全等三角形判定定理

全等三角形判定定理证明

全等三角形判定定理证明1. 什么是全等三角形？好啦，咱们今天聊聊一个数学界的小明星——全等三角形。

说到全等，大家可能会想：全等不就是一模一样吗？没错，简单来说，全等三角形就是两个三角形在形状和大小上完全一致。

就像双胞胎兄弟，虽说长得一模一样，但性格可千差万别哦！三角形的全等，有几个小法宝可以帮我们判定，咱们慢慢来解锁这些“武器”。

2. 全等三角形的判定法2.1 边边边（SSS）首先，咱们先聊聊边边边（SSS）这个法则。

想象一下，你有两把尺子，量一量两三角形的三条边。

如果这三条边一一对应都相等，那恭喜你，这两个三角形就是全等的！就像吃饭的时候，两个碗里的米饭都是满满的，那肯定是两个小朋友一口气吃掉的。

记得有个小故事，我的一个朋友总是跟我比谁吃得快，最后结果总是差不多，哈哈！这就是SSS的魅力所在。

2.2 边角边（SAS）接下来，咱们再说说边角边（SAS）法则。

这个就有点意思了。

想象一下，你有一个三角形的一条边和夹着的一个角，跟另一个三角形的那一边和角一比，哎呀，竟然一模一样！如果你能找到这样两组条件，那这两个三角形也全等。

这就像你和朋友约定一起去看电影，你们俩都有相同的电影票和座位号，那肯定是同场共赴的节奏啊！3. 角边角（ASA）和角角边（AAS）。

3.1 角边角（ASA）接下来是角边角（ASA）法则。

想象一下，有两个三角形的一个角、夹着的边和另一个角都相等，那这两个三角形也算全等！就像拍照一样，如果你和你的朋友站在相同的角度，背景、服装也差不多，那么这张照片一定会像模像样，大家都能认出你俩是绝配！3.2 角角边（AAS）最后咱们说说角角边（AAS）法则。

这里有点技术含量哦！只要有两个角和一条边相等，哇，你的三角形就可以被认定为全等。

就好比你在一个聚会上，看到两个人穿了一样的衣服，虽然他们的配饰不同，但整体感觉绝对是双胞胎的水准，谁能分得清楚呢？4. 小结说了这么多，全等三角形的判定法其实就像生活中的许多事情，关键在于找相同之处。

三角形全等的判定定理AAS

复习
1、判定两三角形全等我们已学习了
哪些方法？
SAS ASA
2、全等三角形有哪些性质？
3、三角形内角和定理
探究
在△ABC和△A’B’C’中，若 BC=B’C’，∠A=∠A’,∠B=∠B’, △ABC和△A’B’C’全等吗？
A
A
C
C
B
B
三角形全等的判定定理： 3.角角边定理：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（简ห้องสมุดไป่ตู้为“角角边”或 “AAS”）
A
D
E
B
C
A
E
1
D
2
F C
B
例2.已知:∠A=∠C,AB=CD
求证： BO=DO
B A O
C
D
例3.已知: △ABC≌△A’B’C’, BE,B’E’ 分别是对应边AC和A’C’边上的高，求证： BE=B’E’
B C A’ B’
A
E
E’
C’
你能从中得出什么结论？
全等三角形对应边上的高相等
全等三角形对应角分线相等全等三角形对应边上的高相等全等三角形对应边上的中线相等
例4.已知:∠1=∠2,OC=OD 求证：⑴ OA=OB
E
⑵ EC=ED
D
C
1 2
O A B
小结
1、判定两三角形全等我们已学习了
哪些方法？
SAS ASA AAS
2、全等三角形有哪些性质？
练习.等腰三角形两腰上的高相等吗？为什么？
已知:在△ABC中， AB=AC,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为 D、E,求证：CD=BE
AAS定理：
在ABC和ABC中
A

初中数学公式之全等三角形的判定最新

初中数学公式之全等三角形的判定最新初中数学公式之全等三角形的判定最新全等三角形的判定公式1边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等2 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等3 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等4 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等5斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等6 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等7 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上8角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合初中数学几何公式大全之全等三角形的判定公式，看过的同学请认真记忆了。

接下来还有更多更全的初中数学知识讯息尽在。

初中数学正方形定理公式关于正方形定理公式的内容精讲知识，希望同学们很好的掌握下面的内容。

正方形定理公式正方形的特征：①正方形的四边相等；②正方形的四个角都是直角；③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；正方形的判定：①有一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形。

希望上面对正方形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们会取得很好的成绩的哦。

初中数学平行四边形定理公式同学们认真学习，下面是老师对数学中平行四边形定理公式的内容讲解。

平行四边形平行四边形的性质：①平行四边形的对边相等；②平行四边形的对角相等；③平行四边形的对角线互相平分；平行四边形的判定：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

上面对数学中平行四边形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌握了吧，相信同学们会从中学习的更好的哦。

初中数学直角三角形定理公式下面是对直角三角形定理公式的内容讲解，希望给同学们的学习很好的帮助。

全等三角形判定定理

全等三角形判定定理在几何的世界里，全等三角形就像是一对双胞胎。

形状一样，大小一样，甚至连每一个角的度数都一模一样。

简直是一个神奇的概念！全等三角形的判定定理就是用来判断这两个三角形是否真的是“同一个”的。

今天咱们就来聊聊这个有趣的主题。

一、全等三角形的基本概念1.1 什么是全等三角形？首先，全等三角形就是那种可以通过平移、旋转或者翻转来重合的三角形。

你想想看，两幅画，如果能完全叠在一起，那就算是“全等”了。

每个边的长度、每个角的度数都相等。

换句话说，它们的外形和结构完完全全一致。

用一句话来说，全等三角形就像是几何界的“孪生兄弟”。

1.2 全等三角形的判定定理那么，如何来判断两个三角形是不是全等呢？这就涉及到几条判定定理了。

咱们常听到的有“边边边”定理（SSS），也就是三边分别相等；“边角边”定理（SAS），也就是两边和夹角相等；还有“角边角”定理（ASA），两角和夹边相等。

只要满足其中任何一种情况，就能断定这两个三角形全等。

真的是太简单了！二、全等三角形的应用2.1 生活中的全等三角形全等三角形并不仅仅是课本上的概念。

在我们的日常生活中，它们无处不在。

想象一下，你在设计一个三角形的窗户。

为了确保左右对称，你就需要用到全等三角形的知识。

窗户的两边必须是全等的，才能让整个建筑看起来和谐美观。

2.2 工程和建筑的魅力在建筑工程中，全等三角形更是起着不可或缺的作用。

许多结构，如桥梁、房屋的框架，都依赖于三角形的稳定性。

若是设计师能灵活运用全等三角形的判定定理，整个建筑的稳定性和美观性就能达到一个新的高度。

试想，坚固的桥梁，笔直的楼宇，都是全等三角形的恩赐。

2.3 数学竞赛中的应用对于热爱数学的同学们来说，全等三角形的判定定理也是一项重要的考点。

在数学竞赛中，考官常常通过复杂的图形来考察学生的逻辑思维能力。

只有掌握了全等三角形的知识，才能游刃有余地解答这些问题。

真是应验了那句老话：“功夫下在平时”。

三、全等三角形的乐趣3.1 教学中的乐趣在课堂上，老师通过全等三角形的例子，让学生们直观地感受到几何的魅力。

全等三角形的五个判定定理

全等三角形的五个判定定理
《全等三角形的五个判定定理》
一、定理一：在平面上，三条直线（线段）间的夹角相等，则它们三者所构成的三角形为全等三角形。

二、定理二：在平面上，三角形的三边（线段）长度相等，则它们之间构成的三条直线夹角也相等，因而它们构成的三角形也为全等三角形。

三、定理三：在平面上，它们三者间的角的平分线互相重合，则它们之间构成的三角形为全等三角形。

四、定理四：在平面上，两条直线（线段）的垂直平分线（垂线）互相重合，则它们之间构成的三角形为全等三角形。

五、定理五：在平面上，它们三者之间有两条线段垂直于同一垂直平分线（垂线），则它们构成的三角形也为全等三角形。

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全等三角形的判定方法

全等三角形的判定方法
1.两个三角形的三边分别相等。

2.两个三角形的两个角分别相等，且它们夹的两边也分别相等。

3.两个三角形的一个角相等，且两个角的夹的两边也分别相等。

4.两个三角形的两个角相等，且它们夹的两边分别相等。

5.两个三角形的一个角相等，且两个角的夹的两边分别相等。

6.两个三角形的两个边分别相等，且它们夹的角相等。

7.两个三角形的一边相等，且两个边的夹的角相等。

8.两个三角形的两边分别相等，且它们夹的一个角相等。

9.两个三角形的一边相等，且两个边的夹的一个角相等。

10.两个三角形的一角相等，且两个角的夹的一边也分别相等。

全等三角形的判定定理

全等三角形的判定定理1、边边边定理:有三边对应相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS ”例1、工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下:如图,∠AOB 是一个任意角,在边OA ,OB 上分别取OM =ON ,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M ,N 重合.过角尺顶点C 的射线OC 便是∠AOB 的平分线.为什么?例2:已知,∠BAC (如图3,用直尺和圆规作∠BAC 的平分线AD ,说出该作法正确的理由。

作法:1、A2、分别以E 、F 为圆心,大于12EF 为半径作圆弧交于角内一点3、过点A 、D 作射线AD射线AD 就是所求的∠BAC 的平分线2、边角边定理:如果两个三角形的两边和它们的夹角对应相等,那么这两个三角形全等.这个事实可以简写为“边角边”或“SAS ”.探究:SAS 中的那个角不是夹角可以吗?由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗?为什么? 不一定全等,现在进一步来说明。

我们可以通过画图回答,还可以通过实验回答。

把一长一短两根细木棍的一端用螺钉铰合在一起,使长木棍的另一端与射线BC 的端点B 重合。

适当调整好长木棍与射线BC 所成的角后,固定住长木棍,把短木棍摆起来(图13.2—7.AB图13.2—7中的△ABC 与△ABD 满足两边及其中一边对角相等的条件,但△ABC 与△ABD 不全等。

这说明,有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。

线段垂直平分线的定义?经过某一条线段的中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线(中垂线。

垂直平分线,简称“中垂线”。

线段中垂线的画法:3、角边角定理:如果两个三角形的两个角和它们的夹边对应相等,那么这两个三角形全等.这个事实可以简写为“角边角”或“ASA ”4、角角边定理:两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS ”.例3、如图,在△ABC 中,ED垂直平分AB , 1 若BD =10,则AD= 。

专题12.2 三角形全等的判定(解析版)

专题12.2 三角形全等的判定全等三角形的判定定理（1）边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.（2）边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.（3）角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.（4）角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.（5）斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. （只适用两个直角三角形）【例题1】如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD【答案】D．【解析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．∵AB=AC，∠A为公共角，A．如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；B．如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；C．如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；D．如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件．【点拨】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．【例题2】如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF＝BE．求证：AF＝CE．【答案】见解析。

【解析】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，在△ADF和△BCE中，，∴△ADF≌△BCE（SAS），∴AF＝CE．【点拨】由SAS证明△ADF≌△BCE，即可得出AF＝CE．【例题3】如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．【答案】见解析。

全等三角形判定公式

全等三角形判定公式
一种常用的全等三角形判定公式是SSS（边边边）判定法。

如
果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。

这意味着
如果三角形ABC和三角形DEF的对应边长分别满足AB=DE, BC=EF, AC=DF，那么这两个三角形就是全等的。

另一种常用的全等三角形判定公式是SAS（边角边）判定法。

如果两个三角形的一对对应边和夹角分别相等，则这两个三角形全等。

这意味着如果三角形ABC和三角形DEF的满足AB=DE, ∠B=∠E, BC=EF，那么这两个三角形就是全等的。

还有一种全等三角形判定公式是ASA（角边角）判定法。

如果
两个三角形的一对对应角和夹边分别相等，则这两个三角形全等。

这意味着如果三角形ABC和三角形DEF的满足∠A=∠D, BC=EF,
∠B=∠E，那么这两个三角形就是全等的。

这些是常用的全等三角形判定公式，通过这些公式我们可以判
断两个三角形是否全等，从而在解决几何问题时能够更加准确地应
用相似三角形的性质。

三角形全等的判定方法推理过程

三角形全等的判定方法推理过程三角形的全等是指两个三角形的形状和大小完全相同，也就是它们的三个角度和三边的长度都相等。

现在我们来看一下三角形全等的判定方法推理过程。

1. SSS法（边边边）：若两个三角形的三边长度分别相等，则这两个三角形全等。

证明：若两个三角形ABC和DEF，它们的三边分别相等，即AB=DE，BC=EF，AC=DF。

要证明这两个三角形全等，我们需要证明它们的三个角度也完全相等。

由正弦定理可知：∠A=arcsin(sin∠A)，因此可以得到：sin∠A=sin∠D，因此∠A=D由此可知，两个三角形的三个角度都相等，所以它们全等。

由余弦定理可知：BC²=AB²+AC²-2AB×AC×cos∠A，因此可以得到：同理，可以得到：cos∠D=(DE²+DF²-EF²)/2DE×DF因为∠A=∠D，所以cos∠A=cos∠D。

因此，(AB²+AC²-BC²)/(2AB×AC)=(DE²+DF²-EF²)/(2DE×DF)，即(AB/DE)=(AC/DF)，因此∠B=∠E。

由正弦定理可知：sin∠B=BF/AB，sin∠E=EF/DE，因此BF/AB＝EF/DE，即BF/EF=AB/DE，因此∠C=∠F。

因此，两个三角形的三个角度都相等，所以它们全等。

综上所述，全等的判定方法主要有四种：SSS法、SAS法、ASA法和AAS法。

这些方法都是基于三角形的三边和三角的关系来推导的，是数学学习中的基本知识点之一。

掌握全等的判定方法不仅有助于理解三角形的性质，还能够帮助我们解决各种数学题目。

全等三角形证明判定方式分类总结

全等三角形证明判定方式分类总结全等三角形是指具有完全相同形状和大小的三角形。

在几何学中，判定两个三角形是否全等是一种重要而基础的推理方法。

全等三角形的证明判定方式主要有三种：SSS全等定理、SAS全等定理和ASA全等定理。

接下来我将分别介绍这三种定理的内容及具体应用。

1.SSS全等定理SSS全等定理是指当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形就全等。

具体表述为：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。

SSS全等定理的证明方法主要是通过边的长度作为条件来判断两个三角形是否全等。

在实际问题中，当已知两个三角形的三条边的长度分别相等时，可以直接通过SSS全等定理来判定这两个三角形是否全等。

例如，当已知两个三角形的三边分别等于3cm、4cm、5cm时，即可判定这两个三角形全等。

2.SAS全等定理SAS全等定理是指当两个三角形的一条边、夹角和另一条边分别相等时，这两个三角形就全等。

具体表述为：如果两个三角形的一条边、夹角和另一条边分别相等，则这两个三角形全等。

SAS全等定理的证明方法主要是通过一条边、夹角和另一条边的关系来判断两个三角形是否全等。

在实际问题中，当已知两个三角形的一个夹角和两条边分别相等时，可以直接通过SAS全等定理来判定这两个三角形是否全等。

例如，当已知两个三角形的一个夹角为60度，两个边分别等于4cm和6cm时，即可判定这两个三角形全等。

3.ASA全等定理ASA全等定理是指当两个三角形的一条角、边和另一条角分别相等时，这两个三角形就全等。

具体表述为：如果两个三角形的一条角、边和另一条角分别相等，则这两个三角形全等。

ASA全等定理的证明方法主要是通过一条角、边和另一条角的关系来判断两个三角形是否全等。

在实际问题中，当已知两个三角形的一个角和两条边分别相等时，可以直接通过ASA全等定理来判定这两个三角形是否全等。

例如，当已知两个三角形的一个角为30度，两个边分别等于5cm和7cm时，即可判定这两个三角形全等。

全等三角形及基本判定定理

全等三角形全等三角形【知识要点】1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形． 2．全等图形的性质：（1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等（2）全等图形的面积相等3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形（1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于” 如DEF ABC ∆∆与全等，记作ABC ∆≌DEF ∆ （2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等．（3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．（4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．全等三角形的判定1：SSS三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS ”．如图，在ABC ∆和DEF ∆中⎪⎩⎪⎨⎧===DF AC EF BC DEABABC ∆∴≌DEF ∆【典型例题】例1．如图，ABC ∆≌ADC ∆，点B 与点D 是对应点，︒=∠26BAC ，且︒=∠20B ，1=∆ABC S ，求A C D D C A D ∠∠∠,,的度数及ACD ∆的面积．A BC DEFABDC例2．如图，ABC ∆≌DEF ∆，cm CE cm BC A 5,9,50==︒=∠，求ED F ∠的度数及CF 的长．例3．如图，已知：AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAD BAE ∠=∠例4．如图AB=DE ，BC=EF ，AD=CF ，求证：（1）ABC ∆≌DEF ∆ （2）AB//DE ，BC//EFA B E C FD A BE CD ABCDFE例5．如图，在,90︒=∠∆C ABC 中D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且BE=BC ，DE=DC ，求证：（1）AB DE ⊥；（2）BD 平分ABC ∠ （角平分线的相关证明及性质）全等三角形判定定理2：SAS两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”。

判定三角形全等的方法

判定三角形全等的方法三角形全等是几何学中重要的概念之一，它指的是两个三角形的所有对应边长和对应角度完全相等。

判定三角形全等的方法有多种，下面将逐一介绍这些方法。

一、SSS全等定理。

SSS全等定理是指当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形全等。

这是最直观的判定方法之一，也是最简单的方法之一。

例如，当三角形ABC的三条边分别与三角形DEF的三条边相等时，可以断定三角形ABC全等于三角形DEF。

二、SAS全等定理。

SAS全等定理是指当两个三角形的一条边和与其相邻的两个角分别与另一个三角形的一条边和与其相邻的两个角相等时，这两个三角形全等。

这个定理也是常用的判定方法之一。

例如，当三角形ABC的一条边AB和与其相邻的两个角A、B分别与三角形DEF的一条边DE和与其相邻的两个角D、E相等时，可以断定三角形ABC全等于三角形DEF。

三、ASA全等定理。

ASA全等定理是指当两个三角形的两个角和夹在它们中间的一条边分别与另一个三角形的两个角和夹在它们中间的一条边相等时，这两个三角形全等。

这个定理也是常用的判定方法之一。

例如，当三角形ABC的两个角A、B和夹在它们中间的一条边AB分别与三角形DEF的两个角D、E和夹在它们中间的一条边DE相等时，可以断定三角形ABC全等于三角形DEF。

四、HL全等定理。

HL全等定理是指当两个直角三角形的一条直角边和与其相邻的一条直角边分别与另一个直角三角形的一条直角边和与其相邻的一条直角边相等时，这两个直角三角形全等。

这个定理适用于直角三角形的情况，也是常用的判定方法之一。

例如，当直角三角形ABC的一条直角边AB和与其相邻的一条直角边BC分别与直角三角形DEF的一条直角边DE和与其相邻的一条直角边EF相等时，可以断定直角三角形ABC全等于直角三角形DEF。

五、对顶角相等定理。

对顶角相等定理是指当两个三角形的一个角和另一个角分别与另一个三角形的一个角和另一个角相等时，这两个三角形全等。

全等三角形及基本判定定理

全等三角形全等三角形【知识要点】1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形． 2．全等图形的性质：（1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等（2）全等图形的面积相等3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形（1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于” 如DEF ABC ∆∆与全等，记作ABC ∆≌DEF ∆ （2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等．（3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．（4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．全等三角形的判定1：SSS三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS ”．如图，在ABC ∆和DEF ∆中⎪⎩⎪⎨⎧===DF AC EF BC DEABABC ∆∴≌DEF ∆【典型例题】例1．如图，ABC ∆≌ADC ∆，点B 与点D 是对应点，︒=∠26BAC ，且︒=∠20B ，1=∆ABC S ，求A C D D C A D ∠∠∠,,的度数及ACD ∆的面积．A BC DEFABDC例2．如图，ABC ∆≌DEF ∆，cm CE cm BC A 5,9,50==︒=∠，求ED F ∠的度数及CF 的长．例3．如图，已知：AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAD BAE ∠=∠例4．如图AB=DE ，BC=EF ，AD=CF ，求证：（1）ABC ∆≌DEF ∆ （2）AB//DE ，BC//EFA B E C FD A BE CD ABCDFE例5．如图，在,90︒=∠∆C ABC 中D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且BE=BC ，DE=DC ，求证：（1）AB DE ⊥；（2）BD 平分ABC ∠ （角平分线的相关证明及性质）全等三角形判定定理2：SAS两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”。

全等三角形的判定3--角边角和角角边(ASA AAS)定理

E C C′ D
A
B
A′
B′
通过实验你发现了什么结论？
角边角定理如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等, 那么这两个三角形全等. (ASA) A′ A
B′
B
C
C′
在△ABC和△ A'B'C'中 ∠A= ∠A' AB= A'B' ∠B= ∠B' ∴ △ABC≌△ A'B'C'
｛
(ASA)
(2) (1)
怎么办？可以帮帮我吗？
A
D
C
E
B
先任意画出一个△ABC，再画一个 △A/B/C/，使A/B/=AB，∠A/ =∠A，∠B/ =∠B 把画好的△A/B/C/剪下，放到 △ABC上，它们全等吗？
作法： 1、作A/B/＝AB； 2、在 A/B/的同旁作∠DA/ B/ =∠A ，
∠EB/A/ =∠B， A/ D与B/E交于点C/。
C′
B
C

B′
在△ABC和△ A'B'C'中
｛
∠A= ∠A' ∠B= ∠B' BC= B'C' ∴ △ABC≌△ A'B'C'
(AAS)
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。
（ASA）
（AAS）
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”
利用“角边角”可知,带第(2)块去，可以配到一个与原来全等的三角形玻璃。
在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E ， BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？

三角形全等的判定定理

复习
1、什么叫全等三角形？
ห้องสมุดไป่ตู้
能完全重全的两个三角形叫作全等三角形 2、全等三角形有哪些性质？全等三角形的对应边相等全等三角形的对应角相等例如：如右图△ABC≌△A'B'C',有
AB＝A'B', BC＝B'C' ,AC＝A'C' ∠A＝∠A',∠B＝∠B',∠C＝∠C'
B C B' A A'
C'
探究
如果在△ABC和
，那么△ABC与
中，
，
，
全等吗？
(1)如果△ABC 和△A＇B＇C＇的位置关系如下左图， △ABC 和 △ A＇B＇C＇能像右图那样重合吗?
A(A')
B(B')
C(C')
探究
（2）如果那么和和的位置关系如图3-26，全等吗？
探究
（3）如果那么和和的位置关系如图3-27，全等吗？
证明因为所以 AB⊥AC， ∠DAC＝∠EAB＝90° 在△ADC和△AEB中, 因为 AD＝AE, ∠DAC＝∠EAB,（已证） AB＝AC, 所以 △ADC＝△AEB. (SAS)
图3-29
课堂练习
2、在图３-３３中，已知ＡＢ＝ＡＣ，其中Ｅ，Ｆ分别是ＡＣ，ＡＢ的中点。小明说：“△AEB≌△AFC.”小兰说： “ΔBFC≌ΔCEB.”你认为谁说的对？答：两人说的都对。因为 AB=AC，E，F分别是AC，AB的中点。所以 ∠ABC＝∠ACB AE=AF BF=CE 在△AEB和△AFC中, 因为 AE＝AF（已证） ∠A＝∠A（公共角） AB＝AC 所以因为 △AEB≌△AFC.（SAS）在ΔBFC和ΔCEB中, BF＝CE(已证) ∠ABC＝∠ACB (已证) BC＝CB(公共边) ΔBFC≌ΔCEB.（SAS）

全等三角形判定定理-边边边

AE=AD
BE=CD
∴ △AEB ≌ △ ADC (sss)
2、如图，在四边形ABCD中， AB=CD,AD=CB,求证：∠ A= ∠ C.
你能说明AB∥CD，AD∥BC吗？
• 证明：在△ABD和△CDB中 D
C
AB=CD
AD=CB
A
B
BD=DB ∴△ABD≌△ACD（SSS）
∴ ∠ A= ∠ C （全等三角形的对应角相等）
C
例2. 如下图，△ABC是一个钢架，AB=AC，
AD是连接A与BC中点D的支架。求证：△ ABD ≌△ ACD
证明: ∵D是BC中点， ∴BD=CD.
在△ABD和△ ACD中, AB=AC,
BD=CD,
AD=AD, ∴ △ABD ≌△ ACD（SSS）．
例3：已知：如图，AC=FE，AD=FB,BC=DE

8cm
8cm
满足下列条件的两个三角形是否一定全等:
一个条件
× 一边
只有一个条件对应相等的
× 一角
两个三角形不一定全等。
两个条件三个条件
一边一角 × 两角 × 两边 × 三角 × 三边 √
两边一角
两角一边
只有两个条件对应相等的两个三角形不一定全等。
三角形全等的判定定理1：
三边分别对应相等的两个三角形全等。可简写为“边边边”或“SSS”。
3、如图，AB＝AC，BD＝CD，BH＝CH，
图中有几组全等的三角形？它们全等的条件
是什么？
A
解：有三组。
在△ABH和△ACH中 ∵AB=AC，BH=CH，AH=AH ∴△ABH≌△ACH（SSS）；在△ABH和△ACH中
∵AB=AC，BD=CD，AD=AD ∴△ABD≌△ACD（SSS）；

三角形全等的判定

A C
D
故“边边角”（SSA）不能作为三角形全等的判断定理
“HL”定理：斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等
已知，如图在ABC和ABC中AB AB，AC AC 求证：ABC ABC
证明：把ABC移到图中虚线位置；
使AC和AC重合，并使B，B分居在AC的两边
ACB 900，ACB 900 BCB 1800即为平角
A
又AB AB B B A
故在ABC和ABC中
AB AB B B
ACB ACB
C
B

ABC ACB B
B
故ABC ABC
C
应用
如图：AB=DC，AC=DB 求证：AO=DO
证明：在ABC和DCB中 A
AB=DC
AC=DB
O
BC=CB
ABC DCBSSS B
故A D 在ABC和DOC中
C
三角形全等的判断定理3：三边对应相等的两个三角形全等
已知在ABC和ABC中，AB AB，BC BC，AC AC 求证：ABC ABC
证明：把ABC移到如图虚线的位置
使两条相等的边AB和ABC重合，
并且使点C和点C在边AB的两边，连CC AC AC，BC BC ACC和BCC是以CC为边两个等腰三角形
已知在ABC和ABC中，B B，C C，AC AC
求证：ABC ABC 证明：在ABC中A B C 1800
在ABC中A B C 1800
则A B C A B C B B
A A
C C
在ABC和ABC中 A
A A
AC AC B C C
ABC ABC
A
C B
A D
AOB DOC 对应角相等