一 遇角平分线常用辅助线
2024辽宁中考数学二轮专题复习 微专题 遇到角平分线如何添加辅助线(课件)
2. 如图，AB∥CD，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线相交于点E， AD过点E，且与AB互相垂直，点P为线段BC上一动点，连接PE.若 AD＝8，则PE的最小值为___4___．
第2题图
3. 如图，∠MON＝30°，OP平分∠MON，过点P作PQ∥OM交ON于 点Q.若OQ＝4，则点P到OM的距离为___2__．
微专题 遇到角平分线如何添加辅助线
方法一 过角平分线上一点向角两边作垂线
方法解读 如图，已知∠MON，点P是∠MON平分线上一点．
过角平分线上的点向角两边作垂线． 已知PA⊥OM， 添加辅助线，作PB⊥ON于点B.
结论：PA＝PB，OA＝OB，∠APO＝∠BPO等．
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°4 ，AD平分∠BAC交BC于点D，若 AC＝4，BC＝3，则CD的长为____3____．
第7题图
方法四 作角平分线的垂线，构造等腰三角形
方法解读 过角平分线上的点作角平分线的垂线，三线合一试试看． 已知AP⊥OP，延长AP交ON于点B.
结论：__R_t_△__A_O__P_≌__R_t_△__B_O__P_，__O_A__＝__O_B_，__A__P_＝__B_P__. __
8. 如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD. 若BD＝1，BC＝3，则AC的长为__5___．
结论：____△__A__O_P_≌__△__B__O_P_，__A__P_＝__B_P______
6. 如图，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD是∠ACB的平分线，若AC＝ 16，AD＝8，则线段BC的长为__2_4___．
第6题图
7. 如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B＋∠ADC＝180°， 若BC＝2，则DC的长为__2___．
初中几何常用辅助线做法
常用辅助线做法➢考点考向1. 与角平分线有关的辅助线2. 与线段长度相关的辅助线3. 与等腰、等边三角形相关的辅助线4. 与中点相关的辅助线5. 构造一线三垂直（等角）6. 等面积法常见辅助线的作法总结1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。
5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．6)构造等腰三角形或作等腰三角形的高利用“三线合一”性质。
7)作三角形的中位线。
8)引平行线构造全等三角形。
9）特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．（等面积法）10）构造三垂直模型。
✧考点一：与角平分线有关的辅助线（1）可向两边作垂线。
（2）可构造等腰三角形（3）在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形【例1】已知：∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D，PC和PD有怎样的数量关系，请说明理由．✧考点二：与线段长度有关的辅助线（1）截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等证明余下的等于另一条线段即可（2）补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等证明延长后的线段等于那一条长线段即可（3）倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。
与角平分线有关的辅助线及结论
与角平分线有关的辅助线及结论打开数学，解开疑惑基础知识点：1.角的平分线分得的两个角相等，角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线；2.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；3.角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
4.三角形的内心：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等，这个交点叫做三角形的内心；5.等腰三角形底边上的高（或中线）平分顶角（三线合一）。
一、根据对称性，截长补短构造全等例题、已知：如图，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求证：AB-AC=CD解析：方法一、截长构造全等在线段AB上取点E，使得AC=AE易证△ACD≌△AED再证等腰△EBD即可方法二、补短构造全等延长AC到E，使得CE=CD∴∠E=1/2∠ACD=∠B再证△ABD≌△AED即可二、根据角平分线的性质向角两边作垂线构全等例题、如图，已知AB＞AD,∠BAC=∠FAC,CD=BC。
求证：∠ADC+∠B=180°解析：由C点向∠BAF的两边作垂线HL证明Rt△BCN≌Rt△DCM由此得到∠ADC+∠B=180°三、根据等腰三角形三线合一，作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。
（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）例题、如图，∠BAD=∠DAC，AB＞AC,CD⊥AD于D，H是BC 中点。
求证：2DH=（AB-AC）解析：延长CD交AB于点E则可得等腰△ACE进而得到DH为△CBE的中位线问题可证四、以角分线上一点做角的另一边的平行线构造等腰三角形有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。
初中几何辅助线大全及口诀
初中几何辅助线大全及口诀
初中几何辅助线有很多种，常见的有以下几种：
1. 中位线：连接一个三角形的一个顶点和对面边中点的线段。
2. 垂线：从一个点出发，与一条直线垂直相交的线段。
3. 角平分线：从一个角的顶点开始，把这个角平分成两个角的线段。
4. 高线：从一个三角形的一个顶点开始，与对面边垂直相交的线段。
5. 中心连线：连接一个圆的圆心和任意一点的线段。
6. 对称轴：将一个图形分为两个完全相同的部分的轴线。
常见的几何口诀也有很多，以下是一些常用的：
1. 三角形中位线，二等分线又平分线。
2. 三角形内心到三边距离相等，外心到三点距离相等，垂心到底边距离相等。
3. 圆上弧所对圆心角，平分弧则平分角。
4. 矩形对角线相等，正方形更要如此。
5. 相似三角形边比相等，对应角必全等。
希望这些口诀和辅助线能帮助你更好地理解几何学知识。
角平分线中常用的作辅助线的方法
角平分线中常用的作辅助线的方法角平分线是天然的涉及对称的模型，通常有下列四种作辅助线的方法：（1）角平分线+平行线→必有等腰三角形①OP是平分线，②AB//ON，则③△OAB是等腰三角形；可知二⇒一。
（2）角平分线+两边垂线→线等全等必出现角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边距离相等；（3）角平分线+垂线延长→等腰三角形必呈现（4）角平分线+截取相等线段→必有对称全等图1 图2 图3 图4方法1：角平分线+平行线1.△ABC的两条角平分线OB、OC相交于点O，MN经过点O，且 MN∥BC交AB、 A C分别于点M、N；求证：△AMN的周长是AB+AC；方法2：作一边的垂线段2.如图,已知△ABC的周长是20cm,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D,且OD=1.8cm,求△ABC的面积。
方法3：作两边的垂线段3.如图,已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动,两直角边分别与OA,OB交于点C,D,求证:PC=PD。
方法4：延长作对称图形法4.如图,在△AOB中,AO=OB,∠AOB=90°,BD平分∠ABO交AO于点D,AE⊥BD交BD的延长线于点E，求证:BD=2AE方法5：截取作对称图形法5.如图,AD为△ABC的中线,DE,DF分别是△ADB和△ADC的角平分线,求证:BE+CF>EF。
综合演练题1.已知：∠DAB=120°，AC平分∠DAB，∠B+∠D=180°．（1）如图1，当∠B=∠D时，求证：AB+AD=AC；（2）如图2，当∠B≠∠D时，猜想（1）中的结论是否发生改变并说明理由．八年级《数素》之练习（13） 1、如图，OP 平分∠MON ，PA ⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上一个动点，若PA=3，求PQ 的最小值．2、已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝100°，∠B 的平分线交AC 于D ，求证：AD ＋BD ＝BC3、如图，AB ＞AC ，∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于D ，过D 作DE ⊥AB 于E ，作DF ⊥AC 于F ．求证：BE=CF ．A CB D。
一遇角平分线常用辅助线
邦德点拨：过点 D 作 DEL AB 」DE=CD AE=AC再利用方程思想、勾股定理解AC.练习1:已知如图，PABC 两外角/ DBC 和/ ECB 平分线的交点，求证:•角边相等，可造全等在角的两边取相等线段，可得全等三角形.如图，若 0P 为/ AOB 角平分线，可在 0B 上取OF=OE 则可用结论有：（1）证得△ 0卩瞪厶OPE第一章 遇角平分线常用辅助线【添法透析】角相等时，添线段可构造线段相等、三角形全等或相似，常用有如下四大添法: •点在平分线，可作垂两边 •角边相等，可造全等 •平分加平行，可得等腰形 四•平分加垂线，补得等腰现•点在平分线，可作垂两边例1 •已知如图, O在厶 ABC 中，/ C=90 °，AD 平分/ CAB ，CD=1.5，BD=2.5，求 AC .AP 平C .BA DAAB DECC(2)证得PF=PE OF=OE(3)证得/ PFO=Z PEO / OPF=/ OPE例2.已知如图，AB//CD , BE平分/ ABC, CE平分/ BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD 邦德点拨：在BC上截取BF=BA问题转化为证CF=CD练习2.已知如图，AD是厶ABC的内角平分线，P是AD上异于点与AC-AB的大小，并说明理由.三•平分加平行，可得等腰形1•过角平分线上一点，作角的一边平行线，可构造得等腰三角形或相似；则可用结论有：（1）证得△ OEF是等腰三角形；1（2）证得/ E=^ / AOBAB F CPA 的任意一点，E，试如图，若OP为/ AOB平分线，过直线OB上一点E，作OP平行线交OA于点F，2例3.已知如图，在△ ABC中（AB AC），D、EE在BC 上，且DE=EC，过D 作DF//BA B交AE及CA的延长线于点E、D、F.求证：BE=CF .四•平分加垂线补得等腰现从角的一边上一点作角平分线的垂线，与另一边相交，可得等腰三角形.如图，若0P是/ AOB平分线，EP丄OP则可延长可用结论有：(1)证得△ OEF是等腰三角形；(2) P是EF中点.例4.如图，△ AB(中,过点A分别作/ ABC,/ ACB的外角的平分线的垂线AD、AE , D、E 为垂足•求证：(1)ED//BC ;1(2)ED= - (AB+AC+BC ).2邦德点拨：延长AD AE交直线BC于F、G, 可证得△ BAF、A CAG为等腰三角形.练习4.已知如图，等腰Rt A ABC中，/ A=90 ° , AB=AC , BD平分/ ABC, CE丄BD，垂足为BC13.已知如图，/ BAD= / CAD , AB>AC , CD 丄AD 于点D , H 是BC 中点，求证：DH= (AB-AC).2。
几何常见辅助线口诀
初中几何常见辅助线口诀三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
四边形平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形问题巧转换，变为△和□。
平移腰，移对角，两腰延长作出高。
如果出现腰中点，细心连上中位线。
上述方法不奏效，过腰中点全等造。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
圆形半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
要作等角添个圆，证明题目少困难。
注意点辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。
解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
二由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。
初中几何辅助线口诀和秘籍
初中几何辅助线口诀和秘籍初中几何是数学学科中的一块重要内容，而几何辅助线是解决几何问题时常用的一种方法。
下面我将为大家介绍一些初中几何辅助线的口诀和秘籍。
一、角平分线角平分线是指将一个角分为两个相等的角的线段。
在解决几何问题时，我们常常需要用到角平分线来帮助我们求解。
如何画角平分线呢？下面是一个简单的口诀：“角平分线，一刀两半，角分两相等，求解题简单。
”二、三角形的中线三角形的中线是连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。
在解决三角形相关问题时，中线也是一个常用的辅助线。
我们可以通过以下口诀来记忆中线的特点：“三角形中线，一条有三，中点连顶点，两边相等。
”三、垂直平分线垂直平分线是指将一个线段垂直分割并且分成两个相等部分的线段。
垂直平分线在解决线段相关问题时非常有用。
下面是一个简洁的口诀来帮助我们记忆垂直平分线的画法：“垂直平分线，画在线上，两边相等，线段垂直。
”四、角的对称线角的对称线是指将一个角按照对称轴对折后，得到的两个相等角的辅助线。
在解决角相关问题时，角的对称线可以帮助我们找到一些相等角。
以下是一个简单的口诀来帮助我们记忆角的对称线：“角的对称线，轴线中间，两边相等，角对称分。
”五、相似三角形的辅助线在解决相似三角形问题时，有一些特殊的辅助线可以帮助我们找到相似三角形之间的对应关系。
例如，高线可以帮助我们找到相似三角形的对应边的比例关系。
以下是一个简单的口诀来帮助我们记忆相似三角形的辅助线：“相似三角形辅助线，高线找比例，边线对应比例，找答案简单。
”通过以上口诀和秘籍，我们可以更加方便地使用几何辅助线来解决初中几何问题。
当然，在实际解题的过程中，我们还需要根据具体问题的要求灵活运用这些辅助线，以达到解题的目的。
总结起来，初中几何辅助线是解决几何问题时的重要工具。
通过记忆和掌握一些几何辅助线的特点和画法，我们能够更加高效地解决几何问题，提高我们的数学水平。
希望以上口诀和秘籍能够帮助到大家，让我们在初中几何学习中取得更好的成绩！。
提分专题四 遇到角平分线如何添加辅助线
A.①③
√
B.①②③
第3题图
)
C.①②
D.①④
方法 四 作垂线构造等腰三角形、全等三角形
方法分析
过角平分线上一点，作角平分线的垂线，构造两个全等
的直角三角形和一个等腰三角形
图示
条件及结论
条件：如图， 是 ∠ 的平分线， ⊥ .
结论： Rt △ ≌ Rt △ , △ 为等腰三角形
遇到角平分线如何添
提分专题四
加辅助线
方法 一 过角平分线上的点向两边作垂线
方法分析
过角平分线上一点，作角两边的垂线，得线段相等和三角
形全等，进而求线段长或面积
图示
条件：如图， 是 ∠ 的平分线， ⊥ ,
条件及结论 ⊥ .
结论： = , △ ≌△
针对训练
1.如图， ， ， 分别平分 ∠ ， ∠ ， ∠ ， ⊥ 于点
， = 3 ， △ 的面积为36，则 △ 的周长为(
A.48
B.36
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
√
C.24
第1题图
D.12
)
方法 二 截取线段构造全等三角形
方法分析
在角一边上截取与角另一边上相等的线段，构造全等三角
3或7
，则 的长为______．
第2题图
方法 三 作平行线构造等腰三角形
方法分析
过角平分线上一点，作与角的一边平行的直线，构造等腰
三角形
图示
条件：如图， 是 ∠ 的平分线， 为 上一点，
条件及结论 // 交 于点 .
结论： △ 为等腰三角形， =
针对训练
全等三角形辅助线系列之角平分线类辅助线作法大全x
全等三角形辅助线系列之一 与角平分线有关的辅助线作法大全一、角平分线类辅助线作法角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等•对于有角平分线的 辅助线的作法，一般有以下四种.1、 角分线上点向角两边作垂线构全等：过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题； 2、 截取构全等利用对称性，在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形； 3、 延长垂线段题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形； 4、 做平行线：以角分线上一点做角的另一边的平行线，构造等腰三角形 有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线， 从而构造等腰三角形.或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形.通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形.至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件.图三M图一M图M图四典型例题精讲如图所示，BN 平分/ ABC, P 为BN 上的一点，并且求证：.BAP+ . BCP =180 .【解析】因为已知 PD 平分/ADC ，所以我们过 P 点作PE 丄CD ，垂足为E,贝U PA = PE ，由P 是AB【例1】 PD 丄 BC 于 D , AB + BC =2BD .【解析】过点P 作PE 丄AB 于点E .VPE ± AB , PD 丄 BC , BN 平分/ABC ,： PE 二 PD . 在 Rt APBE 和 Rt APBC 中， BP =BP PE =PD ，•••Rt z2PBE 细t ^BC ( HL ), BE=BD .•/ AB BC =2BD , BC =CD BD , AB 二 BE - AE , • AE =CD . TPE 丄AB , PD 丄 BC ,.・. /PEB ^PDB =90 . 在 AFAE 和 Rt APCD 中，PE =PD ••• N PEB 二.PDC ,AE =DC• △AE 织t A^CD ，•- PCB - EAP .v Z BAP ： ^EAP =180，•乙BAP ^BCP =180 .【答案】见解析.【例2】 如图，已知: • A=90 , AD // BC , P 是 AB 的中点,D C的中点，得PB=PE，即CP平分/ DCB .【答案】作PE丄CD，垂足为E, ••…PEC =/A=90 ,••• PD 平分/ ADC , • PA 二PE ,又••• B —PEC =90 , • PB =PE ,•••点P在/ DCB的平分线上，• CP 平分/ DCB .【例3】已知：.AOB =90 , OM是/ AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D .(1)PC和PD有怎样的数量关系是______________(2)请你证明(1)得出的结论.【解析】(1) PC =PD .(2)过P分别作PE丄OB于E, PF丄OA于F ,• CFP 二 DEP =90 ,••OM 是/AOB 的平分线，••• PE 二 PF ,£v ■ FPD =90 ，且 NAOB =90，•乙 FPE =90 ,:丄2 EFPD =90. 1 2 , 在△CFP 和ADEP 中CPF =. DEP PF =PE , AZCFP 也zDEP ,• PC =PD ..1 二/2【答案】见解析.【例4】 如图①，OP 是/ MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角 形•请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：(1) 如图②，在△ ABC 中，/ ACB 是直角，.B = 60 , AD 、CE 分别是/ BAC 、/ BCA 的平 分线，AD 、CE 相交于点F ，请你判断并写出 FE 与FD 之间的数量关系(不需证明)；(2) 如图③，在△ ABC 中，.B =60，请问，在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立， 请证明；若不成立，请说明理由.【解析】如图①所示;(1) FE 二FD .F 作FG 丄AB 于G,作FH 丄BC 于H ，作FK 丄AC 于K,VAD 、CE 分别是/BAC 、/BCA 的平分线，• FG 二 FH 二 FK , 在四边形 BGFH 中， GFH =360 -60 - 902 =120 ,••AD、CE 分别是/BAC 、/BCA 的平分线，• B =60 , 1二 FAC FCA 180 -60=60 .2在MFC 中，Z AFC =180°-(N FAC +N FCA )=180°-60°=120° , • EFD = AFC =120 ,• EFG = DFH , 在AEFG 和ADFH 中，(2)如图，过点J?EFG 二/DFH.EGF =. DHF，•丘FG也Q FH ,二FE 二FDFG =FH【答案】见解析.【例5】已知.MAN =120 , AC平分/ MAN，点B、D分别在 AN、AM 上.【例6】（1）如图1，若.ABC = ADC =90，请你探索线段 AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之；【例7】（2）如图2，若.ABC • . ADC =180，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明;若不成立，请说明理由.1【解析】（1）得到^ACD ^ACB =30后再可以证得 AD =AB二-AC，从而，证得结论;2（2）过点 C分别作 AM、AN的垂线，垂足分别为 E、F，证得△ CED也JCFB后即可得到AD AB =AE - ED AF FB =AE AF，从而证得结论.【答案】（1 ）关系是：AD ' AB =AC .证明：••• AC 平分/MAN , - MAN =120•CAD 二 CAB =60又 ADC 二 ABC =90 ,•ACD 二 ACB =301则AD=AB=-AC （直角三角形一锐角为 30°,则它所对直角边为斜边一半）2•AD AB =AC ;（2 ）仍成立.证明：过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为 E、FVAC 平分/MAN •CE =CF （角平分线上点到角两边距离相等）V ABC ADC =180 , - ADC CDE =180• CDE 二ABC又CED = CFB =90 , • JCED ^/CFB （AAS ）V ED 二FB ,••• AD AB =AE -ED AF FB =AE AF由(1)知 AE AF 二 AC , •- AD AB =AC •【例8】 如图，在△ ABC 中，.C =2. B , AD 平分/ BAC ，求证:【解析】在AB 上截取点E,使得AE =AC •••AD 平分/BAC ,• EAD 二 CAD ,• ZADE 也△DC ( SAS ) • • AED = C , ED =CD •••• /C =2^B ,• AED=2 B •• AED “B EDB ,• B “EDB , • BE =DE • • CD =BE =AB -AE =AB -AC •【答案】见解析.【例9】 如图，△ ABC 中，AB = AC , A =108 , BD 平分.ABC 交AC 于D 点.求证：BC = AC CD •【解析】在BC 上截取E 点使BE 二BA ，连结DE •• BD 平分.ABC , • . ABD = EBD • 在ABD 与EBD 中•/ AB =EB , ABD =/EBD , BD =BDC••• . ABD 也 EBD . A =/DEB••• AB =AE ，•乙BAD ZBED , • Z DEC =72 .又T /ADB =36 18 =54 ,• /CDE =72 • . CDE 二/DEC , • CD =CE •/ BC =BE EC , • BC =AC CD【答案】见解析.【例10】已知 ABC 中，.A=60 , BD 、CE 分别平分.ABC 和.ACB , 断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明.BD 、CE 交于点试判【解析】在BC 上截取一点F 使得BF 二BE ,易证 BOE 也厶BOF ,在根据.BOC =120推出ZBOE ZCOF =60，再证明.：OCF：OCD 即可.【答案】 BC = BE CD .【例11】如图：已知AD ABC 的中线，且.1=2 , . 3=/4，求证:BE CF ■EF .O ,F在△DBE 和ADNE 中:DN =DB「4-2ED =ED/.ZDBE 也zDNE ( SAS ), /• BE =NE 同理可得：CF =NF在AEFN 中，EN FN EF (三角形两边之和大于第三边) 「•BE CF EF •【答案】见解析.【例12】已知：在四边形ABCD 中，BC . BA , . A • . C =180，且.C =60 , BD 平分/ ABC,求证:BC =AB DC •【解析】在BC 上截取BE =BA ,•••BD 平分/ABC,.「ABD^EBD , 在ABAD 和ABED 中，BA 二 BE ■: ZABD ZEBD , BD =BD.•./BAD BA ED ,••• AD =DE ，/A ^BED • v Z BED /DEC =180，乙A =180 • • C - DEC , • DE =DC •••• DC =AD • •「C =60 , .ZCDE 是等边三角形， •DE 二CD 二CE , • BC =BE CE =AB CD •【答案】见解析.【解析】在DA 上截取DN 二DB ，连接NE , NF ，贝U DN 二DC ,优质参考文档【例13】观察、猜想、探究：【例14】在厶ABC中，.ACB =2. B .【例15】(1)如图①，当.C =90 , AD为/ BAC的角平分线时，求证：AB=AC - CD ;【例16】(2)如图②，当.C =90，AD为/ BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；【例17】(3)如图③，当AD ABC的外角平分线时，线段 AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明.闔①图②圍③【解析】(1)过D作DE丄AB，交AB于点E,理由角平分线性质得到ED=CD，利用HL得到直角三角形AED与直角三角形ACD全等，由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得到AE二AC , ■ AED =. ACB，由.ACB =2.B，利用等量代换及外角性质得到一对角相等，利用等角对等边得到BE二DE，由AB二AE EB，等量代换即可得证；(2)AB =CD AC ,理由为：在AB上截取AG = AC ,如图2所示，由角平分线定义得到一对角相等，再由AD二AD，利用SAS得到三角形AGD与三角形ACD全等，接下来同(1)即可得证；(3)AB =CD -AC，理由为：在 AF上截取AG =AC，如图3所示，同(2)即可得证.【答案】(1 )过D作DE丄AB,交AB于点E,如图1所示，••AD 为/BAC 的平分线，DC 丄 AC, DE 丄 AB,「. DE =DC ,在 Rt△XCD 和 Rt △XED 中，AD 二AD , DE 二 DC ,•••Rt△ACD 织t A AED ( HL ) , /• AC =AE , ^ACB =^AED ,ACB =24 ,.・. /AED=2 B ,又••• AED “B EDB ,• B »EDB ,•BE =DE =DC，贝U AB =BE AE =CD AC ;(2) AB =CD ' AC，理由为：在AB上截取AG =AC，如图2所示，VAD 为/BAC 的平分线，• GAD 二 CAD ,工AG = AC• •在△XDG 和△ADC 中，！^GAD ZCADAD =AD•••ZADG 也zADC ( SAS), /• CD =CG，/ AGD =NACB ,••復ACB =2/B，•乙AGD =2/B ,又•"AGD Z B £GDB，：上B ZGDB ,•BE =DG =DC，贝U AB =BG AG =CD AC ;(3) AB =CD - AC，理由为：在AF上截取AG =AC，如图3所示，••AD 为/FAC 的平分线，• • GAD =/CAD ,••在^ADG 和A ADC 中，f AG = ACIJNGAD CAD , •△K DG 也ZADC (SAS),AD =AD•CD =GD , - AGD =/ACD，即 ACB =/FGD ,•ACB =2 B ,• FGD =2 B，又• FGD 二 B GDB ,• B ~ GDB ,•BG 二 DG =DC，贝U AB =BG - AG =CD - AC .閨①图②園⑤【例18】如图所示，在△ ABC中，.ABC =3. C , AD是/ BAC的平分线，BE丄AD于F.1求证：BE AC - AB .2【解析】延长BE交AC于点F.则AD为/BAC的对称轴，••BE丄AD于F，•点B和点F关于AD对称，1•BE =EF BF , AB=AF，/ABF ZAFB .2•ABF + FBC = ABC =3 C , - ABF = AFB = FBC+ C ,•FBC + C+ FBC =3 C ,。
22.第四章 微专题 遇到角平分线如何添加辅助线
微专题 遇到角平分线如何添加辅助线 例2 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC的中点，AD⊥BD，若 AC＝7，AB＝3，则DE的长为 2 ．
例2题图
微专题 遇到角平分线如何添加辅助线
例3 如图，在四边形ABCD中，AC为∠BAD的平分线，BC＝2，若∠B ＝2∠D＝120°，求CD的长．
在△ABD和△ACF中，
∠ABD＝∠ACF
AB＝AC
，
∠BAD＝∠CAF＝90°
∴△ABD≌△ACF(ASA)，
∴BD＝CF，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBC＝∠EBF，
第5题图
F
微专题 遇到角平分线如何添加辅助线
在△BCE和△BFE中，
∠EBC＝∠EBF
BE＝BE
，
∠CEB＝∠FEB
∴△BCE≌△BFE(ASA)，
微专题 遇到角平分线如何添加辅助线
例5
一题多解法 如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝6，BD平
分∠ABC，求
CD AD
的值．
解：如图，过点D作DE∥AB交BC于点E，
则∠ABD＝∠BDE，
∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∴∠BDE＝∠DBE，Байду номын сангаас∴DE＝BE，
E
例5题图
微专题 遇到角平分线如何添加辅助线
AC上，连接DE，DF，DE＝4，若∠BAC＋∠EDF＝180°，则DF的长
为___4____.
第4题图
解题关键点 在AB上截取AG＝AF，连接DG，构造全等三角形．
微专题 遇到角平分线如何添加辅助线
5.如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是∠ABC的
遇角平分线常用辅助线
遇角平分线常用辅助线 The latest revision on November 22, 2020第一章遇角平分线常用辅助线【添法透析】角相等时，添线段可构造线段相等、三角形全等或相似，常用有如下四大添法：一．点在平分线，可作垂两边二．角边相等，可造全等三．平分加平行，可得等腰形四．平分加垂线，补得等腰现练习2．已知如图，AD是△ABC的内角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，，试比较PB-PC与AC-AB的大小，并说明理由．例4．如图，ΔABC 中，过点A 分别作∠ABC,∠ACB 的外角的平分线的垂线AD 、AE ，D 、E 为垂足．求证： （1）ED//BC ；（2）ED=21（AB+AC+BC ）．邦德点拨：延长AD 、AE 交直线BC 于F 、G ， 可证得△BAF 、△CAG 为等腰三角形．练习4．已知如图，等腰Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD ，垂足为点E ，求证：BD=2CE ．【homework 】1．已知如图，在△ABC 中，BD 、CD 分别平分∠ABC 和∠ACB ，DE//AB ，FD//AC ．如果BC=6，求△DEF 周长．2．已知如图，四边形ABCD 中，∠B+∠D=180°，BC=CD ．求证：AC 平分∠BAD ．AD EC BAEDFGCBADFECBBCA D3．已知如图，∠BAD=∠CAD ，AB>AC ，CD ⊥AD 于点D ，H 是BC 中点，求证：DH=21(AB-AC)．4．如图，ABC ∆中，AM 平分A ∠，BD 垂直于AM ，交AM 延长线于点D ，DE∥CA 交AB 于E ．求证：AE=BE ． 5．已知CE 、AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD ．AB H D CA ECM BD AE BDC。
角平分线的4种辅助线
角平分线的4种辅助线（方法总结，讲练结合）中考高频考点系列是笔者根据近两年中考的趋势及热点，结合《新课标》的要求，对中考经常出现的题型，进行了归纳总结，要想在中考时取得好成绩，这些都是必须要掌握的知识。
作有关角平分线的辅助线，常见的有四种方法：①如下图，由角的平分线上的一点向角的一边或两边作垂线，可以用角的平分线性质定理解题；①②③④②如上图，以角的平分线为轴，将图形翻折，在角的平分线两侧构造全等三角形，使已知与结论发生关系出现新的条件；③如上图，当题设有角平分线及与角平分线垂直的线段，可延长这条线段与角的另一边相交，构成等腰三角形，利用等腰三角形的“三线合一”性质证题；④如上图，过角的一边上的点，作另一边的平行线，构成等腰三角形——“角平分线+平行，必出等腰”.【典例1】如下图，已知在四边形ABCD中，BC＞AB,AD=CD,BD平分∠ABC.求证:∠A＋∠C=180°.证法一：如上图，过点D作BC、BA的垂线，垂足分别是M、N.∵BD平分∠ABC∴DM=DN又∵AD=CD∴Rt△DMC≌Rt△DNA（HL）∴∠NAD=∠C∵∠BAD＋∠NAD=180°∴∠BAD＋∠C=180°.证法二：如上图，在BC上截取BE=AB，连接DE，可证得△ABD≌△EBD（SAS）∴∠A=∠BED,AD=ED∵AD=CD∴ED=CD∴∠C=∠DEC∴∠A＋∠C=∠BED＋∠DEC=180°.证法三：如上图，延长BA到E，使BE=BC,连接ED.可证△BDE≌△BDC（SAS）∴∠E=∠C，ED=CD.∵AD=CD∴AD=ED.∴∠E=∠DAE，∠C=∠DAE，∴∠BAD＋∠C=∠BAD＋∠DAE=180°.点评：法一用的是第一种模型“由角的平分线上的一点向角的两边作垂线”，法二和法三实际上用的是第二种模型：以角的平分线为轴，将图形翻折，在角的平分线两侧构造全等三角形.本题证明两角之和等于180°，实际上可以证明一个角等于另一个角的邻补角.许多证明线段、角关系的问题，往往转化为证线段、角相等.证明两个三角形全等是证明两线段、角相等的重要方法，许多时候要通过作辅助线，使图形出现全等三角形，将角或线段相对转移、等量代换，以使问题得到解决.【典例2】如下图，已知在△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE.求证：CE=1/2BD.思路分析：注意到BD 平分∠ABC，CE⊥BE，这种情况完全和第三种模型吻合，于是延长CE、BA相交于F，如下图，则易证△BEF≌△BEC（ASA）∴EF=CE ∴CE=EF=1/2CF.∵CE⊥BE∴∠1=90°-∠F.同理∠3=90°-∠F∴∠1=∠3又∵AB=AC∠BAD=∠CAF∴△ABD≌△ACF(ASA)∴BD=CF∴CE=1/2BD.点评：本题解题的关键是抓住角平分线加垂直的条件，构造出等腰三角形.【配套练习】已知，如下图，AC是四边形ABCD的一条对角线，并且AC平分∠BAD，若∠B与∠D互补，而且AB＞AD.求证：CD=CB.第1题第2题2、如上图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠BAD=∠DAC＋∠C.第3题第4题第5题3、如上图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，D是垂足，∠ABC 的平分线BE交CD于点G，交AC于点E，GF∥AB交AC于F.求证：AF=CG.4、如下图，在△ABC中，∠A的平分线AD交BC于点D，且AB=AD，CM⊥AD交AD的延长线于点M.5、（乌鲁木齐中考）如上图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝5，AC＝2，则DF的长为________．【答案】1、分别过C作AB、AD的垂线，垂足为E、F，证△CBE≌△CDF，或在AB上截取AE=AD，连接CE，则CE=CD，证CE=CB.2、延长AD交BC于点F，则∠BAD=∠BFA=∠DAC＋∠C.3、过点E作EH⊥AB于H，则EH=EC，证∠CEG=∠CGE，则EC=GC，∴CG=EH，再证△CGF≌△EHA，则CF=EA.4、因AD平分∠BAC，过点C作CE∥AB，则△ACE是等腰三角形.因为CM⊥AD，所以AE=2AM，又AE=AD＋DE=AB＋DE，证DE=AC 即可.5、利用模型3的方法，延长CF交AB于点G，则△AFC≌△AFG，∴CF=GFAC=AG=2，∵AB=5∴BG=3又∵F是GC的中点，D是BC 的中点，即DF是△CBG的中位线，∴DF平行且等于BG的一半，即DF=角平分线专题训练，得熟悉此类题题1.如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，且AC＝AB+BD.求证：AD是∠BAC的平分线。
与角平分线有关的常用结论、辅助线总结与练习(有答案)
与角平分线有关的常用结论、辅助线总结角平分线是我们常见的几何条件，合理的把角平分线和其它条件相结合可以形成新的结论。
一、总结下面我们来看一下常见的和角平分线有关结论或辅助线。
1、如图1，OP 平分∠AOB ，点D 在OA 上，DE ∥OB 交OE 于点E∵OP 平分∠AOB ∴∠DOE =∠EOB∵DE ∥OB ∴∠BOE =∠DEO ∴∠DOE =∠DEO∴OD =DE由此可知，当角平分线和与角的一边平行的直线相交后可以形成等腰三角形。
例题：（2016·四川南充）如图2，对折矩形纸片ABCD ，使AB 与DC 重合得到折痕EF ，将纸片展平；再一次折叠，使点D 落到EF 上点G 处，并使折痕经过点A ，展平纸片后∠DAG 的大小为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°分析：由题意可得：∠1=∠2，AN =MN ，∠MG A =90°，则NG =12AM ，故AN =NG ，则∠2=∠4，∵EF ∥AB ，∴∠4=∠3，∴∠1=∠2=∠3=13×90°=30°，∴∠DAG =60°．故选：C ．2、角平分线遇到垂线：如图3，OP 平分∠AOB ，点D 在OA 上，DP ⊥OP 于点P 。
遇到这种情况，我们可以作辅助线： 延长DP 交OB 于点E ，∵OP 平分∠AOB∴∠DOP =∠EOP ∵DP ⊥OP ∴∠ODP =∠OEP∴OD =OE ∴DP =PE通过上述证明我们可以发现，当角平分线遇到垂线后，可以将垂线延长与角的两边相交，构成等腰三角形，同时，垂足即为等腰三角形底边中点。
例题：如图4，在直角梯形ABCD 中， AD ∥BC ，∠B =90°，E 为AB 上一点，且ED 平分∠ADC ，EC 平分∠BCD ．求证：AE =BE 分析：由已知，AD ∥BC ，ED 平分∠ADC ，EC 平分∠BCD ，可得DE ⊥EC ，延长DE 交CB 延长线于F ，有上述结论可知，E 为DF 中点，可证△ADE ≌△BFE3、从角平分线做角一边的垂线ED BAO 图1 图2E D P B AO图3 F图4 DPA如图3，OP 平分∠AOB ，PD ⊥OA 于点D 。
一遇角平分线常用辅助线
第一章 遇角平分线常用辅助线【添法透析】角相等时，添线段可构造线段相等、三角形全等或相似，常用有如下四大添法：一．点在平分线，可作垂两边 二．角边相等，可造全等 三．平分加平行，可得等腰形 四．平分加垂线 ，补得等腰现 一．点在平分线，可作垂两边角平分线性质定理：角平分线上点到角两边距离相等． 如图，若OP 是∠AOB 角平分线，PE ⊥OA ，可过P 点作PF ⊥OB ， 则可用结论有：（1）PF=PE ；（2）证得△OPF ≌△OPE ； （3）证得OF=OE ．例1．已知如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，CD=1.5，BD=2.5，求AC ．邦德点拨：过点D 作DE ⊥AB ，则DE=CD ，AE=AC ， 再利用方程思想、勾股定理解AC ．练习1：已知如图，P 为△ABC 两外角∠DBC 和∠ECB 平分线的交点，求证：AP 平分∠BAC ．二．角边相等，可造全等AB C EDEAP OB F BE D C A在角的两边取相等线段，可得全等三角形．如图，若OP 为∠AOB 角平分线，可在OB 上取OF=OE ， 则可用结论有：（1）证得△OPF ≌△OPE ； （2）证得PF=PE ，OF=OE ；（3）证得∠PFO=∠PEO ，∠OPF=∠OPE ．例2．已知如图，AB//CD ，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD ．邦德点拨：在BC 上截取BF=BA ，问题转化为证CF=CD ．练习2．已知如图，AD 是△ABC 的内角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，，试比较PB-PC 与AC-AB 的大小，并说明理由． 三．平分加平行，可得等腰形1．过角平分线上一点，作角的一边平行线，可构造得等腰三角形或相似；如图，若OP 是∠AOB 平分线，过P 点作OB 平行线交OA 于E 点，可用结论：证得△EOP 是等腰三角形．如图，若AD 是∠BAC 平分线，过C 点作AB 平行线交直线AD 于E 点， 可用结论有：（1）证得△EOP 是等腰三角形； （2）证得△CDE ∽△ADB ；（3）CDBDAC AB =． 2．过角的一边上一点，作角平分线的平行线，可构造得等腰三角形．如图，若OP 为∠AOB 平分线，过直线OB 上一点E ，作OP 平行线交OA 于点F ，则可用结论有：（1）证得△OEF 是等腰三角形；（2）证得∠E=21∠AOB ．例3．已知如图，在△ABC 中（AB ≠AC ），D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作AEP F BO A P DCBE DA FCBEP OBAA D CBEAFE PO BA FDF//BA 交AE 于点F ，DF=AC ，求证：AE 平分∠BAC ． 邦德点拨：过C 点作AB 平行线交AE 延长线于点G ， 则∠G=∠BAE ，接下只需证∠G=∠CAE ．练习3．已知如图，过△ABC 的边BC 的中点D 作∠BAC 的平分线AG 的平行线，交AB 、BC 及CA 的延长线于点E 、D 、F ．求证：BE=CF ． 四．平分加垂线 补得等腰现从角的一边上一点作角平分线的垂线，与另一边相交，可得等腰三角形．如图，若OP 是∠AOB 平分线，EP ⊥OP ，则可延长EP 交OB 于F 点， 可用结论有：（1）证得△OEF 是等腰三角形； （2）P 是EF 中点． 例4．如图，ΔABC 中，过点A 分别作∠ABC, ∠ACB 的外角的平分线的垂线AD 、AE ，D 、E 为垂足．求证： （1）ED//BC ；（2）ED=21（AB+AC+BC ）．邦德点拨：延长AD 、AE 交直线BC 于F 、G ， 可证得△BAF 、△CAG 为等腰三角形．练习4．已知如图，等腰Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD ，垂足为点E ，求证：BD=2CE ．【homework 】1．已知如图，在△ABC 中，BD 、CD 分别平分∠ABC 和∠ACB ，DE//AB ，FD//AC ．如果BC=6，求△DEF 周长．2．已知如图，四边形ABCD 中，∠B+∠D=180°，BC=CD ．求证：AC 平分∠BAD ．F E ABOPAD E CBAEDFGCBA DFECBFAE B C GDBCA D3．已知如图，∠BAD=∠CAD ，AB>AC ，CD ⊥AD 于点D ，H 是BC 中点，求证：DH=21(AB-AC)．4．如图，ABC ∆中，AM 平分A ∠，BD 垂直于AM ，交AM 延长线于点D ，DE∥CA 交AB 于E ．求证：AE=BE ． 5．已知CE 、AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD ．AB H D CA EC M BD AE BDC。
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第一章 遇角平分线常用辅助线
【添法透析】
角相等时，添线段可构造线段相等、三角形全等或相似，常用有如下四大添法： 一．点在平分线，可作垂两边 二．角边相等，可造全等 三．平分加平行，可得等腰形 四．平分加垂线 ，补得等腰现
例1．已知如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，CD=1.5，BD=2.5，求AC ． 邦德点拨：过点D 作DE ⊥AB ，则DE=CD ，AE=AC ， 再利用方程思想、勾股定理解AC ．
B
E
D C
练习1：已知如图，P 为△ABC 两外角∠DBC 和∠ECB 平分线的交点，求证：AP 平分∠BAC ．
例2．已知如图，AB//CD ，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD ． 邦德点拨：在BC 上截取BF=BA ，问题转化为证CF=CD ．
练习2．已知如图，AD 是△ABC 的内角平分线，P 是AD 上异
A
B
C
E
D
P A P C
B
E
D
A
F
B
于点A的任意一点，，试比较PB-PC与AC-AB的大小，并说明理由．
例3．已知如图，在△ABC 中（AB AC ），D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作DF//BA 交AE 于点F ，DF=AC ，求证：AE 平分∠BAC ． 邦德点拨：过C 点作AB 平行线交AE 延长线于点G ， 则∠G=∠BAE ，接下只需证∠G=∠CAE ．
练习3．已知如图，过△ABC 的边BC 的中点D 作∠BAC 的平分线AG 的平行线，交AB 、BC 及CA 的延长线于点E 、D 、F ．求证：BE=CF ．
A E
F
B
C D
G
F
A E
B
C
G
D
例4．如图，ΔABC 中，过点A 分别作∠ABC, ∠ACB 的外角的平分线的垂线AD 、AE ，D 、E 为垂足．求证： （1）ED//BC ； （2）ED=
2
1
（AB+AC+BC ）． 邦德点拨：延长AD 、AE 交直线BC 于F 、G ， 可证得△BAF 、△CAG 为等腰三角形．
练习4．已知如图，等腰Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD ，垂足为点E ，求证：BD=2CE ．
A
D E
C
B
A
E
D
F
G
C B
【homework 】
1．已知如图，在△ABC 中，BD 、CD 分别平分∠ABC 和∠ACB ，DE//AB ，FD//AC ．如果BC=6，求△DEF 周长．
2．已知如图，四边形ABCD 中，∠B+∠D=180°，BC=CD ．求证：AC 平分∠BAD ．
3．已知如图，∠BAD=∠CAD ，AB>AC ，CD ⊥AD 于点D ，H 是BC 中点，求证：DH=2
1
(AB-AC)．
B
A
D
C
A
B
H
D
C
A
D E
C B
4．如图，ABC ∆中，AM 平分A ∠，BD 垂直于AM ，交AM 延长线于点D ，DE∥CA 交AB 于E ．求证：AE=BE ．
5．已知CE 、AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD ．
A
E
C
M B
D
A
E
B
D C。