概率论的基本概念

⑴.两件都是正品: ；
⑵.两件都是次品: ；
⑶.一件是正品、另一件是次品: ；
⑷.第二件是次品: 。
6、高射炮向敌机发射三枚炮弹，设每发炮弹击中敌机的概率为 (每发击中与否相互独立)，而敌机中一弹时坠落的概率为 ，中两弹时坠落的概率为 ，中三弹时坠落的概率为 。
⑴.求敌机被击落的概率；
⑵.若敌机被击落，求它只中一弹的概率。
解:用 分别表示电话是打给 的， 分别表示 因公外出，则
⑴. ；
⑵. ；
⑶. ；
⑷. ；
⑸. 。
解:用 表示敌机中 弹， ，用 表示敌机被击落,则
， ，故
，
。
7、已知男子中有 是色盲患者，女子中有 是色盲患者，现从男女人数相等的人群中随机地选一人，问此人是色盲患者的概率为多少若已知此人是色盲患者，求此人是男性的概率。
解:用 表示所选人为男性， 表示所选人为色盲患者，则
， ， ，故
，
。
8、甲、乙、丙三人独立地去破译密码，已知甲、乙、丙各自能译出密码的概率分别为 ，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率为多少
概率论的基本概念
第一章概率论的基本概念
【内容提要】
一、随机事件及其运算关系
1．随机现象在一定条件下，可能出现不同结果(不可预先确知的)的现象。
2．随机试验在一定条件下，对随机现象进行观测或观察的过程。随机试验具有如下特点:
⑴.可以在相同条件下重复进行；
⑵.每次试验的结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；
⑴．非负性: ，有 ；
⑵．规范性: ；
⑶．可列可加性:对任意可列无穷多个两两互斥的事件 ，有 。
则称 为事件 的概率。事件的概率有如下性质:
⑴.不可能事件的概率为零，即 ；
⑵.有限可加性:若 是两两互斥的事件，则 ；
⑶.单调性:若 ，则 ；
⑷.对立事件的概率: ；
⑸.加法公式:对任意 个事件 ，有:
解:用 分别表示甲、乙、丙三人能将此密码译出，则
。
9、 三人同在一间办公室工作，房间内有一部电话，据统计知，来电是打给 的概率分别为 ，他们三人常因公外出， 三人外出的概率分别为 ，且三人的行动相互独立，求⑴.无人接电话的概率；⑵.被呼叫人在办公室的概率；某一时段打进来三个电话，求⑶.这三个电话都是打给同一人的概率；⑷.这三个电话是打给不同人的概率；⑸.这三个电话都是打给 的条件下，而 却都不在办公室的概率。
4、设 为随机事件，且 ，则 中至少发生一个的概率为 ；
5、设 为随机事件，且 ，则 。
三、计算题
1、在 件产品中有 件次品、 件正品，任取 件产品，求恰好有 件次品的概率及至少有 件次品的概率。
解: ，
。
2、从 双不同的鞋子中任取 只，求所取的 只鞋子中至少有 只能配成一双的概率。
解: 。
3、根据以往资料表明，某地区的三口之家中患某种传染病的情况有如下的对立关系: ，这时记 。
若 ，有 ，则称 两两互斥，这时，它们的和事件可表为:
。
注:事件的运算关系具有如下性质:
⑴．交换律: ；
⑵．结合律: ；
⑶．分配律: ；
⑷．德摩根律: 。
二、随机事件的频率与概率
1．随机事件的频率设在相同条件下，进行了 次试验，事件 发生了 次，则称 为这 次试验中事件 发生的频率。事件的频率具有如下性质:
A． ；B． 独立；C． 互斥；D． 。
2、设随机事件 互斥，且 ，则( )
A． ；B． ；
C． ；D． 。
3、设 为随机事件，且 ，则必有( )
A． ；B． ；
C． ；D． 。
4、将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒中投信的概率为( )
A． ；B． ；C． ；D． 。
5、某人向一目标连续射击，直到命中目标为止，每次命中的概率为 ，则射击次数为 的概率为( )
.
三、概率的计算
1．古典概率设随机试验 的样本空间 具有如下特点:
⑴． 是有限集合，即只包含 (有限)个互异的样本点；
⑵．试验中每个样本点 发生的可能性都相同 ；
则称其为古典概率模型，此时，如果事件 包含的样本点数为 ，则事件 的概率应为:
。
2．几何概率设随机试验 的样本空间 具有如下特点:
⑴． 是无限集合，但其测度 (长度、面积、体积等)有限，即 ；
注:设 为随机事件，则
⑴. 发生 包含于 中的任一样本点 发生；
⑵.必然事件即样本空间 ，而不可能事件即空集 。
5．随机事件的运算关系设 为随机事件，则
⑴．事件的包含关系: ；
⑵．事件的相等关系: ；
⑶．事件的和运算: ，
；
⑷．事件的积运算: ，
；
积事件还可将 省略，直接表示为 ；
⑸．事件的差运算: ；
。
⑵．全概率公式与 公式:设 两两互斥，且 ，则
，且 。
5．事件的独立性:设 为 个事件，且其中任意 个事件的积事件之概率都等于这 个事件的概率之乘积 ，则称 相互独立。
【定理】设 相互独立， ，则
⑴． 两两独立，且 ；
⑵． 相互独立，且 ；
⑶． 。
【第一章作业】
一、单项选择题
1、在下列四个条件中，能使 一定成立的是( )
,求某三口之家中孩子及母亲得病而父亲未得病的概率。
解: 。
4、某种商品的商标应为“ ”,其中两个字母脱落,有人捡起来后随意放回，求放回后仍为“ ”的概率。
解:用 表示脱落的字母为商标“ ”中第 个字母(从左数起)， ，用 表示将脱落的字母放回后仍为“ ”,则
， ，故
。
5、在 件产品中有 件次品、 件正品，从中不放回地任取 件产品，求下列事件的概率:
⑴．非负性: ，有 ；
⑵．规范性: ；
⑶．单调性:若 ，则 ；
⑷．可加性:若 两两互斥，则 ；
⑸．稳定性:当 时， 将稳定到某一确定的值 ，称这个数 为事件 在一次试验中发生的概率。事件的概率也具有类似的非负性、规范性、单调性及可加性。
2．概率的公理化定义设 是随机试验 的样本空间，而 随机试验 的事件域， 是定义于事件域 上实值函数，且满足以下条件:
⑵．任一事件 发生的概率与其测度 成正比；
则称其为几何概率模型，事件 的概率应为 。
3．条件概率设 为两个事件，则规定在事件 发生的条件下事件 发生的概率为:
。
条件概率也满足概率的性质:
⑴．非负性: ，有 ；
⑵．规范性: ；
⑶．可列可加性:若 两两互斥，则 。
4．概率论基本公式
⑴．乘法公式:设 为 个事件，则
A． ；B． ；C． ；D． 。
二、填空题
1、将一枚均匀的硬币抛掷 次，观察正、反面出现的情况，则此随机试验的样本空间为:
；
2、设 为随机事件，用 的运算关系表示下列事件:
⑴． 中至少发生一个: ；
⑵． 中至多发生一个: ；
⑶． 发生而 不发生: 。
3、设 为随机事件，且 ，则 的最大值为 ，最小值为 ；
⑶.进行试验前不能确定到底会出现哪个结果。
3．样本空间对于随机试验，尽管在试验之前不能预知其结果，但其所有可能结果是已知的，我们将随机试验 的所有可能结果组成的集合称为其样本空间，用 表示，并称 为样本点。
4．随机事件设 是随机试验 的样本空间，而 ，且满足:
⑴. ；
⑵. ,有 ；
⑶. ,有 。
则称 是随机试验 的事件域，而称 为随机事件。