四年级奥数生活中的数学(教师版)

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四年级奥数-教师版-第三讲-方阵问题

四年级奥数-教师版-第三讲-方阵问题(总10页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第三讲方阵问题知识导航学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。

如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。

核心公式：1．方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）2．方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）＋13．方阵外一层总人数比内一层总人数多24．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1例1:学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人?解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数。

根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。

方阵最外层每边人数：60÷4+1=16（人）整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）。

【巩固1】某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人这个方阵共有五年级学生多少人解析：根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。

解：方阵最外层每边人数：60÷4＋1=16（人）整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）答：方阵最外层每边有16人，此方阵中共有256人。

【巩固2】晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？解析：方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个.知道最外面一层每边放14个，就可以求第二层及第三层每边个数.知道各层每边的个数，就可以求出各层总数。

解法1：最外边一层棋子个数：（14-1）×4=52（个）第二层棋子个数：（14-2-1）×4=44（个）- 10 -- 11 -第三层棋子个数：（14-2×2-1）×4=36（个）.摆这个方阵共用棋子：52+44＋36＝132（个）解法2：还可以这样想：中空方阵总个数=（每边个数一层数）×层数×4进行计算。

四年级奥数第10讲间隔问题(教师版)

四年级奥数第10讲间隔(jiàn gé)问题（教师版）λ封闭与非封闭植树路线(lùxiàn)的讲解及生活运用. λ掌握空心方阵(fānɡ zhèn)和实心方阵的变化规律．一、植树问题(w ènt í)路线（一）不封闭的植树(zhí shù)路线.① 若题目中要求在植树的线路两端都植树,则棵数比段数多1.全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数段数全长株距全长=株距(棵数)株距=全长÷(棵数1-)② 如果题目中要求在路线的一端植树,则棵数就比在两端植树时的棵数少1,即棵数与段数相等.全长、棵数、株距之间的关系就为：全长=株距⨯棵数；棵数=段数=全长÷株距；株距=全长÷棵数.③ 如果植树路线的两端都不植树,则棵数就比②中还少1棵. 全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数全长÷株距1-.株距=全长÷(棵数1+). 全长=株距⨯(棵数+1)（二）封闭的植树路线.在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树,因为头尾两端重合在一起,所以种树的棵数等于分成的段数.全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数=周长÷株距. 二、解植树问题的三要素知识梳理教学目标（1）总路线长（2）间距(jiān jù)（棵距）长（3）棵数,只要(zhǐyào)知道这三个要素中任意两个要素,就可以(kěyǐ)求出第三个．三、方阵(fānɡ zhèn)问题（1）明确空心(kōng xīn)方阵和实心方阵的概念及区别.（2）每边的个数＝总数÷”；（3）每向里一层每边棋子数减少；（4）掌握计算层数、每层个数、总个数的方法,及每层个数的变化规律。

典例分析例1、大头儿子的学校旁边的一条路长400米,在路的一边从头到尾每隔4米种一棵树,一共能种几棵树?【解析】从图上可以看出,每隔4米种一棵树,如果20米长的路的一边共种了6棵树,这是因为我们首先要在这条路的一端种上一棵,就是说种树的棵树要比间距的个数多1,所以列式为：400÷4+1101（棵）.例2、一条马路长200米,在马路两侧每隔4米种一棵树,则一共要种树___________棵。

苏教版小学四年级下册数学奥数题带答案

苏教版小学四年级下册数学奥数题带答案一、拓展提优试题1．甲、乙、丙三校合办画展，参展的画中，有41幅不是甲校的，有38幅不是乙校的，甲、乙两校参展的画共43幅，那么，丙校参展的画有幅．2．有一笔钱，用来给四（1）班的学生每人买一个笔记本，若每本3元，则可多买6本；若每本5元，则差30元．若用完这笔钱，恰好给每人买一个笔记本，则共买笔记本24个，其中3元的笔记本个．3．一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米．这捆电线原来有多少米？4．如果，那么＝．5．一列火车身长90米，火车以每分钟160米的速度通过山洞，用了3分钟，山洞长390米．6．有6个数排成一行，它们的平均数是27，已知前4个数的平均数是23，后3个数的平均数34，第4个数是．7．两数相除，商是12，余数是3，被除数最小是．8．如图，小明从A走到B再到C再到D，走了38米，小马从B到C再到D再到A，走了31米，此问长方形ABCD的周长多少米？9．定义运算：A△B＝2A+B，已知（3△2）△x＝20，x＝．10．小东和小荣同时从甲地出发到乙地，小东每分钟行50米，小荣每分钟行60米，小荣到达乙地后立即返回，若两人从出发到相遇用了10分钟，则甲、乙两地相距米．11．爸爸比儿子大24岁，今年爸爸的年龄是儿子的五倍，年后爸爸的年龄是儿子的三倍．12．一个正方形的面积与一个长方形的面积相等，若长方形的长是1024，宽是1，则正方形的周长是．13．四年级的两个班共有学生72人，其中有女生35人，四（1）班有学生36人，四（2）班有男生19人，则四（1）班有女生人．14．有白棋子和黑棋子共2014个，按照如图的规律从左到右排成一行，其中黑棋子的个数是．○●○●●○●●●○●○●●○●●●○●○●●○…15．小明有100元钱，买了3支相同的钢笔后还剩61元，则他最多还可以买支相同的钢笔．16．如图，一个大正方形被分成四个相同的小长方形和一个小正方形，若一个小长方形的周长是28，则大正方形的面积是．17．3年前，爸爸的年龄是明明年龄的8倍，在今年，爸爸的年龄是明明年龄的5倍，则爸爸今年岁．18．甲、乙二人从同一天开始工作，公司规定：甲每工作3天后休息1天，乙每工作7天后连续休息3天，则在开始的前1000天中，甲、乙同一天休息的日子有天．．19．袋子中有黑白两种颜色的棋子，黑子的个数是白子的个数的2倍，每次从袋中同时取出3个黑子和2个白子，某次取完后，白子剩下1个，黑子剩下31个，则袋中原有黑子个．20．五个人站成一排，每个人戴一顶不同的帽子，编号为1、2、3、4、5．每人只能看到前面的人的帽子．小王一顶都看不到；小孔只看到4号帽子；小田没有看到3号帽子，但看到了1号帽子；小严看到了有3顶帽子，但没有看到3号帽子；小韦看到了3号帽子和2号帽子，小韦戴号帽子．21．如果a表示一个三位数，b表示一个两位数，那么，a+b最小是a+b最大是，a﹣b最小是，a﹣b最大是．22．三个连续自然数的乘积是120，它们的和是．23．今年，小军5岁，爸爸31岁，再过年，爸爸的年龄是小军的3倍．24．如图，把一个边长是5cm的正方形纸片沿虚线分成5个长方形，然后按照箭头标记的方向移动其中的4个长方形，则所得图形的周长是cm．25．观察7＝5×1+2，12＝5×2+2，17＝5×3+2，这里7，12和17被叫做“3个相邻的被5除余2的数”，若有3个相邻的被5除余2的数的和等于336，则其中最小的数是．26．有一个数学运算符号“⊙”，使下列算式成立：2⊙4＝8，4⊙6＝14，5⊙3＝13，8⊙7＝23．按此规定，9⊙3＝．27．相传唐代诗仙李白去买酒，提壶街上走，遇店加1倍，见花喝2杯．途中四遇店和花，最后壶中还剩2杯酒．壶中原有杯酒．28．用0、1、2、3、4这五个数字可以组成个没有重复数字的偶数．29．粮店里有6袋面粉，分别重15、16、18、19、20、31千克，食堂分两次买走了其中5袋，已知第一次买走得重量是第二次的两倍，剩下的一袋重量为千克．30．小慧从开始站立的A点向西走了15米，到达B点，接着从B点向东走了23米，到达C点，那么从C点到A点的距离是米．31．定义新运算：a△b＝（a+b）×b，a□b＝a×b+b，如：1△4＝（1+4）×4＝20，1□4＝1×4+4＝8，按从左到右的顺序计算：1△2□3＝．32．一次乐器比赛的规则规定：初赛分四轮依次进行，四轮得分的平均分不低于96分的才能进入决赛，小光前三轮的得分依次是95、97、94．那么，他要进入决赛，第四轮的得分至少是分．33．如果今天是星期五，那么从今天算起，57天后的第一天是星期．34．如图所示，5个相同的两位数相加得两位数，其中相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，则＝．35．只能被1和它本身整除的自然数叫做质数，如：2，3，5，7等．那么，比40大并且比50小的质数是，小于100的最大的质数是．36．甲，乙二人先后从一个包裹中轮流取糖果，甲先取1块，乙接着取2块，然后甲再取4块，乙接着取8块，…，如此继续．当包裹中的糖果少于应取的块数时，则取走包裹中所有糖果，若甲共取了90块糖果，则最初包裹中有块糖果．37．有一筐桃子，4个4个地数，多2个；6个6个地数，多4个；8个8个地数，少2个．已知这筐桃子的个数不少于120，也不多于150，共有个．38．在□中填上适当的数，使竖式成立．39．A说：“我10岁，比B小2岁，比C大1岁．”B说：“我不是年龄最小的，C和我差3岁，C是13岁．”C说：“我比A年龄小，A是11岁，B比A 大3岁．”以上每人所说的三句话中都有一句是错误的，请确定其中A的年龄是岁．40．空心圆和实心圆排成一行如下图所示：○●○●●○●●●○●○●●○●●●○●○●●○●●●…在前200个圆中有个空心圆．【参考答案】一、拓展提优试题1．【分析】41幅不是甲校的，就是乙校和丙校的，38幅不是乙校的，就是甲校和丙校，其中丙校的数量同时包含在41与38中，所以41+38＝79（幅）是甲校、乙校和丙校的2倍的总和，减去甲乙两校一共展出的数量，得出丙校的2倍，再除以2就是丙校参展的画的数量．解：（41+38﹣43）÷2＝（79﹣43）÷2＝36÷2＝18（幅）答：丙校参展的画有 18幅．故答案为：18．【点评】解决本题的关键是明确其丙校的数量同时包含在41与38中，所以，41与38的和是甲校、乙校和丙校的2倍的总和，减去甲乙两校一共展出的数量，再除以2就是丙校参展的画的数量．2．【分析】若每本3元，则多3×6＝18元，则总人数为（18+30）÷（5﹣3）＝24人，总钱数有5×24﹣30＝90元，进而可得结论．解：由题意得若每本3元，则多3×6＝18元，则总人数为（18+30）÷（5﹣3）＝24人，总钱数有5×24﹣30＝90元，若钱用完刚好买24本，则3元的笔记本有（24×5﹣90）÷（5﹣3）＝15个，故答案为24，15．【点评】本题考查分配盈亏问题，考查学生的计算能力，属于中档题．3．解：[（15+7﹣10）×2+3]×2＝[12×2+3]×2＝[24+3]×2＝27×2＝54（米）答：这捆电线原来长54米．4．解：因为，所以（b+10a）×65＝4800+10a+b，即10a+b＝75，因此b＝5，a＝7．即＝75．故答案为：75．5．解：160×3﹣90，＝480﹣90，＝390（米），答：山洞长390米．故答案为：390．6．解：23×4+34×3﹣27×6，＝92+102﹣162，＝194﹣162，＝32．答：第4个数是32．故答案为：32．7．解：除数最小为：3+1＝412×4+3＝48+3＝51故答案为：51．8．解：长方形长比宽多：38﹣31＝7（米），长方形宽：（38﹣7×2）÷3，＝24÷3，＝8（米），长：8+7＝15（米），（15+8）×2，＝23×2，＝46（米），答：长方形ABCD的周长46米．9．解：（3△2）△x＝20，（2×3+2）△x＝20，8△x＝20，2×8+x＝20，16+x＝20，x＝20﹣16，x＝4；故答案为：4．10．【分析】两人从出发到相遇用了10分钟，也就是二人相遇时都行了10分钟，行了两个单程，因此先求出两人的速度和，再乘上相遇时间，再除以2，解决问题．解：（50+60）×10÷2＝110×10÷2＝1100÷2＝550（米）答：甲、乙两地相距550米．故答案为：550．【点评】此题根据关系式：速度和×相遇时间＝路程，进而解决问题．11．解：根据题意，由差倍公式可得：今年爸爸的年龄是儿子的五倍时，儿子的年龄是：24÷（5﹣1）＝6（岁）；爸爸的年龄是儿子的三倍时，儿子的年龄是：24÷（3﹣1）＝12（岁）；12﹣6＝6（年）．答：6年后爸爸的年龄是儿子的三倍．故答案为：6．12．【分析】若长方形的长是1024，宽是1，根据长方形的面积＝长×宽，可求出长方形的面积，再根据正方形的面积公式可求出正方形的边长，然后再根据正方形的周长＝边长×4可求出它的周长．解：1024×1＝10241024＝2×2×2×2×2×2×2×2×2×2＝32×32，所以正方形的边长是32．32×4＝128答：正方形的周长是128．【点评】本题主要考查了学生对长方形面积和正方形面积与周长公式的掌握．13．【分析】先用两个班的总人数减去四（1）班的人数，求出四（2）班的人数，再用四（2）班的人数减去四（2）班男生的人数，求出四（2）班女生的人数，再用女生的总人数35人，减去四（2）班的女生人数，就是四（1）班的女生人数．解：35﹣（72﹣36﹣19）＝35﹣17＝18（人）答：四（1）班有女生 18人．故答案为：18．【点评】解决本题注意理解题意，把总人数按照两种方法进行分类：总人数＝四（1）班人数+四（2）班人数＝男生人数+女生人数．14．【分析】根据每9个棋子是一个循环，用2014除以9，用得到的商乘以一个循环中黑棋子的个数，再根据余数的情况判断最后需加上几个黑棋子即可．解：2014÷9＝223…7，循环了223次后，还剩7个，里面有4个黑棋子，223×6+4＝1338+4＝1342（个）答：其中黑棋子的个数是1342个．故答案为：1342．【点评】答此类问题的关键是找出每几个数或每几个图形是一个循环．15．【分析】根据题意，可用100减去61计算出购买3支钢笔花的钱数，然后再除以3计算出每支钢笔的钱数，最后再用100除以每支钢笔的钱数进行计算，得到的商就是最多购买钢笔的支数，得到的余数就是剩余的钱数，最后再用最多购买的钢笔数减去原来买的3支即可．解：（100﹣61）÷3＝39÷3＝13（元）100÷13＝7（支）…9（元）7﹣3＝4（支）答：他最多还可以买4支同样的钢笔．故答案为：4．【点评】此题主要考查的有余数除法计算方法的应用，解答时关键求出每支钢笔的单价．16．【分析】一个小长方形的周长是28，也就是小长方形的长和宽的和是28÷2＝14，也就是大正方形的边长，然后根据正方形的面积公式，解决问题．解：28÷2＝1414×14＝196答：大正方形的面积是196．故答案为：196．【点评】根据长方形的长和宽与正方形边长之间的关系，先求出小长方形的长和宽的和，即求出了大正方形的边长．17．【分析】3年前，爸爸的年龄是父子年龄差的，今年后爸爸的年龄是年龄差的，共经过了3年，对应的分率是（），用除法可以求出父子的年龄差，进而可以求出爸爸今年的年龄．据此解答．解：3÷（）＝3÷（）＝3×＝28（岁）28×＝35（岁）答：爸爸今年35岁．故答案为：35．【点评】父子年龄差是个不变的量，而年龄的倍数却年年不同．我们可以抓住“差不变”这个特点，再根据父子年龄之间的倍数关系与年龄之和等条件解答这类应用题．18．【分析】甲的休息天数为4的倍数，即4，8，12，…1000；乙的休息日为：8，9，10，18，19，20，…，那么甲只要在4的倍数天休息就行了，每三个数中有一个数是4的倍数，那么也就是说，乙每工作10天才会有1天与喜羊羊的重合，那么以10为周期，共有1000÷10＝100个周期，每一周期有一天重合，那么100周期共有100天重合解：甲的休息天数为4的倍数，即4，8，12，…1000；乙的休息日为：8，9，10，18，19，20，…，那么乙只要在4的倍数天休息就行了，每三个数中有一个数是4的倍数，那么也就是说，乙每工作10天才会有1天与喜羊羊的重合，那么以10为周期，共有1000÷10＝100个周期每一周期有一天重合，那么100周期共有100天重合．故答案为：100．【点评】本题主要考查了公约数与公倍数问题．关键是乙每工作10天才会有1天与甲的重合．19．【分析】因黑子个数是白子个数的2倍，可假设黑子每次取的个数也是白子的2倍，即黑子每次2×2＝4个、白子每次取2个，则白子余1个时，黑子余2个．现每次黑子取少4﹣3＝1个了，则黑子多出来的数量，除以应取和实取的差，就是取的次数．据此解答．解：假设黑子每次取的个数也是白子的2倍，即黑子每次2×3＝6个、白子每次取3个，则：（31﹣1×2）÷（2×2﹣3）＝29÷1＝29（次）3×29+31＝87+31＝118（个）答：袋中原有黑子 118个．故答案为：118．【点评】本题的关键是根据黑子是白子个数的2倍，假设每次取黑子的个数是白子的2倍，与实际取黑子的差，及实际取与假设取应剩下黑子的差，进行解答．20．解：根据分析，首先从“小王一顶都看不到”判断出小王排在第一位的位置上；然后从“小孔只看到4号帽子”判断出小孔排在第二的位置上；接着从“小严看到了有3顶帽子”判断出小严在第四的位置上；结合小田没看到3，小韦看到3对比可知小田在第三位，小韦在第五位；由于第二位的小孔只看到4，所以小王的帽子编号为4；由第三位的小田看到1，可知第二位的小孔的帽子编号为1；因为第四位的小严没看到3，而第五位的小韦看到了3和2，所以小田帽子编号为2，小严帽子编号为3，小韦帽子编号为5．故答案是：5．21．【分析】两个数越大，和就大，越小和就小，两个数越接近差越小，反之差就大，所以根据条件找出最大与最小的三位数与二位数，计算即可解答．解：a+b最小是10+100＝110，a+b最大是99+999＝1098，a﹣b最小是100﹣99＝1，a﹣b最大是999﹣10＝989．故答案为：110，1098，1，989．【点评】本题主要考查最大与最小问题，解题关键是知道最小的三位数是100，最大的三位数是999，最小的二位数是10，最大的二位数是99．22．【分析】首先把120分解质因数，把质因数分作三组，使各组数字相乘后的结果是三个连续的自然数，即可得解．解：120＝2×2×2×3×5＝（2×2）×（2×3）×5，2×2＝4，2×3＝6，5，即，三个连续自然数的乘积是120，这三个数是4、5、6，所以，和是：4+5+6＝15．故答案为：15．【点评】本题考查了灵活应用合数分解质因数来解决较复杂问题．23．【分析】根据“今年，小军5岁，爸爸31岁”求出父子的年龄差是（31﹣5）岁，由于此年龄差不会改变，倍数差是3﹣1＝2，所以利用差倍公式，求出当父亲年龄是儿子年龄的3倍时儿子的年龄，由此进一步解决问题．解：父子年龄差是：31﹣5＝26（岁），爸爸的年龄是小军的3倍时，小军的年龄是：26÷（3﹣1）＝26÷2＝13（岁），13﹣5＝8（年），答：再过8年，爸爸的年龄是小军的3倍．故答案为：8．【点评】解答此题的关键是根据两人的年龄差不会随着时间的改变而变化，利用差倍公式求出儿子相应的年龄，由此解决问题．差倍问题的关系式：数量差÷（倍数﹣1）＝1倍数（较小数），1倍数（较小数）×倍数＝几倍数（较大数）．24．【分析】本题考察图形边长的平移．解：画出移动后的图，所得图形的周长是5×2+（5+1×2+2×2+3×2+4×2+5）＝10+30＝40cm．【点评】本题主要抓住平移后的图形每条边边长为多少即可求解．25．【分析】本题主要考察等差数列中最小的项．解：因为这三个数都是被5除余2，所以这三个相邻的数是个等差数列，中间数是336÷3＝112，所以最小的是112﹣5＝107．【点评】本题主要找到每相邻两个数相差5就能解答．26．解：9⊙3＝9×2+3＝21；故答案为：21．27．解：设李白壶中原有x杯酒，由题意得：{[（x×2﹣2）×2﹣2]×2﹣2}×2﹣2＝2，{[（2x﹣2）×2﹣2]×2﹣2}×2﹣2＝2，{[4x﹣6]×2﹣2}×2﹣2＝2，{8x﹣14}×2﹣2＝2，16x﹣30＝2，16x＝32，x＝2；答：壶中原有2杯酒．故答案为：2．28．解：一位偶数有：0，2和4，3个；两位偶数：10，20，30，40，12，32，42，14，24，34，一共有10个；三位偶数：位是0时，十位和百位从4个元素中选两个进行排列有A42＝12种结果，当末位不是0时，只能从2和4中选一个，百位从3个元素中选一个，十位从三个中选一个共有A21A31A31＝18种结果，根据分类计数原理知共有12+18＝30种结果；四位偶数：当个位数字为0时，这样的四位数共有：＝24个，当个位数字为2或者4时，这样的四位数共有：2×C41×＝36个，一共是24+36＝60（个）五位偶数：当个位数字为0时，这样的五位数共有：A44＝24个，当个位数字为2或者4时，这样的五位数共有：2×C31A33＝36个，所以组成没有重复数字的五位偶数共有24+36＝60个．一共是：3+10+30+60+60＝163（个）；答：可以组成 163个没有重复数字的偶数．故答案为：163．29．解：15+16+18+19+20+31＝119（千克），食堂共买走的总量是：119﹣20＝99（千克），99÷3＝33（千克），第二次买走得重量是：15+18＝33（千克），第一次买走得重量是：16+31+19＝66（千克）；答：剩下的一袋重量为20千克．故答案为：20．30．【分析】我们通过画图进行解决，向西走15米，然后再向东走23米其实，从C点到A点的距离是就是23米与15米的差．解：画图如下：从C点到A点的距离是：23﹣15＝8（米），答：从C点到A点的距离是8米．31．【分析】定义新运算需要理解题中给出的运算过程，△的运算是两数和再乘以第二个数的积运算．□的运算是两数的积与第二个数的和运算．解：依题意可知：a△b＝（a+b）×b得1△2＝（1+2）×2＝6a□b＝a×b+b得6□3＝3×6+3＝21故答案为：21【点评】本题的关键是找到新定义的符号的意义和运用．同时注意做题时的顺序是从左向右的顺序计算，那么代表他们是同级运算．问题解决．32．【分析】要想四轮得分的平均分不低于96分，总分应该达到96×4＝384分，用这一分数减去小光前三轮的得分即可解答．解：96×4﹣95﹣97﹣94，＝384﹣95﹣97﹣94，＝98（分）；答：第四轮的得分至少是98分．【点评】本题主要考查简单规划问题，熟练掌握平均数的定义与求法是解答本题的关键．33．【分析】今天算起，57天后的第一天也就是经过了57天，用57除以7，求出经过了多少周，还余几天，然后根据余数推算．解：57÷7，＝57÷7，＝8（周）…1（天）；余数是1，星期五再过1天是星期六．故答案为：六．【点评】解决这类问题先求出经过的天数，再求经过的天数里有几周还余几天，再根据余数推算．34．【分析】根据整数加法竖式计算的方法进行推算即可．解：根据题意，由加法竖式可得：个位上，5×B的末尾还是B，由5×0＝0，5×5＝25可得：B＝0或B＝5；假设B＝0，那么十位上，5×A＝M，M要小于10，只有当A＝1时，5×1＝5，符合；所以，A＝1，B＝0；由以上推算可得：假设B＝5时，5×5＝25，向十位进2；十位上，5×A+2＝M，M要小于10，只有当A＝1时，5×1+2＝7，符合；所以，A＝1，B＝5；由以上推算可得：因此两位数是：10或15．故答案为：10或15．【点评】推算过程中，本题的关键是末尾数字相同，然后再进一步解答即可．35．【分析】根据质数的概念：指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没其它约数的数；然后列举出比40大并且比50小的质数；求小于100的最大的质数，应从100以内的最大数找起：99、98是合数；进而得出结论．解：比40大比50小的质数有：41、43、47；小于100的最大质数是97；故答案为：41、43、47，97．【点评】解答此题的关键：根据质数的定义，并结合题意，进行例举即可．36．【分析】通过题意，甲取1块，乙取2块，甲取4块，乙取8块， (1)20，2＝21，4＝22，8＝23…，可以看出，甲取的块数是20+22+24+26+28+…，相应的乙取得块数是21+23+25+27+29+…，我们看一看90是甲取了几次，乙相应的取了多少次，把两者总数加起来，即可得解．解：甲取的糖果数是20+22+24+…+22n＝90，因为1+4+16+64+5＝90，所以甲共取了5次，4次完整的，最后的5块是包裹中的糖果少于应取的块数，说明乙取了4次完整的数，即乙取了21+23+25+27＝2+8+32+128＝170（块），90+170＝260（块），答：最初包裹中有 260块糖果．故答案为：260．【点评】判断出甲乙取得次数是解决此题的关键．37．【分析】可以看做4个4个地数，少2个；6个6个地数，少2个；8个8个地数，也是少2个．也就是4、6、8的公倍数减2．[4、6、8]＝24．可以记作24x﹣2，120＜24x﹣2＜150．x是整数，x＝6．这筐桃子共有24×6﹣2，计算即可．解：[4、6、8]＝24．这筐桃子的数量可以记作24x﹣2，120＜24x﹣2＜150．x是整数，所以x＝6，这筐桃子共有：24×6﹣2＝142（个）．答：这筐桃子共有142个．故答案为：142．【点评】关键是通过把原题转化，运用了求最小公倍数以及解不等式的方法解决问题．38．解：根据题干分析可得：39．解：根据题干分析，将讨论分析的过程利用表格的形式进行统计如下：×√第一句第二句第三句A说我10岁×比B小2岁√比C大1岁√B说我不是最小的C和我差3岁C是13岁C说我比A年龄小×A是11岁√B比A大3岁√以得出：B是11+2＝13岁，C是11﹣1＝10岁；即A11岁、B13岁、C10岁；将这个结论代入上表中，可以得出B说的C是13岁时错误的，其他两句正好符合题意是正确的，由此可得，此假设成立；答：由上述推理可以得出A是11岁．故答案为：11．40．解：200÷9＝22…2，所以22×3+1＝67（个），答：前200个圆中有67个空心圆．故答案为：67．。

小学数学四年级思维奥数寒假讲义--乘法竖式谜(教师版)

小学数学四年级思维奥数寒假讲义-第4讲乘法竖式谜（教师版）【课前小热身】下面的竖式谜，你还记得吗？注意寻找突破口来解题哦。

（1）43□□□⨯（2）64□□□⨯（3）□□□84⨯（4）□□□□7⨯【知识梳理】一、末位分析乘法竖式问题中常用的突破口有：首位、末位、位数、进位及重复出现的汉字或字母。

末位分析：①×2，×4，×6，×8有两个答案，如□× 2= 4，□有2、7两个答案； ②×1，×3，×7，×9有一个答案，如□× 3= 8，□只有6一个答案； ③×5，乘积的末位为0，有5个答案；乘积的末位为5，也有5个答案； ④×0，乘积的末位只能是0，有10个答案。

【典例精讲】【例题1】如图，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，请问：“爱我中华”所表示的四位数是多少？华中我爱爱华中我36⨯ 【答案】2758【解析】从末位开始，3×6=18，因此“华”代表8，然后依次进行即可，即7586×3=22758。

【训练1】如图，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，请问：竖式的乘积是多少？石穿水滴水石穿水84⨯【答案】31392【解析】从末位分析，4×8=32，则“石”=2，然后依次进行即可，即3924×8=31392。

【例题2】如图，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，请问：“优邦学”所表示的三位数是多少？【答案】296【解析】末位分析，学×9= 4，则“学”=6，个位向十位进位5，依次类推，“数”=9，十位向百位进位8，“爱”=2，即296×6=2664。

【训练2】如图，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，请问：“一丝不苟”所表示的四位数是多少？43苟不丝苟不丝一⨯ 【答案】1428【解析】末位分析，苟×3= 4，则“苟”=8，个位向十位进位2，依次类推，“不”=2，十位没有向百位进位，“丝”=4，百位向千位进位1，“一”=1，即1428×3=4284。

四年级奥数-教师版-第五讲倒推法的应用题

第五讲倒推法的应用知识导航在分析应用题的过程中，倒推法是一种常用的思考方法.这种方法是从所叙述应用题或文字题的结果出发，利用已知条件一步一步倒着分析、推理，直到解决问题. 用倒推法解题时要注意：①从结果出发，逐步向前一步一步推理.②在向前推理的过程中，每一步运算都是原来运算的逆运算.③列式时注意运算顺序，正确使用括号.例1：一次数学考试后，李军问于昆数学考试得多少分.于昆说：“用我得的分数减去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.”小朋友，你知道于昆得多少分吗？解析:这道题如果顺推思考，比较麻烦，很难理出头绪来.如果用倒推法进行分析，就像剥卷心菜一样层层深入，直到解决问题.如果把于昆的叙述过程编成一道文字题：一个数减去8，加上10，再除以7，乘以4，结果是56.求这个数是多少？把一个数用□来表示，根据题目已知条件可得到这样的等式：｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56.如何求出□中的数呢？我们可以从结果56出发倒推回去.因为56是乘以4后得到的，而乘以4之前是56÷4＝14.14是除以7后得到的，除以7之前是14×7＝98.98是加10后得到的，加10以前是98-10＝88.88是减8以后得到的，减8以前是88＋8＝96.这样倒推使问题得解.解：｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56［（□－8）＋10]÷7＝56÷4=14（□－8）＋10=14×7=98□－8=98-10=88□=88+8=96答：于昆这次数学考试成绩是96分.【巩固】某数加上6,乘以6,减去6,除以6,其结果等于6,则这个数是_____.解析：{［（□ + 6）×6］- 6}=6解：运用倒推法知这个数为（6×6+6）÷6-6=1【解题技巧】解答此类问题的方法规律是：原题加，逆推为减；原题减，逆推为加；原题乘，逆推为除；原题除，逆推为乘。

四年级(奥数作业)第16讲：生活中的数学

四年级（奥数作业）第16讲：生活中的数学x（必做与选做）1. 早上妈妈买来一块烧饼,米德就想如果将这块烧饼切5次,最多可以切成（）块。

A. 14B. 15C. 16D. 17解析：根据题意已知米德是要将烧饼切5次,那么可以利用切的次数与块数之间的关系：（次数×次数+次数+2）÷2=块数解答,即一共是切了（5×5+5+2）÷2=16（块）。

所以选C。

2.阿博士生日,许多同学都参加了生日会,博士只要将蛋糕切6下就可以每人收能分到一块蛋糕,但是后面又来了几个学生,这时博士需要切7下才能每人都分到一块蛋糕；后面来了（）个学生。

A. 6B. 7C. 8D. 9解析：根据题意可以先将原来有的人数求出来,是（6×6+6+2）÷2=22（人）,然后根据加了几个学生后,博士需要切7下,可以将后面的总人数求出来,是（7×7+7+2）÷2=29（人）,可知后面是来了29-22=7（人）。

所以选B。

3. 卡尔要将一个大蛋糕分成7块与她的同学们一起分享,则她最少要切（）次,一共有（）个同学参加了她的生日会。

A. 3 6B. 4 7C. 5 8D. 6 9解析：根据题意首先可以知道是6个同学参加她的生日会,分成了7块,根据切的次数与块数之间的关系可以可以推出是切了3次。

所以选A。

4. 在2016×2016的方格中,画一条直线,最多可穿过（）个方格。

A. 4032B. 4031C. 2016D. 2015解析：根据题意,可以利用穿过的格数与边长数的关系：边长数的2倍减去1就是穿过的格数解答,所以一共是可以穿过2016×2-1=4031（个）。

所以选B。

5. 阿尔法在一个正方形方格中画一条直线,发现做事可以穿过89个方格,则阿尔法画的这个正方形网格的边长是（）个方格。

A. 43B. 44C. 45D. 46解析：根据题意,可以利用穿过的格数与边长数的关系：边长数的2倍减去1就是穿过的格数逆推进行解答,所以是（89+1）÷2=45（个）方格。

(完整版)四年级奥数奇数与偶数(教师用含答案)

第二讲：奇数与偶数教学目标本讲知识点属于数论大板块内的“定性分析”部分，小学生的数学思维模式大多为“纯粹的定量计算，拿到一个题就先去试数，或者是找规律，在性质分析层面几乎为0，本讲力求实现的一个主要目标是提高孩子对数学的严密分析能力，培养孩子明白做题前有时要“先看能不能这么做，再去动手做”的思维模式。

无论是小升初还是杯赛会经常遇到，但不会单独出题，而是结合其他知识点来考察学生综合能力。

知识点拨一、奇数和偶数的定义整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。

通常偶数可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。

特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。

二、奇数与偶数的运算性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数性质2：偶数±奇数=奇数性质3：偶数个奇数的和或差是偶数性质4：奇数个奇数的和或差是奇数性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数三、两个实用的推论：推论1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。

推论2：对于任意2个整数a,b ,有a+b 与a-b 同奇或同偶模块一：奇数偶数基本概念及基本加减法运算性质【例 1】 1231993++++……的和是奇数还是偶数？【解析】在1至1993中，共有1993个连续自然数，其中997个奇数，996个偶数，即共有奇数个奇数，那么原式的计算结果为奇数【巩固】 123456799100999897967654321+++++++++++++++++++++L L 的和是奇数还是偶数？为什么？【解析】在算式中，1~99都出现了2次，所以123499999897964321++++++++++++++L L 是偶数，而100也是偶数，所以1234567991009998979676++++++++++++++++L L54321+++++的和是偶数．【巩固】 2930318788+++++……得数是奇数还是偶数？【解析】偶数。

小学数学4年级培优奥数讲义第10讲-间隔问题(教师版)

第10讲间隔问题教学目标封闭与非封闭植树路线的讲解及生活运用.掌握空心方阵和实心方阵的变化规律．知识梳理一、植树问题路线(一)不封闭的植树路线.①若题目中要求在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多1.全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数1+=全长÷株距1+全长=株距⨯(棵数1-)株距=全长÷(棵数1-)②如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数就比在两端植树时的棵数少1，即棵数与段数相等.全长、棵数、株距之间的关系就为：全长=株距⨯棵数；棵数=段数=全长÷株距；株距=全长÷棵数.③如果植树路线的两端都不植树，则棵数就比②中还少1棵.全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数1-=全长÷株距1-.株距=全长÷(棵数1+).全长=株距⨯(棵数+1)(二)封闭的植树路线.在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数.全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数=周长÷株距.二、解植树问题的三要素(1)总路线长(2)间距(棵距)长(3)棵数，只要知道这三个要素中任意两个要素，就可以求出第三个．三、方阵问题(1)明确空心方阵和实心方阵的概念及区别.(2)每边的个数＝总数÷41+”；(3)每向里一层每边棋子数减少2；(4)掌握计算层数、每层个数、总个数的方法，及每层个数的变化规律。

例1、大头儿子的学校旁边的一条路长400米，在路的一边从头到尾每隔4米种一棵树，一共能种几棵树？【解析】从图上可以看出，每隔4米种一棵树，如果20米长的路的一边共种了6棵树，这是因为我们首先要在这条路的一端种上一棵，就是说种树的棵树要比间距的个数多1，所以列式为：400÷4+1=101(棵).例2、一条马路长200米，在马路两侧每隔4米种一棵树，则一共要种树___________棵。

【解析】考察植树问题，200÷4=50(段)，(50+1)×2=102例3、一条公路的一旁连两端在内共植树91棵，每两棵之间的距离是5米，求公路长是多少米？【解析】根据植树问题得到：()9115450-⨯=(米)例4、校门口放着一排花，共10盆．从左往右数茉莉花摆在第6，从右往左数，月季花摆在第8，一串红花全都摆在了茉莉花和月季花之间．算一算，一串红花一共有多少盆？【解析】从左往右数茉莉花摆在第6，那么从右往左数茉莉花就是第：10(61)5--=(盆)花，从右往左数，月季花摆在第8，从左往右数月季花就是第：10(81)3--=(盆)花，典例分析--=(盆)．一串红花全都摆在了茉莉花和月季花之间，一串红花一共有：10532例5、从小熊家到小猪家有一条小路，每隔45米种一棵树，加上两端共种53棵；现在改成每隔60米种一棵树．求可余下多少棵树?【解析】该题含植树问题、相差关系两组数量关系.从小熊家到小猪家的距离是：45×(53-1)=2340(米)，间隔距离变化后，两地之间种树：2340÷60+1=40(棵)，所以可余下树：53-40=13(棵) ，综合算式为：53-[45×(53-1)÷60+1]=13(棵).例6、马路的一边，相隔8米有一棵杨树，小强乘汽车从学校回家，从看到第一棵树到第153棵树共花了4分钟，小强从家到学校共坐了半小时的汽车，问：小强的家距离学校多远？【解析】第一棵树到第153棵树中间共有153-1=152(个)间隔，⨯(米)，每个间隔长8米，所以第一棵树到第153棵树的距离是：1528=1216÷(米),汽车经过1216米用了4分钟，1分钟汽车经过：12164=304⨯(米)，半小时汽车经过：30430=9120即小明的家距离学校9120米.例7、一位老爷爷以匀速散步，从家门口走到第11棵树用了11分钟，这位老爷爷如果走24分钟，应走到第几棵树？(家门口没有树)【解析】从家门口走到第11棵树是走了11个间隔，走一个间隔所用时间是：11÷11=1(分钟)，那么走24分钟应该走了：24÷1=24(个)间隔，所以老爷爷应该走到了第24棵树.例8、元宵节到了，实验中学学校大门上挂了红绿两种颜色的彩灯，从头到尾一共挂了21只，每隔30分米挂一只红灯，相邻的2只红灯之间挂了一只绿灯，问实验中学学校的大门有多宽？【解析】一共挂了21只彩灯说明彩灯中间的间距有：21-1=20(个)，每隔30分米挂一只红灯，相邻的2只红灯之间挂了一只绿灯，说明每个间距的长是：30÷2=15(分米)，所以学而思学校的大门宽度为：15×20=300(分米)例9、有一个报时钟，每敲响一下，声音可持续3秒．如果敲响6下，那么从敲响第一下到最后一下持续声音结束，一共需要43秒．现在敲响12下，从敲响第一下到最后一下持续声音结束，一共需要多长时间？【解析】每次敲完以后，声音持续3秒，-=(秒)，那么从敲完第一下到敲完第6下，一共经历的时间是43340-=(个)间隔，而这之间只有615÷=(秒)，所以每个间隔时间是4058现在要敲响12下，所以一共经历的时间是11个间隔和3秒的持续时间，⨯+=(秒)．一共需要时间是：118391例10、小明家的小狗喝水时间很规律，每隔5分钟喝一次水，第一次喝水的时间是8点整，当小狗第20次喝水时，时间是多少？【解析】第20次喝水与第1次喝水之间有20119-=(个)间隔，因为小狗每隔5分钟喝一次，⨯=(分钟)，所以到第20次喝水中间间隔的时间是：19595也就是1个小时35分钟，所以小狗第20次喝水时时间是：9时35分．例11、科学家进行一项试验，每隔5小时做一次记录，做第12次记录时，挂钟时针恰好指向9，问做第一次记录时，时针指向几？【解析】我们先要弄清楚从第一次记录到第十二次记录中间经过的时间是多少．⨯=(小时)．第1次到第12次有11个间隔：51155然后我们要知道55小时，时针发生了怎样的变化．时针每过12小时就会转一圈回到原来的状态，所以时针转了4圈以后，÷=(小时)而这时时针指向9点，又经过了7个小时．551247所以原来时针指向2点．例12、裁缝有一段16米长的呢子，每天剪去2米，第几天剪去最后一段？【解析】如果呢子有2米，不需要剪；如果呢子有4米，第一天就可以剪去最后一段，4米里有2个2米，只用1天；如果呢子有6米，第一天剪去2米，还剩4米，第二天就可以剪去最后一段，6米里有3个2米，只用2天；如果呢子有8米，第一天剪去2米，还剩6米，第二天再剪2米，还剩4米，这样第三天即可剪去最后一段，8米里有4个2米，用3天，……我们可以从中发现规律：所用的天数比2米的个数少1．因此，只要看16米里有几个2米，问题就可以解决了．÷=(个)16米中包含2米的个数：1628-=(天)，剪去最后一段所用的天数：817所以裁缝第7天剪去最后一段．例13、有三根木料，打算把每根锯成3段，每锯开一处需用3分钟，全部锯完需要多少分钟? 【解析】求锯的次数属植树问题思路．一根木料锯成了3段，只要锯312-=次，锯3根木料要⨯=次，问题随之可求．236解：①一根木料要锯成3段，共要锯多少次?312-=(次)②锯开三根木料要多少次?236⨯=(次)③锯三根木料要多少时间?3618⨯=(分钟)综合算式：3[(31)3]18⨯-⨯=(分钟)⨯-⨯=(分钟)或3(31)318例14、甲、乙、丙三人锯同样粗细的木棍，分别领取8米,10米,6米长的木棍，要求都按2米的规格锯开．劳动结束后，甲,乙,丙分别锯了24, 25, 27段，那么锯木棍速度最快的比速度最慢的多锯次．【解析】甲每锯一根出824÷=(段) 需要锯413÷⨯=(次)-=(次)甲锯24段需要锯244318乙每锯一根出1025÷⨯=(次)-=(次)甲锯24段需要锯255420÷=(段)需要锯514丙每锯一根出623÷⨯=(次)÷=(段) 需要锯312-=(次)甲锯24段需要锯273218锯的速度快的甲和丙比锯的慢的乙多锯2次例15、在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红色点，同时自右向左每隔5 厘米也染一个红点，然后沿红点将木棍逐级锯开，那么长度是4厘米的短木棍有多少根？【解析】由于100是5的倍数，所以自右向左每隔5厘米染一个红点相当于自左向右每隔5厘米染一个红点．而每隔30厘米可得到2个4厘米的短木棍．最后10030310-⨯=(厘米)也可以得一个短木棍，故共有2317⨯+=(根)4厘米的短棍．例16、甲、乙俩人对一根3米长的木棍涂色，首先甲从木棍端点开始涂黑5厘米，间隔5厘米不涂色，接着再涂黑5厘米，这样交替做到底．然后，乙从木棍同一端点开始留出6厘米不涂色，接着涂黑6厘米，再间隔6厘米不涂色，交替做到底．最后，木棍上没有被涂黑部分的长度总和为厘米．【解析】考虑60cm 长的一段木棍中，没有被涂黑的部分长度总和为1354215（）++++=cm (如上图)，所以3米长的木棍中共有153006075（）（）⨯÷=cm 长未被涂黑．例17、大头儿子和小头爸爸一起攀登一个有300级台阶的山坡，爸爸每步上3级台阶，儿子每步上2级台阶，从起点处开始，父子俩走完这段路共踏了多少级不同的台阶？【解析】大头儿子踏过的台阶数是：3002150÷=(级)，小头爸爸踏过的台阶数是3003100÷=(级)，父子俩每236⨯=(级)台阶要共同踏1级台阶，共重复踏了300650÷=(级)，所以父子俩共踏了：150********+-=(级)．例18、北京市国庆节参加游行的总人数有60000人，这些人平均分为25队，每队又以12人为一排列队前进．排与排之间的距离为1米，队与队之间的距离是4米，游行队伍全长多少米？【解析】这道题仍是植树问题的逆解题，它与植树问题中已知树的棵数，树间的距离，求树列的全长相当．逆解时要注意段数比树的棵数少1．所以，⑴每队的人数是： 60000252400÷=(人)⑵每队可以分成的排数是： 240012200÷=(排)⑶200排的全长米数是： 1(2001)199⨯-=(米)⑷25个队的全长米数是： 199254975⨯=(米)⑸25个队之间的距离总米数是：4(251)96⨯-=(米)⑹游行队伍的全长是： 4975965071+=(米)例19、思考乐学校三年级运动员参加校运动会入场式，组成66⨯的方块队(即每行每列都是6人)，前后每行间隔为2米．他们以每分钟40米的速度，通过长30米的主席台，需要多少分钟？【解析】运用植树问题的逆解思路，即前后每行间隔长×间隔数=方块队长．方块队长：2(61)10⨯-= (米)，方块队通过主席台行进路程总长：103040+=(米)，方块队通过主席台需要：40401÷=(分钟)，综合算式：[2(61)30]401⨯-+÷=(分钟)例20、有一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站出发开往乙站，全程要15分钟．有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站，他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站，在路上，他又遇到了10辆迎面开来的电车才到达甲站，这时候，恰好又有一辆车从甲站开出，问：他从乙站到甲站用了多少分钟？【解析】这个人前后一共看见了12辆电车，每两辆车的间隔是5分钟，开出12辆电车共有12111-=(个)间隔，这样可以计算出从第1辆电车开出到第12辆电车开出所用的时间，共经了51155⨯=(分钟)，由于他出发的时候，第1辆电车巳到达乙站，所以这个人从乙站到甲站用了551540-=(分钟)．➢ 课堂狙击1、在一条长240米的水渠边上植树，每隔3米植1棵。

小学奥数时钟问题(教师版)

小学奥数时钟问题(教师版)时钟问题是研究钟面上时针和分针关系的问题。

钟面的一周分为60格，分针走完一周时，时针正好走5格，因此时针的速度是分针的1/12.分针每走一周，与时针重合一次，所以分针每分钟的速度是60/65.45.在初始时刻需追赶的格数÷（1－1/12）=追及时间（分钟）。

其中，1－1/12为每分钟分针比时针多走的格数。

一分钟分针可以走6度，时针可以走0.5度。

常见的时钟问题包括求某一时刻时针与分针的夹角，两针重合，两针垂直，两针成直线等类型，此外还有快慢钟问题。

例1：钟表的时针与分针在4点多少分第一次重合？解析：此题属于追及问题，追及路程是20格，速度差是1/11，所以追及时间是21分钟。

例2：2点钟以后，分针与时针第一次成直角是什么时刻？解析：根据题意可知，2点时，时针与分针成60度，第一次垂直需要90度，即分针追了90+60=150度。

所以答案为150÷(6-0.5)=27分钟。

例3：现在是10点，再过多长时间，时针与分针将第一次在一条直线上？解析：时针的速度是0.5度/分，分针的速度是6度/分，即分针与时针的速度差是5.5度/分。

10点时，分针与时针的夹角是60度，第一次在一条直线时，分针与时针的夹角是180度，即分针与时针从60度到180度经过的时间为所求。

所以答案为(180-60)÷5.5=21.9分钟。

例4：在9点与10点之间的什么时刻，分针与时针在一条直线上？解析：可知，9点时，时针与分针成90度，第一次在一条直线上需要分针追90度，第二次在一条直线上需要分针追270度，答案为90÷(6-0.5)=16.4分钟。

例5：多外出买东西，出门时看手表，发现表的时针和分针的夹角为110度，七时前回家时又看手表，发现时针和分针的夹角仍是110度。

那么此人外出多少分钟？解析：开始分针在时针左边110度位置，后来追至时针右边110度位置，因此分针追上了110+110=220度，对应41和49分钟。

北师大版四年级下册数学试题奥数板块第1讲最佳安排(含答案)

最佳安排【名师解析】我们每天的生活、学习都离不开时间，但是如何利用时间却大有学问。

合理安排时间，往往会达到事半功倍的效果。

科学、合理地安排时间的方法，就叫做最佳安排。

要合理安排时间，必须要考虑以下几个问题：1.知道要做哪几件事；2.做每件事需要的时间；3.要弄清所做事的程序，即先做什么，后做什么，哪些事可以同时做。

在学习、生产和工作中，只有尽可能地节省时间、人力和物力，才能发挥出最大的效率。

【例题精讲】例1.红红早晨起来刷牙洗脸要3分钟，烧开水要15分钟，把水灌入水瓶2分钟，吃早饭要 8分钟。

红红应该怎样合理安排时间用时最少？最少要几分钟？练习：明明早晨起来要完成以下几件事情：洗水壶1分钟，烧开水12分钟，把水灌入水瓶要2分钟，吃早点要8分钟，整理书包2分钟。

应该怎样安排时间最少？最少要几分钟？例2.小明家要有客人来，妈妈让他做准备给客人烧水沏茶。

洗开水壶要1分钟，烧开水15 分钟，洗茶壶要3分钟，洗茶杯要4分钟，拿茶叶要3分钟，沏茶1分钟，为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能让客人喝上茶？练习：小红想给客人烧水沏茶，洗水壶要2分钟；烧开水要12分钟，买茶叶要5分钟，洗茶杯要1分钟，沏茶要1分钟，要让客人尽早喝上茶，你认为最合理的安排需要多少分钟？例3.用一个平底锅烙饼，锅上同时只能放两个饼，烙熟饼的一面需要3分钟，现在需要烙熟3个饼，最少需要多少分钟？练习：一口平底锅，可以同时烙两张饼，烙一面需要3分钟，那么烙5张饼需要几分钟？例4. 星期日，小华在家学做家务活，她扫地要5分钟，拖地10分钟，擦桌椅5分钟，用洗衣机洗衣服35分钟，整理房间8分钟，晾晒洗好的衣服5分钟。

小华应该怎么安排呢？请你帮她把要做事情的程序设计一下。

再算一算最少要用多少时间？练习：星期六，小飞在家做饭，他折菜要15分钟，煮饭要35分钟，洗菜要3分钟，切菜要8分钟，炒菜要6分钟，摆放碗筷2分钟。

请你帮她把要做事情的程序设计一下。

四年级奥数-教师版-第九讲追及问题

第九讲追击问题知识导航追及路程＝甲走的路程—乙走的路程＝（甲的速度×追及时间）—（乙的速度×追及时间）＝（甲的速度—乙的速度）×追及时间＝速度差×追及时间.例1：甲、乙两地相距240千米，一列慢车从甲地出发，每小时行60千米．同时一列快车从乙地出发，每小时行90千米．两车同向行驶，快车在慢车后面，经过多少小时快车可以追上慢车？（火车长度忽略不计）解析：追及路程即为两地距离240千米，速度差306090=-（千米），所以追及时间830240=÷（小时）.【巩固1】下午放学时，弟弟以每分钟40米的速度步行回家.5分钟后，哥哥以每分钟60米的速度也从学校步行回家，哥哥出发后，经过几分钟可以追上弟弟？（假定从学校到家有足够远，即哥哥追上弟弟时，仍没有回到家）.解析：若经过5分钟，弟弟已到了A 地，此时弟弟已走了200540=⨯（米）；哥哥每分钟比弟弟多走20米，几分钟可以追上这200米呢？10)4060(540=-÷⨯（分），哥哥10分钟可以追上弟弟.【巩固2】甲、乙二人都要从北京去天津，甲行驶10千米后乙才开始出发，甲每小时行驶15千米，乙每小时行驶10千米，问：乙经过多长时间能追上甲？解析：出发时甲、乙二人相距10千米，以后两人的距离每小时都缩短51015=-（千米），即两人的速度的差（简称速度差），所以10千米里有几个5千米就是几小时能追上：2)1015(10=-÷（小时），还需要2个小时.【巩固3】解放军某部先遣队，从营地出发，以每小时6千米的速度向某地前进，12小时后，部队有急事，派通讯员骑摩托车以每小时78千米的速度前去联络，问多少时间后，通讯员能赶上先遣队？解析：追及路程就是先遣队12小时行驶的路程。

1)678()126(=-÷⨯(小时)．例2：小明步行上学，每分钟行70米．离家12分钟后，爸爸发现小明的明具盒忘在家中，爸爸带着明具盒，立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明．问爸爸出发几分钟后追上小明？爸爸追上小明时他们离家多远？解析：如图：当爸爸开始追小明时，小明已经离家：8401270=⨯(米)，即爸爸要追及的路程为840米,也就是爸爸与小明的距离是840米，我们把这个距离叫做“路程差”，爸爸出发后，两人同时走，每过1分，他们之间的距离就缩短21070280=-(米)，也就是爸爸与小明的速度差为21070280=-(米/分),爸爸追及的时间：4210840=÷(分钟)．当爸爸追上小明时，小明已经出发16412=+(分钟)，此时离家的距离是：11201670=⨯(米)【巩固1】哥哥和弟弟在同一所学校读书．哥哥每分钟走65米，弟弟每分钟走40米，有一天弟弟先走5分钟后，哥哥才从家出发，当弟弟到达学校时哥哥正好追上弟弟也到达学校，问他们家离学校有多远?解析：哥哥出发的时候弟弟走了：200540=⨯（米），哥哥追弟弟的追及时间为：8)4065(200=-÷（分钟），所以家离学校的距离为：520658=⨯（米）.【巩固2】小明以每分钟50米的速度从学校步行回家，12分钟后小强从学校出发骑自行车去追小明，结果在距学校1000米处追上小明，求小强骑自行车的速度.解析：小强出发的时候小明走了6001250=⨯（米），被小强追上时小明又走了：850)6001000(=÷-（分钟），说明小强8分钟走了1000米，所以小强的速度为：12581000=÷（米/分钟）.例3:小强每分钟走70米，小季每分钟走60米，两人同时从同一地点背向走了3分钟，小强掉头去追小季，追上小季时小强共走了多少米？解析：小强走的时间是两部分，一部分是和小季背向走的时间，另一部分是小季追他的时间，要求追及时间，就要求出他们的路程差．路程差是两人相背运动的总路程：3903)7060(=⨯+(米)追及时间为：39)6070(390=-÷(分钟)小强走的总路程为：2940)339(70=+⨯ (米)【巩固】小聪和小明从学校到相距2400米的电影院去看电影．小聪每分钟行60米，他出发后10分钟小明才出发，结果俩人同时到达影院，小明每分钟行多少米？解析：要求小明每分钟走多少米，就要先求小明所走的路程(已知)和小明所用的时间；要求小明所用的时间，就要先求小聪所用的时间，小聪所用的时间是：40602400=÷(分钟)，小明所用的时间是：301040=-(分钟)，小明每分钟走的米数是：80302400=÷(米)．例4:王芳和李华放学后，一起步行去体校参加排球训练，王芳每分钟走110米，李华每分钟走70米，出发5分钟后，王芳返回学校取运动服，在学校又耽误了2分钟，然后追赶李华．求多少分钟后追上李华？解析：已知二人出发5分钟后，王芳返回学校取运动服，这样用去了5分钟，在学校又耽误了2分钟，王芳一共耽误了12225=+⨯(分钟)．李华在这段时间比王芳多走：8401270=⨯(米)，速度差为：4070110=-(米/秒)，王芳追上李华的时间是：2140840=÷(分钟)【巩固1】小王、小李共同整理报纸，小王每分钟整理72份，小李每分钟整理60份，小王迟到了1分钟，当小王、小李整理同样多份的报纸时，正好完成了这批任务．一共有多少份报纸？解析：本题可用追及问题思路解题，类比如下：路程差：小王迟到1分钟这段时间，小李整理报纸的份数（60份），速度差：126072=-（份/分钟）．此时可求两人整理同样多份报纸时，小王所用时间，即追及时间是51260=÷（分钟）．共整理报纸：7202725=⨯⨯（份）【巩固2】甲、乙两车同时从A 地向B 地开出，甲每小时行38千米，乙每小时行34千米，开出1小时后，甲车因有紧急任务返回A 地；到达A 地后又立即向B 地开出追乙车，当甲车追上乙车时，两车正好都到达B 地，求A 、B 两地的路程．解析：根据题意画出线段图：从图中可以看出，当甲开始追乙的时候两车的路程差正好是乙车已经行驶的2小时的路程，那么根据追及路程和速度差可以求出追及时间，而追及时间正好是甲车从A 地到B 地所用的时间，由此可以求出A 、B 两地的路程,追及路程为：68234=⨯(千米);追及时间为：17)3438(68=-÷(小时).A 、B 两地的路程为：6461738=⨯(千米).例5:甲、乙两辆汽车同时从A 地出发去B 地，甲车每小时行50千米，乙车每小时行40千米．途中甲车出故障停车修理了3小时，结果甲车比乙车迟到1小时到达B 地．A 、B 两地间的路程是多少？解析：由于甲车在途中停车3小时，比乙车迟到1小时，说明行这段路程甲车比乙车少用2小时．可理解成甲车在途中停车2小时，两车同时到达，也就是乙车比甲车先行2小时，两车同时到达B 地，所以，也可以用追及问题的数量关系来解答．即：行这段路程甲车比乙车少用的时间是：213=-(小时)，乙车2小时行的路程是：80240=⨯(千米)，甲车每小时比乙车多行的路程是：104050=-(千米)，甲车所需的时间是：81080=÷(小时)，A 、B 两地间的路程是：400850=⨯(千米)．【巩固1】甲、乙两车分别从A 、B 两地出发，同向而行，乙车在前，甲车在后．已知甲车比乙车提前出发1小时，甲车的速度是96千米/小时，乙车每小时行80千米．甲车出发5小时后追上乙车，求A 、B 两地间的距离．解析：由已知可求出甲、乙两车的追及时间，利用追及问题的公式求解．追及时间为：415=-(小时),追及路程为：644)8096(=⨯-(千米),A 、B 两地间的距离为：1606496=+(千米)【巩固2】一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地出发，向同一个方向前进，摩托车在前，每小时行28千米，汽车在后，每小时行65千米，经过4小时汽车追上摩托车，甲乙两地相距多少千米？解析：先求出汽车每小时比摩托车多行驶的路程(速度差)，再求出两地相距的路程，即：1484)2865(=⨯- (千米).例6：小明的家住学校的南边，小芳的家在学校的北边，两家之间的路程是1410米，每天上学时，如果小明比小芳提前3分钟出发，两人可以同时到校．已知小明的速度是70米/分钟，小芳的速度是80米/分钟，求小明家距离学校有多远？解析：小明比小芳提前3分钟出发，则多走210370=⨯（米）．两家之间的所剩路程是12002101410=-(米)，两人的速度和是1508070=+（米），所剩路程需：8)8070(1200=+÷（分）走完．小明家距离学校770)38(70=+⨯（米）．【巩固】学校和部队驻地相距16千米，小宇和小宙由学校骑车去部队驻地，小宇每小时行12千米，小宙每小时行15千米．当小宇走了3千米后，小宙才出发．当小宙追上小宇时，距部队驻地还有多少千米？解析：追及时间：1)1215(3=-÷(小时)，此时距部队驻地还有：11516=-(千米)．例7：甲、乙两列火车同时从A 地开往B 地，甲车8小时可以到达，乙车每小时比甲车多行20千米，比甲车提前2小时到达．求A 、B 两地间的距离．解析：这道题的路程差比较隐蔽，需要仔细分析题意，乙到达时，甲车离终点还有两小时的路程，因此路程差是甲车两小时的路程．方法一：如图：甲车8小时可以到达，乙车比甲车提前2小时到达，因此，乙车到达时用了：-(小时)，此时路程差为：1208=62⨯(千米)，此时路程差就是甲车2小时620=的路程，所以甲车速度为：60÷(千米/小时)，A、B两地间的距离：120=2⨯(千米)60=8480方法二：如图：假设两车都行了8小时，则甲车刚好到达，乙车则超出了：160⨯(千米)，这段20=8路程正好是乙车2小时走的，因此乙车速度：80÷(千米/小时)，乙车到达时160=2用了：6-(小时)，A、B两地间的距离：4808=280=⨯(千米)6例8：龟、兔进行1000米的赛跑．小兔斜眼瞅瞅乌龟，心想：“我小兔每分钟能跑100米，而你乌龟每分钟只能跑10米，哪是我的对手．”比赛开始后，当小兔跑到全程的一半时，发现把乌龟甩得老远，便毫不介意地躺在旁边睡着了．当乌龟跑到距终点还有40米时，小兔醒了，拔腿就跑．请同学们解答两个问题：它们谁胜利了？为什么？解析：⑴乌龟胜利了．因为兔子醒来时，乌龟离终点只有40米，乌龟需要500=100÷(分40=104÷(分钟)就能到达终点，而兔子离终点还有500米，需要5钟)才能到达，所以乌龟胜利了．⑵乌龟跑到终点还要41000=÷÷(分21010040=÷(分钟)，而小兔跑到终点还要5钟)，慢1分钟．当胜利者乌龟跑到终点时，小兔离终点还有：100100=⨯(米)．1【巩固】上一次龟兔赛跑兔子输得很不服气，于是向乌龟再次下战书，比赛之前，为了表示它的大度，它让乌龟先跑10分钟，但是兔子不知道乌龟经过锻炼，速度已经提高到5倍，那么这一次谁将获得胜利呢？解析：由乌龟速度提高到5倍，可知乌龟现在的速度为50⨯(米/分)，510=乌龟先跑10分钟，即兔子开始跑时，乌龟已经跑了500⨯(米)，还剩50=1050÷(分钟)就可以到达终点，而兔子到达终-(米)，需要10500=1000=500500点需要的时间是：10÷(分钟)，所以，兔子和乌龟同时到达终点．1000=100例9：军事演习中，“我”海军英雄舰追及“敌”军舰，追到A岛时，“敌”舰已在10分钟前逃离，“敌”舰每分钟行驶1000米，“我”海军英雄舰每分钟行驶1470米，在距离“敌”舰600米处可开炮射击，问“我”海军英雄舰从A岛出发经过多少分钟可射击敌舰？解析：“我”舰追到A岛时，“敌”舰已逃离10分钟了，因此，在A岛时，“我”舰与“敌”舰的距离为10000米。

四年级下册数学奥数试题-培优拓展训练--第3讲：三角形（教师版）

四年级下册数学奥数试题-培优拓展训练--第3讲：三⾓形（教师版）第三讲三⾓形(1).三⾓形的定义：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三⾓形(2).三⾓形有三个顶点，三条边和三个⾓。

从三⾓形的⼀个顶点到它的对边做⼀条垂线，顶点和垂⾜之间的线段叫做三⾓形的⾼，这条对边叫做三⾓形的底。

为了表达⽅便，⽤字母A,B,C分别表⽰三⾓形的三个顶点，这个三⾓形可以表⽰成三⾓形ABC。

(3).三⾓形具有稳定的特性，这⼀特性在⽣活中有着⼴泛的应⽤(4).三⾓形边的关系：三⾓形任意两边的和⼤于第三边，如果⽤a,b,c表⽰三⾓形三条边的长度，则有：a+b＞c;a+c＞b;b+c＞a。

(5).认识⼏种三⾓形锐⾓三⾓形：三个⾓都是锐⾓的三⾓形直⾓三⾓形：有⼀个⾓是直⾓的三⾓形钝⾓三⾓形：有⼀个⾓是钝⾓的三⾓形(6).三⾓形的分类：（1）按⾓分有：锐⾓三⾓形，直⾓三⾓形和钝⾓三⾓形。

（2）按边分有：不等边三⾓形和等腰三⾓形，其中等腰三⾓形中还包括三条边都相等的等边三⾓形。

(7).等腰三⾓形各部分的名称;在等腰三⾓形⾥，相等的两条边叫做腰；另⼀条边叫做底；两腰的夹⾓叫做顶⾓；底边上的两个⾓叫做底⾓。

等腰三⾓形的两个底⾓相等。

(8).三⾓形的内⾓和：任何三⾓形三个内⾓的和都是180度。

⼀个三⾓形，已知两个⾓的度数，可以根据“三⾓形的内⾓和是180度”求出第三个⾓的度数。

(9).⽤三⾓形拼四边形两个完全相同的三⾓形可以拼成⼀个平⾏四边形；两个完全相同的直⾓三⾓形可以拼成⼀个长⽅形；两个完全相同的等腰直⾓三⾓形可以拼成⼀个正⽅形；三个完全相同的三⾓形可以拼成⼀个梯形。

⼀：三⾓形内⾓和定理的应⽤。

⼆：三⾓形三边关系的应⽤，及画钝⾓三⾓形⾼。

1．两个椭圆圈重合的部分应是什么三⾓形?答案：等腰直⾓三⾓形2．在能组成的三⾓形的三个⾓后⾯画“√”。

1． 900 500 400 ( )√2． 500 500 500 ( )3． 1200 300 300 ( )√4． 1000 320 190 ( )5． 600 600 600 ( )√3．在能组成三⾓形的三条线段后⾯画“√”。

四年级上册奥数(课件)第16讲：生活中的数学

第三个
③正 ③反
1分钟 1分钟 3分钟 1分钟
3×1=3（分钟）答：至少需要3分钟。
例题二
妈妈让米德给客人烧水沏茶。洗水壶需要1分钟，烧开水需要15分钟，洗茶壶需要1分钟，洗茶杯需要1分钟，拿茶叶需要2分钟。为了使客人早点喝上茶，你认为最合理的安排，多少分钟后就能沏茶了？
事情时间
洗水壶
烧开水（洗茶壶、茶杯、拿茶叶）
船返回的次数不算在内。
11－1（=总10人（数个－）乘坐人数）÷（乘坐人数－1）＋1=次数
最后一次，船不用返回。
最后一次，11个同学过河。（81－11）÷10＋1
河吗有过最实
呢？？几个河后，船后一次际上
11
人过还要返
回
位每同学次
=70÷10＋1
=7＋1 =8（次）
答：这些同学全部过河至少要8次。
刷牙、洗脸、整理房间
4分钟＋ 10分钟＋
吃早饭 6分钟＝20（分钟）
答：最少用20分钟就可以从起床到吃完早饭去上学了。
பைடு நூலகம்
小结
1. 要求用时最少，那么就不能按照正常的思考方式想问题，要改变思考方式。 2. 生活中很多事情都是可以同时做的，那么为了节约时间需要将可以同时做的事同时做。
例题三
练习四
说明没有船夫。
2名老师和9名学生乘船到对岸去，河面上只有一条空船，
小船每次只能载4人。这条小船至少要载几次，才能将老师和学生全部载到对岸去？（次数中不包括返程）
船返回的次数不算在内。
2＋9=11（人）
4－1=3（人）
11÷3=3（次）……2（人）剩下的2人也要过河，需要1次。
河有实
呢几际

四年级奥数-教师版-第十讲火车行程问题

四年级奥数-教师版-第十讲火车行程问题指南针小升初第十讲火车过桥问题知识导航火车过桥问题是奥数行程问题的一种，也有路程、速度与时间之间的数量关系，同时还涉及车长、桥长等问题。

基本数量关系是：火车速度×时间=车长+桥长；依据这个基本的数量关系可以推导出几个相关的计算公式，在练习中我们应该举一反三，灵活的应用这个公式的变化。

一般的火车过桥所求的分为：求过桥时间；求桥长；求火车长；求火车的速度。

下面我们分别研究这些问题。

例1:一列火车长150米，每秒钟行19米。

全车通过长800米的隧道，需要多少时间？解析：列车过桥，就是从车头进隧道到车尾离隧道止。

车尾经过的距离=车长+隧道，车尾行驶这段路程所用的时间用车长与隧道和除以车速。

解：（800+150）÷19=50（秒）答：全车通过长800米的隧道，需要50秒。

【巩固1】一列火车长200米，它以每秒10米的速度穿过200米长的隧道，从车头进入隧道到车尾离开隧道共需要多少秒？解析：火车长+桥长=路程；时间=路程÷速度；解：（200+200）÷10=40（秒）【巩固2】一列火车经过南京长江大桥，大桥长6700米，这列火车长100米，火车每分钟行400米，这列客车经过长江大桥需要多少分钟？解析：很标准的火车过桥问题，比较简单。

求过桥时间：（桥长+火车长）÷速度=过桥时间（6700+100）÷400=17（分钟）答：这列火车经过大桥要17分钟。

- 66 -指南针小升初例2:一列火车长200米，以每秒8米的速度通过一条隧道，从车头进洞到车尾离洞，一共用了40秒。

这条隧道长多少米？解析：重点推导公式：隧道长=路程-火车长；先求出车长与隧道长的和，然后求出隧道长。

火车从车头进洞到车尾离洞，共走车长+隧道长。

这段路程是以每秒8米的速度行了40秒。

解：（1）火车40秒所行路程：8×40=320（米）（2）隧道长度：320-200=120（米）答：这条隧道长120米。

四年级奥数第05讲最优化问题(教师版)

四年级奥数第05讲最优化问题（教师版）xλ学习了解最优化问题；λ能解决常见的最优化问题；λ通过学生解决问题的过程,激发学生的创新思维,培养学生学习的主动性和坚韧不拔、勇于探索的意志品质。

一、最优化问题在日常生活和生产中,我们经常会遇到下面的问题：完成一件事情,怎样合理安排才能做到用的时间最少,效果最佳。

这类问题在数学中称为统筹问题。

我们还会遇到“费用最省”、“面积最大”、“损耗最小”等等问题,这些问题往往可以从极端情况去探讨它的最大（小）值,这类问题在数学中称为极值问题。

以上的问题实际上都是“最优化问题”二、时间最优问题策略在进行最佳安排时,要考虑以下几个问题：（1）要做哪几件事；（2）做每件事需要的时间；（3）要弄清所做事的程序,即先做什么,后做什么,哪些事可以同时做。

在学习、生产和工作中,只有尽可能地节省时间、人力和物力,才能发挥出更大的效率。

考点一：烧水问题例1、明明早晨起来要完成以下几件事情：洗水壶1分钟,烧开水12分钟,把水灌入水瓶要2分钟,吃早点要8分钟,整理书包2分钟。

应该怎样安排时间最少?最少要几分钟?【解析】经验表明：能同时做的事尽量要同时去做,这样节省时间。

水壶不洗,不能烧开水,因而洗水壶不能和烧开水同时进行；而吃早点和整理书包可以和烧开水同时进行。

这一过程可用方框图表示：从图上可以看出,洗水壶要1分钟,接着烧开水要12分钟,在等水开的同时吃早点、整理书包,水开了就灌入水瓶,共需15分钟。

例2、妈妈让小明给客人烧水沏茶。

洗水壶需要1分钟,烧开水需要15分钟,洗茶壶需要1分钟,洗茶杯需要1分钟。

要让客人喝上茶,最少需要多少分钟? 【解析】经验表明,能同时做的事,尽量同时做,这样可以节省时间。

水壶不洗,不能烧开水,因此,洗水壶和烧开水不能同时进行。

而洗茶壶、洗茶杯和拿茶叶与烧开水可以同时进行。

根据以上的分析,可以这样安排：先洗水壶用1分钟,接着烧开水用15分钟,同时洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶,水开了就沏茶,共需要16分钟。

四年级下册数学奥数试题-培优拓展训练--第15讲：火车过桥(教师版)

第十五讲火车过桥过桥问题也是行程问题的一种。

首先要弄清列车通过一座桥是指从车头上桥到车尾离桥。

列车过桥的总路程是桥长加车长，这是解决过桥问题的关键。

过桥问题也要用到一般行程问题的基本数量关系：过桥问题的一般数量关系是：过桥的路程= 桥长+ 车长车速= （桥长+ 车长）÷过桥时间通过桥的时间=（桥长+ 车长）÷车速桥长= 车速×过桥时间—车长车长= 车速×过桥时间—桥长后三个都是根据第二个关系式逆推出的。

火车通过隧道的问题和过桥问题的道理是一样的，也要通过上面的数量关系来解决。

1、掌握列车过桥的基本公式并能够利用公式解决此类问题。

2、理解列车完全通过一座桥梁所行的路程等于车长与桥长之和。

3、对于问题能够仔细分析、灵活求解，切忌生搬硬套关系式。

例1：一列客车经过南京长江大桥，大桥长6700米，这列客车长100米，火车每分钟行400米，这列客车经过长江大桥需要多少分钟？分析与解：火车火车桥从火车头上桥，到火车尾离桥，这之间是火车通过这座大桥的过程，也就是过桥的路程是桥长 + 车长。

通过“过桥的路程”和“车速”就可以求出火车过桥的时间。

（1）过桥路程：6700 + 100 = 6800（米）（2）过桥时间：6800÷400 = 17（分）答：这列客车通过南京长江大桥需要17分钟。

例2：一列火车长160米，全车通过440米的桥需要30秒钟，这列火车每秒行多少米？分析与解：要想求火车过桥的速度，就要知道“过桥的路程”和过桥的时间。

（1）过桥的路程：160 + 440 = 600（米）（2）火车的速度：600÷30 = 20（米）答：这列火车每秒行20米。

想一想：你能根据例2改编一个求“火车长”的题目吗？例3：某列火车通过360米的第一个隧道用了24秒钟，接着通过第二个长216米的隧道用了16秒钟，求这列火车的长度？分析与解：火车通过第一个隧道比通过第二个隧道多用了8秒，为什么多用8秒呢？原因是第一个隧道比第二个隧道长360—216 = 144（米），这144米正好和8秒相对应，这样可以求出车速。

小学四年级奥数《生活中的数学》课件

一个人带着两只水桶去河边取水，一只桶可盛水3千克，另一只可盛水5千克，现在要取4 千克的水，应该怎样取？
答：首先把小水桶盛满水倒入大水桶内，然后把小水桶盛满水再倒入大水桶中，因为大水桶中已倒入3千克，只能再倒入2千克，小水桶里剩下1千克。把大水桶里的水全部倒掉，把小水桶内的1千克水倒入大水桶中，然后再把小水桶盛满水，全部倒入大水桶里，这时大水桶里正好有4千克水。
10 － 4 = 6（米） 6 ÷ （4－2） = 3（天） 3 ＋ 1 = 4（天）
答：它要4天才能出来。
蜗牛沿着9米高的柱子往上爬，白天它向上爬 5米，而晚上又下降4米，问蜗牛爬到柱顶需要几天几夜？
9 － 5 = 4（米）
4 ÷ （5－4） = 4（天米5）
4 ＋ 1 = 5（天）
9
答：蜗牛爬到柱顶需要5天4夜。
一家冷饮店，喝完汽水后，用2个空瓶可以换1瓶汽水，卡尔买了4瓶汽水，她最多能喝多少瓶汽水？
4瓶
2瓶
1瓶
1瓶
一家冷饮店，喝完汽水后，用2个空瓶可以换1瓶汽水，卡尔买了4瓶汽水，她最多能喝多少瓶汽水？
4 4 ＋ 2 ＋ 1 ＋ 1 = 8（瓶）
2 答：她最多能喝8瓶汽水。
1
1
阿派买了24瓶汽水，每4个空瓶可以换1瓶汽水，阿派共能喝到多少瓶汽水？
答：长到5毫米时要用27天。
第2第7天第28：2天9天：：第2300毫天米：40毫米 5毫1米0毫米
一条小青虫由幼虫长成成虫，每天长大1倍， 20天能长到36毫米，长到9毫米时要用几天？
第19天：36 ÷ 2 = 18（毫米）
第18天：18 ÷ 2 = 9（毫米）
答：长到9毫米时要用18天。
第第1189天天：：第1280毫天米：36毫米 9毫米

四年级奥数第22讲相遇问题(教师版)

四年级奥数第22讲相遇(xiānɡ yù)问题（教师版）教学目标λ根据“路程和＝速度(sùdù)和×时间”解决简单的直线上的相遇问题λ通过画图使较复杂(fùzá)的问题具体化、形象化,融合多种方法达到正确理解题目(tímù)的目的知识梳理甲从A地到B地,乙从B地到A地,然后两人在途中(tú zhōnɡ)相遇,实质上是甲和乙一起走了A,B之间这段路程,如果两人同时出发,那么相遇路程＝甲走的路程+乙走的路程＝甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间＝（甲的速度+乙的速度）×相遇时间＝速度和×相遇时间.一般地,相遇问题的关系式为：速度和×相遇时间=路程和,即S=v×t典例分析例1、一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出,客车每小时行46千米,货车每小时行48千米。

3.5小时两车相遇。

甲、乙两个城市的路程是多少千米?【解析】本题是简单的相遇问题,根据相遇路程等于速度和乘以相遇时间得到甲乙两地路程为：（46+48）×3.5=94×3.5=329（千米）．例2、大头儿子的家距离(jùlí)学校3000米,小头爸爸(bàbà)从家去学校接大头儿子放学,大头(dàtóu)儿子从学校回家,他们(tā men)同时出发,小头爸爸(bàbà)每分钟比大头儿子多走24米,50分钟后两人相遇,那么大头儿子的速度是每分钟走多少米?【解析】大头儿子和小头爸爸的速度和：3000÷50=60 (米/分钟),小头爸爸的速度：（60+24）÷2 =42(米/分钟),大头儿子的速度：60-42=18 (米/分钟)．例3、甲、乙两辆汽车分别从A、B两地出发相向而行,甲车先行3小时后乙车从B地出发,乙车出发5小时后两车还相距15千米．甲车每小时行48千米,乙车每小时行50千米．求A、B两地间相距多少千米?【解析】题目中写的“还”相距15千米指的就是最简单的情况。