等比数列求和公式及性质 (1)
等比数列 求和公式
等比数列求和公式
【实用版】
目录
1.等比数列的定义和性质
2.等比数列求和公式的推导
3.等比数列求和公式的应用举例
4.总结
正文
1.等比数列的定义和性质
等比数列是指一个数列，其中每一项与它前面的项的比相等。
这个常量比被称为等比数列的公比。
等比数列的通项公式为：an=a1*q^(n-1)，其中 an 表示第 n 项，a1 表示第一项，q 表示公比，n 表示项数。
2.等比数列求和公式的推导
等比数列求和公式是指求解等比数列前 n 项和的公式。
为了推导这个公式，我们可以利用等比数列的通项公式，将前 n 项和表示为：
S_n=a1*(1-q^n)/(1-q)。
这个公式即为等比数列求和公式。
3.等比数列求和公式的应用举例
例如，假设有一个等比数列：1, 2, 4, 8,...，其公比为 2。
我们可以使用等比数列求和公式计算前 10 项的和。
首先，将 a1=1，q=2，n=10 代入公式：S_10=1*(1-2^10)/(1-2)=1*(-1023)/(-1)=1023。
所以，这个等比数列前 10 项的和为 1023。
4.总结
等比数列求和公式是求解等比数列前 n 项和的公式，它可以通过等比数列的通项公式推导得出。
等比数列求和公式有哪些
等比数列求和公式有哪些等比数列是数学中的一种常见数列，其中每个项都与前一项的比值相等。
求等比数列的和是数学中的基础问题，对于等比数列的求和，常用以下两个公式：1. 等比数列前n项和公式：等比数列的前n项和记作Sn，公式为：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)其中，a为等比数列的首项，r为等比数列的公比，n为等比数列的项数。
2. 等比数列无穷项和公式：等比数列的无穷项和记作S∞，公式为：S∞ = a / (1 - r)其中，a为等比数列的首项，r为等比数列的公比。
当公比r的绝对值小于1时，等比数列的无穷项和存在。
这两个公式是求等比数列和的基本公式，可以用来计算等比数列的和。
下面将通过例子来说明这两个公式的使用。
例1：已知等比数列的首项a为2，公比r为3，求该等比数列的前5项和Sn和无穷项和S∞。
解：根据等比数列前n项和公式，代入已知条件，可得：Sn = 2 * (1 - 3^5) / (1 - 3)= 2 * (1 - 243) / (-2)= 2 * (-242) / (-2)= 242根据等比数列无穷项和公式，代入已知条件，可得：S∞ = 2 / (1 - 3)= 2 / (-2)= -1所以，该等比数列的前5项和Sn为242，无穷项和S∞为-1。
例2：已知等比数列的首项a为5，公比r为0.5，求该等比数列的前10项和Sn和无穷项和S∞。
解：根据等比数列前n项和公式，代入已知条件，可得：Sn = 5 * (1 - 0.5^10) / (1 - 0.5)= 5 * (1 - 0.0009766) / (0.5)= 5 * (0.9990234) / (0.5)= 9.990234根据等比数列无穷项和公式，代入已知条件，可得：S∞ = 5 / (1 - 0.5)= 5 / (0.5)= 10所以，该等比数列的前10项和Sn为9.990234，无穷项和S∞为10。
通过以上例子可以看出，等比数列的求和公式能够方便地计算等比数列的和。
等比数列的基本性质与求和公式
等比数列的基本性质与求和公式等比数列是数学中常见的一种数列，它的前后两项的比值始终保持不变。
等比数列具有许多重要的性质和求和公式，本文将对这些性质和公式进行详细介绍与解析。
一、等比数列的基本性质等比数列的基本性质包括公比、通项公式以及前n项和的公式。
1. 公比公比是等比数列中相邻两项的比值，通常用字母q表示。
对于等比数列{a1, a2, a3, ...}，公比q = a2/a1 = a3/a2 = ...。
公比q可以是正数、负数或零。
2. 通项公式等比数列的通项公式是指根据数列的首项和公比，可以得到任意项的数值表达式。
对于等比数列{a1, a2, a3, ...}，通项公式为an = a1 *q^(n-1)，其中n表示项数，an表示第n项。
通项公式可以帮助我们方便地计算等比数列中任意一项的数值。
3. 前n项和公式等比数列的前n项和公式是指根据数列的首项、公比和项数，可以得到前n项之和的表达式。
前n项和公式为Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中Sn表示前n项和。
这个公式的推导涉及到对等比数列求和的方法，下文我们将介绍这个求和方法的详细步骤。
二、等比数列的求和公式的推导为了推导等比数列的求和公式，我们可以从以下几个步骤入手：Step 1: 假设等比数列的首项为a1，公比为q。
Step 2: 将等比数列的前n项和用Sn表示。
Step 3: 将等比数列的首项a1与公比q对齐。
Step 4: 将等比数列展开为a1, a1*q, a1*q^2, ..., a1*q^(n-1)。
Step 5: 将等比数列反向展开为a1*q^(n-1), a1*q^(n-2), ..., a1*q^2,a1*q, a1。
Step 6: 将两个等比数列按位相减，并观察相减结果的特点。
Step 7: 将相减结果与等比数列前n项和Sn相加，并观察相加结果的特点。
Step 8: 确定等比数列的前n项和公式Sn。
等比数列的性质和求和公式
等比数列的性质和求和公式等比数列是指数列中任意两项之间的比值都相等的数列。
在数学中，等比数列有自己独特的性质和求和公式，本文将详细介绍这些内容。
一、等比数列的性质1. 公比：等比数列中，任意两项之间的比值称为公比，通常用字母q表示。
公比q不为零，且常数项不为零时才能构成等比数列。
当q>1时，数列为递增的；当0<q<1时，数列为递减的。
2. 通项公式：等比数列中，第n项an与第一项a1之间存在以下关系：an = a1 * q^(n-1)3. 任意两项之比：等比数列中，第n项与第m项之间的比值可表示为：an / am = q^(n-m)4. 前n项和：等比数列的前n项和Sn可通过以下公式计算：Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)二、等比数列的求解及应用1. 求解等比数列的常见问题：a) 已知首项a1和公比q，求第n项an：根据等比数列的通项公式an = a1 * q^(n-1)，代入已知的a1和q即可求得an；b) 已知首项a1和第n项an，求公比q：将已知的an代入等比数列的通项公式an = a1 * q^(n-1)，解方程即可求得q；c) 已知首项a1、公比q和项数n，求前n项和Sn：利用等比数列的求和公式Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)，代入已知的a1、q和n即可求得Sn。
2. 等比数列的实际应用：a) 财务分析：等比数列的求和公式可以应用于财务分析中的复利计算，用于计算投资收益等问题；b) 科学研究：等比数列可以用于描述一些自然界和社会现象中的增长和衰减规律，如生物种群的繁殖、细菌的增长等；c) 工程问题：等比数列可以应用于工程问题中的增长和递减模型，如工程材料的强度、电路中的电压等。
三、案例分析假设有一个等比数列的首项a1为2，公比q为3，项数n为4，我们可以通过等比数列的性质和求和公式来计算该等比数列的一些重要性质。
首先，根据等比数列的通项公式an = a1 * q^(n-1)，可以求得该数列的各项：a2 = 2 * 3^1 = 6a3 = 2 * 3^2 = 18a4 = 2 * 3^3 = 54其次，利用等比数列的求和公式Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)，可以求得前4项和：S4 = 2 * (3^4 - 1) / (3 - 1) = 2 * (81 - 1) / 2 = 40所以，该等比数列的第4项为54，前4项和为40。
等比数列求和公式及性质
26
例6 五洲电扇厂去年实现利税300万元， 计划在5年中每年比上年利税增长10%， 问从今年起第5年的利税是多少？这5年 的总利税是多少？（结果精确到万元）
等比数列的前n项和例题
解 每年的利税组成一个首项a1 300，公比 q 110%的等比数列.
从今年起,第5年的利税为: a6 a1q5 300 (1 10%)5 300 1.15 483(万元)
2. 求等比数列 1，2，4，…从第5项到第10项的和.
解：
a1
1, q 2,
1 (1 24 )
S4 1 2 15.
S10
1 (1 210 ) 1 2
1023
.
从第5项到第10项的和: S10 S4 1023 15 1008 .
3. 求等比数列 3 , 3 , 3 , 从第3项到第7项的和.
(一) 用等比定理推导 因为 所以
当 q = 1 时 Sn = n a1 5
(二）公式推导
Sn = a1 + a2 + a3 + …….+ an-1 + an = a1 + a1q + a1q2 +…..+ a1qn-2 + a1qn-1
= a1+ q ( a1 + a1q + ….+ a1qn-3 + a1qn-2 =) a1 + q Sn-1 = a1 + q ( Sn – an )
Sn=
(a1
an 2
)n
n(n 1) Sn na1 2 d
？
问题提出
小林和小明做“贷款”游戏，规定：在一月（30天）中小明 第一天贷给小林1万元，第二天贷给小林2万元……以后每天比前 一天多贷1万元.而小林按这样方式还贷：第一天支付1分钱，第二 天还2分钱，第三天还4分钱……以后每天还的钱是前一天的2倍， 試计算30天后两人各得的钱数.
等比数列的求和
等比数列的求和在数学中，等比数列是一种常见的数列形式。
它的每一项与前一项相乘得到下一项，比如1，2，4，8，16...就是一个等比数列，其中每一项都是前一项的两倍。
求和是数学中常见的操作，而对于等比数列来说，求和也有相应的方法。
本文将详细介绍等比数列的求和公式及其应用，帮助读者更好地理解和运用这一概念。
一、等比数列的定义与性质首先，我们来了解等比数列的定义和性质。
等比数列的定义如下：定义1：若数列a₁，a₂，a₃，...，an，...的每一项与它的前一项的比相等（不为零），即a(n+1)/an=d（称为等比数列的公比），则称该数列为等比数列。
在等比数列中，每一项与它的前一项的比值为常数d，这个常数也被称为等比数列的公比。
等比数列的公比决定了数列中每一项之间的关系。
而等比数列的性质主要有以下几点：性质1：等比数列的前两项之比不为零，即a₂/a₁≠0。
性质2：等比数列的任意三项可以构成一个比例，即a₁/a₂=a₂/a₃。
性质3：等比数列的任意两项都可以构成一个等比，即an/am=a(n-m)。
性质4：等比数列中，除了首项之外，任意一项与它前一项的比值都等于公比，即a(n+1)/an=d。
通过这些性质，我们可以更好地理解等比数列的特点和规律。
二、等比数列求和公式的推导接下来，我们将推导出等比数列求和公式。
设等比数列的首项为a₁，公比为q，首项与公比都已知。
现在我们考虑等比数列的前n项和S(n)，即S(n)=a₁+a₂+...+an。
我们将这个等比数列重复放置一次，并将两个数列按位相减，得到：a₁+a₂+...+ana₁*q+a₂*q+...+an*q------------------------------(a₁+a₁*q)+(a₂+a₂*q)+...+(an+an*q)可以观察到，相邻两项之间的“相同元素”(例如a₁*a₁*q)可以相加并合并为一个公比q，这样我们得到一个新的数列：(a₁+a₁*q)+(a₂+a₂*q)+...+(an+an*q)这个新的数列中，每一项都是原数列中对应项的公比倍。
等比数列性质公式总结
等比数列性质公式总结什么是等比数列？它是一种按照一定比例递增或递减的数列，即每一项等于它的前一项乘以一个确定的常数。
等比数列的应用非常广泛，在商业经济、货币学、统计学、计算机科学、投资理财等诸多领域都有重要的作用。
因此，了解等比数列的性质与公式是分析复杂问题的基础。
本文主要从等比数列的特点、性质和公式三个方面，总结等比数列的性质与公式，帮助读者更好地掌握等比数列。
一、等比数列的特点等比数列是一种有规律的数列，其特点是每一项都等于它的前一项乘以一个确定的常数。
它的形式一般为：a1, a1q, a1q2 ,a1q3 , ... .里a1是等比数列的第一项，q是等比数列的公比，它大于0小于1或大于1小于无穷大。
二、等比数列的性质等比数列有许多性质，其中有几个比较重要，如果我们能够掌握它们，就可以更好地分析等比数列。
（1）等比数列的每一项都等于它的前一项乘以一个确定的常数；（2）等比数列的总和大于等于其最大项，反之，总和小于等于其最小项；（3）等比数列的均值的数字大小是由第一项和最后一项决定的；（4）当等比数列的公比q大于1时，其数列中的各项逐渐变大；当q等于1时，其数列中的各项保持不变；而当q小于1时，其数列中的各项逐渐变小。
三、等比数列的公式（1）等比数列的求和公式：Sn=a1(1-qn)/(1-q)（2）等比数列的求积公式：Pn=a1qn-1（3）等比数列的极限公式：Sn→∞, q<1时Sn→a1/(1-q); q>1时Sn→无穷大。
（4）等比数列的求平均数公式：M=(a1+an)/2四、等比数列的实例总结举例来说，设a1=1，q=2，我们就可以得到一个等比数列：1，2，4，8，16，…此时，利用等比数列的求和公式，我们可以求出这个等比数列前n项的和 Sn=1+2+4+…+2^(n-1)=(2^n-1)。
又比如，设a1=2，q=1/2，此时，可以得到一个等比数列：2，1，1/2，1/4，1/8，…求出其前n项的积Pn=2×1/2×1/4×…×1/2^(n-1)＝1/2^(n-1)。
等比数列的求和公式与性质
等比数列的求和公式与性质等比数列是数学中常见的一种数列形式，它的求和公式以及性质在数学问题的解决过程中非常有用。
本文将介绍等比数列的求和公式与性质。
一、等比数列的求和公式在等比数列中，后一项与前一项的比值常数称为等比数列的公比，用q表示。
若首项为a，公比为q，求和的项数为n时，等比数列的前n项和Sn可以通过以下公式计算得出：Sn = a * [(1 - q^n) / (1 - q)]该公式称为等比数列的求和公式。
其中，a表示首项，q表示公比，n表示项数。
二、等比数列求和公式的推导我们来推导等比数列求和公式的过程。
设Sn为要求的等比数列的前n项和，首项为a，公比为q。
首先，我们将等比数列的前n项与公比q相乘得到新的数列，记为qSn，即：qSn = q * [(aq) + (aq^2) + ... + (aq^n)]（式1）然后，我们将等比数列的前n项与公比q相乘后再减去等比数列本身，记为Sn - (aq)，即：Sn - aqSn = [(aq) + (aq^2) + ... + (aq^n)] - [(aq^(n+1))]（式2）对于等比数列的括号中的每一项，我们将其都乘以公比q，得到：Sn - aqSn = [(aq) + (aq^2) + ... + (aq^n)] - [(aq^(n+1))]（式3）= [(aq) + (aq^2) + ... + (aq^n) + (aq^(n+1))] - [(aq^(n+1))]（式4）我们可以看到，等比数列的求和Sn减去公比q与Sn的乘积aqSn 后，得到的结果就是等比数列的前n项与其下一项aq^(n+1)之和。
进一步整理上述式子，化简得到：Sn - aqSn = (aqSn - aq^(n+1)) - [(aq^(n+1))]（式5）Sn - aqSn = aqSn - 2aq^(n+1)+ aq^(n+1)（式6）Sn - (aqSn) = Sn - (aq^(n+1) - aqSn)（式7）括号内的(aqSn)与Sn相减，得到：Sn - (aqSn) = (Sn - aqSn)（式8）再进一步，将式2与式8相结合，消除公式中的Sn-aqSn，得到：Sn - aqSn = (Sn - aqSn) - (aq^(n+1) - aqSn)（式9）Sn - aqSn = 0 - aq^(n+1)（式10）根据等比数列的定义，Sn - aqSn可以表示为Sn - aqSn = Sn*(1-q)，代入式10中，得到：Sn*(1-q) = 0 - aq^(n+1)（式11）将式11两边的Sn移到一边，得到：Sn = a * [(1 - q^n) / (1 - q)]（式12）经过推导，我们成功地得到了等比数列的求和公式。
高中等比数列公式大全
高中等比数列公式大全高中数列公式如下：一、等比数列：a（n+1）/an=q（n∈N）。
二、通项公式：an=a1×q^（n-1）；推广式：an=am×q^（n-m）。
三、求和公式：Sn=n×a1（q=1）Sn=a1（1-q^n）/（1-q）=（a1-an ×q）/（1-q）（q≠1）（q为公比，n为项数）。
四、性质：1、若m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq。
2、在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列。
3、若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=aq^2五、“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”。
六、在等比数列中，首项a1与公比q都不为零。
注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。
等差数列的定义以及证明方法：一、定义1、如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．2、求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有还有3、公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为增数列；当d<0时，数列为递减数列；4、是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；5、证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
二、等差数列求解与证明的基本方法：1、学会运用函数与方程思想解题。
2、抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键。
3、等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个（俗称“知三求二’）。
等比数列性质怎么计算公式
等比数列性质怎么计算公式等比数列是数学中常见的一种数列，它的性质和计算公式在数学中有着重要的应用。
本文将从等比数列的性质和计算公式两个方面进行介绍。
一、等比数列的性质。
1. 公比。
等比数列中，相邻两项的比值是一个常数，这个常数就是等比数列的公比。
如果等比数列的首项是a1，公比是r，那么等比数列的第n项可以表示为an=a1r^(n-1)。
公比决定了等比数列的增长规律，当公比大于1时，数列呈现递增趋势；当公比小于1时，数列呈现递减趋势；当公比等于1时，数列的各项相等。
2. 通项公式。
等比数列的通项公式可以表示为an=a1r^(n-1)，其中an表示等比数列的第n项，a1表示等比数列的首项，r表示等比数列的公比。
通过通项公式，我们可以方便地计算等比数列的任意一项，也可以根据已知的数列项来求解等比数列的首项和公比。
3. 性质。
等比数列中，相邻两项的比值是一个常数，因此等比数列中的任意三项都可以构成一个等比数列。
此外，等比数列的前n项和可以表示为Sn=a1(r^n-1)/(r-1)，其中Sn表示等比数列的前n项和。
等比数列的前n项和公式在实际问题中有着重要的应用，可以帮助我们计算等比数列的和。
二、等比数列的计算公式。
1. 求和公式。
等比数列的前n项和可以表示为Sn=a1(r^n-1)/(r-1)，其中Sn表示等比数列的前n项和，a1表示等比数列的首项，r表示等比数列的公比。
通过求和公式，我们可以方便地计算等比数列的前n项和，从而求解实际问题中的和值。
2. 求首项和公比。
已知等比数列的前两项或者任意两项，我们可以通过求解方程组来求解等比数列的首项和公比。
假设等比数列的首项是a1，公比是r，已知的两项分别是a和b，那么我们可以列出方程组a=a1r^(n-1)和b=a1r^n，通过求解方程组来求解等比数列的首项和公比。
3. 求任意一项。
已知等比数列的首项和公比，我们可以通过等比数列的通项公式an=a1r^(n-1)来求解等比数列的任意一项。
等比数列的通项与求和公式
等比数列的通项与求和公式等比数列是数学中常见的一种数列形式，由于其特殊的规律性质，在各个领域都有广泛的应用。
本文将以等比数列的通项与求和公式为主线，探讨其定义、性质及应用等方面内容。
一、等比数列的定义等比数列是指数列中的每一项与它前一项的比值相等的数列。
通常用字母a表示首项，字母r表示公比，公比r≠0。
二、等比数列的通项公式设等比数列的首项是a，公比是r，第n项是an。
根据等比数列的定义，可得等式：an = ar^(n-1)即等比数列的通项公式为an = a × r^(n-1)。
三、等比数列的求和公式对于等比数列的求和，有两种情况要讨论。
1. 当公比r不等于1时，求和公式为：Sn = a(1 - r^n) / (1 - r)其中，Sn表示等比数列的前n项和。
2. 当公比r等于1时，求和公式为：Sn = na这是因为当r=1时，等比数列变为等差数列，其求和公式为Sn =(n/2)(a + an) = na。
四、等比数列的性质1. 等比数列的比值恒定：对于等比数列中的任意两项an和an+1，它们的比值都等于公比r，即an+1 / an = r。
2. 等比数列前n项的和与后n项的和的关系：等比数列的前n项和Sn与后n项和Sn'的关系是Sn' = Sn × r^n。
3. 等比数列的性质与对数函数的关系：等比数列与指数函数和对数函数密切相关，等比数列的通项公式可以看作是指数函数的离散形式，而求和公式则与对数函数有着密切的联系。
五、等比数列的应用等比数列在各个领域都有广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景：1. 财务分析：某企业每年的盈利额按等比数列递增或递减，通过求和公式可以计算出多年的总盈利额。
2. 投资计算：等比数列可以用来计算复利的本金增长情况，根据投资年限和年复利率，可以计算出多年后的本金总额。
3. 几何形状分析：等比数列可以用来分析几何形状中的边长、面积、体积等相关问题，如等比缩放、等比放大等。
等比数列的通项求和及其性质
等比数列通项求和及其性质1 等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数q (q ≠0)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数q 叫做等比数列的公比．2 等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 3 等比数列的通项公式及其变形 通项公式：a n ＝a 1·q n －1(a 1q ≠0)，其中a 1是首项，q 是公比．通项公式的变形：a n ＝a m ·q n －m .4 等比数列的性质①等比数列任意两项间的关系：如果n a 是等比数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公比为q ，则有m n m n q a a -=②对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则v u m n a a a a ⋅=⋅也就是：ΛΛ=⋅=⋅=⋅--23121n n n a a a a a a 。
如图所示：44448444476444344421Λn n a a n a a n n a a a a a a ⋅⋅---112,,,,,,12321 ③若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列． ④若数列{}n a 是公比不为－1的等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列,其公比为q k 。
如下图所示：44444444444844444444444764434421Λ4434421Λ444344421Λk kk k k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k 31221S 321-+-+++++++++++ 5 等比数列前n 项和公式S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1－q n )1－q (q ≠1)，na 1(q ＝1)或S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1－a n q 1－q (q ≠1)，na 1(q ＝1). 6 等比数列的单调性当q >1，a 1>0或0<q <1，a 1<0时，{a n }是递增数列；当q >1，a 1<0或0<q <1，a 1>0时，{a n }是递减数列；当q ＝1时，{a n }是常数列．7 等比数列及其前n 项和的性质设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．① 若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *.特别地，若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中p ，s ，r ∈N *.② 相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)．③ 若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n (其中b ，p ，q 是非零常数)也是等比数列．④ S m ＋n ＝S n ＋q n S m ＝S m ＋q m S n .⑤ 当q ≠－1或q ＝－1且k 为奇数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…是等比数列．⑥ 若a 1·a 2·…·a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n ，T 3n T 2n，…成等比数列． ⑦ 若数列{a n }的项数为2n ，S 偶与S 奇分别为偶数项与奇数项的和，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q .题型一 基本量运算【例1】在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则公比q 的值是( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3【例2】在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．题型二 等比数列的判定与证明【例1】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．【例2】已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2⎝⎛⎭⎫1＋1n 2a n . (1)设b n ＝a n n 2，求证：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)设c n ＝a n ＋1－2a n ，求数列{c n }的前n 项和S n .题型三 等比数列性质的应用【例1】设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18B ．－18 C.578 D.558【例2】已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1＋2a 2＝3，a 24＝4a 3a 7，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.过关练习1.已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )A ．21B ．42C ．63D ．842．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( )A ．a 1，a 3，a 9成等比数列B ．a 2，a 3，a 6成等比数列C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列3.等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( )A ．6B ．5C ．4D ．34．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝( ) A ．2B.73C.83D ．35．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{b n }中的b 3，b 4，b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)求数列{b n }的前n 项和S n .课后练习【补救练习】1．等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (n ＋1)B ．n (n －1) C.n (n ＋1)2 D.n (n －1)22.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公比q ＝2，S k ＋2－S k ＝48，则k 等于( )A ．7B ．6C ．5D ．43.数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.4.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，且对任意的n ∈N *都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.5.设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n ＋3.(1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n .6.已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数． (1)对任意实数λ，证明数列{a n }不是等比数列；(2)试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论．【巩固练习】1.已知等比数列{a n }的前n 项积记为Ⅱn ，若a 3a 4a 8＝8，则Ⅱ9＝( )A ．512B ．256C ．81D ．162．已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．3．设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．4．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.【拔高练习】1.设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( ) A.152B.314C.334D.1722.数列{a n }的首项为a 1＝1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n ，若b 10b 11＝2015110，则a 21＝______.3.已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝a 4＋6，且a 1，a 4，a 13成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．。
初中数学知识归纳等比数列的性质与求和公式
初中数学知识归纳等比数列的性质与求和公式等比数列是数学中常见的重要概念。
在初中数学学习中，我们需要理解等比数列的性质以及求和公式。
通过本文，我们将详细介绍等比数列的性质与求和公式，以帮助大家更好地掌握这一知识点。
一、等比数列的性质等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。
下面是等比数列的几个重要性质：1. 公比等比数列中，相邻两项的比值称为公比，通常用字母q表示。
公比q可以通过任意一项除以它的前一项来得到。
例如，数列2，4，8，16中，公比q=4/2=2。
2. 通项公式等比数列的通项公式可以写作an=a1⋅q^(n-1)，其中a1表示首项，q表示公比，n表示项数。
通过通项公式，我们可以轻松地计算等比数列中的任意一项。
3. 首项与末项之比在等比数列中，首项和末项之间的比值等于公比的n次方（n为项数减1）。
例如，等比数列3，6，12，24中，末项24与首项3的比值为24/3=8=2^3。
4. 前n项和等比数列前n项和的求解可以使用以下公式：Sn=a1⋅(1-q^n)/(1-q)，其中a1表示首项，q表示公比，n表示项数。
利用该公式，我们可以迅速计算出等比数列的前n项和。
二、等比数列的求和公式等比数列的求和公式是帮助我们计算等比数列前n项和的重要工具。
下面是等比数列求和公式的推导过程：考虑等比数列S=a1+a1q+a1q^2+...+a1q^(n-1)，我们可以将S与qS相减得到：S-Sq=a1-a1q^n通过因式提取，化简上式得：S(1-q)=a1(1-q^n)最后，我们得到等比数列求和公式：S=a1(1-q^n)/(1-q)三、例题解析为了更好地理解等比数列的性质与求和公式，我们来看几个例题：例题1：已知等比数列前三项分别是2、4、8，请计算该数列的前5项和。
解析：首先，我们可以计算出公比q=4/2=2。
根据等比数列求和公式，代入a1=2，q=2，n=5，我们可以得到：S=2(1-2^5)/(1-2)=-62因此，该等比数列的前5项和为-62。
等比数列公式前n项和公式性质
等比数列公式前n项和公式性质
等比数列公式前n项和公式，又叫等比级数，是一个按首项和公比构成的无穷数列的总和的表达式，它具有独特的特性和性质，下面我们就来看看它的表达式及其特性和性质。
一、等比数列前n项和公式
等比数列的前n项和的计算公式是：Sn=a1(1-rn)/(1-r)，其中，a1是等比数列的首项，r是等比数列的公比，Sn是等比数列前n项的和。
二、等比数列公式特性和性质
以上就是等比数列公式前n项和公式及它的特性和性质，希望大家能够从中有所收获。
等比数列求和公式
等比数列等比数列的通项公式等比数列求和公式(1) 等比数列：a (n+1)/an=q (n∈N)。
(2) 通项公式：an=a1×q^(n-1)；推广式：an=am×q^(n-m)；(3) 求和公式：Sn=n*a1 (q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)(q为比值，n为项数）(4)性质：①若 m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am*an=ap*aq；②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列.③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am*an=aq^2(5) "G是a、b的等比中项""G^2=ab（G ≠ 0）".(6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零.注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。
等比数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。
（1） 等比数列的通项公式 是：An=A1*q^（n－1）若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n ,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。
（2） 等比数列求和公式 ：Sn=nA1(q=1)Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=(a1-a1q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n)(前提：q≠ 1)任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
等比数列求和公式及性质
又 Sn＝a11－－aqnq＝126， 解得 q＝2 或 q＝12， 所以 q 为 2 或21.
(1)这是一类抓基础的题，要熟练记住等比数列的通项公式及前 n项和公式， 运用方程的思想，解决两个最基本的量：首项 a1 和公比 q，从而求出通项公式．在等比数列 的求和问题中，经常使用整体代换的思想．
①若共有 2n 项，则SS偶 奇＝q；
②若共有 2n＋1 项， 则 S 奇－S 偶＝a1＋1＋a2qn＋2(q≠1 且 q≠－1)．
(2)“片断和”性质：等比数列{an}中，公比为 q，前 m 项和为 Sm(Sm≠0)，则 Sm，S2m －Sm，S3m－S2m，…，Skm－S(k－1)m，…构成公比为 qm 的等比数列，即等比数列的前 m 项的 和与以后依次 m 项的和构成等比数列．
(2)在使用等比数列的前 n 项和公式时，要注意公比 q＝1 和 q≠1 两种情况的区别．
变式训练 11：数列{an}为等比数列，各项均大于 0，它的前 n 项和为 80，其中数值最大 的项为 54，前 2n 项的和为 6560，试求此数列的首项 a1 和公比 q.
解：∵S2n＞2Sn，∴q≠1.
求：Sn
解：Sn=a1+a2 + a3 +a4 + …+an
=a1+a1q +a1q2+a1q3 +…+a1qn-1
作 减
sq n=a1q a1q2 a1q3 a1qn1 a1qn
法
a a (1-q)Sn=
1-
qn
1
若：q≠1
Sn
a1(1 qn ) 1 q
若q=1, Sn na1
等比数列的性质与计算
等比数列的性质与计算等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的比值保持不变。
比如，1，2，4，8，16，32就是一个等比数列，其中的比值是2。
等比数列有一些独特的性质和计算方法。
下面我来详细介绍一下。
性质一：公比等比数列中，相邻项之间的比值称为公比，通常用字母q表示。
例如，在数列1，2，4，8，16，32中，公比q=2。
公比可以用来确定等比数列中的任意一项。
性质二：通项公式等比数列的通项公式可以表示为an = a1q^(n-1)，其中an是数列中第n项的值，a1是数列中第一项的值，q是公比。
通过这个公式，我们可以直接计算等比数列中的任意一项的值。
性质三：前n项和公式等比数列前n项和的公式可以表示为Sn = a1(1-q^n)/(1-q)，其中Sn表示前n项的和。
这个公式可以用来求解等比数列的前n项和。
性质四：性质转化对于等比数列的任意一组相邻项，将它们进行对数运算后，得到的数列是一个等差数列。
这个性质可以帮助我们在处理等比数列时，将问题转化为处理等差数列，从而简化计算步骤。
现在我们来通过一个例子来说明等比数列的计算方法。
例题：已知等比数列的首项是3，公比是2，求该等比数列的第8项的值及前8项的和。
解：首先，我们可以使用通项公式an = a1q^(n-1)来计算第8项的值：a8 = a1q^(8-1) = 3*2^7 = 3*128 = 384接下来，我们使用前n项和公式Sn = a1(1-q^n)/(1-q)来计算前8项的和：S8 = a1(1-q^8)/(1-q) = 3(1-2^8)/(1-2) = 3(1-256)/(-1) = 3*(-255) = -765所以，该等比数列的第8项的值是384，前8项的和为-765。
通过以上的例子，我们可以看到等比数列的性质与计算方法不仅能帮助我们求解特定项的值，还可以帮助我们计算前n项的和。
总结：等比数列具有公比、通项公式、前n项和公式以及性质转化等独特的性质和计算方法。
等比数列的有关概念公式与性质
等比数列的有关概念公式与性质一、知识要点：1．等比数列的概念（1）一个数列{}n a ：若满足1(n na q q a +=为常数），则数列{}n a 叫做等比数列 （2）等比数列的证明方法：定义法1(n na q q a +=为常数），其中 0,0nq a ≠≠ 或 11n n n n a a a a +-= (2)n ≥。
（3）等比中项：若,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项。
提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个 由此得非零实数,,a A b 成等比数列⇔ab A =22.等比数列主要公式（1）等比数列的通项公式：1*11()n n n a a a q q n N q-==⋅∈；（2）两项之间的关系式：mn m n q a a -= （3）前n 项的和公式为：11(1),11,1n n a q q S q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a q q q S na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩3.等比数列的性质： （1）当m n p q +=+时，则有q p n m a a a a ..=，特别地当2m n p +=时，则有2.p n m a a a =(2)若{}n a 是等比数列，且公比1q ≠-，则数列232,,n n n n n S S S S S -- ，…也是等比数列，公比n q Q=；当1q =-，且n 为偶数时，数列232,,n n n n n S S S S S --,…是常数数列各项均为0，它不是等比数列.(3)若10,1a q >>，则{}n a 为递增数列；若10,1a q <>, 则{}n a 为递减数列；若10,01a q ><< ，则{}n a 为递减数列；若10,01a q <<<, 则{}n a 为递增数列；若0q <，则{}n a 为摆动数列；若1q =，则{}n a 为常数列.(4)当1q≠时，b aq qa q qa S n n n +=-+--=1111，这里0a b +=，但0,0a b ≠≠，这是等比数列前n 项和公式特征. (5) 在等比数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S qS =偶奇；项数为奇数21n -时，1S a qS =+奇偶.1212321--=⋅⋅⋅n n n a a a a a(6)数列{}n a 既成等差数列又成等比数列，那么数列{}n a 是非零常数数列，故常数数列{}n a 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。
等比数列的性质与求和
等比数列的性质与求和等比数列是指一个数列中任意两项之间的比值相等的数列，这个比值称为公比，用字母q表示。
等比数列的性质和求和是数学中很重要的概念，有着广泛的应用。
本文将详细介绍等比数列的性质以及如何求等比数列的和。
一、等比数列的性质1. 等比数列的通项公式对于等比数列a1, a2, a3, ..., an，若公比为q，则其通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，an为第n项。
等比数列的第n项可以通过公比乘以前一项得到。
2. 等比数列的性质（1）任意两项的比值相等对于等比数列中的任意两项an和am，其中n和m为正整数且n > m，有an / am = a(n-m) / a0 = q^(n-m)，这个比值对于任意两项都是相等的。
（2）等比数列的前n项和等比数列的前n项和Sn可以通过以下公式计算：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中a1为首项，q为公比。
（3）等比数列的无穷项和当公比0 < q < 1时，等比数列的无穷项和S∞存在，并且可以通过以下公式计算：S∞ = a1 / (1 - q)。
二、求等比数列的和对于给定的等比数列，我们可以通过以下步骤求得其前n项和或无穷项和。
1. 求前n项和首先，我们需要知道等比数列的首项a1和公比q。
根据上述公式Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，可以将这些值代入公式，计算出前n项和Sn的值。
例如，假设我们有等比数列2, 4, 8, 16, ...，其中首项a1 = 2，公比q = 2。
我们要求前4项的和S4，代入公式得到S4 = 2 * (1 - 2^4) / (1 - 2)= 30。
2. 求无穷项和当需要求得等比数列的无穷项和时，我们需要先保证公比0 < q < 1，使得无穷项和存在。
然后，根据公式S∞ = a1 / (1 - q)计算即可。
例如，还是以等比数列2, 4, 8, 16, ...为例。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
求：Sn 解：Sn=a1+a2 + a3 +a4 + …+an 2 3 … a1qn-1 =a1+a1q + a1q + a1q + + q n=a1q a1q (1-q)Sn=
1 1
已知： 等比数列 { n}，
a
a q， n
1，
s
2
a1q3 a1qn1 a1qn
北师大版高中数学必修5第 一章《数列》
等差数列 定义 通项公式
等差（等比） 中项 下标和公式
等比数列
an q an 1
an－an-1=d(n≥2) an=a1+(n-1)d an=am+(n-m)d
A=
ab 2
(n≥2)
an=a1· qn-1(q≠0) an=am· qn-m
G= ab
若m+n=p+q,则 am+an=ap+aq
已知a1, q, n时
通项公式:
已知a1, q, an时
an=a1• q
n-1
等比数列的前n项和例题
例5（1） 求等比数列 的和. 1 解: a1 1, q , n 10 2
1 1 1 1， , , , 的前10项 2 4 8
1 1 1 2 S10 1 1 2
设小林30天得到的钱数T30
T30 (1 30) 30 1 2 3 30 465(万元 ) 2
设小明30天得到的钱数S 30
S30 1 2 2 2 2 （分）
2 3 29
引入新课
同学们考虑如何求出这个和？
2 3 29
S30 1 2 2 2 2 . 2 3 29 2S30 2(1 2 2 2 2 ).
1023 . 512
10
a1 (1 q n ) Sn 1 q
（2）已知等比数列{an}中，a1=2,q=3,求S3
2 （ 1- 3 ） 解（2）S 3 26 1- 3
3
例6 五洲电扇厂去年实现利税300万元， 计划在5年中每年比上年利税增长10%， 问从今年起第5年的利税是多少？这5年 的总利税是多少？（结果精确到万元）
等比数列的前n项和练习2-3
2. 求等比数列 1，2，4，…从第5项到第10项的和.
解： a1 1, q 2, 10 4 1 ( 1 2 ) 1 (1 2 ) 1023 . S4 15. S10 1 2 1 2
从第5项到第10项的和: S S 102315 1008 . 10 4 3 3 3 , , , 从第3项到第7项的和. 3. 求等比数列 2 4 8 7 3 1 1 3 1 2 解： a1 , q , S 2 381. 7 2 2 1 128 1 2 3 3 381 9 153 从第3项到第7项的和: S7 .
= a1 + q Sn-1 = a1 + q ( Sn – an )
Sn =
a1 ( 1 – q n ) 1–q
7
(q 1)
等比数列前n项求和公式
na1 , (q 1), na1 , (q 1) n S 于是 n a1 a1q S n a1 an q 1 q , (q 1). 1 q , (q 1).
( a1 an ) n Sn= 2 n( n 1) S n na1 d 2
若m+n=p+q, 则aman=apaq
Sn
？
问题提出
小林和小明做“贷款”游戏，规定：在一月（30天）中小明 第一天贷给小林1万元，第二天贷给小林2万元……以后每天比前 一天多贷1万元.而小林按这样方式还贷：第一天支付1分钱，第二 天还2分钱，第三天还4分钱……以后每天还的钱是前一天的2倍， 試计算30天后两人各得的钱数.
S5
(2)a1 2.4, q 1.5, n 5;
3 (1 26 ) S6 189. 1 2
1 ( 4) a1 2.7, q , n 6. 3
1 1 2
Hale Waihona Puke 2.6 1 2.7 1 3 91 . S6 40 1 1 3
若q=1, ∴ Sn=
作 减 法
a -a qn
n
Sn na1
1
若：q≠1
a1 (1 q ) Sn 1 q
{
a (1-q )
n
n· a1
1-q
(q=1)
(q=1)
(一) 用等比定理推导 因为 所以
当 q = 1 时 Sn = n a1
6
(二）公式推导
Sn = a1 + a2 + a3 + …….+ an-1 + an = a1 + a1q + a1q2 +…..+ a1qn-2 + a1qn-1 = a1+ q ( a1 + a1q + ….+ a1qn-3 + a1qn-2 )
5 5
等比数列的前n项和练习1 1. 根据下列条件，求相应的等比数列 an 的 S n
(1)a1 3, q 2, n 6;
2.4 [1 (1.5)5 ] 33 S5 . 1 (1.5) 4 1 5 1 (3) a1 8, q , n 5; 8 1 2 2 31
等比数列的前n项和例题
解 每年的利税组成一个首项a1 300，公比 q 1 10%的等比数列.
从今年起,第5年的利税为:
5 a6 a1q5 300 (1 10%) 300 1.15 483(万元)
这5年的总利润为:
a2(q 1) 1.1 1 S 300 1.1 2015(万元) q 1 1.1 1
2 3
这种求和 的方法,就 是错位相 (1) 减法!
30 S30 1 2 S 2 1 1073741823 分
30 30
即2S30 2 2 2 S30 2S30 1 230
2 2 .
29 30
(2)
≈1073.741万元
等比数列前n项求和公式