基于Duffing混沌振子的微弱信号检测研究

在实际的微弱信号检测中， 不可避免地会有噪 声存在， 因此下面将针对噪声的影响展开讨论 。 现在考虑当存在噪声时对阈值的影响 。首先使 函数形式如下： 用梅尔尼科夫函数计算时，
M （ t0 ） = －
+∞
4k πω ±槡 2 πωγsech（ ） sin（ ωt0 ） + 3 2
0
－∞
2sech（ t） tan（ t） ） dt 。 ∫ n（ t + t ） * （ 槡
将本实验中所采用的参数值带入进行计算 ， 得到相 也就是当激励信号的幅值 变阈值 γ d 为 0． 753 131 ， 大于此数值的时候将发生从混沌状态到大周期状态 的跃迁。 2． 1． 2 实验方式确定相变阈值 γ d 在上述理论分析中可以看出， 当梅尔尼科夫函 数 M（ t0 ） 小于零时， 系统的相轨迹将不能保持在大 周期状态， 而最终会进入到混沌状态， 并且关键的一 则 点是： M（ t0 ） 越接近零 （ 从小于零的方向趋近 ） ， ； 系统进入到混沌状态所需要的时间就越长 当此数 值无限接近于零时， 进入到混沌状态所需要的时间 对应的系统状态就是大周期状态 。 将趋近于无穷大， 实际上， 进入到混沌状态所需要时间的长短表 “距离” 征系统 相变状态的远近， 需要的时间越长则 系统很快就要转变为大周期状态， 需要的时间越短 。 基于 则系统转变为大周期状态还有一段“距离 ” 这一点理论分析， 首先可以测量不同 γ 值所对应的 进入到混沌状态的时间， 再利用曲线拟合的方法得 到参数值， 进而得到相变阈值 γ d 。
3
将这 2 个函数带入到梅尔尼科夫函数中 ， 则
+∞
M （ t0 ） =
－∞
∫
[
y（ t） * （ － ky（ t） + γcos（ ω（ t + t0 ） ） ） ] dt。
图1
混沌以及大周期状态系统输出相
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进行 积 分 计 算， 并 且 令 M（ t0 ） = 0 ， 同时考虑到 dM（ t0 ） / dt0 ≠ 0， 需满足如下条件：
2
2． 1
Duffing 混沌振子模型研究
Duffing 混沌振子相变阈值的确定方法 理论计算方式确定相变阈值 γ d
2． 1． 1
如前所述， 精确快速地确定相变阈值 γ d 是使用 Duffing 振子检测信号的先决条件， 传统上可以使用 梅尔尼科夫函数进行理论计算， 得到一个粗略的理 论估计值。梅尔尼科夫函数形式如下：
图3
时间 t 与激励信号幅度值 γ 的关系曲线
从得到的拟合曲线的形式中可以看出， 此曲线 存在一条渐近线： x = 0． 725 617 ， 根据上面的理论分 析， 此渐近 线 对 应 的 幅 度 值 就 是 系 统 的 相 变 阈 值 γd ， 使用此方法可以得到精确地阈值， 从而能够提 高测量精度。 2． 2 噪声对相变阈值的影响
+∞
编号 γ 时间 / s 编号 γ 时间 / s 编号 γ 时间 / s
E （ t0 ） =
－∞
2sech（ t） tan（ t） ） dt。 ∫ n（ t + t ） * （ 槡
0
利用高斯白噪声的一个性质， 积分结果 E 为高斯随 ， 0 ， 机变量 数学期望为 方差为：
图2
γ 取不同数值时系统输出 x 随时间 t 变化曲线 表1 γ 值与所需时间 t 对应关系表
1 0． 720 00 22． 0 6 2 0． 725 00 44． 5 7 3 0． 725 30 52． 0 8 4 0． 725 50 63． 0 9 5 0． 725 55 66． 5 10
函数中 n（ t） 表示噪声， 在实际的测试中完全可以认 为此噪声具备高斯白噪声的性质 ， 令
信号与信息处理
在实验过程中可以通过查看系统中间值或者输 出值随时间的变化曲线来测试进入到混沌状态所需 此变化曲线在开始的一段时间为标准的 要的时间， 周期性信号， 经历一段时间之后曲线开始变得毫无 表示此时系统已经进入到混沌状态 ， 而这个发 规律， 。 生变化的时间点就是待测量的时间 在实验中首先设置激励信号幅度 γ 值， 通过示 波器查看系统输出值 x 随时间 t 的变化曲线， 利用 此曲线上测试对应当前激励信号幅度值下的系统进 分别为 入到混沌状态所需要的时间。 如图 2 所示， x t γ 取不同数值时所对应的输出值 随时间 的变化 曲线， 其中竖直线所在位置对应的时间就是需要的 时间。仿真数据如表 1 所示。 输出值增至无穷大， 可以使用如下曲线方程 据点间， － 进行拟合： y = β1 * （ β2 － x） β3 。使用拟合函数进 行曲线拟合， 得到曲线方程形式为： y = 14 ． 873 2* （ 0 ． 725 617 － x） －0． 154 7 ， 将此拟合曲线与实测的数 值曲线画出显示如图 3 所示。
Research of Weak Signal Detection Based on Duffing Chaotic Oscillator
ZHU Laipu，ZHANG Luyong，XIE Wenfeng，LI Nan
（ School of Information and Communication Engineering，Beijing University of Posts and Telecommunications，Beijing 100876，China） Abstract Traditional weak signal detection methods have poor performance when detecting weak signals，while Duffing oscillator shows good detection effect since it is sensitive to initial condition and has good resistance to noise． The basic form and dynamical evolution process of Duffing equation are analyzed， the operation principle of weak signal detection based on phase plane changes is introduced，a novel method for accurately determining the phase change threshold is proposed， and the influence of noise on the threshold is discussed． MATLAB software is used for simulation，the result of which shows that weak signals can be detected with a signaltonoise ratio of 130 dB． Key words weak signal； signal detection； chaos theory； Duffing oscillator
0
引言
包括振荡、 分岔、 混沌和大周期等 线性动力学特性， 各种复杂状态， 它已成为研究混沌的常用模型之一 。 Duffing 方程一般形式为： ¨ （ t） + kx（ t） － ax（ t） + bx3 （ t） = γcos（ ωt） 。 x k 为阻尼比； － ax（ t） + bx3 （ t） 项为非线性回 式中， a 与 b 为回复力系数； γcos（ ωt） 为周期策 复力项， 动力或激励信号， γ 为周期策动力幅值。 该二阶微分方程存在固有的本征频率， 由于周 期策动力的作用， 在合适的策动频率下使得此系统 表现出丰富的动力学现象， 包括吸引子、 同宿轨道、 周期倍化分叉状态、 混沌态和大周期状态。 从 0 逐渐增大策动力的幅值， 当幅度值超过某 个阈值之后系统将处于混沌状态， 相轨迹局限在某 一个范围之内， 系统相图如图 1 （ a ） 所示； 继续增大 当再次超过某个阈值之后， 系统进 激励信号的幅值，
+∞
M （ t0 ） =
－∞
∫ f （ q （ t） ）
0
0 t + t0 ） d t 。 ∧ g （ q （ t） ，
式中， 函数 f （ · ） 与函数 g （ · ） 的形式按照 Duffing 方程形式如下：
f （ x） =
[ y－ x + x ] ； g （ x） = [ 0－ ky + γcos（ ωt） ] 。
1013 收稿日期： 2011·
微弱信号检测技术运用近年来迅速发展起来的 电子学理论、 信息理论和物理学方法， 采用一系列信 达到检测强噪声背景下的微弱信号的 号处理方法， 。 目的 当微弱信号幅度值较小时， 传统的检测方法 从而很 会受到传感器和测量仪器本身噪声的限制 ， 难测出微弱信号。由于混沌系统对小信号极强的敏 感性以及对噪声的强免疫能力， 使它在微弱信号检 ［1 ］ 可以将混沌理 测中有着十分广阔的前景 。 因此， ， 论与 微 弱 信 号 检 测 理 论 相 结 合 提 出 一 种 利 用 Duffing 混沌振子检测微弱信号的方法。
信号与信息处理
基于 Duffing 混沌振子的微弱信号检测研究
朱来普，张陆勇，谢文凤，李
摘 要
楠
（ 北京邮电大学 信息与通信工程学院 ，北京 100876 ）
传统的微弱信号检测方法在检测信噪比很低的信号时效 果 很 差 ，而 Duffing 振 子 混 沌 系 统 由 于 具 备 对 初 值敏感 、 对噪声具有较好的抵抗力等优点，因此在检测微弱信号能够表现出良好的检测效果 。 分析了 Duffing 方 程 的 基本形式和动力学演化过程，阐述了基于相平面变化进行微弱信号检测的工作原理 。 提 出 了 一 种 准 确 确 定 相 变 阈 值 的方法，讨论了高斯白噪声对阈值的影响 。 按照提出的检测步骤，应用 MATLAB 软件 进 行 仿 真，仿 真 结 果 表 明 可 以 检测出的微弱信号的信噪比能达到 － 130 dB 。 关键词 微弱信号； 信号检测； 混沌理论； Duffing 振子 TP911. 7 文献标识码 A 文章编号 1003 － 3106 （ 2012 ） 01 － 0017 － 04 中图分类号
1
1． 1
Duffing 混沌振子模型基础
Duffing 混沌振子系统分析 Duffing 方程所描述的系统能表现出丰富的非
2012 年 无线电工程 第 42 卷 第 1 期
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信号与信息处理
入到大周期状态， 如图 1 （ b ） 所示， 相轨迹不再杂乱 无章， 而是沿着固定的轨道重复下去。 下面将分别针对这些问题进行深入研究 。
4 kcosh（ πω / 2 ） / 3 槡 2 γ πω ＜ 1 。
1． 2
Duffing 混沌振子检测微弱信号的原理 Duffing 混沌振子系统在外加的激励信号的作
当 γ / k 的取值大于零时， 解得 γ 的取值范围为：
2 πω。 γ ＞ 4 kcosh（ πω / 2 ） / 3 槡
用下呈现出一系列的动力学特性， 其中由混沌状态 并且跃迁阈值 跃迁为大周期状态表现的尤为明显， （ 激励信号的幅值 ） 十分地精确。 使用 Duffing 混沌 振子测量微弱信号的原理如下： 首先设置激励信号 的幅值略小于跃迁阈值 γ d ， 此时系统处于混沌状 态； 其次， 将待检测微弱信号与噪声作为激励信号项 假如此叠加信号中含有 添加到 Duffing 振子系统中， 一个与激励信号同频同相的信号， 并且此信号幅值 此时混沌 与激励信号幅值相加能大于跃迁阈值 γ d ， 系统的输出相图将会转变为大周期状态 。因此观察 就可以判断是否有微弱 混沌系统的前后输出相图， 信号的存在。 实际使用过程中还应该注意以下几个问题 ： ① 确定跃迁阈值， 而且越准确越好， 这样可以 提高检测信号的门限； ② 确定噪声对检测的影响， 由于微弱信号总是 淹没在较大的噪声中， 噪声的影响也不容忽视。 18 2012 Radio Engineering Vo1. 42 No. 1