数学分析级数

当 q 1 时, 根据 的取法,有 q 1, 由上述不等式
的左半部分及比式判别法的 (i), 得正项级数 un 是收敛的.
若 q 1, 则有 q 1, 根据上述不等式的左半部分
所以这时级数 un 是发散的.
及比式判别法的 (ii), 可得级数 un 是发散的. un1 1, 若 q , 则存在 N , 当 n N 时有 un
(iii) 若l , 则对于正数1, 存在相应的正数N,当
n > N 时, 都有
un 1 或 un vn . vn 于是由比较原则知道, 若级数 vn 发散, 则级数
u
n
也发散.
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1 例3 级数 n 是收敛的, 因为 2 n
1 n n 2 1 2 n lim lim n lim 1 n n 2 n n 1 n 1 n n 2 2 1 以及等比级数 n 收敛, 根据比较原则的极限形 2
un l vn
或
( l )vn un ( l )vn .
(4)
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由比较原则及(4)式得, 当 0 l 时, 级数
与 vn 同时收敛或同时发散. 这就证得了(i). 级数 vn 收敛, 则级数 un 也收敛.
u
n
(ii) 当l = 0时,由(4)式右半部分及比较原则可得,若
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*推论2设 un 为正项级数.
un1 (i) 若 lim q 1, 则级数收敛; n u n un1 (ii) 若 lim q 1, 则级数发散; n un
*例8 研究级数
1 b bc b2c b2c 2 b nc n1 b nc n (8)
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n
2 ( 1)n 例9 研究级数 的敛散性. n 2 解 由于
n 2 ( 1) 1 n lim un lim , n n 2 2 n
所以级数是收敛的. 若在(11)式中 l =1,则根式判别法仍无法对级数的敛
1 1 散性做出判断. 例如 对 2 和 , 都有 n n
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定理12.8(柯西判别法, 或根式判别法) 设 un 为正 项级数, 且存在某正数 N 0 及常数 l ,
(i) 若对一切 n N 0 , 成立不等式
n
un l 1,
(9)
则级数 un 收敛;
(ii) 若对一切 n N 0 , 成立不等式
n
un 1,
(10)
根据推论1，级数收敛.
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n 1 nx ( x 0) 的敛散性. 例7 讨论级数
解 因为
un1 ( n 1) x n n 1 x x ( n ), n1 un nx n
根据推论1,当 0 < x <1时级数收敛;当 x>1时级数发 散; 而当 x = 1时, 所考察的级数是 n, 它显然也是
数列 { Sn } 有界, 即存在某正数M, 对一切正整数 n 有
Sn M .
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证 由于 ui 0( i 1,2,), 所以{Sn}是递增数列.而 单调数列收敛的充要条件是该数列有界(单调有界 定理).这就证明了定理的结论. 仅靠定义和定理12.5来判断正项级数的收敛性是不 容易的，因此要建立基于级数一般项本身特性的收 敛性判别法则.
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1 1 un 1( n ), 但 2 是收敛的, 而 却是 n n 发散的.
n
若(11)式的极限不存在, 则可根据根式 un 的上极限 来判断. *推论2 设 un 为正项级数, 且
lim un l ,
n n
n
则当 (i) l < 1 时级数收敛; (ii) l > 1 时级数发散.
un u2 u3 q n 1 u1 u2 un 1
或者 un u1q n1 .
由于当0 < q < 1时, 等比级数 q n1收敛 , 根据比较
n 1
原则及上述不等式可得级数 un 收敛.
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推论1(比式判别法的极限形式) 若 数，且
un1 lim q, n u n
收敛的必要条件可知, 级数 un 是发散的.
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推论1(根式判别法的极限形式) 设 un 为正项级 数,且
lim un l ,
n
n
(11)
则
(i) 当 l 1 时, 级数 un 收敛; (ii) 当 l 1 时, 级数
u 发散.
n
证 由(11)式, 当取 1 l 时, 存在某正数 N,对一切 n > N, 有 l un l . 于是由根式判别法就得到推论所要证明的结论.
则级数 un 发散.
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n n 证 由(9)式有 un l , 因为等比级数 l 当 1 l 1
时收敛, 故由比较原则, 这时级数 un 也收敛, 对
于情形(ii), 由(10)式可得
un 1 1.
n
显然当 n 时, un 不可能以零为极限, 因而由级数
而得到的, 但在使用时只要根据级数一般项本身的
特征就能作出判断. 定理12.7(达朗贝尔判别法, 或比式判别法)设 un 为正项级数, 且存在某正整数 N 0及常数q (0 q 1).
(i) 若对一切 n N 0 , 成立不等式
un1 q, un (5)
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则级数 un 收敛.
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2 2 n n b c b c b c 的敛 *例10考察级数
§2 正项级数
收敛性是级数研究中最基本的问题, 本节将
对最简单的正项级数建立收敛性判别法则.
一、正项级数收敛性的一般判别原则 二、比式判别法和根式判别法
三、积分判别法
*四、拉贝判别法
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一、正项级数收敛性的一般判别原则
若数项级数各项的符号都相同, 则称它为同号级数. 对于同号级数, 只须研究各项都是由正数组成的级 数(称正项级数).若级数的各项都是负数,则它乘以 -1后就得到一个正项级数,它们具有相同的敛散性. 定理12.5 正项级数 un 收敛的充要条件是:部分和
(ii) 若对一切 n N 0 , 成立不等式
un1 1, un
则级数 un发散.
(6)
证 (i) 不妨设不等式 (5) 对一切 n 1 成立,于是有
u3 un u2 q, q, , q, . u1 u2 un1
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把前n-1个不等式按项相乘后,得到
界, 由定理12.5级数 un 收敛, 这就证明了(i).
(ii)为(i)的逆否命题,自然成立.
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1 的收敛性. 例1 考察 2 n n1
解 由于当 n 2 时, 有
1 1 1 2 . 2 n n 1 n n n( n 1)
1 因为正项级数 收敛 (§1例5的注), 故由 n ( n 1) n 2
2 1 ln n lim n o 2 0, n n n
所以 lime
n 1 2(1 n sin )ln n n
1. 根据比较原则, 原级数收敛.
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二、比式判别法和根式判别法
本段所介绍的两个方法是以等比级数作为比较对象
lim n
n
1 2(1 n sin ) n
lime
n
1 2(1 n sin )ln n n
,
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注意到
1 1 1 lim 1 n sin ln n lim 1 n o 2 ln n n n n n n
1 式, 级数 n 也收敛. 2 n
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1 1 1 例4 正项级数 sin sin1 sin sin n 2 n
1 sin n 1, lim 是发散的, 因为 n 1 根据比较原则的极限 n
1 1 形式以及调和级数 发散, 得到级数 sin 也发 n n
1 比较原则和定理12.3, 级数 2 也收敛. n n1
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2 2 u , v 例2 若级数 n n 收敛, 则级数 unvn 收敛.
证 因为 | unvn | u v , 而级数 u , v 收敛，
2 n 2 n
2 n 2 n
根据比较原则, 得到级数 unvn 收敛. 在实际使用上,比较原则的极限形式通常更方便. 推论 (比较原则的极限形式) 设 un , vn 是两个 正项级数,若
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和 Sn 记级数 un 与 vn 的部分和. 现在分别以 Sn
由(1)式可得,对一切正整数 n, 都有
Sn Sn
n
(2)
存在, 则由(2)式对一切 n 有 若 vn收敛, 即 lim Sn
lim Sn , 即正项级数 un 的部分和数列 { Sn } 有 Sn n
散.
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*例5 判断正项级数

n
1
2 n sin 1 n
的敛散性.
1 sin 1 n 1 lim 1, 解 因为 n 1 故可将 2 n sin 1 与 2 进 n n n n
行比较. 由于
1 lim n
n 2 n sin 1 n
1 n2
lim
n
n2 n
1 2 n sin n
un lim l , n v n (3)
则
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(i) 当 0 l 时, 级数 un , vn同敛散; (ii) 当 l 0 且级数 vn收敛时, 级数 un也收敛; (iii) 当 l 且级数 vn发散时, 级数 un也发散.
证 (i) 由(3) 对任给正数 l , 存在某正数N, 当 n > N时,恒有
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定理12.6 (比较原则) 设 un 和 vn 是两个正项 级数, 如果存在某正数N, 对一切 n > N 都有
un vn (1)
则
(i) 若级数 vn 收敛, 则级数 un 也收敛; (ii) 若级数 un 发散, 则级数 vn 也发散.
证 因为改变级数的有限项并不影响原有级数的敛 散性,因此不妨设不等式(1)对一切正整数都成立.
的敛散性, 其中 0 < b < c.
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解 由于
un1 b, n 为奇数, un c , n 为偶数,
故有
un 1 un 1 lim c , lim b, n u n un n
于是当c < 1时, 级数(8)收敛; 当b >1时,级数(8)发散; 但当b < 1< c时,比式判别法无法判断级数(8)的敛散 性.
u
n
为正项级
(7)
则
(i) 当 q 1 时, 级数 un 收敛; (ii) 当 q 1 或 q 时, 级数 un 发散.
证 由(7)式, 对任意取定的正数 ( 1 q ), 存在正数 N,当 n > N 时, 有
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un1 q q . un
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例6 级数
2 25 258 2 5 8[2 3( n 1)] , 1 1 5 1 5 9 1 5 9[1 4( n 1)]
由于
un1 2 3n 3 lim lim 1, n u n 1 4n 4 n
发散的.
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若(7)中q = 1,这时用比式判别法不能对级数的敛散 1 1 性作出判断. 例如级数 2 和 , 它们的比式极 n n
un1 1 限都是 1( n ), 但 2 收敛 (§1例5), un n
1 而 却是发散的(§1例3). n
若某级数的(7)式的极限不存在,则可应用上、下极 限来判别收敛性.