2012港澳台联考数学(含答案)

故在三角形中 A + B = 45 ，所以 C = 135 。
（5 分）
（2） cos 2B + sin2 C = 1+ sin2 A ⇔ 1− 2sin2 B + sin2 C = 1+ sin2 A ⇔ sin2 C − 2sin2 B = sin2 A
由正弦公式可得 c2 − 2b2 = a2 ，
3a
2b − 3a
设 M 的最小值为 m ，则 M = 3a + 2b + c = m > 0 有解， 2b − 3a
则 3a + 2b + c = m (2b − 3a) ， ⇒ (3 + 3m) a + (2 − 2m)b + c = 0
（9 分）
因为 c ≥ b2 , 所以 (3 + 3m) a + (2 − 2m)b + b2 ≥ 0 有解，
（A） 3
（B） 2 3
（C） 6
（D） 4 3
（9）设椭圆 x2 + 18
y2 9
= 1的左、右焦点为 F1、F2 ，点 P ( x0 , y0 ) 在椭圆上，且
PF1
=2
PF2
，则 x0
=
数学试题
第 1页
（A） 2
（B） 3
（C） 2 3
（D） 3 2
（10）在正三棱锥 P − ABC 中，若侧棱与底面成 30 角，则侧面与底面所成的二面角α =
（C）1
（D） 2
∑ （4）
lim
n→∞
n k =1
k
1
(k +
2)
=
（A） 0
（B） 1 2
（C） 3 4
（D）1
9
9
∑ ∑ （5）设 a1, a2 , a9 成等差数列，若 ak = 0, ak2 = 15 ，且 a1 < a2 ，则 a9 =
k =1
k =1
（A） 2
（B） 3 2
（C）1
（D） 3 4
一、选择题 1.B 2.A 3.D 4.C 5.A 6.C 7.B 8.D 9.A 10.B 11.D 12.C
二、填空题 13. 182 17. 8x − 3
14. x + 2 y = 9 18. 8 π
5
15. 9 2
16. x − y + z −1 = 0
三、解答题
19.解：（1）由 (tan A +1)(tan B +1) = 2 可得
（6）设复数 z 满足1+ 2z + 4z2 + 8z3 = 0 ，则 z =
（A） 2
（B）1
（C） 1 2
（D） 1 4
（7）9 个人站成一排，从中任选 3 人，则这 3 人中任意 2 人都不相邻的概率为
（A） 7 12
（B） 5 12
（C） 4 9
（D） 5 9
（8）离心率为 2 的双曲线的焦点到渐近线的距离等于 3，则该双曲线的焦距为
（20）设等比数列{an} 的首项 a1
=
a
>
0, 公比 q
=
1 2
。数列{bn} 的前 n
项和 Sn
=
n2
+
3n
。
（Ⅰ）求{an} 和{bn} 的通项；
（Ⅱ）是否存在正数 p 和 r 使 bn + log p an = r 对任意正整数 n 都成立？若存在，求 p 和 r ；若 不存在，说明理由。
（A） arctan 3 2
（B） arctan 2 3 3
（C） arcsin 3 2
（D） arcsin 1 2
（11）设 ω
>
0
，函数
f
(
x)
=
sin ω x
cos ω x
在区间
⎢⎣⎡−
π 6
,
π 3
⎤ ⎥⎦
单调增加，则 ω
的最大值为
（A） 3 2
（B） 5 4
（C） 4 3
（12）设 a + b + c = 0, a2 + b2 + c2 = 1, 则 a4 + b4 + c4 =
2n + 2 + log p
a
⎛ ⎜⎝
1 ⎞n−1 2 ⎟⎠
=
r
⇔
2n + 2 + log p
a − (n −1) log p
2
=
r
( ) ⇒ 2 − log p 2 n + 2 + log p a + log p 2 = r
若存在正数 p 和 r 使 bn + log p an = r 对任意正整数 n 都成立，则 log p 2 = 2, 2 + log p a + log p 2 = r ，
（D） 3 4
（A） 3 4
（B） 2 3
（C） 1 2
（D） 1 3
二、填空题：本大题共 6 小题；每小题 5 分. （13）某企业从甲、乙、丙三地招聘一批员工，其中 39 人招自甲地，91 人招自乙地，余者 招自丙地。为了解他们对企业发展的意见和建议，采用分层抽样的方法，从这批员工中抽取 56 人进行调研，如果被抽取的这些人中来自丙地共有 16 人，那么，从这批新招的员工共有 ____________人.
由直线与抛物线有两个不同的交点，得 Δ = (−4m)2 − 4(−4c) = 16m2 +16c > 0 ，
⇒ m2 + c > 0 ，
（3 分）
把 m2 = c2 − 2c 带入得 c2 − c > 0 ，联立 m2 = c2 − 2c ≥ 0 与 c2 − c > 0 ，
解得 c ≥ 2 或 c < 0 。
⎛ ⎜⎝
sin cos
A A
+
1⎟⎠⎞
⎛ ⎜⎝
sin cos
B B
+
1⎟⎠⎞
=
2
⇔
(sin
A
+
cos
A)
(sin
B
+
cos
B
)
=
2
cos
A
cos
B
⇔ sin Acos B + cos Asin B = cos Acos B − sin Asin B ⇔ sin ( A + B) = cos ( A + B) ，
x0
≥
− 1 ， g ( x) 都不是奇函数。证明 M
2
=
3a + 2b + c 2b − 3a
>
0 ，并求 M
的最小值。
数学试题
第3页
数学参考答案
说明： 1.本解答题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的 主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则。 2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答为改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半； 如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4.只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。
（7 分）
（Ⅱ）设 A( x1, y1 )、B ( x2 , y2 ) ，则由韦达定理得 y1 + y2 = 4m 、 y1 y2 = −4c ；
因为
A、B 两点在抛物线
y2
=
4x 上，所以抛物线的焦点 F (1, 0) 且 x1
=
y12 4
、 x2
=
y22 4
；
数学试题
第 5页
因此 FAiFB = ( x1 −1, y1 )i( x2 −1, y2 ) = ( x1 −1)( x2 −1) + y1y2
3a
3a
（11 分）
化简得
(3
（14）直线 x + 2 y = 1关于点 M (1, 2) 对称的直线的方程为____________.
（15）若正四棱柱的对角线长为 3，则其侧面积的最大值是____________.
（16）在空间直角坐标系中，经过
P
(1,1,1)
和
Q
(
−1,
0,
2)
且与直线
⎧3x − 2
⎨ ⎩
y
−
3z
y+2= +5=0
绝密*启用前
2012 年中华人民共和国普通高等学校 联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试
数学
一、选择题：本大题共 12 小题；每小题 5 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
（1）设集合 M 含有 10 个元素，那么 M 的真子集中，至少含有 8 个元素的共有
（A）56 个
= x1x2 − ( x1 + x2 ) +1+ y1 y2
=
y12 4
y22 4
−
⎛ ⎜
⎝
y12 4
+
y22 4
⎞ ⎟ ⎠
+
y1 y2 +1
=
(
y1 y2 16
)2
−
(
y1
+ y2 4
)2
+
3 2
y1 y2
+1=
( −4c )2
16
−
(4m)2
4
+
wenku.baidu.com
3 2
( −4c )
+1
( ) = c2 − 4m2 − 6c +1 = c2 − 4 c2 − 2c − 6c +1 = −3c2 + 2c +1 = 0
有对任意
x0
≥
−
1 2
，
g
(x)
都不是奇函数，则可得
3ax0
+
b
≠
0
对任意
x0
≥
−
1 2
恒成立，
因为
a
>
0,
x0
≥
−
1 2
，则 3ax0
≥
−
3 2
a
，
因此有 3ax0
+
b
≥
−
3 2
a
+
b
>
0
恒成立，即 b
>
3 2
a
所以 2b − 3a > 0 ，
（8 分）
而 a > 0, c ≥ b2 > 0 ，因此 M = 3a + 2b + c > 0 。
4
2
24
2
（15 分）
21.解：（Ⅰ）设直线 l 的方程为 x = my + c ，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于
半径，
故 1− c = 1 ，化简得 m2 = c2 − 2c ≥ 0 ； 1+ m2
把 x = my + c 带入 y2 = 4x 得： y2 − 4(my + c) = 0 ，即 y2 − 4my − 4c = 0 ；
−12ac
≤
， 0
a > 0,
因此
⎧⎪⎨ ⎪⎩c
≥
b2 3a
；
（4 分）
而 g ( x) = f ( x + x0 ) − f ( x0 ) = a ( x + x0 )3 + b ( x + x0 )2 + c ( x + x0 ) − ax03 − bx02 − cx0
( ) = ax3 + (3ax0 + b) x2 + 3ax02 + 2bx0 + c x ，
解得 c = 1（舍）或 c = − 1 ， 3
m = ± c2 − 2c = ± 7 ； 3
（12 分）
因此直线方程是 x = ± 7 y − 1 ，即 3x ± 7 y +1 = 0 。
（15 分）
33
22.解：由函数是增函数，得
f
′(
x)
=
3ax2
+
2bx
+
c
≥
0
恒成立，故
⎧a ⎨⎩Δ
> 0, = 4b2
1 2
⎞n−1 ⎟⎠
；
( ) ( ) 当 n ≥ 2 时， bn = Sn − Sn−1 = n2 + 3n − (n −1)2 + 3(n −1) = 2n + 2
当 n = 1 时， b1 = S1 = 4 适合上式，因此 bn = 2n + 2 。
（5 分）
（Ⅱ） bn
+ log p
an
=
r
⇔
α = ________ _.
数学试题
第 2页
三、解答题：本大题共 4 小题；每小题 15 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（19）在 ΔABC 中，设内角 A、B、C 所对边长分别为 a、b、c 。已知 (tan A +1)( tan B +1) = 2 ，
cos 2B + sin2 C = 1+ sin2 A ， a = 2 。求角 C ，边长 b 和 ΔABC 的面积。
（21）已知直线 l 与抛物线 y2 = 4x 相交于 A、B 两点，且与圆 ( x −1)2 + y2 = 1相切。.
（Ⅰ）求直线 l 在 x 轴上截距 c 的取值范围； （Ⅱ）设 F 是抛物线的焦点， FAiFB = 0, 求直线 l 的方程。
（ 22 ） 设 函 数 f ( x) = ax3 + bx2 + cx (a ≠ 0) 是 增 函 数 ， g ( x) = f ( x + x0 ) − f ( x0 ) ， 且 对 任 意
0,
平行的平面
方程为___________.
（17）用 x2 + x 除多项式 x5 + 3x3 + 4x − 3得到的余式为____________.
（ 18 ） 设 圆 锥 轴 截 面 的 顶 角 为 θ ， cosθ = − 7 ， 则 该 圆 锥 侧 面 展 开 图 扇 形 的 圆 心 角 25
由余弦公式可得 c2 = a2 + b2 − 2ab cos C ，
数学试题
第4页
（9 分）
上两式联立得 b = −2a cos C = −2× 2× cos135 = 2 2 ， 所以 S = 1 ab sin C = 2 。
2
（13 分） （15 分）
20（Ⅰ） an
=
a1q n −1
=
a
⎛ ⎜⎝
（B）55 个
（C） 46 个
（D）45 个
（2）函数 f ( x) = 2x + ln (2x +1) 在 x = 0 处的导数 f ′(0) =
（A） 2 + ln 2
（B）1+ ln 2
（C） 2
（D） 3
（3）已知直线 ax + 2 y = 4 的倾斜角为135 ，则 a =
（A） −2
（B） −1
故 p = 2 ， r = 4 + log a 。 2
（10 分）
若 r 也是正数，讨论如下：
当 a > 1 时， log a > log 1 = −4 ，则 r = 4 + log a > 0 ，存在正数 r = 4 + log a ；
4
2
24
2
2
若 a ≤ 1 时， log a ≤ log 1 = −4 ，则 r = 4 + log a ≤ 0 ，不存在正数 r 。