《几种常见函数的导数》课件

四、小结与作业
1.要切实掌握四种常见函数的导数公式:(1)c 0 (c为常 数;(2)(x ) x1( R);(3) (sinx) cos x;(4)(cos x) sin x.
2.对于简单函数的求导,关键是合理转化函数关系式为 可以直接应用公式的基本函数的模式.
1 ,故抛物线 2
y 由
夹
x在交点(1,1)处的切线斜率为k2
角公式: tan | k1 k2 ||
1 1 2
| 3.
1 2
;
1 k1k2 1 (1) 1
2
夹角 arctan 3.
例6:求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程.
说明:曲线上求在点P处的切线与求过点P的切线有区别. 在点P处的切线,点P必为切点,求过点P的切线,点P 未必是切点.应注意概念的区别,其求法也有所不同.
解:设所求切线的切点在A(x0,y0).
因为A是曲线y=x2上的一点,所以,y0=x02 ①.
又因为函数y=x2的导数为 y 2x, 所以过点A(x0,y0)的
切线的斜率为 y |x x0 2 x |x x0 2 x0 .
由应于为所xy00求 53切,线2x过0 P(xy300,553)和②A.(x0,y0)两点,故其斜率又

lim[C
x0
1 n
x n1

Cn2
x n 2x


C
n n
(x
)
n1
]

nx n1 .
例如 : ( x3 )

3 x 31

3x2;
(
1 x2
)

( x2 )

2 x21

2 x 3


2 x3
;
(
x )

1
( x 2 )

1
1 1
x2

1
1
x2

x
解：联立方程组 y y
1
x x
,
解得
x y

1, 故交点为（1，1）. 1
双曲线y

1 x
,
y


1 x2
, k1

y |x1
1, 故双曲线y

1 x
在交点(1,1)处的切线斜率为k1 1;
抛物线y
x,
y

1 2
1
x 2 , k1

y |x1
练Biblioteka Baidu2:若直线y=3x+1是曲线y=ax3的切线,试求a的值.
解:设直线y=3x+1与曲线y=ax3相切于点P(x0,y0),则有: y0=3x0+1①,y0=ax03②,3ax02=3.③ 由①,②得3x0+1=ax03,由③得ax02=1,代入上式可得: 3x0+1=x0,x0=-1/2.
所以a•(-1/2)3=1,a=4.
由两条曲线的切线在点P互相垂直,则cosx0(-sinx0) =-1,得sinx0cosx0=1,即sin2x0=2.
这不可能,所以不存在满足题设条件的一个点.
练习1:曲线y=sinx在点P( , 2 )处的切线的倾斜角为
arctan 2
42
________2___.
例4:已知曲线 距离等于
y
公式2: ( xn ) nxn1 (n Q) .
请注意公式中的条件是 n Q,但根据我们所掌握 的知识,只能就 n N *的情况加以证明.这个公式称为
幂函数的导数公式.事实上n可以是任意实数.
证 : y f ( x) xn, y f ( x x) f ( x) ( x x)n xn
设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公 式得:
| b (4) | 10 | b 4 | 10, b 6或b 14; 32 1
故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0.
例5:求双曲线 y 1 与抛物线 y x 交点处切线的夹角.
故时刻t时,点P在 y轴上的射影点M的速度为10cost cm/s.
例3:已知两条曲线y=sinx,y=cosx,问是否存在这两条 曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线 互相垂直?并说明理由.
解:设存在一个公共点P(x0,y0)满足题设条件. 由y (sin x) cos x, 得y |x x0 cos x0; 由y (cos x) sin x, 得y |x x0 sin x0;
2cos(x x )sin x ,
y x

2cos(x x )sin x
2
2
x
2
cos(x
2
x ) 2
sin x 2
x
,

f
( x)

(sin x)

lim
x0
y x

lim cos(x
x0

2
x ) lim
2 x0
sin x 2
x
4.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.
5.求切线方程的步骤： （1）求出函数在点x0处的变化率 f ( x0 ) ，得到曲线
在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
y f (x0 ) f (x0 )( x x0 ).
3.能结合直线的知识来解决一些与切线有关的较为综 合性问题.
4.作业:p.233~234课后强化训练.
10
,x求13在直点线Pm(1的,1方)处程的. 切线与直线m平行且
解 ：y

1 x3
,
y

(
1 x3
)

( x3 )

3 x 4 ;
曲线在P(1,1)处的切线的斜率为k y |x1 3,
从而切线方程为y 1 3( x 1),即3x y 4 0.
2
cos x 1 cos x.
同理可证,公式4: (cos x) sin x.
三、例题选讲
例1:求过曲线y=cosx上点P( 直的直线方程.

3
,
1 2
)且与过这点的切线垂
解： y cos x, y sin x, y |x sin x
故 曲 线 在 点P (
二、新课——几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.
公式1: C 0 (C为常数).
证 : y f ( x) C, y f ( x x) f ( x) C C, y 0, x
f ( x) C lim y 0. x0 x
1
;
2
2
2x
(
1
)

3
( x 5 )


3
3 1
x5


3
8
x5


3
.
5 x3
5
5
55 x8
公式3: (sin x) cos x .
sin x
要证明这个公式,必须用到一个常用极限
lim
x0
x
1.
证 : y f (x) sin x,y f (x x) f (x) sin(x x) sin x
y轴上的射影点M的速度.
y
解:时刻t时,因为角速度1rad/s,
所以 POA 1 t t rad .
M
P
MPO POA t rad;
O
Ax
OM OP sinMPO 10sint;
故点M的运动方程为:y=10sint.
v y (10sint) 10cost.
,
1
)处
的
切
线
3
斜
率
为
3，
3. 2
32
2
从而过P点且与切线垂直的直线的斜率为 2 ；
所求的直线方程为y 1
2

(x ),
3
23 3
即2x 3 y 2 3 0.
32
注:满足条件的直线称为曲线在P点的法线.
例2:如图,质点P在半径为10cm的圆上逆时针做匀角速
运动,角速度1rad/s,设A为起始点,求时刻t时,点P在
联立①,②解得:

x0 y0

11或
x0 5 . y0 25
故切点分别为(1,1)或(5,25).
当切点为(1,1)时,切线的斜率为k1=2x0=2;
当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10; 所以所求的切线有两条,方程分别为:y-1=2(x-1)或y25=10(x-5),即y=2x-1或y=10x-25.
(2)求函数的增量与自变量的增量的比值:
y f ( x x) f ( x) ;
x
x
(3)求极限，得导函数y
f ( x)
lim
y .
x0 x
说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的 导数.
3.函数f(x)在点x0处的导数 f ( x0 ) 就是导函数 f (x)在x= x0处的函数值,即f ( x0 ) f ( x) |xx0 .这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。

[xn

Cn1
x n1x

C
2 n
x
n2
(x)2

C
n n
(x)n
]
xn

Cn1
x
n1x

C
2 n
x
n2 (x)2



C
n n
(x)n
,
y
x
f

C
1 n
( x)
xn1
( xn )
Cn2 x n2
lim y
x



C
n n
(x)n1
,
x0 x
几种常见函数的 导数
一、复习
1.解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与 求值;物理学中,物体运动过程中,在某时刻的瞬时速 度的精确描述与求值等,都是极限思想得到本质相同 的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和 公式——导数,导数源于实践,又服务于实践.
2.求函数的导数的方法是:
(1)求函数的增量y f (x x) f (x);