第十章 无穷级数全

(2)
lim
n
un
0,
则级数 (1)n1 un 收敛. n1
例1
判断级数
(1)n1
n1
1 np
的收敛性.
(
p
0)
解:
1 np
(n
1 1) p
;
1
lim
n
n
p
0,
由Leibniz判别法知,级数
(1)n1
n1
1 np
收敛.
例2
判断级数 (1)n n 的收敛性. n2 n 1
解:令 f ( x) x , 则 f ( x)
n1
n1
un vn (n 1,2,), 则
大敛小敛
(1) 若级数 vn收敛,则级数 un也收敛;
n1
n1
(2) 若级数 un发散,则级数 vn也发散.
n1
n1
小散大
散
例1
讨论
p
级数
n1
1 np
( p 0) 的敛散性.
解:当
p
1
时,
1 np
1,又
n n1
1 n
发散,故当 p
(1) 当 0 h 时,若 vn收敛,则 un收敛;
n1
n1
(2) 当 0 h 时,若 vn发散,则 un发散.
n1
n1
例3
讨论下列级数的收敛性:
(1)
2n 1
;
n1 (n 1)(n 2)(n 3)
(2) sin 1 ;
n1
n
(3) (1 cos ), (0 ).
设 y f ( x)在 a的一个空心邻域内有定义,则 y f ( x)
当 x a 时有极限的充要条件是: 0, 0, s.t.
当0 x1 a , 0 x2 a 时,有 f ( x1 ) f ( x2 ) .
2. 数项级数及其敛散性的概念
表达式 a1 a2 ak ak称为一个无穷级数.
数学分析II
第十章 无穷级数
§2 正项级数的收敛判别法
生物数学教研室
定义: 当 un 0 (n 1,2,) 时, un称正项级数. n1
<注>: 正项级数的部分和序列Sn是单调递增的.
命题: 正项级数 un收敛 其部分和序列有上界. n1
1. 比较判别法
定理 1 ( 比较判别法 )
设两正项级数 un与 vn的一般项满足
A
A 2
1 x(ln x)
p
dx
(ln 2)1 p1
p
由积分判别法知,级数
n2
1 n(ln n)
p
收敛.
本节小结
❖ 比较判别法及其极限形式. ❖ 检比法.(D’Alembert) ❖ 检根法.(Cauchy) ❖ 积分判别法.
数学分析II
第十章 无穷级数
§3 任意项级数
生物数学教研室
1. 交错级数
也收敛,并收敛于cS .
❖ 设有两级数 ak 与 bk .若存在一个 N ,使得
k 1
k 1
ak bk , 当 k N ,
则两个级数敛散性相同.
❖ 将收敛级数的项任意加括号所成的新级数,仍然收
敛到原级数的和. (反之不成立!)
Remark:
1. 级数收敛与否,与前有限项的取值无关.
2. 设 ak收敛, bk发散,则 (ak bk ) 一定发散.
(了解即可)
定理 5* (Raabe)
若正项级数 un (un 0) 满足
n1
lim
n
n
un un1
1
R
( R可以是). 则
(1) 当R 1时级数收敛; (2) 当R 1时级数发散;
与前几种 相反!
(3) 当R 1时级数的敛散性不定.
5. 积分判别法
定义: 设函数 f (x)在a, 上有定义,且对任意A a, f (x)
n2
1 n(ln n)
p
发散.
当
p 1 时,由比较判别法
1 n(ln n) p
1 (n nln n
3),
级数
n2
1 n(ln n)
p
发散.
当 p 1 时,
A 2
1 x(ln x) p
dx
1 1
p
(ln
x)1 p
A 2
1 [(ln A)1 p (ln 2)1 p ] 1 p
则
lim
任意项级数:
既有无穷多个正项又有无穷多个负项的级数.
交错级数:
正负项交错排列的级数;可写成
(1)n un 或 (1)n1 un ,其中 un 0 (n 1,2,).
n1
n1
交错级数收敛性判别法
定理 1 (Leibniz判别法)
若交错级数 (1)n1 un 满足下列条件: n1
(1) un un1 (n 1,2,);
Sn
1 2
(1
1) 2
(1 2
13)
1 2
(12
1) 3
(1 3
14)
1 2
(
1 n
n
1
) 1
(
n
1
1
n
1
2)
1 2
(1
n
1
) 1
(
1 2
n
1
2)
1 4
2(n
1 1)(n
2)
lim
n
Sn
1. 4
故级数收敛,其和为 1
4.
本节小结
❖ Cauchy收敛原理 ❖ 数项级数及其敛散性的概念 ❖ 收敛级数的性质 ❖ 本节可以判别收敛的方法
数学分析II
第十章 无穷级数
§1 柯西收敛原理与数项级数的概念
生物数学教研室
1. Cauchy收敛原理
定理 1 (Cauchy收敛原理)
Cauchy序列
设an是一个序列,则an有极限的充要条件是:
0, N , s.t. 当 n N , m N 时,有
an am .
定理 2 (函数的Cauchy收敛原理)
4 3
n1
P1
n 1,2,
An
An1
3{4n2
[(
1 )n1 9
A1
]}
A1
3
1 9
A1
3
4
(1)2 9
A1
3
4n2
(1)n1 9
A1
A1{1
[1 3
1(4) 39
1 (4)2 39
1 (4)n2 ]} 39
n 2,3,
于是有
lim
n
Pn
1
lim
n
An
A1(1
1
3
4
)
A1(1
3) 5
交错级数 (1)k1vk ,其中
k 1
v1
1
1 2
1 3
,
v2
1 4
1 5
1 6
,
vk
n1
n
( 1 ,L’hospital)
n2
解: (3)
lim
n
1
cos
n
1 n2
lim 1 x
cos
x
1 x2
t1 x
1 cos t
sin t 2
lim t 0
t2
lim
t0 2t
2
故级数
n1
1
cos
n
收敛.
2. 检比法(D’Alembert判别法)
பைடு நூலகம்
定理 3 (D’Alembert判别法)
)
是否收敛.若收敛,求其和.
例 4(书上无!)
证明 :
级数
n1
2n
n2 n
1
12
是
收敛的.
证明: Sn
n i 1
2i 1
i 2 i 12
i
n 1
1 i2
i
1
12
1
n
1
12
lim
n
Sn
lim1 n
n
1
12
1
即
n1
2n 1
n2 n 12
1
定理 3:设 ak 为给定的一个无穷级数,则该级数收敛 k 1 的必要条件是: 其通项趋于零,即
( n p一般取特殊数) (说明前面的必要条件不充分)
3. 收敛级数的性质
❖ 若 ak 与 bk都是收敛的,并分别收敛于 S1及 S2 ,
k 1
k 1
则级数 (ak bk ) 也收敛,并收敛于S1 S2 .
k 1
❖ 若级数 ak收敛于 S ,则对任意常数 c ,级数 cak
k 1
k 1
1 e
n!
(2)
;
n1 (2n 1)!!
1 2
(3)
1;
n1 2n(2n 1)
失效 1
(用比较法) n2
(4)
bn n1 n ,
( 0,b 0).
b
收 收 收 分情况
3. 检根法(Cauchy判别法)
定理 4 (Cauchy判别法)
若正项级数 un 满足 n1
lim n
n
un
l,
则
ak 0 (当 k ).
定理 4:级数 ak收敛的充要条件是: 0, N , s.t. k 1 当 n N , p 1 时,有
n p
ak .
k n1
例5
证明:调和级数
n1
1 n
1
1 2
1 3
1 n
是发散的.
证明: 2n 1 1 1 n 1 .
k kn1 n 1 2n 2n 2
x1
2
x1 x( x 1)2
0,
故 f ( x)单调递减,则有 un un1,
又 lim n 0, 由Leibniz判别法,
n n 1
级数 (1)n n 收敛. n2 n 1
例 3(难!)
判断级数
1 1 1 1 1 1 1 1 1 23456789
的收敛性.
解:从第一项开始每三项加一个括号,则成为一个
3. 4
第一次分叉：
周长为
P2
4 3
P1，
面积为
A2
A1
3
1 9
A1;
依次类推…
第二次分叉：
周长为
P3
4 2
3
P1,
面积为
A3
A2
3
4 [(1)2 9
A1 ];
第三次分叉：
周长为 P4
4 3
3
P1 ,
面积为
A4
A3
3
42
[( 1 )3 9
A1 ];
第n 次分叉：
周长为 面积为
Pn
在a, A 上可积,若极限 lim A f ( x)dx 存在,则称函数 A a
f
(x)
在a,
上的无穷积分 a
f
( x)dx 收敛.并将上
述极限值定义为无穷积分的值,即
A
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
A a
若无极限,则称无穷积分发散.
定理 6 (积分判别法)
设 un为正项级数.若存在一个单调下降的非负 n1
函数 f (x) (x 1), 使 un f (n),n 1,2,
则级数收敛 无穷积分 f ( x)dx 收敛. 1
例6
讨论级数
n2
1 n(ln n) p
的收敛性 (
p
0)
.
解: 当 p 1 时,
A 1 dx ln ln A ln ln 2 ( A )
2 x ln x
由积分判别法知,级数
k 1
k 1
k 1
设 ak发散, bk发散,则 (ak bk ) 不一定发散.
k 1
k 1
k 1
例如: (1)n 发散, (1)n1发散.
n1
n1
思考题
判断级数
1
n1 n(n 1)(n 2)
是否收敛;若收敛,求其和.
思考题答案
an
1 2
( n1
n
1
) 1
( n
1
1
n
1
2)
(1) 当 l 1时级数收敛;
(2) 当 l 1时级数发散;
(3) 当 l 1 时级数的敛散性不定.
例5
讨论下列级数的收敛性:
(1) x n , x 0; n1 n
(2)
n1
n3n 5n
;
(3)
n1
x an
n
,
x 0,
an 0且 an a (n ).
4. 拉阿伯判别法(Raabe判别法)*
2 3. 5
9
雪花的面积存在极限（收敛）．
结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．
例2
讨论等比级数 aqk1( a 0 为常数) 的收敛性. k 1
※
aqk1 :当 q 1时级数发散,当 q 1 时级数收敛.
k 1
例3
判断级数
(1
1)
(1 2
1) 3
(
1 22
1 32
)
(
1 2n1
1 3n1
结论:p 级数
即 Sn有界, 则 p 级数收敛.
当p 1时,发散
Remark
推论:若存在常数 N ( 1) 及 c( 0) ,使
0 un cvn , 只要 n N ,
则当 vn收敛时, un也收敛;
n1
n1
当 un发散时, vn也发散.
n1
n1
比较判别法的不足:必须要有参考的级数.
k 1
对于给定的级数 a通k,项称级数的前 n项之和 Sn n ak
k 1
k 1
为级数的部分和.若部分和序列Sn有极限 S,则称级数
ak收敛,且称S为这个级数的和,记作
k 1
(否则发散)
S ak .
k 1
收敛判别法
例1
n0
1 2n
1
1 2
1 22
1 2n
1n 1 1 1 1
n1
1 11 1
n1
无穷级数收敛性举例
❖Koch 雪花 做法：先给定一个正三角形，然后在每条边 上对称的产生边长为原边长的1/3的小正三角 形．如此类推在每条凸边上都做类似的操作， 我们就得到了面积有限而周长无限的图形— “Koch雪花”．
观察雪花分形过程
设三角形
周长为 P1 3,
面积为
A1
1
时
y
级数发散.
y
1 xp
(
p
1)
当
p
1时,
令
an
1 np
,
O
1234
x
则
1 np
n dx n1 x p .
Sn
1
1 2p
1 3p
1 np
1
2 1
dx xp
n dx n1 x p
y
y
1 xp
(
p
1)
1
n dx 1 xp
1
1 p
1
(1
1 n p1
)
O
1234
x
1 1 p1
当 p 1时,收敛
重要的参考级数:等比级数, p 级数.
例2
讨论下列级数的收敛性:
(1)
1
;
n1 n(n 1)
(2)
ln
n
;
n1 n
(3)
n1
n2 1 n3 2n .
定理 2 (比较判别法的极限形式)
设有两个正项级数 un与 vn ,且有
n1
n1
lim un h,
v n n
其中 h为有穷数或 .则有下述结论:
若正项级数 un(un 0) 满足 n1 lim un1 l, 则 u n n
(1) 当 l 1时级数收敛;
(2) 当 l 1时级数发散;
(3) 当 l 1 时级数的敛散性不定.
优点:不需要 参考级数!
1 1
, n1 n
n1 n2 .
例4
讨论下列级数的收敛性:
n!
(1) n1 nn ;