海南大学矢分与积变试卷AWord文档

海南大学信息学院

通信与电子专业《矢量分析与积分变换》试题(A 卷)

课程代码： 考试时间：120分钟

1．若函数)(t f 在),(+∞-∞上满足条件：1） ； 2） ，则在连续点t 处，有

ωωπ

ωd e F t f t

j ⎰

+∞

∞

-=

)(21

)( 其中=)(ωF ；在间断点处，)(t f 应以 来代替。此结论称为 。 2．函数⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-+++-++=

)2()2()()(21)(a t a t a t a t t f δδδδ 的傅氏变换是 。

3．关于-δ函数，下列结论正确的是（ ）

（A ）⎩⎨⎧=∞≠=0

1)(t t t δ；

（B ）⎰+∞

∞

-=1)(dt t δ；

（C ）对于无穷次可微函数)(t f ，有⎰+∞

∞

-=)0()()(f dt t f t δ

（D ）)(t δ与常数1构成了一个傅氏变换对。

一、填空题和选择题（每空2分，共20分）

4．函数2

2

2

z y x u ++=在点M （1，0，1）处沿方向k j i l 22++=

的

方向导数是 ；此外，grad u = 。 5．=][kt e L 。其中k 为实数。

6．求常数a , b, c 之值，使函数322x cz byz axy u ++=在点M (1,2,–1)处沿平行于Oz 轴方向上的方向导数取得最大值32。

7．已知矢量场k yz x j y z x i xyz A 2

2222)cos (2+++=，验证它是有势场，并求其势函数。

二、计算题（每小题10分，共50分）

8．求函数t e t f β-=)(的傅氏变换 (这里0>β)，并由此证明：

t

e d t ββπωωβω-+∞

=+⎰2cos 0

22

9．若000)(1≥<⎩⎨⎧=-t t e t f t ，00

10)(1≥<⎩⎨⎧=t t t f ，求)(*)(21t f t f 。

10．已知⎰∞

-=

t

ds s f t g )()(，00

10)(≥<⎩⎨⎧=t t t u ，1）验证)(*)()(t u t f t g =；2）验证u (t )的傅氏变换为

)(1

ωπδω

+j ；3）求)(t g 的傅氏变换。 注：2sin 0

π

=⎰+∞

dx x x

11．已知矢量场k y x z j x z y i z y x A

)()()(+-++-++-=，求它从内

穿出闭曲面S 的通量Ф,这里S 为椭球面122

2222=++c

z b y a x 。

三、应用题（共10分）

12.已知)(t A 和一非零常矢B 恒满足：⋅)(t A t B = ，又)('t A 和B

之间的夹角θ为常数，试证明：)('')('t A t A

⊥。

四、证明题（每题10分，共20分）

13．设函数)(t f 以T 为周期，即)0)(()(>=+t t f T t f ，且它在一个周期上还

是分段连续的，试证明：

dt e t f e t f L T

st sT

⎰

---=

)(11

)]([ ( Re(s)>0 )

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