7.二倍角的三角函数(2)

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二倍角的正弦余弦正切公式

cos2α＝cos2α－sin2α
(C2 α)
tan tan
∵ tan(α + β)＝ 1 tan tan
∴ 当α＝β时, tan2α ＝
tan
2

2 tan 1 tan2
.
(T2 α )
利用sin2α+cos2α=1, 公式C2α还可以变形为： cos2α=2cos2α–1=1 –2sin2α.
引例
把下列各式化为一个角的三角函数形式
(1) 3 sin 1 cos
(2)s2in

2
cos
(3)a sin x b cos x
化asin x bcos x 为一个角的三角
函数形式
asin x bcos x
a2

b2

a
sin x
a2 b2
a
令

况，还可以运用于诸如将4α 作为2α 的2倍，将
α 作为的2倍，将 α 作为的2倍，将3α 作为3
2
的2倍等等.
2
4
2
例1.已知sinα ＝ 5 ，α ∈( ,π )，求sin2α ，
cos2α ，tan2α 的1值3 .
2
解：∵sinα＝ 5 ，α∈（ , π ),
13
2
∴cosα ＝－ 1 sin2 1 ( 5 )2 12.
3
2
例3 利用三角公式化简 sin 50 (1 3 tan10 ).
例4 若sin( ) 1 ,求sin( 2 ).
解：（2

）6（
3
2）

6

三角函数二倍角公式大全

三角函数二倍角公式大全三角函数的二倍角公式是一组与角的两倍相关的方程，我们可以通过这些公式来计算角的两倍的正弦、余弦和正切值。

以下是常见的三角函数的二倍角公式：正弦的二倍角公式：sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)余弦的二倍角公式：cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ) = 2cos²(θ) - 1 = 1 -2sin²(θ)正切的二倍角公式：tan(2θ) = (2tan(θ))/(1 - tan²(θ))割的二倍角公式：sec(2θ) = (1 + tan²(θ))/(1 - tan²(θ))余割的二倍角公式：csc(2θ) = (1 + cot²(θ))/(1 - cot²(θ))这些公式可以通过基本的三角函数公式和三角恒等式推导得出。

下面我们将逐个证明这些公式。

1.正弦的二倍角公式：我们知道sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)当α和β相等时sin(2θ) = sin(θ + θ) = sin(θ)cos(θ) + cos(θ)sin(θ) = 2sin(θ)cos(θ)2.余弦的二倍角公式：正弦的平方加上余弦的平方等于1，即sin²(θ) + cos²(θ) = 1、将sin²(θ)替换为1 - cos²(θ)得到cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ)又可以推导得到cos(θ + θ)，然后用cos(θ)替换掉其中的一项：cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ) = cos²(θ) - (1 - cos²(θ)) = 2cos²(θ) - 13.正切的二倍角公式：tan(α + β) = (tan(α) + tan(β))/(1 - tan(α)tan(β))当α和β相等时tan(2θ) = tan(θ + θ) = (tan(θ) + tan(θ))/(1 - tan²(θ)) = 2tan(θ)/(1 - tan²(θ))4.割的二倍角公式：割(α+β)=(割(α)割(β))/(割(α)+割(β))当α和β相等时sec(2θ) = sec(θ + θ) = (sec(θ)sec(θ))/(sec(θ) +sec(θ)) = (1 + tan²(θ))/(1 - tan²(θ))5.余割的二倍角公式：余割(α+β)=(余割(α)余割(β))/(余割(α)+余割(β))当α和β相等时csc(2θ) = csc(θ + θ) = (csc(θ)csc(θ))/(csc(θ) +csc(θ)) = (1 + cot²(θ))/(1 - cot²(θ))这些二倍角公式在解决一些三角函数问题时非常有用。

二倍角的三角函数公式课件-2022-2023学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册

9
4
＝
−(2×25−1)×(−5)
3
5
28
＝− 75.
高中数学
必修第二册
北师大版
sin
sin 2+2sin2 sin 2+2sin cos · cos
（方法2） 1−tan ＝
＝sin
1−tan
17π
∵ 12 < <
π
7π
5π
，∴
4
3
1+tan
π
π
2 · 1−tan ＝−cos( 2 + 2)tan( 4 + ).①
1
8
1
8
1
8
＝ cos 70°·cos 10°·cos 50°＝ cos 10°cos 50°cos 70°＝ .
1
1
∵ ≠0，∴ ＝8，即sin 10°sin 50°sin 70°＝8.
tan2 5°−1 sin 20°
2
（4）原式＝2·2tan 5° ·1+cos 20°＝− tan 10°·tan
必修第二册
北师大版
反思
感悟
反思感悟
（1）整体思想是三角函数求值中的常见思想，本题的前两种方法尤为值得注意，更为重要的是本题中的
π
角“2”与“ 4 +”的变换方法，即sin
π
π
π
2＝−cos( 2 +
π
π
2)＝−cos[2( 4
π
π
+ )]＝1-2cos 2 ( 4 +
π
( + )
)＝2sin2 4 -1.
（3）因式分解变形

二倍角公式

0 3
复数的除法： (a1+b1i)/(a2+ b2i)=(a1*a2+ b1*b2)/(a2^2 +b2^2)+(b1* a2a1*b2)/(a2^2
+0b2^2)i 4
微积分中的实例
导数的计算：利用二倍角公式简化导数的计算过程
积分的计算：利用二倍角公式将积分转化为更容易计算的形式
级数的求和：利用二倍角公式求解某些级数的和
级数：利用二倍角公式进行级数展开，方便求解
微分方程：利用二倍角公式求解微分方程，提高求解速度
04
二倍角公式的应用方法
利用二倍角公式化简表达式
引入二倍角公式：cos(2x) = 2cos^2(x) - 1
举例说明：化简表达式 cos(2x) + cos(x)
应用二倍角公式：cos(2x) = 2cos^2(x) - 1， cos(x) = cos^2(x) sin^2(x)
求解sin(π/3)和cos(π/3)的值 c. 代入二倍角公式求解 sin(2π/3)的值
利用二倍角公式证明等式
引入二倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
设定等式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x) = 2sin(x)cos(x) 利用二倍角公式证明等式：将等式两边同时除以2，得到sin(x)cos(x) = sin(x)cos(x) 得出结论：等式成立，证明完毕。
单击此处输入你的智能图形项正文
步骤： a. 利用二倍角公式将sin(2π/3) 转化为sin(π/3)和cos(π/3) b. 利用
三角函数值表或计算器求解sin(π/3)和 cos(π/3)的值 c. 代入二倍角公式求解

【数学课件】二倍角的三角函数(2)

最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身
3.2 二倍角的三角函数(2)
探究练习1:
已知tan 1 , tan 1 ,且, 都是锐角,求 2的值?
7
3
探究练习2:
已知：tan
=

1 2
,
求
tan(
2

2
)的值？
探究练习3:
• 1) 已知
x ( , ),sin( x) 3 ,求cos 2x的值？
心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知
1.对二倍角公式的变形使用： 1+sin2x=(sinx+cosx)2 ; 1 sin 2x (sin x cos x)2; 1 cos 2x 2 cos2 x; 1 cos 2x 2sin2 x;

二倍角的三角函数-高一数学

二倍角的三角函数【考点梳理】考点：二倍角的正弦、余弦、正切公式【题型归纳】题型一：二倍角的正弦公式1．（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期末）已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴非负半轴上，且角α的终边上一点()2,1P ，则sin 2α=（） A ．45-B ．25C 25D ．452．（2022·河北沧州·高一开学考试）已知3sin24α=，且42ππα<<，则cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A ．14-B ．14C ．2D ．33．（2022·广东光明·高一期末）角α的终边经过点()3,4-，则cos cos 2424απαπ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（）A ．25- B ．25 C ．310- D ．310题型二：二倍角的余弦公式4．（2022·福建龙岩·高一期末）已知1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．79B ．79-C ．29D ．29-5．（2022·湖北省武昌实验中学高一期末）若π2cos 63a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 26a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．19- B ．459C ．19 D 4596．（2022·全国·高一）设α为锐角，若4cos()65πα+=，则sin(2)12πα+的值为（）A 172B 172C 312D 192题型三：二倍角的正切公式7．（2021·江苏省外国语学校高一期中）ABC 中，3tan 4A =，5cos B =，则()tan 22A B +=（） A ．112-B ．87-C ．44117D ．-118．（2021·北京丰台·高一期中）下列各数sin 25cos 27cos 25sin 27a =+，2sin 27cos 27b =，22cos 221c =-，22tan 22.51tan 22.5d =-中，最大的是（）A ．aB ．bC ．cD ．d9．（2021·山西·应县一中高一期末）若3tan 4x =，则tan tan 2424x x ππ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（） A ．2-B ．2C ．32D ．32-题型四：二倍角公式的综合应用10．（2021·江苏·高一课时练习）已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,βπ∈，310cos β=，且tan(2)3αβ+=.（1）求tan2α的值；（2）求αβ+的值.11．（2021·江苏·启东中学高一）计算求值：（1）()sin 5013︒︒（2）sin15cos5sin 20cos15cos5cos 20︒︒-︒︒︒-︒12．（2021·江西·横峰中学高一期中（理））已知函数2()sin(2)2333f x x x π=+-（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，不等式(1)()212()2m f x m m f x +++≥+恒成立，求实数m 的取值范围.【双基达标】一、单选题13．（2022·河南许昌·高一期末）若1cos 23θ=-，则221tan 1tan θθ-=+（） A ．13- B ．13 C ．12- D ．1214．（2022·贵州威宁·高一期末）已知1sin 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．29 B ．78 C ．78- D ．29-15．（2022·山西孝义·高一开学考试）下列各式中，值为12的是（） A ．22cos sin 1212-ππB ．2tan22.51tan 22.5- C ．sin15cos15 D π1cos32+16．（2022·江苏省天一中学高一期末）设sin35sin72sin55sin18a =︒︒-︒︒，cos3214sin172cos188b ︒-=︒︒，221tan 361tan 36c -︒=+︒，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>17．（2022·福建泉州·高一期末）将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，这样的分割被称为黄金分割，黄金分割蕴藏着丰富的数学知识和美学价值，被广泛运用于艺术创作、工艺设计等领51-，该值恰好等于2sin18︒，则cos36︒=（） A 52B 51-C 51+ D 51-18．（2022·河南·信阳高中高一期末（理））已知tan 24x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan tan 2x x 的值为（）A ．49B ．23C ．59D ．9519．（2021·河南·高一阶段练习）已知函数()()4cos sin 63f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，则（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 可以改写成()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()f x 在区间,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 的图象关于直线3x π=对称【高分突破】一：单选题20．（2022·新疆·乌鲁木齐市第四中学高一期末）已知角α的终边与单位圆交于点63(,)33P -，则sin()cos(2)2παπα-+-=（）A ．33-B ．613+ C ．33D ．613- 21．（2021·福建·厦门一中高一阶段练习）黄金三角形是一个顶角为36°的等腰三角形，其底边与腰长之比是黄金分割比.例如，国旗上的正五角星就是由5个黄金三角形和一个正五边形组成.如图所示：在黄金三角形ABC 中，512BC AC -=，根据这个信息，可求得cos144︒的值为（）A 15- B ．51-C ．51+D ．35+22．（2021·全国·高一课前预习）计算：24tan123tan312ππ=-（）A 23B ．23C 23D ．2323．（2022·湖南·长郡中学高一期末）若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（） A ．65- B ．25- C ．25D ．5624．（2021·福建省龙岩第一中学高一阶段练习）哥特式建筑是1140年左右产生于法国的欧洲建筑风格，它的特点是尖塔高耸、尖形拱门、大窗户及绘有故事的花窗玻璃，如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较为常见，它是由线段AB 和两个圆弧AC ，弧BC 围成，其中一个圆弧的圆心为A ，另一个圆弧的圆心为B ，圆O 与线段AB 及两个圆弧均相切，则tan ∠AOB 的值是（）A ．247-B ．724-C ．43-D ．34-25．（2021·全国·高一课时练习）若53,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1cos 21cos 222αα+-=（） A ．cos sin αα- B ．cos sin αα-- C ．cos sin αα+D ．cos sin αα-+26．（2021·全国·高一专题练习）已知441sin cos ,0,32a παα⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭.则os 4(c 2)a π+=（）A ．426+B ．426C 42-+D 42--27．（2021·全国·高一专题练习）若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭202122sin 04παα⎛⎫+-=⎪⎝⎭，则tan2α=（） A 37B 7C ．37D ．7二、多选题28．（2022·重庆九龙坡·高一期末）若()1cos ,0,23ααπ=∈，则下列结论正确的是（） A ．7cos 9α=B ．42sin α=C ．1cos 223απ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭D ．22cos 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭29．（2022·广东光明·高一期末）下列各式的值为1的是（）A ．tan20tan25tan20tan251+-B ．13661log 27log 88-⎛⎫+- ⎪⎝⎭ C ．sin72cos18cos108sin18-D ．22cos 2251⋅-30．（2022·安徽巢湖·高一期末）下列计算结果正确的是（） A ．()62cos 15--︒=B ．1sin15sin 30sin 758︒︒︒=C ．()()()()1cos 35cos 25sin 35sin 252αααα-︒︒++-︒︒+=-D ．2tan 22.51tan 45tan 22.52︒=︒-︒31．（2022·湖南张家界·高一期末）若下列各式左右两边均有意义，则其中恒成立的有（） A ．cos 1sin 1sin cos x xx x+=-B ．cos()sin 2παα+=C ．2(sin 2cos 2)1sin 4ααα-=-D ．21cos 2tan 1cos 2θθθ-=+32．（2022·山西大同·高一期末）下列计算或化简结果正确的是（） A ．2tan cos 2sin ααα=B ．若1sin cos 2αα⋅=，则cos tan 2sin ααα+= C ．若1tan 2α=，则2sin 1cos sin ααα=- D ．若α21cos 21cos 2αα=+-33．（2021·江苏如东·高一期中）下列各式中，值为12的是（）A ．2tan 22.51tan 22.5-B ．22tan15cos 15C 22331212ππD ．1316sin 5016cos50+三、填空题34．（2022·河北沧州·高一期末）已知π02x <<，且2πcos cos 224x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan 2x =______. 35．（2022·安徽·六安一中高一期末）已知2sin 33x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________．36．（2022·北京通州·高一期末）化简22cos(2)2tan (cos 21)θθθ--=+_____．37．（2021·全国·2212sin 20cos 202cos 101cos 1601-=---________．四、解答题38．（2022·天津市第九十五中学益中学校高一期末）已知(,)2παπ∈.(1)1sin 3α=，求tan α和cos2α的值； (2)若5cos()3πα-=cos α的值.39．（2022·湖南·高一课时练习）利用二倍角公式求下列各式的值： (1)sin15cos15︒︒；(2)22cos 751︒-；(3)21sin 15-︒；(4)22tan 751tan 75︒-︒．40．（2022·贵州威宁·高一期末）已知π04α<<，2cos 1sin 2()tan()22πc s πo 2f ααααα⎛⎫+- ⎪⎝⎭=+⋅+． (1)化简()f α；(2)若1()5f α=-，求tan2α的值．41．（2022·湖南·高一课时练习）已知α为锐角且tan 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭.(1)求tan α的值；(2)求2)cos sin 4cos 2παααα+-的值． 42．（2022·湖南·高一课时练习）化简： (1)()2sin cos αα+； (2)22tan151tan 15︒-︒；(3)()cos4013︒︒；(4)44sin cos αα-；(5)111tan 1tan αα-+-；(6)23sin 702cos 10-︒-︒【答案详解】1．D 【详解】由题意，角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴非负半轴上，且角α的终边上一点()2,1P ，所以sin α==cos α== 所以4sin 22sin cos 25ααα===．故选：D ． 2．C 【解析】【分析】根据α的范围可知cos sin 0αα-<，结合两角和的余弦公式、二倍角的正弦公式和同角三角函数的基本关系化简计算cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭即可. 【详解】因为42ππα<<，所以sin cos αα>，即cos sin 0αα-<，又3sin24α=，则)cos cos sin 4πααα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭4===-，故选：C. 3．C 【解析】【分析】根据三角函数的定义求出cos α，利用诱导公式和二倍角的正弦公式将原式化简计算即可. 【详解】由题意可得3cos 5α=-，所以1cos cos cos sin sin 2424242422απαπαπαππα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1133cos 22510α⎛⎫==⨯-=- ⎪⎝⎭. 故选：C 4．B 【解析】【分析】根据2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos 26παπ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，结合诱导公式和余弦的倍角公式，代值计算即可. 【详解】因为2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭2cos 2cos 22sin 1666πππαπαα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，又1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭2172139⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭. 故选：B. 5．A 【解析】【分析】根据给定条件利用诱导公式及二倍角的余弦公式计算作答. 【详解】因π2cos()63a +=，则22π21sin(2)sin[(2)]cos 2()2cos ()12()16236639ππππαααα-=-+=+=+-=⨯-=-. 故选：A 6．A 【解析】【分析】根据α为锐角，4cos()65πα+=，得到sin()6πα+，再利用二倍角公式得到sin(2)3πα+，cos(2)3πα+，然后再由sin(2)sin[(2)]1234πππαα+=+-求解.【详解】解：α为锐角，4cos()65πα+=，3sin()65πα∴+=，24sin(2)2sin()cos()36625πππααα∴+=++=，27cos(2)2cos ()13625ππαα+=+-=．故sin(2)sin[(2)]1234πππαα+=+-， sin(2)cos cos(2)sin 3434ππππαα=+-+，2472525=- 故选：A ． 7．C 【解析】【分析】由已知求得tan B ，再由两角和的正切求()tan A B +，再由二倍角的正切求解．【详解】在ABC 中，∵cos B =，∴sin B ==，则sin sin 2cos B B B==，又3tan 4A =，∴()32tan tan 114tan 31tan tan 2124A B A B A B +++===---⨯， ∴()()()21122tan 442tan 21211tan 11714A B A B A B ⎛⎫⨯- ⎪+⎝⎭+===-+-．故选：C 8．D 【解析】【分析】由两角和正弦公式，二倍角公式一、诱导公式等化简函数值，然后由三角函数性质判断．【详解】观察发现tan 451d =︒=，而sin(2527)sin521a =︒+︒=︒<，sin541b =︒<，cos441c =︒<，故选：D ． 9．C 【解析】利用正切函数的两角和与差的恒等变换，结合二倍角公式求得结果. 【详解】因为2tan 1tan 14tan3222tan tan 2tan 242421tan 1tan 1tan 222x x x x x x x x xππ+-⎛⎫⎛⎫++-=+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-+-. 故选：C ．10．（1）43.（2）4π【解析】（1）由已知根据同角三角函数的基本关系可求得tan β,根据tan 2tan[(2)]ααββ=+-代入即可求得求得结果. （2）由(1)利用二倍角公式22tan 4tan 21tan 3ααα==-,可求得tan α,进而可得tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-的值,根据角的范围,即可确定结果. 【详解】（1）∵(0,)βπ∈，且cos β=∴sin β===sin 1tan cos 3βββ== 又∵tan(2)3αβ+=∴13tan(2)tan 43tan 2tan[(2)]11tan(2)tan 3133αββααββαββ-+-=+-===+++⨯ （2）22tan 4tan 21tan 3ααα==-∴22tan 3tan 20αα+-=∴1tan 2α=或tan 2α∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴1tan 2α=又∵1tan 3β=∴11tan tan 23tan()1111tan tan 123αβαβαβ+++===--⨯ ∵1tan 3β=，且(0,)βπ∈∴0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭又∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴(0,)αβπ+∈∴4παβ+=【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系,二倍角公式,两角和与差的三角函数,考查已知三角函数值求角,属于基础题. 11．（1）1；（2）2-【解析】【分析】（1）先通过切化弦进行化简整理，利用两角和的正弦公式的逆应用，再结合二倍角公式和诱导公式化简即得结果；（2）先拆分20155︒=︒+︒，结合两角和的正弦公式和余弦公式化简整理成cos15sin15-︒︒，再拆分154530︒=︒-︒，结合两角差的正弦公式和余弦公式化简即得结果. 【详解】解：（1）()sin 501︒︒sin 501cos 40⎛=︒⋅= ⎝⎭()2sin 3010cos 40cos10︒+︒=︒⨯︒2sin 40cos 40sin80cos101cos10cos10cos10︒︒︒︒====︒︒︒；（2）()()sin15cos5sin 155sin15cos5sin 20cos15cos5cos 20cos15cos5cos 155︒︒-︒+︒︒︒-︒=︒︒-︒︒︒-︒+︒()()cos 4530sin15cos5sin15cos5cos15sin 5cos15sin 5cos15cos5cos15cos5sin15sin 5sin15sin 5sin 4530︒-︒︒︒-︒︒-︒︒-︒︒===-︒︒-︒︒+︒︒︒︒︒-︒cos 45cos30sin 45sin 30sin 45cos30cos 45sin 30︒︒+︒︒=-︒︒-︒︒1==)2122=-=-12．（1）增区间为5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，减区间为511,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）3,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】（1）结合三角恒等变化化简得()sin(2)3f x x π=-，根据三角函数性质求出其单调区间；（2）根据（1）求出当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时11()2f x -≤≤，进而()20f x +>，原不等式等价于()()1210m f x m -+-≥，看成关于()f x 的一次函数，其端点函数值大于等于0，得12102(1)210m m m m -⎧+-≥⎪⎨⎪--+-≥⎩，化简即可.【详解】解：（1）1()(sin 2)1)2f x x x x =++1sin 222x x =sin(2)3x π=-令222()232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，得5()1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 令3222()232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，得511()1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 故函数()f x 的增区间为5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，减区间为511,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，52636πππ-≤-≤x ，可得11()2f x -≤≤，由()20f x +>，不等式(1)()212()2m f x m m f x +++≥+可化为()()()24121mf x m m f x m +≥+++，有()()1210m f x m -+-≥. 令()1,1,2t f x t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦=，则()1(0)21m t g t m -+-=≥ 若不等式(1)()212()2m f x m m f x +++≥+恒成立，则1()02(1)0g g ⎧≥⎪⎨⎪-≥⎩等价于12102(1)210m m m m -⎧+-≥⎪⎨⎪--+-≥⎩，解得：35m ≥故实数m 的取值范围为3,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】求三角函数单调区间的2种方法:（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间. 13．A 【解析】【分析】根据题意将条件变形为2222cos sin cos sin θθθθ-+，然后弦化切即可求得答案.【详解】由题意，222222cos sin 1tan 1cos 2cos sin 1tan 3θθθθθθθ--===-++. 故选：A. 14．C 【解析】【分析】利用二倍角余弦公式求2cos 23πα⎛⎫+⎪⎝⎭，再由22233ππααπ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭结合诱导公式求目标函数的值. 【详解】由2217cos 2cos 212sin 12333168πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又22233ππααπ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，所以227cos 2cos 2cos 23338πππααπα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选：C ． 15．B 【详解】选项A，22ππππcos sin cos 2cos 1212126⎛⎫-=⨯== ⎪⎝⎭，A 错误；选项B ，22tan22.512tan22.511tan451tan 22.521tan 22.522=⋅==--，B 正确；选项C，11sin15cos15sin3024==，C 错误；选项D =D 错误. 故选: B 16．C 【解析】【分析】利用三角变换化简,,a b c ，再根据正弦函数的单调性可得正确的选项. 【详解】sin35cos18cos35sin18sin17a =︒︒-︒︒=︒，2cos3212sin 16sin164sin172cos1884sin8cos8b ︒-︒===︒︒︒︒︒，22221tan 36cos 36sin 36cos 72sin181tan 36c -︒==︒-︒=︒=︒+︒，因为016171890︒<︒<︒<︒<︒，故sin16sin17sin18︒<︒<︒. 故c a b >>，故选：C. 17．C 【解析】【分析】根据余弦二倍角公式即可计算求值. 【详解】 ∵2sin18︒，∴sin18︒∴22cos3612sin 1812⎛=-=-⨯=⎝⎭. 故选：C. 18．A 【解析】【分析】根据题意求得1tan 3x =，再结合正切的倍角公式，求得tan 2x 的值，即可求解.【详解】由tan 24x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得tan 121tan x x +=-，解得1tan 3x =，又由22122tan 33tan 21tan 4113x x x ⨯===-⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以1tan 433tan 294x x ==. 故选：A. 19．D 【解析】【分析】由诱导公式、二倍角公式化简函数为一个角的一个三角函数形式，然后由余弦函数的性质判断各选项．【详解】()4cos sin 4cos sin 6363f x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭24cos cos 4cos cos 4cos 623666x x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--=-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222cos 112cos 2263x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．对于选项A ，最小正周期22T ππ==，即选项A 不正确．对于选项B ，易知()f x 0≤，而选项B 中函数值可能大于0，函数不一致；对于选项C ，令()2,23x πππ+∈，则5,36x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，56x π=时，函数取得最大值，即选项C 不正确；对于选项D ，由22cos 20333f πππ⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭为最大值，故选项D 正确，故选：D ． 20．D 【解析】【分析】先利用诱导公式对要求解的式子进行化简，然后结合已知条件，求解出cos α的值，继而求解出cos2α，带入化简后的式子即可完成求解. 【详解】由已知sin()cos(2)2παπα-+-=cos cos2αα-，因为角α的终边与单位圆交于点63(,)33P -，所以22663cos 363()()33α==+-，21cos 22cos 13=-=αα 所以cos cos2αα-6161333-=-=，故选：D. 21．C 【解析】【分析】由已知求得72ACB ∠=︒，可得cos72︒的值，再由二倍角的余弦及三角函数的诱导公式求解cos144︒．【详解】由图可知72ACB ∠=︒，且12cos 72BCAC ︒==所以2cos1442cos 721︒=︒-=故选：C. 22．D 【解析】【分析】根据正切的二倍角公式即可化简求解. 【详解】原式22tan22212tan 33631tan 12πππ=-⋅=-=-=-故选：D. 23．C 【解析】【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(221sin cos θθ=+)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan 2θ=-即可得到结果．【详解】解：因为tan 2θ=-，所以将式子进行齐次化处理得： ()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++．故选：C ． 24．A 【解析】【分析】根据题意，结合勾股定理，以及正切的二倍角公式，即可求解. 【详解】如图所示，过点O 作⊥OD AB ，交AB 于点D ，设AB a ，圆O 的半径为r ，由题意知OD r =，OA a r =-，2a AD =，因为222OA OD AD =+，得()2222a a r r ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，解得38a r =，因此42tan 3aAD AOD OA r ∠===，故2422tan 243tan tan 2161tan 719AOD AOB AOD AOD ⨯∠∠=∠===--∠-. 故选：A. 25．D 【解析】【分析】1cos 21cos 222αα+-α的范围确定cos α和sin α的符号即可求解. 【详解】由二倍角公式可知，221cos 2cos αα+=，21cos 22sin αα-=， 1cos 21cos 2|cos ||sin |22αααα+--，又因为53,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 0α<，sin 0α<， 1cos 21cos 2cos sin 22αααα+--+. 故选：D. 26．D 【解析】【分析】根据441sin cos 3αα-=，利用平方关系和二倍角的余弦公式得到1cos23α=-，然后由()cos 2cos2sin24)a a a π+=-求解. 【详解】因为441sin cos 3αα-=，所以1cos23α=-，因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin20,sin2a α>=所以()cos 2cos2sin24)a a a π+=-，13==⎝⎭-故选：D. 27．A 【解析】【分析】利用三角恒等变换化简已知条件，求得1cos sin 2αα+=，由此求得sin 2,cos 2αα，进而求得tan2α. 【详解】202152sin 2sin 44ππαααα⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)22cos sin sin )αααα=--1sin )cos sin 02αααα⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭，∵,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴cos sin 0αα-<，∴1cos sin 02αα+=>，∴3,24ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，32,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且11sin 24α+=，∴3sin 24α=-，cos 2α=，∴tan 2α=故选：A 28．BD 【解析】【分析】根据同角的三角函数关系式、诱导公式，结合二倍角公式进行逐一判断即可. 【详解】由()0,0,22απαπ⎛⎫∈⇒∈ ⎪⎝⎭，所以sin 2α===A ：因为1cos 23α=，所以217cos 2cos 121299αα=-=⨯-=-，本选项结论不正确；B ：因为1cos23α=，sin 2α=，所以1sin 2sin cos 2223ααα==⨯= C ：因为1cos 2cos 223ααπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，所以本选项结论不正确；D ：因为cos sin 222παα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭故选：BD 29．BC 【解析】【分析】根据两角和的正切公式、诱导公式、两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式，结合指数和对数的运算性质逐一判断即可. 【详解】()tan20tan25tan20tan25tan 2025tan451,A tan20tan2511tan20tan25++=-=-+=-=---错误；()1366666661log 27log 83log 33log 223log 3log 223log 621,B 8-⎛⎫+-=+-=+-=-= ⎪⎝⎭对；()sin72cos18cos108sin18sin72cos18cos72sin18sin 7218sin901,C -=+=+==对；222cos 22.51cos452-==，D 错误. 故选：BC. 30．BD 【解析】【分析】根据三角函数恒等变换公式逐个分析计算即可【详解】对于A ，()cos 15cos15cos(4530)cos 45cos30sin 45sin 30-︒=︒=︒-︒=︒︒+︒︒=，所以A 错误，对于B ，111sin15sin 30sin 75sin15sin 30cos15sin15cos15sin 30248︒︒︒=︒︒︒=︒︒=︒=，所以B 正确，对于C ， ()()()()cos 35cos 25sin 35sin 25αααα-︒︒++-︒︒+ ()()cos 3525αα=-︒-︒+⎡⎤⎣⎦()1cos 60cos 602=-︒=︒= 所以C 错误，对于D ，22tan 22.512tan 22.511tan 45tan 45tan 22.521tan 22.522︒︒=⨯=︒=︒-︒-︒，所以D 正确，故选：BD31．ACD【解析】【分析】根据三角函数恒等变换公式逐个选项加以判断.【详解】2cos cos (1sin )cos (1sin )1sin ==1sin (1sin )(1sin )cos cos x x x x x x x x x x x+++=--+，A 对， cos()sin 2παα+=-，B 错， 222(sin 2cos 2)cos n =si 22si 2cos 21si n 2n 4ααααααα--=-+，C 对， 2221cos 2112sin =tan 1cos 212cos 1θθθθθ--+=++-，D 对，故选：ACD.32．ABD【解析】【分析】直接通过“切化弦”的思想即可判断AB ；通过对分式齐次式化简可判断C ；通过二倍角余弦公式化简可判断D.【详解】对于A ，sin 2cos 2tan cos cos 2sin sin ααααααα⨯==，故A 正确；对于B ，因为1sin cos 2αα⋅=，所以22cos sin cos sin cos tan 2sin cos sin sin cos ααααααααααα++=+==，故B 正确；对于C ，因为1tan 2α=，所以2sin 2tan 121cos sin 1tan 12ααααα===---，故C 错误；对于D ，因为α为第一象限角，所以sin 0,cos 0αα>>，=D 正确；故选：ABD.33．ABC【解析】【分析】利用三角恒等变换求出各选项中代数的值，由此可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，22tan 22.512tan 22.511tan 451tan 22.521tan 22.522=⨯==--；对于B 选项，222sin1512tan15cos 15cos 152sin15cos15sin 30cos152=⋅===；对于C 221121262πππ===；对于D 选项，()()2sin 5030133sin 50cos50sin8016sin 5016cos5016sin 50cos508sin1004sin 18080+++===- sin 8014sin 804==. 故选：ABC.34【解析】【分析】化简已知条件，求得1cos sin 2x x -=，通过两边平方的方法求得sin 2x ，进而求得cos 2,tan 2x x . 【详解】πcos 24x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 221(cos sin )cos sin (cos sin )(cos sin )2x x x x x x x x +=-=+-①， π02x <<，sin cos 0x x ∴+≠，化简得①1cos sin 02x x -=>，则π04x <<，π022x <<由21(cos sin )4x x -=，得3sin 24x =，cos 2x ==sin 2tan 2cos 2x x x ∴==35．19- 【解析】【分析】先利用诱导公式求出cos 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，再利用余弦的二倍角公式求解即可【详解】由2sin 33x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得2cos 233x ππ⎡⎤⎛⎫-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 2cos 63x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以3c s 26o x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以cos 2cos 236x x ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22cos 16x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 2212139⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭，故答案为：19- 36．-2【解析】【分析】利用余弦的二倍角公式和正切的商数关系可得答案.【详解】()()()22222222222212sin 22cos 224sin 2sin 2sin tan cos 21tan 2cos tan 2cos cos cos θθθθθθθθθθθθθ-----===-=-+⨯⨯⨯. 故答案为：2-.37．1【解析】【分析】利用二倍角的余弦公式、同角三角函数的基本关系以及诱导公式化简可得结果.【详解】()()2cos 20sin 202sin 20cos20cos 20sin160cos 20sin 18020101cos 1601--==------cos 20sin 20c 1os 20sin 20-==-. 故答案为：1.38．(1)79(2) 【解析】【分析】（1）根据同角三角函数基本关系式，以及二倍角公式，即可求解；（2）根据角的变换33ππαα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再结合两角和的余弦公式，即可求解. (1)1sin 3α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， cos α=sin tan cosααα== 2cos21279sin αα=-=；(2),2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2,363πππα⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭， cos()3πα-=，sin 3πα⎛⎫∴-== ⎪⎝⎭，cos coscos cos sin sin 333333ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦12⎛=⨯= ⎝⎭39．(1)14(2) (4)【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式直接求得；（2）利用二倍角的余弦公式直接求得；（3）利用二倍角的余弦公式直接求得；（4）利用二倍角的正切公式直接求得. (1)()111sin15cos152sin15cos15sin 30224︒︒=︒︒=︒=.(2)22cos 751cos150︒-=︒=(3)()2211111sin 152cos 151cos302222-︒=︒-+=︒+=(4)22tan 75tan150tan 301tan 75︒=︒=-︒=-︒40．(1)()sin cos f ααα=- (2)247【解析】【分析】（1）结合诱导公式、同角三角函数的基本关系式、二倍角公式化简()f α.（2）利用已知条件求得sin ,cos αα，由此求得tan α，进而求得tan2α.(1)()f α=sin |sin cos |sin |cos |cos αααααα⋅-=-⋅， ∵π04α<<，sin cos 0αα-<，cos 0α>， ∴sin (cos sin )()sin cos sin cos cos f ααααααααα⋅-=-=-⋅． (2)∵π04α<<，∴cos sin 0αα>>，由221sin cos 5sin cos 1αααα⎧-=-⎪⎨⎪+=⎩，可得3sin 54cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴sin 3tan cos 4ααα==， ∴2322tan 244tan 291tan 7116ααα⨯===--． 41．(1)12【解析】【分析】（1）利用两角和的正切公式展开得到方程，解得即可；（2）利用两角和的正弦公式及二倍角公式化简原式为sin cos αα+，再根据1tan 2α=及同角三角函数的基本关系求出sin α、cos α，即可得解；(1) 解：因为tan 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以tantan 4tan 341tan tan 4παπαπα+⎛⎫+== ⎪⎝⎭-，即1tan 31tan αα+=-，解得1tan 2α= (2)解：)cos sin 4cos 2παααα+-sin 2cos cos 2sin cos sin 44cos 2ππααααα=⎫+-⎪⎝⎭ ()sin 2cos 2cos sin cos 2ααααα+-= 22sin cos cos 2cos sin cos 2αααααα+-= ()2sin 2cos 1cos 2cos cos 2ααααα-+=()sin cos cos 2cos 2αααα+=sin cos αα=+因为α为锐角且1tan 2α=，所以cos 2sin αα=.由22sin cos 1αα+=，得21sin 5α=，所以sin α，cos α=，可得sin cos αα+==42．(1)1sin 2α+；(3)1；(4)cos2α；(5)tan2α-；(6)2.【解析】【分析】（1）根据同角的三角函数关系式，结合正弦二倍角公式进行求解即可；（2）逆用正切二倍角公式，结合特殊角的正切值进行求解即可；（3）运用切化弦法，结合辅助角公式、二倍角公式、诱导公式进行求解即可；（4）运用平方差公式，结合同角的三角函数关系式、余弦的二倍角公式进行求解即可；（5）运用切化弦法，结合正弦和余弦的二倍角公式进行求解即可；（6）根据诱导公式，结合余弦二倍角公式进行求解即可.(1)()222sin cos sin cos 2sin cos 1sin 2ααααααα+=++=+ (2)22tan15tan(215)tan 301tan 15︒=⨯︒=︒=-︒； (3)()cos 401cos 40(1cos 402sin 40cos 40cos10sin 80cos10cos10cos101;︒︒=︒+=︒=︒⋅︒︒=︒︒=︒= (4)442222sin cos (sin cos )(sin cos )cos 2ααααααα-=+-=-； (5)111tan 1tan 11sin sin 11cos cos cos cos cos sin cos sin cos (cos sin )cos (cos sin )(cos sin )(cos sin )sin 2cos 2tan 2;ααααααααααααααααααααααααα-+-=-+-=-+---+=+--==- (6)2222223sin 703cos 203(2cos 101)2(2cos 10)22cos 102cos 102cos 102cos 10-︒-︒-︒--︒====-︒-︒-︒-︒.。

二倍角的三角函数_课件

42－12＝
2 4.
3．若sinα2＝ 33，则cosα＝( )
A．－23
B．－13
C．13 [答案] C
D．23
[解析]
本题考查了余弦的二倍角公式．因为sin
α 2
＝
3 3
，
所以cosα＝1－2sin2α2＝1－2( 33)2＝13.
4．函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是________，最大值
由题意得
sinα2－cosα2
2＝
1 5
，即1－sinα＝
1 5
，
得sinα＝45.而450°<α<540°，
∴cosα＝－35，∴tanα2＝1－sicnoαsα＝1－4－35＝2. 5
[规律总结]
利用半角公式求tan
α 2
的值时，为避免讨论，
一般尽量采用半角正切公式的有理式tan
α 2
＝
sinα 1＋cosα
(2)要使 f(x)≥32，只需 22sin(2x＋π4)≥0，即 sin(2x＋π4)≥0，由 2kπ≤2x＋π4≤2kπ＋π(k∈Z)得， kπ－π8≤x≤kπ＋38π，k∈Z，又 x∈[0，π]，∴0≤x≤38π或78π≤x≤π. 故使不等式 f(x)≥32(x∈[0，π])成立的 x 的取值范围是[0，38π] ∪[78π，π]．
2．半角公式 (1)sinα2＝±____1_－__2c_o_s_α_.
1＋cosα (2)cosα2＝±_______2____. (3)tanα2＝_±____11_－＋__ccoo_ss_αα_＝___1_＋_s_icn_oα_s_α___＝___1_－s_i_cno_αs_α____. 在这些公式中，根号前面的符号由α2所在象限相应的三角函数值的符号确定，如果α2所在象限无法确定，则应保留根号前面的正、负两个符号．

专题04 二倍角的三角函数(知识串讲+热考题型+专题训练)(解析版)

专题4二倍角的三角函数（一）二倍角的正弦S 2α：sin2α＝2sin αcos α（二）二倍角的余弦C 2α：cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；（三）二倍角的正切T 2α：tan2α＝2tan α1－tan 2α；公式应用的条件：α≠24k ππ+且α≠k π＋2π(k ∈Z )，当α＝k π＋2π(k ∈Z )时，tan α不存在，求tan2α的值可采用诱导公式（四）二倍角公式的逆用、变形1.逆用形式：2sin αcos α＝sin2α；sin αcos α＝12sin2α；cos α＝sin2α2sin α；cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α＝cos2α；2tan α1－tan 2α＝tan2α．2.变形用形式：1±sin2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2；1＋cos2α＝2cos 2α；1－cos2α＝2sin 2α；cos 2α＝1＋cos2α2；sin 2α＝1－cos2α2．题型一公式的正用【典例1】（2022春·江苏南京·高一南京航空航天大学附属高级中学校考期中）已知()0,απ∈，1tan 2α=，则cos2α＝（）A ．15B ．35C ．45D ．1225【典例2】（2022春·江苏苏州·高一统考期末）已知向量3sin ,2,1,1cos a b αα=-=-，若2a b ⋅=-，则tan2α=（）A ．1213-B ．613-C ．125-D ．65-【典例3】（2022春·江苏徐州·高一校考竞赛）求sin sin sin 181818的值.由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”使“目标角”变成“已知角”，另外角的范围应根据所给条件进一步缩小，避免出现增解．题型二公式的逆用【典例4】（2022春·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考阶段练习）设212tan13cos 66,,21tan 13a b c ︒=︒-︒==-︒则有（）A ．a b c >>B ．a b c <<C ．a c b<<D ．b<c<a正确的是（）A ．tan 25tan 3525tan 35︒+︒+︒⋅︒=B ．22ππ1cos sin 12122-=C ．2tan22.51tan45tan 22.52︒=︒-︒D．12sin10=(1)求值()4sin 67cos 27sin 23cos 27tan 40-- ；(2)已知ππ1sin sin 634αα⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ,32α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin 2α的值当出现（或可化成）公式右端结构形式时，注意“逆用”公式，简化解题过程.题型三公式的变用【典例7】（2023秋·重庆沙坪坝·=（）A ．1BCD 122122212212222sin cos sin cos π，Z sin cos sin cos sin θθθθθk θθθθθ⎛⎫+-+++=≠∈ ⎪+++-⎝⎭．【典例9】（2023·江苏·高一专题练习）已知cos 2,252θθπ=<<．(1)求tan θ的值；(2)求22cos sin 24θθπθ-⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．公式变形的主要形式有1±sin2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2,1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α，cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2．题型四三角函数式化简问题【典例10】（2022秋·河北承德·高一河北承德第一中学校考期末）化简：1cos15sin15·sin170cos15sin15⎫︒+︒-⎪⎪︒︒-︒⎝⎭____.sin21tan tan2ααα⎛⎫+=⎪⎝⎭__．︒-︒cos40sin501︒+︒︒1.三角公式化简求值的策略(1)使用倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．2.注意三角函数公式逆用、变形用及“变角、变名、变号”的“三变”问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，,23入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．题型五三角恒等式证明问题【典例13】（2023·江苏·高一专题练习）证明：ππ2sin sin cos 244ααα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；【典例14】（2023·江苏·高一专题练习）求证：tan 1sin 2cos 2ααα=++【典例15】（2023春·湖北黄冈·高一校考阶段练习）（1）化简：cos()2sin sin αβαβ--；（2）求证：1sin cos sin 1sin cos 1cos θθθθθθ+-=+++．三角恒等式的证明方法(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立．提醒：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要根据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，根据角的范围确定三角函数的符号．一、单选题1．（2023·江苏·高一专题练习）1sin cos ,sin25ααα+=-=（）A ．2425-B ．2425C ．1225D ．1225-2．（2023春·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试）已知2sin 2cos24θ+=，则sin 2θ=A ．1516-B ．1516C ．34-D ．34tan 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则4tan 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．512B ．43-C ．34D ．43A ．0B ．2cos αC π4α⎛⎫- ⎪⎝⎭D π4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭5．（2022春·江苏宿迁·高一统考期末）若51sin 123⎛⎫+= ⎪⎝⎭πα，则cos 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（）A ．9B ．9-C ．79D ．79-sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+（）A ．25B ．25-C ．65D ．65-7．（2022春·江苏苏州·高一江苏省沙溪高级中学校考期中）已知0,απ∈，且sin cos 5αα-=，则22sin2cos sin ααα=-（）A ．247B ．12C ．12-D ．247-，且，则α=（）A ．9B ．18C ．27oD ．36o【答案】D【分析】根据二倍角公式和逆用余弦的差角公式化简得到()cos 29sin 9α+=，结合090α<< 得到29909α+=- ，求出α.【详解】因为()()sin181sin 22sin 9cos 91sin 2αα+=+，所以()22cos 9cos 22sin 9cos 91sin 2αα=+，整理得：cos9cos 2sin 9sin 2sin 9αα=+ ，cos9cos 2sin 9sin 2sin 9αα-= ，()cos 29sin 9α+= ，因为090α<< ，所以929189α<+< ，所以29909α+=- ，解得：36α= 故选：D.二、多选题9．（2022春·江苏盐城·高一盐城市伍佑中学校考期中）下列等式成立的是（）A ．22cos 15sin 15-B ．sincos 882ππ=C ．1sin 4040sin 702=D ．tan152=10．（2022春·江苏徐州·高一统考期中）已知sin cos 5αα+=，以下选项正确的是（）A ．24sin 225α=±B ．7sin cos 5αα-=±C ．7cos 225α=±D ．447sin cos 25αα-=±11．（2023秋·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考期末）24cos 20︒=___________.12.（2022春·江苏盐城·高一统考期中）若(,2)2απ∈_____．13．（2022秋·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）已知tan 2θ=-π02θ<<.(1)求tan θ；(2)求22cos sin 12π4θθθ+-⎛⎫- ⎪⎝⎭.14．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）（1）已知2sin sin 22α=-，求sin cos cos2ααα+的值；（2）已知ππ22x -<<，1sin cos 5x x +=，则2sin22sin 1tan x x x+-．15．（2023·江苏·高一专题练习）已知向量()()sin ,1,3,cos m n αα=-=-，其中,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且m n ⊥ ．(1)求tan α和sin 2α的值；(2)若sin()αβ+=0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求角β的值．16．（2022春·江苏盐城·高一盐城中学校考期中）已知向量()cos ,sin a αα=，122b ⎫=-⎪⎪⎝⎭，02πα<<．(1)若a b ⊥时，求sin 21cos 2αα+的值；(2)若a b -= sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．。

二倍角的三角函数

跟踪训练1 求下列各式的值： (1)cos21π2－sin21π2；
解
原式＝cos
π6＝
3 2.
(2)cos 27πcos 47πcos 67π；
2π 2π 4π 6π
解
2sin 原式＝
7 cos
7 cos 2π
7 cos
7
2sin 7
4π 4π 6π 8π 6π
sin ＝
7 cos
7 cos 2π
例3
(1)化简：11＋＋ssiinn
2θ－cos 2θ＋cos
2θ 2θ.
解
方法一
原式＝11－＋ccooss
2θ＋sin 2θ＋sin
2θ 2θ
＝22csoins22θθ＋＋22ssiinn
θcos θcos
θ ＝ 2sin θ 2cos
θsin θ＋cos θcos θ＋sin
θθ＝tan
θ.
跟踪训练 3 若π4＜α＜π2，则 1－sin 2α＝ sin α－cos α .
解析 ∵α∈π4，π2，∴sin α＞cos α， ∴ 1－sin 2α＝ 1－2sin αcos α ＝ sin2α－2sin αcos α＋cos2α ＝ sin α－cos α2＝sin α－cos α.
核心素养之数学建模
解连接OB，如图所示，设∠AOB＝θ，则 AB＝OBsin θ＝20sin θ，OA＝OBcos θ＝20cos θ，且 θ∈0，π2. 因为A，D关于原点对称，所以AD＝2OA＝40cos θ. 设矩形ABCD的面积为S，则 S＝AD·AB＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ. 因为 θ∈0，π2，所以当 sin 2θ＝1，即 θ＝π4时，Smax＝400 m2. 此时 AO＝DO＝10 2 m.

二倍角的三角函数(2)全面版

小结与反思
1 .对二倍角公式的变形使用： 1 + s i n 2 x = ( s i n x + c o s x )2 ; 1 sin 2 x (sin x cos x)2; 1 cos 2x 2 cos2 x; 1 cos 2 x 2 sin 2 x;
42 4 5
• 例1.化简
sin 2 ( 6) sin 2 ( 6) sin 2
完成P110页练习1
• 例2
求证： s in 5 0 0 ( 1 3 ta n 1 0 0 ) 1
已知函数y12cos2x23sinxcosx1(xR)
当函数y取得最大值时，求自变量x的集合？
3.2 二倍角的三角函数(2)
探究练习1:
已知 ta n 1 ,ta n 1 ,且 ,都是锐角 ,求 2 的值 ? 73
探究练习2:
已知： t a n =1 2,求 tan ( 22 )的值？
探究练习3:
• 1) 已知
x (,),sin ( x) 3 ,求 co s2 x 的值？
光不会因你而停留，你却会随着光阴而老去。
有些事情注定会发生，有的结局早已就预见，那么就改变你可以改变的，适应你必须去适应的。面对幸与不幸，换一个角度，改变一种思维，也许心空就不再布满阴霾，头上就是一片蔚蓝的天。一生能有多少属于我们的时光，很多事情，很多人已经渐渐模糊。而能随着岁月积淀下来，在心中无法忘却的，一定是触动心灵，甚至是刻骨铭心的，无论是伤痛是欢愉。人生无论是得意还是失意，都不要错过了清早的晨曦，正午的骄阳，夕阳的绚烂，暮色中的朦胧。经历过很多世态炎凉之后，你终于能懂得：谁会在乎你？你又何必要别人去在乎？生于斯世，赤条条的来，也将身无长物的离开，你在世上得到的，失去的，最终都会化作尘埃。原本就不曾带来什么，所以也谈不到失去什么，因此，对自己经历的幸与不幸都应怀有一颗平常心有一颗平常心，面对人生小小的不如意或是飞来横祸就能坦然接受，知道人有旦夕祸福，这和命运没什么关系；有一颗平常心，面对台下的鲜花掌声和头上的光环，身上的浮名都能清醒看待。花不常开，人不常在。再热闹华美的舞台也有谢幕的时候；再奢华的宴席，悠扬的乐曲，总有曲终人散的时刻。春去秋来，我们无法让季节停留；同样如同季节一样无法挽留的还有我们匆匆的人生。谁会在乎你？生养我们的父母。纵使我们有千般不是，纵使我们变成了穷光蛋，唯有父母会依然在乎！为你愁，为你笑，为你牵挂，为你满足。这风云变幻的世界，除了父母，不敢在断言还会有谁会永远的在乎你！看惯太多海誓山盟的感情最后星流云散；看过太多翻云覆雨的友情灰飞烟灭。你春风得意时前呼后拥的都来锦上添花；你落寞孤寂时，曾见几人焦急赶来为你雪中送炭。其实，谁会在乎你？除了父母，只有你自己。父母待你再好，总要有离开的时日；再恩爱夫妻，有时也会劳燕分飞，孩子之于你，就如同你和父母；管鲍贫交，俞伯牙和钟子期，这样的肝胆相照，从古至今有几人？不是把世界想的太悲观，世事白云苍狗，要在纷纷扰扰的生活中，懂得爱惜自己。不羡慕如昙花一现的的流星，虽然灿烂，却是惊鸿一瞥；宁愿做一颗小小的暗淡的星子，即使不能同日月争辉，也有自己无可取代的位置其实，也不该让每个人都来在乎自己，每个人的人生都是单行道，世上绝没有两片完全相同的树叶。大家生活得都不容易，都有自己方向。相识就是缘分吧，在一起的时候，要多想着能为身边的人做点什么，而不是想着去得到和索取。与人为善，以直报怨，我们就会内心多一份宁静，生活多一份和谐没有谁会在乎你的时候，要学会每时每刻的在乎自己。在不知不觉间，已经走到了人生的分水岭，回望过去生活的点滴，路也茫茫，心也茫茫。少不更事的年龄，做出了一件件现在想来啼笑皆非的事情：斜阳芳草里，故作深沉地独对晚风夕照；风萧萧兮，渴望成为一代侠客；一遍遍地唱着罗大佑的《童年》，期待着做那个高年级的师兄；一天天地幻想，生活能轰轰烈烈。没有刀光剑影，没有死去活来，青春就在浑浑噩噩、懵懵懂懂中悄然滑过。等到发觉逝去的美好，年华的可贵，已经被无可奈何地推到了滚滚红尘。从此，青春就一去不回头。没有了幻想和冲动，日子就像白开水一样平淡，寂寞地走过一天天，一年年。涉世之初，还有几分棱角，有几许豪情。在碰了壁，折了腰之后，终于明白，生活不是童话，世上本没有白雪公主和青蛙王子，原本是一张白纸似的人生，开始被染上了光怪陆离的色彩。你情愿也罢，被情愿也罢，生存，就要适应身不由己，言不由衷的生活。人到中年，突然明白了许多：人生路漫漫，那是说给还不知道什么叫人生的人说的，人生其实很短暂，百年一瞬间；世事难预料，是至理名言，这一辈子，你遇见了谁，擦肩而过了谁，谁会是你真心的良朋益友，

三角函数的二倍角公式

三角函数的二倍角公式三角函数的二倍角公式是指将一个角的两倍表示为该角的三角函数。

在三角学中，有两个常用的二倍角公式，分别是正弦函数和余弦函数的二倍角公式。

1. 正弦函数的二倍角公式正弦函数的二倍角公式可以用以下式子表示：sin(2θ) = 2sinθcosθ其中，θ表示角度。

这个公式的推导可以通过使用双角公式来进行。

双角公式指的是将一个角的一半表示为该角的三角函数。

根据双角公式，我们可以将sin(2θ)表示为2sinθcosθ。

在三角函数的图像中，我们可以看到，当θ角度增加时，sin(θ)也随之增加。

正弦函数的取值范围为[-1,1]，所以2sinθ的取值范围为[-2,2]。

而cos(θ)的取值范围为[-1,1]，所以2sinθcosθ的取值范围也为[-2,2]。

这说明sin(2θ)的取值范围与sinθ和cosθ的取值范围相同。

同时，我们还可以观察到，sin(2θ)的周期是π。

换句话说，当θ从0增加到2π时，sin(2θ)的取值也会从0增加到2π。

这个二倍角公式在计算中经常被使用，特别是在求解三角方程和化简复杂的三角函数表达式时。

2. 余弦函数的二倍角公式余弦函数的二倍角公式可以用以下式子表示：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ这个公式的推导可以通过使用双角公式来进行。

根据双角公式，我们可以将cos(2θ)表示为cos²θ - sin²θ。

与正弦函数的二倍角公式类似，cos(2θ)的取值范围也是[-1,1]，与cosθ的取值范围相同。

同时，当θ从0增加到2π时，cos(2θ)的取值也会从1减小到-1。

这个二倍角公式在求解三角方程和化简复杂的三角函数表达式时也经常被使用。

总结：三角函数的二倍角公式是数学中非常重要的公式之一，能够方便地将一个角的两倍表示为该角的三角函数。

通过使用这些公式，我们可以简化复杂的三角函数表达式，以及解决三角方程的问题。

同时，掌握这些公式的使用也有助于我们更好地理解三角函数的性质和特点。

二倍角的三角函数 (2)

1.二倍角公式
学习新知
以上公式仅对使得等号两边有意义的成立
2.公式的逆用
学习新知
2.求下列各式的值：
自我检测题型探究源自题型探究当堂训练题型探究
例 2 已知 sinπ4－x＝153，0<x<π4，求cocsosπ4＋2xx的值.
－
3 2
5.1－tatnan72.57°.5°＝
第三章三角恒等变形
3.3.1 二倍角的三角函数
学习目标
1.会推导得出二倍角的正弦、余弦、正切公式. 2.掌握二倍角公式的正弦、余弦、正切公式. 3.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用.
问题探究
根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？
1－
3 2
.
当堂训练
3
课堂小结
1.二倍角公式
2.灵活对公式进行正用逆用（“倍”角是相对的） 3.数学思想方法：化归与转化的思想
课后作业
1. 教材128页习题3-3A 2,3,4 2. 思考：如何得到半角公式？

二倍角公式

二倍角公式
二倍角公式是三角函数中的一种重要的公式，它用于计算角度的倍数。

在三角函数中，角度的一倍被称为原角，两倍被称为二倍角。

二倍角公式可以通过原角的余弦、正弦或正切来表示。

下面我们将介绍正弦、余弦和正切的二倍角公式。

1. 正弦的二倍角公式：
根据三角函数的定义，正弦函数表示一个角的对边与斜边的比值。

正弦的二倍角公式可以表示为：
sin(2θ) = 2sinθcosθ
2. 余弦的二倍角公式：
余弦函数表示一个角的邻边与斜边的比值。

余弦的二倍角公式可以表示为：
cos(2θ) = cos²θ - sin²θ
或者
cos(2θ) = 2cos²θ - 1
或者
cos(2θ) = 1 - 2sin²θ
3. 正切的二倍角公式：
正切函数表示一个角的对边与邻边的比值。

正切的二倍角公式可以表示为：
tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan²θ)
这些二倍角公式可以用于计算二倍角的正弦、余弦和正切值。

在实际问题中，二倍角公式在三角函数的求解和应用中具有广泛的应用。

例如，在解三角方程、证明三角恒等式和计
算三角函数值等方面都会用到二倍角公式。

总结起来，二倍角公式是三角函数中的重要公式，包括正弦、余弦和正切的二倍角公式。

它们可以通过原角的正弦、余弦或正切来计算二倍角的值。

这些公式在解决实际问题和证明三角恒等式时起到了重要的作用。

三角函数的二倍角公式与半角公式

三角函数的二倍角公式与半角公式在数学中，三角函数是研究角度的函数，有很多重要的性质和公式。

其中，二倍角公式和半角公式是三角函数中非常重要且常用的公式。

它们可以用来简化计算，解决问题，以及推导其他数学关系。

本文将详细介绍三角函数的二倍角公式与半角公式，并探讨其应用。

一、二倍角公式二倍角公式是指将角度加倍后的三角函数与原始角度的三角函数之间的关系。

在三角函数中，正弦函数、余弦函数和正切函数都有对应的二倍角公式。

1. 正弦函数的二倍角公式对于任意角θ，其正弦函数的二倍角公式可以表示为：sin(2θ)= 2sinθcosθ这个公式表明，一个角度的正弦函数的两倍等于这个角度的正弦函数与其余弦函数的乘积。

通过这个公式，我们可以简化计算，快速求得任意角度的正弦函数值。

2. 余弦函数的二倍角公式对于任意角θ，其余弦函数的二倍角公式可以表示为：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ这个公式表明，一个角度的余弦函数的两倍等于该角度的余弦函数的平方减去该角度的正弦函数的平方。

同样地，这个公式也可以帮助我们简化计算，快速求得任意角度的余弦函数值。

3. 正切函数的二倍角公式对于任意角θ，其正切函数的二倍角公式可以表示为：tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan²θ)这个公式表明，一个角度的正切函数的两倍等于该角度的正切函数的二倍除以1减去该角度的正切函数的平方。

同样地，这个公式也可以帮助我们简化计算，快速求得任意角度的正切函数值。

二、半角公式半角公式是指将角度减半后的三角函数与原始角度的三角函数之间的关系。

与二倍角公式相似，正弦函数、余弦函数和正切函数也有对应的半角公式。

1. 正弦函数的半角公式对于任意角θ，其正弦函数的半角公式可以表示为：sin(θ/2) = √[(1 - cosθ) / 2]这个公式表明，一个角度的正弦函数的一半等于该角度的余弦函数的差值减去1除以2的平方根。

三角函数二倍角公式大全

三角函数二倍角公式大全1.正弦函数的二倍角公式：sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)这个公式可以用来计算任意角度的正弦值。

它的推导可以通过将一个角度θ分成两个相等的角度来完成。

2.余弦函数的二倍角公式：cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ)这个公式可以用来计算任意角度的余弦值。

它的推导可以通过将一个角度θ分成两个相等的角度来完成。

3.正切函数的二倍角公式：tan(2θ) = 2tan(θ) / (1 - tan²(θ))这个公式可以用来计算任意角度的正切值。

它的推导可以通过将sin(2θ)除以cos(2θ) 来完成。

4.余切函数的二倍角公式：cot(2θ) = cot²(θ) - 1这个公式可以用来计算任意角度的余切值。

它的推导可以通过将cos(2θ)除以sin(2θ)来完成。

5.正割函数的二倍角公式：sec(2θ) = (1 + tan²(θ)) / (1 - tan²(θ))这个公式可以用来计算任意角度的正割值。

它的推导可以通过将1除以cos²(2θ)来完成。

6.余割函数的二倍角公式：csc(2θ) =2csc(θ)cos(θ)这个公式可以用来计算任意角度的余割值。

它的推导可以通过将sin(2θ)除以sin(θ)来完成。

这些三角函数二倍角公式在解决三角函数相关问题、证明三角恒等式以及计算复杂的三角函数表达式时非常有用。

它们可以帮助我们简化计算，以及更深入地理解三角函数的性质与关系。

除了上述常见的三角函数二倍角公式，还有其他一些特殊的二倍角公式，例如：1. sin(θ + π) = -sin(θ)2. cos(θ + π) = -cos(θ)3. tan(θ + π) = tan(θ)4. cot(θ + π) = cot(θ)5. sec(θ + π) = -sec(θ)6. csc(θ + π) = -csc(θ)这些公式可以帮助我们计算任意角度的三角函数值。

两倍角三角公式

两倍角三角公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：两倍角三角公式是初中数学中非常重要的一个知识点，它是解决三角函数中角度为2倍的情况的公式。

在学习两倍角三角公式之前，我们首先需要了解什么是三角函数以及三角函数的基本性质。

三角函数是一类周期函数，最常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。

在直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边的比值，余弦函数定义为邻边与斜边的比值，正切函数定义为对边与邻边的比值。

这些函数在数学中有着重要的应用，尤其在几何和物理问题中经常会出现。

在解决三角函数中的问题时，我们经常会遇到角度为原角两倍的情况。

如果已知sinθ=1/2，那么我们如何求解sin2θ呢？这就需要利用两倍角三角公式来进行推导和计算。

下面就让我们来详细介绍两倍角三角公式的相关知识。

我们来看正弦函数的两倍角公式。

设θ为任意角，那么sin2θ的计算公式为sin2θ=2sinθcosθ。

这个公式的推导过程可以通过以下几步来完成：1. 根据三角函数的定义，我们有sin2θ=sin(θ+θ)。

2. 利用三角函数的和差化积公式，我们可以将sin(θ+θ)展开成sinθcosθ+cosθsinθ。

3. 由于sin(θ+θ)=2sinθcosθ，因此sin2θ=2sinθcosθ。

在计算过程中，我们可以将已知角度的正弦值和余弦值代入公式中，从而求解出对应的两倍角的正弦值。

这样，我们可以更方便地解决一些复杂的三角函数问题。

在解决三角函数中的问题时，利用两倍角三角公式可以大大简化计算过程，提高解题效率。

通过掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的两倍角公式，我们可以更加灵活地运用三角函数知识，解决各种实际问题。

两倍角三角公式是初中数学中一个重要的知识点，对于深入理解三角函数和解决相关问题具有重要意义。

希望通过本文的介绍，读者能够更好地掌握两倍角三角公式的内容，并在解决数学问题时能够得心应手。

【这里可以适当补充一些实际应用、例题练习等内容，以加深读者对该知识点的理解和掌握】。