样本的数字特征
用样本的数字特征估计总体的数字特征
用样本的数字特征估计总体的数字特征用样本的数字特征估计总体的数字特征是统计学中的重要概念，它可以帮助我们从一个小样本中推断出整个总体的特征。
在实际应用中，这项技术被广泛用于市场调查、医学研究、商业决策等领域，帮助我们更好地了解和分析数据。
本文将介绍用样本的数字特征估计总体的数字特征的基本原理、相关的统计学方法和实际应用。
让我们了解一下什么是样本的数字特征和总体的数字特征。
在统计学中，样本是从总体中随机抽取的一部分数据，总体是我们要研究的整体数据集。
样本的数字特征是指通过对抽样数据进行计算，得到的表示数据集特征的数字。
常见的样本数字特征包括均值、方差、标准差等。
而总体的数字特征则是指整个数据集的特征，通常我们是无法直接观测到总体的数字特征的，所以需要通过对样本的数字特征进行估计来推断总体的数字特征。
接下来，我们将介绍用样本的数字特征估计总体的数字特征的基本原理和方法。
在统计学中，估计总体的数字特征通常使用点估计和区间估计两种方法。
点估计是通过样本的数字特征来估计总体的数字特征的一个常见方法。
最常用的点估计方法是用样本的均值来估计总体的均值。
假设我们从总体中抽取了一个大小为n的样本，样本的均值记作x̄，总体的均值记作μ，那么通过样本的均值x̄来估计总体的均值μ的方法可以表示为：μ≈x̄。
除了均值，样本的方差和标准差也常用于估计总体的方差和标准差。
通过样本的数字特征来估计总体的数字特征的优点是简单直观，但缺点是可能会受到样本容量的影响，当样本容量较小时，估计结果可能不够准确和可信。
区间估计是通过样本的数字特征来构造总体数字特征的置信区间来估计总体的数字特征的方法。
置信区间是指用样本的数字特征构造一个区间，使得总体数字特征落在这个区间内的概率达到一定的置信水平。
常用的区间估计方法包括平均数的置信区间估计、比率的置信区间估计、方差的置信区间估计等。
区间估计的优点是较点估计来说更加全面和准确，但计算复杂度较高，需要考虑更多的因素。
用样本的数字特征估计总体的数字特征
用样本的数字特征估计总体的数字特征在统计学中，用样本的数字特征估计总体的数字特征是一种重要的实用技术。
这种方法可以通过收集一部分数据样本来推断整个总体的数字特征，从而用相对较小的代表性数据来建立总体的分布模型。
本文将从样本的概念开始，介绍如何利用样本的数字特征估计总体的数字特征。
一、样本概念样本是指总体中的一部分数据，可以用来作为总体特征的代表。
在进行研究或实验时，由于无法对整个总体进行调查或实验，因此需要从中抽取一部分数据进行观察和统计分析。
例如，一个人口普查局需要统计某一城市的人口数量，它是无法对整个城市的人口进行调查的，因此需要从中抽取一部分人口进行调查，这个部分人口就被称为样本。
样本的选择应该是具有代表性的，即包含总体的不同群体，并且样本数据应该尽可能多地反映总体数据的特征。
二、样本数字特征在对样本进行统计分析时，我们通常会关注以下几个数字特征：1. 样本均值 (Sample Mean)：指样本中所有数据的总和除以样本的数量。
其计算公式为：$$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}$$其中，$\bar{x}$表示样本均值，$x_i$表示第$i$个样本数据，$n$表示样本数量。
2. 样本中位数 (Sample Median)：指将样本数据按升序排列后，中间位置的数值。
如果数据数量为偶数，则将中间两个数取平均值。
3. 样本众数 (Sample Mode)：指出现最频繁的数值。
有时样本可能出现多个众数，此时称为多峰分布。
5. 样本标准差 (Sample Standard Deviation)：是方差的平方根，用于度量样本数据的波动程度。
其计算公式为：当我们获得了样本数据的数字特征之后，可以通过适当的方法来估计总体的数字特征。
以下介绍几种常用的方法：1. 样本均值估计总体均值：如果样本是随机抽取的，并且代表性良好，那么样本均值可以很好地估计总体均值。
在这种情况下，总体均值的点估计为：$$\mu=\bar{x}$$$$\sigma=s$$其中，$\sigma$表示总体标准差，$s$表示样本标准差。
用样本的数字特征估计总体的数字特征
用样本的数字特征估计总体的数字特征
在统计学中，样本是从总体中抽取的部分数据。
样本的数字特征是通过对样本数据的分析和计算得出的描述性统计量，可以用来估计总体的数字特征。
本文将介绍常用的样本数字特征，并讨论如何利用这些特征来估计总体的数字特征。
一、样本的数字特征
1. 平均数：样本的平均数是样本数据的总和除以样本的个数。
平均数是样本数据的中心位置的度量，可以用来估计总体的平均数。
2. 中位数：样本的中位数是将样本数据按照大小排列后，位于中间位置的数字。
中位数是样本数据的中心位置的度量，可以用来估计总体的中位数。
3. 众数：样本的众数是样本数据中出现次数最多的数字。
众数可以表示样本数据的最常见的数值，可以用来估计总体的众数。
4. 方差：样本的方差是样本数据与样本均值之差的平方的平均值。
方差反映了样本数据的离散程度，可以用来估计总体的方差。
5. 标准差：样本的标准差是样本方差的平方根。
标准差也反映了样本数据的离散程度，可以用来估计总体的标准差。
三、注意事项
1. 样本的数字特征只能提供对总体数字特征的估计，估计的准确程度取决于样本的大小和抽样方法的随机性。
样本越大，估计的准确性一般越高。
2. 在利用样本数字特征估计总体数字特征时，需要考虑样本的代表性。
抽样时要保证样本能够代表总体的各个特征和属性。
3. 样本数字特征只能给出对总体数字特征的一种估计，通过使用统计方法和推断技巧，可以给出估计结果的置信区间和可靠程度。
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征课件人教新课标
三数的优缺点
样本的众数、中位数和平均数常用来表示 样本数据的“中心值”.
1.众数和中位数容易计算，不受少数几个极端 值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息.
2.平均数代表了数据更多的信息，但受样本中 每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影 响也越大.
一天 10名工人生产的零件的中位数是( C )
A.14 B.16 C.15 D.17 【解析】选C.把件数从小到大排列为10，12，14， 14，15，15，16，17，17，19，可知中位数为15.
2.甲、乙两个班各随机选出 15名同学进行测验，所得成 绩的茎叶图如图.从图中看， _____班的平均成绩较高. 【解析】结合茎叶图中成绩的情况可知，
频率散布直方图中，你认为众数应在哪个
小矩形内？由此估计总体的众数是什么？
频率/组距
注意：哪段范围的数最多？
0.5
0
取最高矩形下端中点的
0.4
横坐标2.25作为众数.
0
0.3
0O 0.2
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
月均用水量/t
0
？由直方图看出众数是2.25，可
是抽样的数据中没有2.25，为什么 区间的中点值2.25是众数呢？
3.平均数的定义:一组数据的和除以数据的 个数所得到的数.
小练 习
求下列一组数的众数、中位数、平均数
（1）2,2,3,3,5,6,7
（2）2,3,5,5
判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)中位数一定是样本数据中的某个数.(× ) (2)在一组样本数据中，众数一定是唯一的.( × )
用样本的数字特征估计总体的数字特征(IV)
VS
详细描述
样本中位数是总体中位数的无偏估计，但 当样本量较小时，由于受到异常值的影响 ，估计的精度较低。因此，在估计总体中 位数时，需要保证样本量足够大。
实例三：基于方差的总体数字特征估计
总结词
样本方差是总体方差的无偏估计，但当样本 量较小时，估计的精度较低。
详细描述
样本方差是总体方差的无偏估计，但在实际 应用中，由于受到抽样误差的影响，样本方 差可能会被低估或高估。因此，在估计总体 方差时，需要使用修正的样本方差公式，以 提高估计的精度。
例子
样本均值$overline{x}$ 是总体均值$μ$的无偏 估计。
有效估计
定义
如果一个估计量是某个无偏估计量的函数，则称 这个估计量为有效估计量。
意义
有效估计量在无偏估计的基础上，进一步减小了 估计误差，提高了估计的精度。
例子
样本方差$s^{2}$是总体方差$σ^{2}总体的数字特 征(iv)
目录
• 引言 • 样本数字特征的选取 • 总体数字特征的估计 • 样本数字特征的性质 • 实例分析 • 结论与展望
01
CATALOGUE
引言
研究背景
随着大数据时代的来临，大量数据被收集和存储，如 何从这些数据中提取有用的信息成为了一个重要的研
究课题。
3
此外，随着数据量的不断增加，快速、准确地估 计总体数字特征的需求也日益迫切，因此该研究 具有重要的现实意义。
02
CATALOGUE
样本数字特征的选取
均值
总结词
均值是所有数值相加后除以数值的数量所得的结果，它反映了数据的平均水平 。
详细描述
在统计学中，均值是一种常用的数字特征，它能够概括一组数据的中心趋势。 通过计算样本的均值，可以估计总体均值的近似值，从而了解总体数据的平均 水平。
北师大版高中数学 必修第一册 6.4用样本估计总体数字特征
.+.+.+.+.
2
乙 =
=10(t/hm
).
方差:甲 = ×[(9.8-10)2+(9.9-10)2+(10.1-10)2+(10-10)2+(10.2-10)2]
=0.02;
乙
=
2+(10.3-10)2+(10.8-10)2+(9.7-10)2+(9.8-10)2]=0.244.
积产量(单位:t/hm2)如下:
品种
甲
乙
第一年
9.8
9.4
第二年
9.9
10.3
第三年
10.1
10.8
第四年
10
9.7
根据这组数据判断应该选择哪一种小麦进行推广?
分析:从平均数和方差两个角度去考虑.
第五年
10.2
9.8
解:平均数:
.+.+.++.
2);
甲 =
=10(t/hm
提示:(1)∵
=7,
( +)+( +)+( +)+( +)+( +)
∴
+ + + +
=
+1
=7+1=8.
即 x1+1,x2+1,x3+1,x4+1,x5+1 这 5 个数的平均数为 8.
+
(2)中位数为
=33.5,众数为
31.
2.填空:(1)平均数、中位数、众数.
用样本的数字特征估计总体的数字特征
用样本的数字特征估计总体的数字特征在统计学中，我们经常需要对总体的数字特征进行估计。
由于总体往往很大或者难以获得全部数据，我们通常只能通过抽样得到部分数据。
这时，我们可以利用样本的数字特征来估计总体的数字特征，从而对总体进行推断。
本文将介绍用样本的数字特征估计总体的数字特征的方法和相关概念。
一、样本与总体的概念在统计学中，总体是指研究对象的全部个体或观察值的集合。
总体通常是我们想要了解的全部群体，比如全国人口总数、某一批产品的质量总体等。
样本是从总体中选取的、具有代表性的一部分个体或观察值的集合。
样本的选择要求有代表性，即能够反映总体的一般情况。
在实际应用中，由于种种原因往往难以获得全部总体数据，因此我们通常只能依靠样本数据来进行统计推断。
二、样本的数字特征样本的数字特征是用来表示样本数据的数字指标，通常包括中心位置的指标（均值、中位数）、离散程度的指标（标准差、方差）和形状的指标（偏度、峰度）等。
这些数字特征可以帮助我们了解样本数据的集中趋势、变异程度和分布形状，从而为估计总体的数字特征提供依据。
1. 中心位置的指标中心位置的指标用来表示样本数据的集中趋势，反映了样本数据的平均水平。
常用的中心位置指标包括均值和中位数。
均值是样本数据的平均值，可用于表示样本数据的平均水平。
中位数是将样本数据按照大小顺序排列后位于中间位置的数值，能较好地反映样本数据的中心位置。
2. 离散程度的指标离散程度的指标用来表示样本数据的分散程度，反映了样本数据的离散程度。
常用的离散程度指标包括标准差和方差。
标准差是样本数据偏离均值的平均距离的平方根，是对样本数据的分散程度的度量。
方差是标准差的平方，是样本数据离均值的平均偏差的度量。
3. 形状的指标1. 点估计点估计是利用样本的数字特征估计总体的数字特征的一种方法。
点估计通常是利用样本的数字特征来估计总体的数字特征的一个数值。
比较常用的点估计方法包括样本均值估计总体均值、样本标准差估计总体标准差等。
用样本的数字特征估计总体的数字特征
用样本的数字特征估计总体的数字特征
样本的数字特征是描述样本数据分布情况的统计量，可以通过样本的数字特征来估计总体的数字特征。
在统计学中，常用的样本数字特征包括均值、中位数、方差、标准差和偏度等。
这些数字特征可以帮助我们了解数据的集中趋势、离散程度和偏斜程度，从而对总体的情况进行估计。
均值是样本数据的平均值，可以用来估计总体的平均值。
通过样本均值来估计总体均值的过程称为点估计。
如果样本均值是来自一个大样本，并且满足一些假设条件，那么根据中心极限定理，样本均值的抽样分布将服从正态分布，从而可以利用正态分布的性质进行总体均值的估计。
中位数是样本数据的中间值，可以用来估计总体的中位数。
中位数能够较好地反映数据的中间位置，不受极端值的影响。
对于偏斜的数据分布，中位数通常比均值更能够代表数据的中心位置。
方差和标准差是样本数据的离散程度的度量，可以用来估计总体的离散程度。
方差是各数据与均值之差的平方和的平均数，而标准差则是方差的平方根。
通过样本的方差和标准差，我们可以对总体的离散程度进行估计。
偏度是样本数据分布偏斜程度的度量，可以用来估计总体的偏斜程度。
偏度为0表示数据分布不存在偏斜，大于0表示右偏，小于0表示左偏。
通过样本的偏度，我们可以了解数据分布的偏斜情况，从而对总体的偏斜程度进行估计。
样本的数字特征可以帮助我们对总体的数字特征进行估计。
在进行估计时需要注意样本的代表性、样本容量以及样本的分布情况等因素，以确保估计的准确性和可靠性。
在进行估计时还可以利用区间估计的方法，即通过样本数字特征来估计总体数字特征的置信区间，以提高估计的精度和置信度。
2.2 样本的数字特征
练习1： 参加市数学调研抽测的某校高三学生成绩分布的茎叶图1和频率分布 直方图2均受到不同程度的破坏，但可见部分信息如下，据此解答如下问题： 求参加数学抽测的人数n，抽测成绩的中位数及分数分布在[80,90)，[90,100]内 的人数．
[答案] 分数在[50,60)内的频率为2，由频率分布直方图可以看出， 分数在[90,100]内的同样有2人． 由＝10×0.008，得n＝25. 由茎叶图可知抽测成绩的中位数为73. ∴分数在[80,90)之间的人数为25－(2＋7＋10＋2)＝4. 参加数学竞赛人数n＝25，中位数为73，分数在[80,90)， [90,100]内的人数分别为4人，2人
职务 人数 工资
董 事 副 董 董事 长 事长 1 5 500 1 5 000 2 3 500
总 经 经理 理 1 3 000 5 2 500
管 理 职员 员 3 2 000 20 1 500
[
解析] (1)平均数是 ＝1 500＋ ≈1 500＋591＝2 091(元)． 中位数是1 500元，众数是1 500元． (2)平均数是′＝1 500＋ ≈1 500＋1 788＝3 288(元)． 中位数是1 500元，众数是1 500元． (3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司职工的工资水平． 因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样 导致平均数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司职工的工资水平．
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 [解析] (1)甲＝(4＋5＋6＋7＋8)＝6， 乙＝(5×3＋6＋9)＝6， 甲的中位数是6， 乙的中位数是5. 甲的成绩的方差为(22×2＋12×2)＝2， 乙的成绩的方差为(12×3＋32×1)＝2.4. 甲的极差是4，乙的极差是4. 所以A，B，D错误，C正确．
样本的数字特征与样本分布的数字特征
样本的数字特征与样本分布的数字特征样本分布是从总体中按一定的分组标志选出来的部分样本容量，是指样本估计量的分布。
样本的数字特征是精确值，而样本分布的数字特征是估计值。
一、求样本的数字特征典型类型1.已知1x n x x ，， 2的平均数为3，标准差为2，求23-23-23-21+++n x x x ，，， 的平均数与方差。
分析：对平均数和方差定义的理解，对公式)()(,)(E 2x D a b ax D b x aE b ax =++=+）（的应用。
2.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10日，每天新增疑似病例不超过7人”。
过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下： 甲地：总体平均数为3，中位数为4； 乙地：总体平均数为1，总体方差大于0； 丙地：中位数为2，众数为3； 丁地：总体平均数为2，总体方差为3.A. 甲B.乙C.丙D.丁分析：本题的考查学生熟练掌握样本数字特征的意义以及分类讨论思想3.已知样本数据由小到大依次为2,3,3,7，a ，b,12,13.7,18.3,20，且样本的中位数为10.5，若使该样本的方差最小，则a ，b 的值分别为( ) A ．10,11 B ．10.5,9.5 C ．10.4,10.6 D ．10.5,10.5 分析：将求方差的最值转为二次函数的最值。
4.某校年级长为了解本校高三一模考试的数学成绩，随机抽取30名学生的一模数学成绩，如下所示：110 144 125 63 89 121 145 123 74 96 97 142 115 68 83 116 139 124 85 98132 147 128 133 99 117 107 113 96 141则这30名学生的一模成绩的25%分位数为________，50%分位数为________．分析：考查学生对分位数定义的理解5.了解每个工人对某零件的日加工量，统计员分别从两车间抽取了甲、乙两人日加工量的两个样本．抽到甲的一个样本容量为10，样本平均数为5，方差为1；乙的一个样本容量为12，样本平均数为6，方差为2.现将这两组样本合在一起，求合在一起后的样本的平均数与方差．分析：考查分层抽样下的数字特征公式的应用，条件假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，x m，平均数为x，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，y n，平均数为y，方差为t2结论如果记样本均值为a，样本方差为b2，则a＝m x＋n ym＋n，b2＝1m＋n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ms2＋nt2＋mnm＋nx－y2.令w1＝mm＋n，w2＝nm＋n，则a＝w1x＋w2y，其中w1，w2称为权重二、求样本分布的数字特征典型类型1.如图是一次考试结果的统计图，根据该图可估计，这次考试的平均分数为________．分析：样本分布—频数分布直方图2. 某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表：等待时间[0,5)[5,10)[10,15)[15,20)[20,25] (分钟)频数4852 1用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值x＝________.分析：样本分布——列表3.(2019·全国卷Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．分析：样本分布——频率分布直方图。
用样本的数字特征
称s2为这个样本的方差，
练习：若甲、乙两队比赛情况如下,下列说法哪些 说法是不正确的：
平均失球数 甲 1. 5 平均失球个数的标准差 1. 1
乙
2. 1
0. 4
1、平均来说，甲的技术比乙的技术好； 2、乙比甲技术更稳定； 3、甲队有时表现差，有时表现好； 4、乙队很少不失球。
全对
样本方差(样本标准差)是衡量一个样本 波动大小的量，样本方差(样本标准差) 越大，样本数据的波动就越大。
在一组数据中
1 平均数： 如果n个数x1,x2,x3……xn，那么 x ( x1 x2 x3 xn ) n 叫做这n个数的平均数
3、在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运 动员的成绩如下表所示：
成绩(米)
人数
1．50 1．60
2 3
1．65
2
1．70
3
1．75
4
1．80
1
1．85
1
1．90
1
分别求这些运动员成绩的众数，中位数与平均数 。 解：在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多， 即这组数据的众数是1.75． 上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列 的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数 据的中位数是1.70； 这组数据的平均数是 1 x (1.50 2 1.60 3 ... 1.90 1) 1.69 米 17 答：17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次是 1.75（米）、1.70（米）、1.69（米）。
用样本的数字特征 估计总体的数字特征
一：频率分布直方图
频在率分布直方图中， 所有小矩形面积之和为1
在一组数据中
用样本的数字特征估计总体数字特征
经 理 应聘者小范 我这里报酬不错, 我这里报酬不错, 月平均工资是2000 月平均工资是2000 你在这里好好干! 元,你在这里好好干!
第二天，小范上班了。 第二天，小范上班了。
你欺骗了我,我 你欺骗了我 我 已问过其他技 术员,没有一个 术员 没有一个 技术员的工资 超过2000元. 超过 元
四组样本数据的直方图是: 解:四组样本数据的直方图是 四组样本数据的直方图是
频率
频率
1.0 0.5
x=5
S=0.00 (1)
1.0
x=5
S=0.82
(2)
0.5
o 1 2 3 45 6 7 8
频率
o 12 3 4 5 6 7 8 1.0 频率
1.0
x=5
S=1.49
(3) 0.5
x=5
S=2.83
四.
三种数字特征的优缺点
1、众数体现了样本数据的最大集中 、 点，但它对其它数据信息的忽视使得无 法客观地反映总体特征.如上例中众数是 法客观地反映总体特征 如上例中众数是 2.25t,它告诉我们 月均用水量为 它告诉我们,月均用水量为 它告诉我们 月均用水量为2.25t的 的 居民数比月均用水量为其它数值的居民 数多,但它并没有告诉我们多多少 但它并没有告诉我们多多少. 数多 但它并没有告诉我们多多少
1 (x1 + x n
2
+… + xn)
众数、中位数、 二 、 众数、中位数、平均数 与频率分布直方图的关系
1、众数在样本数据的频率分布直方图 、 就是最高矩形的中点的横坐标。 中，就是最高矩形的中点的横坐标。 例如，在上一节调查的 例如，在上一节调查的100位居民的月 位居民的月 均用水量的问题中， 均用水量的问题中，从这些样本数据的频 率分布直方图可以看出， 率分布直方图可以看出，月均用水量的众 数是2.25t.如图所示： 如图所示： 数是 如图所示
样本数字特征估计总体数字特征
1、众数、中位数、平均数； （1）众数的定义: 在一组数据中，出现次数
最多的数据叫做这一组数据的众数。 众数的特点: (1)众数容易计算;
(2)众数只能表示样本数 据的很少一部分信息;: 将一组数据按大小依次
排列，把处在最中间位置的一个数据（或
两个数据的平均数）叫做这组数据的中位 数。
标准差为0的样本数据都等于样本平均数.
标准差表现为：标准差越大，表明数据的离散程 度就越大；反之，标准差越小，表明各数据的离 散程度就越小。
标准差的作用:
它用来描述样本数据的离散程度。在实际应用中，
标准差常被理解为稳定性。
8
1.农场种植的甲乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中 连续6年的年平均产量如下（单位：500g）：
中位数的特点: (1)中位数易计算,能较好地表
现数据信息;
(2)中位数不受少数极端数据 的影响;
(3)中位数常用于数据质量较
差(即存在一些数据错误)时.
2
复习：
（3）平均数的定义:一组数据的和除以数据 的个数所得到的数.
平均数的特点:(1)平均数能反映出更多的关于
样本数据全体的信息;
(2)任何一个样本数据的改变都 会影响到平均数的变化;
(3)平均数受极端值的影响较大;
(4)平均数主要用数据质量较好 的前提下.
3
2.用样本频率分布直方图估计样本的 众数,中位数和平均数
(1)众数规定为频率分直方图中最高矩形上端的 中点.
(2)中位数两边的直方图的面积相等
(3)平均数等于频率分布直方图中每个小矩形 的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.
4
练习1、某班12名学生体育考试跳高成绩如下 （单位：米）： 1.58 1.59 1.57 1.61 1.58 1.65 1.60 1.64 1.58 1.66 1.64 1.56 求这些学生跳高成绩的中位数、众数、平均数.
用样本的数字特征估计总体的数字特征
（B）4
（C）2
（D）1
1．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株 的分蘖数后，计算出样本方差分别为S甲2=11 ，S乙2=3.4，由此可以估计（ B ） （A）甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 （B）乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 （C）甲、乙种水稻分蘖整齐程度相同 （D）甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比 较
频率分布直方图损失了一些样本数据，得到的是 一个估计值，且所得的估计值与数据分组有关.
注: 在只有样本频率分布直方图的情况下， 我们可以按上述方法估计众数、中位数和平 均数，并由此估计总体特征.
频率 组距
0.5 0.44 0.3 0.28
众数： 最高矩形的中点 中位数：左右两边直方图的面积相等.
平均数：频率分布直方图中每 个小矩形的面积乘以 小矩形底边中点的横 坐标之和.
x乙
=
1（13+14+12+12+14）=13 5
s2甲
=
1 5
[(10
13)2
+(13
13)2
+(12
13)2
+(14
13)2
+(16
13)2
]=4
s2乙
=
1 5
[(13
13)2
+(14
13)2
+(12
13)2
+(12
13)
2
+(14
13)2
]=0.8
(2)由 s2甲＞s2乙可知乙的成绩较稳定．
从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，
算一算：在城市居民月均用水量样本数据的频率分布
直方图中，从左至右各个小矩形的面积分别是0.04， 0.08，0.15，0.22，0.25，0.14，0.06，0.04，0.02.由此 估计总体的平均数是什么？
5.2 样本的数字特征
的样本有9个 其频率为 其频率为0.818>p; 取Q=3.2，则小于等于 的样本有 个,其频率为 ，则小于等于3.2的样本有 大于等于3.2的样本有 的样本有3个 其频率为 其频率为0.27≥0.2=1-p. 大于等于 的样本有 个,其频率为
为上述样本的0.8分位数 故3.2为上述样本的 分位数 为上述样本的 分位数.
i =1
n 2 n
n
(2)∑ ( X i − X ) = 0
i =1
n
n 2 1 n 2 2 2 (3)∑ ( X i − X ) = ∑ X i − ( ∑ X i ) = ∑ X i − nX n i =1 i =1 i =1 i =1
2
2、样本方差，标准差和变异系数 、样本方差， ）、样本方差 （1）、样本方差 ）、
§5.2. 样本的特征数 1、样本均值 、
1 n X = ∑ Xi n i =1
观测值为
1 n x = ∑ xi n i =1
如果数据是分组整理过的,则有 则有: 如果数据是分组整理过的,则有:
1 k x = ∑ f i x( i ) n i =1
1
可以证明如下结论： 可以证明如下结论：
(1)∑ X i = n X
(1)众数 众数(mode)的观测值为样本观测值中重复 众数 的观测值为样本观测值中重复 出现的频数最大的观测值（或组中值）； 出现的频数最大的观测值（或组中值）；
7
(2)极差 极差(range)的观测值 最大观测值于最小 的观测值=最大观测值于最小 极差 的观测值 观测值之差； 观测值之差； (3)p分位数 分位数(0<p<1)的观测值 为样本观测值 的观测值Q为样本观测值 分位数 的观测值 中的某一个观测值(或组中值 ，不大于Q的观 中的某一个观测值 或组中值)，不大于 的观 或组中值 测值的频率不小于p，不小于 的观测值的频 测值的频率不小于 ，不小于Q的观测值的频 率不小于1-p； 率不小于 ；
用样本的数字特征估计总体的数字特征
用样本的数字特征估计总体的数字特征【知识点的知识】1．样本的数字特征：众数、中位数、平均数众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛．（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；（3）平均数：一组数据的算术平均数，即．2、三种数字特征的优缺点：：（1）样本众数通常用来表示分类变量的中心值，比较容易计算，但是它只能表示样本数据中的很少一部分信息．（2）中位数不受少数几个极端值的影响，容易计算，它仅利用了数据排在中间的数据的信息．（3）样本平均数与每个样本数据有关，所以，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变．这是中位数，众数都不具有的性质，也正因为这个原因，与众数，中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息．（4）如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．（5）使用者根据自己的利益去选择使用中位数或平均数来描述数据的中心，从而产生一些误导作用．3、如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数？利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数：估计众数：频率分布直方图面积最大的方条的横轴中点数字．（最高矩形的中点）估计中位数：中位数把频率分布直方图分成左右两边面积相等．估计平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．4、样本平均数、标准差对总体平均数、标准差的估计现实中的总体所包含的个体数往往是很多的，总体的平均数与标准差是不知道（或不可求）的．如何求得总体的平均数与标准差呢？通常的做法是用样本的平均数与标准差去估计总体的平均数与标准差．这与前面用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的．只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受的．如要考查一批灯泡的质量，我们可从中随机抽取一部分作为样本，要分析一批钢筋的强度，可以随机抽取一定数目的钢筋作为样本，只要样本的代表性强就可以用来对总体作出客观的判断．但需要注意的是，同一个总体，抽取的样本可以是不同的．如一个总体包含6个个体，现在要从中抽取3个作为样本，所有可能的样本会有20种不同的结果，若总体与样本容量较大，可能性就更多，而只要其中的个体是不完全相同的，这些相应的样本频率分布与平均数、标准差都会有差异．这就会影响到我们对总体情况的估计．。