蒙特卡罗模拟方法

X
模型建立的两点说明
▪ Monte Carlo方法在求解一个问题是，总
是需要根据问题的要求构造一个用于求
解的百度文库率统计模型，常见的模型把问题
的解化为一个随机变量 X 的某个参数
的估计问题。
▪ 要估计的参数 通常设定为 X 的数学
期望（亦平均值，即 E(X ) ）。按
统计学惯例， 可用 X 的样本 (X1, X2,...X n )
▪ Crystal ball软件对各种概率分布进行拟合以选取最合适的 分布。
抽样次数与结果精度
▪
解的均值与方差的计算公式：
E(X
)
,Var(
X
)
1 n
2 x
中x2的是样随本机量变n很量大X的，方由差统，计而学称的V中a心r极( X限)定为理估知计量方X差。通常渐蒙进特正卡态罗分模布拟，
即：
x n
lim p( X
其中作为当时的代表性工作便是在第二次世界大战期间，为解 决原子弹研制工作中，裂变物质的中子随机扩散问题，美国数学 家冯.诺伊曼（Von Neumann）和乌拉姆（Ulam）等提出蒙特卡 罗模拟方法。 由于当时工作是保密的，就给这种方法起了一个代 号叫蒙特卡罗，即摩纳哥的一个赌城的名字。用赌城的名字作为 随机模拟的名称，既反映了该方法的部分内涵，又易记忆，因而 很快就得到人们的普遍接受。
)
1, 0,
当x l sin
其他
s N
1 N
N
s(xi ,i )
i 1
P s(x, ) f1(x) f2 ( )dxd d lsin dx 2l
0 0 a a
2l 2l
aP asN
▪ 一些人进行了实验，其结果列于下表 ：
实验者
年份 投计次数 π的实验值
沃尔弗(Wolf) 1850 5000
1 N
g N N i1 g(ri )
作为积分的估计值（近似值）。
计算机模拟试验过程
计算机模拟试验过程，就是将试验过 程（如投针问题）化为数学问题，在计算 机上实现。
模拟程序
▪ l=1; ▪ d=2; ▪ m=0; ▪ n=10000 ▪ for k=1:n; ▪ x=unifrnd(0,d/2); ▪ y=unifrnd(0,pi); ▪ if x<0.5*1*sin(y) ▪ m=m+1 ▪ else ▪ end ▪ end ▪ p=m/n ▪ pi_m=1/p
蒙特卡罗模拟方法
蒙特卡罗模拟方法
▪ 一、蒙特卡罗方法概述 ▪ 二、蒙特卡罗方法模型 ▪ 三、蒙特卡罗方法的优缺点及其适用范围 ▪ 四、相关案例分析及软件操作 ▪ 五、问题及相关答案
Monte Carlo方法的发展历史
▪ 早在17世纪，人们就知道用事件发生的 “频率”来决定事件的“概率”。从方法 特征的角度来说可以一直追溯到18世纪后 半叶的蒲丰（Buffon）随机投针试验，即 著名的蒲丰问题。
N
1
A aP bL2 cQ 2 d
根据历史数据，预测未来。
1
A aP bL2 cQ 2 d
收集P,L,Q数据，确定分布函 数 f (P), f (L), f (Q)
模拟次数N；根据分
N
布函数，产生随机数
产生 N个A值
N
抽取 P,L,Q一 组随机 数，带 入模型
统计分析，估计 均值，标准差
蒙特卡罗方法的基本思想
▪ 蒙特卡罗方法又称计算机随机模拟方法。 它是以概率统计理论为基础的一种方法。
▪ 由蒲丰试验可以看出，当所求问题的解是 某个事件的概率，或者是某个随机变量的 数学期望，或者是与概率、数学期望有关 的量时，通过某种试验的方法，得出该事 件发生的频率，或者该随机变量若干个具 体观察值的算术平均值，通过它得到问题 的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。
3.1596
斯密思(Smith) 1855 3204
3.1553
福克斯(Fox)
1894 1120
3.1419
拉查里尼 (Lazzarini)
1901 3408
3.1415929
20世纪四十年代，由于电子计算机的出现，利用电子计算机可以 实现大量的随机抽样的试验，使得用随机试验方法解决实际问题 才有了可能。
的平均值来估计，即
X
1 n
n k 1
Xk
收集模型中风险变量的数据 ， 确定 风险因数的分布函数
▪ 这时就必须采用主观概率,即由专家做出主观估计得到的概 率。
▪ 另一方面,在对估测目标的资料与数据不足的情况下,不可 能得知风险变量的真实分布时,根据当时或以前所收集到的 类似信息和历史资料,通过专家分析或利用德尔菲法还是能 够比较准确地估计上述各风险因素并用各种概率分布进行 描述的。
因此，可以通俗地说，蒙特卡罗方法是用随机试 验的方法计算积分，即将所要计算的积分看作服从某
种分布密度函数f(r)的随机变量ｇ(r)的数学期望
g 0 g(r) f (r)dr
概rg2(，r率2通)…，语过，…言某，r来N种，g说试(r）N，验)，的从，算将分得术相布到平应密Ｎ均的度个值Ｎ函观个数察随值f(r)机r中1，变抽r2量取，的Ｎ…值，个gr子N(r（样1)用，r1，
①建立概率统计模型
N
②收集模型中风险变量的数据 ， 确定风 险因数的分布函数
⑤根据随机数在各风 险变量的概率分布中 随机抽样，代入第一 步中建立的数学模型
③根据风险分析的精度要求，确
N
定模拟次数 N
N
④建立对随机变量的抽样 方法，产生随机数。
⑥ N个样本值
⑦统计分析，估计均 值，标准差
例子
某投资项目每年所得盈 利额A由投资额P、劳动 生产率L、和原料及能 源价格Q三个因素。
1707-1788
▪ 1777年，古稀之年的蒲丰在家中请来 好些客人玩投针游戏（针长是线距之半）， 他事先没有给客人讲与π有关的事。客人 们虽然不知道主人的用意，但是都参加了 游戏。他们共投针2212次，其中704次相交。 蒲丰说，2212/704=3.142，这就是π值。 这着实让人们惊喜不已。
例．蒲丰氏问题
▪
设针投到地面上的位置
可以用一组参数（x,θ）来描 述，x为针中心的坐标，θ为针 与平行线的夹角，如图所示。
▪
任意投针，就是意味着x
与θ都是任意取的，但x的范围
限于［0，a］，夹角θ的范围
限于［0，π］。在此情况下，
针与平行线相交的数学条件是
x l sin
针在平行线间的位置
s(x,
x)
x
1
1t2
e 2 dt