第十章 无穷级数全
高数第十单元无穷级数
第十单元 无穷级数10－1 常数项级数的概念与审敛法［教学基本要求］高等数学 1. 理解无穷级数收敛、发散以及收敛级数和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件；２．了解正项级数的比较审敛法以及几何级数与p -级数的敛散性，掌握正项级数的比较审敛法；３．了解交错级数的莱布尼茨定理；4．了解绝对收敛与条件收敛的概念及二者的关系．微积分 1。
理解无穷级数收敛、发散以及收敛级数和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件；２．了解正项级数的比较审敛法，掌握几何级数与p -级数的敛散性结果,掌握正项级数的比较审敛法；３．了解交错级数的莱布尼茨定理;4．了解绝对收敛与条件收敛的概念及二者的关系．[知识要点]一、常数项级数的敛散性判别法及其说明除开因lim n n u →∞≠0，而判定n n u ∞=1∑发散外，常用以下方法判别级数的收敛性.)，(2)limn≤，其且其和S u1几何级数(等比级数)n n aq ∞=1∑：当|q |<1时级数收敛；当|q |≥1时级数发散。
p -级数p n n ∞=11∑：当p >1时级数收敛，当p 0<≤1时级数发散。
级数ln pn n n∞=21∑,当p >1时级数收敛，当p 0<≤1时级数发散. 二、正项级数判敛的一般程序：nu∞=1∑ ρ=1 n u n n u ∞=1∑发散 n n u ∞=1∑发散,n n u ∞=1∑收敛三、任意项级数的判敛程序：收敛 n n u ∞=1∑条件收敛nn u∞=1∑发散nn u∞=1∑绝对收敛nn u∞=1∑发散［错误诊断］例1 判别下列级数的敛散性：(1）n ∞=1 （2）()nn n ∞=14+-12∑． （1）［错解］因为n =0，故该级数收敛．［错误分析］ lim n n u →∞=0是级数n n u ∞=1∑收敛的必要条件，不是充分条件．因此不能用一般项的极限为零判别级数收敛，但如果lim n n u →∞≠0,级数n n u ∞=1∑一定发散.[正确解法］因n n ==1,由n n ∞=11∑发散，知该级数发散． (2）[错解］因为()()()lim lim lim[()]n n n n n nn n n n nu u +1+1+1+1→∞→∞→∞4+-14+-14+-1==2224+-1不存在,所以该级数发散． ［错误分析]正项级数的比值判别法只是正项级数收敛的充分条件，不是必要条件．也就是说，正项级数n n u ∞=1∑收敛，并不一定有limn n nu u ρ+1→∞=<1．［正确解法］因为该级数是正项级数，且当n ≥1时，()n n n n u 4+-15=≤22．由于等比级数nn ∞=152∑收敛，由比较判别法知所给级数收敛．例２ 若n n u ∞=1∑与n n v ∞=1∑皆收敛，且对于一切自然数n 有n n n u c v ≤≤，证明n n c ∞=1∑也收敛．[错误证明］由于n n c v ≤，且n n v ∞=1∑收敛，故由比较判别法可知n n c ∞=1∑收敛．［错误分析]上述证明的依据是级数的比较判别法，但是这个判别法只适用于正项级数．而题中并没有指明n n u ∞=1∑与n n v ∞=1∑为正项级数，因此上述证明方法不正确．［正确证法]由于n n n u c v ≤≤，因此n n n n c u v u 0≤-≤-，即()n n n c u ∞=1-∑与()n n n v u ∞=1-∑皆为正项级数．由于n n u ∞=1∑与n n v ∞=1∑都收敛，因此()n n n v u ∞=1-∑收敛．由正项级数的比较判别法可知()n n n c u ∞=1-∑收敛．又()n n n n c u c u =+-，由级数的性质可知n n c ∞=1∑收敛．[典型例题补充］例1 选择题 下列命题中正确的是（ ）．A ． 若nn u∞=1∑与n n v ∞=1∑都收敛，则()n n n u v ∞=1+∑可能发散．B ． 若nn u∞=1∑收敛,n n v ∞=1∑发散，则()n n n u v ∞=1+∑必定发散．C ． 若nn u∞=1∑与n n v ∞=1∑都发散,则()n n n u v ∞=1+∑必定发散．D ． 若()nn n uv ∞=1+∑收敛，则n n u ∞=1∑与n n v ∞=1∑必定收敛．解 正确答案是B ．由级数的性质知命题A 错误．由反正法知命题B 正确．事实上，假设()n n n u v ∞=1+∑收敛，由n n u ∞=1∑收敛及()n n n n v u v u =+-知，n n v ∞=1∑也收敛，这与已知矛盾．故()n n n u v ∞=1+∑必定发散．若设n n n u ∞∞=1=1=1∑∑发散,()n n n v ∞∞=1=1=-1∑∑也发散，但是()()n n n n u v ∞∞=1=1+=1-1=0∑∑收敛．可知命题C 与D 都不正确．说明 若n n u ∞=1∑收敛，n n v ∞=1∑发散，则()n n n u v ∞=1±∑必定发散可以作为判定级数()n n n u v ∞=1±∑发散的充分条件使用．例1表明有限项相加的性质不能随意使用到无穷多项相加之中． 例2 判别下列级数的敛散性：（1）()n nn n n ∞=131+∑；(2） (cos )n n ∞=111-∑;（3)nn n n ∞=1⎛⎫⎪2+1⎝⎭∑;（4) !()n n n a n a n ∞=1>0∑． 解 （1）因为lim lim()n n n n u e n→∞→∞13=3=≠011+，所以n n u ∞=1∑发散． (2)分析：由于lim(cos )n n →∞11-=0，而cos sin n u n n211=1-=2>02 注意：sin ()lim lim lim ()sinn n n n nu n u n n n222+1→∞→∞→∞212⎡⎤112+1⎛⎫===1 ⎪⎢⎥12+12⎝⎭⎣⎦22 可知所给级数不能利用比值判别法判定．解法1 注意 cossin n u n n211=1-=2>02 由于当x >0时，sin x x <,可知sin n n 11<22，sin n n 2211<24 正项级数n n ∞2=114∑为收敛级数，由比较判别法可知(cos )n n ∞=111-∑收敛．解法2 由于当x →0时,sin x ～x ．可知当n →∞时sin n u n 21=22～n v n21=2则 sin lim lim n n n nu n u n 2+1→∞→∞2122==112,由于n n ∞2=11∑收敛，可知(cos )n n ∞=111-∑收敛． （3）因为n n 1==<12，所以nn n n ∞=1⎛⎫ ⎪2+1⎝⎭∑收敛． （4)分析：题中的a 没有限制其值，因此应该对a 加以讨论．解 因为()!!lim limlim ()n n n n n n n n n nu a n a n a au e n n n +1+1+1→∞→∞→∞+1===+11⎛⎫1+ ⎪⎝⎭故当a e >时,原级数发散;当a e <时，原级数收敛;当a e =时，不能用比值判别法判定所给级数的收敛性．但注意到数列nn ⎧⎫1⎪⎪⎛⎫1+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为单调增加且有上界，由于n n u u +1≥，又lim n n nu u +1→∞=1,由极限的性质可知当n 充分大时,必有n n u u +1>>0，因此lim n n u →∞≠0．故!n n n a n n ∞=1∑发散．例3 讨论级数ln ()pn np n∞=3>1∑的敛散性． 分析:通项中有ln n 因子,可考虑用积分判别法．解 令ln ()p x f x x =，当x ≥3时()f x ≥0，又ln ()()p p xf x p x +11-'=<0>1，故()f x 在[,)3+∞是正的单调递减函数，且ln ()p nf n n=，ln ()ln pp px x x f x dx dx xdx p p xx +∞1-1-+∞+∞+∞33331==-⋅1-1-⎰⎰⎰ln ()p ppp 1-1-233=-3<+∞1-1- 故由积分判别法知级数收敛．例4 设()ln nn n u n +1=-1，试判定n n u ∞=1∑与n n u ∞2=1∑的收敛性，并指出是绝对收敛，还是条件收敛？分析:n n u ∞=1∑是交错级数，n n u ∞2=1∑是正项级数．由于||ln ln()n n u n n+11==1+，注意到x →0时，ln()x x1+等价．解 因为ln()()n nn 111+→∞，所以lim ln ()n n n →∞111+=1，由于n n∞=11∑为发散的调和级数，因此lnn n n∞=1+1∑为发散级数． 因为ln()ln()n n 111+>1++1，且lim ln()lim n n n n →∞→∞111+==0，则由莱布尼兹定理知()ln n n n n ∞=1+1-1∑收敛．从而知其条件收敛．因ln ()nu n 221=1+，且lim ln ()lim()n n n n nn 2222→∞→∞11111+==1 由于级数n n ∞2=11∑为收敛级数，故由极限形式的比较判别法可知n n u ∞2=1∑收敛．［课堂练习］一、填空题１．若正项级数n n u ∞=1∑收敛，则n ∞=1是 级数．２．已知lim ()n n nu k →∞=≠0，则n n u ∞=1∑是 级数．３．已知lim n n a a b →∞=>>0，则nn n b a ∞=1⎛⎫⎪⎝⎭∑是 级数．４．级数(ln )nnn ∞=153∑的和为 ． ５．级数()()()n n n n n n 3∞=1-2+52-12+12+3∑是 级数．二、选择题1．下列命题中正确的是（ ）．A ．若n n u ∞=1∑收敛，则必有lim n n u →∞=0； Ｂ．若n n u ∞=1∑发散，则必有lim n n u →∞≠0;Ｃ．若lim n n u →∞=0,则n n u ∞=1∑必定收敛； Ｄ．若lim n n u →∞=0，则n n u ∞=1∑必定发散．2．下列命题中正确的是（ ）．A ．若||n n u ∞=1∑收敛，则n n u ∞=1∑必条件收敛；Ｂ．若n n u ∞=1∑发散，则||n n u ∞=1∑必定发散;Ｃ．若||n n u ∞=1∑发散，则n n u ∞=1∑必定发散； Ｄ．若n n u ∞=1∑收敛,则||n n u ∞=1∑必定收敛．3．若级数n n u ∞=1∑收敛于S ，则级数()n n n u u ∞+1=1+∑( ）．A ．收敛于S 2； Ｂ．收敛于S u 12+； Ｃ．收敛于S u 12-； Ｄ．发散．4．若级数nn a ∞2=1∑和nn b ∞2=1∑都收敛,则级数n n n a b ∞=1∑（ ）A ．一定条件收敛；Ｂ．一定绝对收敛；Ｃ．一定发散；Ｄ．可能收敛可能发散． ５．设a为常数，则sin ()n na n ∞2=1-∑为（ ）． A ．绝对收敛； Ｂ．条件收敛； Ｃ．发散；Ｄ．收敛性与a 有关．三、判别下列级数的敛散性1．n n 1∞3=11⎛⎫ ⎪⎝⎭∑； 2．nn n 1∞=11⎛⎫⎪⎝⎭∑； 3．n ∞=1．四、判别下列级数的敛散性,若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛？ 1．ln()()nn n n ∞=11+-11+∑； 2． ()(cos )n n n α∞=1-11-∑ （α>0为常数）．答案 一、1．收敛;2．发散;3．收敛；４．ln 33-5；5．发散．二、1．A ； 2．B ； ３．C; ４．B; ５．C三、１．发散,p 级数;→1； ３．收敛． 四、1．条件收敛； 2．绝对收敛．10－2 幂级数［教学基本要求］高等数学 1。
高等数学第十章无穷级数精选讲义
第十章 无穷级数精选讲义【考试要求】1．理解级数收敛、发散的概念．掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质． 2．掌握正项级数的比值审敛法．会用正项级数的比较审敛法． 3．掌握几何级数、调和级数与p 级数的敛散性．4．了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法． 5．了解幂级数的概念，收敛半径，收敛区间．6．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和、差、逐项求导与逐项积分）． 7．掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间的方法．【考试内容】一、常数项级数的相关概念1．常数项级数的定义一般地，如果给定一个数列1u ，2u，，n u，，则由这数列构成的表达式123n u u u u +++++叫做常数项无穷级数，简称常数项级数或级数，记为1nn u∞=∑，即1231nn n uu u u u ∞==+++++∑，其中第n 项n u 叫做级数的一般项．2．常数项级数收敛、发散的概念作常数项级数1nn u∞=∑的前n 项和121nn n ii s u u u u ==+++=∑，n s 称为级数1nn u∞=∑的部分和，当n 依次取1,2,3,时，它们构成一个新的数列11s u =，212s u u =+，3123s u u u =++，，12n n s u u u =+++，．如果级数1nn u∞=∑的部分和数列{}n s 有极限s ，即limn n s s →∞=，则称无穷级数1nn u ∞=∑收敛，这时极限s 叫做这级数的和，并写成123n s u u u u =+++++或者1nn us ∞==∑；如果{}n s 没有极限，则称无穷级数1n n u ∞=∑发散．3．收敛级数的基本性质 （1）如果级数1nn u∞=∑收敛于和s ，则级数1nn ku∞=∑也收敛，且其和为ks ．一般地，级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不变． （2）如果级数1n n u ∞=∑、1nn v∞=∑分别收敛于和s 、σ，则级数1()nn n uv ∞=±∑也收敛，且其和为s σ±． （3）在级数1nn u∞=∑中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．（4）如果级数1nn u∞=∑收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变．（5）如果级数1nn u∞=∑收敛，则它的一般项n u 趋于零，即lim 0nn u →∞=．说明：此条件称为级数收敛的必要条件．由原命题成立逆否命题一定成立可得，如果lim nn u →∞不为零，则级数1nn u∞=∑一定发散．4．几个重要的常数项级数 （1）等比级数级数21nnn q q q q ∞==++++∑或21n n n q q q q ∞==+++++∑称为等比级数或几何级数，其中q 叫做级数的公比．其收敛性为：当1q <时，级数收敛；当1q ≥时级数发散．（2）调和级数级数 11111123n nn∞==+++++∑ 称为调和级数，此级数是一个发散级数．（3）p 级数级数 11111123p p p p n nn∞==+++++∑称为p 级数，其中常数0p >．其收敛性为：当1p >时，级数收敛；当1p ≤时级数发散．二、正项级数的审敛法1．比较审敛法设1n n u ∞=∑和1nn v∞=∑都是正项级数，且存在正数N ，使当n N ≥时有n n u v ≤成立．若级数1nn v∞=∑收敛，则级数1nn u∞=∑收敛；如果级数1nn u∞=∑发散，则级数1nn v∞=∑也发散．2．比较审敛法的极限形式 设1n n u ∞=∑和1nn v∞=∑都是正项级数．（1）如果lim nn n u l v →∞=，0l ≤<+∞，且级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑收敛；（2）如果lim nn nu l v →∞=，0l <≤+∞，且级数1n n v ∞=∑发散，则级数1n n u ∞=∑发散．说明：极限形式的比较审敛法，在两个正项级数的一般项均趋于零的情况下，其实是比较它 们的一般项作为无穷小的阶．上述结论表明，当n→∞时，如果n u 是与n v 同阶或是比nv 高阶的无穷小，而级数1nn v∞=∑收敛，则级数1nn u∞=∑收敛；如果n u 是与n v 同阶或是比n v 低阶的无穷小，而级数1nn v∞=∑发散，则级数1nn u∞=∑发散．3．比值审敛法（达朗贝尔判别法）设1n n u ∞=∑为正项级数，如果1lim n n nu u ρ+→∞=，则当1ρ<时级数收敛；1ρ>（或1lim n n nu u +→∞=+∞）时级数发散；1ρ=时级数可能收敛也可能发散． 4．根值审敛法（柯西判别法）设1nn u∞=∑为正项级数，如果n ρ→∞=，则当1ρ<时级数收敛；1ρ>（或n →∞=+∞）时级数发散；1ρ=时级数可能收敛也可能发散．三、交错级数及其审敛法1．交错级数的概念所谓交错级数是这样的级数，它的各项是正负交错的，从而可以写成下面的形式：112341(1)n n n u u u u u ∞-=-+-+=-∑ ，或12341(1)nn n u u u u u ∞=-+-+-=-∑ ， 其中1u ，2u ，都是正数．2．交错级数的审敛法—莱布尼茨定理如果交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑满足条件： （1）1nn u u +≥ （1,2,3,n =）；（2）lim 0nn u →∞=．则级数收敛．四、绝对收敛与条件收敛1．绝对收敛与条件收敛对于一般的级数12n u u u ++++，它的各项为任意实数．如果级数1nn u∞=∑各项的绝对值所构成的正项级数1nn u∞=∑收敛，则称级数1nn u∞=∑绝对收敛；如果级数1nn u∞=∑收敛，而级数1nn u ∞=∑发散，则称级数1n n u ∞=∑条件收敛．例如，级数1211(1)n n n ∞-=-∑是绝对收敛级数，而级数111(1)n n n∞-=-∑是条件收敛级数．对于绝对收敛级数，我们有如下结论：如果级数1nn u∞=∑绝对收敛，则级数1nn u∞=∑必定收敛．这说明，对于一般的级数1nn u∞=∑，如果我们用正项级数的审敛法判定级数1nn u∞=∑收敛，则此级数一定收敛．这就使得一大类级数的收敛性判定问题，转化为正项级数的收敛性 判定问题． 2．重要结论一般说来，如果级数1nn u∞=∑发散，我们不能断定级数1nn u∞=∑也发散．但是，如果我们用比值审敛法或根值审敛法根据1lim1n n nu u ρ+→∞=>或1n ρ→∞=>判定级数1nn u∞=∑发散，则我们可以断定级数1nn u∞=∑必定发散（这是因为从1ρ>可推知n →∞时nu 不趋于零，从而n→∞时n u 也不趋于零，因此级数1n n u ∞=∑发散）．五、幂级数（一）函数项级数1．函数项级数的定义如果给定一个定义在区间I 上的函数列1()u x ，2()u x ，，()n u x ，，则由这函数列构成的表达式1231()()()()()n n n u x u x u x u x u x ∞=+++++=∑称为定义在I 上的函数项无穷级数，简称函数项级数． 2．收敛域、发散域、和函数对于每一个确定的值0x I ∈，函数项级数1()n n u x ∞=∑成为常数项级数1020300()()()()n u x u x u x u x +++++．如果该常数项级数收敛，就称点0x 是函数项级数1()nn u x ∞=∑的收敛点；如果该常数项级数发散，就称点0x 是发散点．函数项级数1()n n u x ∞=∑的收敛点的全体称为收敛域，发散点的全体称为发散域．对应于收敛域内的任意一个常数x ，函数项级数成为一收敛的常数项级数，因而有一确定的和s ．这样，在收敛域上，函数项级数的和是x 的函数()s x ，通常称()s x 为函数项级数的和函数，这函数的定义域就是级数的收敛域，并写成123()()()()()n s x u x u x u x u x =+++++．（二）幂级数及其收敛性1．幂级数的定义函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都是幂函数的函数项级数，即所谓幂级 数，形式为20120nn n n n a xa a x a x a x ∞==+++++∑，其中常数0a ，1a ，2a ，，n a，叫做幂级数的系数．2．阿贝尔定理如果级数nn n a x∞=∑当0xx =（00x ≠）时收敛，则适合不等式0x x <的一切x 使这幂级数绝对收敛．反之，如果级数0nn n a x ∞=∑当0x x =时发散，则适合不等式0x x >的一切x 使这幂级数发散．由上述定理可以推出，如果幂级数nn n a x∞=∑不是仅在0x =一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R 存在，使得当x R <时，幂级数绝对收敛；当x R >时，幂级数发散；当x R =或x R =-时，幂级数可能收敛也可能发散．正数R叫做幂级数的收敛半径，开区间(,)R R -叫做幂级数的收敛区间． 3．求收敛半径及收敛区间的方法（1）对于标准形式的幂级数nn n a x∞=∑或1n n n a x ∞=∑，有如下方法： 如果1limn n na a ρ+→∞=，其中n a 、1n a +是幂级数0n n n a x ∞=∑的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径1,0,00,R ρρρρ⎧≠⎪⎪⎪=+∞=⎨⎪=+∞⎪⎪⎩．（2）对于非标准形式的幂级数0()n n u x ∞=∑或1()n n u x ∞=∑（如202!n n n x n ∞=∑或0(1)2nn n x n ∞=-∑），方法如下：令1()lim1()n n n u x u x +→∞<，得到x 的范围，然后再求x 的两个边界值所对应的常数项级数的敛散性即可．（三）幂级数的和函数1．幂级数和函数的性质 性质1 幂级数0n n n a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛域I 上连续． 性质2 幂级数n n n a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛域I 上可积，并有逐项积分公式 10000()1xxx n nn n n n n n n a s x dx a x dx a x dx x n ∞∞∞+===⎡⎤===⎢⎥+⎣⎦∑∑∑⎰⎰⎰ （x I ∈）， 逐项积分后所得到的幂级数和原来的幂级数有相同的收敛半径． 性质3 幂级数0nn n a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛区间(,)R R -内可导，并有逐项求导公式()1001()n n n n n n n n n s x a x a x na x ∞∞∞-==='⎛⎫''=== ⎪⎝⎭∑∑∑ （x R <），逐项求导后所得到的幂级数和原来的幂级数有相同的收敛半径．2．幂级数和函数的求法（“先导后积”或“先积后导”）当幂级数的一般项形如(1)nx n n +时，可用先求导后求积分的方法求其和函数；当幂级数的一般项形如2(21)nn x +、1n nx-等形式，可用先求积分后求导的方法求其和函数．3．常用的幂级数展开式（1）20111n n n x x x x x ∞===+++++-∑，11x -<<；（2）201(1)1(1)1n n n n n x x x x x ∞==-=-+-+-++∑，11x -<<．【典型例题】【例10-1】用比较法或其极限形式判别下列级数的敛散性． 1．1n ∞= ．解：因1lim 2n n n→∞→∞==，而调和级数11n n ∞=∑发散，故原级数发散． 2．1n ∞=．解：因223n n n →∞→∞==，而级数211n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．3．1352nnnn ∞=-∑ ．解：因 33552lim lim 152335nn n n n n n n nn n →∞→∞-=⋅=-⎛⎫⎪⎝⎭，而级数135n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑是收敛的等比级数，故原级数收敛．4．11sin n n ∞=∑ ．解：因 1sinlim 11n n n→∞=，而调和级数11n n∞=∑发散，故原级数发散．5．11(1cos )n n ∞=-∑ ． 解：因211cos1lim12n n n→∞-=，而级数211n n ∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．6．32tan n nn π∞=∑ ． 解：因 2222tan lim lim 211n n n n n n n n πππ→∞→∞⋅==，而级数211n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．7．312(1)n n n n ∞=++∑ ．解：因 333322(1)limlim 11(1)n n n n n n n n n n →∞→∞+++=⋅=+，而级数311n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛． 8．111nn a∞=+∑ （0a >）． 解：当1a=时， 111limlim 0122n n n a →∞→∞==≠+，故原级数发散；当01a <<时，11limlim 10110n n n a →∞→∞==≠++，故原级数发散；当1a >时，因11lim lim 111n n n n n na a a a →∞→∞+==+，而级数11n n a∞=∑是收敛的等比级数，故原级数收敛．【例10-2】利用比值审敛法判别下列级数的敛散性． 1．1(1)!2nn n ∞=+∑ ． 解：因11(2)!(2)!222lim lim lim (1)!2(1)!22n n n n n n n n n n n n ++→∞→∞→∞+++=⋅==∞++，故原级数发散．2．213nn n ∞=∑ ．解：因221212(1)(1)313lim lim 1333n n n n n nn n n n ++→∞→∞++=⋅=<，故原级数收敛． 3．1135(21)3!nn n n ∞=⋅⋅⋅⋅-⋅∑ ． 解：因1135(21)(21)2123(1)!lim lim 1135(21)3(1)33!n n n n n n n n n n n +→∞→∞⋅⋅⋅⋅-⋅++⋅+==<⋅⋅⋅⋅-+⋅，故原级数收敛．4．110!nn n ∞=∑ ．解：因111010!(1)!lim lim 0110(1)!10!n n n n n n n n n n ++→∞→∞+=⋅=<+，故原级数收敛．5．1212nn n ∞=-∑ ． 解：因112121212lim lim 12122122n n n n n nn n n n ++→∞→∞++=⋅=<--，故原级数收敛．6．21sin2nn nπ∞=∑ ．解：因22sin22lim lim 1122n nn n nnn n πππ→∞→∞==⋅，故原级数与级数212n n n ∞=∑敛散性相同． 对于级数212n n n ∞=∑，因221212(1)(1)212lim lim 1222n n n n n nn n n n ++→∞→∞++=⋅=<，故级数212n n n ∞=∑收敛，所以原级数也收敛．【例10-3】利用根值审敛法判别下列级数的敛散性．1．12(1)2nn n ∞=+-∑．解：1ln[2(1)]11lim 122n nn n n e+-→∞→∞→∞===<，故原级数收敛． 2．11[ln(1)]n n n ∞=+∑ ．解：1lim 01ln(1)n n n n →∞→∞→∞===<+，故原级数收敛． 【例10-4】判定下列级数的敛散性，如果是收敛的，判定是绝对收敛还是条件收敛． 1．11(1)n n ∞-=-∑．解：因级数111(1)n n n ∞∞-==-=∑发散，但由莱布尼茨定理可知，原级数满足1n n u u +=>=，且0n →∞=，所以原级数收敛且为条件收敛．2．1211(1)n n n∞-=-∑ ． 解：因级数1221111(1)n n n n n∞∞-==-=∑∑收敛，所以原级数绝对收敛．3．11(1)1n n nn ∞+=-+∑ ． 解：因1lim(1)1n n nn +→∞-+不存在，故原级数发散． 4．11sin27n n n π∞=∑ ．解：11sin 272n n n π≤，而级数112n n ∞=∑是收敛的等比级数，故根据比较审敛法可知，级数11sin 27n n n π∞=∑收敛，故原级数绝对收敛．【例10-5】求下列幂级数的收敛半径和收敛域． 1．11(1)nn n x n∞-=-∑ ． 解：因111limlim 11n n n na n a nρ+→∞→∞+===，所以收敛半径11R ρ==，故收敛区间为(1,1)-．又当1x =-时，原级数即为11()n n ∞=-∑，发散；当1x =时，原级数即为111(1)n n n∞-=-∑，收敛，故原级数的收敛域为(1,1]-． 2．0!nn x n ∞=∑ ．解：因111(1)!limlim lim 011!n n n n na n a n n ρ+→∞→∞→∞+====+，所以收敛半径R =+∞，故级数的收敛域为(,)-∞+∞．3．0!n n n x ∞=∑ ． 解：因1(1)!limlim !n n n n a n a n ρ+→∞→∞+===+∞，所以收敛半径0R =，即级数仅在点0x =处收敛． 4．2121n nn x n ∞=+∑ ． 解：因12212222(1)(1)1limlim lim 22(1)11n n n n n n na n n a n n ρ++→∞→∞→∞+++====+++，所以收敛半径112R ρ==，故收敛区间为11(,)22-．又当12x =-时，原级数即为21(1)1n n n ∞=-+∑，收敛；当12x =时，原级数即为2111n n ∞=+∑，收敛，故原级数的收敛域为11[,]22-．【例10-6】求下列幂级数的收敛域．1．1(1)2nnn x n ∞=-⋅∑ ．解：这是非标准形式的幂级数，我们用比值审敛法．令 11(1)1(1)2lim 1(1)22n n n n nx x n x n ++→∞--+⋅=<-⋅，则12x -<，故当13x -<<时级数收敛，当1x <-或3x >时级数发散．当1x =-时，原级数即为1(1)nn n ∞=-∑，收敛；当3x =时，原级数即为11n n∞=∑，发散．因此原级数的收敛域为[1,3)-． 2．211(1)21n nn x n +∞=-+∑ ．解：这是非标准形式的幂级数，我们用比值审敛法．令 231221(1)23lim 1(1)21n n n n nxn x xn +++→∞-+=<-+，则当11x -<<时级数收敛，当1x <-或1x >时级数发散．当1x =-时，原级数即为111(1)21n n n ∞+=-+∑，收敛；当1x =时，原级数即为11(1)21nn n ∞=-+∑，也收敛．因此原级数的收敛域为[1,1]-．【例10-7】求下列幂级数的和函数． 1．11n n nx∞-=∑ ．解：先求幂级数的收敛域． 令1(1)lim 1nn n n x x nx-→∞+=<，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为1(1)nn n ∞=-∑，发散；当1x =时，原级数即为1n n ∞=∑，也发散．因此原级数的收敛域为(1,1)-．再求和函数．设和函数11()n n s x nx ∞-==∑，则2111()()()()1(1)nnn n x s x x x x x ∞∞=='''====--∑∑， (1,1)x ∈-．2．2111(1)21n n n x n -∞-=--∑ ．解：先求幂级数的收敛域．令 212211(1)21lim 1(1)21n nn n n x n x xn +-→∞--+=<--，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为11(1)21nn n ∞=--∑，收敛；当1x =时，原级数即为111(1)21n n n ∞-=--∑，也收敛．因此原级数的收敛域为[1,1]-．再求和函数．设和函数2111()(1)21n n n x s x n -∞-==--∑，则12224122211()(1)1(1)1n n n n n s x xx x xx ∞----='=-=-+-+-+=+∑，故[]2001()arctan arctan 1xxs x dx x x x ===+⎰， [1,1]x ∈-．3．111(1)n n x n n ∞+=+∑． 解：先求幂级数的收敛域．令 211(1)(2)lim 11(1)n n n x n n x x n n +→∞+++=<+，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为111(1)(1)n n n n ∞+=-+∑，收敛；当1x =时，原级数即为11(1)n n n ∞=+∑，也收敛．因此原级数的收敛域为[1,1]-．再求和函数．设和函数111()(1)n n s x x n n ∞+==+∑，(1,1)x ∈-，则11111111()(1)(1)n n n n n n s x x x x n n n n n∞∞∞++===''⎡⎤⎡⎤'===⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦∑∑∑，1111111()()()1n n n n n n s x x x x n n x ∞∞∞-===''''====-∑∑∑， 故[]001()ln(1)ln(1)1x xs x dx x x x'==--=---⎰，[]0()ln(1)(1)ln(1)x s x x dx x x x =--=--+⎰，[1,1)x ∈-． 当1x =时，原级数即为11(1)n n n ∞=+∑，令 1111223(1)n s n n =+++⋅⋅+， 则11111111112233411n s n n n =-+-+-+-=-++， 所以1(1)lim lim(1)11n n n s s n →∞→∞==-=+，故原幂级数的和函数为 1,1()(1)ln(1),11x s x x x x x =⎧=⎨--+-<<⎩ ． 4．1(1)nn n n x∞=+∑ ．解：先求幂级数的收敛域．令 1(1)(2)lim 1(1)n n n n n x x n n x+→∞++=<+，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为1(1)(1)nn n n ∞=-+∑，发散；当1x =时，原级数即为1(1)n n n ∞=+∑，也发散．因此原级数的收敛域为(1,1)-．再求和函数．设和函数1()(1)n n s x n n x ∞==+∑，则1111111()(1)(1)()()()n nn n n n n n s x x n n xx n x x x x x ∞∞∞∞-++===='''''=+=+==∑∑∑∑222322()[]1(1)(1)x x x x x x x x x -'''===---，(1,1)x ∈-．【例10-8】将下列函数展开成相应的幂级数． 1．将函数21()32f x x x =-+展开成关于x 的幂级数． 解：11111()()(1)(2)1212(1)2f x x x x x x x ==--=-------， 而 011nn x x ∞==-∑（1x <），01()212n n x x ∞==-∑（12x <，即2x <）， 所以1000111()(1)222nn n n n n n n f x x x x ∞∞∞+====-=-∑∑∑，1x <．2．将函数21()32f x x x =++展开成关于(4)x +的幂级数． 解：11111()(1)(2)123(4)2(4)f x x x x x x x ==-=-++++-++-++ 111144321132x x =-⋅+++--． 因 011n n x x ∞==-∑（11x -<<）， 故 011(4)4313nnn x x ∞==++-∑ （4113x +-<< 即 71x -<<-）， 011(4)4212n n n x x ∞==++-∑ （4112x +-<< 即 62x -<<-）， 从而001111()(4)(4)3322nn n n n n f x x x ∞∞===-+++∑∑11011()(4)23nn n n x ∞++==-+∑， 62x -<<-．【历年真题】一、选择题1．（2010年，1分）lim 0nn u →∞=是级数1n n u ∞=∑收敛的 条件（ ）（A ）必要 （B ）充分 （C ）充分必要 （D ）不确定 解：根据收敛级数的性质，lim 0nn u →∞=是级数1n n u ∞=∑收敛的必要条件．选项（A ）正确．2．（2009年，1分）幂级数13(1)3n nnn x ∞=+-∑的收敛半径是（ ） （A ）6 （B ）32（C ）3 （D ）13解：原幂级数即为1333n n n x x ∞=⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑，由13x ≤及13x-≤可得，3x ≤，故级数的收敛半径为3，选项（C ）正确．3．（2008年，3分）数项级数21sin n an n∞=∑（a 为常数）是（ ）级数 （A ）发散的（B ）条件收敛（C ）绝对收敛（D ）敛散性由a 确定 解：因22sin a an n n ≤，而级数 21n a n∞=∑收敛，故原级数绝对收敛．选项（C ）正确．4．（2007年，3分）数项级数1(1)[1cos ]nn a n ∞=--∑（其中a 为常数）是（ ） （A ）发散的 （B ）条件收敛（C ）收敛性根据a 确定 （D ）绝对收敛解：级数1(1)[1cos ]nn a n ∞=--∑加绝对值后的级数为1(1cos )n an ∞=-∑，对于此正项级数，由于2222211cos 2limlim 112n n a a a n n n n →∞→∞-⋅==为常数，而级数211n n∞=∑收敛，故级数1(1cos )n an ∞=-∑也收敛，所以原级数绝对收敛．选项（D ）正确． 5．（2005年，3分）幂级数1(1)(1)nnn x n ∞=--∑的收敛区间是（ ）（A ）(0,2]（B ）(1,1]- （C ）[2,0]- （D ）(,)-∞+∞解：令111(1)(1)()1lim lim 11(1)()(1)n n n n n n n nx u x n x x u x n+++→∞→∞--+==-<-- 可得，02x <<，故级数的收敛区间为(0,2)．又当0x =时，原级数即为11n n∞=∑，发散；当2x =时，原级数即为11(1)nn n∞=-∑，收敛，故原级数的收敛域为(0,2]．选项（A ）正确． 二、填空题1．（2010年，2分）幂级数1!nn x n ∞=∑的收敛区间为 ．解：因111(1)!limlim lim 011!n n n n na n a n n ρ+→∞→∞→∞+====+，故1R ρ==+∞，所以原幂级数的收敛区间为(,)-∞+∞．2．（2006年，2分）函数1()12f x x=+在1x =处展开的泰勒级数是 ．解：因01(1)1n n n x x ∞==-+∑，故1111()21232(1)31(1)3f x x x x ===⋅++-+- 10012(2)(1)[(1)](1)333n n n n n n n x x ∞∞+==-=--=-∑∑．其中，21(1)13x -<-<，即1522x -<<．3．（2006年，2分）幂级数11(1)(2)12nnnn x ∞=--+∑在0.6x =处的敛散性是 ． 解：令 11111(1)(2)()112lim lim 211()2(1)(2)12n n n n n n n n n nx u x x u x x ++++→∞→∞--+==-<--+，可得04x <<，即收敛区间为(0,4)，故幂级数在0.6x =处是收敛的．说明：此题也可将0.6x =代入原幂级数，判定对应的常数项级数的敛散性．三、计算题1．（2009年，5分）求幂级数231(1)23nn x x x x n--+-+-+的收敛半径和收敛域．解：原级数即为11(1)n n n x n ∞-=-∑．因111(1)1limlim 11(1)nn n n n n a n a n ρ+→∞→∞--+===-，故收敛半径11R ρ==，收敛区间为(1,1)-．又当1x =-时，原级数即为11()n n ∞=-∑，发散；当1x=时，原级数即为111(1)n n n∞-=-∑，收敛．故原级数的收敛域为(1,1]-． 2．（2008年，7分）将函数1()3f x x=-展开成(2)x -的幂级数． 解：因011nn x x ∞==-∑，故011()(2)31(2)n n f x x x x ∞====----∑． 其中，121x -<-<，即13x <<．3．（2007年，7分）求幂级数1(1)n n n x ∞=-∑的收敛区间与和函数． 解：令11()(1)(1)lim lim 11()(1)n n n n n nu x n x x u x n x ++→∞→∞+-==-<-，可得02x <<，故幂级数的收敛区间为(0,2)．21设 1()(1)n n s x n x ∞==-∑，则 111()(1)(1)(1)n n n n s x n x x n x ∞∞-===-=--∑∑ 101(1)(1)(1)(1)(1)n n n n x x x x x x x ∞∞==''-⎡⎤⎛⎫'⎡⎤=--=--=- ⎪⎣⎦⎢⎥-⎝⎭⎣⎦∑∑ 22(1)(1)1(1)x x x x x x---⋅--=-⋅=， 02x <<． 4．（2006年，4分）判定级数21(1)(1)nn n n ∞=-+∑的敛散性． 解：此级数为交错级数，其中2(1)n n u n =+． 由于3322123221(1)331(2)1(2)44(1)n n n u n n n n n n u n n n n nn +++++++===<++++，即1n n u u +<，且2lim lim 0(1)n n n n u n →∞→∞==+，故此交错级数符合莱布尼茨定理的条件，故该级数收敛．。
无穷级数
第十章 无穷级数一、本章结构图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→⎪⎩⎪⎨⎧→函数的幂级数展开收敛半径、收敛区间和函数求解幂级数函数项级数发散条件收敛绝对收敛敛散性判定交错级数根值审敛法比值审敛法比较审敛法敛散性判定正项级数常数项级数无穷级数二、基本概念1．无穷级数：设给定一个数列1u ，2u ，， n u ，，则由这数列构成的表达式12n u u u ++++称为无穷级数，简称级数，记为1nn u∞=∑，即121nn n uu u u ∞==++++∑其中n u 称为级数的一般项（或通项），2．级数1n n u ∞=∑前n 项的部分和：级数1n n u ∞=∑的前n 项的和，记作n S3．级数的和：若级数1n n u ∞=∑的部分和数列{}n S 的极限存在，即lim n n S S →∞=,则称级数1nn u∞=∑收敛，S 为级数1nn u∞=∑的和，记为121nn n uu u u S ∞==++++=∑如果lim n n S →∞不存在，则称级数1nn u∞=∑发散4．正项级数：如果级数1nn u∞=∑的每一项都是非负数，即0(1,2,)n u n ≥=，则称此级数为正项级数5．交错级数：如果各项是正负交错的级数，可以写成下面的形式1234u u u u -+-+-或 1234u u u u -+-+其中1u ，2u ，都是正数，则称此级数为交错级数6．绝对收敛：如果级数1nn u∞=∑各项的绝对值所构成的正项级数1nn u∞=∑收敛，则称级数1nn u∞=∑绝对收敛7．条件收敛：如果级数1nn u∞=∑收敛，而级数1nn u∞=∑发散，则称级数1nn u∞=∑条件收敛8．函数项级数：如果给定一个定义在区间I 上的函数列12(),(),,(),n u x u x u x ，则称有这个函数列构成的表达式121()()()nn n uu x u x u x ∞==++++∑ （1）为定义在区间I 上的函数项无穷级数，简称函数项级数9．收敛点：对于任意的0x I ∈，函数项级数就成为常数项级数1()nn u x ∞=∑，若此常数项级数收敛，则称点0x 是函数项级数的收敛点；若常数项级数发散，则称点0x 是函数项级数的发散点10．收敛域：函数项级数的所有收敛点的全体称为它的收敛域；所有发散点的全体称为它的发散域11．和函数：在收敛域上，函数项级数的和是x 的函数()S x ，称()S x 为函数项级数的和函数，这个函数的定义域就是级数的收敛域，即12()()()()n S x u x u x u x =++++12．幂级数：形如2012nn a a x a x a x +++++的级数称为幂级数，记作nn n a x∞=∑，其中012,,,,,n a a a a 都是常数，称为幂级数的系数13．幂级数收敛半径：对于幂级数nn n a x∞=∑，若存在正数R ，使得当x R <时，幂级数绝对收敛；使得当x R >时，幂级数发散；当x R =与x R =-时，幂级数可能收敛也可能发散，这个正数R 称为幂级数nn n a x∞=∑的收敛半径，收敛域内的最大开区间),R R -（称为幂级数nn n a x∞=∑的收敛区间14．泰勒级数：如果函数)(x f 在点0x 的某邻域内具有任意阶导数，有泰勒公式可知，函数)(x f 将展成幂级数+-++-''+-'+n n x x n x f x x x f x x x f x f )(!)()(!2)())(()(00)(200000称以上幂级数为函数)(x f 在点0x 处的泰勒级数，其系数称为函数)(x f 在点0x 处的泰勒系数三、基本定理1．收敛级数的基本性质：（1）如果级数1n n u ∞=∑收敛于S ，则它的各项同乘以一个常数k 所得的级数1n n ku ∞=∑也收敛，且级数1nn ku∞=∑收敛于kS（2）如果级数1n n u ∞=∑，1n n v ∞=∑分别收敛于1S 和2S ，则级数1()n n n u v ∞=±∑也收敛，且级数1()nn n uv ∞=±∑收敛于12S S ±（3）在级数1n n u ∞=∑中任意去掉、增加或改变有限项，级数的敛散性不会改变，但对于收敛级数，其和将受到影响（4）如果级数1n n u ∞=∑收敛，则任意加括号后得到的级数1121111()()()k k n n n n n u u u u u u -++++++++++++仍收敛，其和不变（5）如果加括号后所得的级数发散，则原来级数也发散 （6）级数收敛的必要条件：若级数1nn u∞=∑收敛，则它的一般项n u 趋于零，即lim 0n n u →∞=（7）lim 0n n u →∞≠（包括极限不存在），则级数1nn u∞=∑必发散2、正项级数审敛法（1）正项级数1nn u∞=∑收敛的成分必要条件是它的部分和数列有界（2）比较审敛法：设级数1nn u∞=∑和1nn v∞=∑都是正项级数，且(1,2,)n n u v n ≤=，若级数1nn v∞=∑收敛，则级数1nn u∞=∑收敛；反之，若级数1nn u∞=∑发散，则级数1nn v∞=∑发散（3）设级数1nn u∞=∑和1nn v∞=∑都是正项级数，如果级数1nn v∞=∑收敛，且存在自然数N ，使当n N ≥时，有(0)k n u kv k ≤>成立，则级数1nn u∞=∑收敛；若级数1nn v∞=∑发散，且当n N≥时，有(0)k n u kv k ≥>成立，则级数1nn u∞=∑发散（4）设级数1n n u ∞=∑是正项级数，如果有1p >，使1(1,2,)n p u n n ≤=，则级数1nn u ∞=∑收敛；如果1(1,2,)n u n n≥=，则级数1n n u ∞=∑发散（5）比较审敛法的极限形式：设级数1nn u∞=∑和1nn v∞=∑都是正项级数，如果lim (0)nn nu l l v →∞=<<+∞，则级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑有相同的敛散性 （6）比值审敛法：若正项级数1n n u ∞=∑的后项与前项的比的极限等于ρ，即1lim n n nu u ρ+→∞=，则当1ρ<时级数收敛；当1ρ>（或1lim n n nu u +→∞=∞）时级数发散；当1ρ=时级数可能收敛也可能发散，要用其他方法判定（7）根值审敛法：设级数1nn u∞=∑是正项级数，如果它的一般项n u 的n 次根的极限等于ρ，即n ρ=，则当1ρ<时级数收敛；当1ρ>（或n =∞）时级数发散；当1ρ=时级数可能收敛也可能发散 3、交错级数审敛法莱布尼茨定理：如果交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑满足条件1(1,2,)n n u u n +≥=及lim 0n n u →∞=，则级数收敛，且其和1S u ≤，其余项n r 的绝对值1n n r u +≤4、绝对收敛与条件收敛的关系如果级数1nn u∞=∑绝对收敛，则级数1nn u∞=∑一定收敛 （逆定理不成立）5、幂级数收敛域的定理（1）阿贝尔定理：如果幂级数nn n a x∞=∑，当00(0)x x x =≠时收敛，则适合不等式0x x <的一切x 使次幂级数绝对收敛。
无穷级数(全)
无穷级数1、无穷级数：表达式 +++++n u u u u 321 称为无穷级数,简称级数.记作∑∞=1n nu, 其中n u 称为级数的一般项.2、部分和: 级数∑∞=1n nu的前n 项和 ∑==nk kn uS 1称为级数∑∞=1n nu的部分和.3、收敛的定义: 如果级数∑∞=1n nu的部分和数列}{n S 有极限S ,即S S n n =∞→lim ,则称级数∑∞=1n nu收敛.S 称为级数∑∞=1n nu的和, 并写成： ++++=321u u u S ∑∞==1n nu.如果}{n S 没有极限, 则称级数∑∞=1n nu发散.4、常数项级数收敛的必要条件：若级数∑∞=1n nu收敛，则必有0lim =∞→n n u ，反之若0lim ≠∞→n n u ，则级数一定发散5常用级数敛散性判定方法： ①等比级数：∑∞=0n n aq ，当 1q < 收敛，且级数收敛于qa -111q ≥ 发散当然等比级数的敛散性也可以由等比级数的部分和数列来判断：若S 存在则收敛，反之则发散. ②P-级数：∑∞=1n P n 11p >收敛，1p ≤发散(p=1时为调和级数)；③常数级数：∑∞=0n C 当0≠C 时级数发散，0=C 时，级数收敛.6、级数收敛的性质 以下假设∑∞=1n nu与∑∞=1n nv收敛于S 与T , 则①∑∑∞=∞==11n n n nu u λλ, (λ为常数). ②∑∑∑∞=∞=∞=±=±111)(n n n n n n nv u v u.③∑∞=1n nu收敛⇔对任意的非负整数m ,有∑∞+=1m n nu收敛.即: 在级数前面去掉或加上有限项不影响级数的敛散性. ④若S un n=∑∞=1,则将级数的项任意加括号后所成的级数S n n=∑∞=1σ. 反之不然.7、正项级数敛散性的判定方法： ①充要条件：部分和数列有界②比较法：对级数的缩放，利用已知的级数来判断未知级数的敛散性；适用于含有P(型)-级数、、多项式和正余弦的级数.其中P(型)-级数、对数、多项式主要是删减低次项和常数项，而正余弦主要是利用其小于1的性质.③比阶法：找到一个已知敛散性的级数，通过其与需求级数作商曲极限，来判断需求级数的敛散性.适用于P(型)-级数，等比级数、多项式等.定义如下：设∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 均为正项级数,若L v u nnn =∞→lim，则(1)当L=0时,若∑∞=1n nv收敛,则∑∞=1n nu也收敛；(2)当L=+∞时,若∑∞=1n nv发散,则∑∞=1n nu也发散.(3)当0<L<+∞时,∑∞=1n nv与∑∞=1n nu有相同敛散性.④比值法：通过对级数通向第n+1项与第n 项作商取极限来判断级数敛散性.不适用含有对数、多项式和正余弦的级数.定义如下：设∑∞=1n n u 为正项级数,若ρ=+∞→nn n u u 1lim,则(1)1<ρ时, 级数∑∞=1n nu收敛；(2) 1>ρ或+∞=ρ时, 级数∑∞=1n nu发散；(3)1=ρ时, 级数∑∞=1n nu可能收敛也可能发散.⑤其他常用方法(1)关于级数中带有多项式的分式方程的：ⅰ分子最高次≥分母最高次则级数一定发散； ⅱ分子最高次＜分母最高次，则用比阶法来判断. 设sn n V 1=（s 为分子最高项-分母最高项的差值） (2)关于级数中带有对数的：用比阶法题目中()c n U tn +=ln ，就设tn n V 1=作商取极限，需要用L ，hospital 定理8、交错级数的审敛法：（莱布尼茨定理) 设∑∞=--11)1(n n n u 为交错级数, 若满足(1) n n u u ≤+1, ,2,1=n ； (2) 0lim =∞→n n u , 则 ∑∞=--11)1(n n n u 收敛,9、任意项级数的绝对收敛和条件收敛 ①绝对收敛的级数∑∞=1n nu ：∑∞=1||n nu 收敛；②条件收敛的级数∑∞=1n n u：∑∞=1||n nu发散, 但∑∞=1n n u 收敛.③∑∞=1||n nu收敛 ⇒ ∑∞=1n n u 收敛. 反之不然.④此类级数多用比值法来判断绝对值级数是否发散 ⑤若任意项级数∑∞=1n nu条件收敛，则其所有正项或者负项构成的级数均为发散的.10、函数项级数①定义: 设 ),(,),(),(21x u x u x u n 是定义在I 上的函数,则++++=∑∞=)()()()(211x u x u x u x u nn n称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数.②收敛域(1) 收敛点I x ∈0—— ∑∞=10)(n nx u 收敛；(2) 发散点I x ∈0——∑∞=10)(n nx u 发散；(3) 收敛域D —— ∑∞=1)(n nx u 的所有收敛点的全体D ；(4) 发散域G ——∑∞=1)(n n x u 的所有发散点的全体G .（5）解题方法：已知级数∑∞=1)(n nx u，求其收敛域.ⅰ用比值法算出大致收敛域：）（的式子关于x 1Q x lim==+∞→nn n u u ρ，令）（x Q <1，算出x 收敛大范围（a ，b ），收敛半径R=2b-a （()∞++∞∞-∈可以为R R ,,） ⅱ将端点值带入级数∑∞=1)(n nx u中，算出∑∞=1)(n n a u 与∑∞=1)(n n b u 的敛散性，判断端点值是否可以取到，过程可以略过. ⅲ综上所述，写出级数∑∞=1)(n nx u的收敛域③和函数)(x S —— ∑∞==1)()(n nx u x S , D x ∈.解题方法：已知级数∑∞=1)(n nx u，求其和函数.ⅰ求出其收敛域；ⅱ将级数经过求导或者积分，得到一个等比级数 ⅲ用等比级数收敛公式qa -11算出和函数的导数或者原函数的表达式；ⅳ将求出的表达式积分或求导，写成)(x S 的形式，并注明收敛域.【注】已知级数∑∞=1)(n nx u，求∑∞=1n n V 的和ⅰ-ⅳ步骤同上ⅴ将n n V x u 与)(建立起联系，想当x 为何值时n n V x u =)(，然后将x 带入)(x S 中.11、函数项级数的展开式.(1) f (x ) = e x= ∑∞=0!n nn x , x ∈(-∞, +∞);(2) f (x ) = sin x = ∑∞=++-012!)12()1(n n n xn ,x ∈(-∞, + ∞);(3) f (x ) = cos x = ∑∞=-02!)2()1(n nn x n ,x ∈(-∞, + ∞);(4) 11()1n n f x x x ∞===-∑ ,x ∈(-1, 1);(5) 11()()1n n f x x x ∞===-+∑ ,x ∈(-1, 1);(6) f (x ) = ln (1 + x ) = ∑∞=+-11)1(n nn x n , x ∈(-1, 1]。
第十章 无穷级数1
n
1
)
lim s n lim
n
1 2
(1
1 2 .
1 2n 1
)
1 2
1 2
12
级数收敛 , 和为
即
s
常数项级数的概念
例 证明调和级数
1 n
1
1 2
1 3
1 n
n 1
发散。 (重要) 证明 反证： 假设调和级数收敛，且其和为s. 则
n
当n充分大时, s n s
误差为 | rn |
7
常数项级数的概念
例 判定级数 1 2 3 n 的敛散性。 解 级数的部分和 而
sn 1 2 3 n 2 n( n 1) lim s n lim n n 2
n1
数列 s n 有极限 s , 即 lim s n s . 则称无穷级数
u 收敛, 这时极限s叫做级数 u 的和.
n
n
n 1
n 1
并写成 s u1 u2 un
如果 s n 没有极限 , 则称无穷级数
n
u
n1
n
发散 .
即 lim sn存在 (不存在) 常数项级数收敛(发散).
这样, 级数(1)对应一个部分和数列:
s1 u1 , s2 u1 u2 , s3 u1 u2 u3 ,
sn u1 u2 un ,
,
5
常数项级数的概念
部分和数列可能存在极限,也可能不存在极限. 定义 当 n 无限增大时 , 如果级数
第十章 无穷级数
当 p 1时收敛; 解 当
当
p 1
时, 有
1 而 n 1 n
1 1 , p n n
发散.
1 所 以 p 发 散 n 1 n
calculus
当
p 1 时;
1 1 因 为n 1 x n时 ， 有 p p , 所 以 n x
n 1 1 dx p p n 1 n n
故当 n 时,
n 与
sk n
的极限同时存在或不存在.
所以级数(1)与(2)具有相同的敛散性. 其它情况类似可证.
calculus
例如,
2 与 3 n 2
均收敛.
n
2 3 n 0
n
具有相同的敛散性,
n
但收敛和不同
2 1 3 1 2 / 3 3, n 0 n 2 2 2 ( ) 3 n 2 3 1 2/ 3
lim Sn lim n( n 1)
n
n( n 1) 2
n
2
所以,级数发散.
calculus
例2. 判别级数 的敛散性.
解
1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 n( n 1)
1 1 1 1 Sn 1 2 2 3 3 4 n ( n 1)
calculus
性质3
收敛级数加括号后所得新级数仍收敛, 且收敛和不变
证
设
u1 u2 u3 u4 u5
(1) (2)
加括号后得
(u1 u2 ) (u3 u4 u5 )
(2)的前m项和相当于(1)的前n 项和.
第十章无穷级数
11
1 例3 讨论级数 ln(1 ) 的敛散性. n n 1
解
1 u n ln(1 ) ln(n 1) ln n , n
所以
S n ln 2 ln1 ln 3 ln 2 ln(n 1) ln n
ln(n 1) n
k 1
n
n 1
v
k 1
n
k
,
un vn , Sn Tn , (n 1,2,)
因为
v
n1
n
收敛，所以 {Tn } 有上界 M， Sn Tn M ,
所以{Sn } 也有上界 M，
un收敛.
n1
24
比较审敛法
定理 设 un和 vn均为正项级数， 且 un vn ( n 1, 2,) ,
性质4 续证
收敛级数任意加括号后仍收敛,且其和不变.
则 { An } 实际上是{ Sn } 的一个子数列,
故由 { Sn } 的收敛性可知{ An } 的收敛性,且其极限不变.
例如，若级数 un 收敛，则级数
(u
n 1
2 n 1
u2 n ) 、 (u3 n 2 u3n1 u3n ) 均收敛，
n
S
如果数列{ S n } 没有极限,则称无穷级数
un 发散.
n 1
5
例1 讨论等比级数(几何级数)
n 1 2 n 1 aq a aq aq aq ( a 0) n 1
的收敛性. 解
n a aq 2 n1 Sn a aq aq aq ， 1 q a n 当 | q | 1 时, lim q 0 limS n 收敛 n n 1 q
(高数详解1-10章全部)10第十章无穷级数
第十章无穷级数【考试要求】1．理解级数收敛、发散的概念．掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质．2．掌握正项级数的比值审敛法．会用正项级数的比较审敛法．3．掌握几何级数、调和级数与p级数的敛散性．4．了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法．5．了解幂级数的概念，收敛半径，收敛区间．6．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和、差、逐项求导与逐项积分）．7．掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间的方法．【考试内容】一、常数项级数的相关概念 1．常数项级数的定义一般地，如果给定一个数列 1u ，2u，，n u，，则由这数列构成的表达式123n u u u u +++++叫做常数项无穷级数，简称常数项级数或级数，记为1nn u∞=∑，即1231n n n u u u u u ∞==+++++∑，其中第n 项n u 叫做级数的一般项． 2．常数项级数收敛、发散的概念作常数项级数1nn u ∞=∑的前n 项和121nn n i i s u u u u ==+++=∑，ns 称为级数1nn u ∞=∑的部分和，当n 依次取1,2,3,时，它们构成一个新的数列11s u =，212s u u =+，3123s u u u =++，，1n s u =，． 如果级数1nn u ∞=∑的部分和数列{}n s 有极限s ，即lim n n s s →∞=，则称无穷级数1n n u ∞=∑收敛，这时极限s 叫做这级数的和，并写成123n s u u u u =+++++或者1nn us ∞==∑；如果{}n s 没有极限，则称无穷级数1n n u ∞=∑发散．3．收敛级数的基本性质（1）如果级数1nn u ∞=∑收敛于和s ，则级数1nn ku ∞=∑也收敛，且其和为ks ．一般地，级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不变． （2）如果级数1nn u ∞=∑、1nn v ∞=∑分别收敛于和s 、σ，则级数1()nn n uv ∞=±∑也收敛，且其和为s σ±． （3）在级数1nn u ∞=∑中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．（4）如果级数1nn u ∞=∑收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变． （5）如果级数1nn u ∞=∑收敛，则它的一般项n u 趋于零，即lim 0n n u →∞=． 说明：此条件称为级数收敛的必要条件．由原命题成立逆否命题一定成立可得，如果lim n n u →∞不为零，则级数1n n u ∞=∑一定发散．4．几个重要的常数项级数（1）等比级数级数21nnn q q q q ∞==++++∑或 21nnn q q q q ∞==+++++∑称为等比级数或几何级数，其中q 叫做级数的公比．其收敛性为：当1q <时，级数收敛；当1q ≥时级数发散． （2）调和级数级数11111123n nn∞==+++++∑ 称为调和级数，此级数是一个发散级数． （3）p 级数级数11111123p p p pn nn ∞==+++++∑称为p 级数，其中常数0p >．其收敛性为：当1p >时，级数收敛；当1p ≤时级数发散．二、正项级数的审敛法 1．比较审敛法设1n n u ∞=∑和1nn v ∞=∑都是正项级数，且存在正数N ，使当n N ≥时有n n u v ≤成立．若级数1nn v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑收敛；如果级数1nn u ∞=∑发散，则级数1nn v ∞=∑也发散． 2．比较审敛法的极限形式设1nn u ∞=∑和1nn v ∞=∑都是正项级数．（1）如果lim nn nu l v →∞=，0l ≤<+∞，且级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1nn u∞=∑收敛；（2）如果lim nn nu l v →∞=，0l <≤+∞，且级数1n n v ∞=∑发散，则级数1nn u ∞=∑发散．说明：极限形式的比较审敛法，在两个正项级数的一般项均趋于零的情况下，其实是比较它 们的一般项作为无穷小的阶．上述结论表明，当n →∞时，如果n u 是与n v 同阶或是比n v 高阶的无穷小，而级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1nn u∞=∑收敛；如果n u 是与n v 同阶或是比n v 低阶的无穷小，而级数1nn v ∞=∑发散，则级数1nn u ∞=∑发散． 3．比值审敛法（达朗贝尔判别法）设1nn u∞=∑为正项级数，如果1lim n n nu u ρ+→∞=，则当1ρ<时级数收敛；1ρ>（或1limn n nu u +→∞=+∞）时级数发散；1ρ=时级数可能收敛也可能发散．4．根值审敛法（柯西判别法）设1nn u ∞=∑为正项级数，如果lim n ρ→∞=，则当1ρ<时级数收敛；1ρ>（或lim n →∞=+∞）时级数发散；1ρ=时级数可能收敛也可能发散．三、交错级数及其审敛法1．交错级数的概念所谓交错级数是这样的级数，它的各项是正负交错的，从而可以写成下面的形式：1234u u u u -+-+=，或12341(1)nnn u u u u u ∞=-+-+-=-∑ ，其中1u ，2u，都是正数．2．交错级数的审敛法—莱布尼茨定理如果交错级数11(1)n nn u ∞-=-∑满足条件：（1）1n n u u +≥ （1,2,3,n =）；（2）lim 0n n u →∞=．则级数收敛．四、绝对收敛与条件收敛 1．绝对收敛与条件收敛对于一般的级数12n u u u ++++ ，它的各项为任意实数．如果级数1nn u ∞=∑各项的绝对值所构成的正项级数1nn u ∞=∑收敛，则称级数1nn u ∞=∑绝对收敛；如果级数1n n u ∞=∑收敛，而级数1nn u ∞=∑发散，则称级数1n n u ∞=∑条件收敛．例如，级数1211(1)n n n ∞-=-∑是绝对收敛级数，而级数111(1)n n n ∞-=-∑是条件收敛级数．对于绝对收敛级数，我们有如下结论：如果级数1nn u ∞=∑绝对收敛，则级数1nn u ∞=∑必定收敛．这说明，对于一般的级数1nn u ∞=∑，如果我们用正项级数的审敛法判定级数1nn u ∞=∑收敛，则此级数一定收敛．这就使得一大类级数的收敛性判定问题，转化为正项级数的收敛性 判定问题． 2．重要结论一般说来，如果级数1nn u ∞=∑发散，我们不能断定级数1nn u ∞=∑也发散．但是，如果我们用比值审敛法或根值审敛法根据1lim 1n n nu u ρ+→∞=>或lim 1n ρ→∞=>判定级数1n n u ∞=∑发散，则我们可以断定级数1nn u ∞=∑必定发散（这是因为从1ρ>可推知n →∞时n u 不趋于零，从而n →∞时n u 也不趋于零，因此级数1nn u ∞=∑发散）． 五、幂级数 （一）函数项级数1．函数项级数的定义如果给定一个定义在区间I 上的函数列 1()u x ，2()u x ，，()n u x ，，则由这函数列构成的表达式123()()()()n u x u x u x u x +++++称为定义在I 上的函数项无穷级数，简称函数项级数．2．收敛域、发散域、和函数对于每一个确定的值0x I ∈，函数项级数1()n n u x ∞=∑成为常数项级数102030()()()u x u x u x +++．如果该常数项级数收敛，就称点0x 是函数项级数1()n n u x ∞=∑的收敛点；如果该常数项级数发散，就称点0x 是发散点．函数项级数1()n n u x ∞=∑的收敛点的全体称为收敛域，发散点的全体称为发散域．对应于收敛域内的任意一个常数x ，函数项级数成为一收敛的常数项级数，因而有一确定的和s ．这样，在收敛域上，函数项级数的和是x 的函数()s x ，通常称()s x 为函数项级数的和函数，这函数的定义域就是级数的收敛域，并写成 123()()()(s x u x u x u x=++ ．（二）幂级数及其收敛性1．幂级数的定义函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都是幂函数的函数项级数，即所谓幂级 数，形式为012nn n a x a a x a x ∞==++∑，其中常数0a ，1a ，2a ，，n a ，叫做幂级数的系数． 2．阿贝尔定理 如果级数nn n a x ∞=∑当0x x =（00x ≠）时收敛，则适合不等式0x x <的一切x 使这幂级数绝对收敛．反之，如果级数nnn a x ∞=∑当0x x =时发散，则适合不等式0x x >的一切x 使这幂级数发散．由上述定理可以推出，如果幂级数nn n a x∞=∑不是仅在0x =一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R 存在，使得当x R <时，幂级数绝对收敛；当x R >时，幂级数发散；当x R =或x R =-时，幂级数可能收敛也可能发散．正数R 叫做幂级数的收敛半径，开区间(,)R R -叫做幂级数的收敛区间．3．求收敛半径及收敛区间的方法 （1）对于标准形式的幂级数nnn a x ∞=∑或1nnn a x ∞=∑，有如下方法：如果1lim n n na a ρ+→∞=，其中n a 、1n a +是幂级数0nn n a x ∞=∑的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径1,0,00,R ρρρρ⎧≠⎪⎪⎪=+∞=⎨⎪=+∞⎪⎪⎩ ．（2）对于非标准形式的幂级数0()n n u x ∞=∑或1()nn u x ∞=∑（如202!nnn x n ∞=∑或0(1)2n nn x n ∞=-∑），方法如下：令1()lim 1()n n nu x u x +→∞<，得到x 的范围，然后再求x 的两个边界值所对应的常数项级数的敛散性即可．（三）幂级数的和函数 1．幂级数和函数的性质 性质 1 幂级数n n n a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛域I 上连续．性质 2 幂级数n n n a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛域I 上可积，并有逐项积分公式0000()xxn n n n s x dx a x dx ∞∞==⎡⎤==⎢⎥⎣⎦∑∑⎰⎰ （x I ∈），逐项积分后所得到的幂级数和原来的幂级数有相同的收敛半径．性质 3 幂级数nnn a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛区间(,)R R -内可导，并有逐项求导公式()00()n n n n n n s x a x a x ∞∞==''⎛⎫'=== ⎪⎝⎭∑∑（x R <），逐项求导后所得到的幂级数和原来的幂级数有相同的收敛半径． 2．幂级数和函数的求法（“先导后积”或“先积后导”）当幂级数的一般项形如(1)nxn n +时，可用先求导后求积分的方法求其和函数；当幂级数的一般项形如2(21)n n x +、1n nx -等形式，可用先求积分后求导的方法求其和函数．3．常用的幂级数展开式 （1）2111n nn x x x x x ∞===+++++-∑，11x -<<；（2）21(1)11n n n x x x x ∞==-=-+-++∑，11x -<<．【典型例题】【例10-1】用比较法或其极限形式判别下列级数的敛散性． 1．11n ∞=∑． 解：因1141lim lim 12n n n n n→∞→∞-==，而调和级数11n n∞=∑发散，故原级数发散．2．213n n ∞=-∑ ．解：因222233lim lim 31n n n n n n n →∞→∞-==-，而级数211n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．3．1352nn nn ∞=-∑ ．解：因33552lim lim 152335nn n n n n n n nn n →∞→∞-=⋅=-⎛⎫ ⎪⎝⎭，而级数135nn ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑是收敛的等比级数，故原级数收敛．4．11sin n n ∞=∑ ．解：因 1sin lim 11n n n→∞=，而调和级数11n n ∞=∑发散，故原级数发散． 5．11(1cos )n n ∞=-∑ ．解：因 211cos1lim 12n n n→∞-=，而级数211n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．6．32tan n nn π∞=∑ ．解：因2222tan lim lim 211n n n n n n n n πππ→∞→∞⋅==，而级数211n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．7．312(1)n n n n ∞=++∑ ．解：因333322(1)lim lim 11(1)n n n n n n n n n n→∞→∞+++=⋅=+，而级数311n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．8．111nn a∞=+∑ （0a >）． 解：当1a =时， 111lim lim 0122n n n a →∞→∞==≠+，故原级数发散；当01a <<时，11lim lim 10110n n n a →∞→∞==≠++，故原级数发散；当1a >时，因11lim lim 111n n n n n n a a aa →∞→∞+==+，而级数11nn a∞=∑是收敛的等比级数，故原级数收敛．【例10-2】利用比值审敛法判别下列级数的敛散性．1．1(1)!2nn n ∞=+∑ ． 解：因11(2)!(2)!22lim lim (1)!2(1)!2n n n n n n n n n n ++→∞→∞++=⋅=++，故原级数发散．2．213n n n∞=∑ ．解：因221212(1)(1)313lim lim 1333n n n n n n n n n n ++→∞→∞++=⋅=<，故原级数收敛．3．1135(21)3!nn n n ∞=⋅⋅⋅⋅-⋅∑ ．解：因1135(21)(21)3(1)!limlim 135(21)3!n n n nn n n n n +→∞→∞⋅⋅⋅⋅-⋅+⋅+=⋅⋅⋅⋅-⋅，故原级数收敛．4．110!nn n ∞=∑ ．解：因111010!(1)!lim lim 0110(1)!10!n n n n n n n n n n ++→∞→∞+=⋅=<+，故原级数收敛．5．1212nn n ∞=-∑ ． 解：因112121212lim lim 2122122n n n n n n n n n n ++→∞→∞++=⋅=<--，故原级数收敛． 6．21sin2nn nπ∞=∑ ． 解：因22sin22limlim 1122nnn n nnn n πππ→∞→∞==⋅，故原级数与级数212n n n∞=∑敛散性相同．对于级数212n n n∞=∑，因221212(1)(1)212lim lim 1222n n n n n n n n n n ++→∞→∞++=⋅=<，故级数212n n n∞=∑收敛，所以原级数也收敛．【例10-3】利用根值审敛法判别下列级数的敛散性．1．12(1)2nnn ∞=+-∑ ． 解：111lim lim lim 22nn n n e→∞→∞→∞==，故原级数收敛．2．11[ln(1)]nn n ∞=+∑ ． 解：lim lim lim ln(1n n n →∞→∞→∞==，故原级数收敛．【例10-4】判定下列级数的敛散性，如果是收敛的，判定是绝对收敛还是条件收敛． 1．111(1)n n ∞-=-∑ ． 解：因级数11111(1)n n n ∞∞-==-=∑∑发散，但由莱布尼茨定理可知，原级数满足111n n u u +=>=，且1lim 0n →∞=，所以原级数收敛且为条件收敛． 2．1211(1)n n n∞-=-∑ ．解：因级数1221111(1)n n n n n∞∞-==-=∑∑收敛，所以原级数绝对收敛．3．11(1)1n n nn ∞+=-+∑ ．解：因1lim(1)1n n n n +→∞-+不存在，故原级数发散．4．11sin 27n n n π∞=∑ ．解：11sin 272n n n π≤，而级数112nn ∞=∑是收敛的等比级数，故根据比较审敛法可知，级数11sin 27n n n π∞=∑收敛，故原级数绝对收敛．【例10-5】求下列幂级数的收敛半径和收敛域． 1．11(1)nn n xn∞-=-∑． 解：因111lim lim 11n n n na n a nρ+→∞→∞+===，所以收敛半径11R ρ==，故收敛区间为(1,1)-．又当1x =-时，原级数即为11()n n ∞=-∑，发散；当1x =时，原级数即为111(1)n n n ∞-=-∑，收敛，故原级数的收敛域为(1,1]-．2．0!nn xn ∞=∑ ．解：因111(1)!lim lim lim11!n n n n na n a n n ρ+→∞→∞→∞+===+，所以收敛半径R =+∞，故级数的收敛域为(,)-∞+∞．3．0!nn n x ∞=∑． 解：因1(1)!lim lim !n n n na n a n ρ+→∞→∞+===+∞，所以收敛半径0R =，即级数仅在点0x =处收敛．4．2121n nn x n ∞=+∑ ． 解：因12122(1)1limlim lim 21n n n n n n na n a n ρ++→∞→∞→∞++===+，所以收敛半径112R ρ==，故收敛区间为11(,)22-．又当12x =-时，原级数即为21(1)1n n n ∞=-+∑，收敛；当12x =时，原级数即为2111n n ∞=+∑，收敛，故原级数的收敛域为11[,]22-．【例10-6】求下列幂级数的收敛域．1．1(1)2nnn x n ∞=-⋅∑ ．解：这是非标准形式的幂级数，我们用比值审敛法．令 11(1)1(1)2lim 1(1)22n n n n n x x n x n ++→∞--+⋅=<-⋅，则12x -<，故当13x -<<时级数收敛，当1x <-或3x >时级数发散．当1x =-时，原级数即为1(1)n n n ∞=-∑，收敛；当3x =时，原级数即为11n n∞=∑，发散．因此原级数的收敛域为[1,3)-．2．211(1)21n nn xn +∞=-+∑ ．解：这是非标准形式的幂级数，我们用比值审敛法．令 231221(1)23lim 1(1)21n n n n n xn x x n +++→∞-+=<-+，则当11x -<<时级数收敛，当1x <-或1x >时级数发散．当1x =-时，原级数即为111(1)21n n n ∞+=-+∑，收敛；当1x =时，原级数即为11(1)21nn n ∞=-+∑，也收敛．因此原【例10-7】求下列幂级数的和函数． 1．11n n nx∞-=∑ ．解：先求幂级数的收敛域．令 1(1)lim 1nn n n xx nx-→∞+=<，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为1(1)nn n ∞=-∑，发散；当1x =时，原级数即为1n n ∞=∑，也发散．因此原再求和函数．设和函数11()n n s x nx ∞-==∑，则11()()()()1nnn n xs x x x x ∞∞=='''====-∑∑， (1,1)x ∈-．2．2111(1)21n n n xn -∞-=--∑ ． 解：先求幂级数的收敛域．令212211(1)21lim 1(1)21n nn n n x n x x n +-→∞--+=<--，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为11(1)21nn n ∞=--∑，收敛；当1x =时，原级数即为111(1)21n n n ∞-=--∑，也收敛．因此原级数的收敛域为[1,1]-．再求和函数．设和函数2111()(1)21n n n xs x n -∞-==--∑，则 122241()(1)1n n n s x xx x ∞--='=-=-+-∑， 故[]2001()arctan arct 1xxs x dx x x ===+⎰， [1,1]x ∈-．3．111(1)n n x n n ∞+=+∑． 解：先求幂级数的收敛域． 令211(1)(2)lim 11(1)n n n xn n x xn n +→∞+++=<+，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为111(1)(1)n n n n ∞+=-+∑，收。
第十章无穷级数小结
∑ |u
n=1
∞
n
| 收 敛 u n 敛 ∑ 收
n=1
∞
∑| u
n =1
∞
n
| 发散
∑ u 发散
n =1 n
∞
补充定理 如果任意项级数
∑u
n =1
∞
n
= u1 + u2 + un +
un +1 lim =l n →∞ un
满足条件
当l < 1时级数绝对收敛,当l > 1时级数发散
命题3 命题3:不一致收敛的极限形式: 一致收敛的极限形式:
设函数序列{ Sn ( x )}在区间I 上收敛到极限函数S ( x ).若存在 点列xn ∈ X ( n = 1, 2,), 使得 lim[ Sn ( xn ) S ( xn )] = k ≠ 0,
n →∞
则{ Sn ( x )}在X 上不一致收敛.
若 u n > 0, 则称
∑1 u n 是 正 项 n=
∞
∞
级数
1.
n =1
收 ∑ un(un > 0)收敛 部分和数列有界
∞
2. 比较判别法: ∑ un ( un > 0),
则
∑vn 收敛 n=1
∞
n =1
∑1 u n 收敛 n=
∞
∞
n =1
∑ v n (ν n > 0),
∞
un ≤ v n ,
部分和数列: Sn = ∑ui = u1 + u2 + + un
i =1
n
敛散性: 敛散性: 若
记为
n→ ∞
lim S n = S ,
第十章 无 穷 级 数
1 1 1 2 2 3 1 ( x x )dx ( x x )dx 0 2 0
( x n 1 x n )dx
0
1
1 1 1 2 2 3 3 4 1 n(n 1)
上的函数族 {un ( x)}
n1
n 1
与数项级数类似，若定义在相同区间 I [a, b] ，称和式
u1 ( x) u2 ( x) un ( x)
为函数项级数。
简单地说，无穷级数就是无穷多项数或函数相加的 理论，它是高等数学的重要内容之一。无穷级数在数学 的各个分支中都有重要应用，如： 近似计算公式：
为级数的余项. 显然
例1 判别级数
n 的敛散性。
n 1
n 1 例2 判别级数 ln 的敛散性。 n n 1
例3 讨论等比级数 (又称几何级数 geometric series)
( q 称为公比 ) 的敛散性. 解: 1) 若 q 1 则部分和
a lim S q 1 时，n n 1q a 因此级数收敛 , 其和为 1 q lim S n , q 1 时，
证: 令 S n
n
n 1
k 1
uk ,
n
则 n c uk c S n ,
cS
lim n
这说明
c un 收敛 , 其和为 cS .
注: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
3 1 例6 求级数 ( n ) 的和。 2 n 1 n( n 1)
回顾：广义积分
1
p 1 时，收敛。 p 1 时，发散。
高等数学：第十章 无穷级数1-2
1 45
1 n(n 1)
也是收敛的
3.收敛级数的性质
(4)将收敛级数的项任意加括号后所成的新级数， 仍然收敛到原级数的和（无穷和的结合律）。
注意: 如果加括号后所成的级数收敛 则 不能断定去括号后原来的级数也收敛。
例如: 级数(11)+(11) + 收敛, 但级数1-11-1 却是发散的.
推 论 如果加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散.
k
1
ak收敛
lim
n
Sn存在.
设 lim n
Sn
S.则有
Sn S，Sn-1 S.
从而 an Sn Sn1 0.
2.数项级数及其收敛性概念
(4)级数收敛的充要条件 定理4：对于任意给定的ε>0，存在一 个N,使得
n p
| ak | ,只要n N , p 1. k n1
定理4的证明：
n
便有 0 1 (n ) 2
这是不可能的.
级数发散 .
1
n1 n
调和级数的部分和
sn
1
1 2
1 n
1
把每一项看成是以 n 为高 以 1 为底的的矩形面积
sn 就是图中 n 个矩形的面积之和
由定积分的几何意义 这块面积显然大于定积分
n1 1dx 即
1x
Sn
1
1 2
1 n
n1 1dx ln( n 1) ,
n1
2.数项级数及其收敛性概念
(2)无穷级数的收敛与发散 ㄥ?在亩ý
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《高等数学》第十章 无穷级数(电子讲稿)
380 第十章 无穷级数在许多科学技术领域中，常常要求我们将无穷多个数或者函数相加，我们把这种和式叫做无穷级数．无穷级数是表示函数、研究函数性态以及进行数值计算的一种有效工具．无穷级数分为常数项级数和函数项级数，本章将先介绍常数项级数的概念及其敛散性的审敛法，然后讨论函数项级数，最后将着重讨论如何将函数展开成幂级数和三角级数的问题．第一节 常数项级数的概念与性质一、常数项级数的基本概念设给定一个数列1u ，2u ，n u ，，用加号把这些项连结起来所构成的和的表达式 1u +2u +n u +（1）称为（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，记作1n n u ∞=∑1u =+2u +n u ++，级数的第n 项u n 通常称为级数的一般项或通项．例如 111111!2!3!!n n n ∞==+++++∑,1(1)1111(1)nn n ∞=-=-+-+-+-+∑,1123n n n ∞==+++++∑ 都是常数项级数．上述级数的定义仅仅是一种形式上的定义，这种加法是否具有“和数”，这个“和数”的意义是什么？为了解决这个问题，我们先作（常数项）级数（1）的前n 项和n s =12n u u u +++1ni i u ==∑， （2）n s 称为级数（1）的部分和．当n 依次取1，2，3，…时，部分和又构成一个新的数列11s u =， 122s u u =+，3123,s u u u =++， n s =12n u u u +++，，即数列12,,,,n s s s ．把这个数列{n s }称为级数1n n u ∞=∑的部分和数列（简称为部分和）．当n 趋于无穷大时，如果级数1n n u ∞=∑的部分和数列{n s }有极限s ，即lim n n s s →∞=,则称无穷级数1n n u ∞=∑收敛，并称极限s 为级数的和，写成12n s u u u =+++．如果部分和数列{n s }没有极限，则称无穷级数1n n u ∞=∑发散．当级数1n n u ∞=∑收敛时，其部分和n s 是级数的和s 的近似值，它们之间的差值12n n n n r s s u u ++=-=++称为级数的余项．用近似值n s 代替和s 所产生的误差是这个余项的绝对值，即误差是n r ．381●●例1 判别无穷级数1123n n n ∞==+++++∑的敛散性．解 由于 (1)122n n n s n +=+++=, 则 (1)lim lim 2n n n n n s →∞→∞+==∞,所以该级数发散．●●例2 讨论级数11111(1)n --+-++-+的敛散性． 解 部分和数列11s =，2110s =-=，31111s =-+=，，11111(1)n n s -=-+-++-．易知，当n 为奇数时，1n s =；当n 为偶数时，0n s =．所以没有极限，故原级数发散． ●●例3 无穷级数20nn n aqa aq aq aq ∞==+++++∑． （3）叫做等比级数（又称为几何级数），其中0a ≠，q 叫做级数的公比，试讨论级数（3）的敛散性．解 如果||1q ≠，级数的部分和1n n s a aq aq-=+++1n a aq q -==-11na aq q q---． 当||1q <时, lim n n s →∞=lim 111n n a aq a q q q →∞⎡⎤-=⎢⎥---⎣⎦, 此时级数（3）收敛，且其和为 1aq -； 当||1q >时，lim n n s →∞=∞，此时级数（3）发散．如果||1q =，则当1q =时，n s na =→∞，因此级数（3）发散；当1q =-时，级数(3)变为n s =a a a a -+-+1(1)n a -+-．显然，n s 随着n 为奇数或为偶数而等于a 或为零，因此n s 的极限不存在，此时级数（3）也发散．综上讨论可知，等比级数11n n aq ∞-=∑当||1q <时收敛，其和为1aq-，当||1q ≥时发散． 例如级数23422223333⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其公比213q =<，则该级数是收敛的．又例如级数23433332222⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其公比312q =>，故该级数是发散的． 二、收敛级数的基本性质由上面的讨论可知，级数的收敛问题，实际上也就是研究它的部分和数列的收敛问题，因此，我们可以应用数列极限的有关知识来研究无穷级数的收敛与发散．从而可以得到收敛级数的一些基本性质．性质1 如果级数123n u u u u ++++收敛于和s ，则它的各项同乘以一个常数a 所得的级数123n au au au au ++++也收敛，且其和为as ． 证 设级数1n n u ∞=∑与级数1n n au ∞=∑的部分和分别为n s 和n σ，则n s =12n u u u +++，n σ12n au au au =+++n as =．382 由数列极限的性质知lim lim n n n n as as σ→∞→∞==．即级数1nn au∞=∑收敛于as ．性质2 如果级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都收敛，且其和分别为s 与σ，则级数1()nn n uv ∞=±∑1122()()()n n u v u v u v =±+±++±+．也收敛，并且有111()nn n n n n n uv u v ∞∞∞===±=±∑∑∑s σ=±．证 令1nn i i s v ==∑，1nn i i u σ==∑，1()nn i i i T u v ==±∑，则1()nn i i i T u v ==±=∑11n ni in n i i u vs σ==±=±∑∑,所以有lim lim()lim lim n n n n n n n n n T s s s σσσ→∞→∞→∞→∞=±=±=±．也就是说，1()n n n u v ∞=±∑收敛于s σ±．●●例4 判别级数212211131313(11)242424n n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的敛散性．若收敛时求出它的和．解 由于级数211111222n -+++++与 21213331444n n --+++++都是公比小于1的等比级数，所以它们都收敛，且其和分别为2和4，由性质2知所给级数收敛，其和为212211131313(11)242424n n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭211111222n -⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭21213331444n n --⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭246=+=． 性质3 在级数的前面部分去掉或加上有限项，不改变级数的敛散性.证 设将级数121k k k n u u u u u +++++++++的前k 项去掉，则得级数12k k k n u u u +++++++．令新级数的部分和n T =12k k k n u u u ++++++．则12n k k k n T u u u +++=+++k n k s s +=-，其中k n s +为原级数的前k n +项的和，而k s 12k u u u =+++是常数，所以当n →∞时，n T 和n k s +或者同时具有极限，或者同时没有极限，当有极限时，k T s s =-．其中lim n n T T →∞=，lim k n n s s +→∞=．类似地，可以证明在级数的前面加上有限项，也不改变级数的敛散性． 性质4 收敛级数对其项任意加括弧后所成级数仍为收敛的级数，且其和不变． 应该注意，加括号后的级数收敛时，原来未加括弧的级数未必收敛，例如下面的级数(11)(11)(11)-+-+-+ 收敛于零，但级数111111-+-+-+却是发散的．由性质4可得: 如果加括弧后所成的级数发散，则原来级数也发散．383性质5 （级数收敛的必要条件）如果级数1n n u ∞=∑收敛，则当n 无限增大时，它的一般项n u 趋于零，即lim 0n n u →∞=．证 设级数1n n u ∞=∑的部分和数列为{}n s ，且lim n n s s →∞=．因为1n n n u s s -=-，所以1lim lim()n n n n n u s s -→∞→∞=-0s s =-=．性质5表明，若lim 0n n u →∞≠，则1n n u ∞=∑一定发散，但要注意，若lim 0n n u →∞=时，级数1n n u ∞=∑可能收敛，也可能发散． ●●例5 无穷级数111123n+++++ （4）称为调和级数．证明调和级数是发散的．证法1 顺序把级数（4）的两项、两项、四项、八项、2m 项、加括号得级数111111112345678⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111121222m mm +⎛⎫+++++ ⎪++⎝⎭ 因为 11122+>，1111134442+>+=，111111111,567888882+++>+++=11111111111212222222m m m m m m +++++++>+++=++, 所以这个加括号的级数的前1m +项的和大于12m +，从而可知加括号后的级数发散．由性质4所得的结论可知，调和级数（4）发散．证法2 由0x >时，ln(1)x x >+知，11ln 1n n ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，所以1111ln 1nn n i i s i i ==⎛⎫=>+ ⎪⎝⎭∑∑341ln 2ln ln ln 23n n +=++++341ln 223n n +⎛⎫=⋅⋅⋅⎪⎝⎭ln(1)n =+．由于lim limln(1)nn n s n →∞→∞≥+=∞，故调和级数发散．●●例6 -+-+11n n +-+-+的敛散性．解 对级数每两项加括号后所成的级数为2n ∞=∑221n n ∞==-∑2121n n ∞==-∑，而211n n ∞=-∑为调和级数，它是发散的，故知原级数发散． 习 题 10-11．写出下列级数的前5项:384 （1）21(2)n nn ∞=+∑； （2）113(21)24(2)n n n ∞=⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅∑；（3）11(1)10n n n -∞=-∑；（4）1!(1)nn n n ∞=+∑． 2．写出下列级数的一般项:（1）111246+++；（2）231153759711a a a ++++⋅⋅⋅⋅；（3）35791113149162536-+-+-+-；（42242468x x +⋅⋅⋅⋅ (0x >)．3．判定下列级数的敛散性: （1）1n ∞=∑；（2）11(21)(21)n n n ∞=-+∑；（3）1111223(1)n n ++++⋅⋅+；（4）π2ππsin sin sin 666n ++++；（5）1n ∞=∑；（6）13++；（7）22111111323232n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（8）135721357921n n -+++++++；（9）221(n ∞=∑ （0a >）；（10）23111111111111123nn +++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 4．证明下列级数收敛，并求其和：11111447710(32)(31)n n +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+．5．若级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑都发散时，级数1()n n n u v ∞=±∑的敛散性如何？若其中一个收敛，一个发散，那么，级数1()n n n u v ∞=±∑散敛性又如何？第二节 常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法在第一节中，我们介绍了判别一般常数项级数（即级数的各项可以是正数、负数或者零）是否收敛的方法.如果级数1n n u ∞=∑的每一项都是非负的，即0n u ≥（1n =，2，），则称级数1nn u∞=∑为正项级数． 在这一节，我们将对正项级数给出一些常用的审敛判别法．385设正项级数12n u u u ++++ （1） 的部分和为n s ，显然部分和数列{n s }是单调增加数列，也就是说12n s s s ≤≤≤≤根据单调有界数列必有极限的准则可得，如果部分和数列n s 有界，也就是说存在一正数M ，使得n s M ≤对所有的n 都成立，则级数（1）一定收敛；反之，如果正项级数收敛于s ，则数列{n s }一定有界． 由此可得下面的正项级数收敛的基本定理．正项级数1n n u ∞=∑收敛的充分必要条件是它的部分和数列{n s }有界．根据这一定理，我们可以得到正项级数收敛或发散的一些基本判别法则．(比较审敛法）设级数1n n u ∞=∑，1n n v ∞=∑为两个正项级数，且满足不等式n nu v ≤（1n =，2，）则下面的结论成立：（1）如果级数1n n v ∞=∑收敛， 则级数1n n u ∞=∑也收敛； （2）如果级数1n n u ∞=∑发散，则级数1n n v ∞=∑也发散．证 （1）设1n n v ∞==∑σ，1n n k k s u ==∑，1nn k k v σ==∑，则由条件知n s =12n u u u +++12n v v v ≤+++n σ=≤1nn vσ∞==∑，即部分和数列{n s }有界，由定理1知级数1n n u ∞=∑收敛．（2）反证法，若正项级数1n n v ∞=∑收敛，则根据（1）知级数1n n u ∞=∑收敛，与1n n u ∞=∑发散矛盾，故级数1n n v ∞=∑发散．由第一节的性质1和性质3可知，级数的每一项同乘以不为零的常数k ，以及去掉级数前面部分的有限项不会影响级数的收敛性，于是可得如下推论：推论 设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑是两个正项级数．如果从某项开始（比如从第N 项开始），满足不等式n n u kv ≤（n N ≥，0k >），则（1）若级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑收敛；（2）若级数1n n u ∞=∑发散，则级数1n n v ∞=∑发散．为了便于应用，我们下面接着给出比较审敛法的极限形式．(比较审敛法的极限形式） 设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑为给定的两个正项级数，(1) 如果lim nn nu l v →∞=（0l ≤<+∞），且级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑收敛；386 (2) 如果lim 0n n n u l v →∞=>或lim nn nu v →∞=+∞，且级数1n n v ∞=∑发散，则级数1n n u ∞=∑发散．证 (1) 根据极限的定义，对1ε=，存在自然数N ，使得当n N >时，有不等式1nnu l v <+, 即 (1)n n u l v <+ 而级数1n n v ∞=∑收敛，再由比较审敛法的推论，便可知1n n u ∞=∑收敛.(2) 反证法，如果级数1n n u ∞=∑收敛，则由结论(1)得级数1n n v ∞=∑收敛，但已知级数1n n v ∞=∑发散，矛盾．因此，级数1n n u ∞=∑发散．●●例1 证明级数1131nn ∞=+∑是收敛的． 证 因为11313n n ≤+，而且几何级数113n n ∞=∑收敛，故由比较判别法知，1131nn ∞=+∑是收敛的． ●●例2 判别级数11(0)1nn a a ∞=>+∑的收敛性． 解 （1）当01a <<时，11lim 10110n n a →∞==≠++，所以级数111n n a ∞=+∑发散． （2）当1a =时，11lim 012n n a →∞=≠+，所以级数111n n a ∞=+∑发散． （3）当1a >时，111nn a a ⎛⎫< ⎪+⎝⎭． 由于级数11nn a ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛，所以级数111nn a ∞=+∑收敛． 综上所述，当01a <≤时，原级数发散，当1a >时，原级数收敛． ●●例3 级数11111123pp p p n nn ∞==++++∑． （2） 称为p -级数，其中0p >是常数，试讨论p -级数的敛散性．解 （1）当1p ≤时，有 11p n n ≤，由于11n n ∞=∑发散，故由比较审敛法知，级数（2）发散．（2）当1p >时，由1k x k -≤≤知 11p p k x≤，所以111k p pk x k k -=≤⎰d 11k p k x x -⎰d ，（2,3,n =） 从而级数（2）的部分和1n s =+21n p k k =≤∑1+12n k p k k x x -=∑⎰d 11n p x x =+=⎰ d 111111p p n -⎛⎫+- ⎪-⎝⎭111p <+-（2,3,n =）， 故数列{}n s 有界，所以级数（2）收 敛．综上所述可得p -级数11pn n∞=∑当1p >时收敛，当1p ≤时发散． ●●例4 判别下列级数的敛散性：387（1）3132n n n n ∞=+-∑； （2）1111n nn∞+=∑； （3）11n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭； （4）21e n n n ∞-=∑．解 （1）因为 323323312lim lim 122n n n n n n n n n n →∞→∞++-==-，而211n n ∞=∑收敛，所以级数3132n n n n ∞=+-∑收敛． （2）因为111lim 11nn n nn+→∞==，又级数11n n ∞=∑发散，所以级数1111n nn∞+=∑发散． （3）因为321ln 1lim 11n n n nn →∞→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭==， 而级数3121n n∞=∑收敛，所以级数11n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭收敛．（4）因为 242e lim lim 01e n n n n n n n -→∞→∞==，而级数211n n ∞=∑收敛，所以级数21e n n n ∞-=∑收敛． ●●例5 判别级数11ln 1p n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的敛散性．（0p >，且为常数）解 因为1ln 1lim 1p n pn n→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭1lim ln 1p n p n n →∞⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1ln lim 11p n p n n →∞⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+= ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 而p -级数11p n n ∞=∑当1p >时收敛，所以当1p >时原级数收敛；当1p ≤时11p n n∞=∑发散，故当1p ≤原级数发散．判别级数的敛散性，如果已知一些收敛级数和发散级数，则可以以它们为标准进行比较．常用于比较的级数有p -级数、等比级数与调和级数，因此必须记住它们．由比较审敛法的定理我们知道，它是通过与某个敛散性已知的级数的比较来判断给定级数的敛散性，但有时作为比较对象的级数不容易找到，那么能不能从给定的级数自身直接判别级数的敛散性？为此，下面我们将给出使用上很方便的比值审敛法和根值审敛法．(比值审敛法） 设级数1n n u ∞=∑是正项级数，且1lim n n nuu ρ+→∞=．则（1）当1ρ<时，级数1n n u ∞=∑收敛； （2）当1ρ>（或1lim n n nu u +→∞=∞）时，级数1n n u ∞=∑发散；（3）当1ρ=时，级数1n n u ∞=∑可能收敛，也可能发散．388 正项级数敛散性的这一判别法称为比值审敛法或达朗贝尔（D alembert '）审敛法．证（1）当1ρ<时，取一个适当小的正数ε，使得1r ρε+=<，由1lim n n nuu ρ+→∞=知，存在正整数N ，使得当n N >时，有不等式1n nur u ρε+<+=成立，即有1N N u ru +<， 221N N N u ru r u ++<<， 332N N N u ru r u ++<<，…而等比级数23N N N ru r u r u +++收敛（公比1r <），由比较审敛法可知123N N N u u u ++++++收敛．由于级数1n n u ∞=∑只是比级数1nn N u∞=+∑多了前N 项，所以级数1n n u ∞=∑收敛．（2）当1ρ>时，取一个适当小的正数ε ，使得1ρε->，由极限的定义知，存在正整数N ，使得当n N >时，有不等式11n n uu ρε+>->成立，也就是1n n u u +>．所以，当n N >时，级数的一般项逐渐增大，因此lim 0n n u →∞≠，由级数收敛的必要条件可知，级数1n n u ∞=∑发散．类似地，可以证明，当1lim n n nu u +→∞=∞时，级数1n n u ∞=∑发散．（3）当1ρ=时，级数1n n u ∞=∑可能收敛，也可能发散．例如p -级数11p n n ∞=∑，不论0p >为何值，总有1lim n n nu u +→∞=1(1)lim11pn pn n →∞+=．但我们已经知道当1p >时p -级数收敛，而当1p ≤时p -级数发散．所以，仅根据ρ=1是不能判别级数的敛散性的．●●例6 判别级数2222231232222n n +++++的敛散性． 解 因为22n n n u =，22112(1)112lim lim lim 22n n n n n nnn u n n u n ++→∞→∞→∞++⎛⎫== ⎪⎝⎭112=<，根据比值审敛法，所以原级数是收敛的．●●例7 判别级数2132nn n n ∞=∑的敛散性．解 因为232nn n u n =，所以1limn n nu u +→∞=122212323lim lim (1)232(1)n n n nn n n nn n ++→∞→∞⋅=++2313lim 11221n n →∞⎛⎫⎪==> ⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭， 所以级数2132nn n n ∞=∑发散．●●例8 判别级数1111123456(21)2n n+++++⋅⋅⋅-⋅的敛散性．389解 由于1(21)2n u n n =-⋅，所以1lim n n nu u +→∞=(21)2lim 1(21)(22)n n nn n →∞-⋅=++，比值审敛法此时失效．但注意到211(21)2n n n <-⋅，而级数211n n ∞=∑收敛，所以级数11(21)2n n n ∞=-⋅∑收敛． (根值审敛法）设级数1n n u ∞=∑是正项级数，且n ρ=,则（1）当1ρ<时，级数1n n u ∞=∑收敛； （2）当1ρ>（或n =+∞）时，级数1n n u ∞=∑发散；（3）当1ρ=时，级数1n n u ∞=∑可能收敛，也可能发散．正项级数敛散性的这一判别法称为根值审敛法或柯西审敛法．证 （1）当1ρ<时，由极限的定义，取一个适当小的0ε>，存在自然数N ，使得当n N >1r ρε<+=<成立，即nn u r <．由于等比级数1n n r ∞=∑（公比1r <）收敛，所以级数1n n u ∞=∑收敛．（2）当1ρ>时，根据极限的定义，取一个适当小的0ε>，存在正整数N ，使n N >时，1ρε>->成立，即1n u >．由于lim 0n x u →∞≠，所以级数1n n u ∞=∑发散．（3）当1ρ=时，根值审敛法失效．仍以p -级数11pn n∞=∑为例，由根值审敛法=1p=→（n →∞）． 即1ρ=，但p -级数当1p >时收敛；当1p ≤时发散．因此在1ρ=时级数的敛散性不能由根值审敛法判定． ●●例9 判别级数211115n n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的敛散性．解因为11e lim 1<155nn n n n →∞⎛⎫=+= ⎪⎝⎭所以由根值审敛法可知级数211115n n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛． ●●例10 判别级数ln 123nn n ∞=∑的敛散性．解 因为=ln 23n n=，而当n →∞时，ln nn的极限为0，所以n ln 2lim 3n n n→∞=21=>，因此所给级数发散．390 二、交错级数及其审敛法如果级数的各项是正负交替出现的，也就是形如 1234u u u u -+-+1(1)n n u -+-+ （3） 或 1234u u u u -+-++(1)n n u +-+(3')（0n u >，1,2,n =）的级数称为交错级数．下面的定理说明了如何对于交错级数的敛散性进行判别．(莱布尼兹(Leibniz )审敛法） 如果交错级数11(1)n n n u ∞+=-∑（0,1,2,n u n >=）满足下面的条件：（1）1n n u u +≥（1,2,3,n =）；（2）lim 0n n u →∞=则级数11(1)n n n u ∞+=-∑收敛，且其和1S u ≤，其误差1n n r u +≤．证 先证交错级数（3）的前2n 项和2n s 的极限存在，其和1s u ≤． 因为2n s 可表示为2n s =1234212()()()n n u u u u u u --+-++-，及 2n s =1234522212()()()n n n u u u u u u u u ----------所以由条件（1）知，括弧中的所有项都是非负的，因此由2n s 的第一种表达形式可知，2n s 单调增加，由2n s 的第二个表达式可知，21n s u <．于是，由单调有界数列必有极限的准则可知，当n 无限增大时，2n s 趋于一个极限s ，且s 不大于1u ，即21lim n n s s u →∞=≤．再证交错级数（3）的前21n +项的和21n s +的极限为s ，且1s u ≤． 因为 21221n n n s s u ++=+， 所以由条件（2）知21lim 0n n u +→∞=，所以21221lim lim lim n n n n n n s s u s ++→∞→∞→∞=+=．由于级数的前2n 项的和与前21n +的和趋于同一极限s ，故级数11(1)n n n u ∞+=-∑的部分和n s 当n →∞时具有极限s ，这就证明了交错级数11(1)n n n u ∞+=-∑收敛于和s ，并且1s u ≤．对于级数（3）的余项n r ，可写成如下的形式：12()n n n r u u ++=±-+．它的绝对值12||n n n r u u ++=-+．也是一个交错级数，也满足交错级数收敛的两个条件，因此其和不超过级数的第一项1n u +，也就是说 1|| n n r u +． ●●例11 判别级数111111(1)234n n+-+-++-+的敛散性，并求其和s 的近似值（精确到0.1）．解 令1n u n =, 显然有 （1） 1111n n u u n n +=>=+， （1,2,n =）， （2）1lim lim0n n n u n→∞→∞==． 由定理6知，原级数收敛．且11111(1)23n n s s n +≈=-+++-．其中11n rn ≤+．因为取9n =时，9110r ≤0.1=，所以111110.74562349s ≈-+-++≈．391●●例12判别级数1(1))πn n n ∞=-∑的敛散性．解 因为(1))πn n -(1)n =-．又s in n u =是单调减少数列，且lim 0n n n u →∞→∞==．由莱布尼兹审敛法可知，原级数收敛．三、绝对收敛与条件收敛上面我们讨论了正项级数和交错级数敛散性的判别法，如果级数1n n u ∞=∑中的项n u(1,2,)n =是任意实数，则把这种级数称为任意项级数．下面我们来讨论任意项级数的敛散性．如果对于任意项级数1n n u ∞=∑中的各项取绝对值所得的正项级数1||n n u ∞=∑收敛，则称级数1nn u∞=∑绝对收敛；如果级数1||n n u ∞=∑发散，而级数1n n u ∞=∑收敛，则称级数1n n u ∞=∑条件收敛．由上述定义，容易得到结论：收敛的正项级数是绝对收敛的．绝对收敛级数和收敛级数之间有如下重要关系．如果级数1||n n u ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑收敛．证 令1(||)2n n n v u u =+ （1,2,3,n =）．则当0n u ≥时，n n v u =；当0n u <时，0n v =，所以0n v ≥，且||n n v v =11||||(||||)22n n n n u u u u =+≤+||n u =．因为级数1||n n u ∞=∑收敛，由比较审敛法知1n n v ∞=∑收敛，从而12n n v ∞=∑也收敛．又因为2||n n n u v u =-，所以级数1n n u ∞=∑是由两个收敛级数逐项相减而形成的, 即11(2||)nnnn n u v u∞∞===-∑∑．由级数的性质2可知，级数1n n u ∞=∑收敛．该定理表明，对于任意项级数1n n u ∞=∑，如果由正项级数审敛法判定级数1||n n u ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑收敛．进而可知，一些任意项级数的敛散性可借助于正项级数的审敛法而得到判定．一般来说，如果1||n n u ∞=∑发散,我们不能断定1n n u ∞=∑发散,但是,如果我们用比值法或根值法，根据1ρ>判定1||n n u ∞=∑发散,则可断定1n n u ∞=∑发散．这是因为从1ρ>可推知lim 0n n u →∞≠，从而可392 知lim 0n n u →∞≠，因此级数1n n u ∞=∑发散．●●例13 证明级数11sin rn n n α∞+=∑（其中0r >）绝对收敛． 证 因为11sin 1r r n nn α++≤，而级数111r n n ∞+=∑收敛，所以由比较审敛法知，11sin r n n n α+∞+=∑收敛，因此所给级数绝对收敛．●●例14 判别级数2111(1)13n n nn n ∞=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∑的敛散性．解 1113nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，而11lim 13nn n n →∞⎛⎫=+ ⎪⎝⎭e13=<．故由根值审敛法知所给级数收敛．由定理7，我们注意到每个绝对收敛的级数都是收敛的，但反过来不一定成立．也就是说，并不是每个收敛级数都是绝对收敛的．例如，级数111111(1)234n n+-+-++-+是收敛级数，但对各项取绝对值后得到的级数为11111234n++++++是调和级数，它是发散的．●●例15 判别级数1np n x n∞=∑的敛散性，若收敛，讨论其是绝对收敛还是条件收敛解 对级数11||n np p n n x x n n ∞∞===∑∑应用根值审敛法，因为||n x =，由此可知： 当||1x <时，p 为任意实数，级数收敛（绝对收敛）；当||1x >时，p 为任意实数，级数发散；当1x =时，(1)1p >时，级数收敛（绝对收敛）；(2)1p ≤时，级数发散； 当1x =-时，(1)1p >时，级数收敛（绝对收敛）；(2)01p <≤时，级数收敛（条件收敛）；(3)0p ≤时，级数发散．绝对收敛级数有一些很好的运算性质，我们不加证明地给出如下：绝对收敛级数不因改变项的位置而改变它的和．1n u 及1n n v ∞=∑都绝对收敛，其和分别为s 和σ，则它们的柯西乘积111221()u v u v u v ++++1211()n n n u v u v u v -+++也是绝对收敛的，且其和为s σ．习 题 10-21．用比较审敛法或其极限形式判定下列各级数的敛散性：（1）1111253647(1)(4)n n ++++⋅⋅⋅+⋅+;（2）1+111357+++;（3）2221111135(21)n +++++-;（4）2222(sin 2)(sin 4)(sin 2)666nn ++++;393（5）ππππsinsin sin sin 2482n +++++． 2．用比值审敛法判别下列级数的敛散性：（1）234521333n n ++++++; （2）232332!33!3!323n n n n ⋅⋅⋅+++++;（3）231111sin 2sin 3sin sin 2222n n +⋅+⋅+++;（4）21(!)(3)!n n n ∞=∑; （5）n ∞=; （6）1!n n n n ∞=∑; （7）213n n n ∞=∑． 3．用根值审敛法判定下列各级数的敛散性：（1）152n n n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑; （2）2111n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑; （3）2122n n n n n ∞=+⎛⎫ ⎪⎝⎭∑ ; （4）131ennn ∞=+∑; （5）1nn n b a ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑，其中(),,,n n a a n a b a →→∞均为正数；（6）1(0,lim ,0)nn n n n n x x a a a a ∞→∞=⎛⎫>=> ⎪⎝⎭∑．4．判别下列级数的敛散性：（1）23433332344444⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭; （2）()11sin 2n n n n ∞=π+∑;（3）1111(1sin1)sin sin 22nn ⎛⎫⎛⎫-+-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;（4）222222ln 1ln 1ln 1123⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;（5）222sin 2sin 2sin 333n n πππ⋅+⋅++⋅+;（6）21cos 32nn n n ∞=π∑； （7）111(e e 2)nn n ∞-=+-∑． 5．判别下列级数是否收敛？若收敛的话，是绝对收敛还是条件收敛？ （1）1(1)n n ∞-=-∑ （2）111(1)8n n n n ∞-=-∑; （3）1311(1)sin n n n ∞-=-∑; （4）111(1)ln n n n n ∞-=+-∑;（5）11111234a a a a -+-+-++++（a 不为负整数）;（6）1111ln 2ln3ln 4ln5-+-+;（7）234111sin sin sin 234πππ-+-πππ;394 （8）22221111sinsin sin sin 1234-+-+．第三节 幂级数一、函数项级数的概念在前两节内容中，我们讨论了常数项级数，这一节我们将研究应用更为广泛的函数项级数．如果1()u x ，2()u x ，, ()n u x ，，是定义在区间I 上的函数列，则由该函数列构成的和式12()()()n u x u x u x ++++（1）称为定义在区间I 上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数, ()n u x 称为一般项或通项．当x 在区间I 中取某个确定的值0x 时，函数项级数1()n n u x ∞=∑成为常数项级数10200()()()n u x u x u x ++++,该级数可能收敛，也可能发散．如果常数项级数01()n n u x ∞=∑收敛，则称点0x 是函数项级数1()nn u x ∞=∑的收敛点；如果级数01()nn u x ∞=∑发散，则称点0x是函数项级数1()n n u x ∞=∑的发散点． 函数项级数1()n n u x ∞=∑的所有收敛点组成的集合称为它的收敛域，所有发散点组成的集合称为它的发散域．对应于收敛域内的任意一个数x ，函数项级数1()n n u x ∞=∑成为一收敛的常数项级数，因而有一确定的和s ．因此，在收敛域上，函数项级数的和是x 的函数()s x ，我们把()s x 称为函数项级数的和函数，和函数的定义域就是级数的收敛域，并记为()s x =12()()()n u x u x u x ++++．类似于常数项级数，把函数项级数1()n n u x ∞=∑的前n 项的部分和记为()n s x ，则在收敛域内有lim ()()n n s x s x →∞=．把()()()n n r x s x s x =-仍然称为函数项级数的余项． 当然，只有在收敛域上()n r x 才有意义．于是当1()n n u x ∞=∑收敛时，有lim ()0n n r x →∞=．●●例1 级数12111n n n x x x x ∞--==+++++∑是定义在(,)-∞+∞上的函数项级数．它的前n 项和为()n s x =21111n n x x x xx --++++=-当||1x <时，该级数收敛，其和函数为11x-，且有21111n x x x x-=+++++- （2） 而当||1x ≥时该级数发散．该级数的收敛域为(1,1)-，而其发散域为(,1][1,)-∞-+∞．395二、幂级数及其收敛性在函数项级数中，简单且常见的一类级数就是幂级数．它的表达形式是2012n n a a x a x a x +++++， （3） 或2010200()()()n n a a x x a x x a x x +-+-++-+（4）其中，012,,,,,n a a a a 叫做幂级数的系数．由于在函数项级数00()n n n a x x ∞=-∑中，如果作变换0y x x =-，则级数（4）就变成级数0n n n a y ∞=∑，因此由级数（3）的性质可以推得级数（4）的性质，所以这里我们主要讨论幂级数（3）．由例1 知道，幂级数0n n x ∞=∑的收敛域为（1, 1-），发散域为(,1][1,)-∞-+∞．对于一般的幂级数（3），显然至少有一个收敛点0x =，除此之外，它还有哪些收敛点，怎样得到像例1那样的收敛域呢？对此，下面的阿贝尔（Abel ）定理给出了明确的回答．(阿贝尔定理） 如果幂级数0n n n a x ∞=∑在0x x =（00x ≠）处收敛，则对于满足0||||x x <的一切x ，幂级数0nn n a x ∞=∑绝对收敛；反之，如果幂级数0n n n a x ∞=∑在0x x =0(0)x ≠处发散，则对于满足0||||x x >的一切x ，幂级数0n n n a x ∞=∑发散．证 设0x 是幂级数（3）的收敛点，即级数2010200nn a a x a x a x +++++收敛．根据级数收敛的必要条件，有0lim 0nn n a x →∞=．于是，存在一个正数M ，使得nn a x ≤M （0,1,2,3,n =）．从而有0000nnn n nn n n n x x a x a x a x x x =⋅=≤0nx M x ． 因为当0x x <时，等比级数00nn xM x ∞=∑收敛（公比01x x <），所以级数0n n n a x ∞=∑收敛，故级数0nn n a x∞=∑绝对收敛．定理的第二部分可以用反证法证明．如果幂级数0n n n a x ∞=∑当0x x =（00x ≠）时发散，如果有一点1x 适合10||||x x >，10nn n a x ∞=∑收敛，则根据该定理的第一部分的证明可知，级数0nn n a x ∞=∑收敛，这与假设矛盾，定理得证．定理1说明，如果幂级数（3）在0x x =处收敛，则对于开区间00(||,||)x x -内的任何x ，幂级数（3）都收敛；如果幂级数（3）在0x x =处发散，则对于闭区间00[||,||]x x -以外的任何x ,幂级数都发散．由此可知，如果幂级数（3）既有非零的收敛点，又有发散点，则收敛396 点和发散点不可能交错地落在同一区间内，也就是一定存在收敛区间和发散区间的分界点x R =与x R =-（0R >）使得当||x R <时，幂级数（3）绝对收敛；当||x R >时，幂级数（3）发散；当x R =与x R =-时，幂级数（3）可能收敛也可能发散．通常称正数R 为幂级数（3）的收敛半径；开区间(,)R R -称为幂级数（3）的收敛区间． 由幂级数（3）在x R =±处的收敛性可以决定它的收敛域，其收敛域是(,)R R -，[,)R R -(,]R R -，或[,]R R -中之一．如果幂级数（3）只在0x =处收敛，则规定其收敛半径为0R =；如果幂级数（3）对一切x 都收敛，则规定其收敛半径为R =+∞，此时的收敛域为（,-∞+∞）．收敛半径的求法由下面的定理给出．设n a 与1n a +是幂级数0n n n a x ∞=∑的相邻两项的系数，且1limn n na a ρ+→∞=．如果 （1）0ρ≠，则1R ρ=；（2）0ρ=，则R =+∞；（3）ρ=+∞，则0R =．证 记nn n u a x =，则1lim n n n u u +→∞=111lim lim ||n n n n n n n na x a x a a x +++→∞→∞=||x ρ=．由比值审敛法知： （1） 当||1x ρ<，即1||x ρ<时，级数0n n n a x ∞=∑收敛，从而级数（3）绝对收敛；当||1x ρ>即1||x ρ>时，级数0n n n a x ∞=∑发散，因此收敛半径1R ρ=．（2）如果0ρ=，则对任何0x ≠，有||01x ρ=<，所以级数0n n n a x ∞=∑收敛，从而级数（3）绝对收敛，于是收敛半径R =+∞．（3）如果ρ=+∞，则对于除0x =以外的任何x ，有||1x ρ>，所以对任何0x ≠，幂级数（3）发散，即收敛半径0R =．●●例2 求幂级数231(1)23nn x x x x n +-+++-+的收敛半径、收敛区间和收敛域．解 根据定理2有1lim n n na a ρ+→∞==11lim 11n n n→∞+=，所以收敛半径11R ρ==．所给级数的收敛区间为(1,1)-．对于端点1x =，所给幂级数成为交错级数11111(1)23n n +-+-+-+，该级数收敛． 对于端点1x =-，所给幂级数成为111123n------，该级数发散．故所给级数的收敛域为(1,1]-．●●例3求幂级数212nn n x ∞=∑的收敛域．解 本题为缺项幂级数，由于幂级数相邻两项的系数有零，不能直接求收敛半径．可以397利用比值审敛法来处理，考虑幂级数211||2n n n x ∞=∑，因为2212221||112lim lim 122||2n n n n n n x x x x ++→∞→∞==，当2112x <，即||x <时，级数211||2n n n x ∞=∑收敛； 当2112x >,即||x >,级数211||2n n n x ∞=∑发散；收敛半径R =,收敛区间为(；当x =2111(12nn n n ∞∞===∑∑发散，所以幂级数212n n n x ∞=∑的收敛域为(．●●例4 求幂级数12112n n n x ∞--=∑的收敛半径．解 与标准幂级数（3）比较，级数缺少偶次幂项．因此定理2不能直接应用，但可用比值审敛法来求收敛半径．因1lim n n n u u +→∞=2121212lim 22n n n n n x x x +--→∞=．当221x <，即||x <时，级数收敛；当221x >，即||x >R =●●例5求幂级数n n ∞=的收敛域．解 令1t x =-，则1)n nn n x ∞∞==-=．因为1lim ||1n n n n a a +→∞==,所以收敛半径11R ρ==，收敛区间为(1,1)-．当1t =-时，1)nnn n ∞∞===-收敛；当1t =时，nn n ∞∞===所以n n ∞=的收敛域为[1,1)-，即11t -≤<，把1t x =-代入，得02x ≤<,故幂级数nn ∞=[0,2)．三、幂级数的运算如果幂级数2012n n a a x a x a x +++++()s x = 的收敛半径为1R ，而幂级数2012n n b b x b x b x +++++()x σ=的收敛半径为2R ，则（1）幂级数的加法和减法：()nnn nnnn n n n a x b x ab x ∞∞∞===+=+∑∑∑()()s x x σ=+；398 0()nnn nnnn n n n a x b x ab x ∞∞∞===-=-∑∑∑()()s x x σ=-．收敛半径为12min{,}R R R =．（2）幂级数乘法：n nnnn n a x b x∞∞==⋅∑∑000110()a b a b a b x =++2021120()a b a b a b x ++++0110()n n n n a b a b a b x -+++++()()s x x σ=⋅．收敛半径为12min{,}R R R =．（3）幂级数除法：220120122012n n n n n n a a x a x a x c c x c x c x b b x b x b x +++++=++++++++++．这里假设00b ≠, 将0nn n b x ∞=∑与0nn n c x ∞=∑相乘，所得多项式的系数分别等于0n n n a x ∞=∑中同次幂的系数，从而可求出012,,,,,n c c c c ． 相除后所得幂级数0n n n c x ∞=∑的收敛区间可能比原来的两级数0nn n a x ∞=∑与0n n n b x ∞=∑的收敛区间小得多．关于幂级数的和函数，有下面的重要性质：如果幂级数0nn n a x ∞=∑收敛半径为R （0R >），和函数为()s x ，即()s x 0n n n a x ∞==∑，则有（1）()s x 在收敛区间(,)R R -内连续，且如果级数0n n n a x ∞=∑在收敛区间的端点x R =（或x R =-）也收敛，则和函数()s x 在x R =处左连续（或在x R =-处右连续）． （2）()s x 在收敛区间（,R R -）内可导，并且有逐项求导公式()()n n n s x a x ∞=''=∑0()n n n a x ∞='=∑11n n n na x ∞-==∑．逐项求导后所得到的新级数收敛半径仍为R ．（3）()s x 在收敛区间（,R R -）内可积，并且有逐项积分公式1()d ()d d 1xxxnnn n n n n n n a s t t a t t a t t x n ∞∞∞+======+∑∑∑⎰⎰⎰． 逐项积分后所得到的新级数收敛半径仍为R ．●●例6 求幂级数011nn x n ∞=+∑的收敛域及其和函数． 解 因为1limn n n a a ρ+→∞==1lim 12n n n →∞+=+，故所给级数的收敛半径11R ρ==，收敛区间为(1, 1)-．当1x =时，原级数成为011n n ∞=+∑，发散；当1x =-时，原级数成为0(1)1nn n ∞=-+∑，是交错级399数，收敛；因此原级数的收敛域为[1,1)-．设所求级数的和函数为()s x ,即() [1,1)1nn x s x x n ∞==∈-+∑，给上面的等式两端乘以x ，得1()1n n x xs x n +∞==+∑．等式两边求导，得11000[()]()()11n n n n n n x x xs x x n n ++∞∞∞==='''===++∑∑∑1 (||).<11x x =-对上式两端从0到x 积分，得0d ()ln(1)1x txs x x t ==---⎰ (||1)x <．故当0x ≠且[1,1)x ∈-时，1()ln(1)s x x x =--，当0x =时，由2() 1123n n x x x s x n ∞===++++∑，得(0)1s =．因此[)1ln(1), 1,0(0,1),()1, =0.x x s x x x ⎧--∈-⎪=⎨⎪⎩●●例7 求幂级数210(1)21n n n x n +∞=-+∑的和函数，并求01(1)21n n n ∞=-+∑的和．解 级数的收敛半径为1，收敛域为[1,1]-． 设级数的和函数为()s x ，即()s x 21(1)21n nn x n +∞==-+∑， 逐项求导，得()s x '210(1)()21n nn x n +∞='=-+∑20(1)n nn x ∞==-∑20()n n x ∞==-=∑211x +． 对上式从0到x 积分，得2001()d d arctan .1xxs t t t x t '==+⎰⎰即所求和函数为()(0)arctan ,s x s x -=又因为(0)0,s =所以()arctan ,[1,1].s x x x =∈-在原级数中，令1x =，得0(1)21n n n ∞=-+∑arctan1=4π=．习 题 10-31．求下列幂级数的收敛域：（1）2323x x x +++; （2）2342221234x x x x -+-+-;（3）23224246x x x +++⋅⋅⋅; （4）2323222222112131x x x ++++++;（5）23423421!22!23!24!x x x x ++++⋅⋅⋅⋅; （6）23423413233343x x x x ++++⋅⋅⋅⋅;400 （7）2111(1)(21)!n n n x n -∞+=--∑; （8）11(1)(1)n n n x n ∞-=--∑; （9）221212n n n n x ∞-=-∑; （10）nn ∞=．2．利用逐项求导或逐项积分，求下列级数在收敛区间内的和函数： （1）231234x x x ++++; （2）111(1)n n n nx ∞--=-∑;（3）41141n n x n +∞=+∑;（4）3535x x x +++，并求11(21)2nn n ∞=-∑的和． 第四节 函数展开成幂级数一、泰勒级数第三节讨论了幂级数的收敛域及其和函数的性质，由此可知，一个幂级数()nnn a x x ∞=-∑在它的收敛域内收敛于和函数()s x ，即()s x 00()n n n a x x ∞==-∑．但是，在许多应用中，我们需要解决的是与此相反的问题，也就是对于给定的函数()f x ，它是否可以在某个区间上展开成为幂级数？即是否可以找到一个幂级数，它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数()f x ，如果可以的话，如何来确定这个幂级数．下面我们就来讨论这个问题．由第三章第二节的泰勒公式可知，如果函数()f x 在点0x 的某个邻域内具有直到(1)n +阶连续导数，则在该邻域内()f x 的n 阶泰勒公式为()f x =200000()()()()()2!f x f x f x x x x x '''+-+-+()00()()()!n n n f x x x R x n +-+ （1） 其中()n R x =(1)10()()(1)!n n f x x n ξ++-+ （ξ介于0x 与x 之间）为拉格朗日型余项． 这时在该邻域内()f x 可用n 次多项式()n P x =200000()()()()()2!f x f x f x x x x x '''+-+- ()00()()!n n f x x x n ++- （2） 来近似地表示，其误差等于余项的绝对值()n R x ．如果()n R x 随着n 的增大而减小，那么我们就可以用增加多项式的项数的办法来提高精确度．如果()f x 在点0x 的某邻域内具有任意阶导数()f x ',()f x '',(),(),n f x ，则可以设想多项式（2）的项数趋向无穷而成为幂级数200000()()()()()2!f x f x f x x x x x '''+-+-++()00()()!n n f x x x n -+⋅⋅⋅ （3） 幂级数（3）称为函数()f x 在0x 处的泰勒级数．显然，当0x x =时，该级数收敛于0()f x ，但除了0x x =外，该级数是否还收敛？如果收敛的话，是否收敛于()f x ？关于这些问题，下。
无穷级数一
例：
1 2 3
1 2
1 3
1 2
1 n 1 3
1 n 1 2 1 3 1 n
解 :因 为1 2 3
调和级数发散 原级数发散.
第十章 无穷级数
定理3 （比较判断法的极限形式）
若级数
n 1
u n收 敛 于 S , 将 各 项 任 意 加 括 号 后 , 组 成
的 新 级 数 ( u 1 u n 1 ) ( u n 1 1 u n 2 ) 仍 收 敛 于 S .
第十章 无穷级数
§10-2 常数项级数的敛散性
正项级数—常数项中各项un≥0。
性质3
若级数
n 1
u n与 级 数
n 1
vn均 收 敛 , 则 级 数
n 1
(u n v n )
也 收 敛 ,且
n 1
(u n vn )
n 1
un
n 1
vn
性质4 在级数前面去掉、增加有限项后，所得到的新 级数同原级数有相同的收敛性。
性质5
n 1
b
2 n
收敛，
n 1
a nbn 绝 对 收 敛 。
第十章 无穷级数
§10-3 幂级数
《幂级数及其收敛性》
n0
a
n
n
x -x
0
n
a
0
a1
x -x
0
a
2
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n1
n1
un vn (n 1,2,), 则
大敛小敛
(1) 若级数 vn收敛,则级数 un也收敛;
n1
n1
(2) 若级数 un发散,则级数 vn也发散.
n1
n1
小散大
散
例1
讨论
p
级数
n1
1 np
( p 0) 的敛散性.
解:当
p
1
时,
1 np
1,又
n n1
1 n
发散,故当 p
(1) 当 l 1时级数收敛;
(2) 当 l 1时级数发散;
(3) 当 l 1 时级数的敛散性不定.
例5
讨论下列级数的收敛性:
(1) x n , x 0; n1 n
(2)
n1
n3n 5n
;
(3)
n1
x an
n
,
x 0,
an 0且 an a (n ).
4. 拉阿伯判别法(Raabe判别法)*
(1) 当 0 h 时,若 vn收敛,则 un收敛;
n1
n1
(2) 当 0 h 时,若 vn发散,则 un发散.
n1
n1
例3
讨论下列级数的收敛性:
(1)
2n 1
;
n1 (n 1)(n 2)(n 3)
(2) sin 1 ;
n1
n
(3) (1 cos ), (0 ).
k 1
k 1
k 1
设 ak发散, bk发散,则 (ak bk ) 不一定发散.
k 1
k 1
k 1
例如: (1)n 发散, (1)n1发散.
n1
n1
思考题
判断级数
1
n1 n(n 1)(n 2)
是否收敛;若收敛,求其和.
思考题答案
an
1 2
( n1
n
1
) 1
( n
1
1
n
1
2)
x1
2
x1 x( x 1)2
0,
故 f ( x)单调递减,则有 un un1,
又 lim n 0, 由Leibniz判别法,
n n 1
级数 (1)n n 收敛. n2 n 1
例 3(难!)
判断级数
1 1 1 1 1 1 1 1 1 23456789
的收敛性.
解:从第一项开始每三项加一个括号,则成为一个
任意项级数:
既有无穷多个正项又有无穷多个负项的级数.
交错级数:
正负项交错排列的级数;可写成
(1)n un 或 (1)n1 un ,其中 un 0 (n 1,2,).
n1
n1
交错级数收敛性判别法
定理 1 (Leibniz判别法)
若交错级数 (1)n1 un 满足下列条件: n1
(1) un un1 (n 1,2,);
3. 4
第一次分叉：
周长为
P2
4 3
P1，
面积为
A2
A1
3
1 9
A1;
依次类推…
第二次分叉：
周长为
P3
4 2
3
P1,
面积为
A3
A2
3
4 [(1)2 9
A1 ];
第三次分叉：
周长为 P4
4 3
3
P1 ,
面积为
A4
A3
3
42
[( 1 )3 9
A1 ];
第n 次分叉：
周长为 面积为
Pn
数学分析II
第十章 无穷级数
§2 正项级数的收敛判别法
生物数学教研室
定义: 当 un 0 (n 1,2,) 时, un称正项级数. n1
<注>: 正项级数的部分和序列Sn是单调递增的.
命题: 正项级数 un收敛 其部分和序列有上界. n1
1. 比较判别法
定理 1 ( 比较判别法 )
设两正项级数 un与 vn的一般项满足
交错级数 (1)k1vk ,其中
k 1
v1
1
1 2
1 3
,
v2
1 4
1 5
1 6
,
vk
在a, A 上可积,若极限 lim A f ( x)dx 存在,则称函数 A a
f
(x)
在a,
上的无穷积分 a
f
( x)dx 收敛.并将上
述极限值定义为无穷积分的值,即
A
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
A a
若无极限,则称无穷积分发散.
定理 6 (积分判别法)
设 un为正项级数.若存在一个单调下降的非负 n1
n2
1 n(ln n)
p
发散.
当
p 1 时,由比较判别法
1 n(ln n) p
1 (n nln n
3),
级数
n2
1 n(ln n)
p
发散.
当 p 1 时,
A 2
1 x(ln x) p
dx
1 1
p
(ln
x)1 p
A 2
1 [(ln A)1 p (ln 2)1 p ] 1 p
则
lim
Sn
1 2
(1
1) 2
(1 2
13)
1 2
(12
1) 3
(1 3
14)
1 2
(
1 n
n
1
) 1
(
n
1
1
n
1
2)
1 2
(1
n
1
) 1
(
1 2
n
1
2)
1 4
2(n
1 1)(n
2)
lim
n
Sn
1. 4
故级数收敛,其和为 1
4.
本节小结
❖ Cauchy收敛原理 ❖ 数项级数及其敛散性的概念 ❖ 收敛级数的性质 ❖ 本节可以判别收敛的方法
ak 0 (当 k ).
定理 4:级数 ak收敛的充要条件是: 0, N , s.t. k 1 当 n N , p 1 时,有
n p
ak .
k n1
例5
证明:调和级数
n1
1 n
1
1 2
1 3
1 n
是发散的.
证明: 2n 1 1 1 n 1 .
k kn1 n 1 2n 2n 2
n1
1 11 1
n1
无穷级数收敛性举例
❖Koch 雪花 做法：先给定一个正三角形，然后在每条边 上对称的产生边长为原边长的1/3的小正三角 形．如此类推在每条凸边上都做类似的操作， 我们就得到了面积有限而周长无限的图形— “Koch雪花”．
观察雪花分形过程
设三角形
周长为 P1 3,
面积为
A1
k 1
对于给定的级数 a通k,项称级数的前 n项之和 Sn n ak
k 1
k 1
为级数的部分和.若部分和序列Sn有极限 S,则称级数
ak收敛,且称S为这个级数的和,记作
k 1
(否则发散)
S ak .
k 1
收敛判别法
例1
n0
1 2n
1
1 2
1 22
1 2n
1n 1 1 1 1
函数 f (x) (x 1), 使 un f (n),n 1,2,
则级数收敛 无穷积分 f ( x)dx 收敛. 1
例6
讨论级数
n2
1 n(ln n) p
的收敛性 (
p
0)
.
解: 当 p 1 时,
A 1 dx ln ln A ln ln 2 ( A )
2 x ln x
由积分判别法知,级数
设 y f ( x)在 a的一个空心邻域内有定义,则 y f ( x)
当 x a 时有极限的充要条件是: 0, 0, s.t.
当0 x1 a , 0 x2 a 时,有 f ( x1 ) f ( x2 ) .
2. 数项级数及其敛散性的概念
表达式 a1 a2 ak ak称为一个无穷级数.
结论:p 级数
即 Sn有界, 则 p 级数收敛.
当p 1时,发散
Remark
推论:若存在常数 N ( 1) 及 c( 0) ,使
0 un cvn , 只要 n N ,
则当 vn收敛时, un也收敛;
n1
n1
当 un发散时, vn也发散.
n1
n1
比较判别法的不足:必须要有参考的级数.
2 3. 5
9
雪花的面积存在极限（收敛）．
结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．
例2
讨论等比级数 aqk1( a 0 为常数) 的收敛性. k 1
※
aqk1 :当 q 1时级数发散,当 q 1 时级数收敛.
k 1
例3
判断级数
(1
1)
(1 2
1) 3
(
1 22
1 32
)
(
1 2n1
1 3n1
若正项级数 un(un 0) 满足 n1 lim un1 l, 则 u n n
(1) 当 l 1时级数收敛;
(2) 当 l 1时级数发散;
(3) 当 l 1 时级数的敛散性不定.
优点:不需要 参考级数!
1 1
, n1 n
n1 n2 .
例4
讨论下列级数的收敛性:
n!
(1) n1 nn ;
4 3
n1
P1
n 1,2,
An
An1
3{4n2