T , C2 B1T
▪ 例：已知系统的状态方程如下，判别其能控性
2 1 3 2 5 4
[B
AB
A2
B]
1
1
2
2
4
4
-1 -1 -2 -2 -4 -4
▪ 系统的能控矩阵M的秩等于2，即rankM=2，所 以系统是不完全能控的。
▪ 3. 通过系统的输入和状态矢量间的传递函数来判别 系统的能控性
▪ 例：（1）
4 5 5
x
1
0
1
1
x
0 b2
u;
y
c1
c2 x
画出模拟结构图
（3-2）
u b2
x1
c1
1
x2
c2
y
2
u b2
x2
1
c2
x1 c1
y
1
▪ 由图可以看出: (3-1) 的系统模拟结构 图中状态变量 x1 是一个与 u(t) 无任 何联系的孤立部分，也就是说 x1 不 受 u(t)的控制，因此，x1 是不能控的。 尽管 x2受到的 u(t) 控制，但整个系统仍
( An1)T CT T
CAn1
满秩，即RankN=n。
1 1 0 x 2 1 x 1 u
y 1 0 x
N
C CA
1 0
1 1
rankN=2，满秩，系统是能观的。
现代控制理论基础实验报告
紫金学院计算机系实验报告现代控制理论基础实验报告专业：年级：姓名：学号：提交日期：实验一 系统能控性与能观性分析1、实验目的：1.通过本实验加深对系统状态的能控性和能观性的理解；2.验证实验结果所得系统能控能观的条件与由它们的判据求得的结果完全一致。
2、实验内容：1.线性系统能控性实验;2. 线性系统能观性实验。
3、实验原理：系统的能控性是指输入信号u 对各状态变量x 的控制能力。
如果对于系统任意的初始状态，可以找到一个容许的输入量，在有限的时间内把系统所有的状态变量转移到状态空间的坐标原点。
则称系统是能控的。
系统的能观性是指由系统的输出量确定系统所有初始状态的能力。
如果在有限的时间内，根据系统的输出能唯一地确定系统的初始状态，则称系统能观。
对于图10-1所示的电路系统，设i L 和u c 分别为系统的两个状态变量，如果电桥中4321R R R R ≠，则输入电压u 能控制i L 和u c 状态变量的变化，此时，状态是能控的；状态变量i L 与u c 有耦合关系，输出u c 中含有i L 的信息，因此对u c 的检测能确定i L 。
即系统能观的。
反之，当4321R R ＝R R 时，电桥中的c 点和d 点的电位始终相等， u c 不受输入u 的控制，u 只能改变i L 的大小，故系统不能控；由于输出u c 和状态变量i L 没有耦合关系，故u c 的检测不能确定i L ，即系统不能观。
1.1 当4321R RR R ≠时u L u i R R R R C R R R R R R R R L R R R R R R C R R R R R R R R L u i C L C L ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫+++-+-+-⎝⎛+-+-+++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01)11(1)(1)(1)(143214343212143421243432121 (10-1)y=u c =[01]⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛c L u i (10-2)由上式可简写为bu Ax x+= cx y =式中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C L u i x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫+++-+-+-⎝⎛+-+-+++-=)11(1)(1)(1)(143214343212143421243432121R R R R C R R R R R R R R L R R R R R R C R R R R R R R R L A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=01L b 1] [0=c由系统能控能观性判据得][Ab brank =2 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡cA c rank故系统既能控又能观。
系统的能控性与能观性分析及状态反馈极点配置
实 验 报 告课程 自动控制原理 实验日期 12 月26 日 专业班级 姓名 学号实验名称 系统的能控性与能观性分析及状态反馈极点配置 评分批阅教师签字一、实验目的加深理解能观测性、能控性、稳定性、最小实现等观念，掌握状态反馈极点配置方法，掌握如何使用MATLAB 进行以下分析和实现。
1、系统的能观测性、能控性分析；2、系统的最小实现；3、进行状态反馈系统的极点配置；4、研究不同配置对系统动态特性的影响。
二、实验内容1.能控性、能观测性及系统实现（a ）了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结果。
gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf, mineral ； （b ）已知连续系统的传递函数模型，182710)(23++++=s s s as s G ，当a 分别取-1，0，1时，判别系统的能控性与能观测性；（c ）已知系统矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=2101013333.06667.10666.6A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110B ，[]201=C ，判别系统的能控性与能观测性；（d ）求系统1827101)(23++++=s s s s s G 的最小实现。
2.实验内容原系统如图1-2所示。
图中，X 1和X 2是可以测量的状态变量。
图1-2 系统结构图试设计状态反馈矩阵,使系统加入状态反馈后其动态性能指标满足给定的要求:(1) 已知：K=10，T=1秒，要求加入状态反馈后系统的动态性能指标为：σ%≤20%，ts≤1秒。
(2) 已知：K=1，T=0.05秒，要求加入状态反馈后系统的动态性能指标为：σ%≤5%，ts≤0.5秒。
状态反馈后的系统，如图1-3所示：图1-3 状态反馈后系统结构图分别观测状态反馈前后两个系统的阶跃响应曲线，并检验系统的动态性能指标是否满足设计要求。
三、实验环境 1、计算机1台；2、MATLAB6.5软件1套。
四、实验原理（或程序框图）及步骤 1、系统能控性、能观性分析设系统的状态空间表达式如下：p m n R y R u R x Du Cx y Bu Ax x∈∈∈⎩⎨⎧+=+=&（1-1）其中A 为n ×n 维状态矩阵；B 为n ×m 维输入矩阵；C 为p ×n 维输出矩阵；D 为p ×m 维传递矩阵，一般情况下为0。
控制系统稳定性和能控能观分析
分方程组（连续时间系统）或一阶差分方程组（离散 时间系统）称为系统的状态方程，它表征了输入对内 部状态的变换过程，其一般形式为：
其中，t是时间变量，u(t)是输入变量。 6.输出方程
描述系统输出量与系统状态变量和输入 变量之间函数关系的代数方程称为输出方程， 它表征了系统内部状态变化和输入所引起的 系统输出变换，是一个变化过程。输出方程 的一般形式为：
该秩判据说明连续系统状态能观测性只 与状态方程中的A、C矩阵有关数字、离散控制系统与连续控制系统的根本区别在于：
（1）离散控制系统中既可以包含连续信号，又可以包含离 散信号，是一个混合信号系统。
（2）连续系统中的控制信号、反馈信号以及偏差信号都是 连续型的时间函数，而在离散系统中则不然。一般情况下， 其控制信号是离散型的时间函数，因此取自系统输出端的 负反馈信号在和离散控制信号进行比较时，同样需要采用 离散型的时间函数，那么比较后得到的偏差信号也将是离 散型的时间函数。
第二题的系统的零极点模型为：
（1）比例微分环节： jw+1 0~π/2 （2）比例微分环节：（jw)/0.5666+1 0~π/2 （3）二阶微分环节：（jw)2/1.177-0.8999/1.177jw+1 0~π （4）惯性环节： 1/(jw/1.607+1) 0~-π/2 （5）振荡环节：1/((jw)2/0.3288+0.8806/0.3288jw+1)
在编译源程序之前，请在保存matlab 源程序的路径下建立四个文件夹，它们分 别是：“第一题的txt文档”，“ 第二题的 txt文档和截图”，“ 第三题的txt文档和截 图”，“ 第四题的txt文档和截图”，这四 个文件夹用来保存相应的矩阵、零极点和 figure图形。
第三章能控性与能观测性——线性系统的结构分析
第三章 能控性与能观测性——线性系统的结构分析前一章我们讨论了线性系统的定量分析问题，重点是研究系统对确定性的输入u(t)和初始状态x0的精确响应。
本章把问题转向对线性系统的定性分析方面，即介绍线性动态系统的两个重要概念：能控性与能观测性。
这两个概念是卡尔曼（kalman）在1960年首先提出来的，是近代控制理论的基础性概念。
这两个概念简单地说就是：能控性反应了控制作用u(t)支配系统状态向量x(t)的能力，回答了u(t)能否使x(t)作任意转移的问题；能观测性反应系统输出y(t)反映系统状态向量x(t)的能力，回答了能否通过y(t)的量测确定x(t)的问题。
为什么在经典控制理论中，不涉及能控性和能观测性的问题。
因为在经典控制理论中，研究的是SISO的线性定常系统，研究的方法是使用传递函数，且只涉及到系统的输入和输出。
系统的输出都是可以用仪器来量测的，系统的输出量本身就是被控制量，总可以按一定的要求进行控制。
这就是说系统是能控的，也是能观测的。
而现代控制理论 u(t)→x(t)→y(t) （概念）具体内容：（1）定义（2）判别准则（3）结构变换当给定一个系统是完全能控和能观测时，就可以进一步对它进行分析与设计使其达到符合要求的控制系统，一般系统Σ(A,B,C)，其结构是不明确，对分析和设计系统极不方便A、化一般表示为能控标准型和能观测标准型B、若不是完全能控和能观测系统，进行结构变换和分解（4）实现问题3.1 线性连续系统的能控性与能观测性10K例：RC 电路选两电容的电压为状态变量x 1和x 2，可以导出系统的状态方程(推导！！)。
u x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1121122121&& 根据前一章介绍可以求其状态转移矩阵)(t φ，当初态x (0)=0时，其状态响应为ττττd u e e t x t x t x t t t )()()()(0)()(21∫⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−可以看到，无论系统施加何种控制作用u (t )，x 1(t )=x 2(t )，也就是说，无法将状态转移到)()(21t x t x ≠的任意点，因此系统是不完全能控的。
系统的能控性能观测性稳定性分析
系统的能控性能观测性稳定性分析1. 能控性（Controllability）能控性是指系统输出能否通过适当的输入方式对系统进行控制。
如果一个系统是能控的，意味着通过控制器的输入信号，我们能够将系统的输出发展到我们所期望的状态。
对于一个线性时不变（LTI）系统，能控性可以通过判断其控制矩阵的秩来确定。
控制矩阵（也称为控制可达矩阵）是由系统的状态方程和控制器的输入方程组成的。
如果控制矩阵的秩等于系统的状态数量，则系统是能控的；否则，系统是无法被完全控制的。
能控性的分析可以帮助我们选择合适的控制策略和控制器设计。
当系统的能控性差时，我们可能需要通过增加或修改系统的状态变量或控制器的输入方式来提高系统的能控性。
2. 能观测性（Observability）能观测性是指系统的内部状态能否通过系统的输出信号来判断。
一个能观测的系统意味着我们可以通过观测系统的输出来估计系统的状态。
对于一个线性时不变系统，能观测性可以通过判断其观测矩阵的秩来确定。
观测矩阵（也称为观测可达矩阵）是由系统的状态方程和输出方程组成的。
如果观测矩阵的秩等于系统的状态数量，则系统是能观测的；否则，系统的一些状态是无法通过输出来观测到的。
能观测性的分析可以帮助我们选择合适的观测器设计，以实现对系统状态的估计。
当系统的能观测性差时，我们可能需要增加或改变系统的输出方程来提高系统的能观测性。
3. 稳定性（Stability）稳定性是指系统在受到扰动后是否会逐渐恢复到原来的状态。
对于线性时不变系统，稳定性可以分为几种类型：零状态稳定、有限状态稳定和无限状态稳定。
零状态稳定（Zero-state stability）是指当系统受到初始条件扰动时，输出信号会在有限时间内收敛到零。
有限状态稳定（Finite state stability）是指当系统受到初始条件扰动时，输出信号会在有限时间内收敛到一些有限值。
无限状态稳定（Infinite state stability）是指当系统受到初始条件扰动时，输出信号会在无限时间内收敛到一些有限值。
能控性和能观测性分析
.1.2 能控性判据 按定义，要求寻找到一个具体的控制律。 由 可得 矩阵指数函数 可以表示成有限项的和 记 则转化成线性方程组的求解问题
例检验由以下状态方程描述的系统的能控性： 解 能控性检验矩阵 不是满秩的，故系统不能控。
例3.1.2 倒立摆系统线性化状态空间模型的系数矩阵是 能控性检验矩阵 故系统是能控的。
3.3 能控能观性的对偶原理
由于 定理3.3.1 能控的充分必要条件是 能观 能观标准型（能控标准型的转置）是能观的
对于互为对偶的系统 系统（I）能控（能观）的充分必要条件是系统（II）能观（能控）。 优点：能观（能控）性问题可以转化为能控（能观）性问题来处理。 例 能观与能控标准型互为对偶系统(特征多项式同)
2。若 非奇异，则可以构造出将非零初始状态转移到零状态的控制律
3。若系统能控，由（1），可在任意短时间内将非零状态转移到零状态 称为能控格拉姆矩阵
定理的说明
.1.3 能控性的性质 能控性基于状态方程系数矩阵A、B定义。 定理3.1.3 等价的状态空间模型具有相同的能控性。 由T是非奇异矩阵可得结论。
在 中的零极相消 考虑 没有零极相消的充分必要条件是 ，能控！
在 中无零极相消 考虑 类似可得 是能观的充分必要条件。 例 判别系统的能控性 显然系统不能控！
例3.1.8 判断以下系统的状态和输出能控性 系统的状态能控性矩阵 由于 ，故系统不是状态完全能控的。 输出能控性矩阵 显然它是行满秩的，故输出能控。 结论：系统输出能控，但不是状态能控的。
3.2 系统的能观性
所考虑的系统 状态变量未必都可以从外部观测到！ 1。检测手段的限制； 2。一些状态变量不是物理量。 问题：如何（可否）通过输入输出信息来了解系统内部的状态？
能控性和能观性分析
2. 基于标准型判据
1）对角规范型系统(无重特征值)可控性判别（※） 当矩阵A的特征值 1 , 2 ,, n 为两两相异时， 线性定常连续系统 x(t ) Ax(t ) Bu (t ) x(0) x0 t 0 完全可控的充分必要条件是：其对角线规范型
1 2 x Bu x n
对于线性定常离散系统，如果根据输出信号的有限个 采样值y(k)，可以惟一的确定系统的任一初始状态x(0), 则称系统是状态完全能观测的。
几点说明：
1、能观测性是研究输出反映状态的能力，即通过输出 量在有限时间内的量测，能否把系统的状态识别出来。 2、输入引起的输出可计算，所以分析观测性时，常令u 恒等于0，即分析齐次状态方程和输出方程即可。 3、需要定义观测时间。目的是为了唯一地求出n个状态 变量，多量测出几组输出。 4、能观测性归结为初始状态的确定，则任意状态可在初 态和输入作用下由状态转移矩阵得到。
rank c [ A, B]n p rank[ B AB A n p B] n
其中：p rankB，p p 注：该方法是秩判据的改进，特别适用于多输入 系统，可减少不必要的计算。
例1：已知
4 0 1 x x 2 u 0 5
能控的充分必要条件是其能控性判别矩阵：
Gc [ A, B] = [ B M M 2 B M M n- 1B] 满秩 AB A L A
rank Gc = rank[ B M M 2 B M M n- 1B] = n AB A L A
[证明]：根据能控性的定义可知， 对系统的任意的初始状态 x ( t0 ) ，如果能找到输入 u(t)，使之在 [t0 , t f ] 的有限时间内转移到零状 态 x( t f ) 0 ，则系统状态能控。
现代控制理论实验报告三系统的能控性、能观测性分析
35.7689 -67.4375 -3.5551
system is completely state observe
题3.3已知系统状态空间描述如下
（1）判断系统的状态能控性；
（2）判断系统的状态能观测性；
（3）构造变换阵，将其变换成能控标准形；
（4）构造变换阵，将其变换成能观测标准形；
3、构造变换阵，将一般形式的状态空间描述变换成能控标准形、能观标准形。
六、数据处理
题3.1已知系数阵A和输入阵B分别,-10.6667,-0.3333;1,0,1;0,1,2];B=[0;1;1];
Uc=ctrb(A,B)
n=det(Uc);%de计算矩阵对应的行列式的值,abs为求n的绝对值
解：（1）（2）
A=[0,2,-1;5,1,2;-2,0,0];B=[1;0;-1];C=[1,1,0];
Uc=ctrb(A,B);
Uo=obsv(A,C);
n1=rank(Uc);n2=rank(Uo);nc=length(A)
if nc==n1
disp('system is completely state controllable')
三、仪器设备
PC计算机1台，MATLAB软件1套。
四、线路示图
五、内容步骤
1、根据系统的系数阵A和输入阵B，依据能控性判别式，对所给系统采用MATLAB编程；在MATLAB界面下调试程序，并检查是否运行正确。
2、根据系统的系数阵A和输出阵C，依据能观性判别式，对所给系统采用MATLAB编程；在MATLAB界面下调试程序，并检查是否运行正确。
实验报告
实验名称系统的能控性、能观测性分析
现代控制工程-第5章能控性和能观性分析
传递函数判据
如果系统的传递函数的极点和零 点都位于复平面的左半部分，则 该系统是能控的。
能控性的应用
系统设计和ห้องสมุดไป่ตู้化
在系统设计和优化过程中，能控性分析可以帮助确定系统的可控性 和可观性，从而更好地选择和设计控制器和观测器。
控制性能评估
通过能控性分析，可以对系统的控制性能进行评估和比较，从而选 择更优的控制方案。
现代控制工程-第5章能控性 和能观性分析
目录
• 能控性分析 • 能观性分析 • 能控性和能观性的关系 • 系统设计中的能控性和能观性 • 现代控制工程其他章节概述
01
能控性分析
定义与概念
能控性定义
对于一个给定的线性时不变系统，如果存在一个状态反馈控制器，使得系统的任何初始状态都能通过 该控制器在有限的时间内被控制到任意指定的状态，则称该系统是能控的。
快速性
系统应具有快速的响应能力，以便在短时间 内达到设定值或消除外部扰动。
准确性
系统应具有高精度的输出，以满足各种控制 要求和保证产品质量。
可靠性
系统应具有高的可靠性和稳定性，以确保长 期稳定运行和减少故障率。
系统设计中的能控性和能观性考虑
能控性考虑
在系统设计中，需要考虑系统的能控性，即 能否通过输入信号控制系统的输出状态。对 于不能控制的系统，需要采取措施进行改进 或重新设计。
描述
分解性是控制系统分析中的一个重要性质。在大型复杂系统中，如果系统具有分解性， 那么我们可以将系统分解为若干个子系统，分别对子系统进行能控性和能观性分析，从
而简化系统分析和设计的难度。
04
系统设计中的能控性和能观 性
系统设计的基本原则
稳定性
能控性和能观
是不能控的，则称系统在 ti 时刻状态不完全能控，简称状态不能控。
能控性和能观
1.1 能控性的定义及其判据
1. 状态能控性
常用的状态能控性判据如下。
（1）状态能控性矩阵判据。设线性定常系统的状态方程如式（9-33）所示，矩阵 A 和
矩阵 B 的维数分别为 n，r，建立 n nr 型状态能控性矩阵 M，即 M B AB An1B
M B
AB
1 1
1 5
，
rankM 2
即状态能控性矩阵 M 满秩，所以系统状态能控。
系统的输出能控性矩阵为
S CB CAB D 1 1 0 ， rankS 1
因为输出向量的维数 m 1，所以系统输出能控。
能控性和能观
1.2 能观性的定义及其判据
【定义 9-5】 若在有限时间区间t0 ，tf 内，能够根据系统的输出量 y(t) ，唯一地确定
③ 满足约当标准型判据，与约当块 J1 第一行相对应的矩阵Cˆ 第一列元素全为零，故系 统不能观。
能控性和能观
1.3 能控性与能观性的对偶关系
【定义 9-6】 若系统 1 (A1 ，B1 ，C1) 和系统 2 ( A2 ，B2 ，C2 ) 满足
A2 A1T ， B2 C1T ， C2 B1T
2
因此系统状态能控。
rank2I A
B
rank
4
2
0 0
1 1
2
能控性和能观
1.1 能控性的定义及其判据
2. 输出能控性
设线性定常系统的状态空间表达式为
x(t) A(t) x(t) B(t)u(t)
y(t)
C (t )
x(t)
D(t) u(t)
【定义 9-4】 若存在一个无约束的控制向量 u(t) ，在有限时间区间 t0 ，tf 内能使系
现代控制理论基础实验报告要点
紫金学院计算机系实验报告现代控制理论基础实验报告专业：年级：姓名：学号：提交日期：实验一 系统能控性与能观性分析1、实验目的：1.通过本实验加深对系统状态的能控性和能观性的理解；2.验证实验结果所得系统能控能观的条件与由它们的判据求得的结果完全一致。
2、实验内容：1.线性系统能控性实验;2. 线性系统能观性实验。
3、实验原理：系统的能控性是指输入信号u 对各状态变量x 的控制能力。
如果对于系统任意的初始状态，可以找到一个容许的输入量，在有限的时间内把系统所有的状态变量转移到状态空间的坐标原点。
则称系统是能控的。
系统的能观性是指由系统的输出量确定系统所有初始状态的能力。
如果在有限的时间内，根据系统的输出能唯一地确定系统的初始状态，则称系统能观。
对于图10-1所示的电路系统，设i L 和u c 分别为系统的两个状态变量，如果电桥中4321R R R R ≠，则输入电压u 能控制i L 和u c 状态变量的变化，此时，状态是能控的；状态变量i L 与u c 有耦合关系，输出u c 中含有i L 的信息，因此对u c 的检测能确定i L 。
即系统能观的。
反之，当4321R R ＝R R 时，电桥中的c 点和d 点的电位始终相等， u c 不受输入u 的控制，u 只能改变i L 的大小，故系统不能控；由于输出u c 和状态变量i L 没有耦合关系，故u c 的检测不能确定i L ，即系统不能观。
1.1 当4321R RR R ≠时u L u i R R R R C R R R R R R R R L R R R R R R C R R R R R R R R L u i C L C L ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫+++-+-+-⎝⎛+-+-+++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01)11(1)(1)(1)(143214343212143421243432121 (10-1)y=u c =[01]⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛c L u i (10-2)由上式可简写为bu Ax x+= cx y =式中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C L u i x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫+++-+-+-⎝⎛+-+-+++-=)11(1)(1)(1)(143214343212143421243432121R R R R C R R R R R R R R L R R R R R R C R R R R R R R R L A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=01L b 1] [0=c由系统能控能观性判据得][Ab brank =2 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡cA c rank故系统既能控又能观。
第3章 能控性与能观性分析.ppt
x 1 x 2
3 x1 2 x 2
u
u
x2
x2
-2
x1
x1
-3
从模拟结构图上可以很清楚的看出u对x的控制关系
状态变量x2可以用u去控制；
状态变量x1与控制量u既没有直接连系又没有间接连系，
故不可能用u去控制x1。因此，状态变量x1是不可控的。
一、能控性的定义（线性定常系统）
线性系统的状态方程如下： x Ax Bu
❖如上题可以这样计算：
26 6 17
MM T
6
3
2
17 2 21
易知MMT非奇异，故M满秩，系统是完全能控的
【例】 试判断如下系统的能控性：
1 2 3 1 9
x 1 2
4 1
6 x 0 7 2
0 0
u1
u2
解：
1 9 7
M B AB A2B 0 0 13
2 0 16
能控系统 (b2 0, b3 0)
0
0
3
b
3
3 1 0 0 0
（2）x
0
0
3
4 0
x
3
0 0
5 1
? 0
1 0
u1 u2
能控系统
3 1 0 1 1
（3）x
0
0
3
4 0
x
0
0 4
5
0
? 0
0
5
u1 u2
不能控系统
注意：当系统的Jordan标准型存在多个约旦块对应同一
例 已知系统如下，判断其能观性
2 1 0
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x 0 0 2
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x
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实验十 系统能控性与能观性分析
一、实验目的
1. 通过本实验加深对系统状态的能控性和能观性的理解；
2. 验证实验结果所得系统能控能观的条件与由它们的判据求得的结果完全一致。
二、实验设备
同实验一。
三、实验内容
1. 线性系统能控性实验;
2. 线性系统能观性实验。
四、实验原理
系统的能控性是指输入信号u 对各状态变量x 的控制能力。
如果对于系统任意的初始状态，可以找到一个容许的输入量，在有限的时间内把系统所有的状态变量转移到状态空间的坐标原点。
则称系统是能控的。
系统的能观性是指由系统的输出量确定系统所有初始状态的能力。
如果在有限的时间内，根据系统的输出能唯一地确定系统的初始状态，则称系统能观。
对于图10-1所示的电路系统，设i L 和u c 分别为系统的两个状态变量，如果电桥中
4
32
1R R R R ≠，则输入电压u 能控制i L 和u c 状态变量的变化，此时，状态是能控的；状态变量
i L 与u c 有耦合关系，输出u c 中含有i L 的信息，因此对u c 的检测能确定i L 。
即系统能观的。
反之，当
4
32
1R R ＝
R R 时，电桥中的c 点和d 点的电位始终相等， u c 不受输入u 的控制，
u 只能改变i L 的大小，故系统不能控；由于输出u c 和状态变量i L 没有耦合关系，故u c 的检测不能确定i L ，即系统不能观。
1.1 当
4
32
1R R R R ≠时 u L u i R R R R C R R R R R R R R L R R R R R R C
R R R R R R R R L u i C
L
C L ⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎪⎪⎪
⎭⎫+++-+-
+-
⎝
⎛+-
+-
+++-
=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01)11(1)(
1
)
(
1)(
14321434
3212
14
342
124
3432
121
(10-1)
y=u c =[0
1]
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛c L
u i (10-2)
由上式可简写为
bu Ax x
+= cx y = 式中⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=C L u i x ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
+++-
+-+-
⎝
⎛+-+-++
+-=)11(
1)(
1
)(
1)(
1
432
1434
3212
14
342
124
343212
1R R R R C R R R R R R R R L R R R R R R C R R R R R R R R L A
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=01L b 1] [0=c
由系统能控能观性判据得 ][Ab b
rank =2 2=⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡cA c rank 故系统既能控又能观。
1.2 当4
32
1R R ＝R R 时，式(10-1)变为
u L u i R R R R C R R R R R R R R L u i C
L
C
L ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎪⎭
⎫
+++-
⎝⎛+++-=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛01
)11(10
)(1
432143432121
(10-3)
y=u c =[0
1]
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛c
L u i (10-4)
由系统能控能观性判据得
][Ab b
rank =1<2 1=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡cA c rank <2
故系统既不能控又不能观，若把式(10-3)展开则有
u L
i R R R R R R R
R L i L L 1)(14
343212
1+
++
+-=
(10-5)
c c u R R R R C u
)11(
14
32
1++
+-=
(10-6)
这是两个独立的方程。
第二个方程中的c u 既不受输入u 的控制，也与状态变量L i 没有任何耦合关系，故电路的状态为不能控。
同时输出u c 中不含有i L 的信息，因此对u c 的检测不能确定i L ，即系统不能观。
图10-1系统能控性与能观性实验电路图
五、实验步骤
1. 按图10-1连接实验电路（参考实验台的“系统的能控性和能观性”单元），其中R 1=1K ，R 2=1K ，R 3=1K ，R 4=2K ；
2. 在图10-1的u 输入端输入一个阶跃信号，当阶跃信号的值分别为1V 、2V 时，用上位机软件观测并记录电路中电感和电容器两端电压Uab 、Ucd (u c )的大小；
3. 当R3取(通过短路帽进行切换)2K，阶跃信号的值分别为1V、2V时，用上位机软件观测并记录电路中电感和电容器两端电压Uab 、Ucd (u c)的大小；
4. 当R3取3K，阶跃信号的值分别为1V、2V时，用上位机软件观测并记录电路中电感和电容器两端电压Uab 、Ucd (u c)的大小。
六、实验报告
写出图10-1 电路图的状态空间表达式，并分析系统的能控性和能观性。