人教版数学高二作业习题课导数的应用
人教版数学高二导数及其应用练习卷一
13．设332cos y x x x =++，则y '等于（ ）A ．2236sin x x x -+- B ．22312sin 3x x x -+- C ．22316sin 3x x x -++ D ．22316sin 3x x x -+- 14．设2sin x y e x =-，则y '等于（ ） A ．2cos x e x - B ．2sin x e x - C ．2sin x e x D ．2(cos sin )x e x x -+15．曲线3123y x =-在（1-，73-）处切线的倾斜角为（ ） A ．30︒ B ．45︒ C ．135︒ D ．45-︒二、填空题：16．2y x =的斜率为2的切线方程为____________________________________；17．曲线cos y x =在点A （6π，32）处的切线方程为______________________； 18．正弦曲线sin y x =上斜率等于12的点为__________________； 19．若物体的运动方程为()sin s t t t =，则物体在2t =时的瞬时速度为__________；20．给出下列命题，其中正确的命题是____________________（填序号） ①任何常数的导数都是零；②直线y x =上任意一点处的切线方程是这条直线本身；③双曲线1y x=任意一点处的切线斜率都是负值；④直线2y x =和抛物线2y x =在(0,)x ∈+∞上函数值增长的速度一样快。
三、解答题：21．求曲线1y x=在点（0x ，0y ）处的切线与坐标轴构成的三角形的面积。
22．用三块等宽的长方形木板，做成一个断面为梯形的水槽（如图）。
问斜角ϕ为多大时，水槽的截面积最大？并求出最大截面积。
高二数学导数的实际应用试题答案及解析
高二数学导数的实际应用试题答案及解析1.已知函数，则（）A．0B．1C．2D．【答案】C【解析】,.【考点】导数公式的应用.2.已知函数，则＝____________。
【答案】0；【解析】，所以；【考点】三角函数求导公式；3.函数的定义域为开区间，其导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内极小值点的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】在极小值点处满足：,由图可知在右边第二个零点处满足条件，故A.【考点】极值点定义.4.已知．.（1）求函数在区间上的最小值；（2）对一切实数，恒成立，求实数的取值范围；(3) 证明对一切，恒成立．【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.【解析】（1）对于研究非常规的初等函数的最值问题，往往都需要求函数的导数.根据函数导数的正负判断函数的单调性，利用单调性求函数在某个区间上的最值；（2）恒成立问题，一般都需要将常数和变量分离开来（分离常数法）转化为最值问题处理；（3）证明不等式恒成立问题，往往将不等式转化为函数来证明恒成立问题.但有些时候这样转化后不等会乃然很难实现证明，还需对不等式经行恒等变形以达到化简不等式的目的，然后再证.试题解析：⑴，当，，单调递减，当，，单调递增． 1分（由于的取值范围不同导致所处的区间函数单调性不同，故对经行分类讨论.）①，t无解； 2分②，即时， 3分③，即时，在上单调递增，；所以 5分由题可知:,则.因对于,恒成立，故,设，则.单调递增，单调递减.所以，即.问题等价于证明(为了利用第（1）小问结论，并考虑到作差做函数证明不方便，下证的最值与最值的关系.)由（1）可知在的最小值是,当且仅当时取到.设,则,易得,当且仅当时取到.从而对于一切,都有恒成立.【考点】（1）含参量函数最值的讨论；（2）含参恒成立问题，参数取值范围；（3）利用倒数证明不等式.5.已知是的导函数，，且函数的图象过点．（1）求函数的表达式；（2）求函数的单调区间和极值．【答案】（1）;（2）函数的单调减区间为，单调增区间为极小值是，无极大值．【解析】⑴注意到是常数,所以从而可求得;又因为函数的图象过点，所以点的坐标满足函数解析式,从而可求出m的值，进而求得的解析式．（2）由⑴可得的解析式及其定义域,进而就可应用导数求其单调区间和极值．试题解析：⑴，，函数的图象过点，，解得：函数的表达式为：（2）函数的定义域为，当时，；当时，函数的单调减区间为，单调增区间为极小值是，无极大值．【考点】1．函数的导数;2．函数的单调区间;3．函数的极值．6.已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于（）A．B．-1C．4D．2【答案】A【解析】对求导，知，令可得，解得.【考点】求导.7.函数的导函数的图像如图所示，则的图像最有可能的是（）【答案】C.【解析】从的图像中可以看到，当时，，当时，，∴在上是减函数，在上是增函数，∴选C.【考点】导数的运用.8.函数在x=4处的导数= .【答案】.【解析】∵，∴，∴.【考点】复合函数的导数.9.函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，单调递增区间有,，可得.【考点】由导数求函数的单调性.10.已知函数在上是单调递减函数,方程无实根，若“或”为真，“且”为假，求的取值范围。
高中数学选择性必修二(人教版)《习题课 导数及其应用》课件
[集训冲关]
1．函数 f(x)＝1＋3x－x3
()
A．有极小值，无极大值
B．无极小值，有极大值
C．无极小值，无极大值
D．有极小值，有极大值
解析： f′(x)＝－3x2＋3，由 f′(x)＝0，得 x＝±1.当 x∈(－1,1)时，
f′(x)>0，∴f(x)的单调递增区间为(－1,1)；同理，f(x)的单调递减区
[方法技巧] 1．利用导数解决不等式问题的策略 利用导数解决不等式问题(如：证明不等式，比较大小等)，其实质 就是利用求导数的方法研究函数的单调性，而证明不等式(或比较大小) 常与函数最值问题有关．因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然 后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数 值使问题得以求解．其实质是这样的： 要证不等式 f(x)>g(x)，则构造函数 φ(x)＝f(x)－g(x)，只需证 φ(x)>0 即可，由此转化成求 φ(x)最小值问题，借助于导数解决．
所以 0<a<27. 当 a<0 时，f(x)在－2，23上单调递减，在23，1上单调递增，又 f(－ 2)＝－32a>f(1)＝a. 所以 f(x)的最大值为 f(－2)＝－32a<32，即 a>－1. 所以－1<a<0. 综上可得，a 的取值范围为(－1,0)∪(0,27)．
2．已知函数 f(x)＝ax2＋exx－1. (1)求曲线 y＝f(x)在点(0，－1)处的切线方程； (2)证明：当 a≥1 时，f(x)＋e≥0. 解：(1)因为 f′(x)＝－ax2＋2eax－1x＋2， 所以 f′(0)＝2， 所以曲线 y＝f(x)在(0，－1)处的切线方程是 y＋1＝2x，即 2x－y－1＝0. (2)证明：当 a≥1 时， f(x)＋e≥(x2＋x－1＋ex＋1)e－x. 令 g(x)＝x2＋x－1＋ex＋1， 则 g′(x)＝2x＋1＋ex＋1. 当 x<－1 时，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当 x>－1 时，g′(x)>0，g(x)单调递增． 所以 g(x)≥g(－1)＝0. 因此 f(x)＋e≥0.
高二数学导数的实际应用试题答案及解析
高二数学导数的实际应用试题答案及解析1.设f′(x) 是f（x）的导函数，f′(x)的图象如下图,则f（x）的图象只可能是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由的图象可知：在区间(a,b)内恒成立，故知在区间(a,b)内f（x）是增函数，又由的图象可知：当x从a增大到b的过程中，的值选增大然后减小，由导数的意义可知函数的函数值先缓慢增加，后快速增加，最后又缓慢增加；符合这个情况的只有D；故选D．【考点】函数的导数．2.已知g(x)为三次函数f(x)＝x3＋x2－2ax(a≠0)的导函数，则它们的图象可能是 ()【答案】D【解析】注意到原函数是三次函数,所以其导函数必为二次函数,再注意导函数与X轴的交点必为原函数的极值点,且导函数图象在X轴上方对应的范围内原函数必然是增函数, 导函数图象在X轴下方对应的范围内原函数必然是减函数,观察四个选择可知它们的图象只可能是D【考点】函数的导数与函数性质之间的关系.3.若函数在上单调递减，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，因为函数在上单调递减，则在上即恒成立，等价于在上恒成立，所以。
故A正确。
【考点】用导数研究函数的性质。
4.已知函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间上是减函数，求的取值范围.【答案】（1）;（2）或.【解析】(I)求出当时函数的导数即切线斜率，代入点斜式；(II)求导解得函数的两个极值点和因为异号，分，，讨论.（1）当时，，又，所以.又，所以所求切线方程为，即.所以曲线在点处的切线方程为.（2）因为，令，得或.当时，恒成立，不符合题意. 当时，的单调递减区间是，若在区间上是减函数，则解得.当时，的单调递减区间是，若在区间上是减函数，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是或.【考点】1、导数及其应用；2、导数在研究函数中的应用.5.已知函数．（1）当在点处的切线方程是y=x+ln2时,求a的值．（2)当的单调递增区间是（1，5）时，求a的取值集合．【答案】(1);(2)．【解析】(1)利用导数的几何意义，先求,利用,解出;（2）函数的单调递增区间是，所以导函数的解集为，所以先求函数的导数，的解集为即的两个实根为或,根据根与系数的关系得到．（1）,,代入 5分（2）,的解集为即的两个实根为或,根据根与系数的关系得到,a的取值集合为 10分【考点】1．导数的几何意义；2．导数求函数的单调区间．6.分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时且的解集为（）A．（－2，0）∪（2，+∞）B．（－2，0）∪（0，2）C．（－∞，－2）∪（2，+∞）D．（－∞，－2）∪（0，2）【答案】A【解析】设F（x）=f （x）g（x），当x＜0时，∵F′（x）=f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＞0．∴F（x）在当x＜0时为增函数．∵F（-x）=f （-x）g （-x）=-f （x）•g（x）．=-F（x）．故F（x）为（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．∴F（x）在（0，+∞）上亦为增函数．已知g（-3）=0，必有F（-3）=F（3）=0．构造如图的F（x）的图象，可知F（x）＜0的解集为x∈（-∞，-3）∪（0，3）．故选D.【考点】利用导数研究函数的单调性．.7.一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的方程为s＝t2，则t＝2时，此木块水平方向的瞬时速度为 ()．A．2B．1C．D．【答案】C【解析】(Δt→0)．8.自由落体运动的物体下降距离h和时间t的关系式为h＝gt2，t＝2时的瞬时速度为19.6，则g＝________.【答案】9.8【解析】＝2g＋gΔt.当Δt→0时，2g＋gΔt→2g.∴2g＝19.6，g＝9.89.某商品每件成本5元，售价14元，每星期卖出75件.如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值（单位：元，）的平方成正比，已知商品单价降低1元时，一星期多卖出5件.（1）将一星期的商品销售利润表示成的函数；（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？【答案】（1）；（2）当即商品每件定价为9元时，可使一个星期的商品销售利润最大.【解析】（1）先写出多卖的商品数，则可计算出商品在一个星期的获利数，再依题意：“商品单价降低1元时，一星期多卖出5件”求出比例系数，即可得一个星期的商品销售利润表示成的函数；（2）根据（1）中得到的函数，利用导数研究其极值，也就是求出函数的极大值，从而得出定价为多少元时，能使一个星期的商品销售利润最大.试题解析：（1）依题意，设，由已知有，从而3分7分（2） 9分由得，由得或可知函数在上递减，在递增，在上递减 11分从而函数取得最大值的可能位置为或是，当时， 13分答：商品每件定价为9元时，可使一个星期的商品销售利润最大 14分.【考点】1.函数模型及其应用；2.导数的实际应用.10.某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交3元的管理费，预计当每件产品的售价为元（∈[7,11]）时，一年的销售量为万件．（1）求分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值．【答案】（1）（ｘ）＝（ｘ－6），ｘ．（2）当每件产品的售价为8元时，分公司一年的利润最大，的最大值为32【解析】（1）（ｘ）＝（ｘ－6），ｘ． 4分（2）（ｘ）＝3（ｘ－12）（ｘ－8）,ｘ．当ｘ时，（ｘ）＞0，（ｘ）单增；当ｘ时，（ｘ）＜0，（ｘ）单减。
人教版高中数学高二选修2-2课时作业1-2导数的计算
课时作业2 导数的计算一、选择题1．若对任意x 属于R ，f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则f (x )是( )A ．f (x )＝x 4B ．f (x )＝x 4－2C ．f (x )＝4x 3－5D ．f (x )＝x 4＋2设f (x )＝x 4＋b ，∵f (1)＝－1，∴b ＝－2，∴f (x )＝x 4－2.故应选B.B2．函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数是( ) A.12(e x －e －x ) B.12(e x ＋e －x ) C ．e x －e －x D ．e x ＋e －xy ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(e x ＋e －x )′＝12(e x －e －x )． 故应选A.A3．若函数y ＝x 2＋a 2x (a ＞0)的导数为0，则实数x 是( )A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2，由x 2－a 2＝0得x ＝±a .故应选B.B4．函数f (x )＝2a 3＋5a 2x 2－x 6的导数为( )A ．6a 2＋10ax 2－x 6B ．2a 3＋10a 2x －6x 5C ．10a 2x －6x 5D ．5a 2x －6x 5f ′(x )＝(2a 3＋5a 2x 2－x 6)′＝10a 2x －6x 5.故应选C.C5．下列函数在x ＝0处没有切线的是( )A ．y ＝3x 2＋cos xB ．y ＝x sin xC ．y ＝1x ＋2xD ．y ＝1cos x∵y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＋(2x )′＝－1x 2＋2， ∴当x ＝0时，函数无定义，且y ′不存在，故该函数在x ＝0处没有切线．故应选C.C6．若曲线y ＝x n 在x ＝2处的导数为12，则n ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4y ′＝(x n )′＝n ·x n －1.由n ·2n －1＝12得n ＝3.故应选C.C7．已知函数f (x )在x ＝1处的导数为3，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝(x －1)3＋3(x －1)B ．f (x )＝2(x －1)C ．f (x )＝2(x －1)2D ．f (x )＝x －1f (x )＝(x －1)3＋3(x －1)，∵f ′(x )＝3(x －1)2＋3，∴f ′(1)＝3.故应选A.A8．设函数y ＝f (x )是线性函数，已知f (0)＝1，f (1)＝－3，则f ′(x )＝( )A ．4xB ．－4C ．－2D ．6由f (x )是线性函数，可设f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，且a ≠0)，由f (0)＝1，f (1)＝－3，解得a ＝－4，b ＝1，∴f (x )＝－4x ＋1，∴f ′(x )＝－4.故应选B.B二、填空题9．曲线y ＝4x 3在点Q (16,8)处的切线的斜率是________．∵y ＝x 34 ，∴y ′＝34x 34 -1 ＝34x -14 ， ∴y ′| x =16＝38.3810．曲线y ＝x 3＋x ＋1在点(1,3)处的切线方程是________．令f (x )＝x 3＋x ＋1，由导数的几何意义知在点(1,3)处的切线斜率k ＝f ′(1)＝3×12＋1＝4.所以由点斜式得切线方程为y －3＝4(x －1)，即4x －y －1＝0.4x －y －1＝1011．曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴、直线x ＝2所围成的三角形的面积为________．y ′＝3x 2，所以k ＝y ′⎪⎪x ＝1＝3，所以切线方程为y －1＝3(x －1)，即y ＝3x －2.由⎩⎨⎧ y ＝3x －2x ＝2，解得⎩⎨⎧ x ＝2y ＝4，所以S ＝12×43×4＝83. 83 12．曲线y ＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴、直线x ＝a 所围成的三角形的面积为16，则a ＝________. y ′＝3x 2，所以切线方程为y －a 3＝3a 2(x －a )，即y ＝3a 2x －2a 3.可求得切线与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，0，与直线x ＝a 的交点为(a ，a 3)，所以三角形面积为S ＝12×a 3×a 3＝16，解得a ＝±1. ±1三、解答题13．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1,1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a ，b ，c 的值．∵曲线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点P (1,1)，∴a ＋b ＋c ＝1. ① ∵y ′＝2ax ＋b ，∴y ′|x =2＝4a ＋b ，∴4a ＋b ＝1. ②又曲线过点Q (2，－1)，∴4a ＋2b ＋c ＝－1. ③ 联立①②③解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.14．(1)求曲线y ＝2x x 2＋1在点(1,1)处的切线方程； (2)运动曲线方程为S ＝t －1t 2＋2t 2，求t ＝3时的速度． (1)∵y ′＝2(x 2＋1)－2x ·2x (x 2＋1)2 ＝2－2x 2(x 2＋1)2，y ′| x =1＝2－24＝0， 即曲线在点(1,1)处的切线斜率k ＝0，因此曲线y ＝2x x 2＋1在(1,1)处的切线方程为y ＝1.(2)S ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t －1t 2′＋(2t 2)′ ＝t 2－2t (t －1)t 4＋4t＝－1t 2＋2t 3＋4t . S ′| t =3＝－19＋227＋12＝112627. 15．已知函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 为偶函数，它的图象过点A (0，－1)，且在x ＝1处的切线方程为2x ＋y －2＝0，求函数y ＝f (x )的表达式．∵f (x )是偶函数，f (－x )＝f (x )，∴b ＝d ＝0，f (x )＝ax 4＋cx 2＋e ，又∵图象过点A (0，－1)，∴e ＝－1，∴f (x )＝ax 4＋cx 2－1，f ′(x )＝4ax 3＋2cx ，当x ＝1时，f ′(1)＝4a ＋2c ＝－2， ①对于2x ＋y －2＝0，当x ＝1时，y ＝0.∴点(1,0)在f (x )图象上，∴a ＋c －1＝0. ②由①②解得a ＝－2，c ＝3，因此f (x )＝－2x 4＋3x 2－1.16．已知曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－(x －2)2，直线l 与C 1，C 2都相切，求直线l 的方程．设l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于点Q (x 2，－(x 2－2)2)．对C 1：y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 21＝2x 1(x－x 1)，即y ＝2x 1x －x 21. ①对C 2：y ′＝－2(x －2)，则与C 2相切于点Q 的切线方程为y ＋(x 2－2)2＝－2(x 2－2)(x －x 2)，即y ＝－2(x 2－2)x ＋x 22－4.② ∵两切线重合，∴⎩⎨⎧ 2x 1＝－2(x 2－2)－x 21＝x 22－4，解得⎩⎨⎧ x 1＝0x 2＝2或⎩⎨⎧ x 1＝2x 2＝0，∴直线方程为y ＝0或y ＝4x －4.。
人教版高中数学高二选修2-2课时作业1-3导数在研究函数中的应用
课时作业3 导数在研究函数中的应用一、选择题1．函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋1的单调递减区间是( ) A ．(1,2) B ．(2，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－∞，1)，(2，＋∞)∵f ′(x )＝6x 2－18x ＋12，令f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＜0，解得1＜x ＜2.故应选A. A2．如果函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋1(a 为常数)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)内单调递增，且在区间(0,2)内单调递减，则实数a 的值为( )A ．1B ．2C ．－6D ．－12∵f ′(x )＝6x 2＋2ax ，令6x 2＋2ax ＜0，当a ＞0时，解得－a3＜x＜0，不合题意；当a ＜0时，解得0＜x ＜－a 3，由f (x )在(0,2)上单调递减，∴－a3＝2，即a ＝－6.故应选C. C3．函数f (x )＝2x 2－ln x 的递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0及⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 ∵f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴f ′(x )＝4x －1x >0⇒x >12，∴f (x )的递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 故应选C. C4．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)有( ) A ．极大值为5，极小值为－27 B ．极大值为5，极小值为－11 C ．极大值为5，无极小值 D ．极大值为－27，无极小值f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x ＋1)(x －3)，令f ′(x )＝0， 得x 1＝－1，x 2＝3.当－2<x <－1时，f ′(x )>0；当－1<x <2时，f ′(x )<0.所以当x ＝－1时，f (x )有极大值，f (x )极大值＝f (－1)＝5，无极小值．故应选C. C5．函数y ＝－x 3－x 2＋2的极值情况是( ) A ．有极大值，没有极小值 B ．有极小值，没有极大值C ．既无极大值也无极小值D ．既有极大值又有极小值∵y ′＝－3x 2－2x ＝0，解得x ＝0或x ＝－23.当x ＜－23时，y ′＞0；当－23＜x ＜0时，y ′＜0；当x ＞0时，y ′＞0，∴x ＝－23时，y 有极大值；x ＝0时，y 有极小值．故应选D. D6．三次函数当x ＝1时有极大值4，当x ＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是( )A ．y ＝x 3＋6x 2＋9xB ．y ＝x 3－6x 2＋9xC ．y ＝x 3－6x 2－9xD ．y ＝x 3＋6x 2－9x由三次函数过原点，可设f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ， 则f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由题设有⎩⎨⎧f ′(1)＝3＋2b ＋c ＝0f ′(3)＝27＋6b ＋c ＝0，解得b ＝－6，c ＝9. ∴f (x )＝x 3－6x 2＋9x ，f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)．当x ＝1时，函数f (x )取得极大值4，当x ＝3时，函数取得极小值0，满足条件．故应选B. B7．函数y ＝x · e －x ，x ∈[0,4]的最小值为( ) A ．0 B.1e C.4e 4 D.2e2∵f ′(x )＝e －x ＋x ·e －x (－1)，令f ′(x )＝0得x ＝1，又f (0)＝0，f (1)＝e －1＝1e ，f (4)＝4e －4＝4e4，∴f (x )min ＝0. 故应选A. A8．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f (x )的极值为( )A ．极大值为427，极小值为0B ．极大值为0，极小值为427C ．极小值为－427，极大值为0D ．极大值为－427，极小值为0∵f ′(x )＝3x 2－2px －q ， ∴f ′(1)＝3－2p －q ＝0 ① 又f (1)＝1－p －q ＝0 ②由①②解得p ＝2，q ＝－1，即f (x )＝x 3－2x 2＋x ，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1.令3x 2－4x ＋1＝0，解得x 1＝13，x 2＝1.当x ＜13时，f ′(x )＞0；当13＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当x ＞1时，f ′(x )＞0.∴当x ＝13时，f (x )有极大值为427，当x ＝1时，f (x )有极小值为0.故应选A. A 二、填空题9．函数f (x )＝2x 3－6x 2－18x ＋7的极大值为________，极小值为________．f ′(x )＝6x 2－12x －18，令f ′(x )＝0，得6x 2－12x －18＝0，解得x ＝－1或x ＝3.又当x <－1或x >3时，f ′(x )>0，当－1<x <3时，f ′(x )<0.所以f (x )极大＝f (－1)＝17，f (x )极小＝f (3)＝－49.17 －4910．函数y ＝ax 3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，则a 的取值为________．y ′＝3ax 2－1，因为函数y ＝ax 3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，所以3ax 2－1<0在R 上恒成立，即ax 2<13恒成立，所以a <0.a <011．若函数y ＝f (x )可导，则“f ′(x )＝0有实根”是“f (x )有极值”的________条件．由定义可知f ′(x )＝0有实根，则f (x )一定有极值，反之则不一定，例如y ＝|x |在x ＝0处无极值．故是充分不必要条件．充分不必要12．函数y ＝12x 2－ln x 的递减区间是________．令y ′＝x －1x ＝(x ＋1)(x －1)x <0，解之得x <－1或0<x <1，结合函数的定义域，可得(0,1)．(0,1) 三、解答题13．求函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋5的极值．f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x 2－2x －3)，解方程x 2－2x －3＝0，得x 1＝－1，x 2＝3.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化状态如下表：因此，当x ＝－1时，f (x )有极大值，且f (－1)＝10；当x ＝3时，f (x )有极小值，且f (3)＝－22.14．设函数f (x )＝ln(2x ＋3)＋x 2. (1)讨论f (x )的单调性；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，14的最大值和最小值．f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞.(1)f ′(x )＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3＝2(2x ＋1)(x ＋1)2x ＋3.当－32＜x ＜－1时，f ′(x )＞0；当－1＜x ＜－12时，f ′(x )＜0；当x ＞－12时，f ′(x )＞0.从而，f (x )分别在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，－1，⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12上单调递减．(2)由(1)知f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，14的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝ln2＋14.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝ln 32＋916－ln 72－116＝ln 37＋12＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ln 499＜0，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，14的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝116＋ln 72.15．设函数f (x )＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(x ∈R ，t ＞0)． (1)求f (x )的最小值h (t )；(2)若h (t )＜－2t ＋m 对t ∈(0,2)恒成立，求实数m 的取值范围． (1)∵f (x )＝t (x ＋t )2－t 3＋t －1 (x ∈R ，t ＞0)， ∴当x ＝－t 时，f (x )取最小值f (－t )＝－t 3＋t －1， 即h (t )＝－t 3＋t －1.(2)令g (t )＝h (t )－(－2t ＋m )＝－t 3＋3t －1－m .由g ′(t )＝－3t 2＋3＝0得t ＝1，t ＝－1不合题意，舍去．当t 变化时g ′(t )，g (t )的变化情况如下表：∴g (t )在(0,2)内有最大值g (1)＝1－m .h (t )＜－2t ＋m 在(0,2)内恒成立等价于g (t )＜0在(0,2)内恒成立，即等价于1－m ＜0，∴m 的取值范围为m ＞1.16．设函数f (x )＝2x 3＋3ax 2＋3bx ＋8c 在x ＝1及x ＝2时取得极值．(1)求a ，b 的值；(2)若对于任意的x ∈[0,3]，都有f (x )＜c 2成立，求c 的取值范围． (1)∵f ′(x )＝6x 2＋6ax ＋3b ， 又f (x )在x ＝1及x ＝2时取得极值，∴⎩⎨⎧f ′(1)＝6＋6a ＋3b ＝0， ①f ′(2)＝24＋12a ＋3b ＝0. ②由①②解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝4.(2)若对于任意的x ∈[0,3]，都有f (x )＜c 2成立，只需让f (x )在x∈[0,3]上的最大值小于c2即可．由(1)知f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．令f′(x)＝0得x＝1或x＝2，列表得：可知y＝f(x)在x∈[0,3]上的最大值为f(3)＝9＋8c，∴9＋8c＜c2，解得c＜－1或c＞9.∴c的取值范围是(－∞，－1)∪(9，＋∞)．。
高中数学选修2-2精品学案：习题课 导数的应用
学习目标1.能利用导数研究函数的单调性.2.理解函数的极值、最值与导数的关系.3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用．知识点一函数的单调性与其导数的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)知识点二求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极大值．(2)如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极小值．知识点三函数y＝f(x)在[a，b]上最大值与最小值的求法(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．(2)将函数y＝f(x)的各__________与端点处的函数值________比较，其中________的一个是最大值，________的一个是最小值．类型一 构造法的应用命题角度1 比较函数值的大小例1 已知定义在(0，π2)上的函数f (x )，f ′(x )是它的导函数，且恒有sin x ·f ′(x )>cos x ·f (x )成立，则( ) A.2f (π6)>f (π4)B.3f (π6)>f (π3)C.6f (π6)>2f (π4)D.3f (π6)<f (π3)反思与感悟 此类题目的关键是构造出恰当的函数，利用函数的单调性确定函数值的大小． 跟踪训练1 已知定义域为R 的奇函数f (x )的导函数为f ′(x )，当x ≠0时，f ′(x )＋f (x )x <0，若a ＝12f (12)，b ＝－2f (－2)，c ＝(ln 12)f (ln 12)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( )A ．a <c <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．c <a <b命题角度2 求解不等式例2 定义域为R 的可导函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )，满足f (x )>f ′(x )，且f (0)＝2，则不等式f (x )<2e x 的解集为( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，2) C ．(0，＋∞)D ．(2，＋∞) 反思与感悟 构造恰当函数并判断其单调性，利用单调性得到x 的取值范围．跟踪训练2 定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝1，且对任意的x ∈R 都有f ′(x )<13，则不等式f (lg x )>lg x ＋23的解集为________．类型二 利用导数研究函数的极值与最值例3 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b 的图象上一点P (1,0)，且在点P 处的切线与直线3x ＋y ＝0平行．(1)求函数f (x )的[解析]式；(2)求函数f (x )在区间[0，t ](0<t <3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x 的方程f (x )＝c 在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c 的取值范围．反思与感悟 (1)求极值时一般需确定f ′(x )＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点． (2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．跟踪训练3 已知a ，b 为常数且a >0，f (x )＝x 3＋32(1－a )x 2－3ax ＋b .(1)函数f (x )的极大值为2，求a ，b 间的关系式；(2)函数f (x )的极大值为2，且在区间[0,3]上的最小值为－232，求a ，b 的值．类型三 数形结合思想的应用例4 已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，给出以下说法：①函数f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数； ②函数f (x )在区间(－1,1)上单调递增； ③函数f (x )在x ＝－12处取得极大值；④函数f (x )在x ＝1处取得极小值． 其中正确的说法是________．反思与感悟 解决函数极值与函数、导函数图象的关系时，应注意(1)对于导函数的图象，重点考查导函数的值在哪个区间上为正，在哪个区间上为负，在哪个点处与x 轴相交，在交点附近导函数值是怎样变化的．(2)对于函数的图象，函数重点考查递增区间和递减区间，进而确定极值点．跟踪训练4 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )1．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则x21＋x22等于()A.43B.73C.83D.1632．已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意的正数a ，b ，若a <b ，则必有( ) A ．bf (b )≤af (a ) B ．bf (a )≤af (b ) C ．af (a )≤bf (b )D ．af (b )≤bf (a )3．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝1，对任意的x ∈R ，f ′(x )>3，则f (x )>3x ＋4的解集为________．4．已知函数f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，若对于任意x ∈[－1,2]，都有f (x )<m ，则实数m 的取值范围是________________________________________________________________________．导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决．不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法．[答案]精析知识梳理 知识点一 增 减 知识点二(1)f ′(x )>0 f ′(x )<0 (2)f ′(x )<0 f ′(x )>0 知识点三(2)极值 f (a )，f (b ) 最大 最小 题型探究例1 D [由f ′(x )sin x >f (x )cos x ， 则f ′(x )sin x －f (x )cos x >0， 构造函数g (x )＝f (x )sin x，则g ′(x )＝f ′(x )sin x －f (x )cos xsin 2x .当x ∈(0，π2)时，g ′(x )>0，即函数g (x )在(0，π2)上单调递增，∴g (π6)<g (π3)，∴3f (π6)<f (π3)，故选D.]跟踪训练1 B [令g (x )＝xf (x )， 则g (－x )＝－xf (－x )＝xf (x )， ∴g (x )是偶函数． g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∵f ′(x )＋f (x )x<0，∴当x >0时，xf ′(x )＋f (x )<0， 当x <0时，xf ′(x )＋f (x )>0.∴g (x )在(0，＋∞)上是减函数． ∵12<ln 2<1<2， ∴g (2)<g (ln 2)<g (12)．∵g (x )是偶函数，∴g (－2)＝g (2)，g (ln 12)＝g (ln 2)，∴g (－2)<g (ln 12)<g (12)．故选B.]例2 C [设g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x .∵f (x )>f ′(x )， ∴g ′(x )<0，即函数g (x )在定义域上单调递减． ∵f (0)＝2，∴g (0)＝f (0)＝2， 则不等式等价于g (x )<g (0)． ∵函数g (x )单调递减，∴x >0，∴不等式的解集为(0，＋∞)，故选C.] 跟踪训练2 (0,10)[解析] ∵f ′(x )<13，∴f ′(x )－13<0，∴f (x )－x ＋23在R 上为减函数．设F (x )＝f (x )－x ＋23，则F (x )在R 上为减函数．∵f (1)＝1，∴F (1)＝f (1)－1＝1－1＝0.由f (lg x )>lg x ＋23，得f (lg x )－lg x ＋23>0，∴F (lg x )>F (1)． ∵F (x )在R 上单调递减， ∴lg x <1，∴0<x <10， ∴原不等式的解集为(0,10)．例3 解 (1)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ，曲线在P (1,0)处的切线斜率为f ′(1)＝3＋2a ，即3＋2a ＝－3，a ＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b ＝0，b ＝2. 所以a ＝－3，b ＝2，f (x )＝x 3－3x 2＋2. (2)由f (x )＝x 3－3x 2＋2， 得f ′(x )＝3x 2－6x .由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.①当0<t ≤2时，在区间(0，t )上，f ′(x )<0，f (x )在[0，t ]上是减函数，所以f (x )max ＝f (0)＝2，f (x )min ＝f (t )＝t 3－3t 2＋2.②当2<t <3时，当x 变化时，f ′(x )， f (x )的变化情况如下表：f (x )min ＝f (2)＝－2，f (x )max 为f (0)与f (t )中较大的一个． f (t )－f (0)＝t 3－3t 2＝t 2(t －3)<0， 所以f (x )max ＝f (0)＝2.(3)令g (x )＝f (x )－c ＝x 3－3x 2＋2－c ，则g ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．在x ∈[1,2)上，g ′(x )<0；在x ∈(2,3]上，g ′(x )>0. 要使g (x )＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根， 则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0，g (2)<0，g (3)≥0，解得－2<c ≤0.跟踪训练3 解 (1)f ′(x )＝3x 2＋3(1－a )x －3a ＝3(x －a )(x ＋1)， 令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝a ， 因为a >0，所以x 1<x 2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以当x ＝－1时，f (x )有极大值2，即3a ＋2b ＝3.(2)当0<a <3时，由(1)知，f (x )在[0，a )上为减函数，在(a,3]上为增函数， 所以f (a )为最小值， f (a )＝－12a 3－32a 2＋b .即－12a 3－32a 2＋b ＝－232.又由b ＝3－3a 2，于是有a 3＋3a 2＋3a －26＝0， 即(a ＋1)3＝27，所以a ＝2，b ＝－32.当a >3时，由(1)知f (x )在[0,3]上为减函数，即f (3)为最小值，f (3)＝－232，从而求得a ＝10748，不合题意，舍去．综上，a ＝2，b ＝－32.例4 ①④[解析] 对于①，由图象知，当x ∈(1，＋∞)时，xf ′(x )>0，故f ′(x )>0，∴f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．对于②，当x ∈(－1,0)时，xf ′(x )>0，故f ′(x )<0；当x ∈(0,1)时，xf ′(x )<0，故f ′(x )<0.所以当x ∈(－1,0)∪(0,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(－1,0)，(0,1)上是减函数．对于③，由②知f (x )在(－1,0)上单调递减，∴x ＝－12不是极值点，由①②知④是正确的，故填①④.跟踪训练4 A [∵函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )， 且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值， ∴当x >－2时，f ′(x )>0； 当x ＝－2时，f ′(x )＝0； 当x <－2时，f ′(x )<0. ∴当－2<x <0时，xf ′(x )<0； 当x ＝－2时，xf ′(x )＝0； 当x <－2时，xf ′(x )>0. 由此观察四个选项，故选A.] 当堂训练1．C 2.A 3.(－1，＋∞) 4.(7，＋∞)。
人教版数学高二A版选修2-2作业 第一章 导数及其应用 1.1.1
第一章 1.1 1.1.1A 级 基础巩固一、选择题1．已知函数f (x )＝x 2＋4上两点A 、B ，x A ＝1，x B ＝1．3，则直线AB 的斜率为( B )A ．2B ．2．3C ．2．09D ．2．1 [解析] f (1)＝5，f (1．3)＝5．69．∴k AB ＝f (1.3)－f (1)1.3－1＝5.69－50.3＝2．3，故应选B ． 2．已知函数f (x )＝－x 2＋x ，则f (x )从－1到－0．9的平均变化率为( D )A ．3B ．0．29C ．2．09D ．2．9 [解析] f (－1)＝－(－1)2＋(－1)＝－2．f (－0．9)＝－(－0．9)2＋(－0．9)＝－1．71．∴平均变化率为f (－0.9)－f (－1)－0.9－(－1)＝－1.71－(－2)0.1＝2．9，故应选D ． 3．一运动物体的运动路程S (x )与时间x 的函数关系为S (x )＝－x 2＋2x ，则S (x )从2到2＋Δx 的平均速度为( B )A ．2－ΔxB ．－2－ΔxC ．2＋ΔxD ．(Δx )2－2·Δx[解析] ∵S (2)＝－22＋2×2＝0，∴S (2＋Δx )＝－(2＋Δx )2＋2(2＋Δx )＝－2Δx －(Δx )2，∴S (2＋Δx )－S (2)2＋Δx －2＝－2－Δx ，故应选B ． 4．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx ，f (1＋Δx ))，则Δy Δx＝( B ) A ．4B ．4＋2ΔxC ．4＋2(Δx )2D ．4x[解析] Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2＋1＝2·(Δx )2＋4·Δx ，所以Δy Δx＝2Δx ＋4． 二、填空题5．已知函数y ＝x 3－2，当x ＝2时，Δy Δx＝(Δx )2＋6Δx ＋12． [解析] Δy Δx ＝(2＋Δx )3－2－(23－2)Δx＝(Δx )3＋6(Δx )2＋12Δx Δx＝(Δx )2＋6Δx ＋12．6．(2018·阿拉善左旗校级期末)若函数y ＝x 2－1的图象上的点A (1,0)，则当Δx ＝0．1时的平均变化率是2．1．A 点处的导数是2．[解析] Δy ＝(1＋Δx )2－1＋1＝2Δx ＋Δx 2，∴Δy Δx＝2＋Δx ， 当Δx ＝0．1时，平均变化率为2．1，∵y ′＝2x ，∴y ′|x ＝1＝2，故答案为2．1,2．三、解答题7．已知某质点的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)存在函数关系s ＝2t 2＋2t ，求：(1)该质点在前3s 内的平均速度；(2)该质点在2s 到3s 内的平均速度．[解析] (1)∵Δs ＝s (3)－s (0)＝24，Δt ＝3，∴Δs Δt ＝243＝8(m/s)． (2)∵Δs ＝s (3)－s (2)＝12，Δt ＝1，∴Δs Δt ＝121＝12(m/s)． B 级 素养提升一、选择题1．在x ＝1附近，取Δx ＝0．3，在四个函数①y ＝x 、②y ＝x 2、③y ＝x 3、④y ＝1x中，平均变化率最大的是( B )A ．④B ．③C ．②D ．①[解析] Δx ＝0．3时，①y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率k 1＝1；②y ＝x 2在x ＝1附近的平均变化率k 2＝2＋Δx ＝2．3；③y ＝x 3在x ＝1附近的平均变化率k 3＝3＋3Δx ＋(Δx )2＝3．99；④y ＝1x 在x ＝1附近的平均变化率k 4＝－11＋Δx＝－1013．∴k 3＞k 2＞k 1＞k 4，故应选B ． 2．汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为( C )A ．v 2＝v 3<v 1B ．v 1<v 2＝v 3C ．v 1<v 2<v 3D ．v 2<v 3<v 1[解析] ∵v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC ，由图象易知k OA <k AB <k BC ，∴v 1<v 2<v 3，故选C ．二、填空题3．(2018·汉台区期末)函数f (x )＝x 2＋2x ＋3在自变量x 从1变化到3的过程中的平均变化率是6．[解析] Δx ＝3－1＝2，Δy ＝32＋6＋3－(12＋2＋3)＝12．所以函数的平均变化率为122＝6． 故答案为6．4．过曲线f (x )＝2x 2的图象上两点A (1,2)，B (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线AB ，当Δx ＝14时割线的斜率为－7225． [解析] 割线AB 的斜率k ＝(2＋Δy )－2(1＋Δx )－1＝Δy Δx＝2(1＋Δx )2－2Δx ＝－2(Δx ＋2)(1＋Δx )2＝－7225． 三、解答题5．比较y ＝x 3与y ＝x 2在x ＝2附近平均变化率的大小．[解析] 当自变量x 从x ＝2变化到x ＝2＋Δx 时，y ＝x 3的平均变化率k 1＝(2＋Δx )3－23Δx＝(Δx )2＋6Δx ＋12，y ＝x 2的平均变化率k 2＝(2＋Δx )2－22Δx＝Δx ＋4， ∵k 1－k 2＝(Δx )2＋5Δx ＋8＝(Δx ＋52)2＋74>0， ∴k 1>k 2．∴在x ＝2附近y ＝x 3的平均变化率较大．6．若函数y ＝f (x )＝－x 2＋x 在[2,2＋Δx ](Δx >0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的取值范围．[解析] ∵函数y ＝f (x )在[2,2＋Δx ]上的平均率为Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝－(2＋Δx )2＋(2＋Δx )－(－4＋2)Δx ＝－4Δx ＋Δx －(Δx )2Δx＝－3－Δx ， ∴由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2．又∵Δx >0，∴Δx >0，即Δx 的取值范围是(0，＋∞)．。
高二-03-导数的应用
导数是研究函数单调性的最佳工具，从导数的正负就可以直接判断函数的单调性：定理：在某个区间(),I a b=上，如果()0f x'>，则函数()y f x=在区间(),a b上严格增；如果()0f x'<，则函数()y f x=在区间(),a b上严格递减.说明：在导数值都存在的情况下，导数值由正变负或由负变正的过程中会出现导数等于零的点，即函数的驻点；因此，要把函数的单调增区间和单调减区间划分出来，就要先找到函数的驻点，然后再看驻点两侧导数值的正负是否发生变化，如果发生变化了，此驻点就成为单调增区间与单调减区间的分界点.注意：（1）在某个区间(),I a b=上，如果()=0f x'，则函数为常值函数.（2）有时驻点并不是单调增区间与单调减区间的分界点，如()3f x x=的驻点是0x=，但两侧导数值均为正，所以函数在R上单调增.（3）函数没有定义的点，也可能成为单调增、减区间的分界点.（4）导数()0'f x是函数()y f x=在x处切线的斜率，当()0'f x的越大，函数图像越陡，函数值的变化越快.【例1】f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图像如图所示，则函数y＝f(x)的图像可能是（）【难度】★第3讲导数的应用知识梳理例题分析模块一：利用导数研究函数的单调性~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~【例2】函数f (x )的导函数y ＝f′(x )的图像如图，则函数f (x )的严格单调递增区间为 .【难度】★【例3】函数f （x ）＝e x ﹣x 的单调递增区间为 ．【难度】★★【例4】函数f (x )＝x －2sin x 在(0，π)上的单调增区间为 .【难度】★★【例5】若函数2()f x x lnx ax =+−在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．【难度】★★【例6】已知函数()ln 2f x x ax =−−在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为________.【难度】★★【例7】若33sin cos cos sin θθθθ−−，02θπ<，则角θ的取值范围是 ．【难度】★★【例8】已知函数()x x f x e e −=+，且(2)(23)f m f m +−，则实数m 的取值范围是 ．【难度】★★知识点一、函数极值的定义函数()y f x =在0x 处存在一个小区间，若在该区间内的函数值都不大于()0f x ，那么()y f x =在0x 处取得极大值()0f x ，0x 为函数()y f x =的极大值点；若在该区间内的函数值都不小于()0f x ，那么()y f x =在0x 处取得极小值()0f x ，0x 为函数()y f x =的极小值点. 极小值点和极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.知识点二、定理设点0x x =是函数()y f x =的驻点.（1）若在点0x 的左侧附近有()0f x '>，而在点0x 的右侧附近有()0f x '<，则函数()y f x =在0x 处取得极大值；（2）若在点0x 的左侧附近有()0f x '<，而在点0x 的右侧附近有()0f x '>，则函数()y f x =在0x 处取得极小值.注：把驻点与驻点所划分的区间列表，可以简明清晰地呈现函数增减情况和极值点.总结：求可导函数y ＝f (x )的极值的方法.解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时：（1）如果在x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，那么f (x 0)是极大值;（2）如果在x 0附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，那么f (x 0)是极小值.【例1】若f （x ）在区间（a ，b ）内有定义，且x 0∈（a ，b ），则“f′（x 0）＝0”是“x 0是函数f （x ）的极值点”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分条件也非必要条件【难度】★模块二：利用导数研究函数极值 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 例题分析 知识梳理【例2】函数f (x )的定义域为R ，导函数f′(x )的图像如图所示，则函数f (x )（ ）A ．无极大值点，有四个极小值点B ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点【难度】★【例3】函数()f x 的导函数()f x '的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的极小值点为1x ，4xB ．()f x 的极大值点为2xC ．()f x '有唯一的极小值D ．函数()f x 在(),a b 上的极值点的个数为2 【难度】★★【例4】已知函数f （x ）＝ax 3+bx 2+cx ，其导函数y ＝f′（x ）的图像经过点（1，0），（2，0），如图所示，则下列说法中正确结论的序号为 ．① 当32x =时函数取得极小值； ② f （x ）有两个极值点；③ 当x ＝2时函数取得极小值；④ 当x ＝1时函数取得极大值．【难度】★★【例5】函数()ln x f x x=的极大值为 . 【难度】★★【例6】已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在3x =−处取得极值，则a ＝ .【难度】★★【例7】若1x =是函数()()3221f x ax x a x =+−++的极值点，则实数a =_______．【难度】★★【例8】已知函数()33f x x x a =−++，a R ∈，若存在三个互不相等的实数m 、n 、p ，使得()()()2022f m f n f p ===，则实数a 的取值范围是______．【难度】★★【例9】已知函数22()(0)f x lnx ax a x a =+−．（1）若1x =是函数()y f x =的极值点，求a 的值；（2）求函数()y f x =的单调区间．【难度】★★【例10】已知函数2()xx x f x e +=． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）记曲线:()C y f x =在0x =处的切线为l ，求证：l 与C 有且仅有1个公共点．【难度】★★一般地，如果在区间[,]a b 上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么该函数在[,]a b 上一定能够取得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点取得. 注：给定函数的区间必须是闭区间，()y f x =在开区间上虽然连续但不能保证有最大值和最小值.总结：函数最值的求法函数()y f x =在区间[,]a b 上的最值可分两种情况进行讨论：1. 当函数()y f x =单调时：()y f x =的最值在区间端点处取得，先求导判断函数单调增或单调减.2. 当函数()y f x =不单调时：（1）求函数()y f x =在区间(,)a b 内的极值；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f a 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【例1】函数f (x )＝2x －cos x 在(－∞，＋∞)上（ ）A ．无最值B ．有极值C ．有最大值D ．有最小值【难度】★【例2】函数f (x )＝sin 2x －x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的最大值为 和最小值为 . 【难度】★【例3】函数()x f x e x =−在区间[]1,1−上的最大值是________．【难度】★★模块三：利用导数研究函数的最值 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 例题分析知识梳理【例4】若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则实数a 的取值范围是 .【难度】★★【例5】已知函数()ln f x x a =+，()1x g x e =−，若()()f x g x <在()1,+∞上恒成立，则实数a 的取值范围是_________.【难度】★★【例6】函数y ＝f （x ）的定义域为（﹣2，2），解析式f （x ）＝x 4﹣4x 2+1．则下列结论中正确的是（ ）A ．函数y ＝f （x ）既有最小值也有最大值B ．函数y ＝f （x ）有最小值但没有最大值C ．函数y ＝f （x ）恰有一个极小值点D ．函数y ＝f （x ）恰有两个极大值点【难度】★★【例7】已知x ＝2是函数y ＝4lnx +x 2﹣3ax 的极值点，则该函数在[1，4]上的最大值是 ．【难度】★★【例8】函数()ln 2f x x x =−−的最大值为__________．【难度】★★【例9】已知函数g (x )＝aln x ＋x 2－(a ＋2)x (a ∈R )．（1）若a ＝1，求g (x )在区间[1，e ]上的最大值；（2）求g (x )在区间[1，e ]上的最小值h (a )．【难度】★★【例10】已知函数()ln f x x =，()12g x ax b =+，函数()f x 与()g x 在1x =处有相同的切线．（1）求a+2b 的值；（2）解关于x 的不等式()()f x g x <．【难度】★★★导数为研究函数的单调性、极值与最值提供了有力的工具；利用这一工具，我们可以对熟悉的二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠进行回顾和再认识；以下仅讨论0a >的情况. 模块四：利用导数研究二次函数 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 知识梳理首先利用导数的正负来判断函数2()(0)f x ax bx c a =++>的单调性，同时求出它的极值；记2()(0)f x ax bx c a =++>求导得()2f x ax b =+'，令()20f x ax b =+='得驻点02b x a =−，进而得出单调区间和最值.【例1】已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，且对于任意实数x 有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为 . 【难度】★【例2】若函数3y x ax =−+在[)1,+∞上严格减，则a 的取值范围是________．【难度】★【例3】函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋5的极大值为 ；极小值为 .【难度】★【例4】函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a 在区间[0，2]上的最大值是3，则a 的值为 .【难度】★★【例5】已知函数()32391f x x x x =+−+在区间[],2k 上的最大值为28，则实数k 的取值范围为______．【难度】★★例题分析【例6】设函数f (x )＝x 3－3x ＋1.（1）求函数f (x )的单调区间和极值；（2）若关于x 的方程f (x )＝a 有三个不同实根，求实数a 的取值范围；【难度】★★生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题；所谓生活中的优化问题，其实就是求最值或求最值条件的实际应用问题，导数是求最值的有力工具，因此和函数有关的优化问题可利用导数来研究.由此思路可得用导数解决优化问题的步骤：（1）分析实际问题中各量之间的关系，构建实际问题的函数模型，进而求出函数解析式()y f x =；（2）求函数()y f x =的导数()y f x ''=，解方程()0f x '=；（3）比较函数在区间端点和使()0f x '=的点的函数值的大小，确定最值或最值条件；（4）将问题还原到实际问题中作答；模块五：利用导数解决实际问题 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 知识梳理【例1】已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 万件. 【难度】★【例2】某产品的销售收入y 1(万元)是产品x (千台)的函数：y 1＝17x 2(x >0)；生产总成本y 2(万元)也是x 的函数：y 2＝2x 3－x 2(x >0)，为使利润最大，应生产（ ）A ．9千台B ．8千台C ．6千台D ．3千台【难度】★【例3】书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库存费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分______次进货、每次进______册，可使所付的手续费与库存费之和最少．【难度】★★【例4】已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x 2在x 轴上方的曲线上，求：这个矩形面积最大时的长和宽.【难度】★★例题分析【例5】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（1）求k的值及f(x)的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值．【难度】★★【例6】有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD（如图甲所示），其中OEMF是以O为圆心、120EOF∠=︒的扇形，且弧EF，弧GH分别与边BC、AD相切于点M、N．剪去图中的阴影部分，剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计）．（1）当BE长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？【难度】★★★1. 函数21ln 2y x x =−的严格单调递减区间为 . 【难度】★2. 函数3()6f x ax x =−的一个极值点为1，则()f x 的极大值是 ．【难度】★3. 已知定义在（﹣3，3）上的奇函数y ＝f （x ）的导函数是f '（x ），当x ≥0时，y ＝f （x ）的图像如图所示，则关于x 的不等式()0f x x '>的解集为 ．【难度】★★4. 已知函数32()+f x ax bx cx =+，其导函数()y f x '=的图像经过点()1,0、()2,0.如图，则下列说法正确的是________.①当32x =时，函数()f x 取得最小值；②()f x 有两个极值点;③当2x =时函数取得极小值；④当1x =时函数取得极大值；【难度】★★师生总结 巩固练习5. 已知函数()f x 的导函数()f x '的图像如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A ．曲线()y f x =在点(2,(2))f −−处的切线斜率小于零B ．函数()f x 在区间(1,1)−上单调递增C ．函数()f x 在1x =处取得极大值D ．函数()f x 在区间()3,3−内至多有两个零点【难度】★★6. 已知函数y ＝3x －x 3＋m 的极大值为10，则m 的值为________.【难度】★★7. 函数()y f x =可导，“函数()y f x =在点()00,x y 处的导数值为0”是“函数()y f x =在点()00,x y 处取极值”的（ ）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【难度】★★8. 定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，如图是()f x '的图像，下列说法中不正确的是（ ）A ．[]1,3−为函数()f x 的单调增区间B ．[]3,5为函数()f x 的单调减区间C ．函数()f x 在0x =处取得极大值D ．函数()f x 在5x =处取得极小值【难度】★★9. 如图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图像：① 函数()f x 在区间(1,3)上严格递减；② (1)(2)f f <；③ 函数()f x 在1x =处取极大值；④ 函数()f x 在区间(2,5)−内有两个极小值点．则上述说法正确的是______．【难度】★★10. 已知函数f （x ）＝x 2+alnx ．（1）当a ＝﹣2时，求函数f （x ）的单调区间和极值；（2）若g （x ）＝f （x ）+2x在[1，+∞）上是单调增函数，求实数a 的取值范围． 【难度】★★11. 某网球中心欲建连成片的网球场数块，用128万元购买土地10 000平方米，该中心每块球场的建设面积为1 000平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关，当该中心建球场x 块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f (x )＝800⎝⎛⎭⎫1＋15ln x 来刻画.为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几个球场？【难度】★★12. 设函数()223ln 1f x a x ax x =+−+，其中0a >.（1）讨论()y f x =的单调性；（2）若()y f x =的图像与x 轴没有公共点，求a 的取值范围.【难度】★★1. 已知定义在R 上的函数()y f x =，其导函数()y f x ='满足：对任意x R ∈都有()()f x f x <'，则下列各式恒成立的是（ ）A ．f （1）(0)e f <⋅，2023(2023)(0)f e f <⋅B ．f （1）(0)e f <⋅，2023(2023)(0)f e f >⋅C ．f （1）(0)e f <⋅，2023(2023)(0)f e f <⋅D ．f （1）(0)e f <⋅，2023(2023)(0)f e f >⋅【难度】★★★能力提升2. 已知()f x 是定义在(,0)(0,)−∞+∞上的奇函数，()f x '是()f x 的导函数，当0x >时，()2()0xf x f x '+>，若(2)0f =，则不等式2()0x f x >的解集是________．【难度】★★★3. 若关于x 的不等式ln ln x e x aa x x >+对任意()0,1x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．1,e ⎛⎤−∞ ⎥⎝⎦ B ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．10,e ⎛⎤⎥⎝⎦【难度】★★★。
人教版数学高二A版选修2-2作业 第一章 导数及其应用
第一章 1.1 1.1.3A 级 基础巩固一、选择题1．(2018·海市校级期末)已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x＋2，则f (1)＋f ′(1)的值等于( C )A ．1B ．52C ．3D ．0[解析] 由已知点M (1，f (1))在切线上，所以f (1)＝12＋2＝52，切点处的导数为切线斜率，所以f ′(x )＝12，即f (1)＋f ′(1)＝3，故选C ．2．曲线y ＝x 3＋x －2在P 点处的切线平行于直线y ＝4x －1，则切线方程为( D ) A ．y ＝4x B ．y ＝4x －4 C ．y ＝4x －8 D ．y ＝4x 或y ＝4x －4[解析] y ′＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0 [(x ＋Δx )3＋(x ＋Δx )－2]－(x 3＋x －2)Δx ＝lim Δx →0[(Δx )2＋3x Δx ＋3x 2＋1] ＝3x 2＋1．由条件知，3x 2＋1＝4，∴x ＝±1，当x ＝1时，切点为(1,0)，切线方程为y ＝4(x －1)， 即y ＝4x －4．当x ＝－1时，切点为(－1，－4)，切线方程为y ＋4＝4(x ＋1)， 即y ＝4x ．3．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则点A 处的切线斜率等于( D ) A ．0B ．2C ．4D ．6[解析] Δy ＝2(1＋Δx )3－2×13＝6Δx ＋6(Δx )2＋(Δx )3，lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0[(Δx )2＋6Δx ＋6]＝6，故选D ．4．(2018·济宁高二检测)设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( A )A ．1B ．12C ．－12D ．－1[解析] ∵y ′|x ＝1＝lim Δx →0 a (1＋Δx )2－a ×12Δx ＝lim Δx →0 2a Δx ＋a (Δx )2Δx ＝lim Δx →0 (2a ＋a Δx )＝2a ， ∴2a ＝2，∴a ＝1．5．(2017·汉中高二检测)曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎫1，－53处切线的倾斜角为( B ) A ．1 B ．π4C ．5π4D ．－π4[解析] ∵y ′＝lim Δx →0 [13(x ＋Δx )3－2]－(13x 3－2)Δx ＝lim Δx →0[x 2＋x Δx ＋13(Δx )2]＝x 2， ∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝1． ∴切线的倾斜角为π4，故应选B ．6．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( B ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直D ．与x 轴斜交[解析] 由导数的几何意义知B 正确，故应选B ． 二、填空题7．已知f (x )＝x 2＋3x ，则f ′(2)＝7．[解析] f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋3(x ＋Δx )－(x 2＋3x )Δx ＝lim Δx →02x ＋Δx ＋3＝2x ＋3， ∴f ′(2)＝7．8．曲线y ＝x 3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为54． [解析] 因为f ′(3)＝lim Δx →0 (3＋Δx )3－33Δx ＝27， 所以在点(3,27)处的切线方程为y －27＝27(x －3)， 即y ＝27x －54．此切线与x 轴、y 轴的交点分别为(2,0)，(0，－54)． 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12×2×54＝54． 三、解答题9．求曲线y ＝1x－x 上一点P ⎝⎛⎭⎫4，－74处的切线方程． [解析] ∵y ′＝lim Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋Δx －1x －(x ＋Δx －x )Δx＝lim Δx →0－Δxx (x ＋Δx )－Δxx ＋Δx ＋xΔx＝lim Δx →0 ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1x (x ＋Δx )－1x ＋Δx ＋x ＝－1x 2－12x ．∴y ′|x ＝4＝－116－14＝－516， ∴曲线在点P ⎝⎛⎭⎫4，－74处的切线方程为： y ＋74＝－516(x －4)． 即5x ＋16y ＋8＝0．10．已知曲线f (x )＝x ＋1x 上一点A (2，52)，用导数定义求函数f (x )：(1)在点A 处的切线的斜率；(2)在点A 处的切线方程． [解析](1)∵Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝2＋Δx ＋12＋Δx －(2＋12)＝－Δx 2(2＋Δx )＋Δx ，Δy Δx ＝－Δx2(2＋Δx )＋ΔxΔx ＝－12(2＋Δx )＋1， ∴lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0[－12(2＋Δx )＋1]＝34， 故点A 处的切线的斜率为34．(2)切线方程为y －52＝34(x －2)，即3x －4y ＋4＝0．B 级 素养提升一、选择题1．(2018·开封高二检测)已知y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( B )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定[解析] 由图可知，曲线在点A 处的切线的斜率比曲线在点B 处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f ′(x A )<f ′(x B )，选B ．2．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[0，π4]，则点P 横坐标的取值范围为( A )A ．[－1，－12]B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[12，1][解析] 考查导数的几何意义．由导数的定义可得y ′＝2x ＋2，且切线倾斜角θ∈[0，π4]，∴切线的斜率k 满足0≤k ≤1，即0≤2x ＋2≤1， ∴－1≤x ≤－12．二、填空题3．如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝－2．[解析] 由导数的概念和几何意义知， lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝f ′(1)＝k AB ＝0－42－0＝－2．4．(2018·全国卷Ⅱ理，13)曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ． [解析] ∵ y ＝2ln(x ＋1)，∴ y ′＝2x ＋1．令x ＝0，得y ′＝2，由切线的几何意义得切线斜率为2，又切线过点(0,0)，∴ 切线方程为y ＝2x ．三、解答题5．(2016·天津联考)设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值．[解析] ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1) ＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2． 当Δx 无限趋近于零时，ΔyΔx无限趋近于3x 20＋2ax 0－9． 即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9， ∴f ′(x 0)＝3(x 0＋a 3)2－9－a 23．当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 23．∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， ∴该切线斜率为－12． ∴－9－a 23＝－12．解得a ＝±3．又a <0，∴a ＝－3．6．已知直线l ：y ＝4x ＋a 和曲线C ：y ＝f (x )＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点坐标． [解析] 设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)， ∵f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－2(x ＋Δx )2＋3－(x 3－2x 2＋3)Δx ＝3x 2－4x ，∴k ＝f ′(x 0)＝3x 20－4x 0．由题意可知k ＝4，即3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点的坐标为(－23，4927)或(2,3)．当切点为(－23，4927)时，有4927＝4×(－23)＋a ，解得a ＝12127．当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，解得a ＝－5． ∴当a ＝12127时，切点坐标为(－23，4927)；当a ＝－5时，切点坐标为(2,3)．C 级 能力拔高已知曲线f (x )＝x 2＋1和g (x )＝x 3＋x 在其交点处两切线的夹角为θ，求cos θ．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋1，y ＝x 3＋x ，得x 3－x 2＋x －1＝0，即(x －1)(x 2＋1)＝0，解得x ＝1， 所以交点P (1,2)．因为f′(1)＝limΔx→0(1＋Δx)2＋1－2Δx＝2，所以其切线l1的方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x．因为g′(1)＝limΔx→0(1＋Δx)3＋1＋Δx－(1＋1)Δx＝4，所以其切线l2的方程为y－2＝4(x－1)，即y＝4x－2．取切线l1的方向向量为a＝(1,2)，切线l2的方向向量为b＝(1,4)，则cosθ＝a·b|a||b|＝95×17＝985＝98585．。
高中数学选修2-2课时作业1：习题课 导数的应用
习题课导数的应用一、基础过关1．函数f(x)＝x cos x的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图象大致是()[答案] A[解析] ∵f (x )＝x cos x ， ∴f ′(x )＝cos x －x sin x .∴f ′(－x )＝f ′(x )，∴f ′(x )为偶函数， ∴函数图象关于y 轴对称，排除C 选项． 由f ′(0)＝1可排除D 选项． 而f ′(1)＝cos 1－sin 1<0， 从而观察图象即可得到[答案]为A.2．函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，3π2 B ．(π，2π) C.⎝⎛⎭⎫3π2，5π2 D ．(2π，3π)[答案] B[解析] y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ，若y ＝f (x )在某区间内是增函数，只需在此区间内y ′恒大于或等于0即可．∴只有选项B 符合题意，当x ∈(π，2π)时，y ′≥0恒成立． 3．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( ) A ．f (2)<f (e)<f (3) B ．f (e)<f (2)<f (3) C ．f (3)<f (e)<f (2)D．f(e)<f(3)<f(2)[答案] A[解析]f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝12x ＋1x>0在(0，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(2)<f(e)<f(3)．4．函数y＝f(x)的图象如下图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是()[答案] D[解析] 由y ＝f (x )的图象知，f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上都为减函数， ∴在(－∞，0)，(0，＋∞)上， f ′(x )<0恒成立，故D 正确．5．已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上单调递增，则a 的最大值为________． [答案] 3[解析] 由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ≥0(x ≥1)， ∴a ≤3x 2，∴a ≤3.6．若函数y ＝x 3＋32x 2＋m 在[－2,1]上的最大值为92，则m ＝________.[答案] 2[解析] y ′＝⎝⎛⎭⎫x 3＋32x 2＋m ′＝3x 2＋3x ＝3x (x ＋1)． 由y ′＝0，得x ＝0或x ＝－1. ∴f (0)＝m ，f (－1)＝m ＋12.又∵f (1)＝m ＋52，f (－2)＝－8＋6＋m ＝m －2，∴f (1)＝m ＋52最大．∴m ＋52＝92.∴m ＝2.二、能力提升7．已知函数f (x )、g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( ) A ．f (a )－g (a ) B ．f (b )－g (b ) C ．f (a )－g (b ) D ．f (b )－g (a )[答案] A[解析] 设F (x )＝f (x )－g (x )， F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0， ∴F (x )在[a ，b ]上为减函数，∴当x ＝a 时，F (x )取最大值f (a )－g (a )．8．已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且当x >0时，有f ′(x )>0，g ′(x )>0，则当x <0时，有( ) A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0 B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0 C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0 D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0 [答案] B[解析] 由已知f (x )为奇函数，g (x )为偶函数． ∵x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0， ∴f (x )，g (x )在(0，＋∞)上递增． ∴x <0时，f (x )递增，g (x )递减． ∴x <0时，f ′(x )>0，g ′(x )<0.9．已知函数f (x )＝x 3－32ax 2＋b (a ，b 为实数，且a >1)在区间[－1,1]上的最大值为1，最小值为－2，则f (x )的[解析]式为________． [答案] f (x )＝x 3－2x 2＋110．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋3x ＋6，若x ＝3是f (x )的一个极值点，求f (x )在[0，a ]上的最值． 解 f ′(x )＝3x 2－2ax ＋3，由已知得f ′(3)＝0， ∴3×9－6a ＋3＝0.∴a ＝5， ∴f (x )＝x 3－5x 2＋3x ＋6. 令f ′(x )＝3x 2－10x ＋3＝0， 得x 1＝13，x 2＝3.则x ，f ′(x )，f (x )的变化关系如下表.∴f (x )在[0,5]上的最大值为f (5)＝21， 最小值为f (3)＝－3.11．设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2. (1)求a ，b 的值； (2)证明：f (x )≤2x －2. (1)解 f ′(x )＝1＋2ax ＋bx.由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝0，f ′(1)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.(2)证明 因为f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知f (x )＝x －x 2＋3ln x .设g (x )＝f (x )－(2x －2)＝2－x －x 2＋3ln x ， 则g ′(x )＝－1－2x ＋3x ＝－(x －1)(2x ＋3)x .当0<x <1时，g ′(x )>0， 当x >1时，g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减． 而g (1)＝0，故当x >0时，g (x )≤0，即f (x )≤2x －2. 三、探究与拓展12．已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R )． (1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围．解 当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ， f ′(x )＝(－x 2＋2)e x .当f ′(x )>0时，(－x 2＋2)e x >0，注意到e x >0， 所以－x 2＋2>0，解得－2<x < 2.所以，函数f (x )的单调递增区间为(－2，2)．同理可得，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)． (2)因为函数f (x )在(－1,1)上单调递增， 所以f ′(x )≥0在(－1,1)上恒成立． 又f ′(x )＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ， 即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0，注意到e x >0， 因此－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0在(－1,1)上恒成立， 也就是a ≥x 2＋2x x ＋1＝x ＋1－1x ＋1在(－1,1)上恒成立．设y ＝x ＋1－1x ＋1，则y ′＝1＋1(x ＋1)2>0，即y ＝x ＋1－1x ＋1在(－1,1)上单调递增，则y <1＋1－11＋1＝32，故a ≥32.。
人教A版高中数学选择性必修第二册习题课导数的几何意义及其应用课件
[方法技巧]
一般已知曲线上一点P(x0，y0)的切线与已知直线的关系(平行或垂直)，确定 该切线的斜率k，再求出函数的导函数，然后利用导数的几何意义得到k＝f′(x0) ＝tan α，其中倾斜角α∈[0，π)，根据范围进一步求得角α或有关参数的值．
数 f(x)的图象在点(0,1)处的切线斜率为－1，∴函数 f(x)的图象在点(0，f(0))处的
切线方程为 y＝－x＋1，即 x＋y－1＝0.故选 B.
答案：B
2．(2022·新课标Ⅱ卷)曲线 y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为________， ________.
解析：先求当 x>0 时，曲线 y＝ln x 过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)， 则由 y′＝1x，得切线斜率为x10，又切线的斜率为xy00，所以x10＝xy00，解得 y0＝1， 代入 y＝ln x，得 x0＝e，所以切线斜率为1e，切线方程为 y＝1ex.同理可求得当 x<0 时的切线方程为 y＝－1ex.综上可知，两条切线方程为 y＝1ex，y＝－1ex.
答案：y＝1ex y＝－1ex
高频考点二|求切点坐标
[例2] 已知函数f(x)＝xln x在点P(x0，f(x0))处的切线与直线x＋y＝0垂直， 则切点P(x0，f(x0))的坐标为________．
[解析] ∵f(x)＝xln x，∴f′(x)＝ln x＋1，由题意得f′(x0)·(－1)＝－1，即 f′(x0)＝1，∴ln x0＋1＝1，ln x0＝0，∴x0＝1，∴f(x0)＝0，即P(1,0)．
2．若函数f(x)＝ln x＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是
()
人教新课标版数学高二A版选修1-1课件习题课导数的综合应用
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习题课——导数的综合应用
探究一
探究二
规范解答
首页
X D 新知导学 INZHIDAOXUE
答疑解惑
AYIJIEHUO
D当堂检测 ANGTANGJIANCE
解(1)由已知得f'(x)=3x2-2x-1, 令f'(x)=0,
则x=-13或x=1, 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
探究一
探究二
规范解答
(2)由函数解析式可知,当 x 取足够大的正数时,有 f(x)>0,当 x
取足够小的负数时有 f(x)<0,所以曲线 y=f(x)与 x 轴至少有一个交
点.
再结合 f(x)的单调性可知:当 f(x)的极大值257+a<0,即 a∈
-∞,-
5 27
时,它的极小值也小于 0,因此曲线 y=f(x)与 x 轴仅有一个
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习题课——导数的综合应用
探究一
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探究二利用导数解决不等式的恒成立问题 【例2】 已知f(x)=xln x,g(x)=x3+ax2-x+2. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若对任意x∈(0,+∞),2f(x)≤g'(x)+2恒成立,求实数a的取值范围. 分析对于(1)可通过解不等式f'(x)>0和f'(x)<0得到单调区间;对于 (2),应先将不等式进行参数分离,把欲求范围的参数a移至不等式的 一边,然后利用导数求另一边函数的最值,从而求得参数的取值范 围.
数学必修二：导数的应用习题答案
数学必修二：导数的应用习题答案一、函数的导数及其应用在数学必修二中，我们学习了函数的导数及其应用。
掌握了导数的定义、求导法则、高阶导数以及导数在几何、物理、经济等领域的应用。
下面是该章节的习题答案，希望能够帮助大家巩固知识点，提高解题能力。
1. 求函数$f(x)=3x^2-4x+1$在$x=2$处的导数。
答：首先，我们需要使用求导法则，对每一项分别求导。
由求导法则可知，常数的导数为0，$x$的导数为1。
因此，$f'(x)=2\cdot 3x^{2-1}-1\cdot 4x^{1-1}+0=6x-4$。
将$x$替换为2，得到$f'(2)=6\cdot2-4=8$。
所以，函数$f(x)=3x^2-4x+1$在$x=2$处的导数为8。
2. 求函数$y=2x^3-5x^2+3x-1$的导函数。
答：要求函数的导函数，就是求函数的函数表达式的导数。
根据求导法则，对每一项分别求导。
所以，$y'=2\cdot 3x^{3-1}-5\cdot 2x^{2-1}+3\cdot 1x^{1-1}-0=6x^2-10x+3$。
因此，函数$y=2x^3-5x^2+3x-1$的导函数为$y'=6x^2-10x+3$。
3. 函数$f(x)$在$x=1$处有切线方程$y=2x+1$，求$f(x)$在$x=1$处的函数值和导数值。
答：根据题目，我们已知函数$f(x)$在$x=1$处有切线方程$y=2x+1$，切线的斜率为2。
由导数的定义可知，导数是函数在某一点的切线斜率。
所以，$f'(1)=2$。
又因为$f'(x)$是导数，所以我们可以使用导数的运算性质，求导函数表达式。
$f'(x)=2$，即导数恒为2。
所以，函数$f(x)$在$x=1$处的函数值为$y=f(1)=2\cdot1+1=3$，导数值为$f'(1)=2$。
4. 在平面直角坐标系中，函数$f(x)=x^2-2x$的图象与$x$轴交于点$A$和点$B$，与$y$轴交于点$C$，点$P$在$x$轴上。
人教新课标版数学高二-选修2-2训练 1.4.1导数应用(一)
数学·选修2－2(人教A 版)1．4 生活中的优化问题举例1．4.1 导数应用(一)一、选择题1．函数y ＝cos 2x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线方程是( ) A ．4x ＋2y ＋π＝0 B ．4x －2y ＋π＝0C ．4x －2y －π＝0D ．4x ＋2y －π＝0解析：y ＝－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，故选D. 答案：D2．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在1秒末的瞬时速度是( )A ．3米/秒B ．2米/秒C ．1米/秒D ．4米/秒解析：v (t )＝s ′＝－1＋2t ，所以v (1)＝－1＋2×1＝1，故选C. 答案：C3．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12 B.12 C ．－22 D.22解析：y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝ 1(sin x ＋cos x )2，答案：B4．已知函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如下图所示，那么函数f (x )的图象最有可能的是( )解析：由f′(x)的图象知0和－2是f(x)的极值点，且当x＞0时，f(x)单调递减，故选A.答案：A5．(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是()A．∃x0∈R, f (x0)＝0B．函数y＝f(x)的图象是中心对称图形C．若x0是y＝f(x)的极小值点，则y＝f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是y＝f(x)的极值点，则f′(x0)＝0解析：y＝f(x)的值域为(－∞，＋∞), 所以选项A正确；函数f(x)的图象可以由y＝x3的图象经过平移和伸缩得到，因为f(x)＝x3是奇函数，所以f(x)的图象是中心对称图形．所以选项B正确；显然选项C不正确；选项D正确．故选C.答案：C二、填空题6．已知一物体的运动方程是s＝6t2－5t＋7，则其在t＝________时刻的速度为19.解析：v (t )＝s ′＝12t －5＝19，得t ＝2.答案：27．已知曲线y ＝f (x )在x ＝－2处的切线的倾斜角为3π4，则f ′(－2)＝______.答案：－18．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为______________．解析：设切点P 的横坐标为x 0，且 |y ′x ＝x 0＝2x 0＋2＝tan α(α为点P 处切线的倾斜角)，又因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，所以0≤2x 0＋2≤1，所以x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12三、解答题9．已知x ∈R ，奇函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋c 在[1，＋∞)上单调，求实数a，b，c应满足的条件．解析：∵函数f(x)＝x3－ax2－bx＋c是奇函数，可得f(0)＝0，∴c＝0，a＝0.∵f′(x)＝3x2－b，又∵函数f(x)在x3－ax2－bx＋c在[1，＋∞]上单调，∴f′(x)＝3x2－b≥0或f′(x)＝3x2－b≤0(舍去)恒成立，∴b≤3x2在[1，＋∞)上恒成立，即b≤3.∴a＝0，b≤3，c＝0.10．(2013·全国大纲卷)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.(1)当a＝－2时，讨论f(x)的单调性；解析：当a＝－2时，f(x)＝x3－32x2＋3x＋1，f′(x)＝3x2－62x＋3.令f′(x)＝0，得x1＝2－1，x2＝2＋1.当x∈(－∞，2－1)时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，2－1)是增函数；当x ∈(2－1，2＋1)时，f ′ (x )＜0，f (x )在(2－1，2＋1)是减函数；当x ∈(2＋1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(2＋1，＋∞)是增函数.(2)若x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥0，求a 的取值范围．解析：由f (2)≥0得，a ≥－54. 当a ≥－54，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＝3(x 2＋2ax ＋1)≥3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52x ＋1＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －12(x －2)＞0， 所以f (x )在(2，＋∞)是增函数，于是当x ∈[2，＋∞]时，f (x )≥f (2)≥0.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，＋∞.。
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习题课 导数的应用
一、选择题
1．函数y ＝f (x )＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( )
A.⎝⎛⎭⎫π2，3π2
B ．(π，2π) C.⎝⎛⎭⎫3π2，5π2 D ．(2π，3π)
2．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( )
A ．f (2)<f (e)<f (3)
B ．f (e)<f (2)<f (3)
C ．f (3)<f (e)<f (2)
D ．f (e)<f (3)<f (2)
3．若函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a 在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为( )
A ．－5
B ．7
C ．10
D ．－19
4.已知定义在R 上的函数f (x )的图象如图，则x ·f ′(x )>0的解集为( )
A ．(－∞，0)∪(1,2)
B ．(1,2)
C ．(－∞，1)
D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)
5．若f (x )＝－12
x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是( ) A ．[－1，＋∞)
B ．(－1，＋∞)
C ．(－∞，－1]
D ．(－∞，－1)
6.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋c ，其导函数的图象如图所示，则函数f (x )的极小值是( )
A ．a ＋b ＋c
B ．8a ＋4b ＋c
C ．3a ＋2b
D ．c
7．定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝1，且对任意x ∈R ，都有f ′(x )<12，则不等式f (x )>x ＋12
的解集为( )
A ．(1,2)
B ．(－∞，1)
C ．(1，＋∞)
D ．(－1,1)
二、填空题
8．函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a >0)的极大值为6，极小值为2，则f (x )的单调递增区间为________．
9．已知函数f (x )＝x －a x ＋1
·e x 在定义域内有极值点，则实数a 的取值范围是____________． 10．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意的x ∈(0,1]都有f (x )≥0成立，则实数a 的取值范围为______．
11．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设
a ＝f (0)，
b ＝f (12
)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为____________． 三、解答题
12．设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32
x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴． (1)求a 的值；
(2)求函数f (x )的极值．
13.已知函数f (x )＝x 3－2ax 2＋3x ，若x ＝a 是f (x )的极值点，求f (x )在[－2，a ]上的最大值和最小值．
四、探究与拓展
14．已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且f(x)
g(x)＝a
x (a>0且a≠1)，f′(x)g(x)<f(x)g′(x)，
f(1)
g(1)＋f(－1)
g(－1)＝
5
2，则a＝________.
15．已知函数f(x)＝x2－m ln x，h(x)＝x2－x＋a.
(1)当a＝0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；
(2)当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．
答案精析
1．B 2.A 3.A 4.A 5.C 6.D 7.B
8．(－∞，－1)和(1，＋∞)
9．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 10.[4，＋∞) 11.c <a <b
12．解 (1)f ′(x )＝a x －12x 2＋32
. 由题意，曲线在x ＝1处的切线斜率为0，即f ′(1)＝0，
从而a －12＋32
＝0，解得a ＝－1. (2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32
x ＋1(x >0)， f ′(x )＝－1x －12x 2＋32
＝3x 2－2x －12x 2＝(3x ＋1)(x －1)2x 2
. 令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13
(舍去)． 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数．
故f (x )在x ＝1处取得极小值，极小值为f (1)＝3.
13．解 由题意知f ′(a )＝3a 2－4a 2＋3＝0，
∴a ＝± 3.
①当a ＝3时，x ∈[－2，3]，
f ′(x )＝3x 2－43x ＋3
＝3(x －3)(x －33
)， 此时，由f ′(x )>0，可得－2≤x <
33； 由f ′(x )<0，可得33
<x <3， ∴函数f (x )的单调递增区间为[－2，33
)，
函数f (x )的单调递减区间为(33
，3)． 又∵f (－2)＝－14－83，f (3)＝0，
极大值为f (33)＝439
. ∴函数f (x )的最小值为－14－83；
函数f (x )的最大值为439
. ②当a ＝－3时，x ∈[－2，－3]，
f ′(x )＝3x 2＋43x ＋3
＝3(x ＋3)(x ＋33
)， 此时，f ′(x )≥0，
∴f (x )在[－2，－3]上为增函数，
∴f (x )min ＝f (－2)＝－14＋83，
∴f (x )max ＝f (－3)＝0.
14.12
15．解 (1)由f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立， 得m ≤x ln x
在(1，＋∞)上恒成立． 令g (x )＝x ln x
， 则g ′(x )＝ln x －1(ln x )2
，故g ′(e)＝0. 当x ∈(1，e)时，g ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，g ′(x )>0.
故g (x )在(1，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，故当x ＝e 时，g (x )的最小值为g (e)＝e.所以m ≤e.
(2)由已知可知k (x )＝x －2ln x －a ，函数k (x )在[1,3]上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x )＝x －2ln x 与直线y ＝a 有两个不同的交点．
φ′(x )＝1－2x ＝x －2x
，故φ′(2)＝0. 所以当x ∈[1,2)时，φ′(x )<0，
所以φ(x )单调递减，
当x ∈(2,3]时，φ′(x )>0，
所以φ(x )单调递增．
所以φ(1)＝1，φ(3)＝3－2ln 3，φ(2)＝2－2ln 2，且φ(1)>φ(3)>φ(2)>0，所以2－2ln 2<a ≤3－2ln 3.
所以实数a 的取值范围为(2－2ln 2,3－2ln 3]．。