全国卷高考文科数学试卷及答案

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2022年全国甲卷文科数学高考试卷(原卷+答案)

绝密★启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）（适用地区:云南、四川、广西、贵州、西藏）文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合∣⎩⎭⎨⎬=−−=≤<⎧⎫A B xx 2{2,1,0,1,2},05，则=A B （） A. 0,1,2}{ B. −−{2,1,0} C. {0,1} D. {1,2}2. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（）A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3. 若=+z 1i ．则+=z z |i 3|（）A. B. C. D.4. 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）A. 8B. 12C. 16D. 205. 将函数⎝⎭ ⎪=+>⎛⎫ωωf x x 3()sin (0)π的图像向左平移2π个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（） A.61 B.41C.31 D.216. 从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）A. 51 B. 31 C. 52 D. 327. 函数=−−y x x x33cos )(在区间⎣⎦⎢⎥−⎡⎤22,ππ的图象大致为（）A. B.C. D.8. 当=x 1时，函数=+xf x a x b()ln 取得最大值−2，则='f (2)（） A. −1B. −21 C.21 D. 19. 在长方体−ABCD A B C D 1111中，已知B D 1与平面ABCD 和平面AA B B 11所成的角均为°30，则（） A. =AB AD 2B. AB 与平面AB C D 11所成的角为°30C. =AC CB 1D. B D 1与平面BB C C 11所成的角为︒4510. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为π2，侧面积分别为甲S 和乙S ，体积分别为甲V 和乙V ．若乙甲S S =2，则乙甲V V=（）A. B.C.D.411. 已知椭圆+=>>a bC a b x y :1(0)2222的离心率为31，A A ,12分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若⋅=−BA BA 112，则C 的方程为（）A. +=x y 1816122B. +=x y 98122C. +=x y 32122D. +=y x 212212. 已知==−=−a b m m m 910,1011,89，则（） A. >>a b 0 B. >>a b 0 C. >>b a 0D. >>b a 0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量==+a m b m (,3),(1,1)．若⊥a b ，则=m ________________________．14. 设点M 在直线=−+x y 210上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M 上，则⊙M 的方程为___________________．15. 记双曲线−=>>a bC a b x y :1(0,0)2222的离心率为e ，写出满足条件“直线=y x 2与C 无公共点”的e 的一个值________________________．16. 已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠=︒==ADB AD CD BD 120,2,2．当ABAC取得最小值时，=BD ____________________________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 甲、乙两城之间的长途客车均由A 和B 两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：=−K n ad bc ()22，18. 记S n 为数列a n }{的前n 项和．已知+=+nn a S n n212．（1）证明：a n }{是等差数列；（2）若a a a ,,479成等比数列，求S n 的最小值．19. 小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABCD 是边长为8（单位：cm ）的正方形，△EAB,△FBC,△GCD,△HDA △EAB,△FBC,△GCD,△HDA 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD 垂直．（1）证明：EF //平面ABCD ；（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．20. 已知函数=−=+f x x x g x a (),()32，曲线=y f x ()在点x f x ,11)()(处的切线也是曲线=y g x ()的切线．（1）若=−x 11，求a ；（2）求a 的取值范围．21. 设抛物线=>C y px p :2(0)2的焦点为F ，点D p ,0)(，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，=MF 3．（1）求C 的方程；（2）设直线MD ND ,与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线MN AB ,的倾斜角分别为αβ,．当−αβ取得最大值时，求直线AB 的方程．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩=⎪⎨⎪=⎧+y x t 62（t 为参数），曲线C 2的参数方程为⎩=⎪⎨⎪=−⎧+y x s 62（s 为参数）．（1）写出C 1的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 3的极坐标方程为−=θθ2cos sin 0，求C 3与C 1交点的直角坐标，及C 3与C 2交点的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]23. 已知a ，b ，c 均为正数，且++=a b c 43222，证明：（1）++≤a b c 23；（2）若=b c 2，则+≥a c311．参考答案1.【答案】A 【解析】【详解】因为=−−A 2,1,0,1,2}{，∣⎩⎭⎨⎬=≤<⎧⎫B xx 205，所以=A B 0,1,2}{．故选：A.2.【答案】B 【解析】【详解】讲座前中位数为>+270%70%75%,所以A 错；讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%,所以B 对；讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C 错；讲座后问卷答题的正确率的极差为−=100%80%20%，讲座前问卷答题的正确率的极差为−=>95%60%35%20%,所以D 错. 故选:B.3.【答案】D 【解析】【详解】因为=+z 1i ，所以+=++−=−z z i 3i 1i 31i 22i )()(，所以+==z z i 3．故选：D.4.【答案】B 【解析】【详解】由三视图还原几何体，如图，则该直四棱柱的体积=⨯⨯=+V 2221224. 故选：B.5.【答案】C 【解析】【详解】由题意知：曲线C 为⎣⎦⎝⎭⎢⎥ ⎪=++=++⎛⎫⎡⎤ωωππωππy x x 2323sin sin()，又C 关于y 轴对称，则Z +=+∈πωπππk k 232,，解得Z =+∈ωk k 32,1，又ω>0，故当=k 0时，ω的最小值为31. 故选：C.6.【答案】C 【解析】【详解】从6张卡片中无放回抽取2张，共有3,5,3,6,4,5,4,6,5,61,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,)()()()()()()()()()()()()()()(15种情况，其中数字之积为4的倍数的有1,4,2,4,2,6,3,4,4,5,4,6)()()()()()(6种情况，故概率为=15562. 故选：C.7.【答案】A 【解析】【详解】令⎣⎦⎢⎥=−∈−⎡⎤−ππf x x x xx2233cos ,,)()(，则−=−−=−−=−−−f x x x f x x x x x33cos 33cos )()()()()(，所以f x )(为奇函数，排除BD ；又当⎝⎭⎪∈⎛⎫πx 20,时，−>>−x x x330,cos 0，所以>f x 0)(，排除C. 故选：A.8.【答案】B 【解析】【详解】因为函数f x )(定义域为+∞0,)(，所以依题可知，=-f 12)(，='f 10)(，而=−'x xf x a b2)(，所以=−−=b a b 2,0，即=−=−a b 2,2，所以=−+'x x f x 222)(，因此函数f x )(在0,1)(上递增，在+∞1,)(上递减，=x 1时取最大值，满足题意，即有=−+=−'f 222111)(．故选：B.9.【答案】D 【解析】【详解】如图所示：不妨设===AB a AD b AA c ,,1，依题以及长方体的结构特征可知，B D 1与平面ABCD 所成角为∠B DB 1，B D 1与平面AA B B 11所成角为∠DB A 1，所以==B D B Dc b sin 3011，即=b c ，==B D c 21得=a ．对于A ，=AB a ，=AD b ，=AB ，A 错误；对于B ，过B 作⊥BE AB 1于E ，易知⊥BE 平面AB C D 11，所以AB 与平面AB C D 11所成角为∠BAE ，因为∠==a BAE c 2tan ，所以∠≠BAE 30，B 错误；对于C ，==AC ，==CB 1，≠AC CB 1，C 错误；对于D ，B D 1与平面BB C C 11所成角为∠DB C 1，∠===B D c DB C CD a 22sin 11，而<∠<DB C 0901，所以145DB C ∠=．D 正确．故选：D ．10.【答案】C 【解析】【详解】解：设母线长为l ，甲圆锥底面半径为r 1，乙圆锥底面圆半径为r 2，则乙甲===ππS r l r rl rS 22211，所以=r r 212，又+=πππl l r r 22212，则=+lr r112，所以==r l r l 33,2112，所以甲圆锥的高==h l 31，乙圆锥的高==h l 32，所以乙甲===⨯ππr h V V r h l l 93313142221122. 故选：C.11.【答案】B【详解】解：因为离心率===a e c 31，解得=a b 9822，b a =9822，A A ,12分别为C 的左右顶点，则−a A a ,0,,02)((，B 为上顶点，所以B b (0,).所以BA a b BA a b =−−=−(,),(,)12，因为⋅=−BA BA 112 所以a b −+=−122，将b a =9822代入，解得==a b 9,822，故椭圆的方程为+=x y 98122. 故选：B.12.【答案】A【详解】由=m910可得==>m lg9log 101lg109，而⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪<=<=⎛⎫⎛⎫+22lg9lg111lg10lg9lg11lg99222)(，所以>lg9lg10lg10lg11，即>m lg11，所以=−>−=a m 101110110lg11．又⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪<=<⎛⎫⎛⎫+22lg8lg10lg9lg8lg10lg80222)(，所以>lg8lg9lg9lg10，即>m log 98，所以=−<−=b m 89890log 98．综上，>>a b 0．故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】−43= −0.75【详解】由题意知：⋅=++=a b m m 3(1)0，解得=−m 43.故答案为：−43.14.【答案】−++=x y (1)(1)522【详解】解：∵点M 在直线=−+x y 210上，∴设点M 为a a −(,12)，又因为点(3,0)和(0,1)均在⊙M ⊙M 上，∴点M 到两点的距离相等且为半径R ，R ==，a a a a a −++−+=694415222，解得=a 1， ∴−M (1,1)，=R⊙M 的方程为−++=x y (1)(1)522.故答案：−++=x y (1)(1)52215.【答案】2（满足<≤e 1皆可）【详解】解：−=>>a b C a b x y :1(0,0)2222，所以C 的渐近线方程为=±ay x b ,结合渐近线的特点，只需<≤a b 02，即≤ab 422，可满足条件“直线=y x 2与C 无公共点”所以a e c ==≤=又因为>e 1，所以<≤e 1，故答案为：2（满足<≤e 1皆可）16. 已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠=︒==ADB AD CD BD 120,2,2．当ABAC取得最小值时，=BD ________．−1##− 【解析】详解】设==>CD BD m 220，则△ABD 中，=+−⋅∠=++AB BD AD BD AD ADB m m 2cos 422222，在△ACD 中，=+−⋅∠=+−AC CD AD CD AD ADC m m 2cos 4442222，所以+++++++===−+−++−+m m AB m m m mAC m m m m m 1142423444412442121222222)()()(≥=−44，当且仅当++=m m 113即=−m 1时，等号成立，所以当ABAC取最小值时，=m 1.−1.为【在17.【答案】（1）A ，B 两家公司长途客车准点的概率分别为1312，87（2）有【解析】【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；（2）根据表格中数据及公式计算K 2，再利用临界值表比较即可得结论. 小问1详解】根据表中数据，A 共有班次260次，准点班次有240次，设A 家公司长途客车准点事件为M ，则P M ==26013()24012； B 共有班次240次，准点班次有210次，设B 家公司长途客车准点事件为N ，则P N ==40872()210. A 家公司长途客车准点的概率为1312； B 家公司长途客车准点的概率为87.【小问2详解】++++=a b c d a c b d K ()()()()2=⨯⨯⨯≈>⨯⨯−⨯260240450503.205 2.706500(2403021020)2，根据临界值表可知，有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.18.【答案】（1）证明见解析；（2）−78．【解析】【分析】（1）依题意可得+=+S n na n n n 222，根据⎩−≥⎨=⎧=−S S n a S n n n n ,2,111，作差即可得到−=−a a n n 11，从而得证；（2）由（1）及等比中项的性质求出a 1，即可得到a n }{的通项公式与前n 项和，再根据二次函数的性质计算可得．【小问1详解】解：因为+=+nn a S n n212，即+=+S n na n n n 222①，当≥n 2时，+−=−+−−−S n n a n n n 21211112)()()(②，①−②得，+−−−=+−−−−−−S n S n na n n a n n n n n 22122111122)()()(，即+−=−−+−a n na n a n n n 22122111)(，即−−−=−−n a n a n n n 2121211)()()(，所以−=−a a n n 11，≥n 2且∈n N*，所以a n }{是以1为公差的等差数列．【【小问2详解】解：由（1）可得=+a a 341，=+a a 671，=+a a 891，又a 4，a 7，a 9成等比数列，所以=⋅a a a 7492，即+=+⋅+a a a 6381112)()()(，解得=−a 121，所以=−a n n 13，所以⎝⎭ ⎪=−+=−=−−⎛⎫−S n n n n n n n 22222812125125625122)(，所以，当=n 12或=n 13时=−S n 78min )(．19.【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】【分析】（1）分别取AB BC ,的中点M N ,，连接MN ，由平面知识可知⊥⊥EM AB FN BC ,，=EM FN ，依题从而可证⊥EM 平面ABCD ，⊥FN 平面ABCD ，根据线面垂直的性质定理可知EM FN //，即可知四边形EMNF 为平行四边形，于是EF MN //，最后根据线面平行的判定定理即可证出；（2）再分别取AD DC ,中点K L ,，由（1）知，该几何体的体积等于长方体−KMNL EFGH 的体积加上四棱锥−B MNFE 体积的4倍，即可解出．【小问1详解】如图所示：，分别取AB BC ,的中点M N ,，连接MN ，因为△EAB,△FBC 为全等的正三角形，所以⊥⊥EM AB FN BC ,，=EM FN ，又平面⊥EAB 平面ABCD ，平面⋂EAB 平面=ABCD AB ，⊂EM 平面EAB ，所以⊥EM 平面ABCD ，同理可得⊥FN 平面ABCD ，根据线面垂直的性质定理可知EM FN //，而=EM FN ，所以四边形EMNF 为平行四边形，所以EF MN //，又⊄EF 平面ABCD ，⊂MN 平面ABCD ，所以EF //平面ABCD ．【小问2详解】如图所示：，分别取AD DC ,中点K L ,，由（1）知，EF MN //且=EF MN ，同理有，=HE KM HE KM //,，=HG KL HG KL //,，=GF LN GF LN //,，由平面知识可知，⊥BD MN ，⊥MN MK ，===KM MN NL LK ，所以该几何体的体积等于长方体−KMNL EFGH 的体积加上四棱锥−B MNFE 体积的4倍．因为====MN NL LK KM ，==EM 8sin 6043B 到平面MNFE 的距离即为点B 到直线MN的距离d ，=d=⨯⨯⨯==V 3412(．20.【答案】（1）3 （2）−+∞1,)[【解析】【分析】（1）先由f x ()上的切点求出切线方程，设出g x ()上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出a 即可；（2）设出g x ()上的切点坐标，分别由f x ()和g x ()及切点表示出切线方程，由切线重合表示出a ，构造函数，求导求出函数值域，即可求得a 的取值范围. 【小问1详解】由题意知，−=−−−=f (1)1(1)0，=−'f x x ()312，−=−='f (1)312，则=y f x ()在点−1,0)(处的切线方程为=+y x 2(1)，即=+y x 22，设该切线与g x ()切于点x g x ,()22)(，='g x x ()2，则=='g x x ()2222，解得=x 12，则=+=+g a (1)122，解得=a 3；【小问2详解】=−'f x x ()312，则=y f x ()在点x f x ,()11)(处的切线方程为−−=−−y x x x x x 31()111132)()(，整理得=−−y x x x 3121123)(，设该切线与g x ()切于点x g x ,()22)(，='g x x ()2，则='g x x ()222，则切线方程为−+=−y x a x x x 2()2222)(，整理得=−+y x x x a 2222，则⎩−=−+⎨−=⎧x x a x x 23121232122，整理得⎝⎭ ⎪=−=−−=−−+⎛⎫a x x x x x x x 2242422219313211111123343222，令=−−+h x x x x 424()2931432，则=−−=+−'h x x x x x x x ()9633(31)(1)32，令>'h x ()0，解得−<<x 301或>x 1，令<'h x ()0，解得<−x1或<<x 01，则x 变化时，'h x h x (),()的变化情况如下表：则h x ()的值域为，故a 的取值范围为.21.【答案】（1）=y x 42；（2）=+AB x :4.【解析】【分析】（1）由抛物线的定义可得+MF p p2=，即可得解；（2）设点的坐标及直线=+MN x my :1，由韦达定理及斜率公式可得=k k MN AB 2，再由差角的正切公式及基本不等式可得=k AB 2，设直线=+AB x n :，结合韦达定理可解. 【小问1详解】抛物线准线为=−x p2，当MD 与x 轴垂直时，点M 的横坐标为p ，此时+=MF p p2=3，所以=p 2，所以抛物线C 的方程为=y x 42；【小问2详解】的设⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫M y N y A y B y y y y y 4444,,,,,,,123412432222，直线=+MN x my :1，由⎩=⎨⎧=+y xx my 412可得−−=y my 4402，∆>=−y y 0,412，由斜率公式可得−+==−y y y y k y y MN 44412122212，−+==−y y y y k y y AB 44434432234，直线=⋅+−y MD x y x :2211，代入抛物线方程可得−⋅−=−y y y x 8042121)(， ∆>=−y y 0,813，所以=y y 232，同理可得=y y 241，所以++===y y y y k k AB MN 22443412)(又因为直线MN 、AB 的倾斜角分别为αβ,，所以===βαk k AB MN 22tan tan ，若要使−αβ最大，则⎝⎭⎪∈⎛⎫βπ20,，设==>k k k MN AB 220，则+++−===≤=−αβαβαβk k k k21tan tan 1241tan tan tan 12)(，当且仅当=k k 21即=k 2时，等号成立，所以当−αβ最大时，=k AB，设直线=+AB x n :，代入抛物线方程可得−−=y n 402，∆>=−==−y y n y y 0,44163412，所以=n 4，所以直线=+AB x :4.22.【答案】（1）=−≥y x y 6202)(；（2）C C ,31的交点坐标为⎝⎭ ⎪⎛⎫2,11，1,2)(，C C ,32的交点坐标为⎝⎭⎪−−⎛⎫2,11，−−1,2)(．【解析】【分析】(1)消去t ，即可得到C 1的普通方程；(2)将曲线CC ,23的方程化成普通方程，联立求解即解出．【小问1详解】因为=+x t 62，=y ，所以=+x y 622，即C 1的普通方程为=−≥y x y 6202)(．【小问2详解】因为=−=+x y s6,2，所以=−−x y 622，即C 2的普通方程为=−−≤y x y 6202)(，由−=⇒−=θθρθρθ2cos sin 02cos sin 0，即C 3的普通方程为−=x y 20．联立⎩−=⎨=−≥⎧x y y x y 206202)(，解得：⎩=⎪⎨⎪=⎧y x 121或⎩=⎨⎧=y x 21，即交点坐标为⎝⎭ ⎪⎛⎫2,11，1,2)(；联立⎩−=⎨=−−≤⎧x y y x y 206202)(，解得：⎩=−⎪⎨⎪=−⎧y x 121或⎩=−⎨⎧=−y x 21，即交点坐标为⎝⎭ ⎪−−⎛⎫2,11，−−1,2)(．23.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据++=++a b c a b c 42222222)(，利用柯西不等式即可得证；（2）由（1）结合已知可得<+≤a c 043，即可得到+≥a c 4311，再根据权方和不等式即可得证.【小问1详解】证明：由柯西不等式有⎣⎦++++≥++⎡⎤a b c a b c 211122222222)()()(，所以++≤a b c 23，当且仅当===a b c 21时，取等号，所以++≤a b c 23；【小问2详解】证明：因为=b c 2，>a 0，>b 0，>c 0，由（1）得++=+≤a b c a c 243，即<+≤a c 043，所以+≥a c 4311，由权方和不等式知+++=+≥=≥+a c a c a c a c44431112912222)(，当且仅当=a c 412，即=a 1，=c 21时取等号，所以+≥a c311.。

2023年全国统一高考数学试卷(文科)(甲卷)含答案解析

绝密★启用前2023年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,4}，N={2,5}，则N∪∁U M=( )A. {2,3,5}B. {1,3,4}C. {1,2,4,5}D. {2,3,4,5}2.5(1+i 3)(2+i)(2−i)=( )A. −1B. 1C. 1−iD. 1+i3.已知向量a⃗=(3,1)，b⃗⃗=(2,2)，则cos〈a⃗⃗+b⃗⃗，a⃗⃗−b⃗⃗〉=( )A. 117B. √ 1717C. √ 55D. 2√ 554.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为( )A. 16B. 13C. 12D. 235.记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a2+a6=10，a4a8=45，则S5=( )A. 25B. 22C. 20D. 156.执行下边的程序框图，则输出的B =( )A. 21B. 34C. 55D. 897.设F 1，F 2为椭圆C ：x 25+y 2=1的两个焦点，点P 在C 上，若PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，则|PF 1|⋅|PF 2|=( ) A. 1 B. 2C. 4D. 58.曲线y =e xx+1在点(1,e 2)处的切线方程为( ) A. y =e4xB. y =e2xC. y =e 4x +e4D. y =e 2x +3e49.已知双曲线C ：x 2a2−y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为√ 5，C 的一条渐近线与圆(x −2)2+(y −3)2=1交于A ，B 两点，则|AB|=( ) A. √ 55B. 2√ 55C. 3√ 55D. 4√ 5510.在三棱锥P −ABC 中，△ABC 是边长为2的等边三角形，PA =PB =2，PC =√ 6，则该棱锥的体积为( ) A. 1B. √ 3C. 2D. 311.已知函数f(x)=e −(x−1)2.记a =f(√ 22)，b =f(√ 32)，c =f(√ 62)，则( )A. b >c >aB. b >a >cC. c >b >aD. c >a >b12.函数y =f(x)的图象由y =cos(2x +π6)的图象向左平移π6个单位长度得到，则y =f(x)的图象与直线y =12x −12的交点个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4第II 卷（非选择题）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023年高考数学(全国甲卷)文科数学(含答案及详细解析)

2023年高考数学真题试卷(全国甲卷)文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集，集合，则（）A．B．C．D．2．（）A．B．1C．D．3．已知向量，则（）A．B．C．D．4．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A．B．C．D．5．记为等差数列的前项和．若，则（）A．25B．22C．20D．156．执行下边的程序框图，则输出的（）A．21B．34C．55D．897．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（）A．1B．2C．4D．58．曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．9．已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则（）A．B．C．D．10．在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（）A．1B．C．2D．311．已知函数．记，则（）A．B．C．D．12．函数的图象由的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．记为等比数列的前项和．若，则的公比为．14．若为偶函数，则．15．若x，y满足约束条件，则的最大值为．16．在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．记的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，求面积．18．如图，在三棱柱中，平面．（1）证明：平面平面；（2）设，求四棱锥的高．19．一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（1）计算试验组的样本平均数；（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表对照组试验组（ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？附：，0.1000.0500.0102.7063.841 6.63520．已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）若，求的取值范围．21．已知直线与抛物线交于两点，．（1）求；（2）设为的焦点，为上两点，且，求面积的最小值．22．已知点，直线（为参数），为的倾斜角，与轴正半轴、轴正半轴分别交于，且．（1）求；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程．23．已知．（1）求不等式的解集；（2）若曲线与轴所围成的图形的面积为2，求．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】，故选：A【分析】先计算补集，再求并集即得答案.2．【答案】C【解析】【解答】，故选：C【分析】利用复数乘法运算计算由得出答案。

2024年全国统一高考数学试卷(文科)(甲卷)[含答案]

2024年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．集合，2，3，4，5，，，则 {1A =9}{|1}B x x A =+∈(A B = )A ．，2，3，B ．，2，C ．，D ．，2，{14}{13}{34}{19}2．设，则 z =(z z ⋅=)A ．B ．1C ．D ．2i-1-3．若实数，满足约束条件则的最小值为 x y 4330,220,2690,x y x y x y --⎧⎪--⎨⎪+-⎩ 5z x y =-()A ．5B ．C ．D ．122-72-4．等差数列的前项和为，若， {}n a n n S 91S =37(a a +=)A ．B ．C ．1D ．2-73295．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是 ()A ．B ．C ．D ．141312236．已知双曲线的两个焦点分别为、，且经过点，则双曲线的离心率是 1(0,4)F 2(0,4)F -(6,4)P -C ()A ．4B ．3C ．2D 7．曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为 6()31f x x x =+-(0,1)-()A ．BC ．D ．16128．函数的区间，的图像大致为 2()()sin xx f x x e ex -=-+-[ 2.8- 2.8]()A ．B ．C ．D ．9．已知 cos cos sin ααα=-tan()(4πα+=)A ．B ．CD．1+1-1-10．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为 20ax y a ++-=22:410C x y y ++-=A B ||AB ()A ．2B ．3C ．4D ．611．已知、是两个平面，、是两条直线，．下列四个命题：αβm n m αβ= ①若，则或//m n //n α//n β②若，则，m n ⊥n α⊥n β⊥③若，且，则//n α//n β//m n ④若与和所成的角相等，则n αβm n ⊥其中，所有真命题的编号是 ()A ．①③B ．②③C ．①②③D ．①③④12．在中，内角，，所对边分别为，，，若，，则 ABC ∆A B C a b c 3B π=294b ac =sin sin (A C +=)A ．BCD32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数在，上的最大值是 ()sin f x x x =[0]π14．已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为和，母线长分别为和，则两个圆台的2r 1r 122()r r -123()r r -体积之比．V V =甲乙15．已知，，则．1a >8115log log 42a a -=-a =16．曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为．33y x x =-2(1)y x a =--+(0,)+∞a 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知等比数列的前项和为，且．{}n a n n S 1233n n S a +=-（1）求的通项公式；{}n a （2）求数列的通项公式．{}n S 18．（12分）某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲、乙两车间产95%99%品的估级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率．设为升级改造后抽取的件产品的优级品率．如0.5p =p n 果，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认p p >+12.247)≈附：，22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2()P K k 0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819．（12分）如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，四边形与四边形均A B C D E F ABCD CDEF 为等腰梯形，，，，，，，//AB CD //CD EF 2AB DE EF CF ====4CD =AD BC ==AE =为的中点．M CD （1）证明：平面；//EM BCF （2）求点到的距离．M ADE20．（12分）已知函数．()(1)1f x a x lnx =--+（1）求的单调区间；()f x （2）若时，证明：当时，恒成立．2a 1x >1()x f x e -<21．（12分）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且轴．2222:1(0)x y C a b a b +=>>F 3(1,2M C MF x ⊥（1）求椭圆的方程；C （2）过点的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，直线与交于，证明：(4,0)P C A B N FP NB MF Q 轴．AQ y ⊥（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线xOy O x 的极坐标方程为．C cos 1ρρθ=+（1）写出的直角坐标方程；C （2）直线为参数），若与交于、两点，，求的值．:(x tl t y t a =⎧⎨=+⎩C l A B ||2AB =a [选修4-5：不等式选讲]23．实数，满足．a b 3a b + （1）证明：；2222a b a b +>+（2）证明：．22|2||2|6a b b a -+-2024年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．集合，2，3，4，5，，，则 {1A =9}{|1}B x x A =+∈(A B = )A ．，2，3，B ．，2，C ．，D ．，2，{14}{13}{34}{19}【解析】：，2，3，4，5，，，1，2，3，4，，{1A =9}{|1}{0B x x A =+∈=8}则，2，3，．故选：．{1A B = 4}A 2．设，则 z =(z z ⋅=)A ．B ．1C ．D ．2i-1-解法一：，则．故选：．z =z =()2z z ⋅=⋅=D 解法二：22z z z ⋅==3．若实数，满足约束条件则的最小值为 x y 4330,220,2690,x y x y x y --⎧⎪--⎨⎪+-⎩5z x y =-()A ．5B ．C ．D ．122-72-【解析】：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示：4330,220,2690,x y x y x y --⎧⎪--⎨⎪+-⎩将约束条件两两联立可得3个交点：，，，(0,1)C -3(,1)2A 1(3,)2B 由得，则可看作直线在轴上的截距，5z x y =-1155y x z =-15z -1155y x z =-y 经检验可知，当直线经过点，时，最小，代入目标函数可得：．3(2A 1)z 72min z =-故选：．D 4．等差数列的前项和为，若， {}n a n n S 91S =37(a a +=)A ．B ．C ．1D ．2-7329解法一：，则，解得．故选：．91S =193799()9()122a a a a S ++===3729a a +=D 解法二：利用等差数列的基本量由，根据等差数列的求和公式，，91S =9119891,93612dS a a d ⨯=+=∴+=.()37111122262893699a a a d a d a d a d +=+++=+=+=解法三：特殊值法不妨取等差数列公差，则，则.故选：D0d =9111199S a a ==⇒=371229a a a +==解法四：【构造法】：设的公差为，利用结论是首项为，公差为的等差数列，{}n a d n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1a 2d 则，，()911118428922S d a a d a d =+=+=+371112628a a a d a d a d +=+++=+则，所以.故选：D ()()9111371118428==92229S d a a d a d a a =+=+=++3729a a +=解法五：根据题意，故选：D375922299a a a S +===5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是 ()A ．B ．C ．D ．14131223【解析】：甲、乙、丙、丁四人排成一列共有种可能，4424A =丙不在排头，且甲或乙在排尾的情况有种可能，故．故选：．1122228C C A=81243P ==B 6．已知双曲线的两个焦点分别为、，且经过点，则双曲线的离心率是 1(0,4)F 2(0,4)F -(6,4)P -C ()A ．4B ．3C．2D 解法一：因为双曲线的两个焦点分别为、，且经过点，1(0,4)F 2(0,4)F -(6,4)P -所以，，，12||8F F =1||6PF =2||10PF ==则双曲线的离心率．故选：．C 2822106c e a ===-C 解法二：点纵坐标相同，所以是通径的一半即1P F 、1||PF 21||6b PF a ==则即，则双曲线的离心率．故选：．2166a a -=2a =C 224c e a ===C 解法三：双曲线的离心率C 121221086F F e PF PF ===--解法四：根据焦点坐标可知4c =，根据焦点在y 轴上设双曲线方程为22221y xa b -=，则22221636116a b a b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，则2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩2c e a ==7．曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为 6()31f x x x =+-(0,1)-()A ．BC ．D ．1612【解析】：因为，所以，曲线在处的切线斜率，6()3f x x x =+5()63f x x '=+(0,1)-3k =故曲线在处的切线方程为，即，(0,1)-13y x +=31y x =-则其与坐标轴围成的面积．故选：．1111236S =⨯⨯=A 8．函数的区间，的图像大致为 2()()sin x x f x x ee x -=-+-[ 2.8-2.8]()A ．B ．C ．D ．解法一：，2()()sin x x f x x e e x -=-+-则，故为偶函数，故错误；22()()()sin()()sin ()x x x x f x x e e x x e e x f x ---=--+--=-+-=()f x AC （1），故错误，正确．f 1111111()sin11()sin 1062242e e e e e e eπ-=-+->-+-=-->->D B 故选：．B 解法二：函数为偶函数。

2023年全国统一高考数学试卷(文科)(甲卷)(解析版)

2023年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，则N∪∁U M＝（）A．{2，3，5}B．{1，3，4}C．{1，2，4，5}D．{2，3，4，5}【答案】A【解答】解：因为U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，所以∁U M＝{2，3，5}，则N∪∁U M＝{2，3，5}．故选：A．2．（5分）＝（）A．﹣1B．1C．1﹣i D．1+i【答案】C【解答】解：＝＝1﹣i．故选：C．3．（5分）已知向量＝（3，1），＝（2，2），则cos〈+，﹣〉＝（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：根据题意，向量＝（3，1），＝（2，2），则+＝（5，3），﹣＝（1，﹣1），则有|+|＝＝，|﹣|＝＝，（+）•（﹣）＝2，故cos〈+，﹣〉＝＝．故选：B．4．（5分）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解答】解：某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，基本事件总数n ＝＝6，这2名学生来自不同年级包含的基本事件个数m ＝＝4，则这2名学生来自不同年级的概率为P ＝＝＝．故选：D ．5．（5分）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 2+a 6＝10，a 4a 8＝45，则S 5＝（）A ．25B ．22C ．20D ．15【答案】C【解答】解：等差数列{a n }中，a 2+a 6＝2a 4＝10，所以a 4＝5，a 4a 8＝5a 8＝45，故a 8＝9，则d ＝＝1，a 1＝a 4﹣3d ＝5﹣3＝2，则S 5＝5a 1+＝10+10＝20．故选：C ．6．（5分）执行下边的程序框图，则输出的B ＝（）A．21B．34C．55D．89【答案】B【解答】解：模拟执行程序框图，如下：n＝3，A＝1，B＝2，k＝1，k≤3，A＝1+2＝3，B＝3+2＝5，k＝2，k≤3，A＝3+5＝8，B＝8+5＝13，k＝3，k≤3，A＝8+13＝21，B＝21+13＝34，k＝4，k＞3，输出B＝34．故选：B．A．1B．2C．4D．5【答案】B【解答】解：根据题意，点P在椭圆上，满足•＝0，可得∠F1PF2＝，又由椭圆C：+y2＝1，其中c2＝5﹣1＝4，可得|PF1|•|PF2|＝2，故选：B．8．（5分）曲线y＝在点（1，）处的切线方程为（）A．y＝x B．y＝x C．y＝x+D．y＝x+【答案】C【解答】解：因为y＝，y′＝＝，故函数在点（1，）处的切线斜率k＝，切线方程为y﹣＝（x﹣1），即y＝．故选：C．9．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，C的一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，则|AB|＝（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，可得c＝a，所以b＝2a，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±2x，一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，圆的圆心（2，3），半径为1，圆的圆心到直线y＝2x的距离为：＝，所以|AB|＝2＝．故选：D．10．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，PC＝，则该棱锥的体积为（）A．1B．C．2D．3【答案】A【解答】解：如图，PA＝PB＝2，AB＝BC＝2，取AB的中点D，连接PD，CD，可得AB⊥PD，AB⊥CD，又PD∩CD＝D，PD、CD⊂平面PCD，∴AB⊥平面PCD，在△PAB与△ABC中，求得PD＝CD＝，在△PCD中，由PD＝CD＝，PC＝，得PD2+CD2＝PC2，则PD⊥CD，∴，∴×AB＝．故选：A．11．（5分）已知函数f（x）＝．记a＝f（），b＝f（），c＝f（），则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b【答案】A【解答】解：令g（x）＝﹣（x﹣1）2，则g（x）的开口向下，对称轴为x＝1，∵，而＝，∴，∴，∴由一元二次函数的性质可知g（）＜g（），∵，而，∴，∴，综合可得，又y＝e x为增函数，∴a＜c＜b，即b＞c＞a．故选：A．12．（5分）函数y＝f（x）的图象由y＝cos（2x+）的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f（x）的图象与直线y＝x﹣的交点个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：y＝cos（2x+）的图象向左平移个单位长度得到f（x）＝cos （2x+）＝﹣sin2x，在同一个坐标系中画出两个函数的图象，如图：y＝f（x）的图象与直线y＝x﹣的交点个数为：3．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2023年高考全国乙卷文科数学试题(含答案详解)

2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）文科数学一、选择题1. 232i 2i ++=（）A. 1B. 2C.D. 52. 设全集{}0,1,2,4,6,8U =，集合{}{}0,4,6,0,1,6M N ==，则M ∪C U N （） A. {}0,2,4,6,8B. {}0,1,4,6,8C. {}1,2,4,6,8D. U3. 如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（）A. 24B. 26C. 28D. 304. 在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若cos cos a B b A c −=，且5C π=，则B ∠=（）A.10π B.5π C.310π D.25π 5. 已知e ()e 1xax x f x =−是偶函数，则=a （）A. 2−B. 1−C. 1D. 26. 正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ED ⋅=（）A.B. 3C. D. 57. 设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域(){}22,14x y xy ≤+≤内随机取一点A ，则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为（） A.18B.16C.14D.128. 函数()32f x x ax =++存在3个零点，则a 的取值范围是（）A. (),2−∞−B. (),3−∞−C. ()4,1−−D. ()3,0−9. 某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）A.56B.23C.12D.1310. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条对称轴，则5π12f ⎛⎫−= ⎪⎝⎭（）A. B. 12−C.12D.11. 已知实数,x y 满足224240x y x y +−−−=，则x y −的最大值是（）A. 1+B. 4C. 1+D. 712. 设A ，B 为双曲线2219y x −=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（）A. ()1,1B. ()1,2-C. ()1,3D. ()1,4−−二、填空题13.已知点(A 在抛物线C ：22y px =上，则A 到C 的准线的距离为______. 14. 若π10,,tan 22⎛⎫∈= ⎪⎝⎭θθ，则sin cos θθ−=________． 15. 若x ，y 满足约束条件312937x y x y x y −≤−⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =−的最大值为______.16. 已知点,,,S A B C 均在半径为2的球面上，ABC 是边长为3的等边三角形，SA ⊥平面ABC ，则SA =________．三、解答题17. 某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i x ，()1,2,,10i y i =⋅⋅⋅．试验结果如下：记1,2,,10i i i z x y i =−=⋅⋅⋅，记1210,,,z z z ⋅⋅⋅的样本平均数为z ，样本方差为2s ．（1）求z ，2s ；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果z ≥为有显著提高）18.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知21011,40a S ==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n T ．19.如图，在三棱锥−P ABC 中，AB BC ⊥，2AB =，BC =PB PC ==,,BP AP BC 的中点分别为,,D E O ，点F 在AC 上，BF AO ⊥．（1）求证：EF //平面ADO ；（2）若120POF ∠=︒，求三棱锥−P ABC 的体积． 20.已知函数()()1ln 1f x a x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭．（1）当1a =−时，求曲线()y f x =在点()()1,f x 处的切线方程．（2）若函数()f x 在()0,∞+单调递增，求a 的取值范围．21.已知椭圆2222:1(0)C bb x a a y +>>=，点()2,0A −在C 上．（1）求C 的方程；（2）过点()2,3−的直线交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N ，证明：线段MN 的中点为定点．【选修4-4】（10分）22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2sin 42ππρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，曲线2C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，2απ<<π）.（1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线y x m =+既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围．【选修4-5】（10分）23.已知()22f x x x =+− （1）求不等式()6x f x ≤−的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组()60f x yx y ⎧≤⎨+−≤⎩所确定的平面区域的面积．2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）答案详解文科数学（2023·全国乙卷·文·1·★）232i 2i ++=（）（A ）1 （B ）2 （C （D 答案：C解析：2322i 2i 212i i 212(1)i 12i ++=−+⨯⨯=−+⨯−⨯=−=.（2023·全国乙卷·文·2·★）设全集{0,1,2,4,6,8}U =，集合{0,4,6}M =，{0,1,6}N =，M ∪C U N 则（）（A ）{0,2,4,6,8} （B ）{0,1,4,6,8} （C ）{1,2,4,6,8} （D ）U 答案：A解析：由题意，C U N ={2,4,8}，所以M ∪C U N ={0,2,4,6,8}.（2023·全国乙卷·文·3·★）如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（）A.24B.26C.28D.30答案：D解析：如图所示，在长方体1111ABCD A B C D −中，2AB BC ==，13AA =，点,,,H I J K 为所在棱上靠近点1111,,,B C D A 的三等分点，,,,O L M N 为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体1111ABCD A B C D −去掉长方体11ONIC LMHB −之后所得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，其表面积为：()()()22242321130⨯⨯+⨯⨯−⨯⨯=.（2023·全国乙卷·文·4·★★）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos a B b A c −=，且5C π=则，在B =（）（A ）10π（B ）5π （C ）310π （D ）25π 答案：C解法1：所给边角等式每一项都有齐次的边，要求的是角，故用正弦定理边化角分析，因为cos cos a B b A c −=，所以sin cos sin cos sin A B B A C −=，故sin()sin A B C −= ①，已知C ，先将C 代入，再利用A B C π++=将①中的A 换成B 消元，因为5C π=，所以45A B C ππ+=−=，故45A B π=−，代入①得4sin(2)sin 55B ππ−= ②，因为45A B π+=，所以405B π<<，故4442555B πππ−<−<，结合②可得4255B ππ−=，所以310B π=.解法2：按解法1得到sin cos sin cos sin A B B A C −=后，观察发现若将右侧sin C 拆开，也能出现左边的两项，故拆开来看，sin sin[()]sin()sin cos cos sin C A B A B A B A B π=−+=+=+，代入sin cos sin cos sin A B B A C −=得：sin cos sin cos sin cos sin cos A B B A A B B A −=+，化简得：sin cos 0B A =，因为0B π<<，所以sin 0B >，故cos 0A =，结合0A π<<可得2A π=，所以43510B A ππ=−=.（2023·全国乙卷·文·5·★★）已知e ()e 1xax x f x =−是偶函数，则=a （）A. 2−B. 1−C. 1D. 2答案：D解析：因为()e e 1x ax x f x =−为偶函数，则()()()()1e e e e 0e 1e 1e 1a x x x x ax ax ax x x x f x f x −−−⎡⎤−−⎣⎦−−=−==−−−，又因为x 不恒为0，可得()1e e 0a x x −−=，即()1e e a x x −=，则()1x a x =−，即11a =−，解得2a =.（2023·全国乙卷·文·6·★）正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ED ⋅=（）（A（B ）3 （C）（D ）5 答案：B解析：如图，EC ，ED 共起点，且中线、底边长均已知，可用极化恒等式求数量积，由极化恒等式，223EC ED EF CF ⋅=−=.A BCDE F（2023·全国乙卷·文·7·★★）设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域(){}22,14x y xy ≤+≤内随机取一点A ，则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为（） A.18B. 16C.14D.12答案：C 解析：因为区域(){}22,|14x y xy ≤+≤表示以()0,0O 圆心，外圆半径2R =，内圆半径1r =的圆环，则直线OA 的倾斜角不大于π4的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角π4MON ∠=，结合对称性可得所求概率π2142π4P ⨯==.（2023·全国乙卷·文·8·★★★）函数3()2f x x ax =++存在3个零点，则a 的取值范围是（）（A ）(,2)−∞− （B ）(,3)−∞− （C ）(4,1)−− （D ）(3,0)− 答案：B解法1：观察发现由320x ax ++=容易分离出a ，故用全分离，先分析0x =是否为零点，因为(0)20f =≠，所以0不是()f x 的零点；当0x ≠时，3322()0202f x x ax ax x a x x=⇔++=⇔=−−⇔=−−，所以直线y a =与函数22(0)y x x x =−−≠的图象有3个交点，要画此函数的图象，需求导分析，令22()(0)g x x x x =−−≠，则3222222(1)2(1)(1)()2x x x x g x x x x x −−++'=−+==，因为22131()024x x x ++=++>，所以()00g x x '>⇔<或01x <<，()01g x x '<⇔>，故()g x 在(,0)−∞上，在(0,1)上，在(1,)+∞上，又lim ()x g x →−∞=−∞，当x 分别从y 轴左、右两侧趋近于0时，()g x 分别趋于+∞，−∞，(1)3g =−，lim ()x g x →+∞=−∞，所以()g x 的大致图象如图1，由图可知要使y a =与()y g x =有3个交点，应有3a <−.解法2：如图2，三次函数有3个零点等价于两个极值异号，故也可直接求导分析极值，由题意，2()3f x x a '=+，要使()f x 有2个极值点，则()f x '有两个零点，所以120a ∆=−>，故0a <，令()0f x '=可得x =322f =+=，3(((22f a =++=，故34(2)(2)4027a f f =+=+<，解得：3a <−.a=1图2图（2023·全国乙卷·文·9·★）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（） A.56B.23C.12D.13答案：A解析：甲有6种选择，乙也有6种选择，故总数共有6636⨯=种，若甲、乙抽到的主题不同，则共有26A 30=种，则其概率为305366=，（2023·全国乙卷·文·10·★★★）已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条对称轴，则5π12f ⎛⎫−= ⎪⎝⎭（） A. B. 12−C.12D.2答案：D解析：因为()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以2πππ2362T =−=，且0ω>，则πT =，2π2w T ==，当π6x =时，()f x 取得最小值，则ππ22π62k ϕ⋅+=−，Z k ∈，则5π2π6k ϕ=−，Z k ∈，不妨取0k =，则()5πsin 26f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，则5π5πsin 1232f ⎛⎫⎛⎫−=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（2023·全国乙卷·文·11·★★★）已知实数x ，y 满足224240x y x y +−−−=，则x y −的最大值是（）（A ）1 （B ）4 （C ）1+ （D ）7 答案：C解法1：所给等式可配方化为平方和结构，故考虑三角换元，22224240(2)(1)9x y x y x y +−−−=⇒−+−=，令23cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩，则23cos 13sin 1)4x y πθθθ−=+−−=−−，θ∈R ，所以当sin()14πθ−=−时，x y −取得最大值1+解法2：所给方程表示圆，故要求x y −的最大值，也可设其为t ，看成直线，用直线与圆的位置关系处理，22224240(2)(1)9x y x y x y +−−−=⇒−+−= ①，设t x y =−，则0x y t −−=，因为x ，y 还满足①，所以直线0x y t −−=与该圆有交点，从而圆心(2,1)到直线的距离3d =≤，解得：11t −≤≤+max ()1x y −=+（2023·全国乙卷·文·12·★★★★）设A ，B 为双曲线2219y x −=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（） A. ()1,1 B. ()1,2-C. ()1,3D. ()1,4−−答案：D解析：设()()1122,,,A x y B x y ，则AB 的中点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，可得1212121212122,2ABy y y y y y k k x x x x x x +−+===+−+，因为,A B 在双曲线上，则221122221919y x y x ⎧−=⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩，两式相减得()2222121209y y x x −−−=，所以221222129AB y y k k x x −⋅==−. 对于选项A ：可得1,9AB k k ==，则:98AB y x =−，联立方程229819y x y x =−⎧⎪⎨−=⎪⎩，消去y 得272272730x x −⨯+=，此时()2272472732880∆=−⨯−⨯⨯=−<，所以直线AB 与双曲线没有交点，故A 错误；对于选项B ：可得92,2AB k k =−=−，则95:22AB y x =−−，联立方程22952219y x y x ⎧=−−⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩，消去y 得245245610x x +⨯+=，此时()224544561445160∆=⨯−⨯⨯=−⨯⨯<，所以直线AB 与双曲线没有交点，故B 错误；对于选项C ：可得3,3AB k k ==，则:3AB y x =由双曲线方程可得1,3a b ==，则:3AB y x =为双曲线的渐近线，所以直线AB 与双曲线没有交点，故C 错误；对于选项D ：94,4AB k k ==，则97:44AB y x =−，联立方程22974419y x y x ⎧=−⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩，消去y 得2631261930x x +−=，此时21264631930∆=+⨯⨯>，故直线AB 与双曲线有交两个交点，故D 正确；（2023·全国乙卷·文·13·★）已知点(A 在抛物线C ：22y px =上，则A 到C 的准线的距离为______. 答案：94解析：由题意可得：221p =⨯，则25p =，抛物线的方程为25y x =，准线方程为54x =−，点A 到C 的准线的距离为59144⎛⎫−−= ⎪⎝⎭.（2023·全国乙卷·文·14·★）若(0,)2πθ∈，1tan 3θ=，则sin cos θθ−=_____.答案：解析：已知tan θ，可先求出sin θ和cos θ，由题意，sin 1tan cos 3θθθ==，所以cos 3sin θθ=，代入22cos sin 1θθ+=可得210sin 1θ=，又(0,)2πθ∈，所以sin θ=，cos θ=，故sin cos θθ−=（2023·全国乙卷·文·15·★★）若x ，y 满足约束条件312937x y x y x y −≤−⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =−的最大值为______.答案：8解析：作出可行域如下图所示：z =2x −y ，移项得y =2x −z ，联立有3129x y x y −=−⎧⎨+=⎩，解得52x y =⎧⎨=⎩，设()5,2A ，显然平移直线2y x =使其经过点A ，此时截距−z 最小，则z 最大，代入得z =8，（2023·全国乙卷·文·16·★★★）已知点S ，A ，B ，C 均在半径为2的球面上，ABC ∆是边长为3的等边三角形，SA ⊥平面ABC ，则SA =_____. 答案：2解析：有线面垂直，且ABC ∆是等边三角形，属外接球的圆柱模型，核心方程是222()2hr R +=，如图，圆柱的高h SA =，底面半径r 即为ABC ∆的外接圆半径，所以233r ==，由题意，球的半径2R =，因为222()2hr R +=，所以23()42h +=，解得：2h =，故2SA =.（2023·全国乙卷·文·17·★★★）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i x ，()1,2,,10i y i =⋅⋅⋅．试验结果如下：记()1,2,,10i i i z x y i =−=⋅⋅⋅，记1210,,,z z z ⋅⋅⋅的样本平均数为z ，样本方差为2s ．（1）求z ，s 2；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果z ≥则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）答案：（1）11z =，261s =；（2）认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. 解析：（1）545533551522575544541568596548552.310x +++++++++==，536527543530560533522550576536541.310y +++++++++==，552.3541.311z x y =−=−=，i i i z x y =− 的值分别为: 9,6,8,8,15,11,19,18,20,12−，故2222222222(911)(611)(811)(811)(1511)0(1911)(1811)(2011)(1211)6110s −+−+−+−−+−++−+−+−+−==（2）由（1）知:11z =，==z ≥ 所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.（2023·全国乙卷·文·18·★★★）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知211a =，1040S =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n T .解：（1）（已知条件都容易代公式，故直接用公式翻译，求出1a 和d ）设{}n a 的公差为d ，则2111a a d =+= ①， 101104540S a d =+= ②，联立①②解得：113a =，2d =−，所以1(1)13(1)(2)152n a a n d n n =+−=+−⨯−=−.（2）（通项含绝对值，要求和，先去绝对值，观察发现{}n a 前7项为正，从第8项起为负，故据此讨论）当7n ≤时，0n a >，所以12n n T a a a =++⋅⋅⋅+ 2112()(13152)1422n n n a a n n a a a n n ++−=++⋅⋅⋅+===−；当8n ≥时，12n n T a a a =++⋅⋅⋅+ 12789n a a a a a a =++⋅⋅⋅+−−−⋅⋅⋅− 127122()()n a a a a a a =++⋅⋅⋅+−++⋅⋅⋅+ 27(131)(13152)2149822n n n n ⨯++−=⨯−=−+；综上所述，2214,71498,8n n n n T n n n ⎧−≤⎪=⎨−+≥⎪⎩.（2023·全国乙卷·文·19·★★★）如图，在三棱锥−P ABC 中，AB BC ⊥，2AB =，BC =PB PC ==,,BP AP BC 的中点分别为,,D E O ，点F 在AC 上，BF AO ⊥．（1）求证：EF //平面ADO ；（2）若120POF ∠=︒，求三棱锥−P ABC 的体积．答案：（1）证明见解析（2解析：（1）连接,DE OF ，设AF tAC =，则(1)BF BA AF t BA tBC =+=−+，12AO BA BC =−+，BF AO ⊥，则2211[(1)]()(1)4(1)4022BF AO t BA tBC BA BC t BA tBC t t ⋅=−+⋅−+=−+=−+=，解得12t =，则F 为AC 的中点，由,,,D E O F 分别为,,,PB PA BC AC 的中点，于是11//,,//,22DE AB DE AB OF AB OF AB ==，即,//DE OF DE OF =，则四边形ODEF 为平行四边形，//,EF DO EF DO =，又EF ⊄平面,ADO DO ⊂平面ADO ，所以//EF 平面ADO .（2）过P 作PM 垂直FO 的延长线交于点M ，因为,PB PC O =是BC 中点，所以PO BC ⊥，在Rt PBO △中，12PB BO BC ===2PO ===，因为,//AB BC OF AB ⊥，所以OF BC ⊥，又PO OF O ⋂=，,PO OF ⊂平面POF ，所以BC⊥平面POF ，又PM ⊂平面POF ，所以BC PM ⊥，又BC FM O =，,BC FM ⊂平面ABC ，所以PM ⊥平面ABC ，即三棱锥−P ABC 的高为PM ，因为120POF ∠=︒，所以60POM ∠=︒，所以sin 6022PM PO =︒=⨯=，又11222ABC S AB BC =⋅=⨯⨯=△所以11333P ABC ABC V S PM −=⋅=⨯=△.（2023·全国乙卷·文·20·★）已知函数1()()ln(1)f x a x x=++.（1）当1a =−时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，求a 的取值范围. 答案：（1）()ln 2ln 20x y +−=；（2）1|2a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭. 解析：（1）当1a =−时，()()()11ln 11f x x x x ⎛⎫=−+>−⎪⎝⎭，则()()2111ln 111x f x x x x ⎛⎫'=−⨯++−⨯ ⎪+⎝⎭，据此可得()()10,1ln 2f f '==−，所以函数在()()1,1f 处的切线方程为()0ln 21y x −=−−，即()ln 2ln 20x y +−=. （2）由函数的解析式可得()()()2111=ln 111f x x a x x x x ⎛⎫⎛⎫'−+++⨯>− ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，满足题意时()0f x '≥在区间()0,∞+上恒成立. 令()2111ln 101x a x x x ⎛⎫⎛⎫−+++≥ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，则()()()21ln 10x x x ax −++++≥，令()()()2=1ln 1g x ax x x x +−++，原问题等价于()0g x ≥在区间()0,∞+上恒成立，则()()2ln 1g x ax x '=−+，当0a ≤时，由于()20,ln 10ax x ≤+>，故()0g x '<，()g x 在区间()0,∞+上单调递减，此时()()00g x g <=，不合题意;令()()()2ln 1h x g x ax x '==−+，则()121h x a x −'=+，当12a ≥，21a ≥时，由于111x <+，所以()()0,h x h x '>在区间()0,∞+上单调递增，即()g x '在区间()0,∞+上单调递增，所以()()>00g x g ''=，()g x 在区间()0,∞+上单调递增，()()00g x g >=，满足题意. 当102a <<时，由()1201h x a x =−=+'可得1=12x a−，当10,12x a ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭时，()()0,h x h x '<在区间10,12a ⎛⎫− ⎪⎝⎭上单调递减，即()g x '单调递减，注意到()00g '=，故当10,12x a ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭时，()()00g x g ''<=，()g x 单调递减，由于()00g =，故当10,12x a ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭时，()()00g x g <=，不合题意. 综上可知：实数a 得取值范围是1|2a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭.（2023·全国乙卷·文·21·★★★）已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=，点()2,0A −在C 上．（1）求C 的方程；（2）过点()2,3−的直线交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N ，证明：线段MN 的中点为定点．答案：（1）22194y x += （2）证明见详解解析：（1）由题意可得22223b a b c c e a ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩，解得32a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆方程为22194y x +=.（2）由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设()()()1122:23,,,,PQ y k x P x y Q x y =++，联立方程()2223194y k x y x ⎧=++⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()()()222498231630k x k k x k k +++++=，则()()()2222Δ64236449317280kk k k k k =+−++=−>，解得0k <，可得()()2121222163823,4949k k k k x x x x k k +++=−=++，因为()2,0A −，则直线()11:22y AP y x x =++，令0x =，解得1122y y x =+，即1120,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭,同理可得2220,2y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，则()()1212121222232322222y y k x k x x x x x +++++⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦=+++()()()()()()12211223223222kx k x kx k x x x +++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=++()()()()1212121224342324kx x k x x k x x x x +++++=+++()()()()()()222222323843234231084949336163162344949k k k k k k k k k k k k k k k +++−++++===++−+++，所以线段PQ 的中点是定点()0,3.【选修4-4】（10分）（2023·全国乙卷·文·22·★★★）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2sin 42ππρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，曲线2C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，2απ<<π）.（1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线y x m =+既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围．答案：（1）()[][]2211,0,1,1,2x y x y +−=∈∈ （2）()(),022,−∞+∞解析：（1）因为2sin ρθ=，即22sin ρρθ=，可得222x y y +=，整理得()2211x y +−=，表示以()0,1为圆心，半径为1的圆，又因为2cos 2sin cos sin 2,sin 2sin 1cos 2x y ======−ρθθθθρθθθ，且ππ42θ≤≤，则π2π2≤≤θ，则[][]sin 20,1,1cos 21,2x y =∈=−∈θθ，故()[][]221:11,0,1,1,2C x y x y +−=∈∈.（2）因为22cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππ2α<<），整理得224x y +=，表示圆心为()0,0O ，半径为2，且位于第二象限的圆弧，如图所示，若直线y x m =+过()1,1，则11m =+，解得0m =；若直线y x m =+，即0x y m −+=与2C相切，则20m =>⎩，解得m =，若直线y x m =+与12,C C均没有公共点，则m >或0m <，即实数m 的取值范围()(),022,−∞+∞.【选修4-5】（10分）（2023·全国乙卷·文·23·★★）已知()22f x x x =+− （1）求不等式()6x f x ≤−的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组()60f x yx y ⎧≤⎨+−≤⎩所确定的平面区域的面积．答案：（1）[2,2]−；（2）8.解析：（1）依题意，32,2()2,0232,0x x f x x x x x −>⎧⎪=+≤≤⎨⎪−+<⎩，不等式()6f x x ≤−化为：2326x x x >⎧⎨−≤−⎩或0226x x x ≤≤⎧⎨+≤−⎩或0326x x x <⎧⎨−+≤−⎩，解2326x x x >⎧⎨−≤−⎩，得无解；解0226x x x ≤≤⎧⎨+≤−⎩，得02x ≤≤，解0326x x x <⎧⎨−+≤−⎩，得20x −≤<，因此22x −≤≤，所以原不等式的解集为：[2,2]−（2）作出不等式组()60f x yx y ≤⎧⎨+−≤⎩表示的平面区域，如图中阴影ABC ，由326y xx y=−+⎧⎨+=⎩，解得(2,8)A−，由26y xx y=+⎧⎨+=⎩, 解得(2,4)C，又(0,2),(0,6)B D，所以ABC的面积11|||62||2(2)|822ABC C AS BD x x=⨯−=−⨯−−=.。

2020年全国统一高考数学试卷(文科)含答案

2020年全国统一高考数学试卷（文科）含答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x||x|＜3，x∈Z}，B＝{x||x|＞1，x∈Z}，则A∩B＝（）A．∅B．{﹣3，﹣2，2，3}C．{﹣2，0，2}D．{﹣2，2}2．（1﹣i）4＝（）A．﹣4B．4C．﹣4i D．4i3．如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12．设1≤i＜j＜k≤12．若k﹣j＝3且j﹣i＝4，则a i，a j，a k为原位大三和弦；若k﹣j＝4且j﹣i＝3，则称a i，a j，a k为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）A．5B．8C．10D．154．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A．10名B．18名C．24名D．32名5．已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（）A．B．2+C．﹣2D．2﹣6．记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，则＝（）A．2n﹣1B．2﹣21﹣n C．2﹣2n﹣1D．21﹣n﹣17．执行如图的程序框图，若输入的k＝0，a＝0，则输出的k为（）A．2B．3C．4D．58．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离为（）A．B．C．D．9．设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（）A．4B．8C．16D．3210．设函数f（x）＝x3﹣，则f（x）（）A．是奇函数，且在（0，+∞）单调递增B．是奇函数，且在（0，+∞）单调递减C．是偶函数，且在（0，+∞）单调递增D．是偶函数，且在（0，+∞）单调递减11．已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（）A．B．C．1D．12．若2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，则（）A．ln（y﹣x+1）＞0B．ln（y﹣x+1）＜0C．ln|x﹣y|＞0D．ln|x﹣y|＜0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023年全国乙卷文科高考数学试题+答案解析

绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷∙文科)数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.2+i 2+2i 3 =()A.1B.2C.5D.5【答案】C【解析】∵2+i 2+2i 3=2-2i -1=1-2i ，∴|2+i 2+2i 3|=1-2i =12+(-2)2=5，选C 。

2.设全集U ={0,1,2,4,6,8},集合M ={0,4,6},N ={0,1,6},则M ⋃C U N =()A.{0,2,4,6,8} B.{0,1,4,6,8}C.{1,2,4,6,8}D.U【答案】A【解析】∵N ={2,4,8},∴M ⋃C U N ={0,2,4,6,8}，选A.3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为()A.24B.26C.28D.30【答案】D【解析】如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2, AA 1=3,点H ,I ,J ,K 为所在棱上靠近点B 1，C 1，D 1，A 1的三等分点，O ,L ,M ,N 为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1去掉长方体ONIC 1-LMHB 1之后所得的几何体，该几何体表面积为：2×(2×2)+4×(2×3)-2×(1×1)=30，选D 。

4.在△BC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c,若acosB -bcosA =c,且C =π5，则∠B =()A.π10B.π5C.3π10D.2π5【答案】C【解析】∵sinAcosB -sinBcosA =sinC,即sinAcosB -sinBcosA =sin (A +B )=sinAcosBsinBcosA,∴sinBcosA =0,∵B ∈(0，π)，∴sinB >0,∴cosA =0,A =π2，∴B =π-A -C =3π10，选C 。

2023高考全国甲卷数学真题及答案(文数)

2023高考全国甲卷数学真题及答案(文数)2023年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题2023年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考答案学好高考数学的技巧高考数学题目的总结比较。

建立自己的题库。

多做。

主要是指做高考数学习题，学数学一定要做习题，并且应该适当地多做些。

养成好的学习习惯，做好预习，把预习没看懂的东西，第二天上课着重听。

抓住课堂。

高考数学理科学习重在平日功夫，不适于突击复习。

高质量完成作业。

所谓高质量是指高正确率和高速度。

翻译：把中文翻译成为数学语言，包括：字母表示未知数、图像表示函数式或几何题目、概率语言等等。

该方法常用于函数，几何以及不等式等题目。

特殊化：在面对抽象或者难以理解的题目的时候，我们尝试用最极端最特殊的数字来代替变量，帮助我们理解题目。

该方法常用于在选择题目中排除选项，在解大题的过程中也经常会用到特殊化的结论。

盯住目标：把高考数学目标和已知结合，联想相关的定理、定义、方法。

在压轴题目中，往往需要不断转化目标，即盯住目标需要反复使用!各省高考用卷情况1、新高考一卷(8个省份)适用省份：山东、河北、湖北、福建、湖南、广东、江苏，浙江考试科目：语文、数学、外语、物理、化学、生物、政治、历史、地理、信息技术等。

特点：语文、数学、外语三门考试由教育部考试中心统一命题;物理、历史、化学、政治、生物、地理由各省自行命题。

其中广东、福建、江苏、湖南、湖北、河北6个省是3+1+2模式的高考省份，山东省是综合改革3+3省份。

2、新高考二卷(3个省份)适用省份：海南、辽宁、重庆考试科目：语文、数学、外语、物理、化学、生物、政治、历史、地理等。

特点：语文、数学、外语三门考试由教育部考试中心统一命题;物理、历史、化学、政治、生物、地理由各省自行命题。

其中辽宁、重庆两省市是3+1+2省份，海南是综合改革3+3省份。

3、全国甲卷(5个省份)适用省份：云南、贵州、四川、西藏、广西考试科目：语文、数学、外语、文综、理综特点：语文、数学、外语、文科综合、理科综合均由教育部考试中心统一命题。

2020年全国统一高考数学试卷(文科)

【答案】B
【详解】因为直线与抛物线交于两点，且，
根据抛物线的对称性可以确定，所以，
代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，
故选：B.
8.点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（）
A. 1B. C. D. 2
【答案】B
【详解】由可知直线过定点，设，
当直线与垂直时，点到直线距离最大，
【答案】D
【解析】
【详解】因为，所以 .
故选：D
3.设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（）
A. 0.01B. 0.1C. 1D. 10
【答案】C
【详解】因为数据的方差是数据的方差的倍，
所以所求数据方差为
故选：C
4.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I( )=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（）.
【答案】A
【详解】因为，，
所以 .
故选：A.
11.在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则tanB=（）
A. B. 2 C. 4 D. 8
【答案】C
【详解】设
故选：C
12.已知函数f(x)=sinx+ ，则（）
A.f(x)的最小值为2B.f(x)的图像关于y轴对称
因为，所以，易知截距越大，则越大，
平移直线，当经过A点时截距最大，此时z最大，
由，得，，
所以 .
故答案为：7.
14.设双曲线C： (a>0，b>0)的一条渐近线为y= x，则C的离心率为_________．

全国高考文科全国卷数学试题及答案

年普通高等学校招生全国统一考试文科数学卷3注意事项：1．答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上;2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;回答非选择题时,将答案写在答题卡上;写在本试卷上无效;3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回;一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分;在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的;1．已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A B中元素的个数为A．1 B．2 C．3 D．42．复平面内表示复数(2)=-+的点位于z i iA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量单位：万人的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是 A ．月接待游客逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳4．已知4sin cos 3αα-=,则sin 2α=A ．79- B ．29- C ． 29D ．795．设,x y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,则z x y =-的取值范围是A ．-3,0B ．-3,2C ．0,2D ．0,36．函数1()sin()cos()536f x x x ππ=++-的最大值为A ．65B ．1C ．35D ．157．函数2sin 1xy x x=++的部分图像大致为 A ． B ．C ．D ．8．执行右面的程序框图,为使输出S 的值小于91,则输入的正整数N 的最小值为 A ．5 B ．4 C ．3 D ．29．已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为 A ．π B ．34π C ．2πD ．4π10．在正方体1111ABCD A B C D -中,E 为棱CD 的中点,则A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为12,A A ,且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切,则C 的离心率为A ．63B ．33C ．23D ．1312．已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点,则a =A ．12-B ．13C ．12D ．1二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分; 13．已知向量(2,3),(3,)a b m =-=,且a b ⊥,则m = .14．双曲线2221(0)9x y a a -=>的一条渐近线方程为35y x =,则a = .15．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ;已知60,3C b c ===,则A =_________;16．设函数1,0,()2,0,x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩　则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是__________;三、解答题：共70分;解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤;第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答;第22、23题为选考题,考生根据要求作答; 一必考题：共60分; 17．12分设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=.1求{}n a 的通项公式； 2求数列{}21na n +的前n 项和. 18．12分某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温单位：℃有关．如果最高气温不低于25,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20,25,需求量为300瓶；如果最高气温低于20,需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表：10,1515,2020,2525,3030,3535,40最高气温天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率;1求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；2设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y单位：元,当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率．19．12分如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD．1证明：AC⊥BD；2已知△ACD是直角三角形,AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．20．12分在直角坐标系xOy 中,曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ,B 两点,点C 的坐标为0,1.当m 变化时,解答下列问题：1能否出现AC ⊥BC 的情况说明理由；2证明过A ,B ,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 21．12分已知函数()2(1)ln 2x ax a x f x =+++． 1讨论()f x 的单调性； 2当0a <时,证明3()24f x a≤--．二选考题：共10分;请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分;22．选修4―4：坐标系与参数方程10分在直角坐标系xOy 中,直线1l 的参数方程为2,x t y kt =+⎧⎨=⎩t 为参数,直线2l 的参数方程为2,x m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩m 为参数,设1l 与2l 的交点为P ,当k 变化时,P 的轨迹为曲线C ．1写出C 的普通方程：2以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设3l：(cos sin )0ρθθ+-=,M 为3l 与C 的交点,求M 的极径．23．选修4—5：不等式选讲10分已知函数()||||f x x x =+1--2．1求不等式()f x ≥1的解集；2若不等式()f x x x m 2≥-+的解集非空,求m 的取值范围．年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考答案一、选择题1．B 2．C 3．A 4．A 5．B 6．A 7．D 8．D 9．B 10．C 11．A 12．C 二、填空题13．2 14．5 15．75° 16．1(,)4-+∞三、解答题 17．解： 1因为123(21)2n a a n a n +++-=,故当2n ≥时, 1213(23)2(1)n a a n a n -+++-=-两式相减得(21)2n n a -= 所以2(2)21n a n n =≥- 又由题设可得12a = 从而{}n a 的通项公式为221n a n =- 2记{}21na n +的前n 项和为n S 由1知21121(21)(21)2121n a n n n n n ==-++--+ 则1111112 (1335212121)n nS n n n =-+-++-=-++ 18．解：1这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,由表格数据知,最高气温低于25的频率为216360.690++=,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为2当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,若最高气温不低于25,则64504450900Y =⨯-⨯=；若最高气温位于区间20,25,则63002(450300)4450300Y =⨯+--⨯=；若最高气温低于20,则62002(450200)4450100Y =⨯+--⨯=-所以,Y 的所有可能值为900,300,-100Y 大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20的频率为3625740.890+++=,因此Y 大于零的概率的估计值为 19．解：1取AC 的中点O ,连结,DO BO ,因为AD CD =,所以AC DO ⊥又由于ABC ∆是正三角形,故BO AC ⊥从而AC ⊥平面DOB ,故AC BD ⊥2连结EO由1及题设知90ADC ∠=,所以DO AO = 在Rt AOB ∆中,222BO AO AB += 又AB BD =,所以ODABCE222222BO DO BO AO AB BD +=+==,故90DOB ∠=由题设知AEC ∆为直角三角形,所以12EO AC =又ABC ∆是正三角形,且AB BD =,所以12EO BD =故E 为BD 的中点,从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12,四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12,即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1:120．解：1不能出现AC BC ⊥的情况,理由如下：设12(,0),(,0)A x B x ,则12,x x 满足220x mx +-=,所以122x x =- 又C 的坐标为0,1,故AC 的斜率与BC 的斜率之积为121112x x --⋅=-,所以不能出现AC BC ⊥的情况 2BC 的中点坐标为21(,)22x ,可得BC 的中垂线方程为221()22x y x x -=- 由1可得12x x m +=-,所以AB 的中垂线方程为2mx =-联立22,21()22m x x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩又22220x mx +-=,可得,212m x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以过A,B,C 三点的圆的圆心坐标为1(,)22m --,半径2r =故圆在y轴上截得的弦长为3=,即过A,B,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值; 21．解：1fx 的定义域为(0,)+∞,1(1)(21)()221x ax f x ax a xx++'=+++=若0a ≥,则当(0,)x ∈+∞时,()0f x '>,故()f x 在(0,)+∞单调递增若0a <,则当1(0,)2x a ∈-时,()0f x '>；当1(,)2x a∈-+∞时,()0f x '< 故()f x 在1(0,)2a -单调递增,在1(,)2a-+∞单调递减; 2由1知,当0a <时,()f x 在12x a=-取得最大值,最大值为 111()ln()1224f a a a-=--- 所以3()24f x a ≤--等价于113ln()12244a a a---≤--,即11ln()1022a a-++≤ 设()ln 1g x x x =-+,则1()1g x x '=- 当(0,1)x ∈时,()0g x '>；当(1,)x ∈+∞,()0g x '<; 所以()g x 在0,1单调递增,在(1,)+∞单调递减; 故当1x =时,()g x 取得最大值,最大值为(1)0g = 所以当0x >时,()0g x ≤从而当0a <时,11ln()1022a a -++≤,即3()24f x a≤-- 22．解： 1消去参数t 得1l 的普通方程1:(2)l y k x =-；消去参数m t 得2l 的普通方程21:(2)l y x k=+ 设(,)P x y ,由题设得(2),1(2).y k x y x k =-⎧⎪⎨=+⎪⎩消去k 得224(0)x y y -=≠ 所以C 的普通方程为224(0)x y y -=≠2C 的极坐标方程为222(cos sin )4(22,)ρθθθπθπ-=<<≠联立222(cos sin )4,(cos sin )0ρθθρθθ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩得cos sin 2(cos sin )θθθθ-=+ 故1tan 3θ=-,从而2291cos ,sin 1010θθ== 代入222(cos sin )4ρθθ-=得25ρ=,所以交点M23．解：13,1,()21,12,3,2x f x x x x -<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪>⎩当1x <-时,()1f x ≥无解；当12x -≤≤时,由()1f x ≥得,211x -≥,解得12x ≤≤；当2x >时,由()1f x ≥解得2x >所以()1f x ≥的解集为{|1}x x ≥2由2()f x x x m ≥-+得2|1||2|m x x x x ≤+---+,而 22|1||2|||1||2||x x x x x x x x +---+≤++--+235(||)24x =--+5 4≤且当32x=时,25|1||2|4x x x x+---+=故m的取值范围为5 (,]4 -∞。

2022年全国高考真题-数学(文科)-甲卷(含答案)

2022年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）数学（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合5{2,1,0,1,2},02A B xx ⎧⎫=--=<⎨⎬⎩⎭∣，则A B =（） A ．{}0,1,2 B ．{2,1,0}-- C ．{0,1} D ．{1,2}2．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（）A ．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B ．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C ．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D ．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 3．若1i z =+．则|i 3|z z +=（）A ．5B ．42C ．5D ．224．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）A ．8B ．12C ．16D ．205．将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（） A ．16 B ．14 C ．13 D ．126，从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）A ．15 B ．13 C ．25 D ．237．函数()()33cos x x f x x -=-在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．8．当1x =时，函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-，则(2)f '=（） A ．1- B ．12- C ．12D ．19．在长方体1111ABCD A B C D -中，已知1B D 与平面ABCD 和平面11AA B B 所成的角均为30︒，则（）A ．2AB AD = B ．AB 与平面11ABCD 所成的角为30︒ C ．1AC CB = D ．1B D 与平面11BB C C 所成的角为45︒10．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S 甲和S 乙，体积分别为V 甲和V 乙．若=2S S 甲乙，则=V V 甲乙（） A 5 B ．22 C 10 D 51011．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（）A ．2211816x y += B ．22198x y += C ．22132x y += D ．2212x y += 12．已知910,1011,89mmma b ==-=-，则（）A ．0a b >>B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a >>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024全国高考甲卷文科数学试题及答案

2024 年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷文科数学使用范围: 陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川注意事项:1.答题前, 务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时, 必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦擦干净后, 再选涂其它答案标号.3.答非选择题时, 必须使用 0.5 毫米黑色签字笔, 将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答, 在试题卷上答题无效.5.考试结束后, 只将答题卡交回.一、选择题: 本题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1.集合A={1,2,3,4,5,9},B={x∣x+1∈A}, 则A∩B=( )(A) {1,2,3,4}(B) {1,2,3,4}(C) {1,2,3,4}(D) {1,2,3,4}【参考答案】A【详细解析】因为A={1,2,3,4,5,9},B={x∣x+1∈A}={0,1,2,3,4,8}, 所以A∩B= {1,2,3,4}, 故选(A).2. 设z=√2i, 则z⋅z‾=( )(A) 2(B) 2(C) 2(D) 2【参考答案】D【详细解析】因为z=√2i, 所以z⋅z‾=2, 故选(D).3.若实数x,y满足约束条件(略), 则z=x−5y的最小值为 ( )(A)5(B) 12(C) -2(D) −72【参考答案】D【详细解析】将约束条件两两联立可得 3 个交点: (0,−1)、(32,1)和(3,12), 经检验都符合约束条件. 代入目标函数可得: z min=−72, 故选(D).4.等差数列{a n}的前n项和为S n, 若S9=1,a3+a7=( )(A) -2(B) 73(C) 1(D) 29【参考答案】D【详细解析】令d=0, 则S9=9a n=1,a n=19,a3+a7=29, 故选(D).5.甲、乙、丙、丁四人排成一列, 丙不在排头, 且甲或乙在排尾的概率是( ）(A) 14(B) 13(C) 12(D) 23【详细解析】甲、乙、丙、丁四人排成一列共有 24 种可能. 丙不在排头, 且甲或乙在排尾的共有 8 种可能, P=824=13, 故选(B).6. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(0, 4)、F2(0,−4), 且经过点P(−6,4), 则双曲线C的离心率是( ) (A) 135(B) 137(C) 2(D) 3【参考答案】C【详细解析】e=c=|F1F2|a=2, 故选(C).7.曲线f(x)=x6+3x在(0,−1)处的切线与坐标轴围成的面积为 ((A) 1(B)3 2(C) 12(D) √3 2【参考答案】A【详细解析】因为y′=6x5+3, 所以k=3,y=3x−1,S=12×13×1=16, 故选(A).8.函数f(x)=−x2+(e x−e−x)sin x的大致图像为 ( ) 【参考答案】B【详细解析】选(B).9.已知cos αcos α−sin α=13, 则tan (α+π4)=( )(A) 3(B) 2√3−1(C) -3(D) 13【参考答案】B【详细解析】因为cos αcos α−sin α=√3, 所以tan α=1−√33,tan (α+π4)=tan α+11−tan α=2√3−1, 故选(B).10.直线过圆心, 直径【参考答案】直径【详细解析】直线过圆心, 直径.11.已知已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面: (1)若m⊥α,n⊥α, 则m//n; (2)若α∩β=m,m//n, 则n//β; (3)若m//α,n//α,m与n可能异面, 也可能相交, 也可能平行; (4)若α∩β=m,n与α和β所成的角相等, 则m⊥n, 以上命题是真命题的是( )(A)(1)(3)(B)(2)(3)(C)(1)(2)(3)(D)(1)(3)(4)【参考答案】A【详细解析】选(A).12.在△ABC中, 内角A,B,C所对边分别为a,b,c, 若B=π3, b2=94ac, 则sin A+sin C=( )(A)23913(B) √3913 (C) 72(D)3√1313【参考答案】C【详细解析】因为 B =π3,b 2=94ac , 所以 sin A sin C =49sin 2 B =13. 由余弦定理可得: b 2=a 2+c 2 −ac =94ac , 即: a 2+c 2=134ac,sin 2 A +sin 2 C =134sin A sin C =1312, 所以 (sin A +sin C)2=sin 2A +sin 2C +2sin A sin C =74,sin A +sin C =√72, 故选(C).二、填空题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分.13.略14. 函数 f(x)=sin x −√3cos x 在 [0,π] 上的最大值是【参考答案】2【详细解析】 f(x)=sin x −√3cos x =2sin (x −π3)⩽2, 当且仅当 x =5π6时取等号. 15. 已知 a >1,1log8a−1log a4=−52, 则 a = . 【参考答案】 64【详细解析】因为 1log8a−1loga4=3log 2a−12log 2 a =−52, 所以 (log 2 a +1)(log 2 a −6)=0, 而 a >1,故 log 2 a =6,a =64.16. 曲线 y =x 3−3x 与 y =−(x −1)2+a 在 (0,+∞) 上有两个不同的交点, 则 a 的取值范围为 .【参考答案】 (−2,1)【详细解析】令 x 3−3x =−(x −1)2+a , 则 a =x 3−3x +(x −1)2, 设 φ(x)=x 3−3x +(x −1)2,φ′(x) =(3x +5)(x −1),φ(x) 在 (1,+∞) 上递增, 在 (0,1) 上递减. 因为曲线 y =x 3−3x 与 y =−(x −1)2+a 在 (0,+∞) 上有两个不同的交点, φ(0)=1,φ(1)=−2, 所以 a 的取值范围为 (−2, 1).三、解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 第 17 题第 21 题为必考题, 每个考题考生必须作答. 第 22、23 题为选考题, 考生根据要求作答.(一)必考题: 共 60 分.17.(12 分)已知等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 且 2S n =3a n+1−3. (1)求 {a n } 的通项公式; (2)求数列 {S n } 的通项公式. 【参考答案】见解析.【详细解析】(1)因为 2S n =3a n+1−3, 所以 2S n+1=3a n+2−3, 两式相减可得: 2a n+1=3a n+2− 3a n+1, 即: 3a n+2=5a n+1, 所以等比数列 {a n } 的公比 q =53, 又因为 2S 1=3a 2−3=5a 1−3, 所以 a 1=1,a n =(53)n−1;(2) 因为 2S n =3a n+1−3, 所以 S n =32(a n+1−1)=32[(53)n−1].18.(12 分)题干略. 【详细解析】(1) χ2=150(70×24−26×30)296×54×50×100<6.635, 没有 99% 的把握;(2) p ‾>p +1.65√p(1−p)150, 故有优化提升. 19.(12 分)如图, 已知 AB//CD,CD//EF,AB =DE =EF =CF =2, CD =4,AD =BC =√10,AE =2√3,M 为 CD 的中点. (1)证明: EM// 平面 BCF ; (2)求点 M 到 ADE 的距离.【参考答案】见解析【详细解析】(1)由题意: EF//CM,EF =CM , 而 CF 平面 ADO,EM ⊈ 平面 ADO , 所以 EM //平面BCF;(2)取DM的中点O, 连结OA,OE, 则OA⊥DM,OE⊥DM,OA=3,OE=√3, 而AE=2√3,故OA⊥OE,S△AOE=2√33. 因为DE=2,AD=√10, 所以AD⊥DE,S△AOE=√10.DM设点M到平面ADE的距离为ℎ, 所以V M−ADE=13S△ADE⋅ℎ=13S△AOE⋅DM,ℎ=4√3√10=2√305, 故点M到ADE的距离为2√30 5.20.(12 分) 已知函数f(x)=a(x−1)−ln x+1.(1)求f(x)的单调区间; ◻(2)若a⩽2时, 证明: 当x>1时, f(x)<e x−1恒成立. 【参考答案】见解析若a⩽0,f′(x)<0,f(x)的减区间为(0,+∞), 无增区间;若a>0时, 当0<x<1a 时, f′(x)<0, 当x>1a时, f′(x)>0, 所以f(x)的减区间为(0,1a ), 增区间为(1a,+∞);(2)因为a⩽2, 所以当x>1时, e x−1−f(x)=e x−1−a(x−1)+ln x−1⩾e x−1−2x+ ln x+1. 令g(x)=e x−1−2x+ln x+1, 则g′(x)=e x−1−2+1x. 令ℎ(x)=g′(x), 则ℎ′(x)=e x−1−1x2在(1,+∞)上递增, ℎ′(x)>ℎ′(1)=0, 所以ℎ(x)=g′(x)在(1,+∞)上递增, g′(x)>g′(1)=0, 故g(x)在(1,+∞)上递增, g(x)>g(1)=0, 即: 当x>1时, f(x)< e x−1恒成立.21.(12 分) 已知粗圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F, 点M(1, 32在椭圆C上, 且MF⊥x轴.(1)求椭圆C的方程;(2) P(4,0), 过P的直线与椭圆C交于A,B两点, N为FP的中点, 直线NB与MF交于Q,证明: AQ⊥y轴.【参考答案】见解析【详细解析】(1)设椭圆C的左焦点为F1, 则|F1F|=2,|MF|=32. 因为MF⊥x轴, 所以∣MF1=52,2a=|MF1|+|MF|=4, 解得: a2=4,b2=a2−1=3, 故椭圆C的方程为: x24+y 23=1;{3x 12+4y 12=123(λx 2)2+4(λy 2)2=12λ2可得: 3⋅x 1+λx 21+λ⋅x 1−λx 21−λ+4⋅y 1+λy 21+λ⋅y 1−λy 21−λ=12, 结合上式可得: 5λ− 2λx 2+3=0.P(4,0),F(1,0),N (52,0), 则 y Q =3y 25−2x 2=3λy 25λ−2λx 2=−λy 2=y 1, 故AQ ⊥y 轴.x 2y 1)(x 1y 2+x 2y 1)=x 12y 22−x 22y 12=(4+4y 123)y 22−(4+4y 223)y 12=4(y 2−y 1)(y 2+y 1)=4(y 2−y 1)(x 1y 2+x 2y 1),即: x 1y 2+x 2y 1=y 2+y 1,2x 2y 1=5y 1−3y 2.P(4,0),F(1,0),N (52,0), 则 y Q =3y 25−2x 2=3y 1y 25y1−2y 1x 2=y 1, 故 AQ ⊥y 轴.(二)选考题: 共 10 分. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答, 并用 2B 铅笔将所选题号涂黑,多涂、错涂、漏涂均不给分, 如果多做, 则按所做的第一题计分.22.[选修 4-4: 坐标系与参数方程](10 分)在平面直角坐标系 xOy 中, 以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C 的极坐标方程为 ρ= ρcos θ+1. (1)写出 C 的直角坐标方程;(2)直线 {x =ty =t +a (t 为参数)与曲线 C 交于 A 、B 两点, 若 |AB|=2, 求 a 的值.【参考答案】见解析【详细解析】(1)因为 ρ=ρcos θ+1, 所以 ρ2=(ρcos θ+1)2, 故 C 的直角坐标方程为: x 2+y 2=(x +1)2, 即: y 2=2x +1; ◻(2) 将 {x =ty =t +a 代入 y 2=2x +1 可得: t 2+2(a −1)t +a 2−1=0,|AB|=√2|t 1−t 2|=√16(1−a)=2,解得: a =34.[选修 4-5: 不等式选讲](10 分)实数 a,b 满足 a +b ⩾3. (1)证明: 2a 2+2b 2>a +b ;(2)证明: |a−2b2|+|b−2a2|⩾6.【解析】(1)因为a+b⩾3, 所以2a2+2b2⩾(a+b)2>a+b;(2) |a−2b2|+|b−2a2|⩾|a−2b2+b−2a2|=|2a2+2b2−(a+b)|=2a2+2b2−(a+b)⩾(a+b)2−(a+b)=(a+b)(a+b−1)⩾6.。

2022年全国统一高考数学试卷和答案(文科)(乙卷)

2022年全国统一高考数学试卷和答案（文科）（乙卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）集合M＝{2，4，6，8，10}，N＝{x|﹣1＜x＜6}，则M∩N＝（）A．{2，4}B．{2，4，6}C．{2，4，6，8}D．{2，4，6，8，10}2．（5分）设（1+2i）a+b＝2i，其中a，b为实数，则（）A．a＝1，b＝﹣1B．a＝1，b＝1C．a＝﹣1，b ＝1D．a＝﹣1，b＝﹣13．（5分）已知向量＝（2，1），＝（﹣2，4），则|﹣|＝（）A．2B．3C．4D．54．（5分）分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如图茎叶图：则下列结论中错误的是（）A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6 5．（5分）若x，y满足约束条件则z＝2x﹣y的最大值是（）A．﹣2B．4C．8D．126．（5分）设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B（3，0），若|AF|＝|BF|，则|AB|＝（）A．2B．2C．3D．37．（5分）执行如图的程序框图，输出的n＝（）A．3B．4C．5D．68．（5分）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[﹣3，3]的大致图像，则该函数是（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝9．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则（）A．平面B1EF⊥平面BDD1B．平面B1EF⊥平面A1BDC．平面B1EF∥平面A1AC D．平面B1EF∥平面A1C1D 10．（5分）已知等比数列{a n}的前3项和为168，a2﹣a5＝42，则a6＝（）A．14B．12C．6D．311．（5分）函数f（x）＝cosx+（x+1）sinx+1在区间[0，2π]的最小值、最大值分别为（）A．﹣，B．﹣，C．﹣，+2D．﹣，+2 12．（5分）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023年全国统一高考数学试卷(文科)(乙卷)(解析版)

2023年全国统一高考数学试卷（文科）（乙卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）|2+i2+2i3|＝（）A．1B．2C．D．5【答案】C【解答】解：由于|2+i2+2i3|＝|1﹣2i|＝．故选：C．2．（5分）设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪∁U N ＝（）A．{0，2，4，6，8}B．{0，1，4，6，8}C．{1，2，4，6，8}D．U【答案】A【解答】解：由于∁U N＝{2，4，8}，所以M∪∁U N＝{0，2，4，6，8}．故选：A．3．（5分）如图，网格纸上绘制的是一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（）A．24B．26C．28D．30【答案】D【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体是由两个直四棱柱组成的几何体．如图所示：故该几何体的表面积为：4+6+5+5+2+2+2+4＝30．故选：D．4．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a cos B﹣b cos A＝c，且C＝，则∠B＝（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由a cos B﹣b cos A＝c得sin A cos B﹣sin B cos A＝sin C，得sin（A﹣B）＝sin C＝sin（A+B），即sin A cos B﹣sin B cos A＝sin A cos B+sin B cos A，即2sin B cos A＝0，得sin B cos A＝0，在△ABC中，sin B≠0，∴cos A＝0，即A＝，则B＝π﹣A﹣C＝＝．故选：C．5．（5分）已知f（x）＝是偶函数，则a＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【答案】D【解答】解：∵f（x）＝的定义域为{x|x≠0}，又f（x）为偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），∴，∴，∴ax﹣x＝x，∴a＝2．故选：D．6．（5分）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则•＝（）A．B．3C．2D．5【答案】B【解答】解：正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，所以＝﹣1，，，＝2×2＝4，则•＝（）•（）＝+++＝﹣1+0+0+4＝3．故选：B．7．（5分）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域{（x，y）|1≤x2+y2≤4}内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：如图，PQ为第一象限与第三象限的角平分线，根据题意可得构成A的区域为圆环，而直线OA的倾斜角不大于的点A构成的区域为图中阴影部分，∴所求概率为＝．故选：C．8．（5分）函数f（x）＝x3+ax+2存在3个零点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣3）C．（﹣4，﹣1）D．（﹣3，0）【答案】B【解答】解：f′（x）＝3x2+a，若函数f（x）＝x3+ax+2存在3个零点，则f′（x）＝3x2+a＝0，有两个不同的根，且极大值大于0极小值小于0，即判别式Δ＝0﹣12a＞0，得a＜0，由f′（x）＞0得x＞或x＜﹣，此时f（x）单调递增，由f′（x）＜0得﹣＜x＜，此时f（x）单调递减，即当x＝﹣时，函数f（x）取得极大值，当x＝时，f（x）取得极小值，则f（﹣）＞0，f（）＜0，即﹣（﹣+a）+2＞0，且（﹣+a）+2＜0，即﹣×+2＞0，①，且×+2＜0，②，则①恒成立，由×+2＜0，2＜﹣×，平方得4＜﹣×，即a3＜﹣27，则a＜﹣3，综上a＜﹣3，即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3）．故选：B．9．（5分）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，甲、乙两位参赛同学构成的基本事件总数n＝6×6＝36，其中甲、乙两位参赛同学抽到不同主题包含的基本事件个数m＝＝30，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为P＝＝＝．故选：A．10．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）在区间（，）单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f（x）的图像的两条对称轴，则f（﹣）＝（）A．﹣B．﹣C．D．【答案】D【解答】解：根据题意可知＝，∴T＝π，取ω＞0，∴ω＝＝2，又根据“五点法“可得，k∈Z，∴φ＝，k∈Z，∴f（x）＝sin（2x）＝sin（2x﹣），∴f（﹣）＝sin（﹣）＝sin（﹣）＝sin＝．故选：D．11．（5分）已知实数x，y满足x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0，则x﹣y的最大值是（）A．1+B．4C．1+3D．7【答案】C【解答】解：根据题意，x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9，其几何意义是以（2，1）为圆心，半径为3的圆，设z＝x﹣y，变形可得x﹣y﹣z＝0，其几何意义为直线x﹣y﹣z＝0，直线y＝x﹣z与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9有公共点，则有≤3，解可得1﹣3≤z≤1+3，故x﹣y的最大值为1+3．故选：C．12．（5分）设A，B为双曲线x2﹣＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（）A．（1，1）B．（﹣1，2）C．（1，3）D．（﹣1，﹣4）【答案】D【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为（x0，y0），，①﹣②得k AB＝＝9×＝9×，即﹣3＜9×＜3⇒，即或，故A、B、C错误，D正确．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅲ)(含解析版)

整理得 ,因为 ,所以 ,
【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算,以及等差数列求和公式的应用,考查计算求解能力,属于基础题目.
18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次
空气质量等级
[0,200]
(200,400]
一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 , ,则A∩B中元素的个数为（）
A.2B.3C.4D.5
【答案】B
【解析】
【分析】
采用列举法列举出中元素的即可.
【详解】由题意, ,故中元素的个数为3.
故选：B
【点晴】本题主要考查集合交集运算,考查学生对交集定义的理解,是一道容易题.
【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球,球与圆锥内切时的轴截面如图所示,
其中 ,且点M为BC边上的中点,
设内切圆的圆心为 ,
由于 ,故 ,
设内切圆半径为 ,则：
,
解得： ,其体积： .
故答案为： .
【点睛】与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接．解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.
2.若 ,则z=（）
A. 1–iB. 1+iC. –iD.i
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用除法运算求得 ,再利用共轭复数的概念得到即可.
【详解】因为 ,所以 .