高中数学完整讲义——复数

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高二数学复数知识点整理_高中数学复数知识点

高二数学复数知识点整理_高中数学复数知识点复数的概念：形如a+bi(a，b∈R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。

全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。

复数的表示：复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。

复数的几何意义：(1)复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，某轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。

显然，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数(2)复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。

这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。

复数的模：复数z=a+bi(a、b∈R)在复平面上对应的点Z(a，b)到原点的距离叫复数的模，记为|Z|，即|Z|=虚数单位i：(1)它的平方等于-1，即i2=-1;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立(3)i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程某2=-1的一个根，方程某2=-1的另一个根是-i。

(4)i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。

复数模的性质：复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a+bi(a、b∈R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0。

两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d。

新教材高中数学第5章复数1复数的概念及其几何意义复数的几何意义课件北师大版必修第二册

虚数不能比较大小，但它们的模表示非负实数，可以比较大小． (2)几何角度理解：表示复数的点 Z 到原点的距离．|z1－z2|表示复数
z1，z2 对应的点之间的距离．
思考2：复数模的几何意义是什么？提示：复数z在复平面内对应的点为Z,r表示一个大于0的常数,则满足条件 |z| ＝ r 的点 Z 的轨迹为以原点为圆心 , r 为半径的圆 , |z|<r 表示圆的内部,|z|>r表示圆的外部．
C．(0,0)
D．(－1,－1)
3．向量a＝(－2,1)所对应的复数是
A．z＝1＋2i
B．z＝1－2i
C．Z＝－1＋2i
D．z＝－2＋i
(A ) (D )
4．已知复数 z＝1＋2i(i 是虚数单位)，则 z ＝___1_－__2_i _.
[解析] 因为 z＝1＋2i，所以 z ＝1－2i.
5．已知复数 z＝(m2－2)＋(m－1)i 对应的点位于第二象限，则实数 m 的范围为__(_1_，___2_)_.
[分析] 根据复数与点、复数与向量的关系求解．
[解析] (1)两个复数对应的点分别为 A(10,7)，B(－6，1)，则 C(2,4)．故其对应的复数为 2＋4i.
(2)①由复数的几何意义知： O→A＝(1,0)，O→B＝(2,1)，O→C＝(－1,2)，所以A→B＝O→B－O→A＝(1,1)，A→C＝O→C－O→A＝(－2,2)，B→C＝O→C－O→B＝ (－3,1)，所以A→B，A→C，B→C对应的复数分别为 1＋i，－2＋2i，－3＋i.
[解析] 因为复数 z＝(m2－2)＋(m－1)i 对应的点(m2－2，m－1)位于第二象限，所以 m2－2<0，且 m－1>0，所以 1<m< 2.

《复数的概念》讲义

《复数的概念》讲义一、什么是复数在我们的数学世界中，数的概念不断发展和扩充。

从最初的自然数，到整数、有理数，再到实数。

而复数的出现，则为数学的领域打开了一扇新的大门。

那么，究竟什么是复数呢？简单来说，复数是形如 a ＋ bi 的数，其中 a 和 b 都是实数，i 是虚数单位，并且满足 i²＝－1。

这里的 a 被称为复数的实部，b 被称为复数的虚部。

当 b ＝ 0 时，复数 a ＋ bi 就变成了实数 a；当 a ＝ 0 且b ≠ 0 时，复数就变成了纯虚数 bi。

二、复数的表示方法1、代数形式正如前面所提到的，复数的代数形式就是 a ＋ bi，这是我们最常见也是最常用的表示方法。

2、几何形式在平面直角坐标系中，我们可以用点（a, b）来表示复数 a ＋ bi。

其中，横坐标 a 表示实部，纵坐标 b 表示虚部。

这样，复数就与平面上的点建立了一一对应的关系。

这个平面我们称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴。

3、三角形式复数还可以表示为 r（cosθ ＋isinθ）的形式，其中 r ＝√（a²＋ b²) 称为复数的模，θ 称为复数的辐角。

这种表示方法在涉及复数的乘除运算时非常有用。

三、复数的运算1、加法和减法两个复数相加（或相减），就是实部与实部相加（或相减），虚部与虚部相加（或相减）。

例如：（a ＋ bi) ＋（c ＋ di) ＝（a ＋ c) ＋（b ＋ d)i（a ＋ bi) （c ＋ di) ＝（a c) ＋（b d)i2、乘法复数的乘法按照多项式乘法的法则进行，同时要记住 i²＝－1。

例如：（a ＋ bi)×（c ＋ di) ＝ ac ＋ adi ＋ bci ＋ bdi²＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i3、除法为了进行复数的除法运算，我们通常先将分母实数化。

例如：（a ＋ bi)÷（c ＋ di) ＝（a ＋ bi)（c di)÷（c ＋ di)（c di)＝ ac ＋ bd ＋（bc ad)i÷（c²＋ d²)＝（ac ＋ bd)÷（c²＋ d²) ＋（bc ad)÷（c²＋ d²)i四、复数的应用1、在物理学中的应用在电学中，交流电路中的电压、电流等都可以用复数来表示，从而方便计算和分析。

高中复数知识点

高中复数知识点高中复数知识点复数是高中数学中的一个重要概念，它包含了实数和虚数。

在高中数学中学习复数的知识要点主要有以下几个方面。

一、复数的定义和表示复数由实部和虚部构成，一般表示为a+bi，其中a是实部，b是虚部。

复数的实部和虚部都可以是实数，当虚部为0时，复数就是一个实数。

二、复数的加法和减法复数的加法和减法遵循实数加法和减法的运算规律。

实部与实部相加，虚部与虚部相加。

例如：(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i。

三、复数的乘法和除法复数的乘法和除法遵循实数乘法和除法的运算规律。

即实部与实部相乘，虚部与虚部相乘，虚部的平方等于-1。

例如：(a+bi)·(c+di) = ac+adi+bci+bdi^2 = (ac-bd)+(ad+bc)i。

四、复数的模和幅角复数的模表示复数到原点的距离，可以用公式|a+bi| =√(a^2+b^2)来计算。

复数的幅角表示复数与实轴正半轴的夹角，可以用反三角函数来计算。

例如：复数a+bi的幅角为arctan(b/a)。

五、复数的乘方和开方对复数进行乘方，可以按照实数的乘方规则进行运算。

开方时，复数的开方有两个解，其中一个解是取正号，另一个解是取负号。

例如：开方公式为：√(a+bi) = ±√(r)e^(it/2)，其中r是模，t是幅角。

六、复数的共轭和商复数的共轭是将复数的虚部改为相反数得到的复数，表示为a-bi。

复数的商是对复数进行除法得到的值，其中分子和分母都可以为复数。

七、复数方程复数方程指的是含有复数未知数的方程。

解复数方程时，可以根据方程的形式进行变形和求解。

例如：线性复数方程的解是一个复数；二次复数方程的解可以用求根公式进行计算。

八、复数函数复数函数指的是函数的定义域和值都是复数。

复数函数包括代数函数和三角函数。

对于代数函数，其运算规则和实数函数一样。

对于三角函数，可以用欧拉公式将三角函数表示为指数函数的形式。

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2. 减法：z1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 b2)i
3. 乘法：z1 * z2 = (a1 * a2 - b1 * b2) + (a1 * b2 + a2 * b1)i
4. 除法：z1 / z2 = (a1 * a2 + b1 * b2) / (a2^2 + b2^2) + (b1 * a2 a1 * b2) / (a2^2 + b2^2)i
控制系统中的传递函数和稳定性分析也涉及到复数，是工程和科学领域的重要数学工具。
04
复数的历史和发展
复数的发展历程
01
02
03
复数概念的产生
起源于16世纪，数学家试图解决方程的根的问题，发现了虚数单位i。
复数的早期应用
在电气工程、流体力学等领域开始使用复数。
复数的普及
19世纪，数学家开始广泛地研究复数及其性质，并应用于数学、物理和工程等领域。
复数的共轭和模长
01
定义
复数的共轭定义为若z=a+bi，则其共轭为z*=a-bi。复数的模长定义为
|z|=sqrt(a^2+b^2)。
02
性质
复数的共轭具有共轭的共轭等于自身、共轭的加法运算等于减法运算等
性质；复数的模长具有模长的平方等于实部和虚部的平方和等性质。
03
计算方法
计算复数的共轭和模长时，可以利用共轭和模长的性质进行计算。
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contents
目录
• 复数的基本概念 • 复数的三角形式 • 复数的应用 • 复数的历史和发展 • 复数的扩展知识
01
复数的基本概念
复数的定义

高中数学竞赛第十五章复数【讲义】

第十五章复数一、基础知识1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。

便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。

所有复数构成的集合称复数集。

通常用C 来表示。

2．复数的几种形式。

对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。

因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。

因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。

若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。

若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ表示cos θ+isin θ，则z=re i θ，称为复数的指数形式。

3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。

模与共轭的性质有：（1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ⋅=⋅；（3）2||z z z =⋅；（4）2121z z z z =⎪⎪⎭⎫⎝⎛；（5）||||||2121z z z z ⋅=⋅；（6）||||||2121z z z z =；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2|z 1|2+2|z 2|2；（9）若|z|=1，则zz 1=。

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复数知识内容一、复数的看法1．虚数单位i:（1）它的平方等于 1 ，即i2 1 ；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律依旧建立．（3） i 与－ 1 的关系 :i 就是1的一个平方根，即方程21 的一个根，方程21 的另一个根是 -i ．x x（4） i 的周期性：i 4n 1i ， i 4n 2 1 ， i 4n 3i ， i 4 n 1 ．实数 a( b0)2．数系的扩大：复数a bibi( b0)纯虚数 bi( a0)虚数 a非纯虚数 a bi( a0)3．复数的定义：形如 a bi( a ，b R ) 的数叫复数， a 叫复数的实部，b叫复数的虚部．全体复数所成的会集叫做复数集，用字母 C 表示4．复数的代数形式 :平时用字母 z 表示，即z a bi (a ，b R) ，把复数表示成 a bi 的形式，叫做复数的代数形式．5．复数与实数、虚数、纯虚数及0 的关系：关于复数 a bi ( a ，b R) ，当且仅当 b0时，复数 a bi( a ，b R) 是实数a；当 b 0 时，复数z a bi 叫做虚数；当a0 且 b0 时， z bi 叫做纯虚数；当且仅当 a b 0 时，z就是实数 06．复数集与其他数集之间的关系：N 苘Z Q 苘 R C7．两个复数相等的定义：假如两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，假如a，a，b，d，c ，d R ，那么 a bi c di a c ，b d二、复数的几何意义1．复平面、实轴、虚轴：复数 z a bi( a ，b R ) 与有序实数对 a ，b是一一对应关系．建立一一对应的关系．点 Z 的横坐标是 a ，纵坐标是b，复数z a bi( a ，b R ) 可用点 Z a ，b 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．2．．关于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为0 ，0 ，它所确立的复数是z 0 0i 0 表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．3．复数 z a bi一一对应复平面内的点 Z (a ，b)这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．三、复数的四则运算1．复数z1与z2的和的定义：z1z2 a bi c di a c b d i2．复数z1与z2的差的定义：z1 z2 a bi c di a c b d i3．复数的加法运算满足交换律: z1z2z2z14．复数的加法运算满足联合律: ( z1z2 )z3z1(z2 z3 )5．乘法运算规则：设 z1 a bi ， z2c di ( a、b、c、d R )是任意两个复数，那么它们的积 z1 z2 a bi c di ac bd bc ad i其实就是把两个复数相乘，近似两个多项式相乘，在所得的结果中把i 2换成1，而且把实部与虚部分别合并．两个复数的积依旧是一个复数．6．乘法运算律：（1） z1 z2 z3z1 z2 z3（2） (z1 z2 ) z3z1 ( z2 z3 )（3） z 1 z 2 z 3z 1 z 2 z 1 z 37．复数除法定义：满足 c di x yia bi 的复数 x yi ( x 、 y R )叫复数 abi 除以复数 cdi 的商，记为：(a bi)c di 也许abic di8．除法运算规则：设复数 a bi ( a 、 b R ) ，除以 c di ( c ， d R )，其商为 x yi （ x 、 yR ) ，即 ( a bi) c dixyi ∵ xyi c dicx dydx cy i∴ cxdydx cy i a bix ac bdcx dy ac 2d 2由复数相等定义可知，解这个方程组，得dxcyb bc，yadc 2d 2于是有 : (a bi)cdi ac bdbc adi2 222cdcd ②利用c di c di c 22abi的分母有理化得：d 于是将 c di原式a bi (abi)( c di) [ ac bi ( di)] (bc ad)ic di (cdi)( cdi)c2d2(acbd ) (bc ad)i ac bd bc adc 2d 2 c 2 d 2 c 2d 2 i ．∴ ( (abi)c di ac bd bc adc 2d 22d 2ic评论 : ①是惯例方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采纳的分母有理化思想方法，而复数 c di 与复数 c di ，相当于我们初中学习的3 2 的对偶式 3 2 ，它们之积为1是有理数，而 c di c dic 2d 2 是正实数．所以可以分母实数化．把这类方法叫做分母实数化法．9．共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。

高中数学课件：复数

[易错矫正] 解题时易出现的错误是忽视复数相等的条件．第 1 题是实系数方程，直接利用复数相等可得方程组；第 2 题中 a 是复数，必须设出复数 a 的代数形式后才满足复数相等的条件，才可以列方程组求解．
二、结论通通用(与复数运算有关的结论) [二级结论]
复数的几个常见结论 (1)(1±i)2＝±2i； (2)11＋－ii＝i，11＋－ii＝－i； (3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i， i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈Z )；
四、“基本活动体验”不可少欧拉公式 eix＝cos x＋isin x(i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．特别是当 x＝π 时，eix＋1＝0 被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”．根据欧拉公式可知，e4i 表示的复数在复平面中位于第几象限？解：因为 e4i＝cos 4＋isin 4，cos 4<0，sin 4<0，所以 e4i 表示的复数在复平面中位于第三象限．
高中数学课件：复数
第四节复数
一、“基础知识”掌握牢 1．复数的定义及分类 (1)复数的定义：形如 a＋bi(a，b∈R )的数叫做复数，其中实部是 a ，虚部是 b . (2)复数的分类：
实数 b＝0，复 a，数bz∈＝Ra＋ bi虚数b≠0非纯纯虚虚数数a＝a≠00，.
2．复数的有关概念
[一“点”就过] 复数代数形式运算问题的解题策略
复数在进行复数的加减法运算时，可类比合并同的加类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与减法虚部相加减)计算即可复数复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将的乘含有虚数单位 i 的看作一类同类项，不含 i 的

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知识内容一、复数的概念1．虚数单位i:（1）它的平方等于，即；1-21i =-（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立．（3）i 与－1的关系:i 就是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是-i ．1-21x =-21x =-（4）i 的周期性：，，，．41n i i +=421n i +=-43n i i +=-41n i =2．数系的扩充：复数(0)i i(0)i(0)i(0)a b a b b a a b b a b a =⎧⎪+=⎧⎨+≠⎨⎪+≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数3．复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做i()a b a b +∈R ，a b 复数集，用字母表示C 4．复数的代数形式:通常用字母表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式．z ()z a bi a b R =+∈，a bi +5．复数与实数、虚数、纯虚数及的关系：0对于复数，当且仅当时，复数是实数；当时，复数()a bi a b R +∈，0b =()a bi a b R +∈，a 0b ≠叫做虚数；当且时，叫做纯虚数；当且仅当时，就是实数z a bi =+0a =0b ≠z bi =0a b ==z 0复数h i n6．复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C ÜÜÜÜ7．两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果，a ，，，那么，a b d ，，c d ∈R i ia b c d +=+⇔a c =b d =二、复数的几何意义1．复平面、实轴、虚轴：复数与有序实数对是一一对应关系．建立一一对应的关系．点的横i()z a b a b =+∈R ，()a b ，Z 坐标是，纵坐标是，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来a b i()z a b a b =+∈R ，()Z a b ，表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．实轴上的点都表x y 示实数．2．．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是()00，表示是实数．00i 0z =+=除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．3．复数复平面内的点z a bi =+←−−−→一一对应()Z a b ，这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．三、复数的四则运算1．复数与的和的定义：1z 2z 12z z +=()()i i a b c d +++=()()ia cb d +++2．复数与的差的定义：1z 2z 12z z -=()()i i a b c d +-+=()()ia cb d -+-3．复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+4．复数的加法运算满足结合律:123123()()z z z z z z ++=++5．乘法运算规则：设，(、、、)是任意两个复数，1i z a b =+2i z c d =+a b c d ∈R 那么它们的积()()()()12i i izz a b c dac bd bc ad =++=-++其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与2i 1-虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数．6．乘法运算律：（1）()()123123z z z z z z =（2）123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅（3）()1231213z z z z z z z +=+7．复数除法定义：满足的复数(、)叫复数除以复数的商，记为：()()()i i i c d x y a b ++=+x yi +x y ∈R a bi +c di +或者()()a bi c di +÷+a bi c di++8．除法运算规则：设复数 (、)，除以 (，)，其商为（、)，i a b +a b ∈R i c d +c d ∈R i x y +x y ∈R 即∵()(i)i i a b c d x y +÷+=+()()()()x yi c di cx dy dx cy i ++=-++∴()()i icx dy dx cy a b -++=+由复数相等定义可知解这个方程组，得cx dy a dx cy b -=⎧⎨+=⎩，2222ac bd x c d bc ad y c d +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，于是有: ()(i)i a b c d +÷+2222ac bd bc adic d c d +-=+++②利用于是将的分母有理化得：()()22i i c d c d c d +-=+iia b c d ++原式22i (i)(i)[i (i)]()ii (i)(i)a b a b c d ac b d bc ad c d c d c d c d ++-+⋅-+-===++-+．222222()()i i ac bd bc ad ac bd bc adc d c d c d++-+-==++++∴(()(i)i a b c d +÷+=2222iac bd bc adc d c d +-+++点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数与复数，它们之积i c d +i c d --为是有理数，而是正实数．所以可以分母实数化．把这种方法叫做分1()()22c di c di c d +-=+母实数化法．9．共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。

数学基础讲义-第九章复数

第九章复数复数是对实数域拓展得到的新的数域，然而复数其实并不算是全新的概念，它与已经学习的实数和向量都有直接联系。

根据实数的运算进一步推广即可得到复数的性质和运算规律；复数与向量在形式上具有诸多相同点并能建立起对应关系。

复数也具有显著的“数形结合”的特点，通过虚数单位i将“数”与“形”更加直接地结合了起来。

高中阶段对复数的学习和考察的内容较为基本，可以将学习本章当作对代数运算与向量知识的复习。

一、虚数与复数从用于计数的自然数开始，先根据加法和减法拓展到整数，再根据乘法和除法拓展到有理数，又根据乘方和开方拓展到实数，现在进一步拓展到复数。

1.1 实数与虚数解一元二次方程时，根据各项系数可以判断方程根的情况。

对于一元二次方程20ax bx c（0a ）配方得：2224 (24b b ac xa a等式左边是完全平方数，恒大于等于0，由此可得：若240b ac，则方程有2个不同的实根。

若240b ac，则方程有2个相同的实根，或称只有1个实根。

若240b ac，则方程有没有实根。

为了令一元二次方程总是有解，现在规定根号内也可为负数，即：虚数。

现在只简单生硬地规定：对于虚数的具体含义，接下来将根据该规定，结合具体运算进行推导。

为方便地表示虚数，再引入一个新的单位：虚数单位，一般用符号i 表示。

其定义式为：i将实数的乘法运算作用于虚数单位i 。

任意虚数都可以用一个实数与虚数单位i 的乘积表示：5i根据虚数单位的定义i ，可得到关于i 的一系列运算规律：221i321i i i i i4242()(1)1i i即：对于任意k Z ，都有：41k i ，41k i i ，421k i ，43k i i 虚数的表示方式也适用于实数，只是通常被省略了。

若将“1”看作“实数单位”，即：1 。

“实数单位”“1”1 。

可以将实数和虚数看作分别属于两个不同“空间”的数，实数以1）为单位，在“实在”的空间内；i ）为单位，在“虚拟”的空间内。

(完整版)高中数学复数

第1章：复数与复变函数 §1 复数1．复数域形如iy x z +=的数，称为复数，其中y x ,为实数。

实数x 和实数y 分别称为复数iy x z +=的实部与虚部。

记为z x Re =， z y Im =虚部为零的复数可看成实数，虚部不为零的复数称为虚数，实部为零虚部不为零的复数称为纯虚数。

复数iy x z -= 和iy x z +=称为互为共轭复数，z 的共轭复数记为z 。

设，复数的四则运算定义为加（减）法：乘法：除法：相等：当且仅当复数的四则运算满足以下运算律 ①加法交换律 1221z z z z +=+②加法结合律 321321)()(z z z z z z ++=++ ③乘法交换律 1221z z z z ⋅=⋅④乘法结合律 321321)()(z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅⑤乘法对加法的分配律 3121321)(z z z z z z z ⋅+⋅=+⋅全体复数在引入相等关系和运算法则以后，称为复数域. 在复数域中，复数没有大小. 正如所有实数构成的集合用R 表示，所有复数构成的集合用C 表示。

例设i 3,i 5221+=-=z z ，求21z z ．分析：直接利用运算法则也可以，但那样比较繁琐，可以利用共轭复数的运算结果。

解为求21z z ，在分子分母同乘2z ，再利用1i 2-=，得 i 101710110i 171)i 3)(i 52(2222121-=-=--=⋅⋅=zz z z z z z 2．复平面一个复数iy x z +=本质上由一对有序实数唯一确定。

于是能够确定平面上全部的点和全体复数间一一对应的关系。

如果把x 和y 当作平面上的点的坐标，复数z 就跟平面上的点一一对应起来，这个平面叫做复数平面或z 平面，x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴. 在复平面上，从原点到点所引的矢量与复数z 也构成一一对应关系，且复数的相加、减与矢量相加、减的法则是一致的，即满足平行四边形法则，例如：这样，构成了复数、点、矢量之间的一一对应关系. 3．复数的模与辐角向量的长度称为复数的模或绝对值，即：易知：(1)(2)(3)(4) 点与点的距离为实轴正向到非零复数所对应的向量间的夹角满足称为复数的辐角，记为：。

高中数学复数讲义

例4.复数（）
（A）（B）（C）（D）
练习1.复数（）
A、 B、 C、 D、
练习2.复数
（A）（B）（C）（D）
例5.下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（）
的共轭复数为的虚部为
（C）
练习1.设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )．
A．若|z1－z2|＝0，则 B．若，则
思考：实轴上的点都表示________，原点表示，除了原点外虚轴上的点都表示 ___________.
在复平面内对应的点______________，对应的点______________，
实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数_____________，
虚轴上的点表示纯虚数____________；
例3. 已知复数的虚部为，在复平面内复数对应的向量的模为2，求复数 .
练习1.已知，复数z的实部为a，虚部为1，则的取值范围是
例4. 设复数满足，则 =（）
A． B． C． D．
练习1.若复数z满足，则z=
【知识点梳理】
1．复数与的和的定义：
2．复数与的差的定义：
3．乘法运算规则：
练习1.若是虚数单位，，则为（）
A.0B.1C.2D.3
例4. 已知是虚数单位，复数，当取何实数时，是：
（1）实数（2）虚数（3）纯虚数（4）零
例5.已知复数，则实数x=
练习1.若不等式成立，则实数
专题精讲
【知识点梳理】
1. 复数与有序实数对是一一对应关系；若点Z的横坐标是，纵坐标是，则复数可用点表示，其中这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴

高中数学复数知识点

高中数学复数知识点在高中数学中，复数是一个重要且有趣的概念。

它由实数和虚数构成，可以用到各种数学问题的解决中。

接下来，我们将深入探讨高中数学中的复数知识点。

一、复数的定义复数是由实数和虚数构成。

实数是我们通常使用的正数、负数和零，而虚数是-1的平方根的倍数，用i表示。

复数形式可以写成a+bi的形式，其中a是实部，b是虚部。

二、复数的运算法则1. 复数的加法和减法复数的加法就是将实部和虚部相加。

例如，(3+2i) + (4-3i) = (7-i)。

而复数的减法则是将实部和虚部相减。

例如，(3+2i) - (4-3i) = (-1+5i)。

2. 复数的乘法和除法复数的乘法是将实部和虚部按照分配律相乘。

例如，(3+2i) * (4-3i)= (12+8i-9i+6i^2)= (18-1i) = (18-i)。

而复数的除法就是用乘法的逆运算。

例如，(3+2i) / (4-3i) = (18+7i) / 25。

三、复数的模和共轭1. 复数的模复数的模是一个复数到原点的距离，可以用来计算复数的大小或大小比较。

复数z=a+bi的模可以表示为|z|=√(a^2+b^2)。

例如，复数2+3i的模为√(2^2+3^2)=√(4+9)=√13。

2. 复数的共轭复数的共轭是将复数的虚部取负。

例如，复数3+4i的共轭为3-4i。

共轭复数在复数的乘法和除法中起着重要的作用。

四、复数的指数形式复数的指数形式可以用极坐标来表示。

复数z可以有模和辐角表示，即z=r*e^(iθ)。

其中，r是复数的模，θ是复数的幅角。

复数的指数形式在复数的乘法和除法中特别有用。

五、复数的解析几何复数在解析几何中有广泛的应用。

实部和虚部可以分别表示平面上的横坐标和纵坐标，而复数的加法和减法可以表示平移移动。

同时，复数的乘法和除法可以表示旋转和缩放。

六、复数的应用1. 三角函数复数可以用来表示三角函数，例如正弦函数和余弦函数。

欧拉公式是复数和三角函数之间的重要关系，即e^(iθ)=cosθ+isinθ。

高中数学必修二第9章：复数-知识点

1高中数学必修二第9章：复数-知识点1、形如 a+bi (a,b ∈R)的数叫做复数，其中，i 叫做虚数单位，规定i ²= -1 ，a 和b 分别叫做复数的实部（记作Rez ）和虚部（记作Imz ），实数部分为 a ，虚数部分为 bi ，如果两个复数相等，则它们的实部和虚部分别对应相等。

2、复数的分类：① b=0 时，z 是实数；②b ≠0但a =0时，z 是纯虚数；③b ≠0且a ≠0时，z 是非纯虚数。

3、共轭复数：实部相等而虚部互为相反数的两个复数，复数z 的共轭复数用z 表示，当z=a+bi 时，z = a-bi 。

4、复数的运算：①加法，(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i ，②减法，(a+bi)-(c+di) = (a-c)+(b-d)i ，③乘法，(a+bi)×(c+di) = (ac-bd)+(bc+ad)i ，复数的乘法满足交换律，结合律和分配律。

④乘方，z m ·z n = z m+n ，(z m )n = z mn ，(z 1·z 2)m = z 1m ·z 2m 。

⑤除法，di c bi a ++= )di c (di)c ()di bi)(c a (-+-+ = i d c ad bc d c bd ac 2222+-+++ ，除法运算的关键在于分母实数化，即将分子分母同时乘以分母的共轭复数。

5、熟记：①i n 的规律，i 4n+1= i ，i 4n+2= -1 ，i 4n+3= -i ，i 4n = 1。

②(1+i)2= 2i ，(1-i)2= -2i ，③i 1= -i ，i -1i 1+= i ，i 1i1+-= -i 。

6、在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，点Z (a,b)以及向量OZ (a,b)与复数z=a+bi 具有一一对应关系。

实轴上的点表示实数，虚轴上的点（原点除外）表示纯虚数。

上海高中数学-复数讲义

复数一、知识点梳理： 1、i 的周期性: i 4=1，所以，i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=—i ， i 4n=1()n Z ∈()44142430n n n n i i i i n Z ++++++=∈2、复数的代数形式：(),a bi a b R +∈，a 叫实部，b 叫虚部，实部和虚部都是实数。

{}|,C a bi a b R =+∈叫做复数集。

N Z Q R C 。

3、复数相等：a bi c di a c +=+⇔=且b=d ；00a bi a +=⇔=且b=04、复数的分类：0,0)0)0,0)Z a bi a a ⎧⎪=+≠≠⎧⎨≠⎨⎪≠=⎩⎩实数 (b=0)复数一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b虚数不能比较大小，只有等与不等。

即使是3,62i i ++也没有大小。

5、复数的模：若向量OZ 表示复数z ，则称OZ 的模r 为复数z 的模， 22||z a bi a b =+=+积或商的模可利用模的性质（1）112n n z z z z z ⋅=⋅⋅⋅，（2)()112220z z zz z =≠6、复数的几何意义：复数(),z a bi a b R =+∈←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b (),Z a bi a b R =+∈↔一一对应复数平面向量OZ ，7、复平面：这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面，其中x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴,实轴上的点都表示实数;除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数8、复数代数形式的加减运算复数z 1与z 2的和：z 1+z 2=（a +bi ）+(c +di ）=(a +c ）+(b +d )i 。

(),,,a b c d R ∈ 复数z 1与z 2的差：z 1—z 2=(a +bi )—(c +di ）=(a -c ）+(b —d )i . (),,,a b c d R ∈ 复数的加法运算满足交换律和结合律数加法的几何意义:复数z 1=a +bi ，z 2=c +di (),,,a b c d R ∈;OZ = 1OZ +2OZ =(a ，b ）+（c ，d )=（a +c ，b +d ）＝（a +c ）+(b +d )i复数减法的几何意义:复数z 1-z 2的差（a －c ）+(b －d ）i 对应由于1212Z Z OZ OZ =-，两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应. 9. 特别地，AB z = z B －z A 。

高中数学竞赛讲义第十五章复数【讲义】

第十五章复数一、基础知识1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根,i 称为虚数单位,由i 与实数进行加、减、乘、除等运算.便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数,称为复数.所有复数构成的集合称复数集.通常用C 来表示. 2．复数的几种形式.对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ）,a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式,它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标,那么z 与坐标平面唯一一个点相对应,从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射.因此复数可以用点来表示,表示复数的平面称为复平面,x 轴称为实轴,y 轴去掉原点称为虚轴,点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标,复数z 又对应唯一一个向量.因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式,称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z,见图15-1,连接OZ,设∠xOZ=θ,|OZ|=r,则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ),这种形式叫做三角形式.若z=r(cos θ+isin θ),则θ称为z 的辐角.若0≤θ<2π,则θ称为z 的辐角主值,记作θ=Arg(z). r 称为z 的模,也记作|z|,由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ表示cos θ+isin θ,则z=re i θ,称为复数的指数形式.3．共轭与模,若z=a+bi,（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数.模与共轭的性质有：（1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ⋅=⋅；（3）2||z z z =⋅；（4）2121z z zz =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛；（5）||||||2121z z z z ⋅=⋅；（6）||||||2121z z z z =；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2|z 1|2+2|z 2|2；（9）若|z|=1,则zz 1=. 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致,运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式,加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式,若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1), z 2=r 2(cos θ2+isin θ2),则z 1••z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若21212,0r r z z z =≠[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)],用指数形式记为z 1z 2=r 1r 2ei(θ1+θ2),.)(212121θθ-=i e r r z z 5.棣莫弗定理：[r(cos θ+isin θ)]n=r n(cosn θ+isinn θ). 6.开方：若=n w r(cos θ+isin θ),则)2sin2(cosnk i nk r w n πθπθ+++=,k=0,1,2,…,n-1.7．单位根：若w n=1,则称w 为1的一个n 次单位根,简称单位根,记Z 1=ni n ππ2sin 2cos +,则全部单位根可表示为1,1Z ,1121,,-n Z Z .单位根的基本性质有（这里记k k Z Z 1=,k=1,2,…,n-1）：（1）对任意整数k,若k=nq+r,q ∈Z,0≤r ≤n-1,有Z nq+r =Z r ；（2）对任意整数m,当n ≥2时,有mn m m Z Z Z 1211-++++ =⎩⎨⎧,|,,|,0m n n m n 当当特别1+Z 1+Z 2+…+Z n-1=0；（3）x n-1+x n-2+…+x+1=(x-Z 1)(x-Z 2)…(x-Z n-1)=(x-Z 1)(x-21Z )…(x-11-n Z ).8.复数相等的充要条件：（1）两个复数实部和虚部分别对应相等；（2）两个复数的模和辐角主值分别相等.9．复数z 是实数的充要条件是z=z ;z 是纯虚数的充要条件是：z+z =0（且z ≠0）. 10.代数基本定理：在复数范围内,一元n 次方程至少有一个根.11．实系数方程虚根成对定理：实系数一元n 次方程的虚根成对出现,即若z=a+bi(b ≠0)是方程的一个根,则z =a-bi 也是一个根.12．若a,b,c ∈R,a ≠0,则关于x 的方程ax 2+bx+c=0,当Δ=b 2-4ac<0时方程的根为.22,1aib x ∆-±-=二、方法与例题 1．模的应用.例1 求证：当n ∈N +时,方程(z+1)2n +(z-1)2n=0只有纯虚根.例2 设f(z)=z 2+az+b,a,b 为复数,对一切|z|=1,有|f(z)|=1,求a,b 的值.2.复数相等.例3 设λ∈R ,若二次方程(1-i)x 2+(λ+i)x+1+λi=0有两个虚根,求λ满足的充要条件.3．三角形式的应用.例4 设n ≤2000,n ∈N,且存在θ满足(sin θ+icos θ)n=sinn θ+icosn θ,那么这样的n 有多少个？4．二项式定理的应用.例5 计算：（1）100100410021000100C C C C +-+- ；（2）99100510031001100C C C C --+-5．复数乘法的几何意义.例6 以定长线段BC 为一边任作ΔABC,分别以AB,AC 为腰,B,C 为直角顶点向外作等腰直角ΔABM 、等腰直角ΔACN.求证：MN 的中点为定点.例7 设A,B,C,D 为平面上任意四点,求证：AB •AD+BC •AD ≥AC •BD.6．复数与轨迹.例8 ΔABC 的顶点A 表示的复数为3i,底边BC 在实轴上滑动,且|BC|=2,求ΔABC 的外心轨迹.7．复数与三角.例9 已知cos α+cos β+cos γ=sin α+sin β+sin γ=0,求证：cos2α+cos2β+cos2γ=0.例10 求和：S=cos200+2cos400+…+18cos18×200.8．复数与多项式.例11 已知f(z)=c 0z n +c 1z n-1+…+c n-1z+c n 是n 次复系数多项式(c 0≠0). 求证：一定存在一个复数z 0,|z 0|≤1,并且|f(z 0)|≥|c 0|+|c n |.9.单位根的应用.例12 证明：自⊙O 上任意一点p 到正多边形A 1A 2…A n 各个顶点的距离的平方和为定值.10．复数与几何.例13 如图15-2所示,在四边形ABCD 内存在一点P,使得ΔPAB,ΔPCD 都是以P 为直角顶点的等腰直角三角形.求证：必存在另一点Q,使得ΔQBC,ΔQDA 也都是以Q 为直角顶点的等腰直角三角形.例14 平面上给定ΔA 1A 2A 3及点p 0,定义A s =A s-3,s ≥4,构造点列p 0,p 1,p 2,…,使得p k+1为绕中心A k+1顺时针旋转1200时p k 所到达的位置,k=0,1,2,…,若p 1986=p 0.证明：ΔA 1A 2A 3为等边三角形.三、基础训练题1．满足(2x 2+5x+2)+(y 2-y-2)i=0的有序实数对(x,y)有__________组. 2．若z ∈C 且z2=8+6i,且z3-16z-z100=__________. 3.复数z 满足|z|=5,且(3+4i)•z 是纯虚数,则 z __________.4．已知iz 312+-=,则1+z+z 2+…+z1992=__________.5.设复数z 使得21++z z 的一个辐角的绝对值为6π,则z 辐角主值的取值范围是__________. 6．设z,w,λ∈C,|λ|≠1,则关于z 的方程z -Λz=w 的解为z=__________.7.设0<x<1,则2arctan=+-+-+2211arcsin 11x x x x __________. 8.若α,β是方程ax 2+bx+c=0（a,b,c ∈R ）的两个虚根且R ∈βα2,则=βα__________. 9．若a,b,c ∈C,则a 2+b 2>c 2是a 2+b 2-c 2>0成立的__________条件.10．已知关于x 的实系数方程x 2-2x+2=0和x 2+2mx+1=0的四个不同的根在复平面上对应的点共圆,则m 取值的集合是__________.11．二次方程ax 2+x+1=0的两根的模都小于2,求实数a 的取值范围.12．复平面上定点Z 0,动点Z 1对应的复数分别为z 0,z 1,其中z 0≠0,且满足方程|z 1-z 0|=|z 1|,①另一个动点Z 对应的复数z 满足z 1•z=-1,②求点Z 的轨迹,并指出它在复平面上的形状和位置.13．N 个复数z 1,z 2,…,z n 成等比数列,其中|z 1|≠1,公比为q,|q|=1且q ≠±1,复数w 1,w 2,…,w n 满足条件：w k =z k +kz 1+h,其中k=1,2,…,n,h 为已知实数,求证：复平面内表示w 1,w 2,…,w n 的点p 1,p 2,…,p n 都在一个焦距为4的椭圆上. 四、高考水平训练题1．复数z 和cos θ+isin θ对应的点关于直线|iz+1|=|z+i|对称,则z=__________. 2.设复数z 满足z+|z|=2+i,那么z=__________.3．有一个人在草原上漫步,开始时从O 出发,向东行走,每走1千米后,便向左转6π角度,他走过n 千米后,首次回到原出发点,则n=__________.4.若12102)1()31()34(i i i z -+--=,则|z|=__________.5.若a k ≥0,k=1,2,…,n,并规定a n+1=a 1,使不等式∑∑==++≥+-nk k nk k k k k a aa a a 112112λ恒成立的实数λ的最大值为__________.6．已知点P 为椭圆15922=+y x 上任意一点,以OP 为边逆时针作正方形OPQR,则动点R 的轨迹方程为__________.7．已知P 为直线x-y+1=0上的动点,以OP 为边作正ΔOPQ(O,P,Q 按顺时针方向排列).则点Q 的轨迹方程为__________.8．已知z ∈C,则命题“z 是纯虚数”是命题“R zz ∈-221”的__________条件. 9．若n ∈N,且n ≥3,则方程z n+1+z n-1=0的模为1的虚根的个数为__________. 10．设(x2006+x2008+3)2007=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n,则2222543210a aa a a a --++-+…+a 3k -=++-++n k k a a a 222313__________. 11.设复数z 1,z 2满足z1•0212=++z A z A z ,其中A ≠0,A ∈C.证明：（1）|z 1+A|•|z 2+A|=|A|2；（2）.2121Az Az A z A z ++=++12．若z ∈C,且|z|=1,u=z 4-z 3-3z 2i-z+1.求|u|的最大值和最小值,并求取得最大值、最小值时的复数z.13.给定实数a,b,c,已知复数z 1,z 2,z 3满足⎪⎩⎪⎨⎧=++===,1,1||||||133221321z z z z z zz z z 求|az 1+bz 2+cz 3|的值.三、联赛一试水平训练题1．已知复数z 满足.1|12|=+zz 则z 的辐角主值的取值范围是__________. 2．设复数z=cos θ+isin θ(0≤θ≤π),复数z,(1+i)z,2z 在复平面上对应的三个点分别是P,Q,R,当P,Q,R 不共线时,以PQ,PR 为两边的平行四边形第四个顶点为S,则S 到原点距离的最大值为__________.3．设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为z 1,z 2,…,z 20,则复数1995201995219951,,,z z z 所对应的不同点的个数是__________.4．已知复数z 满足|z|=1,则|z+iz+1|的最小值为__________. 5．设i w 2321+-=,z 1=w-z,z 2=w+z,z 1,z 2对应复平面上的点A,B,点O 为原点,∠AOB=900,|AO|=|BO|,则ΔOAB 面积是__________. 6．设5sin5cosππi w +=,则(x-w)(x-w 3)(x-w 7)(x-w 9)的展开式为__________.7．已知(i +3)m =(1+i)n(m,n ∈N +),则mn 的最小值是__________.8．复平面上,非零复数z1,z2在以i 为圆心,1为半径的圆上,1z •z 2的实部为零,z 1的辐角主值为6π,则z 2=__________. 9.当n ∈N,且1≤n ≤100时,n i ]1)23[(7++的值中有实数__________个. 10．已知复数z 1,z 2满足2112z z z z =,且31π=Argz ,62π=Argz ,π873=Argz ,则321z z z Arg+的值是__________. 11．集合A={z|z 18=1},B={w|w 48=1},C={zw|z ∈A,w ∈B},问：集合C 中有多少个不同的元素？ 12．证明：如果复数A 的模为1,那么方程A ixix n=-+)11(的所有根都是不相等的实根（n ∈N +）. 13.对于适合|z|≤1的每一个复数z,要使0<|αz+β|<2总能成立,试问：复数α,β应满足什么条件？六、联赛二试水平训练题1．设非零复数a 1,a 2,a 3,a 4,a 5满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++===,)(41543215432145342312S a a a a a a a a a a a a a a a a a a 其中S 为实数且|S|≤2,求证：复数a 1,a 2,a 3,a 4,a 5在复平面上所对应的点位于同一圆周上. 2．求证：)2(2)1(sin 2sinsin1≥=-⋅⋅⋅-n nn n n nn πππ. 3．已知p(z)=z n+c 1z n-1+c 2z n-2+…+c n 是复变量z 的实系数多项式,且|p(i)|<1,求证：存在实数a,b,使得p(a+bi)=0且(a 2+b 2+1)2<4b 2+1.4．运用复数证明：任给8个非零实数a 1,a 2,…,a 8,证明六个数a 1a 3+a 2a 4, a 1a 5+a 2a 6, a 1a 7+a 2a 8, a 3a 5+a 4a 6, a 3a 7+a 4a 8,a 5a 7+a 6a 8中至少有一个是非负数.5．已知复数z 满足11z 10+10iz 9+10iz-11=0,求证：|z|=1. 6.设z 1,z 2,z 3为复数,求证：|z 1|+|z 2|+|z 3|+|z 1+z 2+z 3|≥|z 1+z 2|+|z 2+z 3|+|z 3+z 1|.。