统计量及其抽样分布
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年和1900年推导出来 X ~ N(, 2)
z X ~ N(0,1)
设
,则
Y z2
令
,则 Y 服从自由度为1的2分布,即
Y ~ 2 (1)
X ~ N(, 2)
当总体
n
( xi
x),2 从中抽取容量为n的样本,则
i 1
2
~ 2 (n 1)
作者:贾俊平,中国人民大学统计学院
统计学
STATISTICS (第五版)
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作者:贾俊平,中国人民大学统计学院
统计学
STATISTICS (第五版)
n=1
c2分布
(图示)
n=4 n=10 n=20
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不同容量样本的抽样分作布者:贾俊平,中国人民大学统计学院2
t 分布
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统计学
STATISTICS (第五版)
t 分布
1. 高 塞 特 (W.S.Gosset) 于 1908 年 在 一 篇 以 “Student”(学生)为笔名的论文中首次提 出
样本均值、样本比例、样本方差等都是统 计量
2. 统计量是样本的一个函数 3. 统计量是统计推断的基础
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作者:贾俊平,中国人民大学统计学院
统计学
STATISTICS (第五版)
次序统计量
1. 一组样本观测值X1,X2,…,Xn由小到大的排序
X(1)≤X(2)≤…≤ X(i)≤…≤ X(n)
后,称X(1),X(2),…,X(n)为次序统计量
T 分 布 的 使 用
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作者:贾俊平,中国人民大学统计学院
F 分布
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统计学
STATISTICS (第五版)
F分布
两个都服从χ2 分布的变量之比的分布规律。
可以设想为两个方差之比
方差之比会接近1(因为前面已经假设各变量都服从标 准正态分布),似乎存在一个“两端少,中间多”的特 征,但不对称(除非其中存在一个无限总体,使样本数 量为无穷大,则样本方差有无穷多个)
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作者:贾俊平,中国人民大学统计学院
统计学
STATISTICS (第五版)
2分布
(2 distribution)
1.
2. 3. 4. 5.
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由阿贝(Abbe) 于1863年首先给出,后来由海尔墨
特(Hermert)和卡·皮尔逊(K·Pearson) 分别于1875
2. 中位数、分位数、四分位数等都是次序统计量
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作者:贾俊平,中国人民大学统计学院
6.2 关于分布的几个概念
6.2.1 抽样分布 6.2.2 渐进分布 6.2.3 随机模拟获得的近似分布
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统计学
抽样分布
STATISTICS (第五版)
(sampling distribution)
1. 样本统计量的概率分布,是一种理论分布
在重复选取容量为n的样本时,由该统计量的所有可
能取值形成的相对频数分布
2. 随机变量是 样本统计量
样本均值, 样本比例,样本方差等
3. 结果来自容量相同的所有可能样本
4. 提供了样本统计量长远而稳定的信息,是进行推 断的理论基础,也是抽样推断科学性的重要依据
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作者:贾俊平,中国人民大学统计学院
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统计学
STATISTICS (第五版)
学习目标
1. 了解统计量及其分布的几个概念 2. 了解由正态分布导出的几个重要分布 3. 理解样本均值的分布与中心极限定理 4. 掌握单样本比例和样本方差的抽样分布
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作者:贾俊平,中国人民大学统计学院
6.1 统计量
6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.1.4
第 6 章 统计量及其抽样分布
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作者:中国人民大学统计学院 贾俊平
第 6 章 统计量及其抽样分布
6.1 统计量 6.2 关于分布的几个概念 6.3 由正态分布导出的几个重要分布 6.4 样本均值的分布与中心极限定理 6.5 样本比例的抽样分布 6.6 两个样本平均值之差的分布 6.7 关于样本方差的分布
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统计学
STATISTICS (第五版)
F分布
(F distribution)
1. 由统计学家费希尔(R.A.Fisher) 提出的,以其姓氏 的第一个字母来命名
2. 设若U为服从自由度为n1的2分布,即U~2(n1),
t 分布
x
t 分布与标准正态分布的比较
t (df = 5)
z
t
不同自由度的t分布
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T 分 布 的 图 形
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STATISTICS (第五版)
统计量的概念 常用统计量 次序统计量 充分统计量
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统计量
(statistic)
1. 设X1,X2,…,Xn是从总体X中抽取的容量为n的一个样本,如 果由此样本构造一个函数T(X1,X2,…,Xn),不依赖于任何未 知参数,则称函数T(X1,X2,…,Xn)是一个统计量
2分布
(性质和特点)
1. 分布的变量值始终为正
2. 分布的形状取决于其自由度n的大小,通常为不
对称的正偏分布,但随着自由度的增大逐渐趋
于对称
3. 期望为:E(2)=n,方差为:D(2)=2n(n为自
由度)
4. 可加性:若U和V为两个独立的2分布随机变量 ,从U自~由度2(n为1)n,1+Vn~2的2(n22分),则布U+V这一随机变量服
6.3 由正态分布导出的几个重要 分布
6.3.1 2分布
6.3.2 t 分布 6.3.3 F 分布
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2 分布
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统计学
STATISTICS (第五版)
χ2 分布的使用
如果一个变量的诸数值可视为几个独立变量值的平方和,则该变量服从 χ2 分布
方差就可视为若干随机变量值的平方和
样本中各随机数值与均值之离差的平方和(即样本方差的n-1倍)与总体 方差之比,服从自由度为n-1的χ2 分布
2. t 分布是类似正态分布的一种对称分布,
它通常要比正态分布平坦和分散
3. 一个特定的分布依赖于称之为自由度的参 数。随着自由度的增大,分布也逐渐趋于 正态分布
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作者:贾俊平,中国人民大学统计学院
Байду номын сангаас
统计学
STATISTICS (第五版)
t 分布图示
标准正态分布
标准正态分布
t (df = 13)