一 遇角平分线常用辅助线

第一章 遇角平分线常用辅助线

【添法透析】

角相等时，添线段可构造线段相等、三角形全等或相似，常用有如下四大添法： 一．点在平分线，可作垂两边 二．角边相等，可造全等 三．平分加平行，可得等腰形 四．平分加垂线 ，补得等腰现

例1．已知如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，CD=1.5，BD=2.5，求AC ． 邦德点拨：过点D 作DE ⊥AB ，则DE=CD ，AE=AC ， 再利用方程思想、勾股定理解AC ．

B

E

D C

练习1：已知如图，P 为△ABC 两外角∠DBC 和∠ECB 平分线的交点，求证：AP 平分∠BAC ．

例2．已知如图，AB//CD ，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD ． 邦德点拨：在BC 上截取BF=BA ，问题转化为证CF=CD ．

练习2．已知如图，AD 是△ABC 的内角平分线，P 是AD 上异

A

B

C

E

D

P A P C

B

E

D

A

F

B

于点A的任意一点，，试比较PB-PC与AC-AB的大小，并说明理由．

例3．已知如图，在△ABC 中（AB AC ），D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作DF//BA 交AE 于点F ，DF=AC ，求证：AE 平分∠BAC ． 邦德点拨：过C 点作AB 平行线交AE 延长线于点G ， 则∠G=∠BAE ，接下只需证∠G=∠CAE ．

练习3．已知如图，过△ABC 的边BC 的中点D 作∠BAC 的平分线AG 的平行线，交AB 、BC 及CA 的延长线于点E 、D 、F ．求证：BE=CF ．

A E

F

B

C D

G

F

A E

B

C

G

D

例4．如图，ΔABC 中，过点A 分别作∠ABC, ∠ACB 的外角的平分线的垂线AD 、AE ，D 、E 为垂足．求证： （1）ED//BC ； （2）ED=

2

1

（AB+AC+BC ）． 邦德点拨：延长AD 、AE 交直线BC 于F 、G ， 可证得△BAF 、△CAG 为等腰三角形．

练习4．已知如图，等腰Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD ，垂足为点E ，求证：BD=2CE ．

A

D E

C

B

A

E

D

F

G

C B

【homework 】

1．已知如图，在△ABC 中，BD 、CD 分别平分∠ABC 和∠ACB ，DE//AB ，FD//AC ．如果BC=6，求△DEF 周长．

2．已知如图，四边形ABCD 中，∠B+∠D=180°，BC=CD ．求证：AC 平分∠BAD ．

3．已知如图，∠BAD=∠CAD ，AB>AC ，CD ⊥AD 于点D ，H 是BC 中点，求证：DH=2

1

(AB-AC)．

B

A

D

C

A

B

H

D

C

A

D E

C B

4．如图，ABC ∆中，AM 平分A ∠，BD 垂直于AM ，交AM 延长线于点D ，DE∥CA 交AB 于E ．求证：AE=BE ．

5．已知CE 、AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD ．

A

E

C

M B

D

A

E

B

D C